កម្រិតដំបូង

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ទ្រឹស្តីលម្អិតជាមួយឧទាហរណ៍ (2019)

លំដាប់លេខ

ដូច្នេះ ចូរយើងអង្គុយចុះ ហើយចាប់ផ្តើមសរសេរលេខខ្លះ។ ឧទាហរណ៍:
អ្នកអាចសរសេរលេខណាមួយ ហើយអាចមានច្រើនតាមដែលអ្នកចូលចិត្ត (ក្នុងករណីរបស់យើង ពួកវា)។ មិនថាយើងសរសេរលេខប៉ុន្មានទេ យើងអាចនិយាយបានថាមួយណាជាលេខទីមួយ លេខទីពីរ ហើយបន្តទៅលេខចុងក្រោយ នោះគឺយើងអាចដាក់លេខបាន។ នេះជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់លេខ៖

លំដាប់លេខ
ឧទាហរណ៍សម្រាប់លំដាប់របស់យើង៖

លេខដែលបានកំណត់គឺជាក់លាក់សម្រាប់លេខលំដាប់តែមួយប៉ុណ្ណោះ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត មិនមានលេខបីទីពីរនៅក្នុងលំដាប់នោះទេ។ លេខទីពីរ (ដូចជាលេខ -th) គឺតែងតែដូចគ្នា។
លេខដែលមានលេខត្រូវបានគេហៅថាសមាជិក -th នៃលំដាប់។

ជាធម្មតា យើងហៅលំដាប់ទាំងមូលថា អក្សរខ្លះ (ឧទាហរណ៍) ហើយសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ - អក្សរដូចគ្នាដែលមានលិបិក្រមស្មើនឹងចំនួនសមាជិកនេះ៖ .

ក្នុងករណីរបស់យើង៖

ឧបមាថាយើងមានលំដាប់លេខដែលភាពខុសគ្នារវាងលេខជាប់គ្នាគឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា។
ឧទាហរណ៍:

ល។
លំដាប់លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការនព្វន្ធ។
ពាក្យ "វឌ្ឍនភាព" ត្រូវបានណែនាំដោយអ្នកនិពន្ធរ៉ូម៉ាំង Boethius នៅដើមសតវត្សទី 6 ហើយត្រូវបានគេយល់ក្នុងន័យទូលំទូលាយថាជាលំដាប់លេខគ្មានទីបញ្ចប់។ ឈ្មោះ "នព្វន្ធ" ត្រូវបានផ្ទេរពីទ្រឹស្តីនៃសមាមាត្របន្តដែលក្រិកបុរាណបានចូលរួម។

នេះគឺជាលំដាប់លេខ ដែលសមាជិកនីមួយៗស្មើនឹងលេខមុន ត្រូវបានបន្ថែមដោយលេខដូចគ្នា។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ និងត្រូវបានតំណាង។

ព្យាយាមកំណត់ថាតើលំដាប់លេខមួយណាជាដំណើរការនព្វន្ធ ហើយមួយណាមិនមែនជា៖

ក)
ខ)
គ)
ឃ)

យល់ទេ? ប្រៀបធៀបចម្លើយរបស់យើង៖
គឺវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ - ខ, គ។
មិន​មែនវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ - a, d ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅវឌ្ឍនភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យ () ហើយព្យាយាមស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកទី 1 របស់វា។ មាន ពីរវិធីស្វែងរកវា។

1. វិធីសាស្រ្ត

យើង​អាច​បន្ថែម​ទៅ​តម្លៃ​មុន​នៃ​លេខ​ដំណើរ​ការ​រហូត​ដល់​យើង​ឈាន​ដល់​វគ្គ​ទី​មួយ​នៃ​ការ​វិវត្ត។ ជាការល្អដែលយើងមិនមានអ្វីច្រើនដើម្បីសង្ខេប - មានតែតម្លៃបីប៉ុណ្ណោះ៖

ដូច្នេះ សមាជិក -th នៃដំណើរការនព្វន្ធដែលបានពិពណ៌នាគឺស្មើនឹង។

2. វិធីសាស្រ្ត

ចុះ​បើ​យើង​ត្រូវ​ការ​ស្វែង​រក​តម្លៃ​នៃ​ពាក្យ​ទី​មួយ​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន? ការបូកសរុបនឹងនាំយើងលើសពីមួយម៉ោង ហើយវាមិនមែនជាការពិតដែលថាយើងនឹងមិនមានកំហុសនៅពេលបន្ថែមលេខនោះទេ។
ជាការពិតណាស់ គណិតវិទូបានបង្កើតនូវវិធីមួយដែលអ្នកមិនចាំបាច់បន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធទៅនឹងតម្លៃមុននោះទេ។ សូមក្រឡេកមើលរូបភាពដែលបានគូរឲ្យជិត… ប្រាកដណាស់អ្នកបានកត់សម្គាល់ឃើញគំរូជាក់លាក់មួយរួចហើយ ពោលគឺ៖

ជាឧទាហរណ៍ សូមមើលអ្វីដែលបង្កើតតម្លៃនៃសមាជិក -th នៃដំណើរការនព្វន្ធនេះ៖


ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត:

ព្យាយាមស្វែងរកដោយឯករាជ្យតាមវិធីនេះតម្លៃនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធនេះ។

គណនា? ប្រៀបធៀបធាតុរបស់អ្នកជាមួយចម្លើយ៖

សូមយកចិត្តទុកដាក់ថា អ្នកទទួលបានលេខដូចគ្នាទៅនឹងវិធីសាស្ត្រមុន នៅពេលដែលយើងបន្ថែមសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធជាបន្តបន្ទាប់ទៅតម្លៃមុន។
ចូរយើងព្យាយាម "ធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួន" រូបមន្តនេះ - យើងនាំយកវាទៅជាទម្រង់ទូទៅហើយទទួលបាន:

សមីការវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺកើនឡើង ឬថយចុះ។

ការកើនឡើង- វឌ្ឍនភាពដែលតម្លៃបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃលក្ខខណ្ឌគឺធំជាងពាក្យមុន។
ឧទាហរណ៍:

ចុះ- វឌ្ឍនភាពដែលតម្លៃបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃលក្ខខណ្ឌគឺតិចជាងតម្លៃមុន។
ឧទាហរណ៍:

រូបមន្តដែលបានទាញយកត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនានៃពាក្យទាំងការកើនឡើង និងបន្ថយនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ចូរយើងពិនិត្យមើលវានៅក្នុងការអនុវត្ត។
យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ​ដែល​មាន​ចំនួន​ដូច​ខាង​ក្រោម​:

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក៖

ដូច្នេះហើយ យើង​ត្រូវ​បាន​គេ​ជឿជាក់​ថា​រូបមន្ត​ដំណើរការ​ទាំង​ក្នុង​ការ​បន្ថយ និង​ក្នុង​ការ​បង្កើន​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ។
ព្យាយាមស្វែងរកសមាជិក -th និង -th នៃដំណើរការនព្វន្ធនេះដោយខ្លួនឯង

តោះប្រៀបធៀបលទ្ធផល៖

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ

ចូរធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញ - យើងទទួលបានទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ឧបមាថាយើងត្រូវបានផ្តល់លក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមៈ
- វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ, ស្វែងរកតម្លៃ។
វាងាយស្រួលណាស់អ្នកនិយាយ ហើយចាប់ផ្តើមរាប់តាមរូបមន្តដែលអ្នកដឹងរួចហើយ៖

អនុញ្ញាតឱ្យ a, បន្ទាប់មក:

ពិត​ជា​ត្រឹម​ត្រូវ។ វាប្រែថាយើងរកឃើញដំបូងបន្ទាប់មកបន្ថែមវាទៅលេខដំបូងហើយទទួលបានអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក។ ប្រសិនបើការវិវត្តត្រូវបានតំណាងដោយតម្លៃតូច នោះគ្មានអ្វីស្មុគស្មាញអំពីវាទេ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើយើងត្រូវបានគេផ្តល់លេខនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ? យល់ស្រប វាមានលទ្ធភាពធ្វើកំហុសក្នុងការគណនា។
ឥឡូវនេះគិតថាតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានេះក្នុងមួយជំហានដោយប្រើរូបមន្តណាមួយ? ជាការពិតណាស់ បាទ ហើយយើងនឹងព្យាយាមយកវាចេញឥឡូវនេះ។

ចូរយើងសម្គាល់ពាក្យដែលចង់បាននៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ដូចដែលយើងដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកវា - នេះគឺជារូបមន្តដូចគ្នាដែលយើងបានមកពីដំបូង៖
, បន្ទាប់មក៖

• សមាជិកមុននៃវឌ្ឍនភាពគឺ៖
• រយៈពេលបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាពគឺ៖

ចូរសរុបសមាជិកមុន និងបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាព៖

វាប្រែថាផលបូកនៃសមាជិកមុននិងបន្តបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាពគឺពីរដងនៃតម្លៃនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពដែលមានទីតាំងនៅចន្លោះពួកគេ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកវឌ្ឍនភាពជាមួយនឹងតម្លៃដែលបានស្គាល់ពីមុន និងបន្តបន្ទាប់ វាចាំបាច់ក្នុងការបន្ថែមពួកវា និងបែងចែកដោយ។

ត្រូវហើយ យើងទទួលបានលេខដូចគ្នា។ តោះជួសជុលសម្ភារៈ។ គណនាតម្លៃសម្រាប់វឌ្ឍនភាពដោយខ្លួនឯង ព្រោះវាមិនពិបាកទាល់តែសោះ។

ល្អ​ណាស់! អ្នកដឹងស្ទើរតែទាំងអស់អំពីវឌ្ឍនភាព! វានៅសល់ដើម្បីរកឱ្យឃើញនូវរូបមន្តតែមួយគត់ដែលយោងទៅតាមរឿងព្រេងអ្នកគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតគ្រប់ពេលគឺ "ស្តេចនៃគណិតវិទូ" - Karl Gauss ងាយស្រួលកាត់ដោយខ្លួនគាត់ ...

នៅពេល Carl Gauss មានអាយុ 9 ឆ្នាំ គ្រូបង្រៀនដែលរវល់ពិនិត្យការងាររបស់សិស្សមកពីថ្នាក់ផ្សេងទៀតបានសួរកិច្ចការខាងក្រោមនៅក្នុងមេរៀន៖ "គណនាផលបូកនៃចំនួនធម្មជាតិទាំងអស់ចាប់ពី (យោងតាមប្រភពផ្សេងទៀតរហូតដល់) រួមបញ្ចូល។ " អ្វីដែលជាការភ្ញាក់ផ្អើលរបស់គ្រូនៅពេលដែលសិស្សរបស់គាត់ម្នាក់ (វាគឺជាលោក Karl Gauss) បន្ទាប់ពីមួយនាទីបានផ្តល់ចម្លើយត្រឹមត្រូវចំពោះភារកិច្ចខណៈពេលដែលមិត្តរួមថ្នាក់ភាគច្រើននៃអ្នកហ៊ានបន្ទាប់ពីការគណនាយូរបានទទួលលទ្ធផលខុស ...

Young Carl Gauss បានកត់សម្គាល់នូវគំរូមួយដែលអ្នកអាចកត់សម្គាល់បានយ៉ាងងាយស្រួល។
ចូរនិយាយថាយើងមានដំណើរការនព្វន្ធដែលមានសមាជិក -ti៖ យើងត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃសមាជិកដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ជាការពិតណាស់ យើងអាចបូកសរុបតម្លៃទាំងអស់ដោយដៃ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើយើងត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វានៅក្នុងកិច្ចការ ដូចដែល Gauss កំពុងស្វែងរក?

ចូរ​ពណ៌នា​អំពី​វឌ្ឍនភាព​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ​យើង។ មើលឱ្យជិតនូវលេខដែលបានបន្លិច ហើយព្យាយាមធ្វើប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាផ្សេងៗជាមួយពួកគេ។


ព្យាយាម? តើអ្នកបានកត់សម្គាល់អ្វី? ត្រូវហើយ! ផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា

ឥឡូវ​ឆ្លើយ​ថា តើ​គូ​បែប​នេះ​នឹង​មាន​ប៉ុន្មាន​គូ​ក្នុង​ដំណើរ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឲ្យ​យើង? ជាការពិតណាស់ ពាក់កណ្តាលនៃលេខទាំងអស់ នោះគឺ។
ដោយផ្អែកលើការពិតដែលថាផលបូកនៃពាក្យពីរនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺស្មើគ្នា ហើយគូស្មើគ្នាដូចគ្នា យើងទទួលបានថាផលបូកសរុបគឺស្មើនឹង៖
.
ដូច្នេះ រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធណាមួយនឹងមានៈ

ក្នុង​បញ្ហា​ខ្លះ យើង​មិន​ដឹង​ពាក្យ​ទី​ទេ ប៉ុន្តែ​យើង​ដឹង​ពី​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ការ​វិវត្ត។ ព្យាយាមជំនួសក្នុងរូបមន្តបូកដែលជារូបមន្តនៃសមាជិកទី។
តើអ្នកទទួលបានអ្វីខ្លះ?

ល្អ​ណាស់! ឥឡូវសូមត្រលប់ទៅបញ្ហាដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យលោក Carl Gauss៖ គណនាដោយខ្លួនឯងថាតើផលបូកនៃលេខដែលចាប់ផ្តើមពី -th គឺនិងផលបូកនៃលេខដែលចាប់ផ្តើមពី -th ។

តើអ្នកទទួលបានប៉ុន្មាន?
Gauss បានប្រែក្លាយថាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌគឺស្មើគ្នាហើយផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ។ នោះ​ជា​របៀប​ដែល​អ្នក​សម្រេច​ចិត្ត?

តាមពិត រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Diophantus នៅសតវត្សរ៍ទី 3 ហើយពេញមួយរយៈពេលនេះ មនុស្សឆ្លាតបានប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធដោយកម្លាំង និងមេ។
ជាឧទាហរណ៍ សូមស្រមៃគិតអំពីអេហ្ស៊ីបបុរាណ និងកន្លែងសំណង់ដ៏ធំបំផុតនៅសម័យនោះ ពោលគឺការសាងសង់ពីរ៉ាមីត... រូបបង្ហាញពីផ្នែកម្ខាងរបស់វា។

តើ​ការ​រីក​ចម្រើន​នៅ​ទី​នេះ​អ្នក​និយាយ​នៅ​ត្រង់​ណា? សូមក្រឡេកមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ហើយស្វែងរកគំរូក្នុងចំនួនប្លុកខ្សាច់ក្នុងជួរនីមួយៗនៃជញ្ជាំងពីរ៉ាមីត។


ហេតុអ្វីមិនដំណើរការនព្វន្ធ? រាប់ចំនួនប្លុកដែលត្រូវការដើម្បីសាងសង់ជញ្ជាំងមួយ ប្រសិនបើឥដ្ឋប្លុកត្រូវបានដាក់ក្នុងមូលដ្ឋាន។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកនឹងមិនរាប់ដោយការរំកិលម្រាមដៃរបស់អ្នកឆ្លងកាត់ម៉ូនីទ័រ តើអ្នកចាំរូបមន្តចុងក្រោយ និងអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលយើងបាននិយាយអំពីការវិវត្តនព្វន្ធទេ?

ក្នុងករណីនេះការវិវត្តមើលទៅដូចនេះ:
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ចំនួនសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
ចូរជំនួសទិន្នន័យរបស់យើងទៅជារូបមន្តចុងក្រោយ (យើងរាប់ចំនួនប្លុកជា 2 វិធី)។

វិធីសាស្រ្ត 1 ។

វិធីសាស្រ្ត 2 ។

ហើយឥឡូវនេះអ្នកក៏អាចគណនានៅលើម៉ូនីទ័រផងដែរ: ប្រៀបធៀបតម្លៃដែលទទួលបានជាមួយនឹងចំនួនប្លុកដែលមាននៅក្នុងសាជីជ្រុងរបស់យើង។ តើវាយល់ព្រមទេ? ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកបានស្ទាត់ជំនាញផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទីនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
ជាការពិតណាស់ អ្នកមិនអាចសង់ពីរ៉ាមីតពីប្លុកនៅមូលដ្ឋានបានទេ ប៉ុន្តែមកពី? ព្យាយាមគណនាចំនួនឥដ្ឋខ្សាច់ដែលត្រូវការដើម្បីសាងសង់ជញ្ជាំងដែលមានលក្ខខណ្ឌនេះ។
តើអ្នកបានគ្រប់គ្រងទេ?
ចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវគឺប្លុក៖

ការបណ្តុះបណ្តាល

ភារកិច្ច:

1. Masha ទទួលបានរូបរាងសម្រាប់រដូវក្តៅ។ ជារៀងរាល់ថ្ងៃនាងបង្កើនចំនួន squats ដោយ។ តើ Masha នឹង​អង្គុយ​ប៉ុន្មាន​ដង​ក្នុង​មួយ​សប្តាហ៍ ប្រសិនបើ​នាង​បាន​អង្គុយ​នៅ​ពេល​ហាត់​លើក​ដំបូង។
2. តើអ្វីជាផលបូកនៃចំនួនសេសទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុង។
3. នៅពេលរក្សាទុកកំណត់ហេតុ ឈើច្រត់ជង់ពួកវាតាមរបៀបដែលស្រទាប់ខាងលើនីមួយៗមានកំណត់ហេតុតិចជាងសន្លឹកមុន។ តើ​ឈើ​មួយ​ដុំ​មាន​ប៉ុន្មាន​ដុំ បើ​គល់​ឈើ​ជា​ឈើ​។

ចម្លើយ៖

1. ចូរយើងកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ក្នុងករណី​នេះ
   (សប្តាហ៍ = ថ្ងៃ) ។

   ចម្លើយ៖ក្នុងរយៈពេលពីរសប្តាហ៍ Masha គួរតែអង្គុយម្តងក្នុងមួយថ្ងៃ។

2. លេខសេសទីមួយ លេខចុងក្រោយ។
   ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។
   ចំនួននៃលេខសេសក្នុង - ពាក់កណ្តាល ពិនិត្យការពិតនេះដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកសមាជិក -th នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ៖

   លេខមានលេខសេស។
   យើងជំនួសទិន្នន័យដែលមានទៅក្នុងរូបមន្ត៖

   ចម្លើយ៖ផលបូកនៃចំនួនសេសទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងគឺស្មើនឹង។

3. រំលឹកពីបញ្ហាអំពីប្រាសាទពីរ៉ាមីត។ សម្រាប់ករណីរបស់យើង a ចាប់តាំងពីស្រទាប់ខាងលើនីមួយៗត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយកំណត់ហេតុមួយ មានតែស្រទាប់មួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។
   ជំនួសទិន្នន័យក្នុងរូបមន្ត៖

   ចម្លើយ៖មានឈើប្រណិតនៅក្នុងឡ។

សង្ខេប

1. - លំដាប់លេខដែលភាពខុសគ្នារវាងលេខជាប់គ្នាគឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា។ វាកំពុងកើនឡើងនិងថយចុះ។
2. ការស្វែងរករូបមន្តសមាជិកទី 1 នៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានសរសេរដោយរូបមន្ត - តើចំនួនលេខនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនៅឯណា។
3. ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ- - កន្លែងណា - ចំនួនលេខក្នុងដំណើរការ។
4. ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។អាចរកបានតាមពីរវិធី៖
   
   តើចំនួនតម្លៃនៅឯណា។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ កម្រិតមធ្យម

លំដាប់លេខ

តោះអង្គុយចុះ ហើយចាប់ផ្តើមសរសេរលេខខ្លះ។ ឧទាហរណ៍:

អ្នកអាចសរសេរលេខណាមួយ ហើយអាចមានច្រើនតាមដែលអ្នកចូលចិត្ត។ ប៉ុន្តែអ្នកតែងតែអាចប្រាប់បានថា មួយណាជាលេខមួយ មួយណាជាលេខទីពីរ ហើយដូច្នេះនៅលើនោះ គឺយើងអាចដាក់លេខបាន។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់លេខ។

លំដាប់លេខគឺ​ជា​សំណុំ​នៃ​លេខ ដែល​នីមួយៗ​អាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​លេខ​តែ​មួយ​គត់។

ម្យ៉ាងវិញទៀត លេខនីមួយៗអាចភ្ជាប់ជាមួយនឹងលេខធម្មជាតិជាក់លាក់មួយ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ហើយយើងនឹងមិនកំណត់លេខនេះទៅលេខផ្សេងទៀតពីសំណុំនេះទេ។

លេខដែលមានលេខត្រូវបានគេហៅថាសមាជិក -th នៃលំដាប់។

ជាធម្មតា យើងហៅលំដាប់ទាំងមូលថា អក្សរខ្លះ (ឧទាហរណ៍) ហើយសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ - អក្សរដូចគ្នាដែលមានលិបិក្រមស្មើនឹងចំនួនសមាជិកនេះ៖ .

វាងាយស្រួលណាស់ប្រសិនបើសមាជិក -th នៃលំដាប់អាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្តមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍រូបមន្ត

កំណត់​លំដាប់​:

ហើយរូបមន្តមានលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ

ឧទាហរណ៍ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ (ពាក្យទីមួយនៅទីនេះគឺស្មើគ្នា និងភាពខុសគ្នា)។ ឬ (, ភាពខុសគ្នា) ។

រូបមន្តទី 3

យើង​ហៅ​រូបមន្ត​ដែល​កើតឡើង​ដដែលៗ ដែល​ដើម្បី​រក​ឱ្យ​ឃើញ​ពាក្យ -th នោះ អ្នក​ត្រូវ​ដឹង​ពាក្យ​មុន ឬ​ច្រើន​មុនៗ៖

ដើម្បីស្វែងរកឧទាហរណ៍ពាក្យទី 1 នៃវឌ្ឍនភាពដោយប្រើរូបមន្តបែបនេះ យើងត្រូវគណនាលេខប្រាំបួនមុន។ ឧទាហរណ៍អនុញ្ញាតឱ្យ។ បន្ទាប់មក៖

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាតើរូបមន្តគឺជាអ្វី?

នៅក្នុងបន្ទាត់នីមួយៗ យើងបន្ថែមទៅ គុណនឹងចំនួនមួយចំនួន។ ដើម្បីអ្វី? សាមញ្ញណាស់៖ នេះគឺជាចំនួនដកសមាជិកបច្ចុប្បន្ន៖

ស្រួល​ជាង​ឥឡូវ​មែន​ទេ? យើងពិនិត្យ៖

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ សូមស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ហើយស្វែងរកពាក្យទីរយ។

ដំណោះស្រាយ៖

សមាជិកទីមួយគឺស្មើគ្នា។ ហើយ​អ្វី​ជា​ភាព​ខុស​គ្នា? ហើយនេះជាអ្វី៖

(បន្ទាប់ពីទាំងអស់វាត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នាព្រោះវាស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃសមាជិកបន្តបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាព) ។

ដូច្នេះរូបមន្តគឺ៖

បន្ទាប់មកពាក្យមួយរយគឺ៖

តើផលបូកនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ពីទៅអ្វី?

យោងតាមរឿងព្រេង គណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យ Carl Gauss ដែលជាក្មេងប្រុសអាយុ 9 ឆ្នាំបានគណនាចំនួននេះក្នុងរយៈពេលពីរបីនាទី។ គាត់បានកត់សម្គាល់ឃើញថា ផលបូកនៃលេខទីមួយ និងលេខចុងក្រោយគឺស្មើគ្នា ផលបូកនៃលេខទីពីរ និងលេខចុងក្រោយគឺដូចគ្នា ផលបូកនៃលេខទីបី និងលេខ 3 ពីចុងគឺដូចគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើ។ តើមានគូបែបនេះប៉ុន្មាន? នោះ​ជា​ការ​ត្រឹមត្រូវ, ពិត​ជា​ពាក់​ក​ណ្តា​ល​នៃ​ចំនួន​ទាំង​អស់, នោះ​គឺ. ដូច្នេះ

រូបមន្តទូទៅសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធណាមួយនឹងមានៈ

ឧទាហរណ៍៖
រកផលបូកនៃគុណពីរខ្ទង់ទាំងអស់។

ដំណោះស្រាយ៖

លេខបែបនេះដំបូងគឺនេះ។ បន្ទាប់នីមួយៗទទួលបានដោយការបន្ថែមលេខទៅលេខមុន។ ដូច្នេះចំនួននៃការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា។

រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 1 សម្រាប់វឌ្ឍនភាពនេះគឺ៖

តើ​ពាក្យ​ទាំង​អស់​ត្រូវ​តែ​មាន​ពីរ​ខ្ទង់​ក្នុង​ដំណើរ​ការ​ប៉ុន្មាន​ពាក្យ?

ងាយស្រួលណាស់៖ ។

រយៈពេលចុងក្រោយនៃការវិវត្តនឹងស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មកផលបូក៖

ចម្លើយ៖ ។

ឥឡូវសម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

1. ជារៀងរាល់ថ្ងៃអត្តពលិករត់បាន 1 ម៉ែត្រច្រើនជាងថ្ងៃមុន។ តើ​គាត់​នឹង​រត់​ប៉ុន្មាន​គីឡូម៉ែត្រ​ក្នុង​មួយ​សប្ដាហ៍ បើ​គាត់​រត់​គីឡូម៉ែត្រ​ក្នុង​ថ្ងៃ​ដំបូង?
2. អ្នកជិះកង់ម្នាក់ជិះបានច្រើនម៉ាយក្នុងមួយថ្ងៃជាងអ្នកជិះមុន។ នៅថ្ងៃដំបូងគាត់បានធ្វើដំណើរគីឡូម៉ែត្រ។ តើ​គាត់​ត្រូវ​បើក​ឡាន​ប៉ុន្មាន​ថ្ងៃ​ដើម្បី​គ្រប​មួយ​គីឡូម៉ែត្រ? តើគាត់នឹងធ្វើដំណើរប៉ុន្មានគីឡូម៉ែត្រនៅថ្ងៃចុងក្រោយនៃការធ្វើដំណើរ?
3. តម្លៃទូទឹកកកនៅក្នុងហាងត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយចំនួនដូចគ្នាជារៀងរាល់ឆ្នាំ។ កំណត់ថាតើតម្លៃទូរទឹកកកបានធ្លាក់ចុះប៉ុន្មានជារៀងរាល់ឆ្នាំ ប្រសិនបើដាក់លក់សម្រាប់ប្រាក់រូប្លែ ប្រាំមួយឆ្នាំក្រោយមកវាត្រូវបានលក់ក្នុងតម្លៃរូប្លិង។

ចម្លើយ៖

1. អ្វីដែលសំខាន់បំផុតនៅទីនេះគឺត្រូវទទួលស្គាល់ការវិវត្តនព្វន្ធ និងកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វា។ ក្នុងករណីនេះ (សប្តាហ៍ = ថ្ងៃ) ។ អ្នកត្រូវកំណត់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការនេះ៖
   .
   ចម្លើយ៖
2. នៅទីនេះវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:, វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរក។
   ជាក់ស្តែង អ្នកត្រូវប្រើរូបមន្តបូកដូចក្នុងបញ្ហាមុន៖
   .
   ជំនួសតម្លៃ៖

   ឫសច្បាស់មិនសមទេ ដូច្នេះចម្លើយ។
   ចូរយើងគណនាចម្ងាយដែលបានធ្វើដំណើរនៅថ្ងៃចុងក្រោយដោយប្រើរូបមន្តនៃពាក្យ -th៖
   (គ.ម)។
   ចម្លើយ៖

3. ផ្តល់ឱ្យ: . ស្វែងរក៖ .
   វាមិនងាយស្រួលទេ៖
   (ជូត) ។
   ចម្លើយ៖

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ សង្ខេបអំពីមេ

នេះគឺជាលំដាប់លេខដែលភាពខុសគ្នារវាងលេខជាប់គ្នាគឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា។

ដំណើរការនព្វន្ធកំពុងកើនឡើង () និងថយចុះ () ។

ឧទាហរណ៍:

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកសមាជិក n-th នៃដំណើរការនព្វន្ធ

ត្រូវបានសរសេរជារូបមន្ត ដែលចំនួនលេខនៅក្នុងដំណើរការ។

ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ

វាធ្វើឱ្យមានភាពងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព ប្រសិនបើសមាជិកជិតខាងរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ - តើចំនួនលេខនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនៅឯណា។

ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការស្វែងរកផលបូក៖

តើចំនួនតម្លៃនៅឯណា។

តើចំនួនតម្លៃនៅឯណា។

ឧទាហរណ៍ លំដាប់ \(2\); \\(5\); \(8\); \(ដប់មួយ\); \(14\)… គឺជាការវិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធ ពីព្រោះធាតុបន្ទាប់នីមួយៗខុសពីធាតុមុនដោយបី (អាចទទួលបានពីធាតុមុនដោយបន្ថែមបី)៖

នៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនេះ ភាពខុសគ្នា \(d\) គឺវិជ្ជមាន (ស្មើនឹង \(3\)) ហើយដូច្នេះពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗគឺធំជាងពាក្យមុន។ ការវិវត្តបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង.

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ \(d\) ក៏អាចជាលេខអវិជ្ជមានផងដែរ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ \(16\); \(១០\); \\(4\); \\(-២\); \(-8\)… ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ \(d\) គឺស្មើនឹងដកប្រាំមួយ។

ហើយក្នុងករណីនេះធាតុបន្ទាប់នីមួយៗនឹងមានតិចជាងធាតុមុន។ វឌ្ឍនភាពទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ថយចុះ.

សញ្ញាណនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

វឌ្ឍនភាពត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំងតូចមួយ។

លេខដែលបង្កើតបានជាវឌ្ឍនភាពត្រូវបានគេហៅថា សមាជិក(ឬធាតុ) ។

ពួកវាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ ប៉ុន្តែមានលិបិក្រមលេខស្មើនឹងលេខធាតុតាមលំដាប់លំដោយ។

ឧទាហរណ៍ ដំណើរការនព្វន្ធ \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) មានធាតុ \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ជាដើម។

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតសម្រាប់ការវិវត្ត \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\right\)\)

ការដោះស្រាយបញ្ហាលើដំណើរការនព្វន្ធ

ជាគោលការណ៍ ព័ត៌មានខាងលើគឺគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់លើដំណើរការនព្វន្ធ (រួមទាំងអ្វីដែលផ្តល់ជូននៅ OGE)។

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(b_1=7; d=4\) ។ ស្វែងរក \(b_5\) ។
ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖ \\(b_5=23\)

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ពាក្យបីដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ \(62; 49; 36...\) ស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យអវិជ្ជមានដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។.
ដំណោះស្រាយ៖

	យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​ធាតុ​ដំបូង​នៃ​លំដាប់ ហើយ​ដឹង​ថា​វា​ជា​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ។ នោះគឺធាតុនីមួយៗខុសគ្នាពីអ្នកជិតខាងដោយលេខដូចគ្នា។ ស្វែងយល់ថាតើមួយណាដោយដកលេខមុនចេញពីធាតុបន្ទាប់៖ \(d=49-62=-13\)។
	ឥឡូវនេះយើងអាចស្តារការវិវត្តរបស់យើងទៅធាតុដែលចង់បាន (អវិជ្ជមានដំបូង) ។
	រួចរាល់។ អ្នកអាចសរសេរចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ \(-3\)

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ធាតុបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ \(...5; x; 10; 12.5...\) ស្វែងរកតម្លៃនៃធាតុដែលតំណាងដោយអក្សរ \(x\) ។
ដំណោះស្រាយ៖

	ដើម្បីស្វែងរក \(x\) យើងត្រូវដឹងថាតើធាតុបន្ទាប់ខុសគ្នាប៉ុន្មានពីធាតុមុន ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ។ ចូរយើងស្វែងរកវាពីធាតុជិតខាងដែលគេស្គាល់ពីរ៖ \(d=12.5-10=2.5\) ។
	ហើយឥឡូវនេះយើងរកឃើញអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរកដោយគ្មានបញ្ហា៖ \(x=5+2.5=7.5\)។
	រួចរាល់។ អ្នកអាចសរសេរចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ \(7,5\).

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖ \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការនេះ។
ដំណោះស្រាយ៖

	យើងត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌប្រាំមួយដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព។ ប៉ុន្តែយើងមិនស្គាល់អត្ថន័យរបស់ពួកគេទេយើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតែធាតុទីមួយប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ​ដំបូង​យើង​គណនា​តម្លៃ​ជា​វេន​ដោយ​ប្រើ​តម្លៃ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​យើង ៖ \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) ហើយដោយបានគណនាធាតុទាំងប្រាំមួយដែលយើងត្រូវការ យើងរកឃើញផលបូករបស់វា។
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	បានរកឃើញចំនួនទឹកប្រាក់ដែលបានស្នើសុំ។

ចម្លើយ៖ \\(S_6=9\) ។

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\) ។ ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនេះ។
ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖ \\ (d=7\) ។

រូបមន្តវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធសំខាន់

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញបញ្ហានៃការវិវត្តនព្វន្ធជាច្រើនអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយសាមញ្ញដោយការយល់ដឹងអំពីរឿងសំខាន់ - ថាការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាខ្សែសង្វាក់នៃលេខហើយធាតុបន្ទាប់នីមួយៗនៅក្នុងខ្សែសង្វាក់នេះត្រូវបានទទួលដោយការបន្ថែមលេខដូចគ្នាទៅនឹងលេខមុន (ភាពខុសគ្នា នៃវឌ្ឍនភាព) ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយជួនកាលមានស្ថានភាពនៅពេលដែលវារអាក់រអួលខ្លាំងក្នុងការដោះស្រាយ "នៅលើថ្ងាស" ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមស្រមៃថាក្នុងឧទាហរណ៍ដំបូង យើងត្រូវរកមិនឃើញធាតុទីប្រាំ \(b_5\) ប៉ុន្តែបីរយប៉ែតសិបប្រាំមួយ \(b_(386)\) ។ តើវាជាអ្វី យើង \ (385 \) ដងដើម្បីបន្ថែមបួន? ឬស្រមៃថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ អ្នកត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃធាតុចិតសិបបីដំបូង។ ការ​រាប់​គឺ​មាន​ការ​យល់​ច្រឡំ ...

ដូច្នេះក្នុងករណីបែបនេះ ពួកគេមិនដោះស្រាយ "នៅលើថ្ងាស" ទេ ប៉ុន្តែត្រូវប្រើរូបមន្តពិសេសដែលបានមកពីការវិវត្តនព្វន្ធ។ ហើយរូបមន្តសំខាន់ៗគឺរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n នៃវឌ្ឍនភាព និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក \(n\) នៃពាក្យទីមួយ។

រូបមន្តសម្រាប់ \(n\) សមាជិកទី៖ \(a_n=a_1+(n-1)d\) ដែល \(a_1\) គឺជាសមាជិកទីមួយនៃដំណើរការ។
\(n\) - ចំនួននៃធាតុដែលត្រូវការ;
\(a_n\) គឺជាសមាជិកនៃដំណើរការដែលមានលេខ \(n\) ។

រូបមន្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកយ៉ាងរហ័សនូវធាតុទី 3 រយ សូម្បីតែធាតុលាន ដោយដឹងតែធាតុទីមួយ និងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព។

ឧទាហរណ៍។ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖ \(b_1=-159\); \\ (d=8,2\) ។ ស្វែងរក \(b_(246)\) ។
ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖ \(b_(246)=1850\) ។

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយគឺ៖ \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\) ដែល

\(a_n\) គឺជាពាក្យសង្ខេបចុងក្រោយ។

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(a_n=3.4n-0.6\) ។ ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ \(25\) ដំបូងនៃដំណើរការនេះ។
ដំណោះស្រាយ៖

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		ដើម្បីគណនាផលបូកនៃធាតុម្ភៃប្រាំដំបូង យើងត្រូវដឹងពីតម្លៃនៃពាក្យទី 2 និងទី 25 ។ ការវិវត្តរបស់យើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 អាស្រ័យលើចំនួនរបស់វា (សូមមើលព័ត៌មានលម្អិត) ។ តោះគណនាធាតុទីមួយដោយជំនួស \(n\) ជាមួយមួយ។
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		ឥឡូវ​យើង​រក​ពាក្យ​ទី​ម្ភៃ​ប្រាំ​ដោយ​ជំនួស​ម្ភៃ​ប្រាំ​ជំនួស​ឱ្យ \(n\) ។
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		មែនហើយឥឡូវនេះយើងគណនាចំនួនដែលត្រូវការដោយគ្មានបញ្ហា។
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		ចម្លើយគឺរួចរាល់។

ចម្លើយ៖ \(S_(25)=1090\) ។

សម្រាប់ផលបូក \(n\) នៃពាក្យទីមួយ អ្នកអាចទទួលបានរូបមន្តមួយទៀត៖ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\) ជំនួសឱ្យ \(a_n\) ជំនួសរូបមន្តសម្រាប់វា \(a_n=a_1+(n-1)d\)។ យើង​ទទួល​បាន:

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយគឺ៖ \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) ដែល

\(S_n\) – ផលបូកដែលត្រូវការ \(n\) នៃធាតុទីមួយ;
\(a_1\) គឺជាពាក្យដំបូងដែលត្រូវបូកសរុប។
\\ (d\) - ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ;
\(n\) - ចំនួនធាតុនៅក្នុងផលបូក។

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យដំបូង \(33\)-ex នៃដំណើរការនព្វន្ធ៖ \(17\); \(15,5\); \(14\)...
ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖ \\(S_(33)=-231\) ។

បញ្ហាដំណើរការនព្វន្ធស្មុគស្មាញជាង

ឥឡូវនេះអ្នកមានព័ត៌មានទាំងអស់ដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាការវិវត្តនព្វន្ធស្ទើរតែទាំងអស់។ សូមបញ្ចប់ប្រធានបទដោយពិចារណាលើបញ្ហាដែលអ្នកត្រូវមិនត្រឹមតែអនុវត្តរូបមន្តប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងគិតបន្តិចទៀត (ក្នុងគណិតវិទ្យាវាអាចមានប្រយោជន៍ ☺)

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌអវិជ្ជមានទាំងអស់នៃដំណើរការ៖ \(-19.3\); \\(-១៩\); \(-១៨.៧\)…
ដំណោះស្រាយ៖

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		ភារកិច្ចគឺស្រដៀងនឹងការងារមុន។ យើងចាប់ផ្តើមដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នា៖ ដំបូងយើងរកឃើញ \(d\) ។
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ឥឡូវនេះ យើងនឹងជំនួស \(d\) ទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក ... ហើយនៅទីនេះ ចំនុចតូចមួយលេចឡើង - យើងមិនដឹង \(n\) ។ ម្យ៉ាង​ទៀត យើង​មិន​ដឹង​ថា​ត្រូវ​បន្ថែម​លក្ខខណ្ឌ​ប៉ុន្មាន​ទេ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងយល់? ចូរយើងគិត។ យើងនឹងបញ្ឈប់ការបន្ថែមធាតុនៅពេលដែលយើងទៅដល់ធាតុវិជ្ជមានដំបូង។ នោះគឺអ្នកត្រូវស្វែងរកចំនួននៃធាតុនេះ។ យ៉ាងម៉េច? ចូរសរសេររូបមន្តសម្រាប់គណនាធាតុណាមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធ៖ \(a_n=a_1+(n-1)d\) សម្រាប់ករណីរបស់យើង។
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		យើងត្រូវការ \(a_n\) ធំជាងសូន្យ។ តោះស្វែងយល់ថាតើវានឹងមានអ្វីកើតឡើង។
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពដោយ \(0,3\) ។
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		យើងផ្ទេរដកមួយដោយមិនភ្លេចប្តូរសញ្ញា
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		កុំព្យូទ័រ...
\(n>65,333…\)		…ហើយវាប្រែថាធាតុវិជ្ជមានដំបូងនឹងមានលេខ \(66\)។ ដូច្នោះហើយ អវិជ្ជមានចុងក្រោយមាន \(n=65\)។ គ្រាន់តែក្នុងករណី សូមពិនិត្យមើលវាចេញ។
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		ដូច្នេះ យើងត្រូវបន្ថែមធាតុ \(65\) ដំបូង។
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		ចម្លើយគឺរួចរាល់។

ចម្លើយ៖ \(S_(65)=-630.5\) ។

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖ \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\)។ ស្វែងរកផលបូកពី \(26\)th ដល់ \(42\) ធាតុរួមបញ្ចូល។
ដំណោះស្រាយ៖

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ក្នុង​បញ្ហា​នេះ អ្នក​ក៏​ត្រូវ​រក​ផល​បូក​នៃ​ធាតុ​ដែរ ប៉ុន្តែ​ចាប់​ផ្ដើម​មិន​មែន​ពី​ដំបូង​ទេ ប៉ុន្តែ​ចាប់​ពី \(26\)th ។ យើងមិនមានរូបមន្តសម្រាប់រឿងនេះទេ។ តើត្រូវសម្រេចចិត្តបែបណា? ងាយស្រួល - ដើម្បីទទួលបានផលបូកពី \(26\)th ដល់ \(42\)th ដំបូងអ្នកត្រូវរកផលបូកពី \(1\)th ដល់ \(42\)th ហើយបន្ទាប់មកដកពីវា ផលបូកពី the first to \ (25 \) th (មើលរូបភាព) ។
	សម្រាប់ដំណើរការរបស់យើង \(a_1=-33\) និងភាពខុសគ្នា \(d=4\) (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ យើងបន្ថែមបួនទៅធាតុមុនដើម្បីស្វែងរកធាតុបន្ទាប់)។ ដោយដឹងរឿងនេះ យើងរកឃើញផលបូកនៃធាតុ \(42\)-uh ដំបូង។
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\\(\cdot 42=\) \\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \\(\cdot 42=2058\)	ឥឡូវនេះផលបូកនៃធាតុទីមួយ \(25\)-th ។
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	ហើយចុងក្រោយយើងគណនាចម្លើយ។
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

ចម្លើយ៖ \\ (S=1683\) ។

សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ មានរូបមន្តជាច្រើនទៀតដែលយើងមិនបានពិចារណានៅក្នុងអត្ថបទនេះ ដោយសារអត្ថប្រយោជន៍ជាក់ស្តែងទាបរបស់វា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយអ្នកអាចស្វែងរកពួកគេយ៉ាងងាយស្រួល។

មុនពេលយើងចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត បញ្ហានៃដំណើរការនព្វន្ធពិចារណាថាតើលំដាប់លេខជាអ្វី ចាប់តាំងពីការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាករណីពិសេសនៃលំដាប់លេខ។

លំដាប់លេខគឺជាសំណុំលេខ ដែលធាតុនីមួយៗមានលេខស៊េរីរៀងៗខ្លួន. ធាតុនៃសំណុំនេះត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃលំដាប់។ ចំនួនលំដាប់នៃធាតុលំដាប់មួយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយសន្ទស្សន៍មួយ៖

ធាតុដំបូងនៃលំដាប់;

ធាតុទីប្រាំនៃលំដាប់;

- "ទី" ធាតុនៃលំដាប់, i.e. ធាតុ "ឈរក្នុងជួរ" នៅលេខ n ។

មានទំនាក់ទំនងរវាងតម្លៃនៃធាតុលំដាប់មួយ និងលេខលំដាប់របស់វា។ ដូច្នេះ យើងអាចពិចារណាលំដាប់មួយជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់ជាលេខលំដាប់នៃធាតុនៃលំដាប់។ ម្យ៉ាង​ទៀត គេ​អាច​និយាយ​បែប​នោះ។ លំដាប់គឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ៖

លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមបីវិធី៖

1 . លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើតារាង។ក្នុងករណីនេះ យើងគ្រាន់តែកំណត់តម្លៃនៃសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់។

ជាឧទាហរណ៍ នរណាម្នាក់បានសម្រេចចិត្តធ្វើការគ្រប់គ្រងពេលវេលាផ្ទាល់ខ្លួន ហើយចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការគណនាថាតើគាត់ចំណាយពេលប៉ុន្មាននៅលើ VKontakte ក្នុងមួយសប្តាហ៍។ ដោយការសរសេរពេលវេលានៅក្នុងតារាងមួយ គាត់នឹងទទួលបានលំដាប់ដែលមានធាតុប្រាំពីរ៖

ជួរទីមួយនៃតារាងមានលេខនៃថ្ងៃនៃសប្តាហ៍ទីពីរ - ពេលវេលាគិតជានាទី។ យើងឃើញថា នោះគឺនៅថ្ងៃច័ន្ទ នរណាម្នាក់បានចំណាយពេល 125 នាទីនៅលើ VKontakte នោះគឺនៅថ្ងៃព្រហស្បតិ៍ - 248 នាទី ហើយនោះគឺនៅថ្ងៃសុក្រត្រឹមតែ 15 ប៉ុណ្ណោះ។

2 . លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើរូបមន្តសមាជិកទី n ។

ក្នុងករណីនេះ ការពឹងផ្អែកនៃតម្លៃនៃធាតុលំដាប់មួយនៅលើលេខរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយផ្ទាល់ជារូបមន្ត។

ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃធាតុលំដាប់ដែលមានលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងជំនួសលេខធាតុទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់សមាជិកទី n ។

យើងធ្វើដូចគ្នាប្រសិនបើយើងត្រូវការស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានគេស្គាល់។ យើងជំនួសតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ជំនួសវិញនៅក្នុងសមីការនៃអនុគមន៍៖

ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ , នោះ។

ជា​ថ្មី​ម្តង​ទៀត ខ្ញុំ​កត់​សម្គាល់​ថា ក្នុង​លំដាប់​មួយ ផ្ទុយ​ទៅ​នឹង​អនុគមន៍​លេខ​តាម​អំពើ​ចិត្ត មាន​តែ​លេខ​ធម្មជាតិ​ប៉ុណ្ណោះ​ដែល​អាច​ជា​អាគុយម៉ង់។

3 . លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកនៃតម្លៃនៃសមាជិកនៃលំដាប់ដែលមានលេខ n លើតម្លៃនៃសមាជិកពីមុន។ ក្នុងករណីនេះវាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងក្នុងការដឹងត្រឹមតែចំនួនសមាជិកនៃលំដាប់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា។ យើងត្រូវបញ្ជាក់សមាជិកដំបូង ឬសមាជិកពីរបីនាក់ដំបូងនៃលំដាប់។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាតាមលំដាប់លំដោយ ,

យើងអាចស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកនៃលំដាប់មួយ។ នៅក្នុងលំដាប់ចាប់ផ្តើមពីទីបី៖

នោះ​គឺ​រាល់​ពេល​ដើម្បី​រក​តម្លៃ​នៃ​សមាជិក​ទី n នៃ​លំដាប់ យើង​ត្រឡប់​ទៅ​លេខ​ពីរ​មុន​វិញ។ វិធីនៃលំដាប់នេះត្រូវបានគេហៅថា កើតឡើងវិញ។, មកពីពាក្យឡាតាំង កើតឡើងវិញ- ត្រឡប់មកវិញ។

ឥឡូវនេះយើងអាចកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធមួយ។ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាករណីពិសេសសាមញ្ញនៃលំដាប់លេខ។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់លេខ ដែលសមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរគឺស្មើនឹងលេខមុន ដែលបន្ថែមដោយលេខដូចគ្នា។

លេខត្រូវបានហៅ ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ. ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចជាវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬសូន្យ។

ប្រសិនបើ title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} កើនឡើង.

ឧទាហរណ៍ ២; ៥; ៨; ដប់មួយ;...

ប្រសិនបើ នោះពាក្យនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺតិចជាងពាក្យមុន ហើយការវិវត្តគឺ ស្រក.

ឧទាហរណ៍ ២; -1; -៤; -៧;...

ប្រសិនបើ នោះសមាជិកទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាពគឺស្មើនឹងចំនួនដូចគ្នា ហើយការវិវត្តគឺ ស្ថានី.

ឧទាហរណ៍ ២;២;២;២;...

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃដំណើរការនព្វន្ធ៖

តោះមើលរូបភាព។

យើងឃើញនោះ។

និងក្នុងពេលតែមួយ

បន្ថែមភាពស្មើគ្នាទាំងពីរនេះ យើងទទួលបាន៖

.

ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 2:

ដូច្នេះ សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ ដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ គឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃចំនួនពីរដែលនៅជិតគ្នា៖

លើសពីនេះទៅទៀតចាប់តាំងពី

និងក្នុងពេលតែមួយ

, នោះ។

, ហេតុ​ដូចនេះ​ហើយ

សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធចាប់ផ្តើមដោយ title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

រូបមន្តសមាជិក។

យើងឃើញថាសម្រាប់សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមមាន៖

ជា​ចុងក្រោយ

យើងទទួលបាន រូបមន្តនៃពាក្យទី 9 ។

សំខាន់!សមាជិក​ណា​មួយ​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ​អាច​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ និង . ដោយដឹងពីពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ អ្នកអាចរកឃើញសមាជិកណាមួយរបស់វា។

ផលបូកនៃសមាជិក n នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធតាមអំពើចិត្ត ផលបូកនៃពាក្យដែលមានគម្លាតស្មើគ្នាពីចំនុចខ្លាំងគឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក៖

ពិចារណាការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយ n សមាជិក។ អនុញ្ញាតឱ្យផលបូកនៃសមាជិក n នៃដំណើរការនេះស្មើនឹង .

រៀបចំ​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​ជា​មុន​ក្នុង​លំដាប់​ឡើង​នៃ​លេខ ហើយ​បន្ទាប់​មក​តាម​លំដាប់​ចុះ៖

ចូរ​ផ្គូផ្គង​វា៖

ផលបូកក្នុងវង់ក្រចកនីមួយៗគឺ ចំនួនគូគឺ n ។

យើង​ទទួល​បាន:

ដូច្នេះ ផលបូកនៃសមាជិក n នៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖

ពិចារណា ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការវិវត្តនព្វន្ធ.

1 . លំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តនៃសមាជិកទី 9: . បង្ហាញថាលំដាប់នេះគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ចូរយើងបញ្ជាក់ថា ភាពខុសគ្នារវាងសមាជិកពីរនៅជាប់គ្នានៃលំដាប់គឺស្មើនឹងចំនួនដូចគ្នា។

យើងបានទទួលថាភាពខុសគ្នានៃសមាជិកពីរដែលនៅជាប់គ្នានៃលំដាប់មិនអាស្រ័យលើចំនួនរបស់ពួកគេហើយជាចំនួនថេរ។ ដូច្នេះតាមនិយមន័យ លំដាប់នេះគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

2 . ដែលបានផ្តល់ឱ្យការវិវត្តនព្វន្ធ -31; -២៧;...

ក) ស្វែងរកលក្ខខណ្ឌចំនួន ៣១ នៃដំណើរការ។

ខ) កំណត់ថាតើលេខ 41 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការវិវត្តនេះ។

ក)យើង​ឃើញ​ថា​;

ចូរយើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 សម្រាប់ការរីកចម្រើនរបស់យើង។

ជាទូទៅ

ក្នុងករណីរបស់យើង។ , នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

យើង​ទទួល​បាន:

ខ)ឧបមាថាលេខ 41 គឺជាសមាជិកនៃលំដាប់។ តោះស្វែងរកលេខរបស់គាត់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយសមីការ៖

យើងទទួលបានតម្លៃធម្មជាតិនៃ n ដូច្នេះបាទ លេខ 41 គឺជាសមាជិកនៃដំណើរការ។ ប្រសិនបើតម្លៃដែលរកឃើញនៃ n មិនមែនជាលេខធម្មជាតិទេនោះ យើងនឹងឆ្លើយថាលេខ 41 មិនមែនជាសមាជិកនៃដំណើរការទេ។

3 . ក) នៅចន្លោះលេខ 2 និងលេខ 8 បញ្ចូលលេខ 4 ដូច្នេះពួកវារួមជាមួយនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ខ) ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការលទ្ធផល។

ក)តោះបញ្ចូលលេខទាំងបួនរវាងលេខ 2 និង 8៖

យើងទទួលបានដំណើរការនព្វន្ធ ដែលក្នុងនោះមាន ៦ ពាក្យ។

ចូរយើងស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9:

ឥឡូវនេះវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកតម្លៃនៃលេខ៖

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

ខ)

ចម្លើយ៖ ក) បាទ; ខ) ៣០

4. រថយន្ត​ដឹក​ជញ្ជូន​ថ្ម​កំទេច​មួយ​ដុំ​មាន​ទម្ងន់​២៤០​តោន ធ្វើ​ឱ្យ​អត្រា​ដឹក​ជញ្ជូន​កើន​ឡើង​ជា​រៀង​រាល់​ថ្ងៃ​ចំនួន​តោន​ដូច​គ្នា។ គេ​ដឹង​ថា កម្ទេច​កម្ទី​២​តោន​ត្រូវ​បាន​គេ​ដឹក​ចេញ​ក្នុង​ថ្ងៃ​ដំបូង ។ កំណត់ថាតើថ្មកំទេចប៉ុន្មានតោនត្រូវបានដឹកជញ្ជូននៅថ្ងៃទី 12 ប្រសិនបើការងារទាំងអស់ត្រូវបានបញ្ចប់ក្នុងរយៈពេល 15 ថ្ងៃ។

តាម​ស្ថានភាព​នៃ​បញ្ហា បរិមាណ​ថ្ម​កំទេច​ដែល​រថយន្ត​ដឹក​ជញ្ជូន​កើនឡើង​ជា​រៀងរាល់ថ្ងៃ​តាម​ចំនួន​ដដែល​។ ដូច្នេះហើយ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណើរការនព្វន្ធ។

យើងបង្កើតបញ្ហានេះក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ក្នុង​អំឡុង​ថ្ងៃ​ដំបូង ថ្ម​កំទេច​ចំនួន ២ តោន​ត្រូវ​បាន​ដឹក​ជញ្ជូន៖ a_1=2 ។

ការងារទាំងអស់ត្រូវបានបញ្ចប់ក្នុងរយៈពេល 15 ថ្ងៃ: .

រថយន្ត​ដឹក​ជញ្ជូន​ថ្ម​កំទេច​១​ដុំ​ទម្ងន់​២៤០​តោន ៖

យើងត្រូវស្វែងរក។

ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ។ ចូរយើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិក n នៃវឌ្ឍនភាព។

ក្នុងករណីរបស់យើង៖

IV Yakovlev | សម្ភារៈសិក្សាគណិតវិទ្យា | MathUs.ru

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាប្រភេទពិសេសនៃលំដាប់។ ដូច្នេះ មុននឹងកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធ (ហើយបន្ទាប់មកធរណីមាត្រ) យើងត្រូវពិភាក្សាដោយសង្ខេបអំពីគោលគំនិតសំខាន់ៗនៃលំដាប់លេខមួយ។

បន្តបន្ទាប់

ស្រមៃមើលឧបករណ៍នៅលើអេក្រង់ដែលលេខមួយចំនួនត្រូវបានបង្ហាញមួយបន្ទាប់ពីមួយផ្សេងទៀត។ ចូរនិយាយថា 2; ៧; ១៣; 1; ៦; 0; ៣; : : : សំណុំលេខបែបនេះគ្រាន់តែជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ប៉ុណ្ណោះ។

និយមន័យ។ លំដាប់លេខគឺជាសំណុំនៃលេខដែលលេខនីមួយៗអាចត្រូវបានកំណត់លេខតែមួយគត់ (នោះគឺដាក់នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងជាមួយលេខធម្មជាតិតែមួយ) ១. លេខដែលមានលេខ n ត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកទី n នៃលំដាប់។

ដូច្នេះ ក្នុង​ឧទាហរណ៍​ខាង​លើ លេខ​ដំបូង​មាន​លេខ 2 ដែល​ជា​សមាជិក​ដំបូង​នៃ​លំដាប់ ដែល​អាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ a1 ; លេខប្រាំមានលេខ 6 ដែលជាសមាជិកទី 5 នៃលំដាប់ដែលអាចត្រូវបានតំណាងថា a5 ។ ជាទូទៅ សមាជិកទី 9 នៃលំដាប់មួយត្រូវបានតំណាងដោយ (ឬ bn , cn , ល។ ) ។

ស្ថានភាពងាយស្រួលបំផុតគឺនៅពេលដែលសមាជិកទី n នៃលំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ រូបមន្ត an = 2n 3 បញ្ជាក់លំដាប់៖ 1; 1; ៣; ៥; ៧; : : : រូបមន្ត a = (1)n កំណត់លំដាប់: 1; 1; 1; 1; : ::

មិនមែនគ្រប់លេខទាំងអស់សុទ្ធតែជាលំដាប់ទេ។ ដូច្នេះផ្នែកមួយមិនមែនជាលំដាប់ទេ។ វាមានលេខ ¾ ច្រើនពេកដែលត្រូវប្តូរលេខ។ សំណុំ R នៃចំនួនពិតទាំងអស់ក៏មិនមែនជាលំដាប់ដែរ។ ការពិតទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ៖ និយមន័យមូលដ្ឋាន

ឥឡូវ​នេះ យើង​ត្រៀម​ខ្លួន​ជា​ស្រេច​ក្នុង​ការ​កំណត់​វឌ្ឍនភាព​នព្វន្ធ។

និយមន័យ។ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ដែលពាក្យនីមួយៗ (ចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក្យមុន និងចំនួនថេរមួយចំនួន (ហៅថាភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ)។

ឧទាហរណ៍ លំដាប់ទី 2; ៥; ៨; ដប់មួយ; : : : គឺ​ជា​ការ​វិវឌ្ឍន៍​នព្វន្ធ​ដែល​មាន​ពាក្យ​ទី​មួយ​ 2 និង​ភាព​ខុស​គ្នា 3. លំដាប់​ទី 7; ២; ៣; ៨; : : : គឺ​ជា​ការ​វិវឌ្ឍន៍​នព្វន្ធ​ដែល​មាន​ពាក្យ​ទី​មួយ 7 និង​ភាព​ខុស​គ្នា 5. លំដាប់​ទី 3; ៣; ៣; : : : គឺជាដំណើរការនព្វន្ធដែលមានភាពខុសគ្នាសូន្យ។

និយមន័យសមមូល៖ លំដាប់ a ត្រូវបានគេហៅថាវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ប្រសិនបើភាពខុសគ្នា +1 an ជាតម្លៃថេរ (មិនអាស្រ័យលើ n)។

ការវិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធត្រូវបានគេនិយាយថានឹងកើនឡើង ប្រសិនបើភាពខុសគ្នារបស់វាគឺវិជ្ជមាន ហើយថយចុះប្រសិនបើភាពខុសគ្នារបស់វាគឺអវិជ្ជមាន។

1 ហើយ​នេះ​គឺ​ជា​និយមន័យ​សង្ខេប​ជាង​នេះ៖ លំដាប់​មួយ​គឺ​ជា​អនុគមន៍​ដែល​បាន​កំណត់​លើ​សំណុំ​នៃ​លេខ​ធម្មជាតិ។ ឧទាហរណ៍ លំដាប់នៃចំនួនពិតគឺជាអនុគមន៍ f:N! រ.

តាមលំនាំដើម លំដាប់ត្រូវបានចាត់ទុកថាគ្មានកំណត់ ពោលគឺមានលេខចំនួនគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់រំខានដើម្បីពិចារណាលំដាប់កំណត់ផងដែរ; តាមពិត លេខកំណត់ណាមួយអាចត្រូវបានគេហៅថាជាលំដាប់កំណត់។ ឧទាហរណ៍ លំដាប់ចុងក្រោយ 1; ២; ៣; ៤; 5 មានប្រាំលេខ។

រូបមន្តនៃសមាជិកទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ

វាងាយស្រួលយល់ថាការវិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយលេខពីរ៖ ពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា។ ដូច្នេះ សំណួរកើតឡើង៖ តើការដឹងពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា ស្វែងរកពាក្យតាមអំពើចិត្តនៃដំណើរការនព្វន្ធដោយរបៀបណា?

វាមិនពិបាកក្នុងការទទួលបានរូបមន្តដែលចង់បានសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យមួយ។

ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា ឃ. យើង​មាន:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
ជាពិសេសយើងសរសេរ៖
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ហើយឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថារូបមន្តសម្រាប់មួយគឺ:
an = a1 + (n 1)d:

កិច្ចការ 1. នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ 2; ៥; ៨; ដប់មួយ; : : : រករូបមន្តនៃពាក្យទី 0 ហើយគណនាលេខមួយរយ។

ដំណោះស្រាយ។ យោងតាមរូបមន្ត (១) យើងមាន៖

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299៖

ទ្រព្យសម្បត្តិ និងសញ្ញានៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ និងសម្រាប់ណាមួយ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ (ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ) គឺជាមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកជិតខាង។

	ភស្តុតាង។ យើង​មាន:
	a n 1+ a n+1		(មួយ ឃ) + (មួយ + ឃ)

ដែលជាអ្វីដែលត្រូវបានទាមទារ។

ជាទូទៅ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ បំពេញនូវសមភាព

a n = a n k + a n + k

សម្រាប់ n > 2 និង k ធម្មជាតិណាមួយ។< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

វាប្រែថារូបមន្ត (2) មិនត្រឹមតែជាកត្តាចាំបាច់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់លំដាប់ទៅជាការវិវត្តនព្វន្ធផងដែរ។

សញ្ញានៃការវិវត្តនព្វន្ធ។ ប្រសិនបើសមភាព (2) ទទួលបានសម្រាប់ n > 2 ទាំងអស់ នោះលំដាប់ a គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ភស្តុតាង។ ចូរយើងសរសេររូបមន្ត (២) ឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

a na n 1 = a n + 1a n:

នេះបង្ហាញថាភាពខុសគ្នា +1 a មិនអាស្រ័យលើ n ទេ ហើយនេះគ្រាន់តែមានន័យថា លំដាប់ a គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ និងសញ្ញានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានបង្កើតជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍តែមួយ។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងនឹងធ្វើដូចនេះសម្រាប់លេខបី (នេះគឺជាស្ថានភាពដែលជារឿយៗកើតឡើងក្នុងបញ្ហា)។

លក្ខណៈនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ លេខបី a, b, c បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ 2b = a + c ។

បញ្ហា 2. (សាកលវិទ្យាល័យ Moscow State, មហាវិទ្យាល័យសេដ្ឋកិច្ច, 2007) លេខបី 8x, 3 x2 និង 4 នៅក្នុងលំដាប់ដែលបានបញ្ជាក់បង្កើតជាការថយចុះនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ស្វែងរក x ហើយសរសេរភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនេះ។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ យើងមាន៖

2(3 x2) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5៖

ប្រសិនបើ x = 1 នោះការវិវត្តថយចុះនៃ 8, 2, 4 ត្រូវបានទទួលជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃ 6 ។ ប្រសិនបើ x = 5 នោះការកើនឡើងនៃ 40, 22, 4 ត្រូវបានទទួល។ ករណីនេះមិនដំណើរការទេ។

ចម្លើយ៖ x = 1 ភាពខុសគ្នាគឺ 6 ។

ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ

រឿងព្រេង​និទាន​ថា ម្តង​គ្រូ​ប្រាប់​ក្មេងៗ​ឲ្យ​រក​លេខ​ពី ១ ដល់ ១០០ ហើយ​អង្គុយ​អាន​កាសែត​ស្ងាត់ៗ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មាននាទី ក្មេងប្រុសម្នាក់បាននិយាយថា គាត់បានដោះស្រាយបញ្ហានេះហើយ។ វាគឺជាលោក Carl Friedrich Gauss អាយុ 9 ឆ្នាំដែលក្រោយមកជាគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតម្នាក់ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រ។

គំនិតរបស់ Little Gauss គឺនេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យ

S = 1 + 2 + 3 + : : : : + 98 + 99 + 100៖

ចូរសរសេរផលបូកនេះតាមលំដាប់បញ្ច្រាស៖

S = 100 + 99 + 98 + : : : : + 3 + 2 + 1;

ហើយបន្ថែមរូបមន្តទាំងពីរនេះ៖

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

ពាក្យនីមួយៗនៅក្នុងតង្កៀបគឺស្មើនឹង 101 ហើយវាមាន 100 ពាក្យសរុប។

2S = 101 100 = 10100;

យើងប្រើគំនិតនេះដើម្បីទាញយករូបមន្តផលបូក

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

ការកែប្រែដ៏មានប្រយោជន៍នៃរូបមន្ត (3) ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យ n = a1 + (n 1)d ទៅក្នុងវា៖

		2a1 + (n 1) ឃ

កិច្ចការទី 3. ស្វែងរកផលបូកនៃចំនួនបីខ្ទង់វិជ្ជមានទាំងអស់ដែលបែងចែកដោយ 13 ។

ដំណោះស្រាយ។ លេខបីខ្ទង់ដែលជាគុណនៃ 13 បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងពាក្យដំបូង 104 និងភាពខុសគ្នា 13; វចនានុក្រមទី ៩ នៃវឌ្ឍនភាពនេះគឺ៖

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n៖

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើការវិវត្តរបស់យើងមានសមាជិកប៉ុន្មាននាក់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយវិសមភាព៖

6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; ន ៦ ៦៩៖

ដូច្នេះមានសមាជិកចំនួន 69 នាក់នៅក្នុងដំណើរការរបស់យើង។ យោងតាមរូបមន្ត (4) យើងរកឃើញចំនួនដែលត្រូវការ:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

យកចិត្តទុកដាក់!
មានបន្ថែម
សម្ភារៈនៅក្នុងផ្នែកពិសេស 555 ។
សម្រាប់អ្នកដែលខ្លាំង "មិនខ្លាំងណាស់ ... "
ហើយសម្រាប់អ្នកដែល "ខ្លាំងណាស់ ... ")

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាស៊េរីនៃលេខដែលលេខនីមួយៗធំជាង (ឬតិចជាង) ជាងលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នា។

ប្រធានបទនេះច្រើនតែពិបាក និងមិនអាចយល់បាន។ សន្ទស្សន៍អក្សរ, ពាក្យទី 9 នៃវឌ្ឍនភាព, ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព - ទាំងអស់នេះគឺជាការយល់ច្រឡំ, បាទ ... ចូរយើងស្វែងយល់ពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ ហើយអ្វីៗនឹងដំណើរការភ្លាមៗ)។

គំនិតនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាគំនិតសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។ សង្ស័យ? ដោយឥតប្រយោជន៍។) សូមមើលសម្រាប់ខ្លួនអ្នក។

ខ្ញុំនឹងសរសេរស៊េរីលេខដែលមិនទាន់បានបញ្ចប់៖

1, 2, 3, 4, 5, ...

តើអ្នកអាចពង្រីកខ្សែនេះបានទេ? តើ​លេខ​អ្វី​នឹង​បន្ត​បន្ទាប់​ពី​ប្រាំ? អ្នកទាំងអស់គ្នា... uh... និយាយឱ្យខ្លី គ្រប់គ្នានឹងយល់ថា លេខ 6, 7, 8, 9 ជាដើម។

ចូរធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញ។ ខ្ញុំផ្តល់លេខស៊េរីដែលមិនទាន់បានបញ្ចប់៖

2, 5, 8, 11, 14, ...

អ្នកអាចចាប់លំនាំ ពង្រីកស៊េរី និងឈ្មោះ ទីប្រាំពីរលេខជួរ?

ប្រសិនបើអ្នកគិតថាលេខនេះគឺ 20 - ខ្ញុំសូមអបអរសាទរអ្នក! អ្នកមិនត្រឹមតែមានអារម្មណ៍ទេ។ ចំណុចសំខាន់នៃដំណើរការនព្វន្ធ,ប៉ុន្តែ​ក៏​បាន​ប្រើ​វា​ដោយ​ជោគជ័យ​ក្នុង​អាជីវកម្ម! បើមិនយល់ សូមអានបន្ត។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបកប្រែចំណុចសំខាន់ៗពីអារម្មណ៍ទៅជាគណិតវិទ្យា។)

ចំណុចសំខាន់ដំបូង។

ដំណើរការនព្វន្ធទាក់ទងនឹងស៊េរីលេខ។នេះ​ជា​ការ​យល់​ច្រឡំ​ពី​ដំបូង​។ យើងប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការ ការកសាងក្រាហ្វ និងអ្វីៗទាំងអស់ ... ហើយបន្ទាប់មកពង្រីកស៊េរី ស្វែងរកចំនួនស៊េរី ...

មិន​អី​ទេ។ វាគ្រាន់តែថាវឌ្ឍនភាពគឺជាអ្នកស្គាល់គ្នាដំបូងជាមួយនឹងសាខាថ្មីនៃគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកត្រូវបានគេហៅថា "ស៊េរី" ហើយធ្វើការជាមួយស៊េរីនៃលេខនិងកន្សោម។ ស៊ាំនឹងវា។ )

ចំណុចសំខាន់ទីពីរ។

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ លេខណាមួយខុសពីលេខមុន។ ដោយចំនួនដូចគ្នា។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីមួយភាពខុសគ្នានេះគឺមួយ។ លេខណាដែលអ្នកយក វាគឺច្រើនជាងលេខមុន។ នៅក្នុងទីពីរ - បី។ លេខណាមួយគឺធំជាងលេខមុនបីដង។ តាមពិតទៅ វាគឺជាពេលនេះដែលផ្តល់ឱ្យយើងនូវឱកាសដើម្បីចាប់គំរូ និងគណនាលេខជាបន្តបន្ទាប់។

ចំណុចសំខាន់ទីបី។

ពេលនេះមិនមានភាពទាក់ទាញទេ បាទ... ប៉ុន្តែសំខាន់ខ្លាំងណាស់។ នៅទីនេះគាត់៖ លេខវឌ្ឍនភាពនីមួយៗស្ថិតនៅកន្លែងរបស់វា។មាន​លេខ​ទីមួយ មាន​លេខ​ប្រាំពីរ មាន​លេខ​សែសិប​ប្រាំ ជាដើម។ ប្រសិនបើអ្នកច្រឡំពួកវាដោយចៃដន្យ លំនាំនឹងរលាយបាត់។ ដំណើរការនព្វន្ធក៏នឹងរលាយបាត់ដែរ។ វាគ្រាន់តែជាលេខស៊េរីប៉ុណ្ណោះ។

នោះហើយជាចំណុចទាំងមូល។

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ ពាក្យ​ថ្មី និង​សញ្ញាណ​បង្ហាញ​នៅ​ក្នុង​ប្រធាន​បទ​ថ្មី។ ពួកគេត្រូវដឹង។ បើមិនដូច្នោះទេអ្នកនឹងមិនយល់ពីភារកិច្ចទេ។ ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវសម្រេចចិត្តអ្វីមួយដូចជា៖

សរសេរពាក្យប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ប្រសិនបើ a 2 = 5, d = -2.5 ។

តើវាបំផុសគំនិតទេ?) អក្សរ លិបិក្រមមួយចំនួន... ហើយកិច្ចការនោះ មិនអាចងាយស្រួលជាងនេះទេ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវយល់ពីអត្ថន័យនៃពាក្យ និងសញ្ញាណ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងធ្វើជាម្ចាស់លើបញ្ហានេះហើយត្រឡប់ទៅភារកិច្ចវិញ។

លក្ខខណ្ឌ និងការកំណត់។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធគឺជាស៊េរីនៃលេខដែលលេខនីមួយៗខុសពីលេខមុន។ ដោយចំនួនដូចគ្នា។

តម្លៃនេះត្រូវបានគេហៅថា . ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងគំនិតនេះឱ្យកាន់តែលម្អិត។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធគឺជាចំនួនដែលលេខដំណើរការណាមួយ។ ច្រើនទៀតមួយមុន។

ចំណុចសំខាន់មួយ។ សូមយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះពាក្យ "ច្រើនទៀត" ។តាមគណិតវិទ្យា នេះមានន័យថាលេខវឌ្ឍនភាពនីមួយៗត្រូវបានទទួល ការបន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធទៅលេខមុន។

ដើម្បីគណនាសូមនិយាយ ទីពីរលេខនៃជួរ, វាគឺជាការចាំបាច់ដើម្បី ដំបូងចំនួន បន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។ សម្រាប់ការគណនា ទីប្រាំ- ភាពខុសគ្នាគឺចាំបាច់ បន្ថែមទៅ ទីបួនផងដែរ ។ល។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធប្រហែល វិជ្ជមានបន្ទាប់មកលេខនីមួយៗនៃស៊េរីនឹងប្រែទៅជាពិតប្រាកដ ច្រើនជាងលើកមុន។វឌ្ឍនភាពនេះត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង។ឧទាហរណ៍:

8; 13; 18; 23; 28; .....

នៅទីនេះលេខនីមួយៗ ការបន្ថែមលេខវិជ្ជមាន +5 ទៅលេខមុន។

ភាពខុសគ្នាអាចជា អវិជ្ជមានបន្ទាប់មកលេខនីមួយៗនៅក្នុងស៊េរីនឹងមាន តិចជាងមុន។ការវិវត្តនេះត្រូវបានគេហៅថា (អ្នកនឹងមិនជឿវាទេ!) ថយចុះ។

ឧទាហរណ៍:

8; 3; -2; -7; -12; .....

នៅទីនេះលេខនីមួយៗក៏ត្រូវបានទទួលផងដែរ។ ការបន្ថែមទៅលេខមុន ប៉ុន្តែលេខអវិជ្ជមានរួចហើយ -5 ។

ដោយវិធីនេះនៅពេលធ្វើការជាមួយវឌ្ឍនភាពវាមានប្រយោជន៍ណាស់ក្នុងការកំណត់លក្ខណៈរបស់វាភ្លាមៗ - ថាតើវាកំពុងកើនឡើងឬថយចុះ។ វាជួយបានច្រើនក្នុងការស្វែងរកកំហុសរបស់អ្នកក្នុងការសម្រេចចិត្ត ស្វែងរកកំហុសរបស់អ្នក និងកែតម្រូវវាមុនពេលវាយឺតពេល។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ ឃ.

របៀបស្វែងរក ឃ? សាមញ្ញ​ណាស់។ វាចាំបាច់ក្នុងការដកលេខណាមួយនៃស៊េរី មុនចំនួន។ ដក។ ដោយវិធីនេះលទ្ធផលនៃការដកត្រូវបានគេហៅថា "ភាពខុសគ្នា") ។

ចូរយើងកំណត់ឧទាហរណ៍ ឃសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធកើនឡើង៖

2, 5, 8, 11, 14, ...

យើងយកលេខណាមួយនៃជួរដេកដែលយើងចង់បាន ឧទាហរណ៍ 11. ដកពីវា។ លេខមុន។ទាំងនោះ។ ៨៖

នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធនេះ ភាពខុសគ្នាគឺបី។

អ្នកគ្រាន់តែអាចយក ចំនួននៃដំណើរការណាមួយ,ដោយសារតែ សម្រាប់ដំណើរការជាក់លាក់មួយ។ ឃ-តែងតែដូចគ្នា។យ៉ាងហោចណាស់នៅកន្លែងណាមួយនៅដើមជួរដេក យ៉ាងហោចណាស់នៅកណ្តាល យ៉ាងហោចណាស់កន្លែងណាមួយ។ អ្នកមិនអាចយកតែលេខដំបូងបានទេ។ ដោយសារតែលេខដំបូងបំផុត។ គ្មានពីមុន។)

និយាយអីញ្ចឹងទើបដឹង d=3ការស្វែងរកលេខទីប្រាំពីរនៃដំណើរការនេះគឺសាមញ្ញណាស់។ យើងបន្ថែមលេខ 3 ទៅលេខទីប្រាំ - យើងទទួលបានលេខប្រាំមួយវានឹងមាន 17 ។ យើងបន្ថែមលេខបីទៅលេខទីប្រាំមួយយើងទទួលបានលេខទីប្រាំពីរ - ម្ភៃ។

ចូរយើងកំណត់ ឃសម្រាប់ការថយចុះនៃដំណើរការនព្វន្ធ៖

8; 3; -2; -7; -12; .....

ខ្ញុំរំលឹកអ្នកថា ដោយមិនគិតពីសញ្ញា ដើម្បីកំណត់ ឃត្រូវការពីលេខណាមួយ។ យកពីមុន។យើងជ្រើសរើសចំនួននៃវឌ្ឍនភាពណាមួយឧទាហរណ៍ -7 ។ លេខមុនរបស់គាត់គឺ -2 ។ បន្ទាប់មក៖

d = −7 − (−2) = −7 + 2 = −5

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចជាលេខណាមួយ៖ ចំនួនគត់ ប្រភាគ មិនសមហេតុផល ណាមួយ។

លក្ខខណ្ឌ និងការកំណត់ផ្សេងទៀត។

លេខនីមួយៗនៅក្នុងស៊េរីត្រូវបានហៅ សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាព មានលេខរបស់គាត់។លេខ​ត្រូវ​តាម​លំដាប់​លំដោយ​ដោយ​គ្មាន​ល្បិច។ ទីមួយ ទីពីរ ទីបី ទីបួន ។ល។ ឧទាហរណ៍៖ ក្នុងវឌ្ឍនភាព ២, ៥, ៨, ១១, ១៤, ... ពីរគឺសមាជិកទីមួយ ប្រាំគឺទីពីរ ដប់មួយគឺទីបួន អញ្ចឹងអ្នកយល់...) សូមយល់ច្បាស់ - លេខខ្លួនឯងអាចជាដាច់ខាតណាមួយ ទាំងមូល ប្រភាគ អវិជ្ជមាន អ្វីក៏ដោយ ប៉ុន្តែ លេខរៀង- តឹងរឹងតាមលំដាប់!

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរវឌ្ឍនភាពក្នុងទម្រង់ទូទៅ? គ្មាន​បញ្ហា! លេខនីមួយៗក្នុងស៊េរីត្រូវបានសរសេរជាអក្សរ។ ដើម្បីសម្គាល់ការវិវត្តនព្វន្ធ ជាក្បួន អក្សរត្រូវបានប្រើ ក. លេខសមាជិកត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយលិបិក្រមនៅខាងស្តាំខាងក្រោម។ សមាជិកត្រូវបានសរសេរបំបែកដោយក្បៀស (ឬសញ្ញាក្បៀស) ដូចនេះ៖

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

ក ១គឺជាលេខដំបូង ក ៣- ទីបី។ល។ គ្មានអ្វីពិបាកទេ។ អ្នកអាចសរសេរស៊េរីនេះដោយសង្ខេបដូចនេះ៖ (a n).

មានការវិវឌ្ឍន៍ កំណត់ និងគ្មានកំណត់។

ចុងក្រោយវឌ្ឍនភាពមានចំនួនកំណត់នៃសមាជិក។ ប្រាំ សាមសិបប្រាំបី អ្វីក៏ដោយ ។ ប៉ុន្តែ​វា​ជា​ចំនួន​កំណត់។

គ្មានទីបញ្ចប់វឌ្ឍនភាព - មានចំនួនសមាជិកមិនកំណត់ ដូចដែលអ្នកអាចទាយបាន។)

អ្នកអាចសរសេរការវិវត្តចុងក្រោយតាមរយៈស៊េរីដូចនេះ សមាជិកទាំងអស់ និងចំណុចនៅចុងបញ្ចប់៖

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ។

ឬដូចនេះប្រសិនបើមានសមាជិកច្រើន៖

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 ។

នៅក្នុងការបញ្ចូលខ្លីមួយ អ្នកនឹងត្រូវបញ្ជាក់បន្ថែមអំពីចំនួនសមាជិក។ ឧទាហរណ៍ (សម្រាប់សមាជិកម្ភៃនាក់) ដូចនេះ៖

(a n), n = ២០

ការវិវឌ្ឍន៍ដែលគ្មានកំណត់អាចត្រូវបានទទួលស្គាល់ដោយពងក្រពើនៅចុងបញ្ចប់នៃជួរដេក ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍នៅក្នុងមេរៀននេះ។

ឥឡូវនេះអ្នកអាចដោះស្រាយភារកិច្ចរួចហើយ។ ភារកិច្ចគឺសាមញ្ញសុទ្ធសាធសម្រាប់ការយល់ដឹងពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យបានដិតដល់នូវកិច្ចការខាងលើ៖

1. សរសេរសមាជិកប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ប្រសិនបើ a 2 = 5, d = -2.5 ។

យើងបកប្រែកិច្ចការទៅជាភាសាដែលអាចយល់បាន។ បានផ្តល់ការវិវត្តនព្វន្ធគ្មានកំណត់។ ចំនួនទីពីរនៃដំណើរការនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថា: a 2 = 5 ។ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការដែលគេស្គាល់៖ d = −2.5 ។យើងត្រូវស្វែងរកសមាជិកទីមួយ ទីបី ទីបួន ទីប្រាំ និងទីប្រាំមួយ នៃដំណើរការនេះ។

ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ ខ្ញុំនឹងសរសេរជាស៊េរីទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ សមាជិកប្រាំមួយនាក់ដំបូង ដែលសមាជិកទីពីរមានប្រាំនាក់៖

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

ក ៣ = a 2 + ឃ

យើងជំនួសនៅក្នុងកន្សោម a 2 = 5និង d=-2.5. កុំភ្លេចដក!

ក ៣=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

ពាក្យទីបីគឺតិចជាងទីពីរ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺឡូជីខល។ ប្រសិនបើលេខធំជាងលេខមុន។ អវិជ្ជមានតម្លៃ ដូច្នេះលេខខ្លួនឯងនឹងតិចជាងលេខមុន។ វឌ្ឍនភាពកំពុងថយចុះ។ មិនអីទេ ចូរយើងពិចារណា។) យើងពិចារណាសមាជិកទីបួននៃស៊េរីរបស់យើង៖

ក ៤ = ក ៣ + ឃ

ក ៤=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ក ៥ = ក ៤ + ឃ

ក ៥=0+(-2,5)= - 2,5

ក ៦ = ក ៥ + ឃ

ក ៦=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌពីទីបីដល់ទីប្រាំមួយត្រូវបានគណនា។ នេះបណ្តាលឱ្យមានស៊េរី៖

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកពាក្យដំបូង ក ១នេះបើយោងតាមទីពីរល្បី។ នេះគឺជាជំហានមួយក្នុងទិសដៅផ្សេងទៀតទៅខាងឆ្វេង ឃមិនគួរត្រូវបានបន្ថែមទៅ a 2, ក យក​ទៅ​ឆ្ងាយ:

ក ១ = a 2 - ឃ

ក ១=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

នោះហើយជាអ្វីទាំងអស់ដែលមានចំពោះវា។ ការឆ្លើយតបភារកិច្ច៖

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

នៅក្នុងការឆ្លងកាត់ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាយើងបានដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ កើតឡើងវិញ។វិធី។ ពាក្យដ៏អាក្រក់នេះមានន័យថា មានតែការស្វែងរកសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពប៉ុណ្ណោះ។ ដោយលេខមុន (នៅជាប់គ្នា) ។វិធីផ្សេងទៀតដើម្បីធ្វើការជាមួយវឌ្ឍនភាពនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅពេលក្រោយ។

ការសន្និដ្ឋានដ៏សំខាន់មួយអាចត្រូវបានដកចេញពីកិច្ចការដ៏សាមញ្ញនេះ។

ចងចាំ៖

ប្រសិនបើយើងស្គាល់យ៉ាងហោចណាស់សមាជិកម្នាក់ និងភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ នោះយើងអាចរកឃើញសមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

ចាំទេ? ការសន្និដ្ឋានសាមញ្ញនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហាភាគច្រើននៃវគ្គសិក្សារបស់សាលាលើប្រធានបទនេះ។ កិច្ចការទាំងអស់វិលជុំវិញប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់បី៖ សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពមួយ ចំនួននៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពមួយ។ទាំងអស់។

ជាការពិតណាស់ពិជគណិតពីមុនទាំងអស់មិនត្រូវបានលុបចោលទេ។) វិសមភាព សមីការ និងរបស់ផ្សេងទៀតត្រូវបានភ្ជាប់ទៅនឹងការវិវត្ត។ ប៉ុន្តែ នេះបើយោងតាមការវិវត្ត- អ្វីគ្រប់យ៉ាងវិលជុំវិញប៉ារ៉ាម៉ែត្របី។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាកិច្ចការពេញនិយមមួយចំនួនលើប្រធានបទនេះ។

2. សរសេរការវិវត្តនព្វន្ធចុងក្រោយជាស៊េរី ប្រសិនបើ n=5, d=0.4, និង a 1=3.6។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យរួចហើយ។ អ្នកត្រូវចាំពីរបៀបដែលសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានគណនា រាប់ និងសរសេរចុះ។ គួរតែកុំរំលងពាក្យក្នុងលក្ខខណ្ឌការងារ៖ "ចុងក្រោយ" និង " n=5"។ ដើម្បីកុំឱ្យរាប់រហូតដល់អ្នកមុខពណ៌ខៀវទាំងស្រុង។ ) មានសមាជិកតែ 5 (ប្រាំ) ប៉ុណ្ណោះនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនេះ:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

ក ៤ = ក ៣ + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

ក ៥ = ក ៤ + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

វានៅសល់ដើម្បីសរសេរចម្លើយ៖

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

កិច្ចការមួយទៀត៖

3. កំណត់ថាតើលេខ 7 នឹងក្លាយជាសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ប្រសិនបើ a 1 \u003d 4.1; d = 1.2 ។

ហ៊ឺ... អ្នកណាដឹង? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់អ្វីមួយ?

How-how... បាទ សរសេរ​ដំណើរ​ការ​ជា​ស៊េរី​មើល​ថា​នឹង​មាន​ប្រាំពីរ​ឬ​អត់! យើងជឿថា៖

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

ក ៤ = ក ៣ + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ឥឡូវ​នេះ​គេ​មើល​ឃើញ​យ៉ាង​ច្បាស់​ថា​យើង​មាន​អាយុ​តែ​៧​ឆ្នាំ​ប៉ុណ្ណោះ។ បានរអិលឆ្លងកាត់ចន្លោះ 6.5 និង 7.7! លេខប្រាំពីរមិនបានចូលទៅក្នុងស៊េរីនៃលេខរបស់យើងទេ ដូច្នេះហើយ ទាំងប្រាំពីរនឹងមិនជាសមាជិកនៃដំណើរការដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។

ចម្លើយ៖ ទេ។

ហើយនេះគឺជាភារកិច្ចផ្អែកលើកំណែពិតនៃ GIA៖

4. សមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានសរសេរចេញ៖

... ; ១៥; X; ៩; ៦; ...

នេះគឺជាស៊េរីដែលគ្មានទីបញ្ចប់ និងការចាប់ផ្តើម។ គ្មាន​លេខ​សមាជិក មិន​ខុស​គ្នា​ទេ។ ឃ. មិន​អី​ទេ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ តោះមើលនិងមើលអ្វីដែលយើងអាច ដើម្បីដឹងពីបន្ទាត់នេះ? តើប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់ៗទាំងបីមានអ្វីខ្លះ?

លេខសមាជិក? មិនមានលេខតែមួយនៅទីនេះទេ។

ប៉ុន្តែមានបីលេខហើយ - យកចិត្តទុកដាក់! - ពាក្យ "ជាប់គ្នា"នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា​លេខ​ត្រូវ​តាម​លំដាប់​លំដោយ​ដោយ​គ្មាន​ចន្លោះ។ តើមានពីរនៅក្នុងជួរនេះទេ? អ្នកជិតខាងលេខដែលស្គាល់? បាទ​ឬ​ចាស​ខ្ញុំ​មាន! ទាំងនេះគឺ 9 និង 6។ ដូច្នេះយើងអាចគណនាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ! យើងដកពីប្រាំមួយ។ មុនលេខ, i.e. ប្រាំបួន៖

នៅសល់ចន្លោះទំនេរ។ តើលេខមួយណានឹងជាលេខមុនសម្រាប់ x? ដប់ប្រាំ។ ដូច្នេះ x អាចត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួលដោយការបន្ថែមសាមញ្ញ។ ដល់ ១៥ បន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ៖

អស់ហើយ។ ចម្លើយ៖ x=12

យើងដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោមដោយខ្លួនឯង។ ចំណាំ៖ ល្បែងផ្គុំរូបទាំងនេះមិនមែនសម្រាប់រូបមន្តទេ។ សុទ្ធសាធសម្រាប់ការយល់ដឹងពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។) យើងគ្រាន់តែសរសេរជាស៊េរីនៃលេខ-អក្សរ មើល និងគិត។

5. ស្វែងរកពាក្យវិជ្ជមានដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើ a 5 = -3; d = 1.1 ។

6. គេដឹងថាលេខ 5.5 គឺជាសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ដែល a 1 = 1.6; d = 1.3 ។ កំណត់ចំនួន n នៃពាក្យនេះ។

7. វាត្រូវបានគេដឹងថានៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1 ។ ស្វែងរក 3 ។

8. សមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានសរសេរចេញ៖

... ; ១៥.៦; X; ៣.៤; ...

ស្វែងរកពាក្យនៃវឌ្ឍនភាព តំណាងដោយអក្សរ x ។

9. រថភ្លើងចាប់ផ្តើមផ្លាស់ទីពីស្ថានីយ៍ ដោយបង្កើនល្បឿនបន្តិចម្តងៗ 30 ម៉ែត្រក្នុងមួយនាទី។ តើ​រថភ្លើង​នឹង​មាន​ល្បឿន​ប៉ុន្មាន​ក្នុង​រយៈពេល​ប្រាំ​នាទី? ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាគីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង។

10. គេដឹងថានៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ a 2 = 5; a 6 = −5 ។ រក 1.

ចំលើយ (ក្នុងភាពច្របូកច្របល់): 7.7; ៧.៥; ៩.៥; ៩; 0.3; ៤.

អ្វីគ្រប់យ៉ាងបានដំណើរការ? អស្ចារ្យមែន! អ្នកអាចរៀនការវិវត្តនព្វន្ធនៅកម្រិតខ្ពស់ក្នុងមេរៀនខាងក្រោម។

អ្វីៗមិនដំណើរការទេ? គ្មាន​បញ្ហា។ នៅក្នុងផ្នែកពិសេស 555 ល្បែងផ្គុំរូបទាំងអស់នេះត្រូវបានបំបែកដោយដុំៗ។) ហើយជាការពិតណាស់ បច្ចេកទេសអនុវត្តដ៏សាមញ្ញមួយត្រូវបានពិពណ៌នា ដែលរំលេចនូវដំណោះស្រាយនៃកិច្ចការទាំងនោះភ្លាមៗ យ៉ាងច្បាស់លាស់ ដូចជានៅក្នុងបាតដៃរបស់អ្នក!

ដោយវិធីនេះ នៅក្នុងល្បែងផ្គុំរូបអំពីរថភ្លើងមានបញ្ហាពីរដែលមនុស្សជារឿយៗជំពប់ដួល។ មួយ - សុទ្ធសាធដោយវឌ្ឍនភាព និងទីពីរ - ជារឿងធម្មតាសម្រាប់កិច្ចការណាមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យាផងដែរ។ នេះគឺជាការបកប្រែនៃវិមាត្រពីមួយទៅមួយទៀត។ វាបង្ហាញពីរបៀបដែលបញ្ហាទាំងនេះគួរតែត្រូវបានដោះស្រាយ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានពិនិត្យអត្ថន័យបឋមនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រចំបងរបស់វា។ នេះគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់លើប្រធានបទនេះ។ បន្ថែម ឃទៅលេខ សរសេរស៊េរី អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងត្រូវបានសម្រេចចិត្ត។

ដំណោះស្រាយម្រាមដៃដំណើរការល្អសម្រាប់បំណែកខ្លីៗនៃស៊េរី ដូចជានៅក្នុងឧទាហរណ៍នៅក្នុងមេរៀននេះ។ ប្រសិនបើស៊េរីវែងជាង ការគណនាកាន់តែពិបាក។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើនៅក្នុងបញ្ហាទី 9 ក្នុងសំណួរ សូមជំនួស "រយៈ​ពេល​ប្រាំ​នាទី"នៅលើ "សាមសិបប្រាំនាទី"បញ្ហានឹងកាន់តែអាក្រក់ទៅៗ។ )

ហើយមានកិច្ចការដែលមានលក្ខណៈសាមញ្ញផងដែរ ប៉ុន្តែមិនទំនងទាល់តែសោះក្នុងន័យនៃការគណនា ឧទាហរណ៍៖

ដែល​បាន​ឲ្យ​ដំណើរ​ការ​នព្វន្ធ (a n) ។ រក 121 ប្រសិនបើ 1 = 3 និង d = 1/6 ។

ហើយអ្វីដែលយើងនឹងបន្ថែម 1/6 ច្រើនដង?! តើអាចសម្លាប់ខ្លួនឯងបាន!

អ្នកអាច។) ប្រសិនបើអ្នកមិនដឹងរូបមន្តសាមញ្ញមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយកិច្ចការបែបនេះក្នុងរយៈពេលមួយនាទី។ រូបមន្តនេះនឹងមាននៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់។ ហើយបញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយនៅទីនោះ។ ក្នុង​មួយ​នាទី។)

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ ការរៀន - ដោយចំណាប់អារម្មណ៍!

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។