លេខពិត II
§ 46 ការបន្ថែមចំនួនពិត
រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងអាចបន្ថែមលេខសមហេតុផលទៅគ្នាទៅវិញទៅមកប៉ុណ្ណោះ។ ដូចដែលយើងដឹងហើយថា
ប៉ុន្តែអ្វីដែលជាអត្ថន័យនៃផលបូកនៃចំនួនពីរ ដែលយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនសមហេតុផល យើងនៅតែមិនដឹងរឿងនេះ។ ឥឡូវនេះយើងត្រូវកំណត់អ្វីដែលមានន័យដោយផលបូក α + β ចំនួនពិតតាមអំពើចិត្តពីរ α និង β .
ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាលេខ 1/3 និង √2។ ចូរតំណាងឱ្យពួកគេក្នុងទម្រង់នៃប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់
1 / 3 = 0,33333...;
√2 =1,41421... .
ជាដំបូង យើងបន្ថែមខ្ទង់ទសភាគដែលត្រូវគ្នានៃលេខទាំងនេះដោយមានគុណវិបត្តិ។ ការប៉ាន់ស្មានទាំងនេះ ដូចដែលបានកត់សម្គាល់នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកមុនគឺ ហេតុផលលេខ។ ហើយយើងដឹងពីរបៀបបន្ថែមលេខបែបនេះរួចហើយ៖
0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................
បន្ទាប់មកយើងបន្ថែមខ្ទង់ទសភាគដែលត្រូវគ្នានៃលេខទាំងនេះដោយលើស៖
1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................
វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ * ថាមាន លើសពីនេះទៅទៀត ចំនួនពិតតែមួយគត់ γ ដែលធំជាងផលបូកទាំងអស់នៃចំនួនប្រហាក់ប្រហែលទសភាគនៃលេខ 1/3 និង √2 ដែលមានគុណវិបត្តិ ប៉ុន្តែតិចជាងផលបូកសរុបនៃចំនួនប្រហាក់ប្រហែលទសភាគនៃលេខទាំងនេះជាមួយនឹងចំនួនលើស៖
* ភស្តុតាងដ៏តឹងរឹងនៃការពិតនេះគឺហួសពីវិសាលភាពនៃកម្មវិធីរបស់យើង ដូច្នេះហើយមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅទីនេះទេ។
1 < γ < 3
1,7 < γ < 1,9
1,74 < γ < 1,76
1,747 < γ < 1,749
1,7475 < γ < 1,7477
1,74754 < γ < 1,74756
តាមនិយមន័យលេខនេះ។ γ ហើយត្រូវបានគេយកជាផលបូកនៃលេខ 1/3 និង √2៖
γ = 1 / 3 + √2
វាច្បាស់ណាស់។ γ = 1,7475....
ផលបូកនៃចំនួនពិតវិជ្ជមានផ្សេងទៀត យ៉ាងហោចណាស់មួយដែលមិនសមហេតុផល អាចត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា។ ខ្លឹមសារនៃបញ្ហានឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ បើទោះបីជាពាក្យមួយក្នុងចំនោមពាក្យ និងប្រហែលជាទាំងពីរគឺអវិជ្ជមានក៏ដោយ។
ដូច្នេះ ប្រសិនបើលេខ α និង β គឺសមហេតុផល បន្ទាប់មកផលបូករបស់ពួកគេត្រូវបានរកឃើញដោយច្បាប់នៃការបន្ថែមចំនួនសនិទាន(សូមមើល§ 36) ។
ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺមិនសមហេតុផលនោះផលបូក α + β ចំនួនពិតត្រូវបានគេហៅថាដែលធំជាងផលបូកទាំងអស់នៃចំនួនប្រហាក់ប្រហែលទសភាគដែលត្រូវគ្នានៃលេខទាំងនេះដោយមានគុណវិបត្តិ ប៉ុន្តែតិចជាងផលបូកទាំងអស់នៃចំនួនប្រហាក់ប្រហែលទសភាគដែលត្រូវគ្នានៃលេខទាំងនេះជាមួយនឹងចំនួនលើស។.
សកម្មភាពនៃការបន្ថែមដូច្នេះបានកំណត់ដោយគោរពតាមច្បាប់ពីរដូចខាងក្រោមៈ
1) ច្បាប់ផ្លាស់ប្តូរ៖
α + β = β + α
2) ច្បាប់សមាគម
(α + β ) + γ = α + (β + γ ).
យើងនឹងមិនបញ្ជាក់រឿងនេះទេ។ សិស្សអាចធ្វើវាបានដោយខ្លួនឯង។ យើងគ្រាន់តែចំណាំថានៅក្នុងភ័ស្តុតាង យើងនឹងត្រូវប្រើការពិតដែលយើងស្គាល់រួចមកហើយ៖ ការបន្ថែមលេខសនិទានភាពគឺស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ផ្លាស់ប្តូរ និងសមាគម (សូមមើល§ 36) ។
លំហាត់
327. បង្ហាញចំនួនទាំងនេះជាប្រភាគទសភាគ ដែលបង្ហាញយ៉ាងហោចណាស់បីខ្ទង់ត្រឹមត្រូវបន្ទាប់ពីរវល់៖
ក) √2 + √3 ; ឃ) √2 + (- √3 ) g) 3/4 + (-√5 );
ខ) √2 + 5/8; e) (− 1/3) + √5 h) 1/3 + √2 + √3។
គ) (-√2) + √3; f) 11/9 + (- √5);
328. ស្វែងរកចំនួនប្រហាក់ប្រហែលទសភាគដំបូង (ដោយមាន និងគ្មានលើស) សម្រាប់ចំនួនពិត៖
ក) 1/2 + √7 ខ) √3 + √7 គ) √3 + (-√7)
329. បន្តពីនិយមន័យនៃផលបូកនៃចំនួនពិត បង្ហាញថាសម្រាប់លេខណាមួយ។ α
α + (- α ) = 0.
330. តើផលបូកនៃប្រភាគដែលមិនមានកំណត់ចំនួនពីរ តែងតែជាប្រភាគដែលមិនមែនជាតាមកាលកំណត់? ពន្យល់ចម្លើយជាមួយឧទាហរណ៍។
និយមន័យ
សំណុំនៃចំនួនពិត គឺជាការរួបរួមនៃសំណុំនៃចំនួនសនិទានភាព និងមិនសមហេតុផល។ លិខិត រគឺជាសញ្ញាណសម្រាប់សំណុំដែលកំពុងពិចារណា។ មួយបាច់ រត្រូវបានតំណាងដោយចន្លោះពេលនៃទម្រង់ (- ∞ ; + ∞) ។
មតិយោបល់
គួរកត់សម្គាល់ថាចំនួនសនិទានភាពណាមួយតែងតែអាចយកទម្រង់នៃប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ លេខមិនកំណត់នៃប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ ដោយផ្អែកលើការរៀបរាប់ខាងលើ វាធ្វើតាមសំណុំដែលរួមបញ្ចូលតាមកាលកំណត់ និងគ្មានកំណត់ និង ប្រភាគទសភាគដែលមិនមែនជាតាមកាលកំណត់ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ រ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
គំរូធរណីមាត្រនៃចំនួនពិត
បន្ទាត់សំរបសំរួលគឺដោយផ្ទាល់ជាគំរូធរណីមាត្រនៃសំណុំ រ. ដូច្នេះចំនុចនីមួយៗនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេតែងតែអាចភ្ជាប់ជាមួយនឹងចំនួនពិតមួយចំនួន។
ការប្រៀបធៀបចំនួនពិត
ចំនួនពិតអាចត្រូវបានប្រៀបធៀបដោយប្រើគំរូធរណីមាត្រ ឬពួកគេអាចប្រៀបធៀបតាមការវិភាគ។ សូមក្រឡេកមើលការប្រៀបធៀបទាំងពីរ។ លេខពីរត្រូវបានដាក់ដោយចៃដន្យនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ។ កំណត់ថាមួយណាជាងគឺសាមញ្ញណាស់។ លេខធំគឺតែងតែនៅខាងស្ដាំនៃលេខផ្សេងទៀត។
វិភាគកំណត់ថាលេខណាមួយធំជាង ឬតិចជាងលេខណាមួយក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ សម្រាប់នេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកភាពខុសគ្នារវាងលេខទាំងនេះ ហើយបន្ទាប់មកប្រៀបធៀបវាជាមួយសូន្យ។ ប្រសិនបើភាពខុសគ្នាលទ្ធផលនឹងមានសញ្ញាវិជ្ជមាននោះលេខទីមួយ (កាត់បន្ថយដោយភាពខុសគ្នា) នឹងធំជាងលេខទីពីរ (ដកដោយភាពខុសគ្នា); ប្រសិនបើភាពខុសគ្នាមានសញ្ញាអវិជ្ជមាន នោះលេខទីមួយ (កាត់បន្ថយដោយភាពខុសគ្នា) នឹងតិចជាងលេខទីពីរ (ដកដោយភាពខុសគ្នា)។
ខាងក្រោមនេះយើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍ដែលបង្ហាញពីវិធីសាស្រ្តនៃការប្រៀបធៀបទាំងពីរ៖
ឧទាហរណ៍ ១
ប្រៀបធៀបលេខ f r a c 185 និង 4 ។
ដំណោះស្រាយ
ដើម្បីប្រៀបធៀបលេខទាំងនេះ យើងរកឃើញភាពខុសគ្នារវាងលេខទាំងនេះ។
f r a c 185 − 4 = f r a c 185 − f r a c 205 = − f r a c 25 ដោយបានធ្វើប្រតិបត្តិការនេះ យើងឃើញថាភាគបែងក្នុងឧទាហរណ៍នេះគឺ 5។ បន្ទាប់ពីនោះ ដោយផ្អែកលើច្បាប់សម្រាប់ការដកប្រភាគជាមួយភាគបែងដូចគ្នា យើងដកភាគយកនៃប្រភាគទីពីរចេញពីភាគយកនៃប្រភាគទីមួយ ហើយទុកផ្នែក ភាគបែងដូចគ្នា។ ចំណាំថាភាពខុសគ្នារវាងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺអវិជ្ជមានដែលមានន័យថាលេខដំបូង (កាត់បន្ថយ) គឺតិចជាងទីពីរ (ដក) ពោលគឺ f r a c 185< 4 .
ឧទាហរណ៍ ២
ប្រៀបធៀបលេខ f r a c 185 និង 4 ដោយប្រើបន្ទាត់កូអរដោនេ។
ដំណោះស្រាយ
ដើម្បីប្រៀបធៀបលេខទាំងនេះ អ្នកគួរតែកំណត់ទីតាំងនៃចំណុចនៃលេខទាំងនេះនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ។ ទាំងនោះ។ ចំនួនពិតដែលត្រូវបានប្រៀបធៀបនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងកូអរដោនេជាក់លាក់នៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ ពោលគឺលេខ f r a c 185 និង 4 ។ ដំបូង យើងបំប្លែងប្រភាគ frac185 មិនត្រឹមត្រូវ ទៅជាលេខចម្រុះ i.e. យើងជ្រើសរើសផ្នែកចំនួនគត់ ដូច្នេះយើងទទួលបាន 3 f r a c 35 ។
បន្ទាប់មក នៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ សម្គាល់ចំណុចដែលកូអរដោនេនឹងស្មើនឹង 3 f r a c 35 និង 4 ។ f r a c 185 មាន 3 ចំនួនគត់ ដែលមានន័យថាលេខនេះមានទីតាំងនៅខាងឆ្វេងនៃ 4 ។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងរួចមកហើយថាចំនួនតូចជាងស្ថិតនៅខាងឆ្វេង ដោយផ្អែកលើនេះ ការសន្និដ្ឋានណែនាំខ្លួនវាថា f r a c 185< 4 .
វាអាចត្រូវបានសន្និដ្ឋានថា ដោយមិនគិតពីរូបរាងនៃការប្រៀបធៀបចំនួនពិត វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការនព្វន្ធទាំងអស់គឺ បូក ដក គុណ និងចែក។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយមុននឹងធ្វើប្រតិបត្តិការជាមួយលេខពិត មួយគួរតែយកទៅក្នុងគណនីសញ្ញាដំបូងនៃលេខទាំងនេះ i.e. កំណត់ថាតើលេខនីមួយៗវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។
ការបន្ថែមចំនួនពិត
ដើម្បីបន្ថែមលេខពិតពីរដែលមានសញ្ញាដូចគ្នា ដំបូងអ្នកត្រូវតែបន្ថែមម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ ហើយបន្ទាប់មកដាក់សញ្ញាធម្មតារបស់ពួកគេនៅពីមុខផលបូក។ ឧទាហរណ៍:
(+ 8) + (+ 2) = + 10 ; (- 5) + (- 4) = - 9 .
ដើម្បីបន្ថែមចំនួនពិតពីរដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា ជាដំបូងអ្នកគួរតែយកចិត្តទុកដាក់លើសញ្ញានៃលេខ ប្រសិនបើសញ្ញានៃលេខមួយគឺអវិជ្ជមាន នោះលេខនេះគួរតែត្រូវបានដកពីលេខផ្សេងទៀត ប្រសិនបើវិជ្ជមាន - បន្ថែមទៅលេខផ្សេងទៀត។ បន្ទាប់អ្នកត្រូវបន្ថែមឬដកលេខទាំងនេះហើយដាក់សញ្ញានៃម៉ូឌុលធំជាង។ ឧទាហរណ៍
(+ 2) + (- 7) = - 5 ; (+ 10) + (- 4) = + 6 .
ការដកចំនួនពិត
ការដកនៃចំនួនពិតអាចត្រូវបានតំណាងជាការបន្ថែម៖ a - b \u003d a + (- b) នោះគឺដើម្បីដកលេខ b ពីលេខ a វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបន្ថែមលេខទល់មុខនឹងមួយ។ ដកទៅមួយដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយ។
ឧទាហរណ៍៖ (+ 5) - (- 7) = (+ 3) + (+ 7) = 12 ; (+ 6) - (+ 4) = (+ 6) + (- 4) = + 2 ។
គុណនៃចំនួនពិត
ដើម្បីគុណ (ចែក) ចំនួនពិតពីរ អ្នកត្រូវគុណ (ចែក) ម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ។ ហើយបន្ទាប់មកដាក់សញ្ញានៅពីមុខលទ្ធផលដោយយោងទៅតាមច្បាប់នៃសញ្ញាដែលមានក្នុងតារាងខាងក្រោម។
ពេលគុណនិងចែកលេខពិត គួរចងចាំសុភាសិតថា “មិត្តរបស់មិត្តគឺមិត្តរបស់ខ្ញុំ សត្រូវរបស់សត្រូវគឺមិត្តរបស់ខ្ញុំ មិត្តរបស់សត្រូវគឺជាសត្រូវរបស់ខ្ញុំ សត្រូវរបស់មិត្តគឺជារបស់ខ្ញុំ។ សត្រូវ»។
ឧទាហរណ៍:
(+ 2) (+ 7) = + 14 ; (- 2) (+ 6) = - 12 ; (- 2) (- 8) = 16 ;
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើចំនួនពិត (ច្បាប់មូលដ្ឋាននៃពិជគណិត)
នៅក្នុងពិជគណិត មានអ្វីដែលហៅថា ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិត។ ពួកគេស្ទើរតែតែងតែត្រូវបានទទួលយកថាជាការពិត (ករណីនៃភាពមិនពិតនៃច្បាប់ទាំងនេះមិនត្រូវបានពិចារណា) ហើយត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលក្ខណៈសម្បត្តិ-អត្តសញ្ញាណដូចខាងក្រោម៖
- a + b = b + a ;
- (a + b) + c = a + (b + c);
- a + 0 = a ;
- a + (- a) = 0;
- a b = b a ;
- (a b) c = a (b c);
- a (b + c) = a b + a c ;
- a 1 = a;
- a 0 = 0;
- a 1 a = 1 , (a ≠ 0) ។
ទ្រព្យសម្បត្តិ 1 និង 5 បង្ហាញច្បាប់បំប្លែង (ការបំប្លែង) នៃការបូក និងគុណរៀងៗខ្លួន;
ទ្រព្យសម្បត្តិ 2 និង 6 បង្ហាញពីច្បាប់សមាគម (សមាគម);
ទ្រព្យ ៧ - ច្បាប់ចែកចាយ (ការចែកចាយ) នៃគុណដែលទាក់ទងនឹងការបូក;
ទ្រព្យសម្បត្តិ 3 និង 8 ចង្អុលបង្ហាញវត្តមាននៃធាតុអព្យាក្រឹតសម្រាប់ការបូកនិងគុណរៀងគ្នា;
ទ្រព្យសម្បត្តិ 4 និង 10 - សម្រាប់វត្តមាននៃធាតុអព្យាក្រឹតរៀងៗខ្លួន។
ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter
ប្រសិនបើលេខ α មិនអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន $$\frac(p)(q)$$ នោះវាត្រូវបានគេហៅថាមិនសមហេតុផល។
ចំនួនមិនសមហេតុផលត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់។
ការពិតនៃអត្ថិភាពនៃលេខមិនសមហេតុផលនឹងត្រូវបានបង្ហាញដោយឧទាហរណ៍មួយ។
ឧទាហរណ៍ 1.4.1 ។បង្ហាញថាគ្មានលេខសនិទានទេ ដែលការេគឺ 2 ។
ដំណោះស្រាយ។ឧបមាថាមានប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន $$\frac(p)(q)$$ ដូចជា $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
ឬ $$p^(2)=2q^(2)$$ ។ វាធ្វើតាមថា $$p^(2)$$ គឺជាពហុគុណនៃ 2 ហើយដូច្នេះ p គឺជាពហុគុណនៃ 2។ បើមិនដូច្នេះទេ ប្រសិនបើ p មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 ពោលគឺ $$p=2k-1$$ បន្ទាប់មក $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 នោះទេ។ ដូច្នេះហើយ $ $p=2k$$$$$\Rightarrow$$$$p^(2)=4k^(2)$$$$$\Rightarrow$$$$$4k^(2)=2q^(2)$$$$ \rightarrow$$$$q^(2)=2k^(2)$$។
ដោយហេតុថា $$q^(2)$$ គឺជាពហុគុណនៃ 2 បន្ទាប់មក q ក៏ជាពហុគុណនៃ 2 ពោលគឺឧ។ $$q=2m$$។
ដូច្នេះលេខ p និង q មានកត្តារួមគឺលេខ 2 ដែលមានន័យថាប្រភាគ $$\frac(p)(q)$$ ត្រូវបានកាត់បន្ថយ។
ភាពផ្ទុយគ្នានេះមានន័យថា ការសន្មត់ដែលបានធ្វើឡើងគឺមិនពិត ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបញ្ជាក់។
សំណុំនៃលេខសមហេតុផល និងអសមហេតុផលត្រូវបានគេហៅថា សំណុំនៃចំនួនពិត។
នៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនពិត ប្រតិបត្តិការនៃការបូក និងគុណត្រូវបានណែនាំតាម axiomatically៖ លេខពិតទាំងពីរ a និង b ត្រូវបានផ្តល់លេខ $$a+b$$ និងផលិតផល $$a\cdot b$$ ។
លើសពីនេះទៀតទំនាក់ទំនង "ធំជាង", "តិចជាង" និងសមភាពត្រូវបានណែនាំនៅក្នុងសំណុំនេះ:
$$a>b$$ ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើ a - b ជាចំនួនវិជ្ជមាន។
$$a
ចូរយើងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃវិសមភាពលេខ។
1. ប្រសិនបើ $$a>b$$ និង $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$ ។
2. ប្រសិនបើ $$a>b$$ និង $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$។
3. ប្រសិនបើ $$a>b$$ និង $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac
5. ប្រសិនបើ a, b, c, d គឺជាលេខវិជ្ជមានដូចជា $$a>b$$ និង $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$។
ផលវិបាក។ ប្រសិនបើ a និង b ជាលេខវិជ្ជមាន និង $$a>b$$ $$\Rightarrow$$$$a^(2)>b^(2)$$។
6. ប្រសិនបើ $$a>b$$ និង $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$។
7. ប្រសិនបើ $$a>0$$, $$b>0$$ និង $$a>b$$ $$\Rightarrow$$$$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.
ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនពិត។
ចូរយើងយកបន្ទាត់ត្រង់ លីត្រសូមមើលរូបភព។ 1.4.1 និងជួសជុលចំណុច O នៅលើវា - ប្រភពដើម។
ចំណុច O បែងចែកបន្ទាត់ជាពីរផ្នែក - កាំរស្មី។ កាំរស្មីដែលដឹកនាំទៅខាងស្តាំត្រូវបានគេហៅថា កាំរស្មីវិជ្ជមាន ហើយកាំរស្មីដែលដឹកនាំទៅខាងឆ្វេងត្រូវបានគេហៅថា កាំរស្មីអវិជ្ជមាន។ នៅលើបន្ទាត់ត្រង់យើងសម្គាល់ផ្នែកដែលបានយកជាឯកតានៃប្រវែង i.e. បញ្ចូលមាត្រដ្ឋាន។
អង្ករ។ ១.៤.១. ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនពិត។
បន្ទាត់ត្រង់ដែលមានប្រភពដើមដែលបានជ្រើសរើស ទិសដៅវិជ្ជមាន និងមាត្រដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់លេខ។
ចំនុចនីមួយៗនៃបន្ទាត់លេខអាចភ្ជាប់ជាមួយចំនួនពិតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ខាងក្រោម៖
- ចំណុច O នឹងត្រូវបានផ្តល់សូន្យ;
- ចំនុចនីមួយៗ N នៅលើកាំរស្មីវិជ្ជមានត្រូវបានផ្តល់លេខវិជ្ជមាន a ដែល a ជាប្រវែងនៃផ្នែក ON ;
- ចំនុចនីមួយៗ M នៅលើកាំរស្មីអវិជ្ជមានត្រូវបានផ្តល់លេខអវិជ្ជមាន b ដែល $$b=-\left | OM \right |$$ (ប្រវែងនៃផ្នែក OM យកដោយសញ្ញាដក)។
ដូច្នេះការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ចំនួនពិត និងសំណុំនៃចំនួនពិត ពោលគឺឧ។ :
1) ចំណុចនីមួយៗនៅលើបន្ទាត់លេខត្រូវបានផ្តល់ឱ្យមួយហើយមានតែលេខពិតមួយប៉ុណ្ណោះ។
2) ចំណុចផ្សេងគ្នាត្រូវបានកំណត់លេខផ្សេងគ្នា;
3) មិនមានចំនួនពិតតែមួយដែលមិនទាក់ទងទៅនឹងចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់លេខនោះទេ។
ឧទាហរណ៍ 1.4.2 ។នៅលើបន្ទាត់លេខសម្គាល់ចំណុចដែលត្រូវនឹងលេខ៖
1) $$1\frac(5)(7)$$2) $$\sqrt(2)$$3) $$\sqrt(3)$$
ដំណោះស្រាយ។ 1) ដើម្បីសម្គាល់លេខប្រភាគ $$\frac(12)(7)$$ អ្នកត្រូវបង្កើតចំនុចដែលត្រូវនឹង $$\frac(12)(7)$$ ។
ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវបែងចែកផ្នែកនៃប្រវែង 1 ទៅជា 7 ផ្នែកស្មើគ្នា។ យើងដោះស្រាយបញ្ហានេះតាមវិធីនេះ។
យើងគូរកាំរស្មីតាមអំពើចិត្តពី t.O ហើយកំណត់ផ្នែកស្មើគ្នាចំនួន 7 នៅលើកាំរស្មីនេះ។ ទទួលបាន
ផ្នែក OA ហើយពីចំណុច A យើងគូសបន្ទាត់ត្រង់ទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយ 1 ។
អង្ករ។ ១.៤.២. ចែកផ្នែកតែមួយជា ៧ ផ្នែកស្មើៗគ្នា។
បន្ទាត់ត្រង់ដែលគូរស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ A1 ឆ្លងកាត់ផ្នែកខាងចុងនៃផ្នែកដែលបានដាក់ចេញ បែងចែកផ្នែកនៃប្រវែងឯកតាជា 7 ផ្នែកស្មើគ្នា (រូបភាព 1.4.2) ។ នេះធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតចំណុចតំណាងឱ្យលេខ $1\frac(5)(7)$$ (Fig.1.4.3)។
អង្ករ។ ១.៤.៣. ចំណុចនៅលើអ័ក្សលេខដែលត្រូវនឹងលេខ $1\frac(5)(7)$$ ។
2) លេខ $$\sqrt(2)$$ អាចទទួលបានដូចនេះ។ យើងបង្កើតត្រីកោណកែងជាមួយជើងឯកតា។ បន្ទាប់មកប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសគឺ $$\sqrt(2)$$; ផ្នែកនេះត្រូវបានកំណត់ឡែកពី O នៅលើបន្ទាត់លេខ (រូបភាព 1.4.4) ។
3) ដើម្បីបង្កើតចំណុចដាច់ស្រយាលពី PO នៅចម្ងាយ $$\sqrt(3)$$ (ទៅខាងស្តាំ) ចាំបាច់ត្រូវសង់ត្រីកោណមុំខាងស្តាំដែលមានជើងប្រវែង 1 និង $$\sqrt(2) $$ ។ បន្ទាប់មកអ៊ីប៉ូតេនុសរបស់វាមានប្រវែង $$\sqrt(2)$$ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ជាក់ចំណុចដែលចង់បាននៅលើអ័ក្សពិត។
សម្រាប់ចំនួនពិត គោលគំនិតនៃម៉ូឌុល (ឬតម្លៃដាច់ខាត) ត្រូវបានកំណត់។
អង្ករ។ ១.៤.៤. ចំនុចនៅលើអ័ក្សលេខដែលត្រូវនឹងលេខ $$\sqrt(2)$$ ។
ម៉ូឌុលនៃចំនួនពិត a ត្រូវបានគេហៅថា៖
គឺជាលេខខ្លួនឯង ប្រសិនបើ កគឺជាលេខវិជ្ជមាន;
- សូន្យប្រសិនបើ ក- សូន្យ;
– -ក, ប្រសិនបើ ក- លេខអវិជ្ជមាន។
តម្លៃដាច់ខាតនៃលេខមួយ។ កតំណាងដោយ $$\left | មួយ \ សិទ្ធិ |$$ ។
និយមន័យនៃម៉ូឌុល (ឬតម្លៃដាច់ខាត) អាចត្រូវបានសរសេរជា
| $$\ ឆ្វេង | a \right |=\left\(\begin(matrix)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$ | (1.4.1) |
តាមធរណីមាត្រ ម៉ូឌុលនៃលេខ a មានន័យថាចម្ងាយនៅលើបន្ទាត់លេខពីប្រភពដើម O ដល់ចំណុចដែលត្រូវនឹងលេខ ក.
យើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃម៉ូឌុល។
1. សម្រាប់លេខណាមួយ។ កសមភាព $$\left | មួយ \\ ស្តាំ |= ឆ្វេង | -a \ ត្រូវ |$$ ។
2. សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិង ខសមភាពគឺជាការពិត
$$\left | ab \right |=\left| មួយ \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | b \ ត្រូវ |$$; $$\left | \frac(a)(b) \\right |=\frac(\left|a\right|)(\left|b\right|)$$$$(b\neq 0)$$; $$\left | a \right |^(2)=a^(2)$$។
3. សម្រាប់លេខណាមួយ។ កវិសមភាព $$\left | a \right |\geq 0$$ ។
4. សម្រាប់លេខណាមួយ។ កវិសមភាព $$-\left | a\right |\leq a\leq \left | មួយ \ សិទ្ធិ |$$ ។
5. សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិង ខវិសមភាព
$$\ ឆ្វេង | a+b \right |\leq \left | មួយ \\ ស្តាំ | + \\ ឆ្វេង | b \ ត្រូវ |$$
ពិចារណាសំណុំលេខខាងក្រោម។
ប្រសិនបើ $$a
2) ចន្លោះពេល (a; b) គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់។ α
សម្រាប់ការដែលនីមួយៗជាការពិត៖ $$a<\alpha
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អ្នកអាចបញ្ចូលចន្លោះពេលពាក់កណ្តាល។
ក្នុងករណីខ្លះ គេនិយាយអំពី "ចន្លោះ" ដែលមានន័យថាជាកាំរស្មី ឬផ្នែក ឬចន្លោះពេល ឬចន្លោះពេលពាក់កណ្តាល។
មួយបាច់ រលេខពិតទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖ $$(-\infty; \infty)$$ ។
សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ a យើងណែនាំគោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ នពោលគឺ
$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ និង $$a^(1)=a$$ ។
អនុញ្ញាតឱ្យ កគឺជាលេខណាមួយដែលមិនមែនជាសូន្យ បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យ $$a^(0)=1$$ ។
ថាមពលសូន្យមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។
អនុញ្ញាតឱ្យ ក- លេខមិនសូន្យណាមួយ មគឺជាចំនួនគត់។ បន្ទាប់មកលេខ $$a^(m)$$ ត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់៖
$$a^(m)=\left\(\begin(matrix)a, m=1;\\\underbrace(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\in N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(matrix)\right.$$
ត្រង់ណា មត្រូវបានគេហៅថា ដឺក្រេ ដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។
មុននឹងកំណត់គោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តមួយ យើងណែនាំគោលគំនិតនៃឫសនព្វន្ធ។
ដឺក្រេឫសនព្វន្ធ ន (n ∈ N, n > ២) លេខមិនអវិជ្ជមាន កហៅថាលេខមិនអវិជ្ជមាន ខបែបនោះ។ b n = ក. ចំនួន ខតំណាងថា $$b\sqrt[n](a)$$ ។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនព្វន្ធ ( a > 0, b> 0, n, m, k- ចំនួនគត់។ )
| 1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$ | 5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$ |
| 2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$ | 6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$ |
| 3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$ | 7. $$\sqrt(a^(2))=\left | មួយ \ សិទ្ធិ |$$ |
| 4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$ | 8. $$\sqrt(a^(2n))=\left | មួយ \ សិទ្ធិ |$$ |
អនុញ្ញាតឱ្យ ក< 0
, ក នគឺជាចំនួនធម្មជាតិដែលធំជាង 1. ប្រសិនបើ នគឺជាលេខគូ បន្ទាប់មកសមភាព b n = កមិនរក្សាតម្លៃពិតណាមួយឡើយ។ ខ. នេះមានន័យថានៅក្នុងវាលនៃចំនួនពិតវាមិនអាចទៅរួចទេដើម្បីកំណត់ឫសនៃដឺក្រេគូពីចំនួនអវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ នគឺជាលេខសេស បន្ទាប់មកមានលេខពិតតែមួយ ខបែបនោះ។ b n = ក. លេខនេះត្រូវបានតំណាង √n a ហើយត្រូវបានគេហៅថាឫសសេសនៃលេខអវិជ្ជមាន។
ដោយប្រើនិយមន័យនៃការបង្កើនទៅជាចំនួនគត់មួយ និងនិយមន័យនៃឬសនព្វន្ធមួយ យើងផ្តល់និយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រមួយជាមួយនិទស្សន្តនិទស្សន្ត។
អនុញ្ញាតឱ្យ កជាលេខវិជ្ជមាន ហើយ $$r=\frac(p)(q)$$ គឺជាលេខសមហេតុផល ហើយ q- លេខធម្មជាតិ។
លេខវិជ្ជមាន
$$b=\sqrt[q](a^(p))$$
ត្រូវបានគេហៅថាអំណាចនៃ a ជាមួយនិទស្សន្ត r ហើយត្រូវបានតំណាងថាជា
$$b=a^(r)$$, ឬ $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, នៅទីនេះ $$q\in N $$, $$q\geq2$$ ។
ពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល។
អនុញ្ញាតឱ្យ កនិង ខគឺជាលេខវិជ្ជមានណាមួយ r 1 និង r 2 គឺជាលេខសមហេតុផលណាមួយ។ បន្ទាប់មកលក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមគឺពិត៖
| 1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$ | |
| 2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$ | |
| 3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$ | |
| 4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2))))=a^(r_(1)-r_(2))$$ | |
| 5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$ | (1.4.2) |
| 6. $$a^(0)=1$$ | |
| 7. ប្រសិនបើ $$a>1$$ និង $$r_(1)>0\ Rightarrow a^(r_(1))> 1$$ | |
| 8. បើ $0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\ ព្រួញស្ដាំ 0< a^{r_{1}}< 1$$ | |
| 9. ប្រសិនបើ $$a>1$$ និង $$r_(1)>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ | |
| 10. បើ $0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\ ព្រួញស្ដាំ a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ |
គោលគំនិតនៃកម្រិតនៃចំនួនវិជ្ជមានគឺត្រូវបានទូទៅសម្រាប់និទស្សន្តពិតប្រាកដណាមួយ។ α
.
កំណត់កំរិតនៃចំនួនវិជ្ជមាន a ជាមួយនិទស្សន្តពិត α
.
1. ប្រសិនបើ $$\alpha > 0$$ និង
1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Rightarrow a^(\alpha)=\left\(\begin(matrix)a, m=1\\\underbrace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matrix)\right.$$
2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, កន្លែងណា ទំនិង q- លេខធម្មជាតិ $$\Rightarrow a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$
3) α នោះគឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល
ក) ប្រសិនបើ a > 1 បន្ទាប់មក មួយ α- ចំនួនធំជាង r i និងតិចជាង មួយ r k, កន្លែងណា r ខ្ញុំ α
ជាមួយនឹងគុណវិបត្តិមួយ។ r- ការប៉ាន់ស្មានសមហេតុផលនៃចំនួនមួយ។ α
លើស;
ខ) ប្រសិនបើ 0< ក< 1, то មួយ α- ចំនួនធំជាង មួយ r kនិងតិចជាង a r i;
គ) ប្រសិនបើ ក= 1 បន្ទាប់មក a α = 1 ។
2. ប្រសិនបើ $$\alpha=0$$ នោះ α = 1 ។
3. ប្រសិនបើ $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.
ចំនួន មួយ αហៅថា ដឺក្រេ លេខ a ជាគោលនៃដឺក្រេ លេខ α
- និទស្សន្ត។
អំណាចនៃចំនួនវិជ្ជមានដែលមាននិទស្សន្តពិតមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នានឹងថាមពលដែលមាននិទស្សន្តនិទស្សន្ត។
ឧទាហរណ៍ 1.4.3 ។គណនា $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$ ។
ដំណោះស្រាយ។តោះប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិជា root៖
$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$
ចម្លើយ។ ៦.
ឧទាហរណ៍ 1.4.4 ។គណនា $6.25^(1.5)-2.25^(1.5)$$
| 1) 4 | 2) 8 | 3) 8,25 | 4) 12,25 |
1. គំនិតនៃចំនួនមិនសមហេតុផល។ ប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់។ សំណុំនៃចំនួនពិត។
2. ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើចំនួនពិត។ ច្បាប់នៃការបូកនិងគុណ។
3. ផ្នែកបន្ថែមនៃចំនួនវិជ្ជមានពិតទៅសំណុំនៃចំនួនពិត។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសំណុំនៃចំនួនពិត។
4. ចំនួនប្រហាក់ប្រហែល។ ច្បាប់សម្រាប់ការបង្គត់ចំនួនពិត និងសកម្មភាពដែលមានចំនួនប្រហាក់ប្រហែល។ ការគណនាដោយប្រើមីក្រូគណនា។
5. ការរកឃើញសំខាន់ៗ
លេខពិត
ប្រភពមួយនៃរូបរាងនៃប្រភាគទសភាគគឺការបែងចែកលេខធម្មជាតិ មួយទៀតគឺការវាស់វែងបរិមាណ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបដែលប្រភាគទសភាគអាចទទួលបាននៅពេលវាស់ប្រវែងនៃចម្រៀក។
អនុញ្ញាតឱ្យ X- ផ្នែកដែលប្រវែងត្រូវវាស់ អ៊ី- កាត់តែមួយ។ កាត់ប្រវែង Xបញ្ជាក់ដោយអក្សរ Xនិងប្រវែងនៃផ្នែក អ៊ី- សំបុត្រ អ៊ី. អនុញ្ញាតឱ្យផ្នែក Xរួមបញ្ចូល នផ្នែកស្មើនឹង អ៊ី₁ ហើយកាត់ X₁ ដែលខ្លីជាងផ្នែក អ៊ី(រូបភព 130), i.e. ន ∙អ៊ី < X < (ន + 1) ∙អ៊ី. លេខ ននិង ន+1 គឺជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រវែងនៃចម្រៀក Xនៅប្រវែងឯកតា អ៊ីជាមួយនឹងកង្វះនិងលើសពី 1 ។
ដើម្បីទទួលបានចម្លើយដែលមានភាពត្រឹមត្រូវជាងមុន សូមយកផ្នែក អ៊ី₁ គឺជាភាគដប់នៃផ្នែក e ហើយយើងនឹងដាក់វានៅក្នុងផ្នែក X₁ ក្នុងករណីនេះករណីពីរអាចធ្វើទៅបាន។
1) ផ្នែក e₁ សមនឹងផ្នែក X₁ យ៉ាងជាក់លាក់ នម្តង។ បន្ទាប់មកប្រវែង នចម្រៀក Xបង្ហាញជាទសភាគចុងក្រោយ៖ X = (n+n₁\10) ∙E=n, ន₁∙អ៊ី.ឧទាហរណ៍, X= 3.4∙E។
2) កាត់ X₁ ប្រែថាមាន នផ្នែកស្មើនឹង អ៊ី₁ និងផ្នែកមួយ។ X₂ ដែលខ្លីជាងផ្នែក អ៊ី₁ បន្ទាប់មក ន,ន₁∙អ៊ី < X < ន,ន₁ន₁′∙ អ៊ី, កន្លែងណា ន,ន₁ និង ន,ន₁ន₁′ - តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រវែងចម្រៀក Xជាមួយនឹងកង្វះនិងលើសជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 0.1 ។
វាច្បាស់ណាស់ថានៅក្នុងករណីទីពីរដំណើរការនៃការវាស់ប្រវែងនៃចម្រៀកមួយ។ Xអ្នកអាចបន្តដោយយកផ្នែកឯកតាថ្មី។ អ៊ី₂ - ភាគរយនៃផ្នែក អ៊ី.
នៅក្នុងការអនុវត្ត ដំណើរការនៃការវាស់ប្រវែងនៃផ្នែកមួយនេះនឹងបញ្ចប់នៅដំណាក់កាលមួយចំនួន។ ហើយបន្ទាប់មកលទ្ធផលនៃការវាស់ប្រវែងនៃចម្រៀកនឹងជាចំនួនធម្មជាតិ ឬប្រភាគទសភាគចុងក្រោយ។ ប្រសិនបើយើងស្រមៃមើលដំណើរការនៃការវាស់ប្រវែងនៃផ្នែកមួយតាមឧត្ដមគតិ (ដូចដែលពួកគេធ្វើក្នុងគណិតវិទ្យា) នោះលទ្ធផលពីរគឺអាចទៅរួច៖
1) នៅជំហាន k-th ដំណើរការវាស់វែងនឹងបញ្ចប់។ បន្ទាប់មកប្រវែងនៃចម្រៀកនឹងត្រូវបានបង្ហាញជាប្រភាគទសភាគចុងក្រោយនៃទម្រង់ ន,ន₁… ន k
2) ដំណើរការដែលបានពិពណ៌នាសម្រាប់វាស់ប្រវែងនៃផ្នែកមួយ។ Xបន្តដោយគ្មានកំណត់។ បន្ទាប់មករបាយការណ៍អំពីវាអាចត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ន,ន₁… ន k... ដែលត្រូវបានគេហៅថាទសភាគគ្មានកំណត់។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីប្រាកដថាលទ្ធភាពនៃលទ្ធផលទីពីរ? ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីវាស់ប្រវែងនៃផ្នែកបែបនេះដែលវាត្រូវបានគេដឹងថាប្រវែងរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញឧទាហរណ៍ដោយលេខសមហេតុផល 5 ។ ប្រសិនបើវាប្រែថាជាលទ្ធផលនៃការវាស់ប្រវែងនៃផ្នែកបែបនេះ ប្រភាគទសភាគចុងក្រោយត្រូវបានទទួល នោះមានន័យថាលេខ 5 អាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគទសភាគចុងក្រោយ ដែលវាមិនអាចទៅរួចទេ៖ 5 \u003d 5.666 ។ ...
ដូច្នេះ នៅពេលវាស់ប្រវែងនៃចម្រៀក ប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់អាចទទួលបាន។ ប៉ុន្តែតើប្រភាគទាំងនេះតែងតែមានកាលកំណត់ឬ? ចម្លើយចំពោះសំណួរនេះគឺអវិជ្ជមាន៖ មានផ្នែកដែលប្រវែងមិនអាចបង្ហាញដោយប្រភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់ (នោះគឺជាលេខសនិទានភាពវិជ្ជមាន) ជាមួយនឹងឯកតានៃប្រវែងដែលបានជ្រើសរើស។ នេះគឺជារបកគំហើញដ៏សំខាន់បំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដែលវាធ្វើតាមថាចំនួនសនិទានភាពមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីវាស់ប្រវែងនៃចម្រៀក។
ទ្រឹស្តីបទ. ប្រសិនបើឯកតានៃប្រវែងគឺជាប្រវែងនៃផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េ នោះប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េនេះមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយលេខសមហេតុផលវិជ្ជមាននោះទេ។
ភស្តុតាង. សូមឱ្យប្រវែងនៃជ្រុងម្ខាងនៃការ៉េត្រូវបានបង្ហាញដោយលេខ 1។ ឧបមាថាផ្ទុយពីអ្វីដែលត្រូវបញ្ជាក់ ពោលគឺប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូង AC នៃការ៉េ ABCB ត្រូវបានបង្ហាញជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។ បន្ទាប់មក យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ សមភាពនឹងកាន់
1²+1²=។ វាធ្វើតាមពីវាថា m² = 2n² ។ ដូច្នេះ m² គឺជាលេខគូ បន្ទាប់មកលេខ m គឺគូ (ការេនៃចំនួនសេសមិនអាចស្មើ)។ ដូច្នេះ m = 2p ។ ការជំនួសលេខ m ដោយ 2p ក្នុងសមីការ m² = 2n² យើងទទួលបាននោះ 4p² = 2n², i.e. 2p² = n² ។ វាធ្វើតាមថា n² គឺស្មើ ដូច្នេះ n គឺជាលេខគូ។ ដូច្នេះលេខ m និង n គឺគូ ដែលមានន័យថាប្រភាគអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយ 2 ដែលផ្ទុយនឹងការសន្មត់ថាមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។ ភាពផ្ទុយគ្នាដែលបានបង្កើតឡើងបង្ហាញថាប្រសិនបើឯកតានៃប្រវែងគឺជាប្រវែងនៃផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េ នោះប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េនេះមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយលេខសមហេតុផលទេ។
វាធ្វើតាមទ្រឹស្ដីដែលបានបញ្ជាក់ថាមានផ្នែកដែលប្រវែងមិនអាចបង្ហាញដោយលេខវិជ្ជមាន (ជាមួយឯកតាប្រវែងដែលបានជ្រើសរើស) ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត សរសេរជាប្រភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់។ នេះមានន័យថាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ដែលទទួលបានដោយការវាស់ប្រវែងនៃចម្រៀកអាចមិនមានតាមកាលកំណត់។
វាត្រូវបានគេជឿថាប្រភាគទសភាគមិនកំណត់តាមកាលកំណត់គឺជាកំណត់ត្រានៃលេខថ្មី - មិនសមហេតុផលវិជ្ជមានលេខ។ ដោយសារគោលគំនិតនៃចំនួន និងសញ្ញាណរបស់វាត្រូវបានកំណត់ជាញឹកញាប់ ពួកគេនិយាយថាប្រភាគទសភាគដែលមិនមានកំណត់ជាចំនួនមិនសមហេតុផលវិជ្ជមាន។
យើងបានមកដល់គំនិតនៃចំនួនមិនសមហេតុផលវិជ្ជមានតាមរយៈដំណើរការនៃការវាស់ប្រវែងនៃផ្នែក។ ប៉ុន្តែលេខមិនសមហេតុផលក៏អាចទទួលបានដោយការស្រង់ឫសពីលេខសនិទានខ្លះដែរ។ ដូច្នេះ √2, √7, √24 គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល។ មិនសមហេតុផលក៏មាន lg 5, sin 31, លេខ π = 3.14..., អ៊ី= 2.7828... និងផ្សេងៗទៀត។
សំណុំនៃលេខមិនសមហេតុផលវិជ្ជមានត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា J+ ។
ការរួបរួមនៃសំណុំចំនួនពីរ៖ សនិទានភាពវិជ្ជមាន និងអសមហេតុផលវិជ្ជមាន ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំនៃចំនួនពិតវិជ្ជមាន ហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា R+ ។ ដូចនេះ Q+ ∪ J + = R+ ។ ដោយមានជំនួយពីរង្វង់អយល័រ ឈុតទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 131 ។
ចំនួនពិតវិជ្ជមានណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងដោយប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ - តាមកាលកំណត់ (ប្រសិនបើវាសមហេតុផល) ឬមិនមែនតាមកាលកំណត់ (ប្រសិនបើវាមិនសមហេតុផល)។
សកម្មភាពលើចំនួនពិតវិជ្ជមានត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសកម្មភាពលើចំនួនសនិទានវិជ្ជមាន។
ការបូក និងគុណនៃចំនួនពិតវិជ្ជមានមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការផ្លាស់ប្តូរ និងការជាប់ទាក់ទងគ្នា ហើយការគុណគឺជាការចែកចាយទាក់ទងនឹងការបូក និងដក។
ដោយប្រើចំនួនពិតវិជ្ជមាន អ្នកអាចបង្ហាញពីលទ្ធផលនៃការវាស់បរិមាណមាត្រដ្ឋានណាមួយ៖ ប្រវែង តំបន់ ម៉ាស។ល។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត ជាញឹកញាប់ចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញដោយលេខ មិនមែនលទ្ធផលនៃការវាស់បរិមាណទេ ប៉ុន្តែការផ្លាស់ប្តូររបស់វា។ លើសពីនេះទៅទៀតការផ្លាស់ប្តូររបស់វាអាចកើតឡើងតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា - វាអាចកើនឡើង បន្ថយ ឬនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។ ដូច្នេះ ដើម្បីបង្ហាញពីការផ្លាស់ប្តូរទំហំ លេខផ្សេងទៀតគឺត្រូវការជាចាំបាច់ ក្រៅពីចំនួនពិតវិជ្ជមាន ហើយសម្រាប់នេះ វាចាំបាច់ក្នុងការពង្រីកសំណុំ R + ដោយបន្ថែមលេខ 0 (សូន្យ) និងលេខអវិជ្ជមានទៅវា។
ការរួបរួមនៃសំណុំនៃចំនួនពិតវិជ្ជមានជាមួយនឹងសំណុំនៃចំនួនពិតអវិជ្ជមាន និងសូន្យគឺជាសំណុំ R នៃចំនួនពិតទាំងអស់។
ការប្រៀបធៀបចំនួនពិត និងប្រតិបត្តិការលើពួកវាត្រូវបានអនុវត្តទៅតាមច្បាប់ដែលយើងស្គាល់ពីវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា។
លំហាត់
1. ពិពណ៌នាអំពីដំណើរការនៃការវាស់ប្រវែងនៃផ្នែកមួយ ប្រសិនបើរបាយការណ៍នៅលើវាត្រូវបានបង្ហាញជាប្រភាគ៖
ក) ៣.៤៦; ខ) ៣,(៧); គ) ៣.២(៦)។
2. ផ្នែកទីប្រាំពីរនៃផ្នែកតែមួយសមនឹងចូលទៅក្នុងផ្នែកមួយ 13 ដង។ តើប្រវែងនៃផ្នែកនេះនឹងត្រូវបានតំណាងដោយប្រភាគកំណត់ ឬគ្មានកំណត់? មករដូវ ឬមិនទៀងទាត់?
3. សំណុំមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: (7; 8; √8; 35.91; -12.5; -√37; 0; 0.123; 4136) ។
តើវាអាចបែងចែកជាពីរថ្នាក់៖ សនិទានភាព និងអសមហេតុផលទេ?
4. វាត្រូវបានគេដឹងថាលេខណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ។ តើចំណុចដែលមានកូអរដោណេសនិទានភាពអស់ខ្សែកូអរដោណេទាំងមូលឬ? ចុះចំណុចដែលមានកូអរដោណេពិតប្រាកដ?
99. ការសន្និដ្ឋានសំខាន់ § 19
នៅពេលសិក្សាសម្ភារៈនៃកថាខណ្ឌនេះ យើងបានពន្យល់ពីគោលគំនិតជាច្រើនដែលគេស្គាល់ពីមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យារបស់សាលា ដោយភ្ជាប់ពួកវាជាមួយនឹងការវាស់វែងនៃប្រវែងនៃផ្នែកមួយ។ ទាំងនេះគឺជាគំនិតដូចជា៖
ប្រភាគ (ត្រឹមត្រូវនិងមិនត្រឹមត្រូវ);
ប្រភាគស្មើគ្នា;
ប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន;
ចំនួនសមហេតុផលវិជ្ជមាន;
សមភាពនៃចំនួនសមហេតុផលវិជ្ជមាន;
ប្រភាគចម្រុះ;
ទសភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់;
ទសភាគមិនកំណត់តាមកាលកំណត់;
ចំនួនមិនសមហេតុផល;
ចំនួនពិត។
យើងបានរកឃើញថាទំនាក់ទំនងសមភាពនៃប្រភាគគឺជាទំនាក់ទំនងសមមូល ហើយបានទាញយកប្រយោជន៍ពីវា ដោយកំណត់គំនិតនៃចំនួនសនិទានវិជ្ជមាន។ យើងក៏បានរកឃើញពីរបៀបដែលការបូក និងគុណនៃលេខសនិទានភាពវិជ្ជមានត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងការវាស់ប្រវែងនៃចម្រៀក និងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកផលបូកនិងផលិតផលរបស់វា។
និយមន័យនៃទំនាក់ទំនង "តិចជាង" នៅលើសំណុំ Q+ បានធ្វើឱ្យវាអាចដាក់ឈ្មោះលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងរបស់វា: វាត្រូវបានតម្រៀប ក្រាស់ វាមិនមានលេខតូចបំផុត និងធំបំផុតនោះទេ។
យើងបានបង្ហាញថាសំណុំ Q+ នៃលេខសនិទានភាពវិជ្ជមានបំពេញលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ដែលអនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាផ្នែកបន្ថែមនៃសំណុំ N នៃលេខធម្មជាតិ។
តាមរយៈការណែនាំប្រភាគទសភាគ យើងបានបង្ហាញថាចំនួនសនិទានវិជ្ជមានណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងដោយប្រភាគទសភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់។
ប្រភាគដែលមិនកំណត់កាលកំណត់ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាកំណត់ត្រានៃចំនួនមិនសមហេតុផល។
ប្រសិនបើយើងបង្រួបបង្រួមសំណុំនៃចំនួនសនិទានភាព និងលេខមិនសមហេតុផល នោះយើងទទួលបានសំណុំនៃចំនួនពិតវិជ្ជមាន៖ Q+ ∪ J + = R+ ។
ប្រសិនបើយើងបន្ថែមចំនួនពិតអវិជ្ជមាន និងសូន្យទៅចំនួនពិតវិជ្ជមាន នោះយើងទទួលបានសំណុំ R នៃចំនួនពិតទាំងអស់។
ពាក្យដដែលៗនៃអនុវិទ្យាល័យ
អាំងតេក្រាល។
ដេរីវេ
បរិមាណរាងកាយ
អង្គធាតុនៃបដិវត្តន៍
វិធីសាស្រ្តនៃកូអរដោនេក្នុងលំហ
ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ។ ទំនាក់ទំនងរវាងកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ និងកូអរដោនេចំណុច។ បញ្ហាសាមញ្ញបំផុតនៅក្នុងកូអរដោណេ។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ។
គំនិតនៃស៊ីឡាំង។ ផ្ទៃនៃស៊ីឡាំងមួយ។ គំនិតនៃកោណមួយ។
ផ្ទៃនៃកោណមួយ។ ស្វ៊ែរនិងបាល់។ តំបន់នៃស្វ៊ែរ។ ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃស្វ៊ែរនិងយន្តហោះ។
គំនិតនៃបរិមាណ។ បរិមាណនៃរាងចតុកោណ parallelepiped ។ បរិមាណនៃព្រីសត្រង់, ស៊ីឡាំង។ បរិមាណនៃសាជីជ្រុងនិងកោណ។ បរិមាណបាល់។
ផ្នែកទី III ។ ការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា
ដេរីវេ។ ដេរីវេនៃមុខងារថាមពល។ ច្បាប់នៃការបែងចែក។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមមួយចំនួន។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។
ការអនុវត្តនៃដេរីវេទៅសិក្សាមុខងារបង្កើននិងបន្ថយមុខងារ។ ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។ ការអនុវត្តនៃដេរីវេទៅនឹងក្រាហ្វិច។ តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារ។
បុព្វកាល។ ច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកបុព្វកាល។ តំបន់នៃ curvilinear trapezoid និងអាំងតេក្រាល។ ការគណនាអាំងតេក្រាល។ ការគណនាតំបន់ដោយប្រើអាំងតេក្រាល។
ភារកិច្ចបណ្តុះបណ្តាលសម្រាប់ការប្រឡង
ផ្នែក I. ពិជគណិត
លេខគឺជាអរូបីដែលប្រើសម្រាប់កំណត់បរិមាណវត្ថុ។ លេខបានកើតឡើងនៅក្នុងសង្គមបុព្វកាលទាក់ទងនឹងតម្រូវការសម្រាប់មនុស្សរាប់វត្ថុ។ យូរ ៗ ទៅជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រលេខបានក្លាយទៅជាគំនិតគណិតវិទ្យាដ៏សំខាន់បំផុត។
ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា និងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទផ្សេងៗ វាពិតជាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ដឹងអំពីប្រភេទលេខ។ ប្រភេទលេខសំខាន់ៗរួមមានៈ លេខធម្មជាតិ ចំនួនគត់ លេខសនិទាន លេខពិត។
លេខធម្មជាតិ - ϶ᴛᴏ លេខដែលទទួលបានដោយការរាប់ធម្មជាតិនៃវត្ថុ ឬជាលេខរៀងរបស់វា ("ទីមួយ" "ទីពីរ" "ទីបី" ...)។ សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំង N (អ្នកអាចចាំបានដោយផ្អែកលើពាក្យអង់គ្លេសធម្មជាតិ) ។ យើងអាចនិយាយបានថា N =(1,2,3,....)
ដោយការបំពេញបន្ថែមលេខធម្មជាតិជាមួយនឹងលេខសូន្យ និងលេខអវិជ្ជមាន (ᴛ.ᴇ. លេខទល់មុខនឹងលេខធម្មជាតិ) សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានពង្រីកទៅសំណុំនៃចំនួនគត់។
ចំនួនគត់ - ϶ᴛᴏ លេខពីសំណុំ (0, 1, -1, 2, -2, ....) ។ សំណុំនេះមានបីផ្នែក - លេខធម្មជាតិ ចំនួនគត់អវិជ្ជមាន (ផ្ទុយពីលេខធម្មជាតិ) និងលេខ 0 (សូន្យ)។ ចំនួនគត់ត្រូវបានតាងដោយអក្សរឡាតាំង Z។ យើងអាចនិយាយបានថា Z=(1,2,3,....)។ លេខសនិទានគឺជាលេខ ϶ᴛᴏ តំណាងជាប្រភាគ ដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។
ឧទាហរណ៍ មានលេខសមហេតុផលដែលមិនអាចសរសេរជាប្រភាគទសភាគកំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកព្យាយាមសរសេរលេខជាប្រភាគទសភាគដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយល្បីសម្រាប់បែងចែកដោយជ្រុងមួយ អ្នកនឹងទទួលបានប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់។ ទសភាគគ្មានកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា តាមកាលកំណត់,លេខ 3 ម្តងទៀត - នាង រយៈពេល។ប្រភាគតាមកាលកំណត់ត្រូវបានសរសេរដោយសង្ខេបដូចខាងក្រោមៈ 0, (3); អាន៖ "ចំនួនគត់សូន្យ និងបីក្នុងចន្លោះ។"
ជាទូទៅ ប្រភាគតាមកាលកំណត់គឺ ϶ᴛᴏ ជាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ ដែលក្នុងនោះ ចាប់ផ្តើមពីខ្ទង់ទសភាគជាក់លាក់ ខ្ទង់ដូចគ្នា ឬខ្ទង់ជាច្រើនត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត - រយៈពេលនៃប្រភាគ។
ឧទាហរណ៍ ប្រភាគទសភាគគឺតាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេលនៃ 56; អាន "23 ចំនួនគត់ 14 រយ និង 56 ក្នុងចន្លោះពេល" ។
ដូច្នេះ រាល់លេខសនិទានភាពអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគទសភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់។
សេចក្តីថ្លែងការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖ ប្រភាគទសភាគនិមួយៗគ្មានកំណត់គឺជាលេខសនិទាន ព្រោះវាអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគ ដែលចំនួនគត់គឺជាលេខធម្មជាតិ។
លេខពិត (ពិត) - ϶ᴛᴏ លេខ ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ ត្រូវបានប្រើដើម្បីវាស់បរិមាណបន្ត។ សំណុំនៃចំនួនពិតត្រូវបានតាងដោយអក្សរឡាតាំង R. លេខពិតរួមមានលេខសមហេតុផល និងលេខមិនសមហេតុផល។ លេខមិនសមហេតុផល - ϶ᴛᴏ លេខដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការអនុវត្តប្រតិបត្តិការផ្សេងៗជាមួយនឹងលេខសនិទាន (ឧទាហរណ៍ ការស្រង់ឫស គណនាលោការីត) ប៉ុន្តែមិនសមហេតុផលទេ។ ឧទាហរណ៍នៃចំនួនមិនសមហេតុផលគឺ ϶ᴛᴏ។
លេខពិតណាមួយអាចត្រូវបានបង្ហាញនៅលើបន្ទាត់លេខ៖
សម្រាប់សំណុំនៃលេខដែលបានរាយខាងលើ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមគឺពិត៖ សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងសំណុំចំនួនគត់ សំណុំនៃចំនួនគត់ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំនៃលេខសនិទាន ហើយសំណុំនៃលេខសនិទានត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង សំណុំនៃចំនួនពិត។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើរង្វង់អយល័រ។
លំហាត់សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។
