វិធីសាស្រ្ត ក្រមានិង ហ្គោសៀនដំណោះស្រាយដ៏ពេញនិយមបំផុតមួយ។ SLAU. លើសពីនេះទៀតក្នុងករណីខ្លះវាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រើវិធីសាស្រ្តជាក់លាក់។ វគ្គនេះគឺជិតដល់ហើយ ហើយឥឡូវនេះគឺជាពេលវេលាដើម្បីធ្វើឡើងវិញ ឬធ្វើជាម្ចាស់វាពីដំបូង។ សព្វថ្ងៃនេះយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្ត Cramer ។ យ៉ាងណាមិញ ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer គឺជាជំនាញដ៏មានប្រយោជន៍មួយ។
ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ
ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ គឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការនៃទម្រង់៖
តម្លៃកំណត់ x ដែលសមីការនៃប្រព័ន្ធប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ។ ក និង ខ គឺជាមេគុណពិត។ ប្រព័ន្ធសាមញ្ញមួយមានសមីការពីរដែលមិនស្គាល់ពីរអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយបញ្ញាស្មារតី ឬដោយការបង្ហាញអថេរមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត។ ប៉ុន្តែវាអាចមានអថេរច្រើនជាងពីរ (x) នៅក្នុង SLAE ហើយការរៀបចំសាលារៀនសាមញ្ញគឺមិនអាចខ្វះបាននៅទីនេះ។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើ? ឧទាហរណ៍ ដោះស្រាយ SLAE ដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer!
ដូច្នេះអនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ ន សមីការជាមួយ ន មិនស្គាល់។
ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស
នៅទីនេះ ក គឺជាម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ, X និង ខ រៀងគ្នា ម៉ាទ្រីសជួរឈរនៃអថេរមិនស្គាល់ និងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។
ដំណោះស្រាយ SLAE ដោយវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer
ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងមិនស្មើនឹងសូន្យ (ម៉ាទ្រីសគឺមិនខូចទ្រង់ទ្រាយ) ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ។
យោងតាមវិធីសាស្ត្រ Cramer ដំណោះស្រាយត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
នៅទីនេះ ដីសណ្តរ គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បង និង ដីសណ្ត x n-th - កត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងដោយជំនួសជួរឈរ n-th ជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកទំនេរ។
នេះគឺជាចំណុចទាំងមូលនៃវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។ ការជំនួសតម្លៃដែលរកឃើញដោយរូបមន្តខាងលើ x នៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលចង់បាន យើងជឿជាក់លើភាពត្រឹមត្រូវ (ឬផ្ទុយមកវិញ) នៃដំណោះស្រាយរបស់យើង។ ដើម្បីជួយអ្នកឱ្យយល់ខ្លឹមសារបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមនៃដំណោះស្រាយលម្អិតនៃ SLAE ដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖
ទោះមិនជោគជ័យលើកដំបូងក៏មិនត្រូវបាក់ទឹកចិត្តដែរ! ជាមួយនឹងការអនុវត្តតិចតួច អ្នកនឹងចាប់ផ្តើមយឺតៗដូចជាគ្រាប់។ ជាងនេះទៅទៀត ឥឡូវនេះ វាមិនចាំបាច់ទាល់ច្រកលើសៀវភៅកត់ត្រានោះទេ ដោយដោះស្រាយការគណនាដ៏លំបាក និងការសរសេរនៅលើដំបង។ វាងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយ SLAE ដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer តាមអ៊ីនធឺណិត ដោយគ្រាន់តែជំនួសមេគុណទៅជាទម្រង់ដែលបានបញ្ចប់។ អ្នកអាចសាកល្បងប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតសម្រាប់ដោះស្រាយវិធីសាស្ត្រ Cramer ជាឧទាហរណ៍នៅលើគេហទំព័រនេះ។
ហើយប្រសិនបើប្រព័ន្ធប្រែទៅជារឹងរូស ហើយមិនបោះបង់ អ្នកតែងតែអាចងាកទៅរកអ្នកនិពន្ធរបស់យើងសម្រាប់ជំនួយ ឧទាហរណ៍។ ប្រសិនបើមានយ៉ាងហោចណាស់ 100 មិនស្គាល់នៅក្នុងប្រព័ន្ធ យើងនឹងដោះស្រាយវាបានត្រឹមត្រូវ និងទាន់ពេលវេលា!
នៅក្នុងផ្នែកទីមួយ យើងបានពិចារណាលើសម្ភារៈទ្រឹស្តីមួយចំនួន វិធីសាស្រ្តជំនួស ក៏ដូចជាវិធីសាស្រ្តនៃការបន្ថែមតាមកាលកំណត់នៃសមីការប្រព័ន្ធ។ សម្រាប់អ្នកគ្រប់គ្នាដែលបានចូលមកគេហទំព័រតាមរយៈទំព័រនេះ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានផ្នែកទីមួយ។ ប្រហែលជាអ្នកទស្សនាមួយចំនួននឹងរកឃើញសម្ភារៈសាមញ្ញពេក ប៉ុន្តែនៅក្នុងវគ្គនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ខ្ញុំបានធ្វើការកត់សម្គាល់ និងការសន្និដ្ឋានសំខាន់ៗមួយចំនួនទាក់ទងនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាគណិតវិទ្យាជាទូទៅ។
ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគក្បួនរបស់ Cramer ក៏ដូចជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស (វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស) ។ សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងសាមញ្ញ លម្អិត និងច្បាស់ អ្នកអានស្ទើរតែទាំងអស់នឹងអាចរៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រខាងលើ។
ដំបូងយើងពិចារណាអំពីច្បាប់របស់ Cramer យ៉ាងលម្អិតសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរក្នុងចំនួនពីរដែលមិនស្គាល់។ ដើម្បីអ្វី? “បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ប្រព័ន្ធសាមញ្ញបំផុតអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្ររបស់សាលា ដោយការបន្ថែមពីមួយខែទៅមួយខែ!
ការពិតគឺថាទោះបីជាពេលខ្លះក៏ដោយ ប៉ុន្តែមានកិច្ចការបែបនេះ - ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។ ទីពីរ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញជាងនេះនឹងជួយអ្នកឱ្យយល់ពីរបៀបប្រើច្បាប់របស់ Cramer សម្រាប់ករណីដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ - ប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួនបី។
លើសពីនេះទៀតមានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរដែលវាត្រូវបានណែនាំឱ្យដោះស្រាយយ៉ាងពិតប្រាកដយោងទៅតាមច្បាប់របស់ Cramer!
ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការ
នៅជំហានដំបូងយើងគណនាកត្តាកំណត់វាត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ.
វិធីសាស្រ្ត Gauss ។
ប្រសិនបើ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ហើយដើម្បីស្វែងរកឫស យើងត្រូវគណនាកត្តាកំណត់ពីរបន្ថែមទៀត៖
និង
នៅក្នុងការអនុវត្ត វគ្គជម្រុះខាងលើក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរឡាតាំងផងដែរ។
ឫសគល់នៃសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
,
ឧទាហរណ៍ ៧
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ
ការសម្រេចចិត្ត៖ យើងឃើញថាមេគុណនៃសមីការមានទំហំធំណាស់ នៅផ្នែកខាងស្តាំមានប្រភាគទសភាគដែលមានសញ្ញាក្បៀស។ សញ្ញាក្បៀសគឺជាភ្ញៀវដ៏កម្រនៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែងនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ខ្ញុំបានយកប្រព័ន្ធនេះចេញពីបញ្ហាសេដ្ឋកិច្ច។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះ? អ្នកអាចព្យាយាមបង្ហាញអថេរមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌមួយផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ អ្នកប្រាកដជានឹងទទួលបានប្រភាគពុម្ពអក្សរក្បូរក្បាច់ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច ដែលជាការរអាក់រអួលខ្លាំងក្នុងការធ្វើការជាមួយ ហើយការរចនានៃដំណោះស្រាយនឹងមើលទៅអាក្រក់ណាស់។ អ្នកអាចគុណសមីការទីពីរដោយ 6 ហើយដកពាក្យដោយពាក្យ ប៉ុន្តែប្រភាគដូចគ្នានឹងបង្ហាញនៅទីនេះ។
អ្វីដែលត្រូវធ្វើ? ក្នុងករណីបែបនេះរូបមន្តរបស់ Cramer មកជួយសង្គ្រោះ។
;
;
ចម្លើយ: ,
ឫសទាំងពីរមានកន្ទុយគ្មានកំណត់ ហើយត្រូវបានគេរកឃើញប្រហែល ដែលពិតជាអាចទទួលយកបាន (និងសូម្បីតែជារឿងធម្មតា) សម្រាប់បញ្ហាសេដ្ឋកិច្ច។
មតិយោបល់មិនចាំបាច់នៅទីនេះទេ ដោយសារកិច្ចការត្រូវបានដោះស្រាយដោយយោងតាមរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មានការព្រមានមួយ។ នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រនេះ បង្ខំបំណែកនៃកិច្ចការគឺជាបំណែកដូចខាងក្រោមៈ "ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់". បើមិនដូច្នោះទេ អ្នកត្រួតពិនិត្យអាចដាក់ទោសអ្នកចំពោះការមិនគោរពទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer។
វានឹងមិនមានការហួសហេតុក្នុងការត្រួតពិនិត្យទេ ដែលងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តលើម៉ាស៊ីនគិតលេខ៖ យើងជំនួសតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ។ ជាលទ្ធផលដោយមានកំហុសតូចមួយលេខដែលនៅខាងស្តាំគួរតែត្រូវបានទទួល។
ឧទាហរណ៍ ៨
បង្ហាញចម្លើយរបស់អ្នកជាប្រភាគមិនសមរម្យធម្មតា។ ធ្វើការត្រួតពិនិត្យ។
នេះគឺជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ (ឧទាហរណ៍នៃការរចនាដ៏ល្អ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។
យើងងាកទៅរកការពិចារណានៃច្បាប់របស់ Cramer សម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី៖
យើងរកឃើញកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ៖
ប្រសិនបើ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (មិនមានដំណោះស្រាយ)។ ក្នុងករណីនេះក្បួនរបស់ Cramer នឹងមិនជួយទេអ្នកត្រូវប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។
ប្រសិនបើ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ហើយដើម្បីស្វែងរកឫសគល់ យើងត្រូវគណនាកត្តាកំណត់បីបន្ថែមទៀត៖
, ,
ហើយចុងក្រោយ ចម្លើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញករណី "បីដោយបី" ជាមូលដ្ឋានមិនខុសពីករណី "ពីរដោយពីរ" ជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌទំនេរជាបន្តបន្ទាប់ "ដើរ" ពីឆ្វេងទៅស្តាំតាមជួរឈរនៃកត្តាកំណត់សំខាន់។
ឧទាហរណ៍ ៩
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។
ការសម្រេចចិត្ត៖ ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។
ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
ចម្លើយ: .
តាមពិតទៅ មិនមានអ្វីពិសេសក្នុងការធ្វើអត្ថាធិប្បាយនៅទីនេះម្តងទៀតទេ ដោយមើលឃើញថាការសម្រេចចិត្តត្រូវបានធ្វើឡើងតាមរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។ ប៉ុន្តែមានកំណត់ចំណាំពីរបី។
វាកើតឡើងថាជាលទ្ធផលនៃការគណនា ប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន "អាក្រក់" ត្រូវបានទទួល ឧទាហរណ៍៖ .
ខ្ញុំសូមណែនាំក្បួនដោះស្រាយ "ការព្យាបាល" ខាងក្រោម។ បើគ្មានកុំព្យូទ័រនៅនឹងដៃទេ យើងធ្វើដូចនេះ៖
1) ប្រហែលជាមានកំហុសក្នុងការគណនា។ ដរាបណាអ្នកជួបប្រទះនឹងការបាញ់ "អាក្រក់" អ្នកត្រូវតែពិនិត្យមើលភ្លាមៗថាតើ លក្ខខណ្ឌត្រូវបានសរសេរឡើងវិញ។. ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដោយគ្មានកំហុស នោះអ្នកត្រូវគណនាឡើងវិញនូវកត្តាកំណត់ដោយប្រើការពង្រីកក្នុងជួរផ្សេងទៀត (ជួរឈរ)។
2) ប្រសិនបើគ្មានកំហុសត្រូវបានរកឃើញជាលទ្ធផលនៃការត្រួតពិនិត្យទេ នោះទំនងជាការវាយខុសត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកិច្ចការ។ ក្នុងករណីនេះដោយស្ងប់ស្ងាត់និងដោយប្រុងប្រយ័ត្នដោះស្រាយភារកិច្ចដល់ទីបញ្ចប់ហើយបន្ទាប់មក ត្រូវប្រាកដថាពិនិត្យមើលហើយគូរវានៅលើច្បាប់ចម្លងស្អាត បន្ទាប់ពីការសម្រេចចិត្ត។ ជាការពិតណាស់ ការពិនិត្យមើលចំលើយប្រភាគគឺជាកិច្ចការដែលមិនសប្បាយចិត្ត ប៉ុន្តែវានឹងក្លាយជាទឡ្ហីករណ៍មិនសមរម្យសម្រាប់គ្រូ ដែលពិតជាចូលចិត្តដាក់ដកសម្រាប់រឿងអាក្រក់ណាមួយ។ របៀបដោះស្រាយប្រភាគត្រូវបានរៀបរាប់លម្អិតនៅក្នុងចម្លើយសម្រាប់ឧទាហរណ៍ទី 8 ។
ប្រសិនបើអ្នកមានកុំព្យូទ័រនៅនឹងដៃ បន្ទាប់មកប្រើកម្មវិធីស្វ័យប្រវត្តិដើម្បីពិនិត្យមើលវា ដែលអាចទាញយកដោយឥតគិតថ្លៃនៅដើមមេរៀន។ ដោយវិធីនេះ វាមានអត្ថប្រយោជន៍បំផុតក្នុងការប្រើប្រាស់កម្មវិធីភ្លាមៗ (សូម្បីតែមុនពេលចាប់ផ្តើមដំណោះស្រាយ) អ្នកនឹងឃើញភ្លាមៗនូវជំហានមធ្យមដែលអ្នកបានធ្វើខុស! ម៉ាស៊ីនគិតលេខដូចគ្នានឹងគណនាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយស្វ័យប្រវត្តិដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។
សុន្ទរកថាទីពីរ។ ពីពេលមួយទៅពេលមួយមានប្រព័ន្ធនៅក្នុងសមីការដែលអថេរមួយចំនួនត្រូវបានបាត់ ឧទាហរណ៍៖
នៅទីនេះក្នុងសមីការទីមួយមិនមានអថេរទេ នៅក្នុងសមីការទីពីរមិនមានអថេរទេ។ ក្នុងករណីបែបនេះ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការសរសេរឱ្យបានត្រឹមត្រូវ និងដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវកត្តាកំណត់ចម្បង៖
- សូន្យត្រូវបានដាក់ជំនួសអថេរដែលបាត់។
ដោយវិធីនេះ វាសមហេតុផលក្នុងការបើកកត្តាកំណត់ដែលមានលេខសូន្យក្នុងជួរ (ជួរឈរ) ដែលលេខសូន្យស្ថិតនៅ ព្រោះមានការគណនាតិចជាងគួរឱ្យកត់សម្គាល់។
ឧទាហរណ៍ 10
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។
នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (គំរូបញ្ចប់ និងចម្លើយនៅចុងមេរៀន)។
ចំពោះករណីនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការ 4 ដែលមាន 4 មិនស្គាល់ រូបមន្តរបស់ Cramer ត្រូវបានសរសេរតាមគោលការណ៍ស្រដៀងគ្នា។ អ្នកអាចឃើញឧទាហរណ៍ផ្ទាល់នៅក្នុងមេរៀន លក្ខណៈសម្បត្តិកំណត់។ ការកាត់បន្ថយលំដាប់នៃកត្តាកំណត់ - កត្តាកំណត់លំដាប់ទី 5 គឺអាចដោះស្រាយបាន។ ថ្វីត្បិតតែកិច្ចការនេះត្រូវបានរំឮកយ៉ាងខ្លាំងរួចទៅហើយអំពីស្បែកជើងរបស់សាស្រ្តាចារ្យនៅលើទ្រូងរបស់សិស្សសំណាងម្នាក់។
ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺជាករណីពិសេស សមីការម៉ាទ្រីស(សូមមើលឧទាហរណ៍លេខ 3 នៃមេរៀនដែលបានបញ្ជាក់)។
ដើម្បីសិក្សាផ្នែកនេះ អ្នកត្រូវចេះពង្រីកកត្តាកំណត់ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស និងអនុវត្តការគុណម៉ាទ្រីស។ តំណភ្ជាប់ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលដែលការពន្យល់រីកចម្រើន។
ឧទាហរណ៍ 11
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស
ការសម្រេចចិត្ត៖ យើងសរសេរប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖
កន្លែងណា
សូមក្រឡេកមើលប្រព័ន្ធសមីការ និងម៉ាទ្រីស។ តាមគោលការណ៍អ្វីដែលយើងសរសេរធាតុចូលទៅក្នុងម៉ាទ្រីស ខ្ញុំគិតថាអ្នករាល់គ្នាយល់។ មតិយោបល់តែមួយគត់៖ ប្រសិនបើអថេរមួយចំនួនត្រូវបានបាត់នៅក្នុងសមីការ នោះលេខសូន្យនឹងត្រូវដាក់នៅកន្លែងដែលត្រូវគ្នាក្នុងម៉ាទ្រីស។
យើងរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយរូបមន្ត៖
តើម៉ាទ្រីសបំប្លែងនៃការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសនោះនៅឯណា។
ដំបូងយើងដោះស្រាយជាមួយកត្តាកំណត់៖
នៅទីនេះកត្តាកំណត់ត្រូវបានពង្រីកដោយបន្ទាត់ទីមួយ។
យកចិត្តទុកដាក់! ប្រសិនបើ នោះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមិនមានទេ ហើយវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។ ក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយដោយការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ (វិធីសាស្ត្រ Gauss) ។
ឥឡូវអ្នកត្រូវគណនាអនីតិជនចំនួន 9 ហើយសរសេរវាទៅក្នុងម៉ាទ្រីសនៃអនីតិជន
ឯកសារយោង៖វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងពីអត្ថន័យនៃអក្សររងពីរដងក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ខ្ទង់ទីមួយគឺជាលេខបន្ទាត់ដែលធាតុស្ថិតនៅ។ ខ្ទង់ទីពីរគឺជាចំនួនជួរឈរដែលធាតុស្ថិតនៅ៖
នោះគឺអក្សរតូចពីរបង្ហាញថាធាតុគឺនៅក្នុងជួរដេកទីមួយជួរឈរទីបីខណៈពេលដែលឧទាហរណ៍ធាតុគឺនៅក្នុងជួរដេកទី 3 ជួរឈរទី 2
ជាមួយនឹងចំនួនសមីការដូចគ្នានឹងចំនួនមិនស្គាល់ជាមួយនឹងកត្តាកំណត់សំខាន់នៃម៉ាទ្រីសដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ មេគុណនៃប្រព័ន្ធ (មានដំណោះស្រាយសម្រាប់សមីការបែបនេះហើយវាមានតែមួយ)។
ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer ។
នៅពេលដែលកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធការ៉េគឺមិនមែនសូន្យ នោះប្រព័ន្ធគឺត្រូវគ្នា ហើយវាមានដំណោះស្រាយមួយ ហើយវាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយ រូបមន្តរបស់ Cramer:
កន្លែងដែល Δ - កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ,
Δ ខ្ញុំ- កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ, ដែលជំនួសឱ្យ ខ្ញុំ th column គឺជាជួរឈរនៃផ្នែកខាងស្តាំ។
នៅពេលដែលកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺសូន្យ នោះប្រព័ន្ធអាចមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។
វិធីសាស្រ្តនេះជាធម្មតាត្រូវបានប្រើប្រាស់សម្រាប់ប្រព័ន្ធតូចៗដែលមានការគណនាបរិមាណ ហើយប្រសិនបើនៅពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ 1 នៃមិនស្គាល់។ ភាពស្មុគស្មាញនៃវិធីសាស្រ្តគឺថាវាចាំបាច់ដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់ជាច្រើន។
ការពិពណ៌នាអំពីវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។
មានប្រព័ន្ធសមីការ៖
ប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer ដែលត្រូវបានពិភាក្សាខាងលើសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការ 2 ។
យើងបង្កើតកត្តាកំណត់ពីមេគុណនៃមិនស្គាល់៖
ឆន្ទៈនេះ គុណវុឌ្ឍិប្រព័ន្ធ. ពេលណា ឃ≠0ដូច្នេះប្រព័ន្ធគឺត្រូវគ្នា។ ឥឡូវនេះយើងនឹងបង្កើតកត្តាកំណត់បន្ថែមចំនួន ៣៖
,,
យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយ រូបមន្តរបស់ Cramer:
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការដោយវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។
ឧទាហរណ៍ ១.
ប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
ចូរដោះស្រាយវាដោយវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។
ដំបូងអ្នកត្រូវគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ៖
ដោយសារតែ Δ≠0 ដូច្នេះពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer ប្រព័ន្ធគឺត្រូវគ្នា ហើយវាមានដំណោះស្រាយមួយ។ យើងគណនាកត្តាកំណត់បន្ថែម។ កត្តាកំណត់ Δ 1 ត្រូវបានទទួលពីកត្តាកំណត់ Δ ដោយជំនួសជួរឈរទីមួយរបស់វាជាមួយនឹងជួរឈរនៃមេគុណឥតគិតថ្លៃ។ យើងទទួលបាន:
តាមរបៀបដូចគ្នាយើងទទួលបានកត្តាកំណត់ Δ 2 ពីកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធដោយជំនួសជួរឈរទីពីរដោយជួរឈរនៃមេគុណដោយឥតគិតថ្លៃ:
វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer គឺផ្អែកលើការប្រើប្រាស់កត្តាកំណត់ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ នេះបង្កើនល្បឿនដំណើរការដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង។
វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាច្រើនដូចដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការនីមួយៗ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើក្នុងដំណោះស្រាយ ប្រសិនបើវាស្មើនឹងសូន្យ នោះវាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ លើសពីនេះទៀតវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
និយមន័យ. កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណនៃមិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ និងត្រូវបានតំណាងដោយ (ដីសណ្ត)។
កត្តាកំណត់
ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសមេគុណនៅមិនស្គាល់ដែលត្រូវគ្នាដោយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ៖
;
.
ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer. ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធមិនសូន្យ នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយ ហើយអ្វីដែលមិនស្គាល់គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃកត្តាកំណត់។ ភាគបែងមានកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ ហើយភាគយកមានកត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធដោយជំនួសមេគុណដោយមិនស្គាល់ដោយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។ ទ្រឹស្តីបទនេះរក្សាសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ណាមួយ។
ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ៖
យោងទៅតាម ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramerយើងមាន:
ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (២)៖
ការគណនាតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយរបស់ Cramer ។
ករណីបីក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ
ដូចដែលលេចឡើងពី ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramerនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ ករណីបីអាចកើតឡើង៖
ករណីទីមួយ៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់
(ប្រព័ន្ធគឺស្របនិងច្បាស់លាស់)
ករណីទីពីរ៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់
(ប្រព័ន្ធគឺស្របនិងមិនកំណត់)
** ,
ទាំងនោះ។ មេគុណនៃមិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃគឺសមាមាត្រ។
ករណីទីបី៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
(ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)
ដូច្នេះប្រព័ន្ធ មសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នអថេរត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។ប្រសិនបើវាមិនមានដំណោះស្រាយ និង រួមប្រសិនបើវាយ៉ាងហោចណាស់មានដំណោះស្រាយមួយ។ ប្រព័ន្ធរួមនៃសមីការដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយត្រូវបានគេហៅថា ជាក់លាក់និងច្រើនជាងមួយ។ មិនប្រាកដប្រជា.
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ
.
ផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer
………….
,
កន្លែងណា
-
ឧបករណ៍កំណត់អត្តសញ្ញាណប្រព័ន្ធ។ កត្តាកំណត់ដែលនៅសេសសល់ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសជួរឈរជាមួយនឹងមេគុណនៃអថេរដែលត្រូវគ្នា (មិនស្គាល់) ជាមួយនឹងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ៖
ឧទាហរណ៍ ២
.
ដូច្នេះប្រព័ន្ធគឺច្បាស់លាស់។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា យើងគណនាកត្តាកំណត់
តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖
ដូច្នេះ (1; 0; -1) គឺជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធ។
ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 X 3 និង 4 X 4 អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដោះស្រាយ Cramer ។
ប្រសិនបើមិនមានអថេរនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៅក្នុងសមីការមួយ ឬច្រើននោះ នោះនៅក្នុងកត្តាកំណត់ ធាតុដែលត្រូវនឹងពួកវាគឺស្មើនឹងសូន្យ! នេះជាឧទាហរណ៍បន្ទាប់។
ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖
.
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖
សូមក្រឡេកមើលប្រព័ន្ធនៃសមីការ និងកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធដោយប្រយ័ត្នប្រយែង ហើយឆ្លើយសំណួរម្តងទៀត ក្នុងករណីដែលធាតុមួយ ឬច្រើននៃកត្តាកំណត់ស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ កត្តាកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធកំណត់ច្បាស់លាស់។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា យើងគណនាកត្តាកំណត់សម្រាប់អ្វីដែលមិនស្គាល់
តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖
ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺ (2; -1; 1) ។
ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 X 3 និង 4 X 4 អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដោះស្រាយ Cramer ។
កំពូលនៃទំព័រ
យើងបន្តដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ជាមួយគ្នា
ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធស្មើនឹងសូន្យ ហើយកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់មិនស្មើនឹងសូន្យ ប្រព័ន្ធគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាគ្មានដំណោះស្រាយទេ។ សូមបង្ហាញជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍ ៦ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖
កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា និងច្បាស់លាស់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាមិនមានដំណោះស្រាយ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ យើងគណនាកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់
កត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់គឺមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាគ្មានដំណោះស្រាយ។
ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 X 3 និង 4 X 4 អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដោះស្រាយ Cramer ។
នៅក្នុងបញ្ហាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ក៏មានផងដែរ ដែលបន្ថែមពីលើអក្សរដែលបង្ហាញពីអថេរ ក៏មានអក្សរផ្សេងទៀតផងដែរ។ អក្សរទាំងនេះតំណាងឱ្យលេខមួយចំនួន ដែលភាគច្រើនជាលេខពិត។ នៅក្នុងការអនុវត្ត សមីការ និងប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះនាំឱ្យមានបញ្ហាដើម្បីស្វែងរកលក្ខណៈទូទៅនៃបាតុភូត និងវត្ថុណាមួយ។ នោះគឺអ្នកបានបង្កើតសម្ភារៈ ឬឧបករណ៍ថ្មីមួយចំនួន ហើយដើម្បីពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ដែលជារឿងធម្មតាដោយមិនគិតពីទំហំ ឬចំនួនច្បាប់ចម្លង អ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលជំនួសឱ្យមេគុណមួយចំនួនសម្រាប់អថេរមានអក្សរ។ អ្នកមិនចាំបាច់រកមើលឧទាហរណ៍ឆ្ងាយទេ។
ឧទាហរណ៍បន្ទាប់គឺសម្រាប់បញ្ហាស្រដៀងគ្នា មានតែចំនួនសមីការ អថេរ និងអក្សរដែលបង្ហាញពីចំនួនពិតមួយចំនួនកើនឡើង។
ឧទាហរណ៍ ៨ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖
ស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានសមីការជាច្រើនដូចជាចំនួននៃអថេរឯករាជ្យ i.e. មានទម្រង់
ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា quadratic ។ កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណនៃអថេរឯករាជ្យនៃប្រព័ន្ធ (1.5) ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ។ យើងនឹងសម្គាល់វាដោយអក្សរក្រិក D. ដូច្នេះ,
. (1.6)
ប្រសិនបើនៅក្នុងកត្តាកំណត់សំខាន់ បំពាន ( j th) ជួរឈរ ជំនួសវាដោយជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃនៃប្រព័ន្ធ (1.5) បន្ទាប់មកយើងអាចទទួលបានបន្ថែមទៀត នកត្តាកំណត់ជំនួយ៖
(j = 1, 2, …, ន). (1.7)
ច្បាប់របស់ Cramerការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ quadratic នៃសមីការលីនេអ៊ែរ មានដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់ចម្បង D នៃប្រព័ន្ធ (1.5) គឺមិនមែនសូន្យទេនោះ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
(1.8)
ឧទាហរណ៍ 1.5 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer
.
ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ៖
ចាប់តាំងពី D¹0 ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត (1.8):
ដូច្នេះ
សកម្មភាពម៉ាទ្រីស
1. ការគុណនៃម៉ាទ្រីសដោយចំនួនមួយ។ប្រតិបត្តិការនៃការគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម។
2. ដើម្បីគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខមួយ អ្នកត្រូវគុណធាតុទាំងអស់របស់វាដោយលេខនេះ។ I.e
. (1.9)
ឧទាហរណ៍ 1.6 ។ .
ការបន្ថែមម៉ាទ្រីស។
ប្រតិបត្តិការនេះត្រូវបានណែនាំសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ដូចគ្នាប៉ុណ្ណោះ។
ដើម្បីបន្ថែមម៉ាទ្រីសពីរ ចាំបាច់ត្រូវបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសផ្សេងទៀតទៅធាតុនៃម៉ាទ្រីសមួយ៖
(1.10)
ប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមម៉ាទ្រីសមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃទំនាក់ទំនង និងការផ្លាស់ប្តូរ។
ឧទាហរណ៍ 1.7 ។ .
គុណម៉ាទ្រីស។
ប្រសិនបើចំនួនជួរឈរម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែត្រូវគ្នានឹងចំនួនជួរម៉ាទ្រីស អេបន្ទាប់មកសម្រាប់ម៉ាទ្រីសបែបនេះ ប្រតិបត្តិការនៃគុណត្រូវបានណែនាំ៖
2
ដូច្នេះនៅពេលគុណម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែវិមាត្រ ម´ នទៅម៉ាទ្រីស អេវិមាត្រ ន´ kយើងទទួលបានម៉ាទ្រីស ជាមួយវិមាត្រ ម´ k. ក្នុងករណីនេះធាតុនៃម៉ាទ្រីស ជាមួយត្រូវបានគណនាតាមរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ
បញ្ហា 1.8 ។ស្វែងរកផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន ABនិង ប:
ការសម្រេចចិត្ត។ 1) ស្វែងរកការងារ ABអ្នកត្រូវការជួរម៉ាទ្រីស កគុណនឹងជួរម៉ាទ្រីស ខ:
2) ស្នាដៃសិល្បៈ បមិនមានទេ ព្រោះចំនួនជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស ខមិនត្រូវគ្នានឹងចំនួនជួរម៉ាទ្រីសទេ។ ក.
ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរតាមវិធីម៉ាទ្រីស
ម៉ាទ្រីស ក- 1 ត្រូវបានគេហៅថាបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសការ៉េ ប៉ុន្តែប្រសិនបើសមភាពទទួលបាន៖
កន្លែងដែលឆ្លងកាត់ ខ្ញុំកំណត់អត្តសញ្ញាណម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ដូចគ្នានឹងម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ:
.
ដើម្បីឱ្យម៉ាទ្រីសការ៉េមានបញ្ច្រាស វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលកត្តាកំណត់របស់វាមិនមែនជាសូន្យ។ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
, (1.13)
កន្លែងណា អាយ- ការបន្ថែមពិជគណិតទៅធាតុ អាយម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ(ចំណាំថាការបន្ថែមពិជគណិតទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែត្រូវបានរៀបចំនៅក្នុងម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសក្នុងទម្រង់នៃជួរឈរដែលត្រូវគ្នា) ។
ឧទាហរណ៍ 1.9 ។ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ក- 1 ទៅម៉ាទ្រីស
.
យើងរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយរូបមន្ត (1.13) ដែលសម្រាប់ករណី ន= 3 មើលទៅដូចជា:
.
ចូរយើងស្វែងរក det ក = | ក| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 − 3 x 3 x 3 − 1 x 5 x 4 − 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 − 27 − 20 − 32 = - 1. ដោយសារកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើមគឺខុសពីសូន្យ នោះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន។
1) ស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិត អាយ:
ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស យើងបានដាក់ការបន្ថែមពិជគណិតទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសដើមនៅក្នុងជួរឈរដែលត្រូវគ្នា។
ពីការបន្ថែមពិជគណិតដែលទទួលបាន យើងបង្កើតម៉ាទ្រីសថ្មី ហើយបែងចែកវាដោយកត្តាកំណត់ ក. ដូច្នេះ យើងនឹងទទួលបានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖
ប្រព័ន្ធបួនជ្រុងនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងកត្តាកំណត់សំខាន់ដែលមិនមែនជាសូន្យអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ចំពោះបញ្ហានេះ ប្រព័ន្ធ (1.5) ត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖
កន្លែងណា
គុណភាគីទាំងពីរនៃសមភាព (1.14) នៅខាងឆ្វេងដោយ ក- 1, យើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ:
កន្លែងណា
ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធការ៉េ អ្នកត្រូវស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ ហើយគុណវានៅខាងស្តាំដោយម៉ាទ្រីសជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌទំនេរ។
បញ្ហា 1.10 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ
ដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។
ការសម្រេចចិត្ត។យើងសរសេរប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖ ,
កន្លែងណា គឺជាម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ គឺជាជួរឈរនៃមិនស្គាល់ និងជាជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។ ចាប់តាំងពីកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ ប៉ុន្តែមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ប៉ុន្តែ- មួយ។ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ប៉ុន្តែ-1 គណនាពិជគណិតបំពេញបន្ថែមធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ:
ពីលេខដែលទទួលបាន យើងតែងម៉ាទ្រីសមួយ (លើសពីនេះ ការបន្ថែមពិជគណិតទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែសរសេរក្នុងជួរឈរសមស្រប) ហើយបែងចែកវាដោយកត្តាកំណត់ D. ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖
ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត (1.15)៖
ដូច្នេះ
ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយ ធម្មតា Jordan Exceptions
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធតាមអំពើចិត្ត (មិនចាំបាច់ការ៉េ) នៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖
(1.16)
វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ i.e. សំណុំនៃអថេរដែលបំពេញសមភាពទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ (1.16) ។ ក្នុងករណីទូទៅ ប្រព័ន្ធ (1.16) អាចមិនត្រឹមតែមានដំណោះស្រាយមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានដំណោះស្រាយជាច្រើនដែលគ្មានកំណត់ផងដែរ។ វាក៏ប្រហែលជាមិនមានដំណោះស្រាយអ្វីទាំងអស់។
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ វិធីសាស្រ្តដ៏ល្បីក្នុងការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ពីវគ្គសិក្សារបស់សាលា ដែលត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជនជាតិហ្ស៊កដានីធម្មតាត្រូវបានគេប្រើផងដែរ។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថានៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ (1.16) មួយនៃអថេរត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរផ្សេងទៀត។ បន្ទាប់មកអថេរនេះត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធ។ លទ្ធផលគឺជាប្រព័ន្ធដែលមានសមីការមួយ និងអថេរមួយតិចជាងប្រព័ន្ធដើម។ សមីការដែលអថេរត្រូវបានបង្ហាញត្រូវបានចងចាំ។
ដំណើរការនេះត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតរហូតដល់សមីការចុងក្រោយមួយនៅតែមាននៅក្នុងប្រព័ន្ធ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងដំណើរការនៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ សមីការមួយចំនួនអាចប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណពិត។ សមីការបែបនេះត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធ ដោយសារវាមានសុពលភាពសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ ហើយដូច្នេះវាមិនប៉ះពាល់ដល់ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនោះទេ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ យ៉ាងហោចណាស់សមីការមួយក្លាយជាសមភាពដែលមិនអាចពេញចិត្តសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ (ឧទាហរណ៍) នោះយើងសន្និដ្ឋានថាប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាមិនបានកើតឡើងនោះ អថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរដែលនៅសល់នៅក្នុងវាត្រូវបានរកឃើញពីសមីការចុងក្រោយ។ ប្រសិនបើអថេរតែមួយនៅសល់ក្នុងសមីការចុងក្រោយ នោះវាត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលេខ។ ប្រសិនបើអថេរផ្សេងទៀតនៅតែមាននៅក្នុងសមីការចុងក្រោយ នោះពួកវាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ហើយអថេរដែលបានបង្ហាញតាមរយៈពួកវានឹងជាមុខងារនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងនេះ។ បន្ទាប់មកអ្វីដែលគេហៅថា "ចលនាបញ្ច្រាស" ត្រូវបានធ្វើឡើង។ អថេរដែលបានរកឃើញត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការដែលបានចងចាំចុងក្រោយ ហើយអថេរទីពីរត្រូវបានរកឃើញ។ បន្ទាប់មកអថេរដែលបានរកឃើញទាំងពីរត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការទន្ទេញចាំចុងក្រោយ ហើយអថេរទីបីត្រូវបានរកឃើញ ហើយបន្តរហូតដល់សមីការទន្ទេញចាំដំបូង។
ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ។ ដំណោះស្រាយនេះនឹងមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ ប្រសិនបើអថេរដែលបានរកឃើញគឺជាលេខ។ ប្រសិនបើអថេរដែលបានរកឃើញដំបូង ហើយបន្ទាប់មកទាំងអស់ផ្សេងទៀតអាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ នោះប្រព័ន្ធនឹងមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់ (សំណុំនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រនីមួយៗត្រូវនឹងដំណោះស្រាយថ្មី)។ រូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធអាស្រ័យលើសំណុំជាក់លាក់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ។
ឧទាហរណ៍ 1.11 ។
x
បន្ទាប់ពីទន្ទេញសមីការទីមួយ ហើយនាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នានៅក្នុងសមីការទីពីរ និងទីបី យើងមកដល់ប្រព័ន្ធ៖
ប្រេស yពីសមីការទីពីរ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីមួយ៖
ចងចាំសមីការទីពីរ ហើយពីដំបូងដែលយើងរកឃើញ z:
ធ្វើចលនាបញ្ច្រាស យើងរកឃើញជាបន្តបន្ទាប់ yនិង z. ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងជំនួសសមីការដែលចងចាំចុងក្រោយដែលយើងរកឃើញ y:
.
បន្ទាប់មកយើងជំនួស និងចូលទៅក្នុងសមីការដែលទន្ទេញចាំដំបូង ពីកន្លែងដែលយើងរកឃើញ x:
បញ្ហា 1.12 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយលុបបំបាត់មិនស្គាល់៖
. (1.17)
ការសម្រេចចិត្ត។ចូរយើងបង្ហាញអថេរពីសមីការទីមួយ xហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីពីរ និងទីបី៖
.
ចងចាំសមីការដំបូង
នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ សមីការទីមួយ និងទីពីរផ្ទុយគ្នា។ ជាការពិតការបង្ហាញ y យើងទទួលបានថា 14 = 17 ។ សមភាពនេះមិនពេញចិត្តទេ សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ x, y, និង z. ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធ (1.17) មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។
អ្នកអានត្រូវបានអញ្ជើញឱ្យផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយឯករាជ្យថាកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធដើម (1.17) គឺស្មើនឹងសូន្យ។
ពិចារណាប្រព័ន្ធដែលខុសពីប្រព័ន្ធ (1.17) ដោយពាក្យឥតគិតថ្លៃតែមួយ។
បញ្ហា 1.13 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយលុបបំបាត់មិនស្គាល់៖
. (1.18)
ការសម្រេចចិត្ត។ដូចពីមុន យើងបង្ហាញអថេរពីសមីការទីមួយ xហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីពីរ និងទីបី៖
.
ចងចាំសមីការដំបូង ហើយយើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នានៅក្នុងសមីការទីពីរ និងទីបី។ យើងមកដល់ប្រព័ន្ធ៖
ការបង្ហាញ yពីសមីការទីមួយ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីពីរ យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ 14 = 14 ដែលមិនប៉ះពាល់ដល់ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ ហើយដូច្នេះវាអាចត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធ។
នៅក្នុងសមភាពទន្ទេញចាំចុងក្រោយ អថេរ zនឹងត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ យើងជឿ។ បន្ទាប់មក
ជំនួស yនិង zចូលទៅក្នុងសមភាពទន្ទេញចាំដំបូងនិងស្វែងរក x:
.
ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធ (1.18) មានសំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ហើយដំណោះស្រាយណាមួយអាចត្រូវបានរកឃើញពីរូបមន្ត (1.19) ដោយជ្រើសរើសតម្លៃបំពាននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t:
(1.19)
ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ ជាឧទាហរណ៍ សំណុំនៃអថេរ (1; 2; 0), (2; 26; 14) ។ល។ រូបមន្ត (1.19) បង្ហាញពីដំណោះស្រាយទូទៅ (ណាមួយ) នៃប្រព័ន្ធ (1.18 )
ក្នុងករណីនៅពេលដែលប្រព័ន្ធដើម (1.16) មានសមីការមួយចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់ និងមិនស្គាល់ វិធីសាស្ត្រដែលបានចង្អុលបង្ហាញអំពីការលុបបំបាត់ហ្ស៊កដានីធម្មតាហាក់ដូចជាពិបាក។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាមិនមែនទេ។ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការទាញយកក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គណនាឡើងវិញនូវមេគុណនៃប្រព័ន្ធក្នុងជំហានមួយក្នុងទម្រង់ទូទៅមួយ ហើយរៀបចំដំណោះស្រាយបញ្ហាជាផ្លូវការក្នុងទម្រង់ជាតារាងហ្ស៊កដានីពិសេស។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃទម្រង់លីនេអ៊ែរ (សមីការ) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖
, (1.20)
កន្លែងណា xj- អថេរឯករាជ្យ (ចង់បាន) អាយ- មេគុណថេរ
(ខ្ញុំ = 1, 2,…, ម; j = 1, 2,…, ន) ផ្នែកខាងស្តាំនៃប្រព័ន្ធ y ខ្ញុំ (ខ្ញុំ = 1, 2,…, ម) អាចជាអថេរទាំងពីរ (អាស្រ័យ) និងថេរ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះដោយលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់។
ចូរយើងពិចារណាប្រតិបត្តិការខាងក្រោម ដែលក្រោយមកហៅថា "ជំហានមួយនៃករណីលើកលែងហ្ស៊កដានីធម្មតា"។ ពីការបំពាន ( r th) សមភាព យើងបង្ហាញពីអថេរ arbitrary ( x s) និងជំនួសដោយសមភាពផ្សេងទៀតទាំងអស់។ ជាការពិតណាស់នេះគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ មួយ rs¹ 0. មេគុណ មួយ rsត្រូវបានគេហៅថាការដោះស្រាយ (ជួនកាលការណែនាំឬសំខាន់) ។
យើងនឹងទទួលបានប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោមៈ
. (1.21)
ពី ស th សមភាពនៃប្រព័ន្ធ (1.21) យើងនឹងរកឃើញអថេរជាបន្តបន្ទាប់ x s(បន្ទាប់ពីអថេរផ្សេងទៀតត្រូវបានរកឃើញ) ។ សបន្ទាត់ទី 2 ត្រូវបានចងចាំ ហើយត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធជាបន្តបន្ទាប់។ ប្រព័ន្ធដែលនៅសល់នឹងមានសមីការមួយ និងអថេរឯករាជ្យតិចជាងប្រព័ន្ធដើម។
ចូរយើងគណនាមេគុណនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផល (1.21) ក្នុងន័យនៃមេគុណនៃប្រព័ន្ធដើម (1.20) ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ r th សមីការ ដែលបន្ទាប់ពីបង្ហាញអថេរ x sតាមរយៈអថេរដែលនៅសល់នឹងមើលទៅដូចនេះ៖
ដូច្នេះមេគុណថ្មី។ rសមីការ th ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្តខាងក្រោម៖
(1.23)
ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាមេគុណថ្មី។ b ij(ខ្ញុំ¹ r) នៃសមីការបំពាន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសអថេរដែលបានបង្ហាញក្នុង (1.22) x sក្នុង ខ្ញុំសមីការនៃប្រព័ន្ធ (១.២០)៖
បន្ទាប់ពីនាំយកលក្ខខណ្ឌដូច យើងទទួលបាន៖
(1.24)
ពីសមភាព (1.24) យើងទទួលបានរូបមន្តដែលមេគុណដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធ (1.21) ត្រូវបានគណនា (លើកលែងតែ rសមីការ៖
(1.25)
ការផ្លាស់ប្តូរប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ហ្សកដានីធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់តារាង (ម៉ាទ្រីស) ។ តារាងទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា "តារាងហ្ស៊កដានី" ។
ដូច្នេះបញ្ហា (1.20) ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងតារាង Jordan ខាងក្រោម៖
តារាង 1.1
x 1 | x 2 | … | xj | … | x s | … | x ន | |
y 1 = | ក 11 | ក 12 | ក 1j | ក 1ស | ក 1ន | |||
………………………………………………………………….. | ||||||||
y ខ្ញុំ= | មួយ ខ្ញុំ 1 | មួយ ខ្ញុំ 2 | អាយ | a គឺ | មួយក្នុង | |||
………………………………………………………………….. | ||||||||
y r= | មួយ r 1 | មួយ r 2 | មួយ rj | មួយ rs | មួយ rn | |||
…………………………………………………………………. | ||||||||
y n= | ម 1 | ម 2 | មួយ mj | មួយ ms | អាម៉ែន |
តារាង Jordan 1.1 មានជួរឈរខាងឆ្វេង ដែលផ្នែកខាងស្តាំនៃប្រព័ន្ធ (1.20) ត្រូវបានសរសេរ និងបន្ទាត់ក្បាលកំពូល ដែលអថេរឯករាជ្យត្រូវបានសរសេរ។
ធាតុដែលនៅសល់នៃតារាងបង្កើតជាម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃមេគុណនៃប្រព័ន្ធ (1.20) ។ ប្រសិនបើយើងគុណម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែទៅម៉ាទ្រីសដែលមានធាតុនៃជួរដេកបឋមកថាខាងលើបន្ទាប់មកយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសដែលមានធាតុនៃជួរឈរបឋមកថាខាងឆ្វេង។ នោះគឺជាខ្លឹមសារ តារាង Jordan គឺជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសនៃការសរសេរប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖ . ក្នុងករណីនេះតារាង Jordan ខាងក្រោមត្រូវគ្នានឹងប្រព័ន្ធ (1.21):
តារាង 1.2
x 1 | x 2 | … | xj | … | y r | … | x ន | |
y 1 = | ខ 11 | ខ 12 | ខ 1 j | ខ 1 ស | ខ 1 ន | |||
………………………………………………………………….. | ||||||||
y ខ្ញុំ = | b i 1 | b i 2 | b ij | b គឺ | b ក្នុង | |||
………………………………………………………………….. | ||||||||
x s = | ប 1 | ប 2 | b rj | BRs | b rn | |||
…………………………………………………………………. | ||||||||
y n = | b m 1 | b m 2 | bmj | b ms | bmn |
ធាតុអនុញ្ញាត មួយ rs យើងនឹងគូសបញ្ជាក់ជាដិត។ សូមចាំថា ដើម្បីអនុវត្តជំហានមួយនៃការលើកលែងហ្ស៊កដានី ធាតុដោះស្រាយត្រូវតែមិនសូន្យ។ ជួរតារាងដែលមានធាតុអនុញ្ញាត ត្រូវបានគេហៅថាជួរអនុញ្ញាត។ ជួរឈរដែលមានធាតុអនុញ្ញាតត្រូវបានគេហៅថា ជួរឈរអនុញ្ញាត។ នៅពេលផ្លាស់ទីពីតារាងដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅតារាងបន្ទាប់ អថេរមួយ ( x s) ពីជួរដេកបឋមកថាកំពូលនៃតារាងត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅជួរឈរបឋមកថាខាងឆ្វេង ហើយផ្ទុយមកវិញ សមាជិកមួយក្នុងចំណោមសមាជិកឥតគិតថ្លៃរបស់ប្រព័ន្ធ ( y r) ត្រូវបានផ្លាស់ទីពីជួរឈរបឋមកថាខាងឆ្វេងនៃតារាងទៅជួរដេកបឋមកថាកំពូល។
ចូរយើងពិពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គណនាឡើងវិញនូវមេគុណក្នុងការឆ្លងកាត់ពីតារាង Jordan (1.1) ទៅតារាង (1.2) ដែលបន្តពីរូបមន្ត (1.23) និង (1.25)។
1. ធាតុអនុញ្ញាតត្រូវបានជំនួសដោយលេខបញ្ច្រាស៖
2. ធាតុដែលនៅសេសសល់នៃបន្ទាត់អនុញ្ញាតត្រូវបានបែងចែកដោយធាតុអនុញ្ញាត និងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ៖
3. ធាតុដែលនៅសល់នៃជួរឈរដែលអនុញ្ញាតត្រូវបានបែងចែកទៅជាធាតុដែលអាចអនុញ្ញាតបាន៖
4. ធាតុដែលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងជួរដេកដោះស្រាយ និងជួរឈរដោះស្រាយត្រូវបានគណនាឡើងវិញតាមរូបមន្ត៖
រូបមន្តចុងក្រោយគឺងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញថាធាតុដែលបង្កើតជាប្រភាគ , ស្ថិតនៅចំណុចប្រសព្វ ខ្ញុំ- អូនិង r- បន្ទាត់ និង jទី និង ស-th columns (ដោះស្រាយជួរដេក ដោះស្រាយជួរឈរ និងជួរដេក និងជួរឈរនៅចំនុចប្រសព្វដែលធាតុដែលត្រូវគណនាឡើងវិញមានទីតាំងនៅ)។ កាន់តែច្បាស់នៅពេលទន្ទេញរូបមន្ត អ្នកអាចប្រើតារាងខាងក្រោម៖
អនុវត្តជំហានដំបូងនៃករណីលើកលែងហ្ស៊កដានី ធាតុណាមួយនៃតារាង 1.3 ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងជួរឈរ x 1 ,…, x 5 (ធាតុដែលបានបញ្ជាក់ទាំងអស់មិនស្មើនឹងសូន្យ)។ អ្នកមិនគួរតែជ្រើសធាតុអនុញ្ញាតក្នុងជួរឈរចុងក្រោយនេះទេ, ដោយសារតែ ត្រូវការស្វែងរកអថេរឯករាជ្យ x 1 ,…, x៥. យើងជ្រើសរើសឧទាហរណ៍មេគុណ 1 ជាមួយអថេរ x 3 នៅក្នុងជួរទីបីនៃតារាង 1.3 (ធាតុអនុញ្ញាតត្រូវបានបង្ហាញជាដិត) ។ នៅពេលផ្លាស់ទីទៅតារាង 1.4 អថេរ x 3 ពីជួរដេកបឋមកថាកំពូលត្រូវបានប្ដូរដោយថេរ 0 នៃជួរឈរបឋមកថាខាងឆ្វេង (ជួរទីបី)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះអថេរ x 3 ត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរដែលនៅសល់។
ខ្សែអក្សរ x 3 (តារាង 1.4) អាចត្រូវបានដកចេញពីតារាង 1.4 ដោយបានចងចាំពីមុន។ តារាង 1.4 ក៏មិនរាប់បញ្ចូលជួរឈរទីបីដែលមានសូន្យនៅក្នុងបន្ទាត់បឋមកថាខាងលើ។ ចំណុចគឺថាដោយមិនគិតពីមេគុណនៃជួរឈរនេះ។ b i 3 ពាក្យទាំងអស់ដែលត្រូវគ្នានឹងវានៃសមីការនីមួយៗ 0 b iប្រព័ន្ធ 3 នឹងស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះមេគុណទាំងនេះមិនអាចគណនាបានទេ។ ការលុបបំបាត់អថេរមួយ។ x 3 ហើយចងចាំសមីការមួយ យើងទៅដល់ប្រព័ន្ធដែលត្រូវនឹងតារាង 1.4 (ជាមួយនឹងបន្ទាត់កាត់ចេញ x៣). ការជ្រើសរើសនៅក្នុងតារាង 1.4 ជាធាតុដោះស្រាយ ខ 14 = -5 សូមចូលទៅកាន់តារាង 1.5 ។ នៅក្នុងតារាង 1.5 យើងចងចាំជួរទីមួយ ហើយដកវាចេញពីតារាង រួមជាមួយនឹងជួរទីបួន (ដោយលេខសូន្យនៅខាងលើ)។
តារាង 1.5 តារាង 1.6
ពីតារាងចុងក្រោយ ១.៧ យើងរកឃើញ៖ x 1 = - 3 + 2x 5 .
ការជំនួសអថេរដែលបានរកឃើញរួចហើយជាលំដាប់ទៅក្នុងបន្ទាត់ដែលទន្ទេញចាំ យើងរកឃើញអថេរដែលនៅសល់៖
ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។ អថេរ x 5, អ្នកអាចកំណត់តម្លៃបំពាន។ អថេរនេះដើរតួជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x 5 = t ។ យើងបានបង្ហាញពីភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធ និងបានរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វា៖
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
ផ្តល់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ tតម្លៃខុសគ្នា យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់ចំពោះប្រព័ន្ធដើម។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺសំណុំនៃអថេរខាងក្រោម (- 3; - 1; - 2; 4; 0) ។