ចូរយើងពិចារណាលើប្រធានបទនៃការផ្លាស់ប្តូរកន្សោមជាមួយនឹងអំណាច ប៉ុន្តែជាដំបូង យើងនឹងពឹងផ្អែកលើការបំប្លែងមួយចំនួនដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងកន្សោមណាមួយ រួមទាំងអំណាចផងដែរ។ យើងនឹងរៀនពីរបៀបបើកតង្កៀប ផ្តល់ពាក្យដូចជា ធ្វើការជាមួយមូលដ្ឋាន និងនិទស្សន្ត ប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ។
Yandex.RTB R-A-339285-1
តើអ្វីជាការបញ្ចេញមតិថាមពល?
នៅក្នុងវគ្គសិក្សា មានមនុស្សតិចណាស់ដែលប្រើឃ្លា "កន្សោមអំណាច" ប៉ុន្តែពាក្យនេះត្រូវបានរកឃើញជានិច្ចនៅក្នុងការប្រមូលសម្រាប់រៀបចំសម្រាប់ការប្រឡង។ ក្នុងករណីភាគច្រើន ឃ្លាតំណាងឱ្យកន្សោមដែលមានសញ្ញាប័ត្រនៅក្នុងធាតុរបស់វា។ នេះគឺជាអ្វីដែលយើងនឹងឆ្លុះបញ្ចាំងនៅក្នុងនិយមន័យរបស់យើង។
និយមន័យ ១
កន្សោមអំណាចគឺជាកន្សោមដែលមានដឺក្រេ។
យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃកន្សោមអំណាច ដោយចាប់ផ្តើមពីសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ និងបញ្ចប់ដោយសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តពិតប្រាកដ។
កន្សោមថាមពលសាមញ្ញបំផុតអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអំណាចនៃលេខដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ៖ 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 ។ ក៏ដូចជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសូន្យ៖ 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 ។ និងអំណាចដែលមានចំនួនគត់អវិជ្ជមាន៖ (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 ។
វាពិបាកបន្តិចក្នុងការធ្វើការជាមួយសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុសមផល និងមិនសមហេតុផល៖ 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
សូចនាករអាចជាអថេរ 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ឬលោការីត x 2 លីត្រ g x − 5 x l g x.
យើងបានដោះស្រាយសំណួរថាតើអ្វីជាការបញ្ចេញអំណាច។ ឥឡូវយើងមើលការផ្លាស់ប្តូររបស់ពួកគេ។
ប្រភេទសំខាន់ៗនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃការបញ្ចេញថាមពល
ជាដំបូង យើងនឹងពិចារណាលើការបំប្លែងអត្តសញ្ញាណជាមូលដ្ឋាននៃកន្សោមដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងកន្សោមអំណាច។
ឧទាហរណ៍ ១
គណនាតម្លៃកន្សោមថាមពល 2 3 (4 2 − 12).
ដំណោះស្រាយ
យើងនឹងអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ដោយអនុលោមតាមលំដាប់នៃសកម្មភាព។ ក្នុងករណីនេះ យើងនឹងចាប់ផ្តើមដោយអនុវត្តសកម្មភាពក្នុងតង្កៀប៖ យើងនឹងជំនួសសញ្ញាប័ត្រដោយតម្លៃឌីជីថល ហើយគណនាភាពខុសគ្នារវាងលេខទាំងពីរ។ យើងមាន 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
វានៅសល់សម្រាប់យើងដើម្បីជំនួសសញ្ញាបត្រ 2 3 អត្ថន័យរបស់វា។ 8 និងគណនាផលិតផល ៨ ៤ = ៣២. នេះគឺជាចម្លើយរបស់យើង។
ចម្លើយ៖ 2 3 (4 2 − 12) = 32 ។
ឧទាហរណ៍ ២
សម្រួលការបញ្ចេញមតិដោយប្រើអំណាច 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
ដំណោះស្រាយ
កន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាមានពាក្យស្រដៀងគ្នាដែលយើងអាចនាំយកមក: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
ចម្លើយ៖ 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 ។
ឧទាហរណ៍ ៣
បញ្ចេញកន្សោមដែលមានអំណាច 9 - b 3 · π - 1 2 ជាផលិតផល។
ដំណោះស្រាយ
ចូរតំណាងឱ្យលេខ 9 ជាថាមពល 3 2 ហើយអនុវត្តរូបមន្តគុណដោយសង្ខេប៖
9 − b 3 π − 1 2 = 3 2 − b 3 π − 1 2 = = 3 − b 3 π − 1 3 + b 3 π − 1
ចម្លើយ៖ 9 − b 3 π − 1 2 = 3 − b 3 π − 1 3 + b 3 π − 1 .
ហើយឥឡូវនេះ ចូរបន្តទៅការវិភាគនៃការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទ ដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តជាពិសេសចំពោះកន្សោមថាមពល។
ធ្វើការជាមួយមូលដ្ឋាននិងនិទស្សន្ត
ដឺក្រេក្នុងគោល ឬនិទស្សន្តអាចមានលេខ អថេរ និងកន្សោមមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7និង . វាពិបាកក្នុងការធ្វើការជាមួយកំណត់ត្រាបែបនេះ។ វាងាយស្រួលជាងក្នុងការជំនួសកន្សោមក្នុងគោលដឺក្រេ ឬកន្សោមក្នុងនិទស្សន្តដោយកន្សោមស្មើគ្នា។
ការផ្លាស់ប្តូរដឺក្រេនិងសូចនាករត្រូវបានអនុវត្តដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដែលយើងស្គាល់ដាច់ដោយឡែកពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ អ្វីដែលសំខាន់បំផុតនោះគឺថាជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ កន្សោមមួយត្រូវបានទទួលដែលដូចគ្នានឹងដើម។
គោលបំណងនៃការផ្លាស់ប្តូរគឺដើម្បីសម្រួលការបញ្ចេញមតិដើម ឬដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា។ ឧទាហរណ៍ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលយើងបានផ្តល់ខាងលើ (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 អ្នកអាចអនុវត្តប្រតិបត្តិការដើម្បីទៅកម្រិត 4 , 1 1 , 3 . ការបើកតង្កៀប យើងអាចនាំយកពាក្យដូចជានៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រ (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)និងទទួលបានកន្សោមថាមពលនៃទម្រង់សាមញ្ញជាង a 2 (x + 1).
ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិថាមពល
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ ដែលសរសេរជាសមភាព គឺជាឧបករណ៍សំខាន់មួយសម្រាប់បំប្លែងកន្សោមជាមួយនឹងដឺក្រេ។ យើងធ្វើបទបង្ហាញនៅទីនេះ ចំណុចសំខាន់ៗ ដោយពិចារណាលើវា។ កនិង ខគឺជាលេខវិជ្ជមានណាមួយ និង rនិង ស- ចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត៖
និយមន័យ ២
- a r a s = a r + s ;
- a r: a s = a r − s ;
- (a b) r = a r b r ;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r s ។
ក្នុងករណីដែលយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយធម្មជាតិ ចំនួនគត់ និទស្សន្តវិជ្ជមាន ការដាក់កម្រិតលើលេខ a និង b អាចមានភាពតឹងរ៉ឹងតិចជាងច្រើន។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងពិចារណាអំពីសមភាព a m a n = a m + n, កន្លែងណា មនិង នគឺជាលេខធម្មជាតិ បន្ទាប់មកវានឹងពិតសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ a ទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន ក៏ដូចជាសម្រាប់ a = 0.
អ្នកអាចអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេដោយគ្មានការរឹតបន្តឹងក្នុងករណីដែលមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេមានភាពវិជ្ជមាន ឬមានអថេរដែលជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានដូចជាមូលដ្ឋានយកតែតម្លៃវិជ្ជមាននៅលើវា។ តាមពិតទៅ ក្នុងក្របខណ្ឌនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាផ្នែកគណិតវិទ្យា ភារកិច្ចរបស់សិស្សគឺត្រូវជ្រើសរើសទ្រព្យសម្បត្តិសមស្រប ហើយអនុវត្តវាឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។
នៅពេលរៀបចំសម្រាប់ការចូលរៀននៅសាកលវិទ្យាល័យ វាអាចមានកិច្ចការដែលការអនុវត្តមិនត្រឹមត្រូវនៃអចលនទ្រព្យនឹងនាំទៅដល់ការរួមតូចនៃ ODZ និងការលំបាកផ្សេងទៀតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ។ នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងពិចារណាតែពីរករណីបែបនេះប៉ុណ្ណោះ។ ព័ត៌មានបន្ថែមអំពីប្រធានបទអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងប្រធានបទ "ការផ្លាស់ប្តូរកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនិទស្សន្ត"។
ឧទាហរណ៍ 4
តំណាងឱ្យការបញ្ចេញមតិ a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5ជាសញ្ញាប័ត្រដែលមានមូលដ្ឋាន ក.
ដំណោះស្រាយ
ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ហើយបំប្លែងកត្តាទីពីរដោយប្រើវា។ (a 2) − 3. បន្ទាប់មកយើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ និងការបែងចែកអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖
a 2 , 5 a − 6 : a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6 : a − 5 , 5 = a − 3 , 5 : a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = ក ២ ។
ចម្លើយ៖ a 2 , 5 (a 2) − 3 : a − 5 , 5 = a 2 ។
ការផ្លាស់ប្តូរនៃកន្សោមអំណាចយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេអាចត្រូវបានធ្វើទាំងពីឆ្វេងទៅស្តាំនិងក្នុងទិសដៅផ្ទុយ។
ឧទាហរណ៍ 5
រកតម្លៃនៃកន្សោមអំណាច 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
ដំណោះស្រាយ
ប្រសិនបើយើងអនុវត្តសមភាព (a b) r = a r b rពីស្តាំទៅឆ្វេង បន្ទាប់មកយើងទទួលបានផលិតផលនៃទម្រង់ 3 7 1 3 21 2 3 ហើយបន្ទាប់មក 21 1 3 21 2 3 ។ ចូរបន្ថែមនិទស្សន្តនៅពេលគុណនឹងអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21 ។
មានវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ៖
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
ចម្លើយ៖ 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
ឧទាហរណ៍ ៦
បានផ្តល់ឱ្យនូវការបញ្ចេញមតិអំណាច a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6បញ្ចូលអថេរថ្មី។ t = a 0 , 5.
ដំណោះស្រាយ
ស្រមៃមើលសញ្ញាបត្រ a 1, 5ម៉េច a 0 , 5 3. ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិដឺក្រេក្នុងមួយដឺក្រេ (a r) s = a r sពីស្តាំទៅឆ្វេង និងទទួលបាន (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 ។ នៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល អ្នកអាចណែនាំអថេរថ្មីមួយយ៉ាងងាយស្រួល t = a 0 , 5៖ ទទួលបាន t 3 − t − 6.
ចម្លើយ៖ t 3 − t − 6 ។
ការបំប្លែងប្រភាគដែលមានអំណាច
ជាធម្មតាយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងបំរែបំរួលនៃការបញ្ចេញថាមពលពីរជាមួយនឹងប្រភាគ៖ កន្សោមគឺជាប្រភាគដែលមានដឺក្រេ ឬមានប្រភាគបែបនេះ។ ការបំប្លែងប្រភាគជាមូលដ្ឋានទាំងអស់អាចអនុវត្តបានចំពោះកន្សោមបែបនេះដោយគ្មានការរឹតបន្តឹង។ ពួកវាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ នាំយកទៅភាគបែងថ្មី ធ្វើការដោយឡែកពីគ្នាជាមួយភាគបែង និងភាគបែង។ ចូរយើងបង្ហាញវាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍។
ឧទាហរណ៍ ៧
សម្រួលកន្សោមថាមពល 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 ។
ដំណោះស្រាយ
យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយប្រភាគ ដូច្នេះយើងនឹងអនុវត្តការបំប្លែងទាំងផ្នែកភាគយក និងភាគបែង៖
3 5 2 3 5 1 3 − 5 − 2 3 1 + 2 x 2 − 3 − 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 − 3 5 2 3 5 − 2 3 − 2 − x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 − 3 5 2 3 + − 2 3 − 2 − x 2 = 3 5 1 − 3 5 0 − 2 − x 2
ដាក់ដកមួយនៅពីមុខប្រភាគដើម្បីប្តូរសញ្ញានៃភាគបែង៖ 12 − 2 − x 2 = − 12 2 + x 2
ចម្លើយ៖ 3 5 2 3 5 1 3 − 5 − 2 3 1 + 2 x 2 − 3 − 3 x 2 = − 12 2 + x 2
ប្រភាគដែលមានអំណាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងថ្មីតាមរបៀបដូចគ្នានឹងប្រភាគសនិទាន។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវស្វែងរកកត្តាបន្ថែម ហើយគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយវា។ វាចាំបាច់ក្នុងការជ្រើសរើសកត្តាបន្ថែមតាមរបៀបដែលវាមិនបាត់សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរពីអថេរ ODZ សម្រាប់កន្សោមដើម។
ឧទាហរណ៍ ៨
នាំប្រភាគទៅភាគបែងថ្មី៖ ក) a + 1 a 0, 7 ទៅកាន់ភាគបែង ក, ខ) 1 x 2 3 − 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 ដល់ភាគបែង x + 8 y 1 2 ។
ដំណោះស្រាយ
ក) យើងជ្រើសរើសកត្តាដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងថ្មី។ a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a ,ដូច្នេះ ជាកត្តាបន្ថែម យើងយក a 0 , 3. ជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ a រួមបញ្ចូលសំណុំនៃចំនួនពិតវិជ្ជមានទាំងអស់។ នៅក្នុងតំបន់នេះសញ្ញាបត្រ a 0 , 3មិនទៅសូន្យទេ។
ចូរគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយ a 0 , 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
ខ) យកចិត្តទុកដាក់ចំពោះភាគបែង៖
x 2 3 − 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 − x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
គុណកន្សោមនេះដោយ x 1 3 + 2 · y 1 6 យើងទទួលបានផលបូកនៃគូប x 1 3 និង 2 · y 1 6 , i.e. x + 8 · y 1 2 . នេះគឺជាភាគបែងថ្មីរបស់យើង ដែលយើងត្រូវនាំយកប្រភាគដើម។
ដូច្នេះយើងបានរកឃើញកត្តាបន្ថែម x 1 3 + 2 · y 1 6 ។ នៅលើជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ xនិង yកន្សោម x 1 3 + 2 y 1 6 មិនបាត់ទេ ដូច្នេះយើងអាចគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយវា៖
1 x 2 3 − 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 − 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
ចម្លើយ៖ក) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 − 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 12 ។
ឧទាហរណ៍ 9
កាត់បន្ថយប្រភាគ៖ ក) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 ៤ - ខ ១ ៤ ក ១ ២ - ខ ១ ២ .
ដំណោះស្រាយ
ក) ប្រើភាគបែងរួមធំបំផុត (GCD) ដែលលេខភាគ និងភាគបែងអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ សម្រាប់លេខ 30 និង 45 នេះគឺ 15 ។ យើងក៏អាចកាត់បន្ថយផងដែរ។ x 0 , 5 + 1និង x + 2 x 1 1 3 - 5 3 ។
យើងទទួលបាន:
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 − 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 − 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)
ខ) នៅទីនេះ វត្តមាននៃកត្តាដូចគ្នាគឺមិនច្បាស់ទេ។ អ្នកនឹងត្រូវអនុវត្តការបំប្លែងមួយចំនួនដើម្បីទទួលបានកត្តាដូចគ្នានៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងពង្រីកភាគបែងដោយប្រើភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ៖
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
ចម្លើយ៖ a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 − 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 − 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , ខ) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 ។
ប្រតិបត្តិការសំខាន់ៗដែលមានប្រភាគរួមមានការកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងថ្មី និងការកាត់បន្ថយប្រភាគ។ សកម្មភាពទាំងពីរត្រូវបានអនុវត្តដោយអនុលោមតាមច្បាប់មួយចំនួន។ នៅពេលបូក និងដកប្រភាគ ប្រភាគត្រូវបានកាត់បន្ថយដំបូងទៅជាភាគបែងធម្មតា បន្ទាប់មកសកម្មភាព (ការបូក ឬដក) ត្រូវបានអនុវត្តជាមួយភាគយក។ ភាគបែងនៅតែដដែល។ លទ្ធផលនៃសកម្មភាពរបស់យើងគឺជាប្រភាគថ្មី ភាគយកដែលជាផលនៃភាគយក ហើយភាគបែងគឺជាផលនៃភាគបែង។
ឧទាហរណ៍ 10
ធ្វើជំហាន x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 ។
ដំណោះស្រាយ
ចូរចាប់ផ្តើមដោយដកប្រភាគដែលមាននៅក្នុងតង្កៀប។ ចូរនាំពួកគេទៅជាភាគបែងរួម៖
x 1 2 − 1 x 1 2 + 1
ចូរដកលេខយក៖
x 1 2 + 1 x 1 2 − 1 − x 1 2 − 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 − 1 x 1 2 + 1 − x 1 2 − 1 x 1 2 − 1 x 1 2 + 1 x 1 2 − 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 − x 1 2 − 1 2 x 1 2 − 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 − x 1 2 2 − 2 x 1 2 + 1 x 1 2 − 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 − 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
ឥឡូវនេះយើងគុណប្រភាគ៖
4 x 1 2 x 1 2 − 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 − 1 x 1 2 + 1 x 1 2
តោះកាត់បន្ថយមួយដឺក្រេ x 1 2យើងទទួលបាន 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 ។
បន្ថែមពីលើនេះ អ្នកអាចសម្រួលការបញ្ចេញថាមពលក្នុងភាគបែងដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ៖ ការេ៖ 4 x 1 2 − 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 − 1 2 = 4 x − 1 ។
ចម្លើយ៖ x 1 2 + 1 x 1 2 − 1 − x 1 2 − 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x − 1
ឧទាហរណ៍ 11
សម្រួលកន្សោមថាមពល x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x − 5 8 x 2 , 7 + 1 3 ។
ដំណោះស្រាយ
យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគដោយ (x 2 , 7 + 1) ២. យើងទទួលបានប្រភាគ x 3 4 x − 5 8 x 2, 7 + 1 ។
ចូរបន្តការបំប្លែងនៃ x អំណាច x 3 4 x − 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 ។ ឥឡូវនេះអ្នកអាចប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបែងចែកថាមពលដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ x 3 4 x − 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 − − 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 ។
យើងឆ្លងពីផលិតផលចុងក្រោយទៅប្រភាគ x 1 3 8 x 2, 7 + 1 ។
ចម្លើយ៖ x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x − 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 ។
ក្នុងករណីភាគច្រើន វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការផ្ទេរមេគុណជាមួយនិទស្សន្តអវិជ្ជមានពីភាគយកទៅភាគបែង និងច្រាសមកវិញដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃនិទស្សន្ត។ សកម្មភាពនេះជួយសម្រួលដល់ការសម្រេចចិត្តបន្ថែម។ សូមលើកឧទាហរណ៍៖ កន្សោមថាមពល (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 អាចត្រូវបានជំនួសដោយ x 3 · ( x + 1) 0 , 2 ។
ការបំប្លែងកន្សោមដោយឫស និងអំណាច
នៅក្នុងភារកិច្ចមានកន្សោមអំណាចដែលមិនត្រឹមតែមានដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏មានឫសផងដែរ។ វាជាការចង់កាត់បន្ថយការបញ្ចេញមតិបែបនេះត្រឹមតែឫសគល់ ឬសម្រាប់តែអំណាចប៉ុណ្ណោះ។ ការផ្លាស់ប្តូរទៅសញ្ញាបត្រគឺល្អជាង ព្រោះវាងាយស្រួលធ្វើការជាមួយ។ ការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះមានអត្ថប្រយោជន៍ជាពិសេសនៅពេលដែល DPV នៃអថេរសម្រាប់កន្សោមដើមអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកជំនួសឬសដោយអំណាចដោយមិនចាំបាច់ចូលប្រើម៉ូឌុលឬបំបែក DPV ទៅជាចន្លោះពេលជាច្រើន។
ឧទាហរណ៍ 12
បញ្ចេញកន្សោម x 1 9 x x 3 6 ជាថាមពល។
ដំណោះស្រាយ
ជួរត្រឹមត្រូវនៃអថេរមួយ។ xត្រូវបានកំណត់ដោយវិសមភាពពីរ x ≥ 0និង x · x 3 ≥ 0 ដែលកំណត់សំណុំ [ 0 , + ∞) .
នៅលើឈុតនេះ យើងមានសិទ្ធិផ្លាស់ប្តូរពីឫសទៅអំណាច៖
x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6
ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ យើងសម្រួលការបញ្ចេញថាមពលលទ្ធផល។
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
ចម្លើយ៖ x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 ។
ការបំប្លែងអំណាចជាមួយអថេរក្នុងនិទស្សន្ត
ការបំប្លែងទាំងនេះគឺសាមញ្ញណាស់ក្នុងការធ្វើ ប្រសិនបើអ្នកប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេបានត្រឹមត្រូវ។ ឧទាហរណ៍, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
យើងអាចជំនួសផលិតផលនៃសញ្ញាប័ត្រដែលផលបូកនៃអថេរមួយចំនួននិងលេខមួយត្រូវបានរកឃើញ។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេង នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយពាក្យទីមួយ និងចុងក្រោយនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃកន្សោម៖
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 7 2 x. កន្សោមនេះនៅលើ ODZ នៃអថេរ x យកតែតម្លៃវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ៖
5 5 − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x − 3 5 x 7 x 7 2 x − 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x − 3 5 x 7 x 7 x 7 x − 2 7 2 x 7 2 x = 0
ចូរកាត់បន្ថយប្រភាគដោយអំណាច យើងទទួលបាន៖ 5 5 2 x 7 2 x − 3 5 x 7 x − 2 = 0 ។
ជាចុងក្រោយ សមាមាត្រនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នាត្រូវបានជំនួសដោយអំណាចនៃសមាមាត្រ ដែលនាំទៅដល់សមីការ 5 5 7 2 x − 3 5 7 x − 2 = 0 ដែលស្មើនឹង 5 5 7 x 2 − 3 5 7 x − 2 = 0 ។
យើងណែនាំអថេរថ្មី t = 5 7 x ដែលកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដើមទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 ។
ការបំប្លែងកន្សោមដោយអំណាច និងលោការីត
កន្សោមដែលមានអំណាច និងលោការីត ត្រូវបានរកឃើញផងដែរនៅក្នុងបញ្ហា។ ឧទាហរណ៍នៃកន្សោមបែបនេះគឺ៖ ១ ៤ ១ - ៥ កំណត់ហេតុ ២ ៣ ឬកំណត់ហេតុ ៣ ២៧ ៩ + ៥ (១ - កំណត់ហេតុ ៣ ៥) កំណត់ហេតុ ៥ ៣ ។ ការផ្លាស់ប្តូរនៃកន្សោមបែបនេះត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដែលបានពិភាក្សាខាងលើ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត ដែលយើងបានធ្វើការវិភាគយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងប្រធានបទ "ការផ្លាស់ប្តូរនៃកន្សោមលោការីត" ។
ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter
ខ្ញុំការងារ នកត្តានីមួយៗដែលស្មើនឹង កហៅ ន- អំណាចនៃលេខមួយ។ កនិងតំណាង កន.
ឧទាហរណ៍។ សរសេរផលិតផលជាសញ្ញាប័ត្រ។
1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; ៤) ppkk+pppk-ppkkk។
ដំណោះស្រាយ។
១) mmmm = ម ៤ដោយហេតុថា តាមនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រ ផលិតផលនៃកត្តាបួន ដែលនីមួយៗស្មើនឹង ម, នឹង អំណាចទីបួននៃ m.
2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 គ 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 ។
II.ប្រតិបត្តិការដែលផលិតផលនៃកត្តាស្មើគ្នាជាច្រើនត្រូវបានរកឃើញត្រូវបានគេហៅថា និទស្សន្ត។ លេខដែលលើកឡើងជាអំណាចមួយហៅថា គោលនៃអំណាច។ លេខដែលចង្អុលបង្ហាញថាអំណាចអ្វីដែលមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថានិទស្សន្ត។ ដូច្នេះ កន- សញ្ញាបត្រ, ក- មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រ ន- និទស្សន្ត។ ឧទាហរណ៍:
2 3 — វាជាសញ្ញាបត្រ។ ចំនួន 2 - គោលនៃដឺក្រេ និទស្សន្តស្មើនឹង 3 . តម្លៃសញ្ញាបត្រ 2 3 ស្មើ 8, ដោយសារតែ 2 3 =2 2 2=8 ។
ឧទាហរណ៍។ សរសេរកន្សោមខាងក្រោមដោយគ្មាននិទស្សន្ត។
5) 4 3 ; ៦) ក ៣ ខ ២ គ ៣; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .
ដំណោះស្រាយ។
5) 4 3 = ៤ ៤ ៤ ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 −b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb។
III.និង 0 = 1 លេខណាមួយ (លើកលែងតែសូន្យ) ទៅសូន្យអំណាចគឺស្មើនឹងមួយ។ ឧទាហរណ៍ 25 0 = 1 ។
IV. a 1 = កលេខណាមួយទៅអំណាចទីមួយគឺស្មើនឹងខ្លួនវាផ្ទាល់។
v.ម∙ មួយ n= ម + ន នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋាននៅតែដដែល និងនិទស្សន្ត បន្ថែម។
ឧទាហរណ៍។ ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
9) a 3 a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; ១១) គ ២ គ ០ គ ៤ .
ដំណោះស្រាយ។
៩) ក ៣ និង ៧=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;
១១) គ ២ គ ០ គ ៤ = 1 c 2 c c 4 \u003d គ 2+1+4 \u003d គ 7 .
VI.ម: មួយ n= ម - នពេលបែងចែកអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋានត្រូវទុកដូចគ្នា ហើយនិទស្សន្តនៃការបែងចែកត្រូវបានដកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ។
ឧទាហរណ៍។ ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
១២) ក ៨:ក ៣; 13) m11:m4; ១៤) ៥ ៦:៥ ៤ .
១២) ក ៨៖ ក ៣=a 8-3 =a 5 ; 13) m11:m4= ម 11-4 = ម 7 ; ១៤ ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25 ។
VII. (ម) ន= អាម៉ែន នៅពេលបង្កើនថាមពលទៅជាថាមពល មូលដ្ឋាននៅតែដដែល ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ។
ឧទាហរណ៍។ ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
15) (a 3) 4 ; 16) (ស ៥) ២.
១៥) (ក ៣) ៤=a 3 4 =a 12 ; ១៦) (គ ៥) ២=c 5 2 =c 10 .
ចំណាំដែល, ចាប់តាំងពីផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរពីការផ្លាស់ប្តូរនៃកត្តា, នោះ។:
15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) ( គ ៥ ) ២ = ( គ ២ ) ៥ .
វខ្ញុំ II. (a ∙ b) n = a n ∙ b n នៅពេលដែលការបង្កើនផលិតផលទៅជាថាមពល កត្តានីមួយៗត្រូវបានលើកឡើងពីអំណាចនោះ។
ឧទាហរណ៍។ ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
១៧) (២ ក ២) ៥ ; 18) 0.26 56; 19) 0.25 2 40 2 .
ដំណោះស្រាយ។
១៧) (២ ក ២) ៥\u003d 2 5 a 2 5 \u003d 32a 10; ១៨) ០.២ ៦ ៥ ៦=(0.2 5) 6 =1 6 =1;
19) 0.25 2 40 ២\u003d (0.25 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100 ។
IXនៅពេលបង្កើនប្រភាគទៅជាអំណាចមួយ ទាំងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគត្រូវបានលើកទៅអំណាចនោះ។
ឧទាហរណ៍។ ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
ដំណោះស្រាយ។
ទំព័រ 1 នៃ 1 1
លក្ខណៈសំខាន់មួយនៅក្នុងពិជគណិត ហើយជាការពិតនៅក្នុងគណិតវិទ្យាទាំងអស់ គឺសញ្ញាប័ត្រ។ ជាការពិតណាស់នៅក្នុងសតវត្សទី 21 ការគណនាទាំងអស់អាចត្រូវបានអនុវត្តនៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតប៉ុន្តែវាល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីរៀនពីរបៀបធ្វើវាដោយខ្លួនឯងសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍខួរក្បាល។
នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីបញ្ហាសំខាន់បំផុតទាក់ទងនឹងនិយមន័យនេះ។ មានន័យថា យើងនឹងយល់ពីអ្វីដែលវាជាទូទៅ និងអ្វីដែលជាមុខងារចម្បងរបស់វា លក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះដែលមាននៅក្នុងគណិតវិទ្យា។
ចូរយើងក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃអ្វីដែលការគណនាមើលទៅតើអ្វីជារូបមន្តមូលដ្ឋាន។ យើងនឹងវិភាគប្រភេទសំខាន់ៗនៃបរិមាណ និងរបៀបដែលវាខុសគ្នាពីមុខងារផ្សេងទៀត។
យើងនឹងយល់ពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗដោយប្រើតម្លៃនេះ។ យើងនឹងបង្ហាញជាមួយឧទាហរណ៍ពីរបៀបបង្កើនដល់សូន្យដឺក្រេ មិនសមហេតុផល អវិជ្ជមាន។ល។
ការគណនានិទស្សន្តតាមអ៊ីនធឺណិត
តើអ្វីទៅជាកម្រិតនៃលេខ
តើពាក្យថា "បង្កើនចំនួនដល់អំណាច" មានន័យដូចម្តេច?
ដឺក្រេ n នៃលេខ a គឺជាផលគុណនៃកត្តានៃរ៉ិចទ័រ a n ដងក្នុងមួយជួរ។
តាមគណិតវិទ្យាវាមើលទៅដូចនេះ៖
a n = a * a * a * ...a n ។
ឧទាហរណ៍:
- 2 3 = 2 ក្នុងជំហានទីបី។ = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 ក្នុងជំហាន។ ពីរ = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 នៅក្នុងជំហាន។ បួន = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 ក្នុង 5 ជំហាន។ = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 ក្នុង 4 ជំហាន។ = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000 ។
ខាងក្រោមនេះជាតារាងការ៉េ និងគូបពី ១ ដល់ ១០។
តារាងដឺក្រេពី 1 ដល់ 10
ខាងក្រោមនេះគឺជាលទ្ធផលនៃការបង្កើនចំនួនធម្មជាតិទៅជាថាមពលវិជ្ជមាន - "ពី 1 ដល់ 100" ។
| ឆ-ឡូ | ថ្នាក់ទី 2 | ថ្នាក់ទី 3 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
លក្ខណៈសម្បត្តិសញ្ញាបត្រ
តើអ្វីទៅជាលក្ខណៈនៃមុខងារគណិតវិទ្យាបែបនេះ? សូមក្រឡេកមើលលក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន។
អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របានបង្កើតដូចខាងក្រោម សញ្ញាលក្ខណៈនៃកម្រិតទាំងអស់៖
- a n * a m = (a) (n + m);
- a n: a m = (a) (n-m);
- (a b) m = (a) (b*m) ។
តោះពិនិត្យជាមួយឧទាហរណ៍៖
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. ម៉្យាងទៀត 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 ។
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2 ។ បើមិនដូច្នោះទេ 2 3-2 = 2 1 = 2 ។
(2 3) 2 = 8 2 = 64. ចុះបើវាខុសគ្នា? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64 ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញច្បាប់ដំណើរការ។
ប៉ុន្តែរបៀបក្លាយជា ជាមួយនឹងការបូកនិងដក? អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ។ និទស្សន្តទីមួយត្រូវបានអនុវត្ត ហើយមានតែការបូក និងដកប៉ុណ្ណោះ។
តោះមើលឧទាហរណ៍៖
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 − 3 2 = 25 − 9 = 16
ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ អ្នកត្រូវតែគណនាការបូកជាមុនសិន ព្រោះមានសកម្មភាពក្នុងតង្កៀប៖ (5 + 3) 3 = 8 3 = 512 ។
របៀបផលិត ការគណនាក្នុងករណីស្មុគស្មាញជាង? លំដាប់គឺដូចគ្នា៖
- ប្រសិនបើមានតង្កៀប អ្នកត្រូវចាប់ផ្តើមជាមួយពួកវា។
- បន្ទាប់មកនិទស្សន្ត;
- បន្ទាប់មកអនុវត្តប្រតិបត្តិការនៃគុណ, ការបែងចែក;
- បន្ទាប់ពីបូកដក។
មានលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់ដែលមិនមែនជាលក្ខណៈនៃដឺក្រេទាំងអស់:
- ឫសនៃដឺក្រេទី n ពីលេខ a ដល់ដឺក្រេ m នឹងត្រូវបានសរសេរជា: m / n ។
- នៅពេលបង្កើនប្រភាគទៅអំណាចមួយ៖ ទាំងភាគយក និងភាគបែងរបស់វាគឺជាកម្មវត្ថុនៃនីតិវិធីនេះ។
- នៅពេលបង្កើនផលិតផលនៃលេខផ្សេងគ្នាទៅជាថាមពល កន្សោមនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងផលិតផលនៃលេខទាំងនេះទៅនឹងថាមពលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នោះគឺ៖ (a * b) n = a n * b n ។
- នៅពេលបង្កើនលេខទៅជាថាមពលអវិជ្ជមាន អ្នកត្រូវចែកលេខ 1 ដោយលេខក្នុងជំហានតែមួយ ប៉ុន្តែមានសញ្ញា "+" ។
- ប្រសិនបើភាគបែងនៃប្រភាគស្ថិតក្នុងអំណាចអវិជ្ជមាន នោះកន្សោមនេះនឹងស្មើនឹងផលគុណនៃភាគយក និងភាគបែងក្នុងអំណាចវិជ្ជមាន។
- លេខណាមួយទៅអំណាចនៃ 0 = 1 និងទៅជំហាន។ 1 = ខ្លួនគាត់។
ច្បាប់ទាំងនេះមានសារៈសំខាន់ក្នុងករណីបុគ្គល យើងនឹងពិចារណាលម្អិតបន្ថែមទៀតខាងក្រោម។
សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តអវិជ្ជមាន
អ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយសញ្ញាបត្រអវិជ្ជមាន នោះគឺនៅពេលដែលសូចនាករអវិជ្ជមាន?
ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិ 4 និង 5(សូមមើលចំណុចខាងលើ) វាប្រែចេញ:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25 ។
និងច្រាសមកវិញ៖
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d ៨.
ចុះបើវាជាប្រភាគ?
(A/B) (-n) = (B/A) n , (3/5) (−2) = (5/3) 2 = 25/9 ។
សញ្ញាប័ត្រជាមួយសូចនាករធម្មជាតិ
វាត្រូវបានយល់ថាជាដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តស្មើនឹងចំនួនគត់។
អ្វីដែលត្រូវចងចាំ៖
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…។ល។
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…។ល។
ដូចគ្នានេះផងដែរប្រសិនបើ (-a) 2 n +2 , n = 0, 1, 2… នោះលទ្ធផលនឹងជាសញ្ញា "+" ។ ប្រសិនបើចំនួនអវិជ្ជមានត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលសេស នោះផ្ទុយទៅវិញ។
លក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅ និងលក្ខណៈជាក់លាក់ទាំងអស់ដែលបានពិពណ៌នាខាងលើក៏ជាលក្ខណៈនៃពួកវាផងដែរ។
សញ្ញាបត្រប្រភាគ
ទិដ្ឋភាពនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាគ្រោងការណ៍: A m / n ។ វាត្រូវបានអានថា: ឫសនៃដឺក្រេទី n នៃលេខ A ដល់អំណាចនៃ m ។
ជាមួយនឹងសូចនាករប្រភាគ អ្នកអាចធ្វើអ្វីៗបាន៖ កាត់បន្ថយ បំបែកទៅជាផ្នែក បង្កើនដល់កម្រិតមួយទៀត។ល។
សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តមិនសមហេតុផល
សូមឱ្យ α ជាចំនួនមិនសមហេតុផល និង А ˃ 0 ។
ដើម្បីយល់ពីខ្លឹមសារនៃសញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករបែបនេះ។ សូមក្រឡេកមើលករណីផ្សេងៗគ្នា៖
- A \u003d 1. លទ្ធផលនឹងស្មើនឹង 1។ ចាប់តាំងពីមាន axiom មួយ - 1 គឺស្មើនឹងមួយនៅក្នុងអំណាចទាំងអស់;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 គឺជាលេខសមហេតុផល;
- 0˂А˂1.
ក្នុងករណីនេះ, ច្រាសមកវិញ: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 ក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នានឹងកថាខណ្ឌទីពីរ។
ឧទាហរណ៍និទស្សន្តគឺជាលេខ π ។វាសមហេតុផល។
r 1 - ក្នុងករណីនេះវាស្មើនឹង 3;
r 2 - នឹងស្មើនឹង 4 ។
បន្ទាប់មកសម្រាប់ A = 1, 1 π = 1 ។
A = 2 បន្ទាប់មក 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16 ។
A = 1/2 បន្ទាប់មក (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8 ។
ដឺក្រេបែបនេះត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាទាំងអស់និងលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់ដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ចូរសង្ខេប - តើតម្លៃទាំងនេះសម្រាប់អ្វី, គុណសម្បត្តិនៃមុខងារបែបនេះ? ជាការពិតណាស់ ជាដំបូង ពួកវាជួយសម្រួលដល់ជីវិតរបស់គណិតវិទូ និងអ្នកសរសេរកម្មវិធី នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ ដោយសារពួកគេអនុញ្ញាតឱ្យកាត់បន្ថយការគណនា កាត់បន្ថយក្បួនដោះស្រាយ ការរៀបចំទិន្នន័យជាប្រព័ន្ធ និងច្រើនទៀត។
តើចំណេះដឹងនេះមានប្រយោជន៍នៅឯណាទៀត? នៅក្នុងជំនាញការងារណាមួយ៖ ឱសថ ឱសថសាស្ត្រ ទន្តព្ទ្យវិទ្យា សំណង់ បច្ចេកវិទ្យា វិស្វកម្ម ការរចនា។ល។
មេរៀនលើប្រធានបទ៖ "ច្បាប់សម្រាប់គុណ និងបែងចែកអំណាចជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា និងផ្សេងគ្នា។ ឧទាហរណ៍"
សម្ភារៈបន្ថែម
អ្នកប្រើប្រាស់ជាទីគោរព កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ មតិកែលម្អ ការផ្តល់យោបល់។ សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយកម្មវិធីកំចាត់មេរោគ។
ជំនួយការបង្រៀន និងការក្លែងធ្វើនៅក្នុងហាងអនឡាញ "អាំងតេក្រាល" សម្រាប់ថ្នាក់ទី 7
សៀវភៅណែនាំសម្រាប់សៀវភៅសិក្សា Yu.N. សៀវភៅណែនាំ Makarycheva សម្រាប់សៀវភៅសិក្សា A.G. Mordkovich
គោលបំណងនៃមេរៀន៖ រៀនពីរបៀបអនុវត្តប្រតិបត្តិការដោយអំណាចនៃលេខ។
ដើម្បីចាប់ផ្តើមសូមរំលឹកឡើងវិញនូវគំនិតនៃ "អំណាចនៃលេខ" ។ កន្សោមដូចជា $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ អាចត្រូវបានតំណាងជា $a^n$ ។
ការបញ្ច្រាសក៏ជាការពិតដែរ៖ $a^n= \underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ ។
សមភាពនេះត្រូវបានគេហៅថា "ការកត់ត្រាសញ្ញាបត្រជាផលិតផល" ។ វានឹងជួយយើងកំណត់ពីរបៀបគុណ និងបែងចែកអំណាច។
ចងចាំ៖
ក- មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រ។
ន- និទស្សន្ត។
ប្រសិនបើ n=1ដែលមានន័យថាលេខ កយកម្តង និងរៀងគ្នា៖ $a^n=1$។
ប្រសិនបើ n=0បន្ទាប់មក $a^0=1$។
ហេតុអ្វីបានជារឿងនេះកើតឡើង យើងអាចរកឃើញនៅពេលដែលយើងស្គាល់ច្បាប់សម្រាប់គុណ និងបែងចែកអំណាច។
ក្បួនគុណ
ក) ប្រសិនបើអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាត្រូវបានគុណ។ទៅ $a^n* a^m$ យើងសរសេរអំណាចជាផលិតផល៖ $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace(a * a * \ldots * a )_ (ម)$។
តួលេខបង្ហាញថាលេខ កបានយក n+mដងបន្ទាប់មក $a^n * a^m = a^(n + m)$ ។
ឧទាហរណ៍។
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
ទ្រព្យសម្បត្តិនេះងាយស្រួលប្រើដើម្បីសម្រួលការងារនៅពេលលើកលេខទៅថាមពលធំ។
ឧទាហរណ៍។
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
ខ) ប្រសិនបើអំណាចត្រូវបានគុណជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ប៉ុន្តែនិទស្សន្តដូចគ្នា។
ទៅ $a^n * b^n$ យើងសរសេរអំណាចជាផលិតផល៖ $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (ម)$។
ប្រសិនបើយើងប្តូរកត្តា និងរាប់គូលទ្ធផល យើងទទួលបាន៖ $\underbrace((a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$ ។
ដូច្នេះ $a^n * b^n= (a * b)^n$ ។
ឧទាហរណ៍។
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
ច្បាប់នៃការបែងចែក
ក) មូលដ្ឋាននៃដឺក្រេគឺដូចគ្នា និទស្សន្តគឺខុសគ្នា។ពិចារណាការបែងចែកសញ្ញាបត្រជាមួយនិទស្សន្តធំជាង ដោយចែកសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តតូចជាង។
ដូច្នេះ ចាំបាច់ $\frac(a^n)(a^m)$, កន្លែងណា n>m.
យើងសរសេរដឺក្រេជាប្រភាគ៖
$\frac(\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(a * a * \ldots * a )_(m))$។
ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងសរសេរការបែងចែកជាប្រភាគសាមញ្ញ។ឥឡូវនេះសូមកាត់បន្ថយប្រភាគ។
វាប្រែថា $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$ ។
មានន័យថា $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
ទ្រព្យសម្បត្តិនេះនឹងជួយពន្យល់ពីស្ថានភាពជាមួយនឹងការបង្កើនលេខទៅជាថាមពលសូន្យ។ ចូរសន្មតថា n=mបន្ទាប់មក $a^0=a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n)=1$។
ឧទាហរណ៍។
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$ ។
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$ ។
ខ) មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រគឺខុសគ្នា សូចនាករគឺដូចគ្នា។
ចូរនិយាយថាអ្នកត្រូវការ $\frac(a^n)(b^n)$ ។ យើងសរសេរអំណាចនៃលេខជាប្រភាគ៖
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$ ។
ចូរយើងស្រមៃសម្រាប់ភាពងាយស្រួល។
ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិនៃប្រភាគ យើងបែងចែកប្រភាគធំទៅជាផលិតផលនៃប្រភាគតូច យើងទទួលបាន។
$\underbrace(\frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$ ។
ដូច្នោះ៖ $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$ ។
ឧទាហរណ៍។
$\frac(4^3)(2^3)=(\frac(4)(2))^3=2^3=8$ ។
ជាក់ស្តែង លេខដែលមានថាមពលអាចត្រូវបានបន្ថែមដូចជាបរិមាណផ្សេងទៀត។ ដោយបន្ថែមពួកវាម្តងមួយៗជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេ។.
ដូច្នេះផលបូកនៃ a 3 និង b 2 គឺ a 3 + b 2 ។
ផលបូកនៃ 3 - b n និង h 5 -d 4 គឺ a 3 - b n + h 5 - d 4 ។
ហាងឆេង អំណាចដូចគ្នានៃអថេរដូចគ្នា។អាចត្រូវបានបន្ថែមឬដក។
ដូច្នេះផលបូកនៃ 2a 2 និង 3a 2 គឺ 5a 2 ។
វាក៏ច្បាស់ដែរថា ប្រសិនបើយើងយកការ៉េពីរ a ឬបីការ៉េ a ឬប្រាំការ៉េ a ។
ប៉ុន្តែសញ្ញាបត្រ អថេរផ្សេងៗនិង កម្រិតផ្សេងៗ អថេរដូចគ្នាត្រូវតែបន្ថែមដោយបន្ថែមពួកវាទៅសញ្ញារបស់ពួកគេ។
ដូច្នេះផលបូកនៃ 2 និង 3 គឺជាផលបូកនៃ 2 + a 3 ។
វាច្បាស់ណាស់ថាការេនៃ a និងគូបនៃ a គឺមិនមែនពីរដងនៃការេនៃ a ប៉ុន្តែពីរដងនៃគូបនៃ a ។
ផលបូកនៃ 3 b n និង 3a 5 b 6 គឺ a 3 b n + 3a 5 b 6 ។
ដកអំណាចត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបដូចគ្នានឹងការបន្ថែម លើកលែងតែសញ្ញានៃអនុសញ្ញាត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរទៅតាមនោះ។
ឬ៖
2a 4 − (−6a 4) = 8a ៤
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
គុណអំណាច
លេខដែលមានអំណាចអាចត្រូវបានគុណដូចបរិមាណផ្សេងទៀតដោយសរសេរពួកវាមួយបន្ទាប់ពីមួយផ្សេងទៀតដោយមានឬគ្មានសញ្ញាគុណរវាងពួកវា។
ដូច្នេះលទ្ធផលនៃគុណ 3 គុណនឹង b 2 គឺជា 3 b 2 ឬ aaabb ។
ឬ៖
x −3 ⋅ a m = a m x −3
3a 6 y 2 ⋅ (−2x) = −6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
លទ្ធផលនៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយអាចត្រូវបានបញ្ជាដោយបន្ថែមអថេរដូចគ្នា។
កន្សោមនឹងមានទម្រង់៖ a 5 b 5 y 3 ។
ដោយការប្រៀបធៀបលេខជាច្រើន (អថេរ) ជាមួយនឹងអំណាច យើងអាចឃើញថា ប្រសិនបើចំនួនទាំងពីរត្រូវបានគុណ នោះលទ្ធផលគឺជាចំនួន (អថេរ) ដែលមានថាមពលស្មើនឹង ផលបូកដឺក្រេនៃលក្ខខណ្ឌ។
ដូច្នេះ a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 ។
នៅទីនេះ 5 គឺជាអំណាចនៃលទ្ធផលនៃគុណស្មើនឹង 2 + 3 ផលបូកនៃអំណាចនៃលក្ខខណ្ឌ។
ដូច្នេះ a n .a m = a m + n ។
សម្រាប់ n មួយ a ត្រូវបានគេយកជាកត្តាជាច្រើនដងដែលអំណាចនៃ n គឺ;
ហើយ m ត្រូវបានគេយកជាកត្តាជាច្រើនដងដែលដឺក្រេ m គឺស្មើនឹង;
នោះហើយជាមូលហេតុដែល, អំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាអាចត្រូវបានគុណដោយការបន្ថែមនិទស្សន្ត។
ដូច្នេះ a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8 ។ និង x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6 ។
ឬ៖
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1
គុណ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x − y)។
ចម្លើយ៖ x 4 − y 4 ។
គុណ (x 3 + x − 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ។
ច្បាប់នេះក៏ជាការពិតសម្រាប់លេខដែលនិទស្សន្តគឺ - អវិជ្ជមាន.
1. ដូច្នេះ a -2 .a -3 = a -5 . នេះអាចសរសេរជា (1/aa)។(1/aaa) = 1/aaaaa។
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
ប្រសិនបើ a + b ត្រូវបានគុណនឹង a - b នោះលទ្ធផលនឹងជា 2 - b 2៖ នោះគឺជា
លទ្ធផលនៃការគុណផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃការ៉េរបស់ពួកគេ។
ប្រសិនបើផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរត្រូវបានលើកឡើង ការ៉េលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃលេខទាំងនេះនៅក្នុង ទីបួនសញ្ញាបត្រ។
ដូច្នេះ (a - y) ។(a + y) = a 2 - y 2 ។
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 ។
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 ។
ការបែងចែកអំណាច
លេខដែលមានអំណាចអាចត្រូវបានបែងចែកដូចជាលេខផ្សេងទៀតដោយដកពីផ្នែកចែក ឬដោយដាក់វាក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគ។
ដូច្នេះ a 3 b 2 ចែកនឹង b 2 គឺ a 3 ។
ឬ៖
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
ការសរសេរ 5 ចែកនឹង 3 មើលទៅដូចជា $\frac(a^5)(a^3)$ ។ ប៉ុន្តែនេះគឺស្មើនឹង 2 ។ នៅក្នុងស៊េរីនៃលេខ
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4 ។
លេខណាមួយអាចត្រូវបានបែងចែកដោយលេខផ្សេងទៀត ហើយនិទស្សន្តនឹងស្មើនឹង ភាពខុសគ្នាសូចនាករនៃលេខដែលអាចបែងចែកបាន។
នៅពេលបែងចែកអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តរបស់ពួកគេត្រូវបានដក។.
ដូច្នេះ y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 ។ នោះគឺ $\frac(yyy)(yy)=y$។
ហើយ n + 1: a = a n + 1-1 = a n ។ នោះគឺ $\frac(aa^n)(a) = a^n$ ។
ឬ៖
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
ច្បាប់ក៏មានសុពលភាពសម្រាប់លេខជាមួយ អវិជ្ជមានតម្លៃសញ្ញាបត្រ។
លទ្ធផលនៃការបែងចែក a -5 ដោយ a -3 គឺ a -2 ។
ផងដែរ $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1)=\frac(aaa)(aaaaa)=\frac (1)(aa)$។
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ឬ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
វាចាំបាច់ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់លើការគុណ និងការបែងចែកអំណាចបានយ៉ាងល្អ ព្រោះប្រតិបត្តិការបែបនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងពិជគណិត។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ប្រភាគដែលមានលេខដែលមានអំណាច
1. កាត់បន្ថយនិទស្សន្តក្នុង $\frac(5a^4)(3a^2)$ ចម្លើយ៖ $\frac(5a^2)(3)$ ។
2. កាត់បន្ថយនិទស្សន្តក្នុង $\frac(6x^6)(3x^5)$ ។ ចម្លើយ៖ $\frac(2x)(1)$ ឬ 2x។
3. កាត់បន្ថយនិទស្សន្ត a 2/a 3 និង a -3/a -4 ហើយនាំយកទៅភាគបែងរួម។
a 2 .a -4 គឺជា -2 ភាគយកទីមួយ។
a 3 .a −3 គឺ a 0 = 1 ជាភាគយកទីពីរ។
a 3 .a -4 គឺ a -1 ដែលជាភាគយកទូទៅ។
បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖ a -2 /a -1 និង 1/a -1 ។
4. កាត់បន្ថយនិទស្សន្ត 2a 4/5a 3 និង 2/a 4 ហើយនាំយកទៅភាគបែងរួម។
ចម្លើយ៖ 2a 3/5a 7 និង 5a 5/5a 7 ឬ 2a 3/5a 2 និង 5/5a 2 ។
5. គុណ (a 3 + b)/b 4 ដោយ (a − b)/3 ។
6. គុណ (a 5 + 1)/x 2 ដោយ (b 2 − 1)/(x + a)។
7. គុណ b 4 /a -2 ដោយ h -3 /x និង a n / y -3 ។
8. ចែក 4/y 3 ដោយ 3/y 2 ។ ចម្លើយ៖ a/y ។
9. ចែក (h 3 - 1)/d 4 ដោយ (d n + 1)/h ។
