សព្វថ្ងៃនេះជំនាញសំខាន់បំផុតមួយសម្រាប់អ្នកឯកទេសណាមួយគឺសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល - មិនមែនជាកិច្ចការដែលបានអនុវត្តតែមួយអាចធ្វើដោយគ្មានវាទេ ថាតើវាជាការគណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្ររូបវន្ត ឬការធ្វើគំរូនៃការផ្លាស់ប្តូរដែលជាលទ្ធផលនៃគោលនយោបាយម៉ាក្រូសេដ្ឋកិច្ចដែលបានអនុម័ត។ សមីការទាំងនេះក៏មានសារៈសំខាន់ផងដែរសម្រាប់វិទ្យាសាស្ត្រមួយចំនួនទៀតដូចជា គីមីវិទ្យា ជីវវិទ្យា វេជ្ជសាស្ត្រ ។ល។ ខាងក្រោមនេះ យើងនឹងលើកឧទាហរណ៍អំពីការប្រើប្រាស់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងសេដ្ឋកិច្ច ប៉ុន្តែមុននោះយើងនឹងនិយាយដោយសង្ខេបអំពីប្រភេទសមីការសំខាន់ៗ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល - ប្រភេទសាមញ្ញបំផុត។

អ្នកប្រាជ្ញបាននិយាយថាច្បាប់នៃសកលលោករបស់យើងត្រូវបានសរសេរជាភាសាគណិតវិទ្យា។ ជាការពិតណាស់ មានឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃសមីការផ្សេងៗនៅក្នុងពិជគណិត ប៉ុន្តែទាំងនេះភាគច្រើនជាឧទាហរណ៍អប់រំ ដែលមិនអាចអនុវត្តបានក្នុងការអនុវត្ត។ គណិតវិទ្យាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពិតជាចាប់ផ្តើមនៅពេលដែលយើងចង់ពិពណ៌នាអំពីដំណើរការដែលកើតឡើងនៅក្នុងជីវិតពិត។ ប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីឆ្លុះបញ្ចាំងពីកត្តាពេលវេលាដែលជាកម្មវត្ថុនៃដំណើរការពិតប្រាកដ - អតិផរណាទិន្នផលឬសូចនាករប្រជាសាស្រ្ត?

រំលឹកនិយមន័យសំខាន់មួយពីវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាទាក់ទងនឹងដេរីវេនៃអនុគមន៍។ ដេរីវេគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ ដូច្នេះវាអាចជួយយើងឆ្លុះបញ្ចាំងពីកត្តាពេលវេលានៅក្នុងសមីការ។

នោះគឺយើងចងក្រងសមីការជាមួយនឹងមុខងារដែលពិពណ៌នាអំពីសូចនាករនៃការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង ហើយបន្ថែមដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះទៅក្នុងសមីការ។ នេះគឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅសាមញ្ញបំផុត។ ប្រភេទនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់អត់ចេះសោះ.

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុតមានទម្រង់ $y'(x)=f(x)$ ដែល $f(x)$ គឺជាមុខងារមួយចំនួន ហើយ $y'(x)$ គឺជាដេរីវេ ឬអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃអនុគមន៍ដែលត្រូវការ។ . វាត្រូវបានដោះស្រាយដោយការរួមបញ្ចូលធម្មតា៖ $$y(x)=\int f(x)dx.$$

ប្រភេទសាមញ្ញបំផុតទីពីរត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលអាចបំបែកបាន។ សមីការបែបនេះមើលទៅដូចនេះ $y'(x)=f(x)\cdot g(y)$ ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាអថេរអាស្រ័យ $y$ ក៏ជាផ្នែកមួយនៃមុខងារដែលបានសាងសង់ផងដែរ។ សមីការត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ - អ្នកត្រូវ "បំបែកអថេរ" ពោលគឺនាំវាទៅជាទម្រង់ $y'(x)/g(y)=f(x)$ ឬ $dy/g(y)= f(x)dx$។ វានៅសល់ដើម្បីបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរ $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - នេះគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រភេទដែលអាចបំបែកបាន។

ប្រភេទសាមញ្ញចុងក្រោយគឺសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ។ វាមានទម្រង់ $y'+p(x)y=q(x)$។ នៅទីនេះ $p(x)$ និង $q(x)$ គឺជាមុខងារមួយចំនួន ហើយ $y=y(x)$ គឺជាមុខងារដែលចង់បាន។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះ វិធីសាស្ត្រពិសេសត្រូវបានប្រើប្រាស់រួចហើយ (វិធីសាស្ត្រ Lagrange នៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត វិធីសាស្ត្រជំនួស Bernoulli) ។

មានប្រភេទសមីការស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត - សមីការនៃសមីការទីពីរ ទីបី និងជាទូទៅសមីការតាមអំពើចិត្ត សមីការដូចគ្នានិងមិនដូចគ្នា ព្រមទាំងប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនោះ អ្នកត្រូវការការរៀបចំបឋម និងបទពិសោធន៍ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញជាងនេះ។

សារៈសំខាន់ដ៏អស្ចារ្យសម្រាប់រូបវិទ្យា ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល ហិរញ្ញវត្ថុគឺជាអ្វីដែលហៅថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក។ នេះមានន័យថាមុខងារដែលចង់បានអាស្រ័យលើអថេរជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយ។ ឧទាហរណ៍ សមីការ Black-Scholes ពីផ្នែកវិស្វកម្មហិរញ្ញវត្ថុពិពណ៌នាអំពីតម្លៃនៃជម្រើស (ប្រភេទនៃសុវត្ថិភាព) អាស្រ័យលើទិន្នផលរបស់វា ចំនួននៃការទូទាត់ ក៏ដូចជាពេលវេលានៃការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់នៃការទូទាត់។ ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមួយផ្នែកគឺស្មុគស្មាញណាស់ ជាធម្មតាអ្នកត្រូវប្រើកម្មវិធីពិសេសដូចជា Matlab ឬ Maple ។

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងសេដ្ឋកិច្ច

យើងផ្តល់ឱ្យ ដូចដែលបានសន្យា ជាឧទាហរណ៍សាមញ្ញនៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ចូរកំណត់កិច្ចការជាមុនសិន។

សម្រាប់ក្រុមហ៊ុនមួយចំនួន មុខងារនៃប្រាក់ចំណូលរឹមពីការលក់ផលិតផលរបស់ខ្លួនមានទម្រង់ $MR=10-0.2q$។ នៅទីនេះ $MR$ គឺជាចំណូលរឹមរបស់ក្រុមហ៊ុន ហើយ $q$ គឺជាទិន្នផល។ យើងត្រូវស្វែងរកប្រាក់ចំណូលសរុប។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីបញ្ហានេះគឺជាឧទាហរណ៍ដែលបានអនុវត្តពីមីក្រូសេដ្ឋកិច្ច។ ក្រុមហ៊ុន និងសហគ្រាសជាច្រើនត្រូវប្រឈមមុខជានិច្ចជាមួយនឹងការគណនាបែបនេះនៅក្នុងដំណើរការនៃសកម្មភាពរបស់ពួកគេ។

តោះទៅរកដំណោះស្រាយ។ ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ពីមីក្រូសេដ្ឋកិច្ច ប្រាក់ចំណូលរឹមគឺជាដេរីវេនៃប្រាក់ចំណូលសរុប ហើយប្រាក់ចំណូលគឺសូន្យនៅសូន្យការលក់។

តាមទស្សនៈគណិតវិទ្យា បញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $R'=10-0.2q$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $R(0)=0$។

យើងធ្វើសមាហរណកម្មសមីការ ដោយយកអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេនៃផ្នែកទាំងពីរ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅ៖ $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C ។ $$

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃថេរ $C$ សូមរំលឹកលក្ខខណ្ឌ $R(0)=0$ ។ ជំនួស៖ $$R(0) =0-0+C = 0. $$ ដូច្នេះ C=0 ហើយមុខងារចំណូលសរុបរបស់យើងក្លាយជា $R(q)=10q-0.1q^2$។ បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ផ្សេងទៀតសម្រាប់ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃការបញ្ជាពីចម្ងាយត្រូវបានប្រមូលនៅលើទំព័រ៖

ឧបសម្ព័ន្ធ

ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតនៅលើគេហទំព័រសម្រាប់សិស្សដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលពួកគេសិក្សា។ ហើយអនុវត្តជំនាញជាក់ស្តែងរបស់អ្នក។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ Difuras តាមអ៊ីនធឺណិត ដំណោះស្រាយគណិតវិទ្យាតាមអ៊ីនធឺណិត។ ដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ នៃបញ្ហាគណិតវិទ្យាតាមអ៊ីនធឺណិត។ លំដាប់ ឬដឺក្រេនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃនិស្សន្ទវត្ថុដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ ដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាសមាហរណកម្ម។ បញ្ហានៃការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានចាត់ទុកថាអាចដោះស្រាយបាន ប្រសិនបើការរកឃើញមុខងារមិនស្គាល់អាចត្រូវបាននាំទៅ quadrature ដោយមិនគិតពីថាតើអាំងតេក្រាលលទ្ធផលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារដែលគេស្គាល់ឬអត់។ ដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទាំងអស់អាចត្រូវបានបែងចែកទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា (ODE) ដែលរួមបញ្ចូលតែមុខងារ (និងដេរីវេនៃពួកវា) នៃអាគុយម៉ង់មួយ និងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក (PDE) ដែលមុខងារបញ្ចូលអាស្រ័យលើអថេរជាច្រើន។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ វាក៏មានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល stochastic (SDEs) ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងដំណើរការចៃដន្យ។ ដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ អាស្រ័យលើបន្សំនៃនិស្សន្ទវត្ថុ អនុគមន៍ អថេរឯករាជ្យ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបែងចែកទៅជាលីនេអ៊ែរ និងមិនមែនលីនេអ៊ែរ ជាមួយនឹងមេគុណថេរ ឬអថេរ ដូចគ្នា ឬមិនដូចគ្នា ។ ដោយសារសារៈសំខាន់នៃកម្មវិធី សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយផ្នែក quasilinear (លីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹងដេរីវេទីករខ្ពស់ជាង) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកត្រូវបានជ្រើសរើសនៅក្នុងថ្នាក់ដាច់ដោយឡែកមួយ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបែងចែកទៅជាដំណោះស្រាយទូទៅ និងជាក់លាក់។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ ដំណោះស្រាយទូទៅរួមមានថេរដែលមិនបានកំណត់ និងសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយផ្នែក មុខងារបំពាននៃអថេរឯករាជ្យដែលអាចត្រូវបានចម្រាញ់ចេញពីលក្ខខណ្ឌនៃការរួមបញ្ចូលបន្ថែម (លក្ខខណ្ឌដំបូងសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា លក្ខខណ្ឌដំបូង និងព្រំដែនសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក)។ ដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ បន្ទាប់ពីកំណត់ទម្រង់នៃមុខងារថេរ និងមិនកំណត់ទាំងនេះ ដំណោះស្រាយក្លាយជាពិសេស។ ការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាបាននាំឱ្យមានការបង្កើតថ្នាក់នៃមុខងារពិសេស - មុខងារដែលជួបប្រទះជាញឹកញាប់នៅក្នុងកម្មវិធីដែលមិនត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋមដែលគេស្គាល់។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេត្រូវបានសិក្សាលម្អិត តារាងតម្លៃត្រូវបានចងក្រង ទំនាក់ទំនងគ្នាទៅវិញទៅមកត្រូវបានកំណត់។ល។ . សំណុំនៃលេខដែលបានរាប់បញ្ចូលអាចត្រូវបានរុករក។ ចម្លើយដ៏ល្អបំផុតចំពោះបញ្ហាដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ របៀបស្វែងរកនៅក្នុងការប៉ាន់ប្រមាណទីមួយនៃវ៉ិចទ័រដែលចេញទៅកាន់តំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នាអំពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយមិនបញ្ជាក់ពីដែនកំណត់ខាងលើដែលបានរកឃើញ។ ជម្រើសគឺជាក់ស្តែងសម្រាប់ការបង្កើនមុខងារគណិតវិទ្យា។ មានវិធីសាស្រ្តរីកចម្រើន លើសពីកម្រិតនៃការស្រាវជ្រាវ។ ដើម្បីតម្រឹមតាមលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃបញ្ហា ដំណោះស្រាយនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងជួយស្វែងរកតម្លៃដែលបានជ្រើសរើសតម្លៃតែមួយ។ ប្រហែលជាគាត់អាចកំណត់មិនស្គាល់ភ្លាមៗ។ ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុននៃការបង្ហាញពីដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាគណិតវិទ្យា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរគឺជាចម្លើយចំពោះបញ្ហាជាក់លាក់មួយនៅក្នុងពេលវេលាជាក់លាក់មួយ។ ការថែរក្សានីតិវិធីសិក្សាមិនត្រូវបានកំណត់ក្នុងមូលដ្ឋានទេ។ វានឹងក្លាយជាដូច្នេះថាមានឧទាហរណ៍សម្រាប់សិស្សម្នាក់ៗហើយដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងត្រូវបានកំណត់ដោយអ្នកដែលត្រូវបានចាត់តាំងឱ្យប្រតិបត្តិករទទួលខុសត្រូវពីតម្លៃយ៉ាងហោចណាស់ពីរ។ យកមុខងារនៃតម្លៃទូទៅនៅលើផ្នែកជាក់លាក់មួយ ហើយព្រមានតាមអ័ក្សណាមួយដែលនឹងមានគម្លាត។ ដោយបានសិក្សាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ិនធរណេត វាអាចបង្ហាញដោយមិនច្បាស់លាស់ថាតើលទ្ធផលមានសារៈសំខាន់ប៉ុណ្ណា ប្រសិនបើគេផ្តល់ឲ្យពីលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ការកាត់តំបន់មួយចេញពីនិយមន័យមុខងារគឺមិនអាចទៅរួចទេ ព្រោះមិនមានការកំណត់ភារកិច្ចនៅក្នុងមូលដ្ឋាន។ ដោយត្រូវបានរកឃើញពីប្រព័ន្ធសមីការ ចម្លើយមានអថេរដែលអាចគណនាបានក្នុងន័យទូទៅ ប៉ុន្តែវានឹងអាចដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតដោយគ្មានសកម្មភាពនេះដើម្បីកំណត់លក្ខខណ្ឌដូចនោះ។ នៅជិតចន្លោះពេលនៃផ្នែក វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីរបៀបដែលដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតអាចជំរុញលទ្ធផលនៃការស្រាវជ្រាវក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាននៅពេលកាត់ផ្តាច់ចំណេះដឹងរបស់សិស្ស។ ល្អបំផុតមិនតែងតែទទួលបានដោយវិធីសាស្រ្តទទួលយកជាទូទៅចំពោះអាជីវកម្មនោះទេ។ នៅកម្រិត 2x មនុស្សម្នាក់អាចមើលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរធម្មជាតិចាំបាច់ទាំងអស់បានយ៉ាងមានប្រយោជន៍ ប៉ុន្តែសមត្ថភាពក្នុងការគណនាតម្លៃជាលេខនឹងនាំទៅដល់ការបង្កើនចំណេះដឹង។ យោងទៅតាមបច្ចេកទេសណាមួយក្នុងគណិតវិទ្យា មានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងកន្សោមដែលមានលក្ខណៈខុសៗគ្នាដូចជា ភាពដូចគ្នា ឬស្មុគស្មាញ។ ដោយបានអនុវត្តការវិភាគទូទៅនៃការសិក្សាមុខងារ វានឹងក្លាយទៅជាច្បាស់ថាដំណោះស្រាយនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាសំណុំនៃលទ្ធភាពតំណាងឱ្យកំហុសច្បាស់លាស់នៅក្នុងតម្លៃ។ ការពិតនៅក្នុងវាស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះខាងលើបន្ទាត់ abscissa ។ នៅកន្លែងណាមួយនៅក្នុងដែននៃមុខងារស្មុគស្មាញ នៅចំណុចខ្លះក្នុងនិយមន័យរបស់វា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនឹងអាចតំណាងឱ្យចម្លើយក្នុងទម្រង់វិភាគមួយ។ នោះ​គឺ​ជា​ពាក្យ​ទូទៅ​ជា​ខ្លឹមសារ។ គ្មានអ្វីនឹងផ្លាស់ប្តូរនៅពេលផ្លាស់ប្តូរអថេរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យមើលចម្លើយដោយចំណាប់អារម្មណ៍ពិសេស។ តាមការពិត ការគណនាផ្លាស់ប្តូរសមាមាត្រនៅទីបញ្ចប់ នោះគឺជារបៀបដែលដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសមាមាត្រទៅនឹងតម្លៃសកលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងដំណោះស្រាយដែលចង់បាន។ ក្នុងករណីខ្លះ ការព្រមានអំពីកំហុសដ៏ធំគឺមិនអាចជៀសវាងបានទេ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ិនធរណេតអនុវត្តគំនិតទូទៅនៃបញ្ហា ប៉ុន្តែនៅទីបញ្ចប់ អ្នកត្រូវផ្តល់នូវទិដ្ឋភាពវិជ្ជមាននៃផលិតផលឈើឆ្កាងឱ្យបានឆាប់តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ក្នុង​គណិតវិទ្យា ករណី​កំហុស​ក្នុង​ទ្រឹស្ដី​លេខ​មិន​មែន​ជា​រឿង​ចម្លែក​ទេ។ ត្រូវតែពិនិត្យឱ្យបានច្បាស់លាស់។ តាមធម្មជាតិ វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការផ្តល់សិទ្ធិនេះដល់អ្នកជំនាញក្នុងវិស័យរបស់ពួកគេ ហើយវាគឺជាពួកគេដែលនឹងជួយដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត ចាប់តាំងពីបទពិសោធន៍របស់ពួកគេមានច្រើន និងវិជ្ជមាន។ ភាពខុសគ្នាលើផ្ទៃនៃតួលេខ និងផ្ទៃគឺដូចជាវាមិនមែនជាដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមើលឃើញ ប៉ុន្តែសំណុំនៃវត្ថុដែលមិនប្រសព្វគ្នាគឺដូចជាបន្ទាត់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស។ ជាលទ្ធផលអ្នកអាចទទួលបានតម្លៃទ្វេដង។ ដោយមានអត្ថន័យបង្កប់ន័យ គំនិតរបស់យើងអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃសញ្ញាណផ្លូវការផ្តល់នូវសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ ទាំងនៅក្នុងតំបន់មើល និងទាក់ទងនឹងការវាយតម្លៃលើសដោយចេតនានៃគុណភាពនៃលទ្ធផល។ ការពិភាក្សាលើប្រធានបទដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍សម្រាប់សិស្សទាំងអស់ត្រូវបានបោះពុម្ពផ្សាយជាច្រើនដងនៅក្នុងការពិនិត្យឡើងវិញ។ ពេញមួយការសិក្សានៃវគ្គសិក្សាពេញលេញនៃការបង្រៀន យើងនឹងផ្តោតការយកចិត្តទុកដាក់របស់យើងលើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងផ្នែកដែលពាក់ព័ន្ធនៃការសិក្សាវិទ្យាសាស្ត្រ ប្រសិនបើរឿងនេះមិនផ្ទុយពីការពិត។ ដំណាក់កាលជាច្រើនអាចត្រូវបានជៀសវាងនៅដើមដំបូងនៃការធ្វើដំណើរ។ ប្រសិនបើដំណោះស្រាយនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅតែជាមូលដ្ឋាននៃអ្វីដែលថ្មីសម្រាប់សិស្ស នោះរឿងចាស់មិនត្រូវបានគេបំភ្លេចចោលទាល់តែសោះ ប៉ុន្តែការវិវត្តន៍ទៅអនាគតក្នុងអត្រាខ្ពស់នៃការអភិវឌ្ឍន៍។ ដំបូង លក្ខខណ្ឌ​សម្រាប់​បញ្ហា​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​ខុសគ្នា ប៉ុន្តែ​នេះ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ក្នុង​កថាខណ្ឌ​ខាងស្ដាំ។ បន្ទាប់ពីការផុតកំណត់នៃពេលវេលាដែលបានបញ្ជាក់ដោយនិយមន័យ លទ្ធភាពនៃលទ្ធផលអាស្រ័យសមាមាត្រនៅលើយន្តហោះផ្សេងគ្នានៃចលនារបស់វ៉ិចទ័រមិនត្រូវបានច្រានចោលទេ។ ករណីសាមញ្ញបែបនេះត្រូវបានកែដំរូវតាមវិធីដូចគ្នាដែលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរត្រូវបានពិពណ៌នានៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខក្នុងទម្រង់ទូទៅ ដូច្នេះវានឹងកាន់តែលឿន ហើយអុហ្វសិតនៃការគណនានឹងមិននាំឱ្យមានការយល់ឃើញខុសនោះទេ។ មានតែករណីចំនួន 5 ដែលដាក់ឈ្មោះតាមទ្រឹស្តីប៉ុណ្ណោះដែលអាចរុញច្រានព្រំដែននៃអ្វីដែលកំពុងកើតឡើង។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់យើងនឹងជួយគណនាតម្លៃដោយដៃជាលេខរួចហើយនៅដំណាក់កាលដំបូងនៃការបំបែកលំហមុខងារ។ នៅកន្លែងត្រឹមត្រូវវាចាំបាច់ដើម្បីបង្ហាញចំណុចនៃទំនាក់ទំនងនៃបន្ទាត់ទាំងបួនក្នុងន័យទូទៅ។ ប៉ុន្តែ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​ត្រូវ​បង្ខំ​ចេញ​កិច្ចការ​នោះ វា​នឹង​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​គណនា​ភាពស្មុគស្មាញ។ ទិន្នន័យដំបូងគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីរចនាជើងដែលនៅជាប់គ្នា ហើយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតមើលទៅតម្រឹមឆ្វេង ហើយផ្ទៃម្ខាងត្រូវបានតម្រង់ឆ្ពោះទៅរកវ៉ិចទ័រ rotor ។ លើសពីដែនកំណត់ខាងលើ តម្លៃជាលេខអាចធ្វើទៅបានលើសពីលក្ខខណ្ឌដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីរូបមន្តគណិតវិទ្យានិងដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតដោយសារតែការមិនស្គាល់ចំនួនបីនៅក្នុងតម្លៃទូទៅនៃសមាមាត្រ។ វិធីសាស្ត្រគណនាក្នុងស្រុកត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាត្រឹមត្រូវ។ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេមានរាងចតុកោណកែងក្នុងចលនាដែលទាក់ទងនៃយន្តហោះ។ ដំណោះស្រាយតាមអ៊ិនធរណេតទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីធ្វើការសន្និដ្ឋានដោយមិនច្បាស់លាស់នៅក្នុងការពេញចិត្តនៃការគណនាតាមនិយមន័យម៉ាទ្រីសនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ទាំងមូលដែលមានទីតាំងនៅខាងលើក្រាហ្វនៃមុខងារដែលបានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់។ ដំណោះ​ស្រាយ​ត្រូវ​បាន​គេ​មើល​ឃើញ​តាម​រយៈ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​អនុវត្ត​វ៉ិចទ័រ​ចលនា​ទៅ​ចំណុច​នៃ​ទំនាក់ទំនង​នៃ​អឌ្ឍគោល​ទាំង​បី។ ស៊ីឡាំងត្រូវបានទទួលដោយការបង្វិលចតុកោណកែងជុំវិញចំហៀង ហើយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរអាចបង្ហាញទិសដៅនៃចលនានៃចំណុចនេះបើយោងតាមកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃច្បាប់នៃចលនារបស់វា។ ទិន្នន័យដំបូងគឺត្រឹមត្រូវ ហើយបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាអាចផ្លាស់ប្តូរគ្នាបានក្រោមលក្ខខណ្ឌសាមញ្ញមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយសារកាលៈទេសៈ ដោយមើលឃើញពីភាពស្មុគស្មាញនៃបញ្ហារងនៃការកំណត់ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធ្វើឱ្យដំណើរការនៃចន្លោះលេខដែលបានគណនានៅកម្រិតនៃលំហបីវិមាត្រ។ វាងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់បើមិនដូច្នេះទេ ប៉ុន្តែវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីជៀសវាងវាដូចជានៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ចំណុចខាងក្រោមត្រូវបានផ្តល់ជូន៖ នៅពេលដែលបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់សាមញ្ញ កិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងដ៏អស្ចារ្យបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាននៅលើផ្នែកនៃសិស្សគួរតែត្រូវបានពង្រីកទៅវា។ បន្ទាត់ត្រួតលើគ្នាធ្លាក់ចូលទៅក្នុងអុហ្វសិត។ ដំណោះស្រាយឌីផេរ៉ង់ស្យែល Pro នៅតែបន្តអត្ថប្រយោជន៍នៃវិធីសាស្ត្រដែលបាននិយាយនៅលើបន្ទាត់កោង។ ប្រសិនបើអ្នកទទួលស្គាល់ដំបូងមិនមែនជាអ្វីដែលអ្នកត្រូវការទេ នោះរូបមន្តគណិតវិទ្យានឹងបង្កើតតម្លៃថ្មីនៃកន្សោម។ គោលដៅគឺជាវិធីសាស្រ្តដ៏ល្អប្រសើរក្នុងការដោះស្រាយកិច្ចការដែលកំណត់ដោយសាស្រ្តាចារ្យ។ អ្នកមិនគួរសន្មត់ថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរក្នុងទម្រង់សាមញ្ញនឹងលើសពីលទ្ធផលដែលរំពឹងទុកនោះទេ។ យើងដាក់វ៉ិចទ័របីលើផ្ទៃដែលមានសមាសភាពជាក់លាក់។ orthogonal ទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។ តោះគណនាផលិតផល។ ចូរយើងអនុវត្តការបន្ថែមនិមិត្តសញ្ញាមួយចំនួនធំ ហើយសរសេរអថេរទាំងអស់នៃអនុគមន៍ពីកន្សោមលទ្ធផល។ មានសមាមាត្រ។ សកម្មភាពជាច្រើននៅមុនចុងបញ្ចប់នៃការគណនានឹងមិនផ្តល់ចម្លើយមិនច្បាស់លាស់ចំពោះដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលភ្លាមៗនោះទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីពេលវេលាដែលបានបែងចែកបានកន្លងផុតទៅតាមបណ្តោយអ័ក្ស y ។ នៅខាងឆ្វេងនៃចំណុចមិនជាប់និយតកម្ម ដែលផ្តល់ឱ្យដោយប្រយោលពីមុខងារ យើងគូរអ័ក្សអ័រតូហ្គោនទៅវ៉ិចទ័រដែលកើនឡើងល្អបំផុត ហើយដាក់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតតាមតម្លៃព្រំដែនតិចបំផុតនៃព្រំដែនទាបនៃវត្ថុគណិតវិទ្យា។ ចូរយើងបន្ថែមអាគុយម៉ង់បន្ថែមនៅក្នុងតំបន់បំបែកនៃអនុគមន៍។ នៅខាងស្ដាំនៃចំនុចនៃបន្ទាត់កោង រូបមន្តដែលសរសេរដោយពួកយើងសម្រាប់កាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងធម្មតានឹងជួយដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ វិធីសាស្រ្តត្រឹមត្រូវតែមួយគត់គឺវិធីមួយដែលនឹងបំភ្លឺលើបញ្ហាដែលមិនទាន់ដោះស្រាយពីទ្រឹស្តីទៅការអនុវត្ត ក្នុងករណីទូទៅយ៉ាងច្បាស់។ បន្ទាត់ក្នុងទិសដៅនៃកូអរដោណេនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនដែលបិទទីតាំងខ្លាំងនៃការ៉េនោះទេ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតនឹងជួយទាំងសិស្ស និងពួកយើង ហើយគ្រាន់តែជាអ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងក្នុងវិស័យនេះក្នុងការសិក្សាគណិតវិទ្យា។ យើងកំពុងនិយាយអំពីលទ្ធភាពនៃការជំនួសអាគុយម៉ង់តម្លៃទៅក្នុងបន្ទាត់រងសំខាន់ៗទាំងអស់នៃវាលមួយ។ ជាគោលការណ៍ ដូចដែលគេរំពឹងទុក សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែររបស់យើងគឺជាអ្វីដែលដាច់ដោយឡែកពីគ្នានៅក្នុងគោលគំនិតតែមួយនៃអត្ថន័យកាត់បន្ថយ។ ដើម្បីជួយសិស្ស សេវាដ៏ល្អបំផុតមួយក្នុងចំណោមសេវាកម្មស្រដៀងគ្នាគឺម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ ឆ្លងកាត់វគ្គសិក្សាទាំងអស់ ហើយជ្រើសរើសជម្រើសដ៏ល្អបំផុតសម្រាប់អ្នក។

=

ជាញឹកញាប់គ្រាន់តែជាការលើកឡើង សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធ្វើឱ្យសិស្សមិនស្រួល។ ហេតុអ្វីបានជារឿងនេះកើតឡើង? ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ ដោយសារតែនៅពេលសិក្សាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃសម្ភារៈ គម្លាតនៃចំណេះដឹងកើតឡើង ដោយសារតែការសិក្សាបន្ថែមអំពីភាពខុសគ្នាក្លាយជាការធ្វើទារុណកម្ម។ គ្មាន​អ្វី​ច្បាស់​លាស់​ថា​ត្រូវ​ធ្វើ​យ៉ាង​ណា​ទើប​សម្រេច​ចិត្ត​ចាប់​ផ្តើម​ពី​ណា?

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងព្យាយាមបង្ហាញអ្នកថា ការបែកខ្ញែកមិនពិបាកដូចដែលវាហាក់ដូចជានោះទេ។

គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ពីសាលា យើងដឹងពីសមីការសាមញ្ញបំផុត ដែលយើងត្រូវស្វែងរក x ដែលមិនស្គាល់។ តាមពិតទៅ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចពីពួកគេ - ជំនួសឱ្យអថេរ X ពួកគេត្រូវការស្វែងរកមុខងារ y(x) ដែលនឹងប្រែក្លាយសមីការទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

ឃ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានសារៈសំខាន់ជាក់ស្តែង។ នេះ​មិន​មែន​ជា​គណិតវិទ្យា​អរូបី​ដែល​គ្មាន​អ្វី​ពាក់ព័ន្ធ​នឹង​ពិភពលោក​ជុំវិញ​ខ្លួន​យើង​នោះ​ទេ។ ដោយមានជំនួយពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដំណើរការធម្មជាតិពិតជាច្រើនត្រូវបានពិពណ៌នា។ ឧទាហរណ៍ ការរំញ័រខ្សែអក្សរ ចលនានៃលំយោលអាម៉ូនិក ដោយមធ្យោបាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្នុងបញ្ហានៃមេកានិច ស្វែងរកល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿននៃរាងកាយ។ ផងដែរ។ ឌូត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងជីវវិទ្យា គីមីវិទ្យា សេដ្ឋកិច្ច និងវិទ្យាសាស្ត្រជាច្រើនទៀត។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ឌូ) គឺជាសមីការដែលមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ y(x) មុខងារខ្លួនវា អថេរឯករាជ្យ និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្សេងទៀតនៅក្នុងបន្សំផ្សេងៗ។

មានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាច្រើនប្រភេទ៖ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងមិនមែនលីនេអ៊ែរ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងមិនដូចគ្នា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទីមួយ និងខ្ពស់ជាង សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក និងដូច្នេះនៅលើ។

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាមុខងារដែលប្រែវាទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ។ មានដំណោះស្រាយទូទៅ និងពិសេសនៃការបញ្ជាពីចម្ងាយ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាសំណុំទូទៅនៃដំណោះស្រាយដែលបង្វែរសមីការទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ។ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាដំណោះស្រាយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌបន្ថែមដែលបានបញ្ជាក់ដំបូង។

លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់ដោយលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃនិស្សន្ទវត្ថុដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។គឺជាសមីការដែលមានអថេរឯករាជ្យមួយ។

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុតនៃលំដាប់ទីមួយ។ វា​ដូចជា:

សមីការនេះអាចដោះស្រាយបានដោយគ្រាន់តែបញ្ចូលផ្នែកខាងស្តាំរបស់វា។

ឧទាហរណ៍នៃសមីការបែបនេះ៖

សមីការអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

ជាទូទៅ សមីការប្រភេទនេះមើលទៅដូចនេះ៖

នេះជាឧទាហរណ៍៖

ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះ អ្នកត្រូវបំបែកអថេរ ដោយនាំវាទៅជាទម្រង់៖

បន្ទាប់ពីនោះវានៅសល់ដើម្បីរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនិងទទួលបានដំណោះស្រាយ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ

សមីការបែបនេះមានទម្រង់៖

នៅទីនេះ p(x) និង q(x) គឺជាមុខងារមួយចំនួននៃអថេរឯករាជ្យ ហើយ y = y(x) គឺជាមុខងារដែលត្រូវការ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការបែបនេះ៖

ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះ ភាគច្រើនពួកគេប្រើវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត ឬតំណាងឱ្យអនុគមន៍ដែលចង់បានជាផលិតផលនៃអនុគមន៍ពីរផ្សេងទៀត y(x)=u(x)v(x) ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះ ការរៀបចំជាក់លាក់មួយគឺត្រូវបានទាមទារ ហើយវានឹងពិបាកណាស់ក្នុងការយកពួកវា "តាមចិត្ត"។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយ DE ជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

ដូច្នេះ​យើង​បាន​ចាត់​ទុក​ប្រភេទ​សាមញ្ញ​បំផុត​នៃ​ការ​បញ្ជា​ពី​ចម្ងាយ។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។ សូមឱ្យវាក្លាយជាសមីការជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

ជាដំបូង យើងសរសេរឡើងវិញនូវនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងទម្រង់ដែលធ្លាប់ស្គាល់៖

បន្ទាប់មកយើងនឹងបំបែកអថេរ ពោលគឺនៅក្នុងផ្នែកមួយនៃសមីការ យើងនឹងប្រមូល "ហ្គេម" ទាំងអស់ ហើយនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀត - "xes":

ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរ:

យើងរួមបញ្ចូល និងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការនេះ៖

ជាការពិតណាស់ ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាសិល្បៈមួយប្រភេទ។ អ្នកត្រូវតែអាចយល់ថាតើសមីការប្រភេទណាជាកម្មសិទ្ធិ ហើយក៏រៀនមើលថាតើការបំប្លែងអ្វីខ្លះដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីធ្វើជាមួយវា ដើម្បីនាំវាទៅជាទម្រង់មួយ ឬទម្រង់ផ្សេងទៀត មិនមែននិយាយពីសមត្ថភាពក្នុងការបែងចែក និងរួមបញ្ចូលនោះទេ។ ហើយវាត្រូវការការអនុវត្ត (ដូចអ្វីៗទាំងអស់) ដើម្បីជោគជ័យក្នុងការដោះស្រាយ DE ។ ហើយប្រសិនបើនៅពេលនេះ អ្នកមិនមានពេលវេលាដើម្បីស្វែងយល់ពីរបៀបដែលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានដោះស្រាយ ឬបញ្ហា Cauchy បានកើនឡើងដូចឆ្អឹងនៅក្នុងបំពង់ករបស់អ្នក ឬអ្នកមិនដឹង សូមទាក់ទងអ្នកនិពន្ធរបស់យើង។ ក្នុងពេលដ៏ខ្លី យើងនឹងផ្តល់ជូនអ្នកនូវដំណោះស្រាយដែលត្រៀមរួចជាស្រេច និងលម្អិត ព័ត៌មានលម្អិតដែលអ្នកអាចយល់បានគ្រប់ពេលវេលាដែលងាយស្រួលសម្រាប់អ្នក។ ក្នុងពេលនេះ យើងស្នើឱ្យមើលវីដេអូលើប្រធានបទ "របៀបដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល"៖

អត្ថបទនេះគឺជាចំណុចចាប់ផ្តើមក្នុងការសិក្សាអំពីទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ នៅទីនេះត្រូវបានប្រមូលនូវនិយមន័យ និងគោលគំនិតសំខាន់ៗដែលនឹងបង្ហាញជានិច្ចនៅក្នុងអត្ថបទ។ ដើម្បីឱ្យមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងការយល់ដឹងកាន់តែប្រសើរ និយមន័យត្រូវបានផ្តល់ជាឧទាហរណ៍។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (DE)- នេះគឺជាសមីការដែលរួមបញ្ចូលមុខងារមិនស្គាល់មួយនៅក្រោមសញ្ញានៃដេរីវេ ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ប្រសិនបើអនុគមន៍មិនស្គាល់គឺជាមុខងារនៃអថេរមួយ នោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតា។(អក្សរកាត់ ODE - សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា) ។ ប្រសិនបើមុខងារមិនស្គាល់គឺជាមុខងារនៃអថេរជាច្រើន នោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក.

លំដាប់អតិបរិមានៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មិនស្គាល់ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល.

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃ ODE នៃការបញ្ជាទិញទីមួយ ទីពីរ និងទីប្រាំ រៀងគ្នា។

ជាឧទាហរណ៍នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ យើងធ្វើបទបង្ហាញ

លើសពីនេះ យើងនឹងពិចារណាតែសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតានៃលំដាប់ទី 9 នៃទម្រង់ ឬ ដែលជាកន្លែងដែល Ф(x, y) = 0 គឺជាមុខងារមិនស្គាល់ដែលបានកំណត់ដោយប្រយោល (នៅពេលដែលអាចធ្វើទៅបាន យើងនឹងសរសេរវាដោយតំណាងឱ្យច្បាស់លាស់ y = f(x))។

ដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា ការរួមបញ្ចូលនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល.

ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាអនុគមន៍ Ф(x, y) = 0 (ក្នុងករណីខ្លះ អនុគមន៍ y អាចត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអាគុយម៉ង់ x) ដែលប្រែសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ។

ចំណាំ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតែងតែត្រូវបានស្វែងរកនៅលើចន្លោះ X ដែលបានកំណត់ទុកជាមុន។

ហេតុអ្វីបានជាយើងនិយាយអំពីរឿងនេះដាច់ដោយឡែក? បាទ / ចាសព្រោះនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាជាច្រើនចន្លោះពេល X មិនត្រូវបានលើកឡើងទេ។ នោះគឺជាលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាជាធម្មតាត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោមៈ "ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា "។ ក្នុងករណីនេះ គេយល់ថាដំណោះស្រាយគួរតែត្រូវបានស្វែងរកសម្រាប់ x ទាំងអស់ ដែលទាំងអនុគមន៍ដែលចង់បាន y និងសមីការដើមមានអត្ថន័យ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានសំដៅជាញឹកញាប់ថាជា អាំងតេក្រាលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល.

អនុគមន៍ ឬអាចហៅថាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយមួយក្នុងចំណោមដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺមុខងារ។ ជាការពិត ការជំនួសមុខងារនេះទៅក្នុងសមីការដើម យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ . វាជាការងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញថាដំណោះស្រាយមួយផ្សេងទៀតចំពោះ ODE នេះគឺឧទាហរណ៍ . ដូច្នេះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាចមានដំណោះស្រាយជាច្រើន។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាសំណុំនៃដំណោះស្រាយដែលមានដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះដោយគ្មានករណីលើកលែង។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅផងដែរ។ អាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល.

ចូរយើងត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍។ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានទម្រង់ ឬ ដែល C ជាថេរតាមអំពើចិត្ត។ ខាងលើ យើងបានបង្ហាញដំណោះស្រាយពីរចំពោះ ODE នេះ ដែលទទួលបានពីអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដោយជំនួស C = 0 និង C = 1 រៀងគ្នា។

ប្រសិនបើដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបំពេញលក្ខខណ្ឌបន្ថែមដែលបានផ្តល់ឱ្យដំបូងនោះ វាត្រូវបានហៅ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល.

ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ y(1)=1 គឺ . ពិតជា និង .

បញ្ហាចម្បងនៃទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺបញ្ហា Cauchy បញ្ហាតម្លៃព្រំដែន និងបញ្ហានៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅលើចន្លោះពេល X ណាមួយ។

បញ្ហារសើបគឺជាបញ្ហានៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញចិត្តដែលបានផ្តល់ឱ្យ លក្ខខណ្ឌដំបូងតើលេខនៅឯណា។

បញ្ហាព្រំដែនគឺជាបញ្ហានៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌបន្ថែមនៅចំណុចព្រំដែន x 0 និង x 1៖
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1 ដែល f 0 និង f 1 ត្រូវបានផ្តល់លេខ។

បញ្ហាតម្លៃព្រំដែនត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ បញ្ហាតម្លៃព្រំដែន.

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតានៃលំដាប់ទី 0 ត្រូវបានគេហៅថា លីនេអ៊ែរប្រសិនបើវាមានទម្រង់ ហើយមេគុណគឺជាមុខងារបន្តនៃអាគុយម៉ង់ x នៅលើចន្លោះពេលរួមបញ្ចូល។

ទាំង​បាន​ដោះស្រាយ​រួច​ហើយ​ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង​និស្សន្ទវត្ថុ ឬ​គេ​អាច​ដោះស្រាយ​ដោយ​គោរព​តាម​និស្សន្ទវត្ថុ .

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃប្រភេទនៅលើចន្លោះពេល Xដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានរកឃើញដោយយកអាំងតេក្រាលនៃភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះ។

ទទួលបាន .

ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ យើងរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅដែលចង់បាន៖

y = F(x) + C,

កន្លែងណា F(x)- មួយនៃ antiderivatives នៃមុខងារ f(x)នៅក្នុង​ចន្លោះ X, ក ជាមួយគឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន។

សូមចំណាំថានៅក្នុងកិច្ចការភាគច្រើនមានចន្លោះពេល Xមិនចង្អុលបង្ហាញ។ នេះមានន័យថាដំណោះស្រាយត្រូវតែស្វែងរកសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។ xសម្រាប់ការដែលនិងមុខងារដែលចង់បាន yហើយសមីការដើមមានអត្ថន័យ។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវគណនាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y(x0) = y0បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីគណនាអាំងតេក្រាលទូទៅ y = F(x) + Cវានៅតែចាំបាច់ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃថេរ C=C0ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌដំបូង។ នោះគឺថេរ C=C0កំណត់ពីសមីការ F(x 0) + C = y 0ហើយដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលចង់បាននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងមានទម្រង់៖

y = F(x) + C0.

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផល។ ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការនេះដែលនឹងបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។

ការសម្រេចចិត្ត៖

បន្ទាប់ពីយើងរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងទទួលបាន:

.

យើង​យក​អាំងតេក្រាល​នេះ​តាម​វិធី​ផ្សំ​ដោយ​ផ្នែក៖

នោះ., គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

តោះ​ពិនិត្យ​មើល​ដើម្បី​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​លទ្ធផល​គឺ​ត្រឹមត្រូវ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសដំណោះស្រាយដែលយើងបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

.

នោះគឺនៅ សមីការដើមប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ៖

ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់យ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

ដំណោះស្រាយដែលយើងបានរកឃើញគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់តម្លៃពិតនីមួយៗនៃអាគុយម៉ង់ x.

វានៅសល់ដើម្បីគណនាដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃ ODE ដែលនឹងបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាតម្លៃនៃថេរ ជាមួយដែលសមភាពនឹងជាការពិត៖

.

.

បន្ទាប់មកជំនួស គ = ២នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃ ODE យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង៖

.

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ អាចត្រូវបានដោះស្រាយទាក់ទងនឹងដេរីវេដោយបែងចែក 2 ផ្នែកនៃសមីការដោយ f(x). ការផ្លាស់ប្តូរនេះនឹងស្មើនឹងប្រសិនបើ f(x)មិនទៅសូន្យសម្រាប់អ្វីទាំងអស់។ xពីចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូលនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល X.

ស្ថានភាពទំនងជានៅពេលដែលសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអាគុយម៉ង់ x ∈ Xមុខងារ f(x)និង g(x)បង្វែរទៅសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ សម្រាប់តម្លៃស្រដៀងគ្នា xដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាមុខងារណាមួយ។ yដែលត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងពួកគេដោយសារតែ .

ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអាគុយម៉ង់ x ∈ Xលក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត ដែលមានន័យថាក្នុងករណីនេះ ODE មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

សម្រាប់អ្នកផ្សេងទៀតទាំងអស់។ xពីចន្លោះពេល Xដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់ពីសមីការបំប្លែង។

តោះមើលឧទាហរណ៍៖

ឧទាហរណ៍ ១

ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃ ODE៖ .

ការសម្រេចចិត្ត។

ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បឋមសិក្សា វាច្បាស់ណាស់ថាអនុគមន៍លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃមិនអវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់ ដូច្នេះដែននៃកន្សោម កំណត់ហេតុ(x+3)មានចន្លោះពេល x > -3 . ដូច្នេះ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យមានអត្ថន័យ x > -3 . ជាមួយនឹងតម្លៃទាំងនេះនៃអាគុយម៉ង់កន្សោម x + ៣មិនរលាយបាត់ទេ ដូច្នេះគេអាចដោះស្រាយ ODE ទាក់ទងនឹងដេរីវេដោយបែងចែក 2 ផ្នែកដោយ x + ៣.

យើង​ទទួល​បាន .

បន្ទាប់មក យើងបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលទ្ធផល ដែលដោះស្រាយដោយគោរពតាមដេរីវេ៖ . ដើម្បី​យក​អាំងតេក្រាល​នេះ យើង​ប្រើ​វិធីសាស្ត្រ​នៃ​ការ​បញ្ចូល​ក្រោម​សញ្ញា​នៃ​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល។