ខ្លឹមសារមេរៀន

សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយអថេរពីរ

សិស្សមាន 200 រូប្លិដើម្បីទទួលទានអាហារថ្ងៃត្រង់នៅសាលា។ នំមួយមានតម្លៃ 25 រូប្លិ ហើយកាហ្វេមួយពែងមានតម្លៃ 10 រូប្លិ៍។ តើអ្នកអាចទិញនំខេក និងកាហ្វេប៉ុន្មានពែងក្នុងតម្លៃ 200 រូប្លិ៍?

សម្គាល់ចំនួននំតាមរយៈ xនិងចំនួនពែងកាហ្វេឆ្លងកាត់ y. បន្ទាប់មកតម្លៃនៃនំនឹងត្រូវបានតាងដោយកន្សោម 25 xនិង​តម្លៃ​កាហ្វេ​ក្នុង​មួយ​កែវ ១០ y .

25x-តម្លៃ xនំ
10y-តម្លៃ yពែងកាហ្វេ

ចំនួនទឹកប្រាក់សរុបគួរតែមាន 200 រូប្លិ៍។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការដែលមានអថេរពីរ xនិង y

25x+ 10y= 200

តើសមីការនេះមានឫសប៉ុន្មាន?

វាទាំងអស់គឺអាស្រ័យលើចំណង់អាហាររបស់សិស្ស។ ប្រសិនបើគាត់ទិញនំ 6 និងកាហ្វេ 5 ពែងនោះឫសនៃសមីការនឹងជាលេខ 6 និង 5 ។

គូនៃតម្លៃ 6 និង 5 ត្រូវបានគេនិយាយថាជាឫសគល់នៃសមីការ 25 x+ 10y= ២០០។ សរសេរជា (6; 5) ដោយលេខទីមួយជាតម្លៃនៃអថេរ xនិងទីពីរ - តម្លៃនៃអថេរ y .

6 និង 5 មិនមែនជាឫសតែមួយគត់ដែលបញ្ច្រាសសមីការ 25 x+ 10y= 200 ទៅអត្តសញ្ញាណ។ ប្រសិនបើចង់បានសម្រាប់ 200 រូប្លិដូចគ្នា សិស្សអាចទិញនំខេក 4 និងកាហ្វេ 10 ពែង៖

ក្នុងករណីនេះឫសនៃសមីការ 25 x+ 10y= 200 គឺជាគូនៃតម្លៃ (4; 10) ។

លើសពីនេះទៅទៀត សិស្សម្នាក់ប្រហែលជាមិនទិញកាហ្វេទាល់តែសោះ ប៉ុន្តែទិញនំខេកក្នុងតម្លៃ ២០០ រូប្លិ៍។ បន្ទាប់មកឫសនៃសមីការ 25 x+ 10y= 200 នឹងជាតម្លៃ 8 និង 0

ឬផ្ទុយទៅវិញកុំទិញនំប៉ុន្តែទិញកាហ្វេក្នុងតម្លៃ 200 រូប្លិ៍ទាំងអស់។ បន្ទាប់មកឫសនៃសមីការ 25 x+ 10y= 200 នឹងជាតម្លៃ 0 និង 20

ចូរយើងព្យាយាមរាយបញ្ជីឫសគល់ដែលអាចកើតមាននៃសមីការ 25 x+ 10y= ២០០។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយល់ស្របថាតម្លៃ xនិង yជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំចំនួនគត់។ ហើយសូមឱ្យតម្លៃទាំងនេះធំជាង ឬស្មើសូន្យ៖

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

ដូច្នេះវានឹងមានភាពងាយស្រួលសម្រាប់សិស្សខ្លួនឯង។ នំគឺមានភាពងាយស្រួលក្នុងការទិញទាំងមូលជាងឧទាហរណ៍ នំទាំងមូល និងនំពាក់កណ្តាល។ កាហ្វេក៏មានភាពងាយស្រួលក្នុងការយកពែងទាំងមូលជាជាងឧទាហរណ៍ ពែងទាំងមូល និងកន្លះពែង។

ចំណាំថាសម្រាប់សេស xវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការសម្រេចបានសមភាពនៅក្រោមណាមួយ។ y. បន្ទាប់មកតម្លៃ xវានឹងមានលេខខាងក្រោម 0, 2, 4, 6, 8. ហើយដឹង xអាចត្រូវបានកំណត់យ៉ាងងាយស្រួល y

ដូច្នេះ យើងទទួលបានគូនៃតម្លៃខាងក្រោម (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). គូទាំងនេះគឺជាដំណោះស្រាយ ឬឫសគល់នៃសមីការ ២៥ x+ 10y= 200. ពួកគេបង្វែរសមីការនេះទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ។

ប្រភេទសមីការ ax + ដោយ = គហៅ សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយអថេរពីរ. ដំណោះស្រាយ ឬឫសគល់នៃសមីការនេះគឺជាតម្លៃគូ ( x; y) ដែលប្រែវាទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

ចំណាំផងដែរថាប្រសិនបើសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរត្រូវបានសរសេរជា ax + b y = c ,បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថាវាត្រូវបានសរសេរ Canonicalទម្រង់ (ធម្មតា) ។

សមីការលីនេអ៊ែរមួយចំនួននៅក្នុងអថេរពីរអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ។

ឧទាហរណ៍ សមីការ 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) អាចត្រូវបាននាំយកមកក្នុងចិត្ត ax + ដោយ = គ. ចូរបើកតង្កៀបនៅក្នុងផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះ យើងទទួលបាន 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . ពាក្យដែលមានមិនស្គាល់ត្រូវបានដាក់ជាក្រុមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ហើយពាក្យដែលគ្មានការមិនស្គាល់ត្រូវបានដាក់ជាក្រុមនៅខាងស្តាំ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . យើងនាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នានៅក្នុងផ្នែកទាំងពីរយើងទទួលបានសមីការ 16 x+ 8y= 32. សមីការនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ ax + ដោយ = គនិងជា Canonical ។

សមីការ 25 ពិចារណាមុន។ x+ 10y= 200 ក៏ជាសមីការលីនេអ៊ែរអថេរពីរក្នុងទម្រង់ Canonical ។ នៅក្នុងសមីការនេះ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ក , ខនិង គគឺស្មើនឹងតម្លៃ 25, 10 និង 200 រៀងគ្នា។

តាមពិតសមីការ ax + ដោយ = គមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។ ការដោះស្រាយសមីការ 25x+ 10y= 200, យើងស្វែងរកឫសរបស់វាតែលើសំណុំនៃចំនួនគត់។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានគូជាច្រើននៃតម្លៃដែលបានប្រែក្លាយសមីការនេះទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ។ ប៉ុន្តែនៅលើសំណុំនៃសមីការលេខសមហេតុផល 25 x+ 10y= 200 នឹងមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ដើម្បីទទួលបានគូថ្មីនៃតម្លៃ អ្នកត្រូវយកតម្លៃដែលបំពានសម្រាប់ xបន្ទាប់មកបញ្ចេញមតិ y. ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកអថេរមួយ។ xតម្លៃ 7. បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការដែលមានអថេរមួយ។ ២៥ × ៧ + 10y= 200 ដែលត្រូវបញ្ចេញ y

អនុញ្ញាតឱ្យ x= ១៥. បន្ទាប់មកសមីការ 25x+ 10y= 200 ក្លាយជា 25 × 15 + 10y= 200. ពីទីនេះយើងរកឃើញ y = −17,5

អនុញ្ញាតឱ្យ x=−៣. បន្ទាប់មកសមីការ 25x+ 10y= 200 ក្លាយជា 25 × (−3) + 10y= 200. ពីទីនេះយើងរកឃើញ y = −27,5

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរដែលមានអថេរពីរ

សម្រាប់សមីការ ax + ដោយ = គអ្នក​អាច​យក​ចំនួន​ដង​នៃ​តម្លៃ​បំពាន​សម្រាប់ xនិងស្វែងរកតម្លៃសម្រាប់ y. យកដោយឡែកពីគ្នា សមីការបែបនេះនឹងមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ប៉ុន្តែវាក៏កើតឡើងផងដែរដែលអថេរ xនិង yមិនភ្ជាប់ដោយមួយ ប៉ុន្តែដោយសមីការពីរ។ ក្នុងករណីនេះពួកគេបង្កើតអ្វីដែលគេហៅថា ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយអថេរពីរ. ប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះអាចមានតម្លៃមួយគូ (ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត៖ "ដំណោះស្រាយមួយ")។

វាក៏អាចកើតឡើងដែលថាប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយអ្វីទាំងអស់។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរអាចមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់នៅក្នុងករណីកម្រ និងពិសេស។

សមីការលីនេអ៊ែរពីរបង្កើតជាប្រព័ន្ធនៅពេលដែលតម្លៃ xនិង yត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការនីមួយៗ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការដំបូងបំផុត 25 x+ 10y= ២០០។ មួយគូនៃតម្លៃសម្រាប់សមីការនេះគឺគូ (6; 5) ។ នេះគឺជាករណីនៅពេលដែល 200 រូប្លិអាចទិញនំ 6 និងកាហ្វេ 5 ពែង។

យើងចងក្រងបញ្ហាដើម្បីឱ្យគូ (6; 5) ក្លាយជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់សម្រាប់សមីការ 25 x+ 10y= ២០០។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបង្កើតសមីការមួយផ្សេងទៀតដែលនឹងភ្ជាប់ដូចគ្នា។ xនំនិង yពែងកាហ្វេ។

ចូរយើងដាក់អត្ថបទនៃកិច្ចការដូចខាងក្រោមៈ

"សិស្សសាលាម្នាក់បានទិញនំជាច្រើន និងកាហ្វេជាច្រើនពែងក្នុងតម្លៃ 200 រូប្លិ៍។ នំមួយមានតម្លៃ 25 រូប្លិ ហើយកាហ្វេមួយពែងមានតម្លៃ 10 រូប្លិ៍។ តើ​និស្សិត​ទិញ​នំ​ខេក និង​កាហ្វេ​ប៉ុន្មាន បើ​គេ​ដឹង​ថា​ចំនួន​នំ​គឺ​ច្រើន​ជាង​ចំនួន​ពែង​កាហ្វេ?

យើងមានសមីការទីមួយរួចហើយ។ នេះគឺជាសមីការ 25 x+ 10y= ២០០។ ឥឡូវសូមសរសេរសមីការសម្រាប់លក្ខខណ្ឌ "ចំនួននំខេកគឺមួយឯកតាច្រើនជាងចំនួនពែងកាហ្វេ" .

ចំនួននំគឺ xហើយចំនួនពែងកាហ្វេគឺ y. អ្នកអាចសរសេរឃ្លានេះដោយប្រើសមីការ x−y= 1. សមីការនេះមានន័យថា ភាពខុសគ្នារវាងនំ និងកាហ្វេគឺ 1 ។

x=y+ ១. សមីការនេះមានន័យថាចំនួននំគឺមួយច្រើនជាងចំនួនពែងកាហ្វេ។ ដូច្នេះដើម្បីទទួលបានសមភាពមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅចំនួនពែងនៃកាហ្វេ។ នេះអាចយល់បានយ៉ាងងាយស្រួលប្រសិនបើយើងប្រើគំរូទម្ងន់ដែលយើងបានពិចារណានៅពេលសិក្សាបញ្ហាសាមញ្ញបំផុត:

ទទួលបានសមីការពីរ៖ ២៥ x+ 10y= 200 និង x=y+ 1. ចាប់តាំងពីតម្លៃ xនិង yពោលគឺ 6 និង 5 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកពួកគេរួមគ្នាបង្កើតប្រព័ន្ធមួយ។ ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធនេះ។ ប្រសិនបើសមីការបង្កើតជាប្រព័ន្ធ នោះពួកវាត្រូវបានដាក់ដោយសញ្ញានៃប្រព័ន្ធ។ សញ្ញាប្រព័ន្ធគឺជាដង្កៀបកោង៖

តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ។ នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងមើលឃើញពីរបៀបដែលយើងមកដល់តម្លៃ 6 និង 5. មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះ។ ពិចារណាការពេញនិយមបំផុតនៃពួកគេ។

វិធីសាស្រ្តជំនួស

ឈ្មោះនៃវិធីសាស្រ្តនេះនិយាយដោយខ្លួនឯង។ ខ្លឹមសាររបស់វាគឺដើម្បីជំនួសសមីការមួយទៅសមីការមួយទៀត ដោយបានបង្ហាញពីអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរពីមុន។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធរបស់យើង គ្មានអ្វីត្រូវបង្ហាញនោះទេ។ នៅក្នុងសមីការទីពីរ x = y+ 1 អថេរ xបានបង្ហាញរួចហើយ។ អថេរនេះស្មើនឹងកន្សោម y+ ១. បន្ទាប់មកអ្នកអាចជំនួសកន្សោមនេះនៅក្នុងសមីការទីមួយជំនួសឱ្យអថេរ x

បន្ទាប់ពីជំនួសកន្សោម y+ 1 ទៅក្នុងសមីការទីមួយជំនួសវិញ។ xយើងទទួលបានសមីការ 25(y+ 1) + 10y= 200 . នេះគឺជាសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរមួយ។ សមីការនេះគឺងាយស្រួលដោះស្រាយណាស់៖

យើងបានរកឃើញតម្លៃនៃអថេរ y. ឥឡូវនេះយើងជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការមួយ ហើយស្វែងរកតម្លៃ x. ចំពោះបញ្ហានេះវាងាយស្រួលប្រើសមីការទីពីរ x = y+ ១. ចូរយើងដាក់តម្លៃនៅក្នុងវា។ y

ដូច្នេះគូ (6; 5) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ ដូចដែលយើងចង់បាន។ យើងពិនិត្យ និងធ្វើឱ្យប្រាកដថាគូ (6; 5) បំពេញប្រព័ន្ធ៖

ឧទាហរណ៍ ២

ជំនួសសមីការទីមួយ x= 2 + yចូលទៅក្នុងសមីការទីពីរ 3 x - 2y= ៩. នៅក្នុងសមីការទីមួយ អថេរ xគឺស្មើនឹងកន្សោម 2 + y. យើងជំនួសកន្សោមនេះទៅក្នុងសមីការទីពីរជំនួសឱ្យ x

ឥឡូវនេះសូមស្វែងរកតម្លៃ x. ដើម្បីធ្វើដូចនេះជំនួសតម្លៃ yទៅក្នុងសមីការទីមួយ x= 2 + y

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺតម្លៃគូ (5; 3)

ឧទាហរណ៍ ៣. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីជំនួស៖

នៅទីនេះ មិនដូចឧទាហរណ៍ពីមុនទេ អថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរមិនត្រូវបានបង្ហាញច្បាស់លាស់ទេ។

ដើម្បីជំនួសសមីការមួយទៅសមីការមួយទៀត ដំបូងអ្នកត្រូវការ។

វាគឺជាការចង់បង្ហាញអថេរដែលមានមេគុណនៃមួយ។ ឯកតាមេគុណមានអថេរ xដែលមាននៅក្នុងសមីការទីមួយ x+ 2y= ១១. ចូរបង្ហាញអថេរនេះ។

បន្ទាប់ពីកន្សោមអថេរ xប្រព័ន្ធរបស់យើងនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ឥឡូវនេះយើងជំនួសសមីការទីមួយទៅជាទីពីរ ហើយស្វែងរកតម្លៃ y

ជំនួស y x

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺជាគូនៃតម្លៃ (3; 4)

ជាការពិតណាស់ អ្នកក៏អាចបង្ហាញអថេរមួយ។ y. ឫសនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកបង្ហាញ yលទ្ធផលមិនមែនជាសមីការសាមញ្ញទេ ដំណោះស្រាយនឹងចំណាយពេលច្រើនជាង។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

យើងឃើញថានៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះដើម្បីបង្ហាញ xងាយស្រួលជាងការបង្ហាញ y .

ឧទាហរណ៍ 4. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីជំនួស៖

បង្ហាញក្នុងសមីការទីមួយ x. បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

y

ជំនួស yចូលទៅក្នុងសមីការទីមួយ ហើយស្វែងរក x. អ្នកអាចប្រើសមីការដើម 7 x+ 9y= 8 ឬប្រើសមីការដែលអថេរត្រូវបានបង្ហាញ x. យើងនឹងប្រើសមីការនេះ ព្រោះវាងាយស្រួល៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺជាគូនៃតម្លៃ (5; −3)

វិធីសាស្រ្តបន្ថែម

វិធីសាស្ត្របន្ថែមគឺត្រូវបន្ថែមពាក្យតាមពាក្យ សមីការដែលបានបញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធ។ ការបន្ថែមនេះនាំឱ្យមានសមីការអថេរមួយថ្មី។ ហើយវាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការនេះ។

តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម៖

បន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរ។ ហើយផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីមួយជាមួយនឹងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ។ យើងទទួលបានសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

នេះគឺជាពាក្យស្រដៀងគ្នា៖

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការសាមញ្ញបំផុត 3 x= 27 ដែលឫសគល់គឺ 9. ដឹងពីតម្លៃ xអ្នកអាចរកឃើញតម្លៃ y. ជំនួសតម្លៃ xចូលទៅក្នុងសមីការទីពីរ x−y= ៣. យើងទទួលបាន 9 - y= ៣. ពី​ទីនេះ y= 6 .

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺជាគូនៃតម្លៃ (9; 6)

ឧទាហរណ៍ ២

បន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរ។ ហើយផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីមួយជាមួយនឹងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ។ នៅក្នុងសមភាពលទ្ធផល យើងបង្ហាញពាក្យដូចជា៖

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការសាមញ្ញបំផុត 5 x= 20, ឫសគល់នៃ 4. ដឹងតម្លៃ xអ្នកអាចរកឃើញតម្លៃ y. ជំនួសតម្លៃ xទៅក្នុងសមីការទីមួយ 2 x+y= ១១. ចូរយើងទទួលបាន 8 + y= ១១. ពី​ទីនេះ y= 3 .

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺជាគូនៃតម្លៃ (4; 3)

ដំណើរការបន្ថែមមិនត្រូវបានពិពណ៌នាលម្អិតទេ។ វាត្រូវធ្វើនៅក្នុងចិត្ត។ នៅពេលបន្ថែម សមីការទាំងពីរត្រូវតែកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ។ នោះគឺនៅក្នុងចិត្ត ac+by=c .

ពីឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថា គោលដៅសំខាន់នៃការបន្ថែមសមីការគឺដើម្បីកម្ចាត់អថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរ។ ប៉ុន្តែវាមិនតែងតែអាចដោះស្រាយបានភ្លាមៗនូវប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែមនោះទេ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ ប្រព័ន្ធត្រូវបាននាំមកជាទម្រង់មួយដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបន្ថែមសមីការដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ។

ឧទាហរណ៍ប្រព័ន្ធ អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្ទាល់ដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម។ នៅពេលបន្ថែមសមីការទាំងពីរ លក្ខខណ្ឌ yនិង -yបាត់ទៅវិញព្រោះផលបូករបស់ពួកគេគឺសូន្យ។ ជាលទ្ធផលសមីការសាមញ្ញបំផុតត្រូវបានបង្កើតឡើង 11 x= 22 ដែល root គឺ 2. បន្ទាប់មកវានឹងអាចកំណត់បាន។ yស្មើនឹង 5 ។

និងប្រព័ន្ធសមីការ វិធីសាស្ត្របន្ថែមមិនអាចដោះស្រាយភ្លាមៗបានទេ ព្រោះវាមិននាំទៅដល់ការបាត់ខ្លួននៃអថេរណាមួយឡើយ។ ការបន្ថែមនឹងលទ្ធផលនៅក្នុងសមីការ 8 x+ y= 28 ដែលមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានគុណ ឬចែកដោយចំនួនដូចគ្នាដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការដែលស្មើនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងត្រូវបានទទួល។ ច្បាប់នេះក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ។ សមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការ (ឬសមីការទាំងពីរ) អាចត្រូវបានគុណដោយចំនួនមួយចំនួន។ លទ្ធផល​គឺ​ប្រព័ន្ធ​សមមូល ដែល​ឫសគល់​នឹង​ស្រប​គ្នា​នឹង​ប្រព័ន្ធ​មុន។

ចូរយើងត្រឡប់ទៅប្រព័ន្ធដំបូងបំផុត ដែលពិពណ៌នាអំពីចំនួននំ និងកាហ្វេដែលសិស្សបានទិញ។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះគឺជាគូនៃតម្លៃ (6; 5) ។

យើងគុណសមីការទាំងពីរដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះដោយលេខមួយចំនួន។ ឧបមាថាយើងគុណសមីការទីមួយដោយ 2 និងទីពីរដោយ 3

លទ្ធផលគឺប្រព័ន្ធ
ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះនៅតែជាគូនៃតម្លៃ (6; 5)

នេះមានន័យថាសមីការដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ដែលសមរម្យសម្រាប់ការអនុវត្តវិធីសាស្ត្របន្ថែម។

ត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធ ដែលយើងមិនអាចដោះស្រាយដោយវិធីបន្ថែម។

គុណសមីការទីមួយដោយ 6 និងទីពីរដោយ −2

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោមៈ

យើងបន្ថែមសមីការដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ។ ការបន្ថែមធាតុផ្សំ ១២ xនិង -12 xលទ្ធផលនឹងជា 0 បូក 18 yនិង ៤ yនឹងផ្តល់ឱ្យ 22 yហើយការបន្ថែម 108 និង −20 ផ្តល់ឱ្យ 88។ បន្ទាប់មកអ្នកទទួលបានសមីការ 22 y= 88 ដូច្នេះ y = 4 .

ប្រសិនបើដំបូងវាពិបាកក្នុងការបន្ថែមសមីការនៅក្នុងគំនិតរបស់អ្នក នោះអ្នកអាចសរសេរពីរបៀបដែលផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរ ហើយផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីមួយទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ។ សមីការទីពីរ៖

ដោយដឹងថាតម្លៃនៃអថេរ yគឺ 4 អ្នកអាចរកឃើញតម្លៃ x. ជំនួស yចូលទៅក្នុងសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការ ឧទាហរណ៍ទៅក្នុងសមីការទីមួយ 2 x+ 3y= ១៨. បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការជាមួយអថេរមួយ 2 x+ 12 = 18 ។ យើងផ្ទេរលេខ 12 ទៅផ្នែកខាងស្តាំ ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា យើងទទួលបាន 2 x= 6 ដូច្នេះ x = 3 .

ឧទាហរណ៍ 4. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីបន្ថែម៖

គុណសមីការទីពីរដោយ −1 ។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

ចូរយើងបន្ថែមសមីការទាំងពីរ។ ការបន្ថែមសមាសធាតុ xនិង −xលទ្ធផលនឹងជា 0 បូក 5 yនិង ៣ yនឹងផ្តល់ឱ្យ 8 yហើយការបន្ថែម 7 និង 1 ផ្តល់ឱ្យ 8. លទ្ធផលគឺសមីការ 8 y= 8 ដែលឫសគឺ 1. ដឹងថាតម្លៃ yគឺ 1 អ្នកអាចរកឃើញតម្លៃ x .

ជំនួស yនៅក្នុងសមីការទីមួយយើងទទួលបាន x+ 5 = 7 ដូច្នេះ x= 2

ឧទាហរណ៍ 5. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីបន្ថែម៖

វាជាការចង់បានដែលពាក្យដែលមានអថេរដូចគ្នាមានទីតាំងនៅក្រោមមួយទៀត។ ដូច្នេះ​ក្នុង​សមីការ​ទី​២ លក្ខខណ្ឌ​ទី​៥ yនិង −2 xផ្លាស់ប្តូរទីកន្លែង។ ជាលទ្ធផលប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

គុណសមីការទីពីរដោយ 3។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

ឥឡូវនេះសូមបន្ថែមសមីការទាំងពីរ។ ជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមយើងទទួលបានសមីការ 8 y= 16 ដែល root គឺ 2 ។

ជំនួស yនៅក្នុងសមីការទីមួយយើងទទួលបាន 6 x− ១៤ = ៤០ ។ យើងផ្ទេរពាក្យ −14 ទៅខាងស្តាំ ប្តូរសញ្ញា យើងទទួលបាន 6 x= ៥៤. ពី​ទីនេះ x= 9.

ឧទាហរណ៍ ៦. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីបន្ថែម៖

ចូរយើងកម្ចាត់ប្រភាគ។ គុណសមីការទីមួយដោយ 36 និងទីពីរដោយ 12

នៅក្នុងប្រព័ន្ធលទ្ធផល សមីការទីមួយអាចត្រូវបានគុណដោយ −5 និងទីពីរដោយ 8

ចូរយើងបន្ថែមសមីការនៅក្នុងប្រព័ន្ធលទ្ធផល។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការសាមញ្ញបំផុត −13 y= −១៥៦ ។ ពី​ទីនេះ y= ១២. ជំនួស yចូលទៅក្នុងសមីការទីមួយ ហើយស្វែងរក x

ឧទាហរណ៍ ៧. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីបន្ថែម៖

យើងនាំយកសមីការទាំងពីរទៅជាទម្រង់ធម្មតា។ នៅទីនេះវាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តច្បាប់នៃសមាមាត្រនៅក្នុងសមីការទាំងពីរ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទីមួយ ផ្នែកខាងស្តាំត្រូវបានតំណាងជា ហើយផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរជា នោះប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

យើងមានសមាមាត្រ។ យើងគុណនឹងពាក្យជ្រុល និងកណ្តាលរបស់វា។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

យើងគុណសមីការទីមួយដោយ −3 ហើយបើកតង្កៀបទីពីរ៖

ឥឡូវនេះសូមបន្ថែមសមីការទាំងពីរ។ ជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមសមីការទាំងនេះ យើងទទួលបានសមភាព ដែលនៅក្នុងផ្នែកទាំងពីរនឹងមានសូន្យ៖

វាប្រែថាប្រព័ន្ធមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ប៉ុន្តែ​យើង​មិន​អាច​យក​តម្លៃ​តាម​អំពើ​ចិត្ត​ពី​លើ​មេឃ​មក​ប្រើ​បាន​ទេ។ xនិង y. យើងអាចបញ្ជាក់តម្លៃមួយ ហើយតម្លៃផ្សេងទៀតនឹងត្រូវបានកំណត់អាស្រ័យលើតម្លៃដែលយើងបញ្ជាក់។ ឧទាហរណ៍អនុញ្ញាតឱ្យ x= ២. ជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងប្រព័ន្ធ៖

ជាលទ្ធផលនៃការដោះស្រាយសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការតម្លៃសម្រាប់ yដែលនឹងបំពេញសមីការទាំងពីរ៖

លទ្ធផលគូនៃតម្លៃ (2; −2) នឹងបំពេញប្រព័ន្ធ៖

ចូរយើងស្វែងរកគូមួយទៀតនៃតម្លៃ។ អនុញ្ញាតឱ្យ x= 4. ជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងប្រព័ន្ធ៖

វាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយភ្នែក yស្មើសូន្យ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានតម្លៃគូ (4; 0) ដែលបំពេញប្រព័ន្ធរបស់យើង៖

ឧទាហរណ៍ ៨. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីបន្ថែម៖

គុណសមីការទីមួយដោយ 6 និងទីពីរដោយ 12

ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវអ្វីដែលនៅសេសសល់៖

គុណសមីការទីមួយដោយ −1 ។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

ឥឡូវនេះសូមបន្ថែមសមីការទាំងពីរ។ ជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមសមីការ 6 ត្រូវបានបង្កើតឡើង ខ= 48 ដែលឫសគឺ 8. ជំនួស ខចូលទៅក្នុងសមីការទីមួយ ហើយស្វែងរក ក

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរបី

សមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរបីរួមមានអថេរបីដែលមានមេគុណ ក៏ដូចជាការស្កាត់មួយ។ នៅក្នុងទម្រង់ Canonical វាអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

ax + by + cz = ឃ

សមីការនេះមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។ ដោយផ្តល់អថេរពីរតម្លៃផ្សេងគ្នា តម្លៃទីបីអាចត្រូវបានរកឃើញ។ ដំណោះស្រាយក្នុងករណីនេះគឺបីដងនៃតម្លៃ ( x; y; z) ដែលប្រែសមីការទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

ប្រសិនបើអថេរ x, y, zត្រូវបានភ្ជាប់គ្នាទៅវិញទៅមកដោយសមីការបី បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបីដែលមានអថេរបីត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះ អ្នកអាចអនុវត្តវិធីសាស្រ្តដូចគ្នាដែលអនុវត្តចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ៖ វិធីសាស្ត្រជំនួស និងវិធីសាស្ត្របន្ថែម។

ឧទាហរណ៍ ១. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមដោយប្រើវិធីជំនួស៖

យើងបង្ហាញនៅក្នុងសមីការទីបី x. បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

ឥឡូវនេះសូមធ្វើការជំនួស។ អថេរ xគឺស្មើនឹងការបញ្ចេញមតិ 3 − 2y − 2z . ជំនួសកន្សោមនេះទៅក្នុងសមីការទីមួយ និងទីពីរ៖

ចូរបើកតង្កៀបក្នុងសមីការទាំងពីរ ហើយផ្តល់ពាក្យដូចជា៖

យើងបានមកដល់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ។ ក្នុងករណីនេះវាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្ត្របន្ថែម។ ជាលទ្ធផលអថេរ yនឹងបាត់ ហើយយើងអាចរកឃើញតម្លៃនៃអថេរ z

ឥឡូវនេះសូមស្វែងរកតម្លៃ y. សម្រាប់ការនេះ វាងាយស្រួលប្រើសមីការ − y+ z= 4. ជំនួសតម្លៃ z

ឥឡូវនេះសូមស្វែងរកតម្លៃ x. ចំពោះបញ្ហានេះវាងាយស្រួលប្រើសមីការ x= 3 − 2y − 2z . ជំនួសតម្លៃទៅក្នុងវា។ yនិង z

ដូច្នេះតម្លៃបីដង (3; −2; 2) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធរបស់យើង។ តាមរយៈការត្រួតពិនិត្យ យើងត្រូវប្រាកដថាតម្លៃទាំងនេះបំពេញប្រព័ន្ធ៖

ឧទាហរណ៍ ២. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីបន្ថែម

ចូរបន្ថែមសមីការទីមួយជាមួយទីពីរគុណនឹង −2 ។

ប្រសិនបើសមីការទីពីរត្រូវបានគុណនឹង −2 នោះវានឹងយកទម្រង់ −6x+ 6y- 4z = −4 . ឥឡូវបន្ថែមវាទៅសមីការទីមួយ៖

យើងឃើញថា ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម តម្លៃនៃអថេរត្រូវបានកំណត់ x. វាស្មើនឹងមួយ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធសំខាន់វិញ។ ចូរបន្ថែមសមីការទីពីរជាមួយទីបីគុណនឹង −1 ។ ប្រសិនបើសមីការទីបីត្រូវបានគុណនឹង −1 នោះវានឹងយកទម្រង់ −4x + 5y − 2z = −1 . ឥឡូវបន្ថែមវាទៅសមីការទីពីរ៖

ទទួលបានសមីការ x - 2y= −1 ។ ជំនួសតម្លៃនៅក្នុងវា។ xដែលយើងបានរកឃើញមុន។ បន្ទាប់មកយើងអាចកំណត់តម្លៃ y

ឥឡូវនេះយើងដឹងពីតម្លៃ xនិង y. នេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់តម្លៃ z. យើងប្រើសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការដែលរួមបញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធ៖

ដូច្នេះតម្លៃបីដង (1; 1; 1) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធរបស់យើង។ តាមរយៈការត្រួតពិនិត្យ យើងត្រូវប្រាកដថាតម្លៃទាំងនេះបំពេញប្រព័ន្ធ៖

ភារកិច្ចសម្រាប់ការចងក្រងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ភារកិច្ចនៃការចងក្រងប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានដោះស្រាយដោយការណែនាំអថេរជាច្រើន។ បន្ទាប់មកសមីការត្រូវបានចងក្រងដោយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ពីសមីការដែលបានចងក្រងពួកគេបង្កើតប្រព័ន្ធមួយហើយដោះស្រាយវា។ ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធវាចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យមើលថាតើដំណោះស្រាយរបស់វាបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែរឬទេ។

កិច្ចការទី 1. រថយន្ត Volga បានចាកចេញពីទីក្រុងសម្រាប់កសិដ្ឋានសមូហភាព។ នាង​ត្រឡប់​មក​វិញ​តាម​ផ្លូវ​មួយ​ទៀត ដែល​ខ្លី​ជាង​ផ្លូវ​ដំបូង​៥​គីឡូម៉ែត្រ។ សរុប​រថយន្ត​បើក​បាន​ចម្ងាយ ៣៥​គីឡូម៉ែត្រ​ទាំង​សងខាង។ តើផ្លូវនីមួយៗមានប្រវែងប៉ុន្មានគីឡូម៉ែត្រ?

ដំណោះស្រាយ

អនុញ្ញាតឱ្យ x-ប្រវែងផ្លូវទីមួយ y- ប្រវែងនៃទីពីរ។ ប្រសិនបើរថយន្តបើកបានចម្ងាយ 35 គីឡូម៉ែត្រទាំងសងខាង សមីការទីមួយអាចត្រូវបានសរសេរជា x+ y= 35. សមីការនេះពិពណ៌នាអំពីផលបូកនៃប្រវែងផ្លូវទាំងពីរ។

គេ​ថា​រថយន្ត​បើក​ត្រឡប់​មក​វិញ​តាម​ផ្លូវ​ដែល​ខ្លី​ជាង​លើក​ទី​១​៥​គីឡូម៉ែត្រ ។ បន្ទាប់មកសមីការទីពីរអាចត្រូវបានសរសេរជា x− y= 5. សមីការនេះបង្ហាញថាភាពខុសគ្នារវាងប្រវែងផ្លូវគឺ 5 គីឡូម៉ែត្រ។

ឬសមីការទីពីរអាចត្រូវបានសរសេរជា x= y+ ៥. យើងនឹងប្រើសមីការនេះ។

ចាប់តាំងពីអថេរ xនិង yនៅក្នុងសមីការទាំងពីរបង្ហាញពីចំនួនដូចគ្នា បន្ទាប់មកយើងអាចបង្កើតប្រព័ន្ធមួយពីពួកវា៖

ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើវិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តដែលបានសិក្សាពីមុន។ ក្នុង​ករណី​នេះ វា​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ប្រើ​វិធី​ជំនួស ដោយ​ហេតុ​ថា​ក្នុង​សមីការ​ទីពីរ អថេរ xបានបង្ហាញរួចហើយ។

ជំនួសសមីការទីពីរទៅក្នុងទីមួយ ហើយស្វែងរក y

ជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ yចូលទៅក្នុងសមីការទីពីរ x= y+ 5 ហើយស្វែងរក x

ប្រវែងនៃផ្លូវទីមួយត្រូវបានតាងដោយអថេរ x. ឥឡូវនេះយើងបានរកឃើញអត្ថន័យរបស់វា។ អថេរ xគឺ 20. ដូច្នេះប្រវែងផ្លូវទីមួយគឺ 20 គីឡូម៉ែត្រ។

ហើយប្រវែងនៃផ្លូវទីពីរត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ y. តម្លៃនៃអថេរនេះគឺ 15. ដូច្នេះប្រវែងផ្លូវទីពីរគឺ 15 គីឡូម៉ែត្រ។

តោះធ្វើការពិនិត្យ។ ជាដំបូង ត្រូវប្រាកដថាប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយត្រឹមត្រូវ៖

ឥឡូវនេះសូមពិនិត្យមើលថាតើដំណោះស្រាយ (20; 15) បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាឬអត់។

គេ​បាន​និយាយ​ថា សរុប​រថយន្ត​បើក​បាន​ចម្ងាយ ៣៥ គ.ម. យើងបន្ថែមប្រវែងផ្លូវទាំងពីរ ហើយត្រូវប្រាកដថាដំណោះស្រាយ (២០; ១៥) បំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ៖ 20 គីឡូម៉ែត្រ + 15 គីឡូម៉ែត្រ = 35 គីឡូម៉ែត្រ

លក្ខខណ្ឌបន្ទាប់៖ រថយន្ត​នោះ​បាន​ត្រឡប់​មក​វិញ​តាម​ផ្លូវ​មួយ​ទៀត​ដែល​ខ្លី​ជាង​ផ្លូវ​ដំបូង​៥​គីឡូម៉ែត្រ . យើងឃើញថាដំណោះស្រាយ (២០; ១៥) ក៏បំពេញលក្ខខណ្ឌនេះផងដែរ ព្រោះ ១៥ គីឡូម៉ែត្រខ្លីជាង ២០ គីឡូម៉ែត្រ ៥ គីឡូម៉ែត្រ៖ 20 គីឡូម៉ែត្រ − 15 គីឡូម៉ែត្រ = 5 គីឡូម៉ែត្រ

នៅពេលចងក្រងប្រព័ន្ធ វាមានសារៈសំខាន់ដែលអថេរបង្ហាញលេខដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ។

ដូច្នេះប្រព័ន្ធរបស់យើងមានសមីការពីរ។ សមីការទាំងនេះនៅក្នុងវេនមានអថេរ xនិង yដែលបង្ហាញពីលេខដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរ គឺប្រវែងផ្លូវស្មើនឹង 20 គីឡូម៉ែត្រ និង 15 គីឡូម៉ែត្រ។

កិច្ចការទី 2. អ្នកដេកដើមឈើអុក និងស្រល់ត្រូវបានផ្ទុកនៅលើវេទិកា សរុបចំនួន 300 នាក់ដេក។ វាត្រូវបានគេដឹងថាអ្នកដេកដើមឈើអុកទាំងអស់មានទម្ងន់ 1 តោនតិចជាងអ្នកដេកស្រល់ទាំងអស់។ កំណត់ថាតើមានអ្នកដេកដើមឈើអុក និងស្រល់ប៉ុន្មាននាក់ដោយឡែកពីគ្នា បើអ្នកដេកដើមឈើអុកនីមួយៗមានទម្ងន់ 46 គីឡូក្រាម ហើយអ្នកដេកស្រល់នីមួយៗមានទម្ងន់ 28 គីឡូក្រាម។

ដំណោះស្រាយ

អនុញ្ញាតឱ្យ xដើមឈើអុក និង yអ្នកដេកស្រល់ត្រូវបានផ្ទុកនៅលើវេទិកា។ ប្រសិនបើមានអ្នកដេកសរុប 300 នាក់ នោះសមីការទីមួយអាចត្រូវបានសរសេរជា x+y = 300 .

អ្នកដេកដើមឈើអុកទាំងអស់មានទម្ងន់ 46 xគីឡូក្រាម និងស្រល់មានទម្ងន់ 28 yគក។ ដោយសារអ្នកដេកដើមឈើអុកមានទម្ងន់ 1 តោនតិចជាងអ្នកដេកស្រល់ សមីការទីពីរអាចត្រូវបានសរសេរជា 28y- 46x= 1000 . សមីការនេះបង្ហាញថាភាពខុសគ្នាដ៏ធំរវាងដើមឈើអុក និងស្រល់គឺ 1000 គីឡូក្រាម។

តោន​ត្រូវ​បាន​បំប្លែង​ទៅ​ជា​គីឡូក្រាម ដោយ​សារ​តែ​ម៉ាស់​របស់​ដើម​អុក និង​ស្រល់​ត្រូវ​បាន​វាស់​ជា​គីឡូក្រាម។

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការពីរដែលបង្កើតជាប្រព័ន្ធ

តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ។ បង្ហាញក្នុងសមីការទីមួយ x. បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

ជំនួសសមីការទីមួយទៅជាសមីការទីពីរ ហើយស្វែងរក y

ជំនួស yចូលទៅក្នុងសមីការ x= 300 − yនិងស្វែងយល់ពីអ្វី x

នេះមានន័យថាដើមឈើអុក 100 និងដើមស្រល់ 200 ត្រូវបានផ្ទុកនៅលើវេទិកា។

ចូរយើងពិនិត្យមើលថាតើដំណោះស្រាយ (100; 200) បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែរឬទេ។ ជាដំបូង ត្រូវប្រាកដថាប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយត្រឹមត្រូវ៖

គេ​ថា​មាន​អ្នក​ដេក​សរុប​៣០០​នាក់​។ យើងបន្ថែមចំនួនអ្នកដេកដើមឈើអុក និងស្រល់ ហើយត្រូវប្រាកដថាដំណោះស្រាយ (100; 200) បំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ៖ 100 + 200 = 300.

លក្ខខណ្ឌបន្ទាប់៖ អ្នកដេកដើមឈើអុកទាំងអស់មានទម្ងន់ 1 តោនតិចជាងស្រល់ទាំងអស់។ . យើងឃើញថាដំណោះស្រាយ (100; 200) ក៏បំពេញលក្ខខណ្ឌនេះផងដែរ ចាប់តាំងពី 46 × 100 គីឡូក្រាមនៃអ្នកដេកដើមឈើអុកគឺស្រាលជាង 28 × 200 គីឡូក្រាមនៃអ្នកដេកស្រល់: 5600 គីឡូក្រាម - 4600 គីឡូក្រាម = 1000 គីឡូក្រាម។

កិច្ចការទី 3. យើងយកយ៉ាន់ស្ព័រចំនួនបីនៃទង់ដែងនិងនីកែលក្នុងសមាមាត្រ 2: 1, 3: 1 និង 5: 1 ដោយទម្ងន់។ ក្នុង​នោះ​ដុំ​ទម្ងន់​១២​គីឡូក្រាម​ត្រូវ​បាន​ផ្សំ​ជាមួយ​សមាមាត្រ​នៃ​សារធាតុ​ទង់ដែង និង​នីកែល ៤:១។ ស្វែងរកម៉ាស់នៃបំណែកដើមនីមួយៗ ប្រសិនបើម៉ាស់ទីមួយនៃពួកវាគឺពីរដងនៃម៉ាស់ទីពីរ។

ចូរយើងពិចារណាករណីដំបូងនៅពេលដែលចំនួនសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនអថេរ i.e. m = ន. បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធគឺការ៉េ ហើយកត្តាកំណត់របស់វាត្រូវបានគេហៅថាកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ។

វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ពិចារណាក្នុងន័យទូទៅប្រព័ន្ធនៃសមីការ AX = B ជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ A. ក្នុងករណីនេះមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ។ ចូរគុណភាគីទាំងពីរដោយ A -1 នៅខាងឆ្វេង។ យើងទទួលបាន A -1 AX \u003d A -1 B. ពីទីនេះ EX \u003d A -1 B និង

សមភាពចុងក្រោយគឺជារូបមន្តម៉ាទ្រីសសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះ។ ការប្រើប្រាស់រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងប្រើវិធីនេះដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធខាងក្រោម៖

;

នៅចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ ការត្រួតពិនិត្យអាចត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ ក្នុងករណីនេះពួកគេត្រូវតែប្រែទៅជាសមភាពពិត។

សម្រាប់ឧទាហរណ៍នេះ សូមពិនិត្យមើល៖

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយម៉ាទ្រីសការ៉េដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer

អនុញ្ញាតឱ្យ n=2:

ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីមួយត្រូវបានគុណដោយ 22 ហើយផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីពីរដោយ (-a 12) ហើយបន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលត្រូវបានបន្ថែម នោះយើងនឹងដកអថេរ x 2 ចេញពីប្រព័ន្ធ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អ្នកអាចលុបបំបាត់អថេរ x 1 (ដោយគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការទីមួយដោយ (-a 21) និងភាគីទាំងពីរនៃទីពីរដោយ 11) ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ៖

កន្សោមក្នុងតង្កៀបគឺជាកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ

សម្គាល់

បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

វាធ្វើតាមពីប្រព័ន្ធលទ្ធផលដែលថាប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺ 0 នោះប្រព័ន្ធនឹងស្របនិងច្បាស់លាស់។ ដំណោះស្រាយតែមួយគត់របស់វាអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ប្រសិនបើ = 0, a 1 0 និង/ឬ  2 0 នោះសមីការនៃប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់ 0*х 1 =  2 និង/ឬ 0*х 1 =  2 ។ ក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធនឹងមិនជាប់លាប់។

ក្នុងករណីដែល  =  1 =  2 = 0 ប្រព័ន្ធនឹងមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងគ្មានកំណត់ (វានឹងមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់) ដូចដែលវានឹងយកទម្រង់៖

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer(យើងលុបចោលភស្តុតាង) ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ n នៃសមីការ  មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

,

ដែល  j គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានពីម៉ាទ្រីស A ដោយជំនួសជួរឈរ j-th ជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកទំនេរ។

រូបមន្តខាងលើត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តរបស់ Cramer.

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងប្រើវិធីនេះដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលត្រូវបានដោះស្រាយពីមុនដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្ត្រពិចារណា៖

1) ភាពស្មុគស្មាញសំខាន់ៗ (ការគណនាកត្តាកំណត់និងការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស);

2) វិសាលភាពមានកំណត់ (សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានម៉ាទ្រីសការ៉េ)។

ស្ថានភាពសេដ្ឋកិច្ចពិតប្រាកដជារឿយៗត្រូវបានយកគំរូតាមប្រព័ន្ធដែលចំនួនសមីការ និងអថេរមានសមីការច្រើន ហើយមានសមីការច្រើនជាងអថេរ។

វិធីសាស្រ្ត Gauss (វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់អថេរជាបន្តបន្ទាប់)

វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ m ជាមួយអថេរ n តាមរបៀបទូទៅ។ ខ្លឹមសាររបស់វាស្ថិតនៅក្នុងការអនុវត្តប្រព័ន្ធនៃការបំប្លែងសមមូលទៅនឹងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ដោយមានជំនួយពីប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានបំលែងទៅជាទម្រង់ នៅពេលដែលដំណោះស្រាយរបស់វាងាយស្រួលរក (ប្រសិនបើមាន)។

នេះគឺជាទិដ្ឋភាពដែលផ្នែកខាងឆ្វេងខាងលើនៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធនឹងជាម៉ាទ្រីសដែលបានបោះជំហាន។ នេះត្រូវបានសម្រេចដោយប្រើបច្ចេកទេសដូចគ្នាដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីសជំហានដើម្បីកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់។ ក្នុងករណីនេះ ការបំប្លែងបឋមត្រូវបានអនុវត្តចំពោះម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ទទួលបានប្រព័ន្ធសមមូលនៃសមីការ។ បន្ទាប់ពីនោះ ម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនឹងមានទម្រង់៖

ការទទួលបានម៉ាទ្រីសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា នៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។វិធីសាស្រ្ត Gauss ។

ការស្វែងរកតម្លៃនៃអថេរពីប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នានៃសមីការត្រូវបានគេហៅថា ថយក្រោយវិធីសាស្រ្ត Gauss ។ ចូរយើងពិចារណា។

ចំណាំថាសមីការចុងក្រោយ (m – r) នឹងមានទម្រង់៖

ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយ។
មិនស្មើនឹងសូន្យទេ នោះសមភាពដែលត្រូវគ្នានឹងមិនពិត ហើយប្រព័ន្ធទាំងមូលនឹងមិនជាប់លាប់។

ដូច្នេះសម្រាប់ប្រព័ន្ធរួមគ្នាណាមួយ។
. ក្នុងករណីនេះសមីការ (m – r) ចុងក្រោយសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរនឹងជាអត្តសញ្ញាណ 0 = 0 ហើយពួកគេអាចត្រូវបានគេមិនអើពើនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធ (គ្រាន់តែបោះបង់ជួរដែលត្រូវគ្នា)។

បន្ទាប់ពីនោះប្រព័ន្ធនឹងមើលទៅដូចនេះ:

ពិចារណាករណីដំបូងនៅពេលដែល r = n ។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖

ពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ គេអាចរកឃើញ x r បាន។

ដោយដឹងថា x r មនុស្សម្នាក់អាចបង្ហាញ x r -1 ពីវា។ បន្ទាប់មកពីសមីការមុន ដោយដឹងថា x r និង x r -1 យើងអាចបង្ហាញ x r -2 ជាដើម។ រហូតដល់ x 1 ។

ដូច្នេះក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធនឹងមានការសហការគ្នានិងច្បាស់លាស់។

ឥឡូវនេះពិចារណាករណីនៅពេលដែល r មូលដ្ឋាន(មូលដ្ឋាន) និងនៅសល់ទាំងអស់ - មិនមែនមូលដ្ឋាន(អនីតិជន ឥតគិតថ្លៃ)។ សមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ពីសមីការនេះ យើងអាចបង្ហាញអថេរមូលដ្ឋាន x r ក្នុងន័យនៃអថេរដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន៖

សមីការចុងក្រោយនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ការជំនួសកន្សោមលទ្ធផលជំនួសឱ្យ x r វានឹងអាចបង្ហាញអថេរមូលដ្ឋាន x r -1 តាមរយៈអថេរដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន។ ល។ ទៅអថេរ x 1 ។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ អ្នកអាចគណនាអថេរដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋានទៅនឹងតម្លៃបំពាន ហើយបន្ទាប់មកគណនាអថេរមូលដ្ឋានដោយប្រើរូបមន្តដែលទទួលបាន។ ដូច្នេះ ក្នុងករណីនេះ ប្រព័ន្ធនឹងមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងមិនអាចកំណត់បាន (មានដំណោះស្រាយមិនកំណត់)។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

សំណុំនៃអថេរមូលដ្ឋាននឹងត្រូវបានហៅ មូលដ្ឋានប្រព័ន្ធ។ សំណុំនៃជួរឈរនៃមេគុណសម្រាប់ពួកវាក៏នឹងត្រូវបានហៅផងដែរ។ មូលដ្ឋាន(ជួរឈរមូលដ្ឋាន) ឬ អនីតិជនមូលដ្ឋានម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនោះ ដែលអថេរដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋានទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ នឹងត្រូវបានហៅ ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន.

នៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាននឹងជា (4/5; -17/5; 0; 0) (អថេរ x 3 និង x 4 (c 1 និង c 2) ត្រូវបានកំណត់ទៅសូន្យ ហើយអថេរមូលដ្ឋាន x 1 និង x 2 ត្រូវបានគណនាតាមរយៈពួកវា) ។ ដើម្បីផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន វាចាំបាច់ក្នុងការស្មើ x 3 និង x 4 (c 1 និង c 2) ទៅនឹងចំនួនបំពានដែលមិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ ហើយគណនាអថេរដែលនៅសល់តាមរយៈ ពួកគេ។ ឧទាហរណ៍ជាមួយ c 1 = 1 និង c 2 = 0 យើងទទួលបានដំណោះស្រាយដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន - (4/5; -12/5; 1; 0) ។ តាមរយៈការជំនួស វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាដំណោះស្រាយទាំងពីរគឺត្រឹមត្រូវ។

ជាក់ស្តែងនៅក្នុងប្រព័ន្ធមិនកំណត់នៃដំណោះស្រាយដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន វាអាចមានចំនួនដំណោះស្រាយមិនកំណត់។ តើមានដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានប៉ុន្មាន? ជួរនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដែលបានបំប្លែងត្រូវតែឆ្លើយតបទៅនឹងអថេរមូលដ្ឋានមួយ។ សរុបមក មានអថេរ n នៅក្នុងបញ្ហា និង r ជួរមូលដ្ឋាន។ ដូច្នេះចំនួននៃសំណុំអថេរមូលដ្ឋានដែលអាចធ្វើបានមិនអាចលើសពីចំនួនបន្សំពី n ដល់ 2 ទេ។ វាអាចតិចជាង ដោយសារតែវាមិនតែងតែអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបំប្លែងប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់បែបនោះ ដែលសំណុំនៃអថេរពិសេសនេះគឺជាមូលដ្ឋាន។

តើនេះជាប្រភេទអ្វី? នេះគឺជាទម្រង់បែបនោះ នៅពេលដែលម៉ាទ្រីសបង្កើតចេញពីជួរឈរនៃមេគុណសម្រាប់អថេរទាំងនេះនឹងមានលក្ខណៈជាជំហានៗ ហើយក្នុងករណីនេះនឹងមានជួរដេក។ ទាំងនោះ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃមេគុណសម្រាប់អថេរទាំងនេះត្រូវតែស្មើនឹង r ។ វាមិនអាចធំជាងនេះបានទេ ដោយសារចំនួនជួរឈរស្មើនឹង r ។ ប្រសិនបើវាប្រែជាតិចជាង r នោះវាបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃជួរឈរដែលមានអថេរ។ ជួរឈរបែបនេះមិនអាចបង្កើតជាមូលដ្ឋានបានទេ។

ចូរយើងពិចារណានូវដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានផ្សេងទៀតដែលអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមពិចារណាបន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចំនួនបួនជាមួយនឹងមូលដ្ឋានពីរ។ បន្សំបែបនេះនឹង
ហើយមួយក្នុងចំណោមពួកគេ (x 1 និង x 2) ត្រូវបានពិចារណារួចហើយ។

ចូរយើងយកអថេរ x 1 និង x 3 ។ ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃមេគុណសម្រាប់ពួកគេ៖

ដោយសារវាស្មើនឹងពីរ ពួកគេអាចជាមូលដ្ឋាន។ យើងគណនាអថេរដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន x 2 និង x 4 ទៅសូន្យ៖ x 2 \u003d x 4 \u003d 0 ។ បន្ទាប់មកពីរូបមន្ត x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 វាធ្វើតាមនោះ x 1 \u003d 4/5 និងពីរូបមន្ត x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 វាធ្វើតាមនោះ x 3 \u003d x 2 + ១៧/៥ \u003d ១៧/៥ ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាន (4/5; 0; 17/5; 0) ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អ្នកអាចទទួលបានដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានសម្រាប់អថេរមូលដ្ឋាន x 1 និង x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 និង x 4 − (0; -9; 0; 4); x 3 និង x 4 - (0; 0; 9; 4) ។

អថេរ x 2 និង x 3 ក្នុងឧទាហរណ៍នេះមិនអាចយកជាមូលដ្ឋានបានទេ ព្រោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើនឹងមួយ ពោលគឺឧ។ តិចជាងពីរ៖

.

វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់ថាតើវាអាចទៅរួចឬអត់ដើម្បីបង្កើតមូលដ្ឋានពីអថេរមួយចំនួន។ នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ ជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ជំហាន វាបានយកទម្រង់៖

ដោយជ្រើសរើសគូនៃអថេរ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគណនាអនីតិជនដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសនេះ។ វាងាយស្រួលមើលថាសម្រាប់គូទាំងអស់ លើកលែងតែ x 2 និង x 3 វាមិនស្មើនឹងសូន្យទេ i.e. ជួរឈរគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ហើយសម្រាប់តែជួរឈរដែលមានអថេរ x 2 និង x 3 ប៉ុណ្ណោះ។
ដែលបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែររបស់ពួកគេ។

សូម​ពិចារណា​ឧទាហរណ៍​មួយ​ទៀត។ តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ដូច្នេះសមីការដែលត្រូវគ្នានឹងជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីសចុងក្រោយគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា - វានាំឱ្យមានសមភាពខុស 0 = -1 ដូច្នេះប្រព័ន្ធនេះមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

វិធីសាស្រ្ត Jordan-Gauss 3 គឺជាការអភិវឌ្ឍន៍នៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។ ខ្លឹមសាររបស់វាគឺថាម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានបំលែងទៅជាទម្រង់នៅពេលដែលមេគុណនៃអថេរបង្កើតជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណរហូតដល់ការផ្លាស់ប្តូរជួរឬជួរទី 4 (កន្លែងណាជាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ)។

តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីនេះ៖

ពិចារណាម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

នៅក្នុងម៉ាទ្រីសនេះ យើងជ្រើសរើសធាតុអត្តសញ្ញាណ។ ឧទាហរណ៍ មេគុណ x 2 ក្នុងកម្រិតទីបីគឺ 5 ។ ចូរប្រាកដថានៅក្នុងជួរដែលនៅសល់ក្នុងជួរឈរនេះមានសូន្យ ពោលគឺឧ។ ធ្វើឱ្យជួរឈរតែមួយ។ នៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរ, យើងនឹងហៅរឿងនេះ ជួរឈរអនុញ្ញាត(នាំមុខ, គន្លឹះ) ។ ឧបសគ្គទីបី (ទីបី ខ្សែអក្សរ) នឹងត្រូវបានហៅផងដែរ។ អនុញ្ញាត. ខ្លួនខ្ញុំផ្ទាល់ ធាតុដែលឈរនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេក និងជួរឈរដែលអនុញ្ញាត (នៅទីនេះវាជាឯកតា) ត្រូវបានហៅផងដែរ។ អនុញ្ញាត.

ជួរទីមួយឥឡូវនេះមានមេគុណ (-1) ។ ដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅកន្លែងរបស់វា គុណជួរទីបីដោយ (-1) ហើយដកលទ្ធផលចេញពីជួរទីមួយ (ឧ. គ្រាន់តែបន្ថែមជួរទីមួយទៅជួរទីបី)។

ជួរទីពីរមានមេគុណ 2។ ដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅកន្លែងរបស់វា គុណជួរទីបីដោយ 2 ហើយដកលទ្ធផលចេញពីជួរទីមួយ។

លទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរនឹងមើលទៅ៖

ម៉ាទ្រីស​នេះ​បង្ហាញ​យ៉ាង​ច្បាស់​ថា​ឧបសគ្គ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ឧបសគ្គ​ពីរ​ដំបូង​អាច​ត្រូវ​បាន​លុប​ចេញ (ជួរ​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​គឺ​សមាមាត្រ ពោល​គឺ​សមីការ​ទាំងនេះ​តាម​ពី​គ្នា)។ តោះឆ្លងវគ្គទីពីរ៖

ដូច្នេះមានសមីការពីរនៅក្នុងប្រព័ន្ធថ្មី។ ជួរឈរតែមួយ (ទីពីរ) ត្រូវបានទទួល ហើយឯកតានៅទីនេះគឺនៅជួរទីពីរ។ ចូរចាំថាអថេរមូលដ្ឋាន x 2 នឹងឆ្លើយតបទៅនឹងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធថ្មី។

តោះជ្រើសរើសអថេរមូលដ្ឋានសម្រាប់ជួរទីមួយ។ វាអាចជាអថេរណាមួយ លើកលែងតែ x 3 (ព្រោះនៅ x 3 ឧបសគ្គទីមួយមានមេគុណសូន្យ ពោលគឺ សំណុំនៃអថេរ x 2 និង x 3 មិនអាចជាមូលដ្ឋាននៅទីនេះទេ)។ អ្នកអាចយកអថេរទីមួយ ឬទីបួន។

តោះជ្រើសរើស x 1 ។ បន្ទាប់មកធាតុដោះស្រាយនឹងមាន 5 ហើយភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោះស្រាយនឹងត្រូវបែងចែកដោយប្រាំ ដើម្បីទទួលបានមួយនៅក្នុងជួរទីមួយនៃជួរទីមួយ។

ចូរប្រាកដថាជួរដេកដែលនៅសល់ (ឧទាហរណ៍ ជួរទីពីរ) មានសូន្យនៅក្នុងជួរទីមួយ។ ដោយ​សារ​ឥឡូវ​នេះ​បន្ទាត់​ទី​ពីរ​មិន​មែន​សូន្យ​ទេ ប៉ុន្តែ​លេខ 3 វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​ដក​ធាតុ​នៃ​ជួរ​ទី​មួយ​ដែល​បាន​បំប្លែង​គុណ​នឹង 3 ចេញ​ពី​ជួរ​ទីពីរ៖

ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានមួយអាចទាញយកដោយផ្ទាល់ពីម៉ាទ្រីសលទ្ធផលដោយស្មើអថេរដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋានទៅសូន្យ ហើយអថេរមូលដ្ឋានទៅនឹងពាក្យសេរីនៅក្នុងសមីការដែលត្រូវគ្នា៖ (0.8; -3.4; 0; 0) ។ អ្នកក៏អាចទាញយករូបមន្តទូទៅដែលបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋានតាមរយៈរូបមន្តដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន៖ x 1 \u003d 0.8 - 1.2 x 4; x 2 \u003d -3.4 + x 3 + 1.6x 4 ។ រូបមន្តទាំងនេះពិពណ៌នាអំពីសំណុំដំណោះស្រាយគ្មានដែនកំណត់ទាំងមូលចំពោះប្រព័ន្ធ (ដោយសមីការ x 3 និង x 4 ទៅលេខតាមអំពើចិត្ត អ្នកអាចគណនា x 1 និង x 2) ។

ចំណាំថាខ្លឹមសារនៃការផ្លាស់ប្តូរនៅដំណាក់កាលនីមួយៗនៃវិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss មានដូចខាងក្រោម៖

1) ខ្សែអក្សរអនុញ្ញាតត្រូវបានបែងចែកដោយធាតុអនុញ្ញាតដើម្បីទទួលបានឯកតានៅកន្លែងរបស់វា

2) ពីជួរផ្សេងទៀតទាំងអស់ ថាមពលដោះស្រាយបំប្លែងគុណនឹងធាតុដែលមាននៅក្នុងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងជួរឈរដោះស្រាយត្រូវបានដកដើម្បីទទួលបានសូន្យជំនួសធាតុនេះ។

សូមពិចារណាម្តងទៀតនូវម៉ាទ្រីសដែលបានបំប្លែងបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីធាតុនេះថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ A គឺ r ។

នៅក្នុងដំណើរការនៃហេតុផលខាងលើ យើងបានបង្កើតឡើងថាប្រព័ន្ធគឺស្របប្រសិនបើ និងតែប៉ុណ្ណោះប្រសិនបើ
. នេះមានន័យថាម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធនឹងមើលទៅដូច៖

ការបោះបង់ជួរដេកសូន្យ យើងទទួលបានថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធក៏ស្មើនឹង r ផងដែរ។

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺស្របប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនេះគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធនេះ។

សូមចាំថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងចំនួនអតិបរមានៃជួរដេកឯករាជ្យលីនេអ៊ែររបស់វា។ វាធ្វើតាមពីនេះថា ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកគឺតិចជាងចំនួនសមីការ នោះសមីការនៃប្រព័ន្ធគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ហើយមួយក្នុងចំណោមពួកគេអាចត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធ (ព្រោះវាជាលីនេអ៊ែរ ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃអ្នកផ្សេងទៀត) ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការនឹងមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកគឺស្មើនឹងចំនួនសមីការ។

ជាងនេះទៅទៀត សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ វាអាចប្រកែកបានថា ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសស្មើនឹងចំនួនអថេរ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ហើយប្រសិនបើវាតិចជាងចំនួនអថេរ នោះ ប្រព័ន្ធគឺគ្មានកំណត់ និងមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។

1 ឧទាហរណ៍ ឧបមាថាមានជួរប្រាំក្នុងម៉ាទ្រីស (លំដាប់ជួរដំបូងគឺ 12345)។ យើងត្រូវផ្លាស់ប្តូរខ្សែទីពីរនិងទីប្រាំ។ ដើម្បីឱ្យខ្សែទីពីរជំនួសកន្លែងទីប្រាំ ដើម្បី "ផ្លាស់ទី" ចុះក្រោម យើងប្តូរជួរជាប់គ្នាបីដង៖ ទីពីរ និងទីបី (13245) ទីពីរ និងទីបួន (13425) និងទីពីរ និងទីប្រាំ ( ១៣៤៥២)។ បន្ទាប់មកដើម្បីឱ្យជួរទីប្រាំជំនួសកន្លែងទីពីរនៅក្នុងម៉ាទ្រីសដើមវាចាំបាច់ត្រូវ "ផ្លាស់ប្តូរ" ជួរទីប្រាំឡើងដោយការផ្លាស់ប្តូរពីរជាប់គ្នា: ជួរទីប្រាំនិងទីបួន (13542) និងទីប្រាំនិងទីបី។ (១៥៣៤២)។

2 ចំនួននៃបន្សំពី n ដល់ r ហៅទៅលេខនៃសំណុំរង r-element ផ្សេងគ្នាទាំងអស់នៃសំណុំ n-element (សំណុំផ្សេងគ្នាគឺជាសំណុំដែលមានធាតុផ្សំផ្សេងគ្នា លំដាប់ជ្រើសរើសមិនសំខាន់ទេ)។ វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
. ចងចាំអត្ថន័យនៃសញ្ញា "!" (រោងចក្រ)៖
0!=1.)

3 ដោយសារវិធីសាស្រ្តនេះគឺជារឿងធម្មតាជាងវិធីសាស្ត្រ Gauss ដែលបានពិភាក្សាមុននេះ ហើយនៅក្នុងខ្លឹមសារគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ទៅមុខ និងបញ្ច្រាស ជួនកាលវាក៏ត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ Gauss ផងដែរ ដោយលុបចោលផ្នែកដំបូងនៃឈ្មោះ។

4 ឧទាហរណ៍
.

5 ប្រសិនបើមិនមានឯកតានៅក្នុងម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធទេ នោះវាអាចជាឧទាហរណ៍ ដើម្បីបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីមួយដោយពីរ ហើយបន្ទាប់មកមេគុណទីមួយនឹងក្លាយទៅជាឯកភាព។ ឬដូច។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធជាមួយនឹងការមិនស្គាល់ពីរ - នេះមានន័យថាការស្វែងរកគូទាំងអស់នៃតម្លៃអថេរដែលបំពេញសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនីមួយៗ។ គូបែបនេះនីមួយៗត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ.

ឧទាហរណ៍៖
គូនៃតម្លៃ \(x=3\);\(y=-1\) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធទីមួយ ពីព្រោះដោយការជំនួសបីដង និងដកមួយចូលទៅក្នុងប្រព័ន្ធជំនួសឱ្យ \(x\) និង \ (y\) សមីការទាំងពីរក្លាយជាសមភាពត្រឹមត្រូវ \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3\cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) \)

ប៉ុន្តែ \(x=1\); \(y=-2\) - មិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធទីមួយទេ ព្រោះបន្ទាប់ពីជំនួសសមីការទីពីរ "មិនបញ្ចូលគ្នា" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \\cdot1+2 \\cdot(-2)≠7 បញ្ចប់(ករណី)\)

ចំណាំថាគូបែបនេះច្រើនតែសរសេរខ្លីជាង៖ ជំនួសឱ្យ "\(x=3\); \(y=-1\)" ពួកគេសរសេរដូចនេះ៖ \(((3;-1)\)។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ?

មានវិធីសំខាន់បីដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

1. វិធីសាស្រ្តជំនួស។

\\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\leftrightarrow\) \\(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

ជំនួសកន្សោមលទ្ធផលជំនួសឱ្យអថេរនេះទៅក្នុងសមីការមួយផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធ។

\\(\leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   នៅក្នុងសមីការទីពីរ ពាក្យនីមួយៗគឺស្មើគ្នា ដូច្នេះយើងសម្រួលសមីការដោយបែងចែកវាដោយ \(2\)។
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   ប្រព័ន្ធនេះអាចដោះស្រាយបានតាមវិធីណាក៏ដោយ ប៉ុន្តែវាហាក់ដូចជាខ្ញុំថា វិធីសាស្ត្រជំនួសគឺងាយស្រួលបំផុតនៅទីនេះ។ ចូរបង្ហាញ y ពីសមីការទីពីរ។
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   ជំនួស \(6x-13\) សម្រាប់ \(y\) ក្នុងសមីការទីមួយ។
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   សមីការទីមួយបានក្លាយទៅជាធម្មតា។ យើងដោះស្រាយវា។

   ចូរបើកវង់ក្រចកជាមុនសិន។
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   ចូរផ្លាស់ទី \(117\) ទៅខាងស្តាំ ហើយផ្តល់លក្ខខណ្ឌដូច។

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីមួយដោយ \(67\) ។

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   ហ៊ឺ យើងបានរកឃើញ \(x\)! ជំនួសតម្លៃរបស់វាទៅក្នុងសមីការទីពីរ ហើយស្វែងរក \(y\) ។

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )\)

   ចូរយើងសរសេរចម្លើយ។

យើងនឹងវិភាគពីរប្រភេទនៃប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការ៖

1. ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តជំនួស។
2. ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយពាក្យបូក (ដក) នៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ។

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ វិធីសាស្រ្តជំនួសអ្នកត្រូវធ្វើតាមក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញមួយ៖
1. យើងបង្ហាញ។ ពីសមីការណាមួយ យើងបង្ហាញអថេរមួយ។
2. ជំនួស។ យើងជំនួសនៅក្នុងសមីការមួយផ្សេងទៀតជំនួសឱ្យអថេរដែលបានសម្តែងដែលជាតម្លៃលទ្ធផល។
3. យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលជាមួយនឹងអថេរមួយ។ យើងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។

ដើម្បីដោះស្រាយ ប្រព័ន្ធដោយការបូកតាមកាលកំណត់ (ដក)ត្រូវ:
1. ជ្រើសរើសអថេរដែលយើងនឹងបង្កើតមេគុណដូចគ្នា។
2. យើងបូកឬដកសមីការ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការដែលមានអថេរមួយ។
3. យើងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលទ្ធផល។ យើងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃមុខងារ។

ចូរយើងពិចារណាលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ #1៖

ចូរដោះស្រាយដោយវិធីជំនួស

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រជំនួស

2x+5y=1 (សមីការ 1)
x-10y=3 (សមីការទី 2)

1. អ៊ិចប្រេស
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅក្នុងសមីការទីពីរមានអថេរ x ជាមួយមេគុណ 1 ដូច្នេះវាប្រែថាវាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការបញ្ចេញអថេរ x ពីសមីការទីពីរ។
x=3+10y

2. បន្ទាប់ពីបង្ហាញរួច យើងជំនួស 3 + 10y ក្នុងសមីការទីមួយ ជំនួសឲ្យអថេរ x ។
2(3+10y)+5y=1

3. យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលជាមួយនឹងអថេរមួយ។
2(3+10y)+5y=1 (បើកតង្កៀប)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វ ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរក x និង y ព្រោះចំនុចប្រសព្វមាន x និង y ។ ចូររក x ក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយដែលយើងបានបង្ហាញ យើងជំនួស y នៅទីនោះ។
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

វាជាទម្លាប់ក្នុងការសរសេរចំនុចដំបូង យើងសរសេរអថេរ x ហើយនៅកន្លែងទីពីរ អថេរ y ។
ចម្លើយ៖ (១; -០.២)

ឧទាហរណ៍ #2៖

ចូរ​ដោះស្រាយ​ដោយ​ការ​បូក​តាម​ពាក្យ (ដក)។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម

3x-2y=1 (សមីការ 1)
2x-3y=-10 (សមីការទី 2)

1. ជ្រើសរើសអថេរ ឧបមាថាយើងជ្រើសរើស x ។ នៅក្នុងសមីការទីមួយ អថេរ x មានមេគុណ 3 ក្នុងទីពីរ - 2. យើងត្រូវធ្វើឱ្យមេគុណដូចគ្នា សម្រាប់ការនេះ យើងមានសិទ្ធិគុណសមីការ ឬចែកដោយលេខណាមួយ។ យើងគុណសមីការទីមួយដោយ 2 និងទីពីរដោយ 3 ហើយទទួលបានមេគុណសរុបនៃ 6 ។

3x-2y=1 |*2
៦x-៤y=២

2x-3y=-10 |*3
៦x-៩y=-៣០

2. ពីសមីការទីមួយ ដកទីពីរ ដើម្បីកម្ចាត់អថេរ x។ ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។
__6x-4y=2

5y=32 | : ៥
y=៦.៤

3. រក x ។ យើងជំនួសការរកឃើញ y នៅក្នុងសមីការណាមួយ ចូរនិយាយថានៅក្នុងសមីការទីមួយ។
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

ចំនុចប្រសព្វនឹង x = 4.6; y=៦.៤
ចម្លើយ៖ (៤.៦; ៦.៤)

តើអ្នកចង់រៀបចំការប្រឡងដោយមិនគិតថ្លៃទេ? គ្រូតាមអ៊ីនធឺណិត ដោយ​ឥតគិតថ្លៃ. និយាយ​មែនទែន។

គួរឱ្យទុកចិត្តជាងវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន។

វិធីសាស្រ្តជំនួស

យើងបានប្រើវិធីសាស្រ្តនេះនៅថ្នាក់ទី 7 ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ក្បួនដោះស្រាយដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅថ្នាក់ទី 7 គឺពិតជាសមរម្យសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការទាំងពីរណាមួយ (មិនចាំបាច់លីនេអ៊ែរ) ជាមួយនឹងអថេរពីរ x និង y (ជាការពិតណាស់ អថេរអាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរផ្សេងទៀតដែលមិនមានបញ្ហា) ។ តាមពិត យើងបានប្រើក្បួនដោះស្រាយនេះនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន នៅពេលដែលបញ្ហានៃលេខពីរខ្ទង់នាំទៅដល់គំរូគណិតវិទ្យា ដែលជាប្រព័ន្ធនៃសមីការ។ យើងបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការខាងលើដោយវិធីសាស្ត្រជំនួស (សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 ពី§ 4) ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ប្រើវិធីជំនួសពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានអថេរពីរ x, y ។

1. បញ្ចេញ y ក្នុងន័យ x ពីសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធ។
2. ជំនួសកន្សោមលទ្ធផលជំនួសឱ្យ y ទៅក្នុងសមីការមួយផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធ។
3. ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលសម្រាប់ x ។
4. ជំនួសនៅក្នុងវេននៃឫសនីមួយៗនៃសមីការដែលបានរកឃើញនៅជំហានទីបីជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងកន្សោម y ដល់ x ដែលទទួលបាននៅជំហានដំបូង។
5. សរសេរចម្លើយក្នុងទម្រង់ជាគូនៃតម្លៃ (x; y) ដែលត្រូវបានរកឃើញរៀងៗខ្លួនក្នុងជំហានទីបី និងទីបួន។

4) ជំនួសនៅក្នុងវេននីមួយៗនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញរបស់ y ទៅក្នុងរូបមន្ត x \u003d 5 - Zy ។ បើអញ្ចឹង
5) គូ (2; 1) និងដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចម្លើយ៖ (២; ១);

វិធីសាស្ត្របន្ថែមពិជគណិត

វិធីសាស្រ្តនេះ ដូចជាវិធីសាស្ត្រជំនួស គឺធ្លាប់ស្គាល់អ្នកពីវគ្គសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី 7 ដែលវាត្រូវបានគេប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ យើងរំលឹកពីខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ២ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

យើងគុណលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធដោយ 3 ហើយទុកសមីការទីពីរមិនផ្លាស់ប្តូរ៖
ដកសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធចេញពីសមីការទីមួយរបស់វា៖

ជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមពិជគណិតនៃសមីការពីរនៃប្រព័ន្ធដើម សមីការមួយត្រូវបានទទួលដែលសាមញ្ញជាងសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាមួយនឹងសមីការសាមញ្ញនេះ យើងមានសិទ្ធិជំនួសសមីការណាមួយនៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍ ទីពីរ។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការនឹងត្រូវបានជំនួសដោយប្រព័ន្ធសាមញ្ញជាងនេះ៖

ប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តជំនួស។ ពីសមីការទីពីរ យើងរកឃើញ ការជំនួសកន្សោមនេះជំនួសឱ្យ y ទៅក្នុងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន

វានៅសល់ដើម្បីជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ នៃ x ទៅក្នុងរូបមន្ត

ប្រសិនបើ x = 2

ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញដំណោះស្រាយពីរចំពោះប្រព័ន្ធ៖

វិធីសាស្រ្តណែនាំអថេរថ្មី។

អ្នកបានស្គាល់វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីមួយ នៅពេលដោះស្រាយសមីការសមហេតុផលជាមួយនឹងអថេរមួយនៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី 8 ។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការគឺដូចគ្នា ប៉ុន្តែតាមទស្សនៈបច្ចេកទេសមានលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួនដែលយើងនឹងពិភាក្សាក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ចូរណែនាំអថេរថ្មីមួយ បន្ទាប់មកសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់សាមញ្ញជាងនេះ៖ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនេះទាក់ទងនឹងអថេរ t:

តម្លៃទាំងពីរនេះបំពេញលក្ខខណ្ឌ ដូច្នេះហើយគឺជាឫសគល់នៃសមីការសមហេតុផលជាមួយអថេរ t ។ ប៉ុន្តែនោះមានន័យថា ពីកន្លែងដែលយើងរកឃើញថា x = 2y ឬ
ដូច្នេះ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មី យើងបានគ្រប់គ្រងដូចដែលវាគឺដើម្បី "តម្រៀប" សមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធដែលមានលក្ខណៈស្មុគស្មាញក្នុងរូបរាងទៅជាសមីការសាមញ្ញពីរ៖

x = 2 y; y - 2x ។

មាន​អ្វី​បន្ទាប់? ហើយបន្ទាប់មកសមីការសាមញ្ញទាំងពីរដែលទទួលបានត្រូវតែយកមកពិចារណានៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលមានសមីការ x 2 - y 2 \u003d 3 ដែលយើងមិនទាន់បានចងចាំ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត បញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការពីរ៖

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធទីមួយ ប្រព័ន្ធទីពីរ និងរួមបញ្ចូលតម្លៃលទ្ធផលទាំងអស់នៅក្នុងចម្លើយ។ តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការទីមួយ៖

ចូរប្រើវិធីសាស្រ្តជំនួស ជាពិសេសចាប់តាំងពីអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងរួចរាល់សម្រាប់វានៅទីនេះ៖ យើងជំនួសកន្សោម 2y ជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ទទួលបាន

ចាប់តាំងពី x \u003d 2y យើងរកឃើញ x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2 រៀងគ្នា។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយពីរចំពោះប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានទទួល៖ (2; 1) និង (-2; -1) ។ តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការទីពីរ៖

ចូរប្រើវិធីជំនួសម្តងទៀត៖ យើងជំនួសកន្សោម 2x ជំនួសឱ្យ y ក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ទទួលបាន

សមីការនេះមិនមានឫសគល់ ដែលមានន័យថា ប្រព័ន្ធសមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ដូច្នេះមានតែដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទីមួយប៉ុណ្ណោះដែលគួរតែត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ (២; ១); (-២;-១)។

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានអថេរពីរត្រូវបានប្រើជាពីរកំណែ។ ជម្រើសទីមួយ៖ អថេរថ្មីមួយត្រូវបានណែនាំ និងប្រើក្នុងសមីការតែមួយនៃប្រព័ន្ធ។ នេះគឺជាអ្វីដែលបានកើតឡើងក្នុងឧទាហរណ៍ទី 3 ។ ជម្រើសទីពីរ៖ អថេរថ្មីពីរត្រូវបានណែនាំ និងប្រើប្រាស់ក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធ។ នេះនឹងជាករណីក្នុងឧទាហរណ៍ទី 4 ។

ឧទាហរណ៍ 4ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

សូមណែនាំអថេរថ្មីពីរ៖

យើងរៀនវានៅពេលនោះ។

វានឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យឡើងវិញក្នុងទម្រង់សាមញ្ញជាង ប៉ុន្តែទាក់ទងនឹងអថេរថ្មី a និង b៖

ចាប់តាំងពី \u003d 1 បន្ទាប់មកពីសមីការ a + 6 \u003d 2 យើងរកឃើញ: 1 + 6 \u003d 2; ៦=១. ដូច្នេះសម្រាប់អថេរ a និង b យើងទទួលបានដំណោះស្រាយមួយ៖

ត្រលប់ទៅអថេរ x និង y យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ

យើងអនុវត្តវិធីសាស្ត្របន្ថែមពិជគណិតដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ៖

ចាប់ពីពេលនោះមក ពីសមីការ 2x + y = 3 យើងរកឃើញ៖
ដូច្នេះសម្រាប់អថេរ x និង y យើងទទួលបានដំណោះស្រាយមួយ៖

ចូរយើងបញ្ចប់ផ្នែកនេះដោយការពិភាក្សាដោយសង្ខេប ប៉ុន្តែជាទ្រឹស្តីដ៏ធ្ងន់ធ្ងរ។ អ្នកបានទទួលបទពិសោធន៍ខ្លះហើយក្នុងការដោះស្រាយសមីការផ្សេងៗ៖ លីនេអ៊ែរ ការ៉េ សនិទានភាព មិនសមហេតុផល។ អ្នកដឹងថាគំនិតចម្បងនៃការដោះស្រាយសមីការគឺដើម្បីផ្លាស់ទីបន្តិចម្តង ៗ ពីសមីការមួយទៅសមីការមួយទៀតដែលសាមញ្ញជាង ប៉ុន្តែសមមូលទៅនឹងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅក្នុងផ្នែកមុន យើងបានណែនាំអំពីសញ្ញាណនៃសមមូលសម្រាប់សមីការដែលមានអថេរពីរ។ គំនិតនេះក៏ត្រូវបានប្រើសម្រាប់ប្រព័ន្ធសមីការផងដែរ។

និយមន័យ។

ប្រព័ន្ធពីរនៃសមីការដែលមានអថេរ x និង y ត្រូវបានគេនិយាយថាសមមូលប្រសិនបើពួកគេមានដំណោះស្រាយដូចគ្នា ឬប្រសិនបើប្រព័ន្ធទាំងពីរមិនមានដំណោះស្រាយ។

វិធីសាស្រ្តទាំងបី (ការជំនួស ការបន្ថែមពិជគណិត និងការណែនាំអថេរថ្មី) ដែលយើងបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកនេះគឺពិតជាត្រឹមត្រូវតាមទស្សនៈនៃសមមូល។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តទាំងនេះ យើងជំនួសប្រព័ន្ធមួយនៃសមីការជាមួយប្រព័ន្ធមួយទៀត ដែលសាមញ្ញជាង ប៉ុន្តែស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើម។

វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

យើងបានសិក្សារួចហើយអំពីរបៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការក្នុងវិធីសាមញ្ញ និងអាចទុកចិត្តបាន ដូចជាវិធីសាស្រ្តនៃការជំនួស ការបន្ថែមពិជគណិត និងការណែនាំនៃអថេរថ្មី។ ហើយឥឡូវនេះ ចូរយើងចងចាំវិធីសាស្រ្តដែលអ្នកបានសិក្សារួចហើយនៅក្នុងមេរៀនមុន។ នោះគឺ ចូរយើងនិយាយឡើងវិញនូវអ្វីដែលអ្នកដឹងអំពីវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយក្រាហ្វិក។

វិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការក្រាហ្វិកគឺការស្ថាបនាក្រាហ្វសម្រាប់សមីការជាក់លាក់នីមួយៗដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ និងនៅក្នុងប្លង់កូអរដោនេដូចគ្នា ហើយក៏ជាកន្លែងដែលវាទាមទារដើម្បីស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃចំនុចនៃក្រាហ្វទាំងនេះផងដែរ។ . ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការនេះគឺជាកូអរដោនេនៃចំណុចនេះ (x; y) ។

វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា សម្រាប់ប្រព័ន្ធក្រាហ្វិកនៃសមីការ វាជារឿងធម្មតាដែលមានដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវតែមួយ ឬចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ឬមិនមានដំណោះស្រាយទាល់តែសោះ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់អំពីដំណោះស្រាយទាំងនេះនីមួយៗ។ ដូច្នេះហើយ ប្រព័ន្ធសមីការអាចមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ប្រសិនបើបន្ទាត់ដែលជាក្រាហ្វនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធប្រសព្វគ្នា។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ទាំងនេះស្របគ្នា នោះប្រព័ន្ធសមីការបែបនេះពិតជាគ្មានដំណោះស្រាយទេ។ ក្នុងករណីចៃដន្យនៃក្រាហ្វដោយផ្ទាល់នៃសមីការនៃប្រព័ន្ធបន្ទាប់មកប្រព័ន្ធបែបនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកដំណោះស្រាយជាច្រើន។

ជាការប្រសើរណាស់, ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរជាមួយនឹង 2 មិនស្គាល់ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិក:

ដំបូង យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការទី 1 ។
ជំហានទីពីរនឹងជាគ្រោងក្រាហ្វដែលទាក់ទងនឹងសមីការទីពីរ។
ទីបី យើងត្រូវស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វ។
ហើយជាលទ្ធផល យើងទទួលបានកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនីមួយៗ ដែលនឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ។

សូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្រ្តនេះឱ្យបានលំអិតជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ យើងត្រូវបានផ្តល់ប្រព័ន្ធសមីការដែលត្រូវដោះស្រាយ៖

ការដោះស្រាយសមីការ

ទីមួយ យើងនឹងបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការនេះ៖ x2+y2=9។

ប៉ុន្តែគួរកត់សំគាល់ថាក្រាហ្វនៃសមីការនេះនឹងជារង្វង់ដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលដើម ហើយកាំរបស់វានឹងស្មើនឹងបី។

2. ជំហានបន្ទាប់របស់យើងគឺការគ្រោងសមីការដូចជា: y = x − 3 ។

ក្នុង​ករណី​នេះ យើង​ត្រូវ​បង្កើត​បន្ទាត់ ហើយ​រក​ចំណុច (0;−3) និង (3;0)។

3. តោះមើលអ្វីដែលយើងទទួលបាន។ យើងឃើញថាបន្ទាត់កាត់រង្វង់នៅចំណុចពីររបស់វា A និង B ។

ឥឡូវនេះយើងកំពុងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងនេះ។ យើងឃើញថាកូអរដោនេ (៣;០) ត្រូវនឹងចំណុច A ហើយកូអរដោនេ (០;−៣) ត្រូវនឹងចំណុចខ។

ហើយតើយើងទទួលបានលទ្ធផលអ្វី?

លេខ (3;0) និង (0;−3) ដែលទទួលបាននៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានរង្វង់គឺច្បាស់ណាស់ដំណោះស្រាយនៃសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ហើយពីនេះវាដូចខាងក្រោមថាលេខទាំងនេះក៏ជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការនេះ។

នោះគឺចម្លើយនៃដំណោះស្រាយនេះគឺជាលេខ៖ (3;0) និង (0;−3) ។