ប្រសិនបើយើងធ្វើតាមនិយមន័យ នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ គឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រកើនឡើងនៃអនុគមន៍Δ yដល់ការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ Δ x:

អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាច្បាស់។ ប៉ុន្តែព្យាយាមគណនាដោយរូបមន្តនេះ និយាយថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) = x 2 + (2x+ 3) · អ៊ី xអំពើបាប x. ប្រសិនបើអ្នកធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងតាមនិយមន័យ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីការគណនាពីរបីទំព័រ អ្នកនឹងងងុយគេង។ ដូច្នេះមានវិធីសាមញ្ញ និងមានប្រសិទ្ធភាពជាង។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងកត់សំគាល់ថា អ្វីដែលគេហៅថា អនុគមន៍បឋម អាចត្រូវបានសម្គាល់ពីភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងមូល។ ទាំងនេះគឺជាកន្សោមសាមញ្ញៗ ដែលជានិស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវបានគណនា និងបញ្ចូលក្នុងតារាងជាយូរមកហើយ។ មុខងារបែបនេះមានភាពងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ រួមជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម

អនុគមន៍​បឋម​គឺ​ជា​អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង​ដែល​បាន​រាយ​ខាង​ក្រោម។ ដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។ លើសពីនេះទៅទៀតវាមិនពិបាកក្នុងការទន្ទេញចាំពួកគេទេ - នោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកគេជាបឋម។

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម៖

ឈ្មោះ	មុខងារ	ដេរីវេ
ថេរ	f(x) = គ, គ ∈ រ	0 (បាទ/ចាស៎ សូន្យ!)
សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល	f(x) = x ន	ន · x ន − 1
ស៊ីនុស	f(x) = បាប x	cos x
កូស៊ីនុស	f(x) = ខូស x	- អំពើបាប x(ដកស៊ីនុស)
តង់សង់	f(x) = tg x	1/cos 2 x
កូតង់សង់	f(x) = ctg x	- ១/ បាប ២ x
លោការីតធម្មជាតិ	f(x) = កំណត់ហេតុ x	1/x
លោការីតតាមអំពើចិត្ត	f(x) = កំណត់ហេតុ ក x	1/(x ln ក)
អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល	f(x) = អ៊ី x	អ៊ី x(គ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរ)

ប្រសិនបើអនុគមន៍បឋមត្រូវបានគុណដោយអថេរដែលបំពាន នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍ថ្មីក៏ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ៖

(គ · f)’ = គ · f ’.

ជាទូទៅ ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍:

(2x 3)' = 2 ( x៣)' = ២ ៣ x 2 = 6x 2 .

ជាក់ស្តែង មុខងារបឋមអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្នាទៅវិញទៅមក គុណ បែងចែក និងច្រើនទៀត។ នេះជារបៀបដែលមុខងារថ្មីនឹងលេចឡើង លែងជាបឋម ប៉ុន្តែក៏អាចខុសគ្នាតាមច្បាប់ជាក់លាក់ផងដែរ។ ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវបានពិភាក្សាដូចខាងក្រោម។

ដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f(x) និង g(x) ដែលនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះយើង។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចយកមុខងារបឋមដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងនេះ៖

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ អាចមានលក្ខខណ្ឌច្រើនទៀត។ ឧទាហរណ៍, ( f + g + ម៉ោង)’ = f ’ + g ’ + ម៉ោង ’.

និយាយយ៉ាងតឹងរឹងមិនមានគំនិតនៃ "ដក" នៅក្នុងពិជគណិតទេ។ មានគំនិតនៃ "ធាតុអវិជ្ជមាន" ។ ដូច្នេះភាពខុសគ្នា f − gអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាផលបូក f+ (−1) gហើយបន្ទាប់មកមានតែរូបមន្តមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសល់ - ដេរីវេនៃផលបូក។

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

មុខងារ f(x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍បឋមពីរ ដូច្នេះ៖

f ’(x) = (x 2+ អំពើបាប x)’ = (x២)' + (បាប x)’ = 2x+ cosx;

យើងប្រកែកដូចគ្នាចំពោះមុខងារ g(x) មានតែពាក្យបីរួចទៅហើយ (តាមទស្សនៈនៃពិជគណិត)៖

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

ចម្លើយ៖
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

ដេរីវេនៃផលិតផល

គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រឡូជីខល ដូច្នេះមនុស្សជាច្រើនជឿថាប្រសិនបើដេរីវេនៃផលបូកស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេទីវ័រ នោះដេរីវេនៃផល។ កូដកម្ម"\u003e ស្មើ​នឹង​ផល​នៃ​និស្សន្ទវត្ថុ។ ប៉ុន្តែ​ឧទុម្ពរ​អ្នក! ដេរីវេនៃ​ផលិតផល​ត្រូវ​បាន​គណនា​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​ខុស​គ្នា​ទាំង​ស្រុង។ ពោល​គឺ៖

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

រូបមន្តគឺសាមញ្ញ ប៉ុន្តែជារឿយៗត្រូវបានបំភ្លេចចោល។ ហើយមិនត្រឹមតែសិស្សសាលាប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងសិស្សទៀតផង។ លទ្ធផលគឺដោះស្រាយបញ្ហាមិនត្រឹមត្រូវ។

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x .

មុខងារ f(x) គឺជាផលិតផលនៃមុខងារបឋមពីរ ដូច្នេះអ្វីៗគឺសាមញ្ញ៖

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) ខូស x + x៣ (កូស x)’ = 3x 2 cos x + x៣ (-បាប x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x)

មុខងារ g(x) មេគុណទីមួយមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែគ្រោងការណ៍ទូទៅមិនផ្លាស់ប្តូរពីនេះទេ។ ជាក់ស្តែងមេគុណទីមួយនៃអនុគមន៍ g(x) គឺជាពហុនាម ហើយដេរីវេរបស់វាគឺជាដេរីវេនៃផលបូក។ យើង​មាន:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x)’ = (x 2 + 7x− ៧)' · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) ( អ៊ី x)’ = (2x+ 7) · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x = អ៊ី x(២ x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · អ៊ី x = x(x+ 9) · អ៊ី x .

ចម្លើយ៖
f ’(x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x);
g ’(x) = x(x+ 9) · អ៊ី x .

ចំណាំថានៅជំហានចុងក្រោយ ដេរីវេត្រូវបានបែងចែកជាកត្តា។ ជាផ្លូវការ នេះមិនចាំបាច់ទេ ប៉ុន្តែនិស្សន្ទវត្ថុភាគច្រើនមិនត្រូវបានគណនាដោយខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែដើម្បីស្វែងយល់ពីមុខងារ។ នេះមានន័យថា និស្សន្ទវត្ថុនឹងស្មើនឹងសូន្យ សញ្ញារបស់វានឹងត្រូវបានរកឃើញ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ចំពោះ​ករណី​បែប​នេះ វា​ជា​ការ​ប្រសើរ​ក្នុង​ការ​បញ្ចេញ​មតិ​ដែល​ត្រូវ​បាន​បំបែក​ជា​កត្តា។

ប្រសិនបើមានមុខងារពីរ f(x) និង g(x) និង g(x) ≠ 0 លើសំណុំចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង យើងអាចកំណត់មុខងារថ្មីមួយ ម៉ោង(x) = f(x)/g(x) សម្រាប់មុខងារបែបនេះ អ្នកក៏អាចរកឃើញដេរីវេ៖

មិនទន់ខ្សោយមែនទេ? តើដកបានមកពីណា? ហេតុអ្វី? g 2? តែបែបនេះ! នេះគឺជារូបមន្តដ៏ស្មុគស្មាញបំផុតមួយ - អ្នកមិនអាចដោះស្រាយវាដោយគ្មានដបបានទេ។ ដូច្នេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការសិក្សាវាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

មានអនុគមន៍បឋមនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗ ដូច្នេះអ្វីដែលយើងត្រូវការគឺរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូតានិក៖

តាមទំនៀមទម្លាប់ យើងដាក់លេខភាគទៅជាកត្តា - នេះនឹងធ្វើឱ្យចំលើយកាន់តែងាយស្រួល៖

មុខងារស្មុគ្រស្មាញមិនចាំបាច់ជារូបមន្តប្រវែងកន្លះគីឡូម៉ែត្រទេ។ ឧទាហរណ៍វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទទួលយកមុខងារ f(x) = បាប xនិងជំនួសអថេរ xនិយាយថានៅលើ x 2+ ln x. វាប្រែចេញ f(x) = បាប ( x 2+ ln x) គឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ នាងក៏មានដេរីវេផងដែរ ប៉ុន្តែវានឹងមិនដំណើរការទេក្នុងការស្វែងរកវាយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។

តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច? ក្នុងករណីបែបនេះ ការជំនួសអថេរ និងរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជួយ៖

f ’(x) = f ’(t) · t', ប្រសិនបើ xត្រូវបានជំនួសដោយ t(x).

តាមក្បួនមួយស្ថានភាពជាមួយនឹងការយល់ដឹងនៃរូបមន្តនេះគឺកាន់តែសោកសៅជាងជាមួយនឹងដេរីវេនៃកូតា។ ដូច្នេះ វាក៏ជាការប្រសើរផងដែរក្នុងការពន្យល់វាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ ជាមួយនឹងការពិពណ៌នាលម្អិតនៃជំហាននីមួយៗ។

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = អ៊ី 2x + 3 ; g(x) = បាប ( x 2+ ln x)

ចំណាំថាប្រសិនបើនៅក្នុងមុខងារ f(x) ជំនួសឱ្យការបញ្ចេញមតិ 2 x+ 3 នឹងមានភាពងាយស្រួល xបន្ទាប់មកយើងទទួលបានមុខងារបឋម f(x) = អ៊ី x. ដូច្នេះ​យើង​ធ្វើ​ការ​ជំនួស៖ អនុញ្ញាត ២ x + 3 = t, f(x) = f(t) = អ៊ី t. យើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដោយរូបមន្ត៖

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (អ៊ី t)’ · t ’ = អ៊ី t · t ’

ហើយឥឡូវនេះ - យកចិត្តទុកដាក់! អនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = 2x+ 3. យើងទទួលបាន៖

f ’(x) = អ៊ី t · t ’ = អ៊ី 2x+ ៣ (២ x + 3)’ = អ៊ី 2x+ 3 2 = 2 អ៊ី 2x + 3

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលមុខងារ g(x) ជាក់ស្តែងត្រូវការជំនួស។ x 2+ ln x = t. យើង​មាន:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (អំពើបាប t)’ · t' = ខូស t · t ’

ការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2+ ln x. បន្ទាប់មក៖

g ’(x) = cos ( x 2+ ln x) · ( x 2+ ln x)' = cos ( x 2+ ln x) · (២ x + 1/x).

អស់ហើយ! ដូចដែលអាចមើលឃើញពីកន្សោមចុងក្រោយបញ្ហាទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាដេរីវេនៃផលបូក។

ចម្លើយ៖
f ’(x) = ២ អ៊ី 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ ln x).

ជាញឹកញាប់ណាស់នៅក្នុងមេរៀនរបស់ខ្ញុំជំនួសឱ្យពាក្យ "ដេរីវេ" ខ្ញុំប្រើពាក្យ "ដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល" ។ ឧទាហរណ៍ ការដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល។ ច្បាស់ជាងនេះទេ? ជាការប្រសើរណាស់។

ដូច្នេះការគណនានៃដេរីវេបានចុះមកដើម្បីកម្ចាត់ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលយ៉ាងខ្លាំងទាំងនេះយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ ជាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ ចូរយើងត្រលប់ទៅអំណាចដេរីវេជាមួយនឹងនិទស្សន្តនិទស្សន្ត៖

(x ន)’ = ន · x ន − 1

មានមនុស្សតិចណាស់ដែលដឹងថានៅក្នុងតួនាទីនេះ។ នប្រហែលជាលេខប្រភាគ។ ឧទាហរណ៍ឫសគឺ x 0.5 ប៉ុន្ដែចុះយ៉ាងណាបើមានអ្វីពិបាកនៅក្រោមឫស? ជាថ្មីម្តងទៀតមុខងារស្មុគ្រស្មាញនឹងប្រែជា - ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់សំណង់បែបនេះនៅក្នុងការធ្វើតេស្តនិងការប្រឡង។

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរឫសឡើងវិញជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល៖

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ឥឡូវនេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 + 8x − 7 = t. យើងរកឃើញដេរីវេដោយរូបមន្ត៖

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−០.៥ t ’.

យើងធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2 + 8x- ៧.យើងមាន៖

f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− ៧) −០.៥ ( x 2 + 8x− ៧)' = ០.៥ (២ x+ ៨) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

ទីបំផុតត្រលប់ទៅឫស៖

បន្ទាប់ពីការរៀបចំកាំភ្លើងធំបឋមឧទាហរណ៍ជាមួយឯកសារភ្ជាប់ 3-4-5 នៃមុខងារនឹងមិនសូវគួរឱ្យខ្លាចទេ។ ប្រហែលជាឧទាហរណ៍ពីរខាងក្រោមនឹងហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញសម្រាប់អ្នកខ្លះ ប៉ុន្តែប្រសិនបើពួកគេត្រូវបានគេយល់ (មាននរណាម្នាក់ទទួលរង) នោះស្ទើរតែអ្វីៗផ្សេងទៀតនៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងហាក់ដូចជារឿងកំប្លែងរបស់កុមារ។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាដំបូងវាចាំបាច់ ត្រឹមត្រូវ។ស្វែងយល់ពីការវិនិយោគ។ ក្នុងករណីមានការសង្ស័យ ខ្ញុំរំលឹកអ្នកអំពីល្បិចដ៏មានប្រយោជន៍មួយ៖ យើងយកតម្លៃពិសោធន៍ "x" ជាឧទាហរណ៍ ហើយព្យាយាម (ផ្លូវចិត្ត ឬលើសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីជំនួសតម្លៃនេះទៅជា "កន្សោមដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ។

1) ដំបូងយើងត្រូវគណនាកន្សោម ដូច្នេះផលបូកគឺជាសំបុកជ្រៅបំផុត។

២) បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវគណនាលោការីត៖

4) បន្ទាប់មកគូបកូស៊ីនុស:

5) នៅជំហានទី 5 ភាពខុសគ្នា:

៦) ហើយចុងក្រោយ មុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺឫសការ៉េ៖

រូបមន្តភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ ត្រូវបានអនុវត្តតាមលំដាប់បញ្ច្រាស ពីមុខងារខាងក្រៅបំផុតទៅខាងក្នុងបំផុត។ យើងសម្រេចចិត្ត៖

ហាក់ដូចជាគ្មានកំហុស៖

1) យើងយកដេរីវេនៃឫសការ៉េ។

2) យើងយកដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាដោយប្រើក្បួន

3) ដេរីវេនៃបីគឺស្មើនឹងសូន្យ។ នៅក្នុងពាក្យទីពីរយើងយកដេរីវេនៃដឺក្រេ (គូប) ។

4) យើងយកដេរីវេនៃកូស៊ីនុស។

6) ហើយចុងក្រោយយើងយកដេរីវេនៃសំបុកជ្រៅបំផុត។

វាហាក់ដូចជាពិបាកពេក ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាឧទាហរណ៍ដ៏ឃោរឃៅបំផុតនោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍សូមយកការប្រមូលរបស់ Kuznetsov ហើយអ្នកនឹងពេញចិត្តក្នុងការស្តាប់នូវភាពទាក់ទាញនិងភាពសាមញ្ញនៃដេរីវេដែលបានវិភាគ។ ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ឃើញថា ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់រឿងស្រដៀងគ្នានៅពេលប្រឡង ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើសិស្សយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ ឬមិនយល់។

ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមគឺសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ព័ត៌មានជំនួយ: ដំបូងយើងអនុវត្តច្បាប់នៃលីនេអ៊ែរនិងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

វាដល់ពេលដែលត្រូវបន្តទៅអ្វីដែលកាន់តែតូច និងស្អាតជាងមុន។
វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេសម្រាប់ស្ថានភាពដែលផលិតផលមិនមែនពីរ ប៉ុន្តែមុខងារបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងឧទាហរណ៍មួយ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃផលនៃកត្តាបី?

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដំបូងយើងមើល ប៉ុន្តែតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្វែរផលិតផលនៃមុខងារបីទៅជាផលិតផលនៃមុខងារពីរ? ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងមានពហុនាមពីរនៅក្នុងផលិតផល នោះយើងអាចបើកតង្កៀប។ ប៉ុន្តែក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មុខងារទាំងអស់គឺខុសគ្នា៖ ដឺក្រេ និទស្សន្ត និងលោការីត។

ក្នុងករណីបែបនេះវាចាំបាច់ ជាបន្តបន្ទាប់អនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល ពីរដង

ល្បិចគឺថាសម្រាប់ "y" យើងបង្ហាញពីផលិតផលនៃមុខងារពីរ: និងសម្រាប់ "ve" - ​​លោការីត: ។ ហេតុអ្វីបានជានេះអាចត្រូវបានធ្វើ? តើមែនទេ? - នេះមិនមែនជាផលនៃកត្តាពីរ ហើយច្បាប់មិនដំណើរការ?! មិនមានអ្វីស្មុគស្មាញទេ៖

ឥឡូវនេះវានៅតែត្រូវអនុវត្តច្បាប់ជាលើកទីពីរ តង្កៀប៖

អ្នកនៅតែអាចបង្ខូច និងយកអ្វីមួយចេញពីតង្កៀប ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការទុកចម្លើយក្នុងទម្រង់នេះ - វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យ។

ឧទាហរណ៍ខាងលើអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីទីពីរ៖

ដំណោះស្រាយទាំងពីរគឺពិតជាសមមូល។

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ ក្នុងគំរូវាត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីដំបូង។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាជាមួយប្រភាគ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះអ្នកអាចទៅតាមវិធីជាច្រើន៖

ឬដូចនេះ៖

ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានសរសេរកាន់តែបង្រួមប្រសិនបើដំបូងយើងប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃកូតា យកសម្រាប់ភាគយកទាំងមូល៖

ជាគោលការណ៍ឧទាហរណ៍ត្រូវបានដោះស្រាយហើយប្រសិនបើវាត្រូវបានទុកចោលក្នុងទម្រង់នេះវានឹងមិនមានកំហុសទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកមានពេល គួរតែពិនិត្យមើលសេចក្តីព្រាងជានិច្ច ប៉ុន្តែតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការសម្រួលចម្លើយ?

យើងនាំយកកន្សោមនៃភាគយកទៅជាភាគបែងធម្មតា ហើយកម្ចាត់ប្រភាគបីជាន់:

គុណវិបត្តិនៃភាពសាមញ្ញបន្ថែមគឺថាមានហានិភ័យនៃការធ្វើឱ្យមានកំហុសមិនមែននៅពេលរកឃើញដេរីវេទេ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលការផ្លាស់ប្តូរសាលា banal ។ ម៉្យាងវិញទៀត គ្រូបង្រៀនជារឿយៗបដិសេធកិច្ចការនេះ ហើយសុំឱ្យ "យកវាមកគិត" ពីដេរីវេ។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញសម្រាប់ដំណោះស្រាយធ្វើវាដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

យើងបន្តធ្វើជាម្ចាស់នៃបច្ចេកទេសសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាករណីធម្មតានៅពេលដែលលោការីត "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា

វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហារូបវន្ត ឬឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យាដោយមិនមានចំណេះដឹងអំពីដេរីវេ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាវា។ ដេរីវេគឺជាគំនិតសំខាន់បំផុតមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ យើងបានសម្រេចចិត្តលះបង់អត្ថបទថ្ងៃនេះចំពោះប្រធានបទជាមូលដ្ឋាននេះ។ តើអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ តើអ្វីជាអត្ថន័យរូបវន្ត និងធរណីមាត្ររបស់វា របៀបគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍? សំណួរទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាទៅជាមួយ: តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីដេរីវេ?

ធរណីមាត្រ និងអត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ

សូមឱ្យមានមុខងារមួយ។ f(x) ផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះពេលមួយចំនួន (ក, ខ) . ចំនុច x និង x0 ជារបស់ចន្លោះនេះ។ នៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរមុខងារខ្លួនវាផ្លាស់ប្តូរ។ ការផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់ - ភាពខុសគ្នានៃតម្លៃរបស់វា។ x-x0 . ភាពខុសគ្នានេះត្រូវបានសរសេរជា ដីសណ្ត x ហើយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់។ ការផ្លាស់ប្តូរឬការកើនឡើងនៃអនុគមន៍គឺជាភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចពីរ។ និយមន័យដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់ នៅពេលដែលក្រោយមានទំនោរទៅសូន្យ។

បើមិនដូច្នោះទេវាអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ:

តើអ្វីជាចំណុចក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់បែបនេះ? ប៉ុន្តែមួយណា៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំរវាងអ័ក្ស OX និងតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃពេលវេលានៃផ្លូវគឺស្មើនឹងល្បឿននៃចលនា rectilinear ។

ពិតហើយ តាំងពីនៅរៀនមក គ្រប់គ្នាដឹងថាល្បឿនគឺជាផ្លូវឯកជន។ x=f(t) និងពេលវេលា t . ល្បឿនជាមធ្យមក្នុងរយៈពេលជាក់លាក់មួយ៖

ដើម្បីដឹងពីល្បឿននៃចលនាក្នុងពេលតែមួយ t0 អ្នកត្រូវគណនាដែនកំណត់៖

ច្បាប់ទីមួយ៖ ដកចំនួនថេរចេញ

ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ លើសពីនេះទៅទៀតវាត្រូវតែធ្វើ។ នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យា ចូរយកជាក្បួន ប្រសិនបើអ្នកអាចសម្រួលការបញ្ចេញមតិ ត្រូវប្រាកដថាធ្វើឱ្យសាមញ្ញ .

ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងគណនាដេរីវេ៖

វិធានពីរ៖ ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍

ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។

យើងនឹងមិនផ្តល់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះទេ ប៉ុន្តែសូមពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

វិធានទីបី៖ ដេរីវេនៃផលនៃមុខងារ

ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរផ្សេងគ្នាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ដំណោះស្រាយ៖

នៅទីនេះវាមានសារៈសំខាន់ក្នុងការនិយាយអំពីការគណនានៃដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ។

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងជួបកន្សោម៖

ក្នុងករណីនេះអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមគឺ 8x ទៅថាមពលទីប្រាំ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃកន្សោមបែបនេះ ជាដំបូងយើងពិចារណាពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយខ្លួនវាទាក់ទងទៅនឹងអថេរឯករាជ្យ។

វិធានទីបួន៖ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ

រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ៖

យើងបានព្យាយាមនិយាយអំពីនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់អត់ចេះសោះពីដំបូង។ ប្រធានបទនេះមិនសាមញ្ញដូចដែលវាហាក់បីដូចជាទេ ដូច្នេះត្រូវព្រមាន៖ ជារឿយៗមានកំហុសក្នុងឧទាហរណ៍ ដូច្នេះត្រូវប្រុងប្រយ័ត្ននៅពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។

ជាមួយនឹងសំណួរណាមួយអំពីបញ្ហានេះ និងប្រធានបទផ្សេងទៀត អ្នកអាចទាក់ទងសេវាកម្មសិស្ស។ ក្នុងរយៈពេលដ៏ខ្លី យើងនឹងជួយអ្នកដោះស្រាយការគ្រប់គ្រងដ៏លំបាកបំផុត និងដោះស្រាយកិច្ចការនានា ទោះបីជាអ្នកមិនធ្លាប់ដោះស្រាយជាមួយនឹងការគណនានៃនិស្សន្ទវត្ថុពីមុនមកក៏ដោយ។

ភស្តុតាងនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ករណីដែលមុខងារស្មុគ្រស្មាញអាស្រ័យទៅលើអថេរមួយ ឬពីរត្រូវបានពិចារណាយ៉ាងលម្អិត។ ការធ្វើទូទៅត្រូវបានធ្វើឡើងចំពោះករណីនៃចំនួនអថេរដែលបំពាន។

មាតិកា

សូម​មើល​ផង​ដែរ: ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។

រូបមន្តមូលដ្ឋាន

នៅទីនេះយើងបង្ហាញពីដេរីវេនៃរូបមន្តខាងក្រោមសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។
បើអញ្ចឹង
.
បើអញ្ចឹង
.
បើអញ្ចឹង
.

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍នៃអថេរ x ត្រូវបានតំណាងជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
,
កន្លែងណា និងមានមុខងារមួយចំនួន។ អនុគមន៍គឺអាចខុសគ្នាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ x ។ មុខងារគឺខុសគ្នាសម្រាប់តម្លៃនៃអថេរ។
បន្ទាប់មកអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ (សមាសធាតុ) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ហើយដេរីវេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
(1) .

រូបមន្ត (១) ក៏អាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖
;
.

ភស្តុតាង

ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណខាងក្រោម។
;
.
នៅទីនេះមានមុខងារនៃអថេរ ហើយមានមុខងារនៃអថេរ និង . ប៉ុន្តែយើងនឹងលុបចោលអំណះអំណាងនៃមុខងារទាំងនេះ ដើម្បីកុំឱ្យមានការពង្រាយការគណនា។

ដោយសារអនុគមន៍ និងអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x និងរៀងៗខ្លួន នោះនៅចំណុចទាំងនេះមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ ដែលជាដែនកំណត់ខាងក្រោម៖
;
.

ពិចារណាមុខងារដូចខាងក្រោមៈ
.
សម្រាប់តម្លៃថេរនៃអថេរ u គឺជាមុខងារនៃ . វាច្បាស់ណាស់។
.
បន្ទាប់មក
.

ដោយសារមុខងារគឺជាមុខងារផ្សេងគ្នានៅចំណុច នោះវាបន្តនៅចំណុចនោះ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល
.
បន្ទាប់មក
.

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញដេរីវេ។

.

រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។

ផលវិបាក

ប្រសិនបើអនុគមន៍នៃអថេរ x អាចត្រូវបានតំណាងថាជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។
,
បន្ទាប់មកដេរីវេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
.
នៅទីនេះ ហើយមានមុខងារផ្សេងគ្នាមួយចំនួន។

ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តនេះ យើងគណនានិស្សន្ទវត្ថុតាមលំដាប់លំដោយយោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។
ពិចារណាមុខងារស្មុគស្មាញ
.
ដេរីវេរបស់វា។
.
ពិចារណាមុខងារដើម
.
ដេរីវេរបស់វា។
.

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយនៅក្នុងអថេរពីរ

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយអាស្រ័យលើអថេរជាច្រើន។ ដំបូងពិចារណា ករណីនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៃអថេរពីរ.

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍អាស្រ័យលើអថេរ x ត្រូវបានតំណាងជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរពីរក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
,
កន្លែងណា
ហើយមានមុខងារផ្សេងគ្នាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ x ;
គឺជាមុខងារនៃអថេរពីរ ដែលខុសគ្នាត្រង់ចំនុច , . បន្ទាប់មកអនុគមន៍ស្មុគស្មាញត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច ហើយមានដេរីវេដែលត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
(2) .

ភស្តុតាង

ដោយសារមុខងារ និងមានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុច ពួកវាត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនេះ បន្តនៅចំណុច ហើយនិស្សន្ទវត្ថុរបស់ពួកគេនៅចំណុចមាន ដែលជាដែនកំណត់ខាងក្រោម៖
;
.
នៅទីនេះ
;
.
ដោយសារតែការបន្តនៃមុខងារទាំងនេះនៅចំណុចមួយ យើងមាន៖
;
.

ដោយសារមុខងារអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុច វាត្រូវបានគេកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនេះ បន្តនៅចំណុចនេះ ហើយការបង្កើនរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
(3) .
នៅទីនេះ

- ការបង្កើនមុខងារនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់របស់វាត្រូវបានបង្កើនដោយតម្លៃ និង ;
;

- ដេរីវេដោយផ្នែកនៃអនុគមន៍ទាក់ទងនឹងអថេរ និង .
សម្រាប់តម្លៃថេរនៃ និង , និងមានមុខងារនៃអថេរ និង . ពួកគេមានទំនោរទៅសូន្យដូចជា និង៖
;
.
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក
;
.

ការបង្កើនមុខងារ៖

. :
.
ជំនួស (3):



.

រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរជាច្រើន។

ដេរីវេខាងលើត្រូវបានទូទៅយ៉ាងងាយស្រួលចំពោះករណីនៅពេលដែលចំនួនអថេរនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយធំជាងពីរ។

ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ f គឺ មុខងារនៃអថេរបីបន្ទាប់មក
,
កន្លែងណា
ហើយមានមុខងារផ្សេងគ្នាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ x ;
គឺ​ជា​អនុគមន៍​ខុស​គ្នា​ក្នុង​អថេរ​បី​ត្រង់​ចំណុច , , .
បន្ទាប់មក ពីនិយមន័យនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ យើងមាន៖
(4)
.
ចាប់តាំងពី, ដោយសារតែការបន្ត,
; ; ,
បន្ទាប់មក
;
;
.

ការបែងចែក (4) ដោយនិងឆ្លងកាត់ដែនកំណត់យើងទទួលបាន:
.

ហើយចុងក្រោយសូមពិចារណា ករណីទូទៅបំផុត។.
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍នៃអថេរ x ត្រូវបានតំណាងជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរ n ក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
,
កន្លែងណា
មានមុខងារផ្សេងគ្នាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ x ;
- មុខងារផ្សេងគ្នានៃអថេរ n នៅចំណុចមួយ។
, , ... , .
បន្ទាប់មក
.

សូម​មើល​ផង​ដែរ:

និស្សន្ទវត្ថុស្មុគស្មាញ។ ដេរីវេលោការីត។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

យើងបន្តកែលម្អបច្ចេកទេសនៃភាពខុសគ្នារបស់យើង។ នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលគ្របដណ្ដប់ ពិចារណាអំពីនិស្សន្ទវត្ថុដ៏ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត ហើយក៏ទទួលបានស្គាល់នូវល្បិច និងល្បិចថ្មីៗសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេវ ជាពិសេសជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុលោការីត។

អ្នកអានទាំងនោះដែលមានកម្រិតនៃការរៀបចំទាបគួរតែសំដៅទៅលើអត្ថបទ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ? ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើនជំនាញរបស់អ្នកស្ទើរតែពីដំបូង។ បន្ទាប់អ្នកត្រូវសិក្សាដោយប្រុងប្រយ័ត្នទំព័រ ដេរីវេនៃមុខងារផ្សំមួយ។យល់និងដោះស្រាយ ទាំងអស់។ឧទាហរណ៍ដែលខ្ញុំបានផ្តល់ឱ្យ។ មេរៀននេះគឺជាតក្កវិជ្ជាទីបីជាប់ៗគ្នា ហើយបន្ទាប់ពីធ្វើជាម្ចាស់វា អ្នកនឹងបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញដោយភាពជឿជាក់។ វាមិនគួរឱ្យចង់នៅជាប់នឹងទីតាំង "កន្លែងណាទៀត? បាទ ហើយវាគ្រប់គ្រាន់ហើយ!” ចាប់តាំងពីឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយទាំងអស់ត្រូវបានយកចេញពីការធ្វើតេស្តពិតប្រាកដ ហើយជាញឹកញាប់ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការអនុវត្ត។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយពាក្យដដែលៗ។ នៅលើមេរៀន ដេរីវេនៃមុខងារផ្សំមួយ។យើងបានពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនជាមួយនឹងមតិយោបល់លម្អិត។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការសិក្សាការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា អ្នកនឹងត្រូវបែងចែកភាពខុសគ្នាជាញឹកញាប់ ហើយវាមិនតែងតែងាយស្រួល (និងមិនតែងតែចាំបាច់) ដើម្បីគូរឧទាហរណ៍ឱ្យបានលម្អិតនោះទេ។ ដូច្នេះ យើងនឹងអនុវត្តក្នុងការស្វែងរកផ្ទាល់មាត់នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ "បេក្ខជន" ដែលសមរម្យបំផុតសម្រាប់ការនេះគឺជាដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញបំផុត ឧទាហរណ៍៖

យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ :

នៅពេលសិក្សាប្រធានបទ matan ផ្សេងទៀតនៅពេលអនាគត កំណត់ត្រាលម្អិតបែបនេះច្រើនតែមិនត្រូវបានទាមទារទេ វាត្រូវបានសន្មត់ថាសិស្សអាចស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុស្រដៀងគ្នានៅលើ autopilot ។ សូមស្រមៃថានៅម៉ោង 3 ទៀបភ្លឺ ទូរសព្ទបានបន្លឺឡើង ហើយសំឡេងដ៏រីករាយមួយបានសួរថា "តើអ្វីទៅជាដេរីវេនៃតង់សង់នៃពីរ x?"។ នេះគួរតែត្រូវបានធ្វើតាមដោយការឆ្លើយតបស្ទើរតែភ្លាមៗ និងគួរសម៖ .

ឧទាហរណ៍ទីមួយនឹងត្រូវបានបម្រុងទុកភ្លាមៗសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុខាងក្រោមដោយផ្ទាល់មាត់ ក្នុងជំហានមួយ ឧទាហរណ៍៖ . ដើម្បីបញ្ចប់កិច្ចការ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រើ តារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម(ប្រសិនបើនាងមិនទាន់ចងចាំ)។ ប្រសិនបើអ្នកមានការលំបាកណាមួយ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអានមេរៀនឡើងវិញ ដេរីវេនៃមុខងារផ្សំមួយ។.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន

និស្សន្ទវត្ថុស្មុគស្មាញ

បន្ទាប់ពីការរៀបចំកាំភ្លើងធំបឋមឧទាហរណ៍ជាមួយឯកសារភ្ជាប់ 3-4-5 នៃមុខងារនឹងមិនសូវគួរឱ្យខ្លាចទេ។ ប្រហែលជាឧទាហរណ៍ពីរខាងក្រោមនឹងហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញសម្រាប់អ្នកខ្លះ ប៉ុន្តែប្រសិនបើពួកគេត្រូវបានគេយល់ (មាននរណាម្នាក់ទទួលរង) នោះស្ទើរតែអ្វីៗផ្សេងទៀតនៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងហាក់ដូចជារឿងកំប្លែងរបស់កុមារ។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាដំបូងវាចាំបាច់ ត្រឹមត្រូវ។ស្វែងយល់ពីការវិនិយោគ។ ក្នុងករណីមានការសង្ស័យ ខ្ញុំរំលឹកអ្នកអំពីល្បិចដ៏មានប្រយោជន៍មួយ៖ យើងយកតម្លៃពិសោធន៍ "x" ជាឧទាហរណ៍ ហើយព្យាយាម (ផ្លូវចិត្ត ឬលើសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីជំនួសតម្លៃនេះទៅជា "កន្សោមដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ។

1) ដំបូងយើងត្រូវគណនាកន្សោម ដូច្នេះផលបូកគឺជាសំបុកជ្រៅបំផុត។

២) បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវគណនាលោការីត៖

4) បន្ទាប់មកគូបកូស៊ីនុស:

5) នៅជំហានទី 5 ភាពខុសគ្នា:

៦) ហើយចុងក្រោយ មុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺឫសការ៉េ៖

រូបមន្តភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ ត្រូវបានអនុវត្តតាមលំដាប់បញ្ច្រាស ពីមុខងារខាងក្រៅបំផុតទៅខាងក្នុងបំផុត។ យើងសម្រេចចិត្ត៖

ហាក់ដូចជាគ្មានកំហុស...

(1) យើងយកដេរីវេនៃឫសការ៉េ។

(2) យើងយកដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាដោយប្រើក្បួន

(3) ដេរីវេនៃបីគឺស្មើនឹងសូន្យ។ នៅក្នុងពាក្យទីពីរយើងយកដេរីវេនៃដឺក្រេ (គូប) ។

(4) យើងយកដេរីវេនៃកូស៊ីនុស។

(5) យើងយកដេរីវេនៃលោការីត។

(6) ជាចុងក្រោយ យើងយកដេរីវេនៃសំបុកជ្រៅបំផុត។

វាហាក់ដូចជាពិបាកពេក ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាឧទាហរណ៍ដ៏ឃោរឃៅបំផុតនោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍សូមយកការប្រមូលរបស់ Kuznetsov ហើយអ្នកនឹងពេញចិត្តក្នុងការស្តាប់នូវភាពទាក់ទាញនិងភាពសាមញ្ញនៃដេរីវេដែលបានវិភាគ។ ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ឃើញថា ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់រឿងស្រដៀងគ្នានៅពេលប្រឡង ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើសិស្សយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ ឬមិនយល់។

ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមគឺសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ព័ត៌មានជំនួយ: ដំបូងយើងអនុវត្តច្បាប់នៃលីនេអ៊ែរនិងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

វាដល់ពេលដែលត្រូវបន្តទៅអ្វីដែលកាន់តែតូច និងស្អាតជាងមុន។
វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេសម្រាប់ស្ថានភាពដែលផលិតផលមិនមែនពីរ ប៉ុន្តែមុខងារបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងឧទាហរណ៍មួយ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃផលនៃកត្តាបី?

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដំបូងយើងមើល ប៉ុន្តែតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្វែរផលិតផលនៃមុខងារបីទៅជាផលិតផលនៃមុខងារពីរ? ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងមានពហុនាមពីរនៅក្នុងផលិតផល នោះយើងអាចបើកតង្កៀប។ ប៉ុន្តែក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មុខងារទាំងអស់គឺខុសគ្នា៖ ដឺក្រេ និទស្សន្ត និងលោការីត។

ក្នុងករណីបែបនេះវាចាំបាច់ ជាបន្តបន្ទាប់អនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល ពីរដង

ល្បិចគឺថាសម្រាប់ "y" យើងបង្ហាញពីផលិតផលនៃមុខងារពីរ: និងសម្រាប់ "ve" - ​​លោការីត: ។ ហេតុអ្វីបានជានេះអាចត្រូវបានធ្វើ? តើមែនទេ? - នេះមិនមែនជាផលនៃកត្តាពីរ ហើយច្បាប់មិនដំណើរការ?! មិនមានអ្វីស្មុគស្មាញទេ៖

ឥឡូវនេះវានៅតែត្រូវអនុវត្តច្បាប់ជាលើកទីពីរ តង្កៀប៖

អ្នកនៅតែអាចបង្ខូច និងយកអ្វីមួយចេញពីតង្កៀប ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការទុកចម្លើយក្នុងទម្រង់នេះ - វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យ។

ឧទាហរណ៍ខាងលើអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីទីពីរ៖

ដំណោះស្រាយទាំងពីរគឺពិតជាសមមូល។

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ ក្នុងគំរូវាត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីដំបូង។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាជាមួយប្រភាគ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះអ្នកអាចទៅតាមវិធីជាច្រើន៖

ឬដូចនេះ៖

ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានសរសេរកាន់តែបង្រួមប្រសិនបើដំបូងយើងប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃកូតា យកសម្រាប់ភាគយកទាំងមូល៖

ជាគោលការណ៍ឧទាហរណ៍ត្រូវបានដោះស្រាយហើយប្រសិនបើវាត្រូវបានទុកចោលក្នុងទម្រង់នេះវានឹងមិនមានកំហុសទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកមានពេល គួរតែពិនិត្យមើលសេចក្តីព្រាងជានិច្ច ប៉ុន្តែតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការសម្រួលចម្លើយ? យើងនាំយកកន្សោមនៃភាគយកទៅជាភាគបែងរួម និង កម្ចាត់ប្រភាគបីជាន់:

គុណវិបត្តិនៃភាពសាមញ្ញបន្ថែមគឺថាមានហានិភ័យនៃការធ្វើឱ្យមានកំហុសមិនមែននៅពេលរកឃើញដេរីវេទេ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលការផ្លាស់ប្តូរសាលា banal ។ ម៉្យាងវិញទៀត គ្រូបង្រៀនជារឿយៗបដិសេធកិច្ចការនេះ ហើយសុំឱ្យ "យកវាមកគិត" ពីដេរីវេ។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញសម្រាប់ដំណោះស្រាយធ្វើវាដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

យើងបន្តធ្វើជាម្ចាស់នៃបច្ចេកទេសសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាករណីធម្មតានៅពេលដែលលោការីត "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះអ្នកអាចទៅឆ្ងាយដោយប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ៖

ប៉ុន្តែជំហានដំបូងបំផុតធ្វើឱ្យអ្នកធ្លាក់ចូលទៅក្នុងភាពអស់សង្ឃឹមភ្លាមៗ - អ្នកត្រូវតែទទួលយកដេរីវេមិនរីករាយនៃសញ្ញាបត្រប្រភាគ ហើយបន្ទាប់មកក៏មកពីប្រភាគផងដែរ។

នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល ពីមុនតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយកដេរីវេនៃលោការីត "ពុម្ពអក្សរក្បូរក្បាច់", វាត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញពីមុនដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិសាលាល្បី:

! ប្រសិនបើអ្នកមានសៀវភៅកត់ត្រាលំហាត់ដែលងាយស្រួល សូមចម្លងរូបមន្តទាំងនេះនៅទីនោះ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនមានសៀវភៅកត់ត្រាទេ សូមគូរវានៅលើក្រដាសមួយ ព្រោះឧទាហរណ៍ដែលនៅសល់នៃមេរៀននឹងវិលជុំវិញរូបមន្តទាំងនេះ។

ដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានបង្កើតដូចនេះ៖

តោះផ្លាស់ប្តូរមុខងារ៖

យើងរកឃើញដេរីវេ៖

ការបំប្លែងបឋមនៃមុខងារខ្លួនវាបានធ្វើឱ្យដំណោះស្រាយកាន់តែងាយស្រួល។ ដូច្នេះ នៅពេលដែលលោការីតស្រដៀងគ្នាត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា វាត្រូវបានណែនាំឱ្យ "បំបែកវាចុះ" ជានិច្ច។

ហើយឥឡូវនេះឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយចំនួនសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ៩

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ 10

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការបំប្លែង និងចម្លើយទាំងអស់នៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ដេរីវេលោការីត

ប្រសិនបើដេរីវេនៃលោការីតគឺជាតន្ត្រីដ៏ផ្អែមល្ហែម នោះសំណួរកើតឡើង តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងករណីខ្លះដើម្បីរៀបចំលោការីតសិប្បនិម្មិត? អាច! និងសូម្បីតែចាំបាច់។

ឧទាហរណ៍ 11

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាដែលយើងបានពិចារណានាពេលថ្មីៗនេះ។ អ្វី​ដែល​ត្រូវធ្វើ? មនុស្សម្នាក់អាចអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់នូវច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃកូតានិក ហើយបន្ទាប់មកច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល។ គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថាអ្នកទទួលបានប្រភាគបីជាន់ដ៏ធំ ដែលអ្នកមិនចង់ដោះស្រាយទាល់តែសោះ។

ប៉ុន្តែ​តាម​ទ្រឹស្តី និង​ការអនុវត្ត​មាន​រឿង​អស្ចារ្យ​ដូច​ជា​ដេរីវេ​លោការីត។ លោការីតអាចត្រូវបានរៀបចំដោយសិប្បនិម្មិតដោយ "ព្យួរ" វានៅលើភាគីទាំងពីរ៖

ចំណាំ ៖ ដោយសារតែ មុខងារអាចយកតម្លៃអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកនិយាយជាទូទៅ អ្នកត្រូវប្រើម៉ូឌុល៖ ដែលបាត់ជាលទ្ធផលនៃភាពខុសគ្នា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ការរចនាបច្ចុប្បន្នក៏អាចទទួលយកបានដែរ ដែលតាមលំនាំដើម ស្មុគស្មាញតម្លៃ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានភាពម៉ត់ចត់ទាំងអស់ នោះក្នុងករណីទាំងពីរ ចាំបាច់ត្រូវធ្វើការកក់ទុក.

ឥឡូវនេះអ្នកត្រូវ "បំបែក" លោការីតនៃផ្នែកខាងស្តាំឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន (រូបមន្តនៅពីមុខភ្នែករបស់អ្នក?) ខ្ញុំនឹងរៀបរាប់អំពីដំណើរការនេះយ៉ាងលម្អិត៖

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា។
យើងបញ្ចប់ផ្នែកទាំងពីរដោយជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល៖

ដេរីវេនៃផ្នែកខាងស្តាំគឺសាមញ្ញណាស់ខ្ញុំនឹងមិនធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើវាទេព្រោះប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានអត្ថបទនេះអ្នកគួរតែអាចដោះស្រាយវាដោយទំនុកចិត្ត។

ចុះផ្នែកខាងឆ្វេងវិញ?

នៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងមាន មុខងារស្មុគស្មាញ. ខ្ញុំបានទាយសំណួរថា "ហេតុអ្វីបានជាមានអក្សរ "y" នៅក្រោមលោការីត?"

ការពិតគឺថា "អក្សរមួយ y" - គឺជាមុខងារមួយនៅក្នុងខ្លួន(ប្រសិនបើវាមិនច្បាស់ទេ សូមមើលអត្ថបទដេរីវេនៃមុខងារដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រយោល)។ ដូច្នេះលោការីតគឺជាមុខងារខាងក្រៅ ហើយ "y" គឺជាមុខងារខាងក្នុង។ ហើយ​យើង​ប្រើ​ច្បាប់​បែងចែក​មុខងារ​ផ្សំ :

នៅ​ផ្នែក​ខាង​ឆ្វេង ដូចជា​ដោយ​វេទមន្ត យើង​មាន​ដេរីវេ។ លើសពីនេះទៀតយោងទៅតាមក្បួនសមាមាត្រយើងបោះ "y" ពីភាគបែងនៃផ្នែកខាងឆ្វេងទៅផ្នែកខាងលើនៃផ្នែកខាងស្តាំ:

ហើយឥឡូវនេះយើងចាំថាប្រភេទនៃ "ហ្គេម" - មុខងារដែលយើងបាននិយាយនៅពេលខុសគ្នា? តោះមើលលក្ខខណ្ឌ៖

ចម្លើយចុងក្រោយ៖

ឧទាហរណ៍ 12

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនអ្នក។ ការរចនាគំរូនៃឧទាហរណ៍នៃប្រភេទនេះនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ដោយមានជំនួយពីដេរីវេលោការីត វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍លេខ 4-7 រឿងមួយទៀតគឺថាមុខងារនៅទីនោះគឺសាមញ្ញជាង ហើយប្រហែលជាការប្រើប្រាស់ដេរីវេលោការីតគឺមិនសមហេតុផលខ្លាំងណាស់។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

យើងមិនទាន់បានពិចារណាមុខងារនេះនៅឡើយទេ។ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល គឺជាអនុគមន៍ដែលមាន ហើយកម្រិតនិងមូលដ្ឋានអាស្រ័យលើ "x". ឧទាហរណ៍បុរាណដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យអ្នកនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាណាមួយឬការបង្រៀនណាមួយ:

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល?

វាចាំបាច់ក្នុងការប្រើបច្ចេកទេសដែលបានពិចារណា - ដេរីវេលោការីត។ យើងព្យួរលោការីតទាំងសងខាង៖

តាមក្បួនមួយដឺក្រេត្រូវបានយកចេញពីក្រោមលោការីតនៅខាងស្តាំ៖

ជាលទ្ធផល នៅផ្នែកខាងស្តាំយើងមានផលិតផលនៃមុខងារពីរ ដែលនឹងត្រូវបែងចែកទៅតាមរូបមន្តស្តង់ដារ។ .

យើងរកឃើញដេរីវេ សម្រាប់ការនេះ យើងភ្ជាប់ផ្នែកទាំងពីរនៅក្រោមជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល៖

ជំហានបន្ទាប់គឺងាយស្រួល៖

ទីបំផុត៖

ប្រសិនបើការផ្លាស់ប្តូរមួយចំនួនមិនច្បាស់ទាំងស្រុង សូមអានឡើងវិញនូវការពន្យល់នៃឧទាហរណ៍ទី 11 ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។

នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនឹងតែងតែមានភាពស្មុគស្មាញជាងឧទាហរណ៍ការបង្រៀនដែលបានពិចារណា។

ឧទាហរណ៍ 13

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

យើងប្រើដេរីវេលោការីត។

នៅជ្រុងខាងស្តាំយើងមានថេរនិងផលគុណនៃកត្តាពីរ - "x" និង "លោការីតលោការីត x" (លោការីតមួយទៀតត្រូវបានដាក់នៅក្រោមលោការីត) ។ នៅពេលដែលបែងចែកថេរមួយ ដូចដែលយើងចងចាំ វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីយកវាចេញពីសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុភ្លាមៗ ដើម្បីកុំឱ្យវាចូលទៅក្នុងផ្លូវ។ ហើយជាការពិតណាស់ អនុវត្តច្បាប់ដែលធ្លាប់ស្គាល់ :