ធរណីមាត្រ
ផែនការមេរៀនសម្រាប់ថ្នាក់ទី១០
មេរៀនទី ៥៦
ប្រធានបទ។ តំបន់នៃការព្យាករ orthogonal នៃពហុកោណមួយ។
គោលបំណងនៃមេរៀន៖ ការសិក្សាទ្រឹស្តីបទលើផ្ទៃនៃការព្យាករ orthogonal នៃពហុកោណ ការបង្កើតជំនាញរបស់សិស្សដើម្បីអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែលបានសិក្សាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។
ឧបករណ៍៖ សំណុំស្តេរ៉េអូម៉ែត្រ គំរូគូប។
ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់
I. ពិនិត្យកិច្ចការផ្ទះ
1. សិស្សពីរនាក់ផលិតឡើងវិញនូវដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាលេខ 42, 45 នៅលើក្ដារខៀន។
2. ការសួរចម្លើយផ្នែកខាងមុខ។
1) កំណត់មុំរវាងយន្តហោះពីរដែលប្រសព្វគ្នា។
២) តើមុំរវាង៖
ក) យន្តហោះស្របគ្នា;
ខ) យន្តហោះកាត់កែង?
3) តើមុំរវាងយន្តហោះទាំងពីរអាចផ្លាស់ប្តូរកម្រិតណា?
៤) តើពិតទេដែលយន្តហោះដែលប្រសព្វគ្នា យន្តហោះស្របគ្នាកាត់វានៅមុំដូចគ្នា?
៥) តើពិតទេដែលយន្តហោះដែលកាត់កាត់គ្នា យន្តហោះកាត់គ្នានៅមុំដូចគ្នា?
3. ការពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាលេខ 42, 45 ដែលសិស្សបានបង្កើតឡើងវិញនៅលើក្តារ។
II. ការយល់ឃើញ និងការយល់ដឹងអំពីសម្ភារៈថ្មី។
ការចាត់តាំងដល់សិស្ស
1. បញ្ជាក់ថាផ្ទៃព្យាករនៃត្រីកោណដែលមានម្ខាងក្នុងយន្តហោះព្យាករគឺស្មើនឹងផលនៃផ្ទៃរបស់វានិងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងប្លង់ពហុកោណនិងយន្តហោះព្យាករ។
2. បង្ហាញទ្រឹស្តីបទសម្រាប់ករណីនៅពេលដែលត្រីកោណបន្ទះឈើមានជ្រុងម្ខាងស្របទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ។
3. បង្ហាញទ្រឹស្តីបទសម្រាប់ករណីនៅពេលដែលត្រីកោណបន្ទះឈើមិនមានជ្រុងណាមួយរបស់វាស្របនឹងយន្តហោះដែលព្យាករណ៍។
4. បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទសម្រាប់ពហុកោណណាមួយ។
ដោះស្រាយបញ្ហា
1. រកផ្ទៃនៃការព្យាករ orthogonal នៃពហុកោណដែលមានផ្ទៃ 50 cm2 ហើយមុំរវាងប្លង់នៃពហុកោណ និងការព្យាកររបស់វាគឺ 60°។
2. ស្វែងរកផ្ទៃនៃពហុកោណ ប្រសិនបើផ្ទៃនៃការព្យាករ orthogonal នៃពហុកោណនេះគឺ 50 cm2 ហើយមុំរវាងប្លង់នៃពហុកោណ និងការព្យាកររបស់វាគឺ 45° ។
3. ផ្ទៃនៃពហុកោណគឺ 64 cm2 និងតំបន់នៃការព្យាករ orthogonal គឺ 32 cm2 ។ រកមុំរវាងប្លង់នៃពហុកោណ និងការព្យាកររបស់វា។
4. ឬប្រហែលជាតំបន់នៃការព្យាករ orthogonal នៃពហុកោណគឺស្មើនឹងតំបន់នៃពហុកោណនេះ?
5. គែមនៃគូបគឺ a ។ ស្វែងរកតំបន់កាត់នៃគូបដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ផ្នែកខាងលើនៃមូលដ្ឋាននៅមុំ 30° ទៅមូលដ្ឋាននេះ ហើយប្រសព្វគែមចំហៀងទាំងអស់។ (ចម្លើយ។ )
6. បញ្ហាលេខ 48 (1, 3) ពីសៀវភៅសិក្សា (ទំព័រ 58) ។
7. បញ្ហាលេខ 49 (2) ពីសៀវភៅសិក្សា (ទំព័រ 58) ។
8. ជ្រុងនៃចតុកោណកែងគឺ 20 និង 25 សង់ទីម៉ែត្រ។ ការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើយន្តហោះគឺស្រដៀងនឹងវា។ ស្វែងរកបរិវេណនៃការព្យាករណ៍។ (ចម្លើយ។ 72 សង់ទីម៉ែត្រ ឬ 90 សង់ទីម៉ែត្រ។ )
III. កិច្ចការផ្ទះ
§ 4, ន។ 34; សំណួរសុវត្ថិភាពលេខ 17; កិច្ចការលេខ 48 (2), 49 (1) (ទំព័រ 58) ។
IV. សង្ខេបមេរៀន
សំណួរសម្រាប់ថ្នាក់
1) បង្កើតទ្រឹស្តីបទលើផ្ទៃនៃការព្យាករ orthogonal នៃពហុកោណ។
2) តើផ្ទៃនៃការព្យាករ orthogonal នៃពហុកោណអាចធំជាងផ្ទៃនៃពហុកោណដែរឬទេ?
3) យន្តហោះ α ត្រូវបានគូរតាមអ៊ីប៉ូតេនុស AB នៃត្រីកោណខាងស្តាំ ABC នៅមុំ 45° ទៅនឹងយន្តហោះនៃត្រីកោណ និង CO កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ α ។ AC \u003d 3 សង់ទីម៉ែត្រ, BC \u003d 4 សង់ទីម៉ែត្រ។ ចង្អុលបង្ហាញថាតើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមមួយណាត្រឹមត្រូវ និងមួយណាមិនត្រឹមត្រូវ៖
ក) មុំរវាងយន្តហោះ ABC និង α គឺស្មើនឹងមុំ CMO ដែលចំណុច H គឺជាមូលដ្ឋាននៃរយៈទទឹង CM នៃត្រីកោណ ABC ។
ខ) SD = 2.4 សង់ទីម៉ែត្រ;
គ) ត្រីកោណ AOC គឺជាការព្យាកររាងពងក្រពើនៃត្រីកោណ ABC ទៅលើយន្តហោះ α;
ឃ) ផ្ទៃត្រីកោណ AOB គឺ 3 cm2 ។
( ចម្លើយ . ) ត្រឹមត្រូវ; ខ) ខុស; គ) ខុស; ឃ) ត្រឹមត្រូវ។)
នៅក្នុងបញ្ហានៅក្នុងធរណីមាត្រ ភាពជោគជ័យគឺអាស្រ័យមិនត្រឹមតែលើចំណេះដឹងនៃទ្រឹស្តីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែនៅលើគំនូរគុណភាព។
ជាមួយនឹងគំនូរផ្ទះល្វែងអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ជាងឬតិច។ ប៉ុន្តែនៅក្នុង stereometric ស្ថានភាពកាន់តែស្មុគស្មាញ។ យ៉ាងណាមិញវាចាំបាច់ដើម្បីពណ៌នា បីវិមាត្ររាងកាយនៅលើ ផ្ទះល្វែងគំនូរ ហើយតាមរបៀបដែលទាំងអ្នកខ្លួនឯង និងអ្នកដែលមើលគំនូររបស់អ្នកនឹងឃើញរូបកាយបីវិមាត្រដូចគ្នា។
តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច?
ជាការពិតណាស់ រូបភាពណាមួយនៃរាងកាយបីវិមាត្រនៅលើយន្តហោះនឹងមានលក្ខខណ្ឌ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានច្បាប់ជាក់លាក់មួយ។ មានវិធីដែលទទួលយកជាទូទៅក្នុងការសាងសង់ប្លង់មេ − ការព្យាករណ៍ប៉ារ៉ាឡែល.
ចូរយើងយករាងកាយរឹង។
តោះជ្រើសរើស យន្តហោះព្យាករណ៍.
តាមរយៈចំណុចនីមួយៗនៃតួបរិមាណ យើងគូរបន្ទាត់ត្រង់ ស្របទៅគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយកាត់ប្លង់ព្យាករនៅមុំខ្លះ។ ខ្សែនីមួយៗទាំងនេះប្រសព្វគ្នានឹងយន្តហោះព្យាករនៅចំណុចណាមួយ។ ចំណុចទាំងនេះរួមគ្នា ការព្យាកររាងកាយ volumetric នៅលើយន្តហោះ នោះគឺជារូបភាពរាបស្មើរបស់វា។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកសាងការព្យាករនៃសាកសព volumetric?
ស្រមៃថាអ្នកមានស៊ុមនៃរាងកាយបីវិមាត្រ - ព្រីស សាជីជ្រុង ឬស៊ីឡាំង។ ការបំភ្លឺវាជាមួយនឹងធ្នឹមស្របគ្នានៃពន្លឺយើងទទួលបានរូបភាពមួយ - ស្រមោលនៅលើជញ្ជាំងឬនៅលើអេក្រង់។ ចំណាំថារូបភាពផ្សេងៗគ្នាត្រូវបានទទួលពីមុំផ្សេងៗគ្នា ប៉ុន្តែគំរូខ្លះនៅតែមាន៖
ការព្យាករណ៍នៃផ្នែកនឹងជាផ្នែក។
ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើផ្នែកកាត់កែងទៅនឹងការព្យាករនោះ វានឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅចំណុចមួយ។
នៅក្នុងករណីទូទៅ ការព្យាករនៃរង្វង់មួយនឹងជារាងពងក្រពើ។
ការព្យាករនៃចតុកោណគឺជាប្រលេឡូក្រាម។
នេះជារបៀបដែលការព្យាករនៃគូបមួយនៅលើយន្តហោះមើលទៅដូច:
នៅទីនេះ ផ្នែកខាងមុខ និងខាងក្រោយ គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលព្យាករណ៍
អ្នកអាចធ្វើវាខុសគ្នា៖
ទោះយើងជ្រើសរើសមុំបែបណាក៏ដោយ ការព្យាករណ៍នៃផ្នែកប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងគំនូរក៏នឹងជាផ្នែកប៉ារ៉ាឡែលផងដែរ។. នេះគឺជាគោលការណ៍មួយនៃការព្យាករប៉ារ៉ាឡែល។
យើងគូរការព្យាករណ៍ពីរ៉ាមីត
ស៊ីឡាំង៖
ជាថ្មីម្តងទៀត យើងធ្វើឡើងវិញនូវគោលការណ៍ជាមូលដ្ឋាននៃការព្យាករប៉ារ៉ាឡែល។ យើងជ្រើសរើសប្លង់ព្យាករ ហើយគូសបន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នាតាមចំនុចនីមួយៗនៃតួរលេខ។ បន្ទាត់ទាំងនេះប្រសព្វគ្នានឹងយន្តហោះព្យាករនៅមុំមួយចំនួន។ ប្រសិនបើមុំនេះគឺ 90 ° ការព្យាករណ៍រាងចតុកោណ. ដោយមានជំនួយពីការព្យាកររាងចតុកោណ គំនូរនៃផ្នែកបីវិមាត្រក្នុងវិស្វកម្មត្រូវបានសាងសង់។ ក្នុងករណីនេះ យើងកំពុងនិយាយអំពីទិដ្ឋភាពខាងលើ ទិដ្ឋភាពខាងមុខ និងទិដ្ឋភាពចំហៀង។
ភ័ស្តុតាងលម្អិតនៃទ្រឹស្តីបទព្យាកររាងពងក្រពើពហុកោណ
ប្រសិនបើ - ការព្យាករណ៍នៃផ្ទះល្វែងមួយ។ ន -gon ទៅយន្តហោះមួយ បន្ទាប់មក តើមុំរវាងប្លង់នៃពហុកោណ និងនៅឯណា។ ម៉្យាងទៀត ផ្ទៃព្យាករនៃពហុកោណសំប៉ែតគឺស្មើនឹងផលគុណនៃផ្ទៃនៃពហុកោណដែលបានព្យាករ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងប្លង់ព្យាករ និងប្លង់នៃពហុកោណដែលបានព្យាករ។
ភស្តុតាង។ ខ្ញុំ ដំណាក់កាល។ ចូរយើងធ្វើភស្តុតាងជាមុនសម្រាប់ត្រីកោណ។ ចូរយើងពិចារណា 5 ករណី។
1 ករណី។ ដេកនៅក្នុងយន្តហោះព្យាករណ៍ .
ទុកជាការព្យាករនៃពិន្ទុលើយន្តហោះរៀងៗខ្លួន។ ក្នុងករណីរបស់យើង។ ចូរសន្មតថា។ អនុញ្ញាតឱ្យ - កម្ពស់បន្ទាប់មកតាមទ្រឹស្តីបទនៃកាត់កែងបីយើងអាចសន្និដ្ឋានថា - កម្ពស់ (- ការព្យាករណ៍នៃទំនោរ - មូលដ្ឋានរបស់វានិងបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់មូលដ្ឋាននៃទំនោរលើសពីនេះទៅទៀត) ។
ពិចារណា។ វាមានរាងចតុកោណ។ តាមនិយមន័យនៃកូស៊ីនុស៖
ម៉្យាងវិញទៀត ចាប់តាំងពីពេលនោះមក តាមនិយមន័យ គឺជាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ដែលបង្កើតឡើងដោយពាក់កណ្តាលប្លង់នៃយន្តហោះ និងជាមួយបន្ទាត់ព្រំដែន ហើយដូច្នេះ រង្វាស់របស់វាក៏ជារង្វាស់នៃមុំរវាង ប្លង់ព្យាករនៃត្រីកោណ និងត្រីកោណខ្លួនឯង នោះគឺជា។
ស្វែងរកសមាមាត្រនៃតំបន់ទៅ៖
ចំណាំថារូបមន្តនៅតែពិត ទោះបីជានៅពេល . ក្នុងករណីនេះ
ករណីទី២. ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះព្យាករប៉ុណ្ណោះ ហើយស្របនឹងយន្តហោះព្យាករ .
ទុកជាការព្យាករនៃពិន្ទុលើយន្តហោះរៀងៗខ្លួន។ ក្នុងករណីរបស់យើង។
ចូរយើងគូសបន្ទាត់ត្រង់តាមចំនុច។ ក្នុងករណីរបស់យើង បន្ទាត់ត្រង់កាត់ប្លង់ព្យាករ ដែលមានន័យថា ដោយឡឺម៉ា បន្ទាត់ត្រង់ក៏ប្រសព្វនឹងយន្តហោះព្យាករដែរ។ អនុញ្ញាតឱ្យវាស្ថិតនៅចំណុចមួយ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ចំនុចស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយដោយសារវាស្របទៅនឹងយន្តហោះព្យាករណ៍ វាបន្តពីសញ្ញានៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់នោះ។ ដូច្នេះគឺជាប្រលេឡូក្រាម។ ពិចារណា និង។ ពួកវាស្មើគ្នាទាំងបី (--សាមញ្ញ ដូចខាងទល់មុខនៃប្រលេឡូក្រាម)។ ចំណាំថា ចតុកោណកែង គឺជាចតុកោណកែង ហើយស្មើគ្នា (តាមបណ្តោយជើង និងអ៊ីប៉ូតេនុស) ដូច្នេះវាស្មើគ្នានៅបីជ្រុង។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល។
សម្រាប់ 1 ករណីគឺអាចអនុវត្តបាន៖ ឧ.
ករណីទី៣. ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះព្យាករប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនស្របនឹងយន្តហោះព្យាករទេ។ .
ទុកអោយចំនុចជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយយន្តហោះព្យាករ។ ចូរយើងកត់សំគាល់ថា I. ក្នុងឱកាស១៖ អាយ. ដូច្នេះយើងទទួលបានវា។
៤ ករណី។ បញ្ឈរមិនស្ថិតនៅលើយន្តហោះព្យាករទេ។ . ពិចារណាកាត់កែង។ យកតូចបំផុតក្នុងចំណោមកាត់កែងទាំងនេះ។ សូមឱ្យវាកាត់កែង។ វាអាចនឹងប្រែក្លាយថាមានតែឬតែប៉ុណ្ណោះ។ បន្ទាប់មកយើងនៅតែយកវា។
ចូរយើងកំណត់ចំណុចមួយឡែកពីចំណុចមួយនៅលើផ្នែកមួយ ដូច្នេះហើយពីចំណុចមួយលើផ្នែកមួយ ចំណុចមួយ ដូច្នេះ។ ការសាងសង់បែបនេះគឺអាចធ្វើទៅបានចាប់តាំងពី - តូចបំផុតនៃកាត់កែង។ ចំណាំថាជាការព្យាករ និងដោយការសាងសង់។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថាវាស្មើគ្នា។
ចូរយើងពិចារណាការ៉េបួនជ្រុង។ តាមលក្ខខណ្ឌ - កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះមួយ ដូច្នេះយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ។ ចាប់តាំងពីដោយការសាងសង់បន្ទាប់មកនៅលើមូលដ្ឋាននៃប្រលេឡូក្រាមមួយ (នៅលើភាគីផ្ទុយគ្នានិងស្មើគ្នា) យើងអាចសន្និដ្ឋានថា - ប៉ារ៉ាឡែលមួយ។ មានន័យថា, ។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នាថា . ដូច្នេះ ហើយស្មើគ្នាលើបីភាគី។ ដូច្នេះ។ ចំណាំថា ហើយជាផ្នែកផ្ទុយគ្នានៃប្រលេឡូក្រាម ដូច្នេះ ដោយផ្អែកលើភាពស្របគ្នានៃយន្តហោះ។ ដោយសារយន្តហោះទាំងនេះស្របគ្នា ពួកវាបង្កើតបានជាមុំដូចគ្នាជាមួយនឹងយន្តហោះព្យាករណ៍។
សម្រាប់ករណីមុនត្រូវបានអនុវត្ត៖
៥ ករណី។ យន្តហោះព្យាករប្រសព្វគ្នាទាំងសងខាង . សូមក្រឡេកមើលបន្ទាត់ត្រង់។ ពួកវាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ ដូច្នេះតាមទ្រឹស្តីបទពួកវាស្របគ្នា។ នៅលើកាំរស្មីដែលដឹកនាំរួមគ្នាដែលមានប្រភពដើមនៅចំនុច យើងដាក់ផ្នែកស្មើគ្នារៀងៗខ្លួន ដើម្បីឱ្យកំពូលស្ថិតនៅខាងក្រៅយន្តហោះដែលព្យាករណ៍។ ចំណាំថាជាការព្យាករ និងដោយការសាងសង់។ ចូរបង្ហាញថាវាស្មើគ្នា។
ចាប់តាំងពីនិងដោយការសាងសង់បន្ទាប់មក។ ដូច្នេះនៅលើមូលដ្ឋាននៃប្រលេឡូក្រាម (នៅលើភាគីស្មើគ្នានិងប៉ារ៉ាឡែលពីរ) - ប្រលេឡូក្រាម។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញស្រដៀងគ្នាថានិងជាប៉ារ៉ាឡែល។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក និង (ជាភាគីផ្ទុយគ្នា) ដូច្នេះគឺស្មើគ្នាក្នុងបីភាគី។ មានន័យថា, ។
លើសពីនេះទៀតហើយដូច្នេះនៅលើមូលដ្ឋាននៃភាពស្របគ្នានៃយន្តហោះ។ ដោយសារយន្តហោះទាំងនេះស្របគ្នា ពួកវាបង្កើតបានជាមុំដូចគ្នាជាមួយនឹងយន្តហោះព្យាករណ៍។
សម្រាប់ករណីអនុវត្តទី ៤៖ ។
II ដំណាក់កាល។ ចូរបំបែកពហុកោណសំប៉ែតជាត្រីកោណដោយប្រើអង្កត់ទ្រូងដែលបានទាញពីចំណុចខាងលើ ៖ បន្ទាប់មកយោងតាមករណីមុនសម្រាប់ត្រីកោណ ៖ ។
Q.E.D.
ជំពូក IV ។ បន្ទាត់ និងយន្តហោះក្នុងលំហ។ ប៉ូលីហេដារ៉ា
§ 55. តំបន់ព្យាករណ៍នៃពហុកោណ។
សូមចាំថាមុំរវាងបន្ទាត់មួយនិងយន្តហោះគឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះ (រូបភាព 164)។
ទ្រឹស្តីបទ។ ផ្ទៃនៃការព្យាករ orthogonal នៃពហុកោណនៅលើយន្តហោះគឺស្មើនឹងតំបន់នៃពហុកោណដែលបានព្យាករគុណនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះនៃពហុកោណនិងយន្តហោះព្យាករ។
ពហុកោណនីមួយៗអាចត្រូវបានបែងចែកជាត្រីកោណ ដែលផលបូកនៃផ្ទៃដែលស្មើនឹងផ្ទៃពហុកោណ។ ដូច្នេះ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទសម្រាប់ត្រីកោណមួយ។
អនុញ្ញាតឱ្យមាន /\
ABC ត្រូវបានគេព្យាករលើយន្តហោះ រ. ពិចារណាករណីពីរ៖
ក) ភាគីម្ខាង /\
ABC គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ រ;
ខ) គ្មានភាគីណាមួយឡើយ។ /\
ABC មិនស្របគ្នាទេ។ រ.
ពិចារណា ករណីដំបូង៖ អនុញ្ញាតឱ្យ [AB] || រ.
គូរតាមយន្តហោះ (AB) រ 1 || រនិងគម្រោងផ្ទាល់មាត់ /\
ABC បើក រ 1 និងនៅលើ រ(រូបភព 165); យើងទទួលបាន /\
ABC 1 និង /\
A"B"S"។
ដោយទ្រព្យសម្បត្តិព្យាករណ៍យើងមាន /\
ABC ១ /\
A "B" C" ហើយដូច្នេះ
ស /\ ABC1=S /\ A"B"C"
តោះគូរ _|_ និងផ្នែក D 1 C 1 ។ បន្ទាប់មក _|_ , a = φ គឺជាមុំរវាងយន្តហោះ /\ ABC និងយន្តហោះ រមួយ។ ដូច្នេះ
ស /\ ABC1 = 1/2 | AB | | គ ១ ឃ ១ | = 1/2 | AB | | ស៊ីឌី ១ | cos φ = S /\ ABC cos φ
ដូច្នេះហើយ S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ ។
ចូរបន្តទៅការពិចារណា ករណីទីពីរ. គូរយន្តហោះ រ 1 || រពីលើកំពូលនោះ។ /\
ABC ចម្ងាយពីយន្តហោះ រតូចបំផុត (សូមឱ្យវាក្លាយជាកំពូល A) ។
យើងនឹងរចនា /\
ABC នៅលើយន្តហោះ រ 1 និង រ(រូបភព ១៦៦); អនុញ្ញាតឱ្យការព្យាករណ៍របស់វារៀងៗខ្លួន /\
AB 1 C 1 និង /\
A"B"S"។
អនុញ្ញាតឱ្យ (ព្រះអាទិត្យ) ទំ 1 = D. បន្ទាប់មក
ស /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (ស /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ
កិច្ចការ។យន្តហោះមួយត្រូវបានគូរកាត់ផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាននៃព្រីសរាងត្រីកោណធម្មតានៅមុំφ = 30° ទៅនឹងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋានរបស់វា។ ស្វែងរកតំបន់នៃផ្នែកលទ្ធផលប្រសិនបើផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាននៃព្រីស ក= 6 សង់ទីម៉ែត្រ។
ចូរយើងពណ៌នាផ្នែកនៃព្រីមនេះ (រូបភាព 167)។ ដោយសារព្រីសគឺទៀងទាត់ គែមចំហៀងរបស់វាត្រូវបានកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន។ មានន័យថា /\ ABC គឺជាការព្យាករណ៍ /\ ADC ដូច្នេះ
ពិចារណាលើយន្តហោះ ទំ និងបន្ទាត់កាត់វា។ . អនុញ្ញាតឱ្យមាន ប៉ុន្តែ គឺជាចំណុចបំពាននៅក្នុងលំហ។ គូសបន្ទាត់ត្រង់ចំណុចនេះ។ , ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ . អនុញ្ញាតឱ្យមាន . ចំណុច ត្រូវបានគេហៅថាការព្យាករណ៍ចំណុច ប៉ុន្តែទៅយន្តហោះ ទំនៅក្នុងការរចនាប៉ារ៉ាឡែលតាមបណ្តោយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ . យន្តហោះ ទំ ដែលចំណុចនៃលំហត្រូវបានព្យាករត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះព្យាករណ៍។
p - យន្តហោះព្យាករណ៍;
- ការរចនាដោយផ្ទាល់; ;
; ; ;
ការរចនារាងមូលគឺជាករណីពិសេសនៃការរចនាប៉ារ៉ាឡែល។ ការព្យាករអ័រតូហ្គោនគឺជាការព្យាករប៉ារ៉ាឡែលដែលបន្ទាត់ព្យាករគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ។ ការព្យាករណ៍អ័រតូហ្គោនត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងគំនូរបច្ចេកទេស ដែលតួលេខមួយត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះចំនួនបី - ផ្ដេក និងបញ្ឈរពីរ។
និយមន័យ:
ការព្យាករណ៍អក្ខរក្រមនៃចំណុចមួយ។ មទៅយន្តហោះ ទំហៅថាមូលដ្ឋាន ម ១កាត់កែង MM ១, ធ្លាក់ចុះពីចំណុច មទៅយន្តហោះ ទំ.
ការកំណត់: , 
, .
និយមន័យ៖ ការព្យាករអក្ខរក្រមនៃរូប ចទៅយន្តហោះ ទំគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះដែលជាការព្យាកររាងមូលនៃសំណុំនៃចំណុចនៃរូប ចទៅយន្តហោះ ទំ.
ការរចនាអ័រតូហ្គោន ជាករណីពិសេសនៃការរចនាប៉ារ៉ាឡែល មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នា៖
p - យន្តហោះព្យាករណ៍;
- ការរចនាដោយផ្ទាល់; ;
1) ;
2) , .
- ការព្យាករណ៍នៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលគឺស្របគ្នា។
តំបន់គម្រោងនៃរូបភាពផ្ទះល្វែង
ទ្រឹស្តីបទ៖ ផ្ទៃនៃការព្យាករនៃពហុកោណរាបស្មើទៅលើប្លង់ជាក់លាក់មួយគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃពហុកោណដែលបានព្យាករគុណនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងប្លង់ពហុកោន និងប្លង់ព្យាករ។
ដំណាក់កាលទី 1: តួរលេខដែលបានព្យាករគឺជាត្រីកោណ ABC ដែលផ្នែកម្ខាងនៃ AC ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះព្យាករ a (ស្របនឹងយន្តហោះព្យាករ a) ។
បានផ្តល់ឱ្យ:
បញ្ជាក់:
ភស្តុតាង:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. យោងតាមទ្រឹស្តីបទកាត់កែងទាំងបី;
ВD - កម្ពស់; ក្នុង 1 ឃ - កម្ពស់;
5. - មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral;
6. ; ; ; 
;
ដំណាក់កាលទី 2៖ តួរលេខដែលបានព្យាករគឺជាត្រីកោណ ABC ដែលមិនមានជ្រុងណាមួយស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះព្យាករ a ហើយមិនស្របនឹងវាទេ។
បានផ្តល់ឱ្យ:
បញ្ជាក់:
ភស្តុតាង:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(ដំណាក់កាលទី 1);
5. ; ; ;
(ដំណាក់កាលទី 1);
ដំណាក់កាល៖ តួលេខដែលបានរចនាគឺជាពហុកោណតាមអំពើចិត្ត។
ភស្តុតាង:
ពហុកោណត្រូវបានបែងចែកដោយអង្កត់ទ្រូងដែលដកចេញពីចំនុចកំពូលមួយទៅជាចំនួនកំណត់នៃត្រីកោណ ដែលទ្រឹស្តីបទនីមួយៗគឺពិត។ ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទក៏នឹងជាការពិតផងដែរសម្រាប់ផលបូកនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណទាំងអស់ដែលយន្តហោះបង្កើតមុំដូចគ្នាជាមួយនឹងយន្តហោះព្យាករ។
មតិយោបល់: ទ្រឹស្តីបទដែលបានបញ្ជាក់មានសុពលភាពសម្រាប់តួលេខផ្ទះល្វែងណាមួយដែលកំណត់ដោយខ្សែកោងបិទជិត។
លំហាត់:
1. ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលយន្តហោះមានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះព្យាករនៅមុំមួយ ប្រសិនបើការព្យាកររបស់វាគឺជាត្រីកោណធម្មតាដែលមានចំហៀង a ។
2. ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលយន្តហោះមានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះព្យាករនៅមុំមួយ ប្រសិនបើការព្យាកររបស់វាគឺជាត្រីកោណ isosceles ដែលមានផ្នែកម្ខាងនៃ 10 សង់ទីម៉ែត្រ និងមូលដ្ឋាន 12 សង់ទីម៉ែត្រ។
3. ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលយន្តហោះមានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះព្យាករនៅមុំមួយ ប្រសិនបើការព្យាកររបស់វាគឺជាត្រីកោណដែលមានជ្រុង 9, 10 និង 17 សង់ទីម៉ែត្រ។
4. គណនាផ្ទៃនៃ trapezoid យន្តហោះដែលមានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះព្យាករនៅមុំមួយ ប្រសិនបើការព្យាកររបស់វាគឺជា isosceles trapezoid ដែលមូលដ្ឋានធំជាងគឺ 44 សង់ទីម៉ែត្រ ចំហៀងគឺ 17 សង់ទីម៉ែត្រ និងអង្កត់ទ្រូងគឺ 39 សង់ទីម៉ែត្រ។
5. គណនាផ្ទៃការព្យាករនៃ hexagon ធម្មតាដែលមានផ្នែកម្ខាងនៃ 8 សង់ទីម៉ែត្រ, យន្តហោះដែលមានទំនោរទៅយន្តហោះព្យាករនៅមុំមួយ។
6. rhombus ដែលមានផ្នែកម្ខាងនៃ 12 សង់ទីម៉ែត្រនិងមុំស្រួចបង្កើតមុំជាមួយនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ គណនាផ្ទៃនៃការព្យាករនៃ rhombus នៅលើយន្តហោះនេះ។
7. រូបចម្លាក់ដែលមានផ្នែកម្ខាងនៃ 20 សង់ទីម៉ែត្រនិងអង្កត់ទ្រូងនៃ 32 សង់ទីម៉ែត្របង្កើតជាមុំជាមួយនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ គណនាផ្ទៃនៃការព្យាករនៃ rhombus នៅលើយន្តហោះនេះ។
8. ការព្យាករនៃ canopy នៅលើយន្តហោះផ្ដេកគឺជាចតុកោណជាមួយភាគីនិង . ស្វែងរកផ្ទៃនៃដំបូល ប្រសិនបើផ្នែកខាងមុខមានរាងចតុកោណកែងស្មើៗគ្នា ទំនោរទៅប្លង់ផ្ដេកនៅមុំមួយ ហើយផ្នែកកណ្តាលនៃដំបូលគឺជាការ៉េស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលព្យាករណ៍។
11. លំហាត់លើប្រធានបទ "បន្ទាត់ និងយន្តហោះក្នុងលំហ"៖
ជ្រុងនៃត្រីកោណមាន 20 សង់ទីម៉ែត្រ 65 សង់ទីម៉ែត្រ 75 សង់ទីម៉ែត្រ កាត់កែងស្មើនឹង 60 សង់ទីម៉ែត្រត្រូវបានដកចេញពីចំនុចកំពូលនៃមុំធំជាងនៃត្រីកោណទៅកាន់ប្លង់របស់វា។ ស្វែងរកចំងាយពីចុងកាត់កែងទៅផ្នែកធំជាង នៃត្រីកោណ។
2. ពីចំនុចមួយដែលបំបែកចេញពីយន្តហោះនៅចម្ងាយសង់ទីម៉ែត្រ ចំនុចទំនោរពីរត្រូវបានគូរ បង្កើតមុំជាមួយយន្តហោះស្មើ និងរវាងខ្លួនគេ - មុំខាងស្តាំមួយ។ រកចំងាយរវាងចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះទំនោរ។
3. ផ្នែកម្ខាងនៃត្រីកោណធម្មតាគឺ 12 សង់ទីម៉ែត្រ ចំនុច M ត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះផ្នែកដែលភ្ជាប់ចំនុច M ជាមួយចំនុចកំពូលទាំងអស់នៃត្រីកោណបង្កើតជាមុំជាមួយនឹងប្លង់របស់វា។ រកចំងាយពីចំនុច M ទៅចំនុចកំពូល និងជ្រុងនៃត្រីកោណ។
4. យន្តហោះមួយត្រូវបានគូសកាត់ផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េនៅមុំមួយទៅអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ។ រកមុំដែលជ្រុងទាំងពីរនៃការ៉េមានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះ។
5. ជើងនៃត្រីកោណកែង isosceles មានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់អ៊ីប៉ូតេនុសនៅមុំមួយ។ សូមបញ្ជាក់ថាមុំរវាងប្លង់ a និងប្លង់ត្រីកោណគឺ។
6. មុំ dihedral រវាងប្លង់នៃត្រីកោណ ABC និង DBC គឺ . រក AD ប្រសិនបើ AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm ។
គ្រប់គ្រងសំណួរលើប្រធានបទ "បន្ទាត់ និងយន្តហោះក្នុងលំហ"
1. រាយគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃស្តេរ៉េអូមេទ្រី។ បង្កើត axioms នៃ stereometric ។
2. បង្ហាញពីផលវិបាកនៃ axioms ។
3. តើទីតាំងដែលទាក់ទងគ្នានៃបន្ទាត់ពីរក្នុងលំហ? កំណត់បន្ទាត់ប្រសព្វ, ប៉ារ៉ាឡែល, បន្ទាត់ប្រសព្វ។
4. បញ្ជាក់លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់បន្ទាត់ប្រសព្វ។
5. តើទីតាំងដែលទាក់ទងគ្នានៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះគឺជាអ្វី? ផ្តល់និយមន័យនៃការប្រសព្វ បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល និងប្លង់។
6. បង្ហាញសញ្ញានៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ។
7. តើអ្វីជាទីតាំងដែលទាក់ទងគ្នានៃយន្តហោះទាំងពីរ?
8. កំណត់ប្លង់ប៉ារ៉ាឡែល។ បញ្ជាក់ពីលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃយន្តហោះពីរ។ បង្កើតទ្រឹស្តីបទអំពីប្លង់ប៉ារ៉ាឡែល។
9. កំណត់មុំរវាងបន្ទាត់។
10. បង្ហាញសញ្ញានៃការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។
11. ផ្តល់និយមន័យនៃមូលដ្ឋានកាត់កែង មូលដ្ឋាននៃ oblique ការព្យាករនៃ oblique លើយន្តហោះមួយ។ បង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការកាត់កែងនិង oblique, បន្ទាបទៅយន្តហោះពីចំណុចមួយ។
12. កំណត់មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ។
13. បង្ហាញទ្រឹស្តីបទនៅលើកាត់កែងបី។
14. ផ្តល់និយមន័យនៃមុំ dihedral មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral មួយ។
15. បង្ហាញសញ្ញានៃការកាត់កែងនៃយន្តហោះពីរ។
16. កំណត់ចំងាយរវាងចំនុចពីរផ្សេងគ្នា។
17. កំណត់ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។
18. កំណត់ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ។
19. កំណត់ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងយន្តហោះស្របទៅនឹងវា។
20. កំណត់ចម្ងាយរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល។
21. កំណត់ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ skew ។
22. កំណត់ការព្យាករ orthogonal នៃចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះមួយ។
23. កំណត់ការព្យាករ orthogonal នៃតួលេខនៅលើយន្តហោះមួយ។
24. បង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការព្យាករលើយន្តហោះ។
25. បង្កើត និងបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទលើផ្ទៃព្យាករនៃពហុកោណផ្ទះល្វែង។
