ពេល​ខ្ញុំ​រៀន​អំពី​គោលការណ៍​នេះ​ជា​លើក​ដំបូង ខ្ញុំ​មាន​អារម្មណ៍​នៃ​ការ​ធ្វើ​អាថ៌កំបាំង​មួយ​ចំនួន។ វាហាក់ដូចជាថាធម្មជាតិបានតម្រៀបតាមវិធីដែលអាចធ្វើទៅបានទាំងអស់នៃចលនារបស់ប្រព័ន្ធ ហើយជ្រើសរើសអ្វីដែលល្អបំផុតក្នុងចំណោមពួកគេ។

ថ្ងៃនេះខ្ញុំចង់និយាយបន្តិចអំពីគោលការណ៍រូបវន្តដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់បំផុតមួយ - គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុត។

ផ្ទៃខាងក្រោយ

ចាប់តាំងពីសម័យកាលនៃកាលីលេ វាត្រូវបានគេដឹងថាសាកសពដែលមិនត្រូវបានធ្វើសកម្មភាពដោយកម្លាំងណាមួយផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់ ពោលគឺនៅតាមបណ្តោយផ្លូវខ្លីបំផុត។ កាំរស្មីពន្លឺក៏ធ្វើដំណើរតាមបន្ទាត់ត្រង់ផងដែរ។

នៅពេល​ដែល​ឆ្លុះ​បញ្ចាំង ពន្លឺ​ក៏​ធ្វើ​ចលនា​ក្នុង​របៀប​មួយ​ដើម្បី​ទទួល​ពី​ចំណុច​មួយ​ទៅ​ចំណុច​មួយទៀត​ក្នុង​វិធី​ខ្លី​បំផុត។ នៅក្នុងរូបភាព ផ្លូវខ្លីបំផុតនឹងជាផ្លូវពណ៌បៃតង ដែលមុំនៃឧប្បត្តិហេតុស្មើនឹងមុំនៃការឆ្លុះបញ្ចាំង។ ផ្លូវផ្សេងទៀតដូចជាផ្លូវក្រហមនឹងវែងជាង។

នេះគឺជាការងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់ដោយគ្រាន់តែឆ្លុះបញ្ចាំងពីផ្លូវនៃកាំរស្មីទៅជ្រុងម្ខាងនៃកញ្ចក់។ ពួកវាត្រូវបានបង្ហាញជាបន្ទាត់ចំនុចនៅក្នុងរូបភាព។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាផ្លូវពណ៌បៃតង ACB ប្រែទៅជា ACB បន្ទាត់ត្រង់។ ហើយ​ផ្លូវ​ក្រហម​ប្រែ​ទៅ​ជា​បន្ទាត់​ខូច ADB' ដែល​ជា​ការ​ពិត​ណាស់​គឺ​វែង​ជាង​ផ្លូវ​បៃតង។

នៅឆ្នាំ 1662 Pierre Fermat បានផ្តល់យោបល់ថាល្បឿននៃពន្លឺនៅក្នុងសារធាតុក្រាស់ដូចជាកញ្ចក់គឺតិចជាងនៅក្នុងខ្យល់។ មុននេះ កំណែដែលទទួលយកជាទូទៅគឺ Descartes ដែលយោងទៅតាមល្បឿននៃពន្លឺនៅក្នុងរូបធាតុត្រូវតែធំជាងនៅលើអាកាស ដើម្បីទទួលបានច្បាប់ចំណាំងបែរត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់ Fermat ការសន្មត់ថាពន្លឺអាចផ្លាស់ទីបានលឿននៅក្នុងឧបករណ៍ផ្ទុកក្រាស់ជាងនៅក្នុងវត្ថុដែលកម្រមើលទៅហាក់ដូចជាខុសពីធម្មជាតិ។ ដូច្នេះហើយ គាត់បានសន្មត់ថា អ្វីៗគឺផ្ទុយស្រលះ ហើយបានបង្ហាញពីភាពអស្ចារ្យមួយ - ក្រោមការសន្មត់នេះ ពន្លឺត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំង ដើម្បីទៅដល់គោលដៅរបស់វាក្នុងរយៈពេលអប្បបរមា។

នៅក្នុងរូបភាពម្តងទៀត ពណ៌បៃតងបង្ហាញពីផ្លូវដែលធ្នឹមពន្លឺពិតជាធ្វើដំណើរ។ ផ្លូវ​ដែល​សម្គាល់​ជា​ពណ៌​ក្រហម​គឺ​ខ្លី​បំផុត ប៉ុន្តែ​មិន​លឿន​បំផុត​ទេ ព្រោះ​ពន្លឺ​មាន​ផ្លូវ​វែង​ជាង​ក្នុង​ការ​ធ្វើ​ដំណើរ​ក្នុង​កញ្ចក់ ហើយ​ល្បឿន​របស់​វា​ក៏​យឺត​ជាង​ក្នុង​នោះ។ លឿនបំផុតគឺជាផ្លូវពិតនៃធ្នឹមពន្លឺ។

ការពិតទាំងអស់នេះបានណែនាំថា ធម្មជាតិធ្វើសកម្មភាពក្នុងវិធីសមហេតុផលមួយចំនួន ពន្លឺ និងរូបកាយផ្លាស់ទីតាមរបៀបដ៏ប្រសើរបំផុត ដោយចំណាយការខិតខំប្រឹងប្រែងតិចតួចតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប៉ុន្តែ​អ្វី​ទៅ​ជា​កិច្ច​ខិតខំ​ប្រឹងប្រែង​ទាំង​នេះ និង​របៀប​គណនា​វា​នៅ​តែ​ជា​អាថ៌កំបាំង។

នៅឆ្នាំ 1744 Maupertuis បានណែនាំគំនិតនៃ "សកម្មភាព" និងបង្កើតគោលការណ៍នេះបើយោងតាមគន្លងពិតនៃភាគល្អិតមួយខុសពីអ្វីផ្សេងទៀតដែលសកម្មភាពសម្រាប់វាគឺតិចតួចបំផុត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ Maupertuis ខ្លួនឯងមិនអាចផ្តល់និយមន័យច្បាស់លាស់នៃសកម្មភាពនេះស្មើនឹងអ្វីនោះទេ។ ការបង្កើតគណិតវិទ្យាយ៉ាងម៉ត់ចត់នៃគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុតត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូផ្សេងទៀត - អយល័រ, ឡាហ្គែន ហើយចុងក្រោយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ វីលៀម ហាមីលតុន៖

នៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យា គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុតត្រូវបានបង្កើតយ៉ាងខ្លី ប៉ុន្តែមិនមែនអ្នកអានទាំងអស់អាចយល់ពីអត្ថន័យនៃសញ្ញាណដែលបានប្រើនោះទេ។ ខ្ញុំចង់ព្យាយាមពន្យល់គោលការណ៍នេះឱ្យកាន់តែច្បាស់ និងក្នុងន័យសាមញ្ញជាង

រាងកាយរលុង

ដូច្នេះសូមស្រមៃថាអ្នកកំពុងអង្គុយនៅក្នុងឡាននៅចំណុចមួយ ហើយនៅចំណុចមួយដែលអ្នកត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចសាមញ្ញមួយ: ដោយចំណុចនៅក្នុងពេលវេលាអ្នកត្រូវបើកឡានទៅចំណុច។

ប្រេងឥន្ធនៈសម្រាប់រថយន្តមានតម្លៃថ្លៃ ហើយពិតណាស់អ្នកចង់ចំណាយវាឱ្យតិចបំផុតតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ រថយន្តរបស់អ្នកត្រូវបានផលិតដោយប្រើបច្ចេកវិជ្ជាទំនើបចុងក្រោយ ហើយអាចបង្កើនល្បឿន ឬបន្ថយបានលឿនតាមដែលអ្នកចូលចិត្ត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាត្រូវបានរចនាឡើងតាមរបៀបដែលវាកាន់តែលឿន វាស៊ីប្រេងកាន់តែច្រើន។ លើសពីនេះទៅទៀតការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈគឺសមាមាត្រទៅនឹងការ៉េនៃល្បឿន។ ប្រសិនបើអ្នកបើកបរលឿនជាងពីរដង នោះអ្នកស៊ីប្រេងច្រើនជាង 4 ដងក្នុងបរិមាណដូចគ្នា។ បន្ថែមពីលើល្បឿនការប្រើប្រាស់ប្រេងពិតណាស់ត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយម៉ាសរបស់រថយន្ត។ ឡានរបស់យើងកាន់តែធ្ងន់ វាស៊ីប្រេងកាន់តែច្រើន។ ការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈរបស់រថយន្តយើងរាល់ពេលគឺ ពោលគឺឧ។ គឺពិតជាស្មើនឹងថាមពល kinetic របស់រថយន្ត។

ដូច្នេះ​តើ​អ្នក​ត្រូវ​បើក​បរ​ដោយ​របៀប​ណា​ដើម្បី​ឱ្យ​ដល់​ចំណុច​ទាន់​ពេល និង​ប្រើ​ប្រេង​តិច​តាម​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន? វាច្បាស់ណាស់ថាអ្នកត្រូវទៅត្រង់។ ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចម្ងាយធ្វើដំណើរ ប្រេងឥន្ធនៈនឹងត្រូវប្រើប្រាស់យ៉ាងពិតប្រាកដមិនតិចនោះទេ។ ហើយបន្ទាប់មកអ្នកអាចជ្រើសរើសយុទ្ធសាស្ត្រផ្សេងៗ។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកអាចទៅដល់ចំណុចមុនបានយ៉ាងលឿន ហើយគ្រាន់តែអង្គុយរង់ចាំពេលវេលាមកដល់។ ល្បឿននៃការបើកបរ ហេតុដូច្នេះហើយ ការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈនៅគ្រប់ពេលនៃពេលវេលានឹងមានកម្រិតខ្ពស់ ប៉ុន្តែពេលវេលានៃការបើកបរក៏នឹងត្រូវកាត់បន្ថយផងដែរ។ ប្រហែលជាការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈជាទូទៅក្នុងករណីនេះនឹងមិនអស្ចារ្យទេ។ ឬ​អ្នក​អាច​ទៅ​បាន​ស្មើៗ​គ្នា​ដោយ​ល្បឿន​ដូច​គ្នា​ដោយ​មិន​ប្រញាប់​ទេ គឺ​មក​ដល់​ពេល​វេលា​ជាក់​ជា​មិន​ខាន។ ឬ​មួយ​ផ្នែក​នៃ​ផ្លូវ​ត្រូវ​ទៅ​លឿន ហើយ​ផ្នែក​យឺត​ជាង។ តើវិធីណាដែលល្អបំផុតដើម្បីទៅ?

វាប្រែថា វិធីសន្សំសំចៃបំផុត និងសន្សំសំចៃបំផុតក្នុងការបើកបរគឺត្រូវបើកបរក្នុងល្បឿនថេរ ដូចជាត្រូវដល់ចំណុចនៅពេលវេលាជាក់លាក់។ ជម្រើសណាមួយផ្សេងទៀតនឹងប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈកាន់តែច្រើន។ អ្នកអាចពិនិត្យមើលដោយខ្លួនឯងជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ មូលហេតុ​គឺ​ដោយសារ​ការប្រើប្រាស់​ប្រេងឥន្ធនៈ​កើនឡើង​ជាមួយនឹង​ល្បឿន​ការ៉េ​។ ដូច្នេះនៅពេលដែលល្បឿនកើនឡើង ការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈកើនឡើងលឿនជាងពេលបើកបរថយចុះ ហើយការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈទាំងមូលក៏កើនឡើងផងដែរ។

ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញថា ប្រសិនបើរថយន្តស៊ីសាំងនៅពេលវេលាណាមួយដែលសមាមាត្រទៅនឹងថាមពលកលល្បិចរបស់វានោះ មធ្យោបាយសន្សំសំចៃបំផុតក្នុងការធ្វើដំណើរពីចំណុចមួយទៅចំណុចមួយតាមពេលវេលាដែលបានកំណត់គឺត្រូវបើកបរស្មើៗគ្នា និងត្រង់ដូច រាងកាយផ្លាស់ទីដោយមិនមានកម្លាំងធ្វើសកម្មភាពលើវា កម្លាំង។ វិធីផ្សេងទៀតនៃការបើកបរនឹងនាំឱ្យការប្រើប្រាស់ប្រេងសរុបខ្ពស់ជាង។

នៅក្នុងវាលទំនាញ

ឥឡូវ​យើង​កែ​លម្អ​រថយន្ត​របស់​យើង​បន្តិច។ ចូរភ្ជាប់ម៉ាស៊ីនយន្តហោះទៅវា ដើម្បីឱ្យវាអាចហោះហើរដោយសេរីក្នុងទិសដៅណាមួយ។ ជាទូទៅការរចនានៅតែដដែល ដូច្នេះការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈម្តងទៀតនៅតែសមាមាត្រយ៉ាងតឹងរឹងទៅនឹងថាមពល kinetic របស់រថយន្ត។ ប្រសិនបើឥឡូវនេះភារកិច្ចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដើម្បីហោះចេញពីចំណុចមួយនៅពេលមួយហើយមកដល់ចំណុចមួយនៅពេល t នោះវិធីសន្សំសំចៃបំផុតដូចពីមុនជាការពិតណាស់នឹងហោះហើរស្មើៗគ្នានិងក្នុងបន្ទាត់ត្រង់ដើម្បីទៅដល់ចំណុចពិតប្រាកដ។ ពេលវេលាដែលបានកំណត់ t ។ នេះម្តងទៀតទាក់ទងទៅនឹងចលនាសេរីនៃរាងកាយក្នុងលំហបីវិមាត្រ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយឧបករណ៍មិនធម្មតាមួយត្រូវបានដំឡើងនៅក្នុងម៉ូដែលចុងក្រោយនៃរថយន្ត។ អង្គភាពនេះអាចផលិតឥន្ធនៈតាមព្យញ្ជនៈពីអ្វីទាំងអស់។ ប៉ុន្តែ​ការ​រចនា​គឺ​ថា​រថយន្ត​កាន់​តែ​ខ្ពស់​ ឧបករណ៍​នឹង​ផលិត​ប្រេង​កាន់​តែ​ច្រើន​នៅ​ពេល​ណា​មួយ​។ ទិន្នផលឥន្ធនៈគឺសមាមាត្រដោយផ្ទាល់ទៅនឹងកម្ពស់ដែលយានយន្តស្ថិតនៅបច្ចុប្បន្ន។ ម្យ៉ាងវិញទៀត រថយន្តកាន់តែធ្ងន់ ឧបករណ៍កាន់តែមានថាមពលត្រូវបានដំឡើងនៅលើវា និងផលិតប្រេងកាន់តែច្រើន ហើយទិន្នផលគឺសមាមាត្រដោយផ្ទាល់ទៅនឹងម៉ាស់របស់រថយន្ត។ ឧបករណ៍បានប្រែទៅជាដូចដែលទិន្នផលប្រេងឥន្ធនៈគឺពិតជាស្មើនឹង (កន្លែងដែលការបង្កើនល្បឿនធ្លាក់ចុះដោយឥតគិតថ្លៃ) ពោលគឺឧ។ ថាមពលសក្តានុពលនៃរថយន្ត។

ការប្រើប្រាស់ឥន្ធនៈនៅគ្រប់ពេលនៃពេលវេលាគឺស្មើនឹងថាមពល kinetic ដកថាមពលសក្តានុពលរបស់រថយន្ត (ដកថាមពលសក្តានុពល ពីព្រោះយានជំនិះដែលបានដំឡើងផលិតប្រេង ហើយមិនចំណាយ)។ ឥឡូវនេះភារកិច្ចរបស់យើងគឺចលនាសន្សំសំចៃបំផុតនៃឡានរវាងចំនុចហើយវាកាន់តែពិបាក។ ចលនាឯកសណ្ឋាន rectilinear ក្នុងករណីនេះមិនមានប្រសិទ្ធភាពបំផុតនោះទេ។ វាប្រែថាវាល្អប្រសើរជាងក្នុងការឡើងភ្នំបន្តិច ដេកនៅទីនោះមួយសន្ទុះ ដោយបានអភិវឌ្ឍឥន្ធនៈកាន់តែច្រើន ហើយបន្ទាប់មកចុះទៅចំណុច។ ជាមួយនឹងផ្លូវហោះហើរត្រឹមត្រូវ ការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈសរុបដោយសារការឡើងភ្នំនឹងគ្របដណ្តប់លើថ្លៃប្រេងឥន្ធនៈបន្ថែមសម្រាប់ការបង្កើនប្រវែងផ្លូវ និងការបង្កើនល្បឿន។ នៅពេលគណនាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន មធ្យោបាយសន្សំសំចៃបំផុតសម្រាប់រថយន្តគឺការហោះហើរក្នុងប៉ារ៉ាបូឡា ក្នុងគន្លងដូចគ្នា និងក្នុងល្បឿនដូចគ្នាទៅនឹងដុំថ្មនឹងហោះក្នុងវាលទំនាញផែនដី។

នៅទីនេះវាមានតម្លៃធ្វើឱ្យមានការពន្យល់។ ជា​ការ​ពិត​ណាស់ វា​អាច​នឹង​គប់​ដុំ​ថ្ម​ពី​ចំណុច​មួយ​តាម​វិធី​ផ្សេង​ៗ​គ្នា​ដើម្បី​ឱ្យ​វា​ប៉ះ​ចំ​ចំណុច​នោះ។ ប៉ុន្តែ អ្នក​ត្រូវ​បោះ​វា​ក្នុង​របៀប​ដែល​ដោយ​បាន​ហោះ​ចេញ​ពី​ចំណុច​មួយ​នៅ​ពេល​នោះ វា​បាន​ប៉ះ​ដល់​ចំណុច​មួយ​នៅ​ពេល​នោះ។ វាគឺជាចលនានេះដែលនឹងសន្សំសំចៃបំផុតសម្រាប់រថយន្តរបស់យើង។

មុខងារ Lagrange និងគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត។

ឥឡូវនេះយើងអាចផ្ទេរភាពស្រដៀងគ្នានេះទៅរូបរាងកាយពិត។ analogue នៃអាំងតង់ស៊ីតេនៃការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈសម្រាប់សាកសពត្រូវបានគេហៅថាមុខងារ Lagrange ឬ Lagrangian (ជាកិត្តិយសនៃ Lagrange) ហើយត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ។ Lagrangian បង្ហាញពីចំនួន "ឥន្ធនៈ" ដែលរាងកាយប្រើប្រាស់នៅពេលកំណត់។ សម្រាប់រាងកាយដែលផ្លាស់ទីនៅក្នុងវាលសក្តានុពលមួយ Lagrangian គឺស្មើនឹងថាមពល kinetic របស់វាដកថាមពលសក្តានុពលរបស់វា។

analogue នៃចំនួនសរុបនៃឥន្ធនៈប្រើប្រាស់សម្រាប់ពេលទាំងមូលនៃចលនា, i.e. តម្លៃនៃ Lagrangian ដែលប្រមូលផ្តុំពេញមួយពេលនៃចលនាត្រូវបានគេហៅថា "សកម្មភាព" ។

គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត គឺរាងកាយធ្វើចលនាតាមរបៀបដែលសកម្មភាព (ដែលអាស្រ័យលើគន្លងនៃចលនា) មានតិចតួចបំផុត។ ក្នុងករណីនេះមនុស្សម្នាក់មិនគួរភ្លេចថាលក្ខខណ្ឌដំបូងនិងចុងក្រោយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ, i.e. កន្លែងដែលរាងកាយគឺនៅពេលនិងពេលវេលា។

ក្នុងករណីនេះរាងកាយមិនចាំបាច់ផ្លាស់ទីក្នុងវាលទំនាញឯកសណ្ឋានមួយដែលយើងចាត់ទុកថាសម្រាប់រថយន្តរបស់យើង។ អ្នកអាចពិចារណាស្ថានភាពខុសគ្នាទាំងស្រុង។ រាងកាយអាចយោលនៅលើក្រុមកៅស៊ូ យោលលើប៉ោល ឬហោះហើរជុំវិញព្រះអាទិត្យ ក្នុងករណីទាំងអស់នេះ វាធ្វើចលនាក្នុងរបៀបមួយដើម្បីកាត់បន្ថយ "ការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈសរុប" ពោលគឺឧ។ សកម្មភាព។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានសាកសពជាច្រើន នោះ Lagrangian នៃប្រព័ន្ធបែបនេះនឹងស្មើនឹងថាមពល kinetic សរុបនៃសាកសពទាំងអស់ ដកថាមពលសក្តានុពលសរុបនៃសាកសពទាំងអស់។ ហើយម្តងទៀត រាងកាយទាំងអស់នឹងផ្លាស់ទីនៅក្នុងការប្រគុំតន្ត្រី ដូច្នេះឥទ្ធិពលនៃប្រព័ន្ធទាំងមូលក្នុងអំឡុងពេលចលនាបែបនេះមានតិចតួចបំផុត។

មិនសាមញ្ញទេ។

តាមពិតទៅ ខ្ញុំបានបោកបញ្ឆោតបន្តិចបន្តួចដោយនិយាយថា សាកសពតែងតែធ្វើចលនាក្នុងរបៀបមួយ ដើម្បីកាត់បន្ថយសកម្មភាព។ ទោះបីជាក្នុងករណីជាច្រើននេះជាការពិតក៏ដោយ វាអាចគិតពីស្ថានភាពដែលសកម្មភាពនេះច្បាស់ជាមិនតិចតួចទេ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកបាល់មួយ ហើយដាក់វាក្នុងចន្លោះទទេ។ នៅចម្ងាយខ្លះពីវាយើងដាក់ជញ្ជាំងយឺត។ ចូរនិយាយថាយើងចង់ឱ្យបាល់បញ្ចប់នៅកន្លែងដដែលបន្ទាប់ពីពេលខ្លះ។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យនេះ បាល់អាចផ្លាស់ទីក្នុងវិធីពីរផ្សេងគ្នា។ ដំបូងគាត់អាចនៅស្ងៀម។ ទីពីរអ្នកអាចរុញវាទៅជញ្ជាំង។ បាល់នឹងទៅដល់ជញ្ជាំង លោតចេញពីវា ហើយត្រលប់មកវិញ។ វាច្បាស់ណាស់ថាអ្នកអាចរុញវាជាមួយនឹងល្បឿនដែលវានឹងត្រលប់មកវិញនៅពេលវេលាត្រឹមត្រូវ។

បំរែបំរួលទាំងពីរនៃចលនារបស់បាល់គឺអាចធ្វើទៅបាន ប៉ុន្តែសកម្មភាពនៅក្នុងករណីទីពីរនឹងធំជាងនេះ ពីព្រោះគ្រប់ពេលវេលានេះ បាល់នឹងផ្លាស់ទីដោយថាមពល kinetic មិនសូន្យ។

តើ​គោលការណ៍​នៃ​សកម្មភាព​តិច​បំផុត​អាច​ត្រូវ​បាន​សង្គ្រោះ​ដោយ​របៀប​ណា​ទើប​វា​ក្លាយជា​ការពិត​ក្នុង​ស្ថានភាព​បែបនេះ​? យើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះនៅក្នុង។

1. Kinematics នៃចំណុចសម្ភារៈមួយ។ ចំណុចសម្ភារៈត្រូវបានយល់ថាជាវត្ថុរូបវន្ត ធរណីមាត្រស្មើនឹងចំណុចគណិតវិទ្យា ប៉ុន្តែមានម៉ាស់។ Kinematics គឺជាផ្នែកនៃរូបវិទ្យាដែលសិក្សាពីប្រភេទនៃចលនារបស់រាងកាយដោយមិនគិតពីមូលហេតុនៃចលនា។ ទីតាំងនៃចំណុចក្នុងលំហ ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយវ៉ិចទ័រកាំ។ វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចគឺជាវ៉ិចទ័រដែលការចាប់ផ្តើមស្របគ្នានឹងប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ ហើយចុងបញ្ចប់របស់វាស្របគ្នានឹងចំណុចដែលបានពិចារណា។ r = ខ្ញុំ x + j y + k z. ល្បឿនគឺជាចម្ងាយដែលធ្វើដំណើរដោយរាងកាយក្នុងមួយឯកតានៃពេលវេលា។ v(t) = ឃ r/dt ។ v(t) = ខ្ញុំ dx/dt+ j dy/dt + k dz/dt ។ ការបង្កើនល្បឿនគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរល្បឿន។ ក=d v/dt = d2 r/dt2= ខ្ញុំ d2x/dt2 + j d 2 y/dt 2 + k d 2 z/dt 2 ។ ក = ក τ + ក n= τ dv/dt + ន v2/R ។

ឃ r = v dt; ឃ v = ក dt ដូច្នេះ v = v 0 + ក t; r = r 2 – r 1 = v 0 t + ក t2/2 ។

2. ថាមវន្តនៃចំណុចសម្ភារៈ។ ច្បាប់របស់ញូតុន។ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងឌីណាមិក គឺជាគំនិតនៃម៉ាស់ និងកម្លាំង។ កម្លាំងគឺជាបុព្វហេតុនៃចលនា, i.e. នៅក្រោមឥទ្ធិពលនៃកម្លាំងនៃរាងកាយបង្កើនល្បឿន។ កម្លាំងគឺជាបរិមាណវ៉ិចទ័រ។ ម៉ាសគឺជារង្វាស់នៃនិចលភាពនៃរាងកាយ។ ផលិតផលនៃម៉ាស់ និងល្បឿនត្រូវបានគេហៅថាសន្ទុះ។ ទំ= ម v. សន្ទុះមុំនៃចំណុចសម្ភារៈគឺជាវ៉ិចទ័រ អិល = r * ទំ. ពេលនៃកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើចំណុចសម្ភារៈត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ ម = r * ច. ប្រសិនបើយើងបែងចែកកន្សោមសម្រាប់សន្ទុះមុំ យើងទទួលបាន៖ ឃ អិល/dt=d r/dt* ទំ + r* ឃ ទំ/dt ។ ពិចារណាថា ឃ r/dt= vនិង vប៉ារ៉ាឡែល ទំ, យើងទទួលបាន ឃ អិល/dt= ម.ច្បាប់របស់ញូតុន។ច្បាប់ទីមួយរបស់ញូតុនចែងថា រាងកាយរក្សាស្ថានភាពនៃការសម្រាក ឬចលនារាងពងក្រពើឯកសណ្ឋាន ប្រសិនបើគ្មានកម្លាំងផ្សេងទៀតធ្វើសកម្មភាពលើវា ឬសកម្មភាពរបស់ពួកគេត្រូវបានផ្តល់សំណង។ ច្បាប់ទីពីររបស់ញូតុនចែងថា ការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះតាមពេលវេលាគឺជាតម្លៃថេរ ហើយស្មើនឹងកម្លាំងសម្ដែង d ទំ/ dt = ឃ / dt (m v) = md v/dt= ច.នេះគឺជាច្បាប់ទីពីររបស់ញូវតុន ដែលសរសេរក្នុងទម្រង់ឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ច្បាប់ទី 3 របស់ញូវតុននិយាយថានៅក្នុងអន្តរកម្មនៃរូបកាយពីរ ពួកវានីមួយៗធ្វើសកម្មភាពលើវត្ថុផ្សេងទៀតដោយតម្លៃដូចគ្នា ប៉ុន្តែផ្ទុយពីទិសដៅគឺកម្លាំង។ ច 1 = - ច 2 .

3. ថាមវន្តនៃប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈ។ ច្បាប់អភិរក្ស។ ប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈគឺជាចំនួនសរុបនៃចំនួនកំណត់របស់ពួកគេ។ ចំណុចនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយផ្ទៃក្នុង (ពីចំណុចផ្សេងទៀត) និងកម្លាំងខាងក្រៅ។ អនុញ្ញាតឱ្យ m ជាម៉ាស់ r ខ្ញុំជាវ៉ិចទ័រកាំ។ x i , y i , z i - ខ្សែ។ ចំណុច i-th ។ កម្លាំងរុញច្រាននៃប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈ គឺជាផលបូកនៃកម្លាំងនៃចំណុចសម្ភារៈដែលបង្កើតជាប្រព័ន្ធ៖ ទំ= Σ (i=1,n) ទំខ្ញុំ = [ ទំ 1 + ទំ 2 +…+ ទំន]។ សន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធចំនុចសម្ភារៈ គឺជាផលបូកនៃគ្រានៃសន្ទុះដែលបង្កើតជាប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈ៖ អិល = Σ [ អិល i ] = Σ [ rខ្ញុំ * ទំខ្ញុំ] កម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈត្រូវបានកំណត់ថាជាផលបូកនៃកម្លាំងទាំងអស់ដែលធ្វើសកម្មភាពលើចំណុចនៃប្រព័ន្ធ រួមទាំងកម្លាំងនៃអន្តរកម្មរវាងចំណុចនៃប្រព័ន្ធ៖ ច = Σ [ ចខ្ញុំ] កន្លែងណា ចខ្ញុំ = ច i' + Σ(j ≠ i) ច ji គឺជាកម្លាំងដែលដើរតួរលើចំណុចសម្ភារៈនៃប្រព័ន្ធ ដែលតំណាងដោយសន្ទស្សន៍ i ។ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយកម្លាំងខាងក្រៅ ច i ' និងកម្លាំងខាងក្នុង Σ(i ≠ j) [ ច ji] ដើរតួលើចំណុចដែលជាលទ្ធផលនៃអន្តរកម្មជាមួយចំណុចផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មក៖ F = Σ (i=1,n) [ ច i '] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ ចជី] ។ យោងតាមច្បាប់ទីបីរបស់ញូតុន Σ (i = 1, n) Σ(j ≠ i) [ ច ji ] = 0 ដូច្នេះ ច = Σ [ ចខ្ញុំ]។ គ្រានៃកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈ គឺជាផលបូកនៃគ្រានៃកម្លាំងដែលបានអនុវត្តទៅលើចំណុចនៃប្រព័ន្ធ ម= Σ (i) [ ម i ] = Σ (i) [ rខ្ញុំ * ច i ] = Σ (i) [ rខ្ញុំ * ចខ្ញុំ]។ សម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈ សមីការនៃចលនាមានទម្រង់ d ទំ/ dt = Σ = Σ [ ចខ្ញុំ]

ចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់នៃប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈគឺជាចំណុចស្រមើលស្រមៃដែលមានវ៉ិចទ័រកាំ រ= 1/mΣ ។ ល្បឿននៃចលនារបស់គាត់។ វ=d រ/dt ។ បន្ទាប់មកសមីការនៃចលនា m d វ/dt= ច. សមីការនៃគ្រាសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈ ឃ អិល/dt= ម. ច្បាប់អភិរក្ស។ប្រព័ន្ធឯកោគឺជាប្រព័ន្ធមួយដែលមិនត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយកម្លាំងខាងក្រៅ។ នៅក្នុងនាង ច= 0 ដូច្នេះ ឃ ទំ/dt = 0. បន្ទាប់មក ទំ= const ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធឯកោមួយ, ពេលនៃកម្លាំងខាងក្រៅ ម= 0. ដូច្នេះ ឃ អិល/dt = 0 ដែលមានន័យថា អិល= const ។ ការផ្លាស់ប្តូរថាមពល kinetic នៃចំណុចសម្ភារៈនៅពេលដែលវាផ្លាស់ទីរវាងមុខតំណែងពីរគឺស្មើនឹងការងារដែលបានធ្វើដោយកម្លាំង។ m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2/2 = ∫(1,2) ចឃ លីត្រឬ m 0 v 2 / 2 + E p \u003d const ។

4. ចលនានៅក្នុងវាលស៊ីមេទ្រីកណ្តាល។ ច្បាប់របស់ Kepler ។ វាលត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាលប្រសិនបើថាមពលសក្តានុពលនៃរាងកាយនៅក្នុងវាអាស្រ័យតែលើចម្ងាយ r ទៅចំណុចថេរជាក់លាក់មួយ។ កម្លាំង ច= - ∂U(r)/ ∂ r= - dU/dr r/ r ដើរតួលើភាគល្អិតតម្លៃដាច់ខាតក៏អាស្រ័យតែលើ r ហើយត្រូវបានដឹកនាំនៅចំណុចនីមួយៗតាមបណ្តោយវ៉ិចទ័រកាំ។ នៅពេលផ្លាស់ទីក្នុងវាលកណ្តាល គ្រានៃប្រព័ន្ធទាក់ទងទៅនឹងកណ្តាលនៃវាលត្រូវបានអភិរក្ស។ សម្រាប់ពេលភាគល្អិតមួយ។ ម = [r*រ] ដោយសារវ៉ិចទ័រ M និង r កាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក ភាពថេរនៃ M មានន័យថានៅពេលដែលភាគល្អិតផ្លាស់ទី វ៉ិចទ័រកាំរបស់វាតែងតែស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ - យន្តហោះកាត់កែងទៅ M. ដូច្នេះគន្លងនៃភាគល្អិតនៅក្នុងវាលកណ្តាលស្ថិតនៅទាំងស្រុង។ នៅក្នុងយន្តហោះមួយ។ ការណែនាំប៉ូលកូអរដោណេ r, φ នៅក្នុងវា យើងសរសេរអនុគមន៍ Lagrange ក្នុងទម្រង់ L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r) ។ មុខងារនេះមិនមានកូអរដោណេ φ ច្បាស់លាស់ទេ។ សម្រាប់​កូអរដោណេ​បែប​នេះ សន្ទុះ​ទូទៅ p i ដែល​ត្រូវ​នឹង​វា​គឺ​ជា​អាំងតេក្រាល​នៃ​ចលនា។ ក្នុងករណីនេះសន្ទុះទូទៅ p φ = mr 2 φ(∙) ស្របគ្នានឹងពេល M z = M ដូច្នេះ M = mr 2 φ(∙) (1) ។ ចំណាំថាសម្រាប់ចលនាយន្តហោះនៃភាគល្អិតមួយនៅក្នុងវាលកណ្តាល ច្បាប់នេះទទួលស្គាល់ការបកស្រាយធរណីមាត្រសាមញ្ញ។ កន្សោម 1/2 r r d φ គឺជាតំបន់នៃវិស័យដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រកាំជិតគ្មានកំណត់ពីរ និងធាតុធ្នូនៃគន្លង។ ដោយសម្គាល់វាជា df យើងសរសេរសន្ទុះនៃភាគល្អិតក្នុងទម្រង់ M = 2mf ដែលដេរីវេទី f ត្រូវបានគេហៅថាល្បឿនតាមវិស័យ។ ដូច្នេះការអភិរក្សនៃសន្ទុះមានន័យថាថេរនៃល្បឿនតាមវិស័យ - សម្រាប់រយៈពេលស្មើគ្នា វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចផ្លាស់ទីពិពណ៌នាអំពីតំបន់ស្មើគ្នា ( ច្បាប់ទីពីររបស់ Kepler) បញ្ចេញ φ(∙) តាមរយៈ M ពី (1) និងជំនួសកន្សោមសម្រាប់ថាមពល យើងទទួលបាន៖ E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r) ។ ដូច្នេះ r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 / m 2 r 2) ឬ បំបែកអថេរ និងរួមបញ្ចូលៈ t = ∫dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 / m 2 r 2) + const ។ បន្ថែមទៀត ការសរសេរ (1) ជា dφ = M 2 / mr 2 dt ជំនួស dt នៅទីនេះ និងរួមបញ្ចូល យើងរកឃើញ៖ φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r))) - M 2 / r 2) + const ។ ច្បាប់ទីមួយរបស់ Kepler ។ភពនីមួយៗវិលជុំវិញរាងពងក្រពើជាមួយព្រះអាទិត្យនៅចំនុចមួយនៃ foci របស់វា។ ច្បាប់ទីបីរបស់ Kepler ។ការេនៃរយៈពេល sidereal នៃភពត្រូវបានទាក់ទងជាគូបនៃអ័ក្សពាក់កណ្តាលសំខាន់នៃគន្លងរបស់ពួកគេ T 1 2 / T 2 2 = a 1 3 / a 2 3 ។

5. អនុគមន៍ Lagrange និងសមីការ Lagrange នៃប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈ។ អាំងតេក្រាលនៃចលនា។ ពិចារណាប្រព័ន្ធបិទជិតនៃចំណុចសម្ភារៈ។ មុខងារ Lagrange សម្រាប់វាមានទម្រង់ L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …) ដែល T = Σ (a) គឺជាថាមពលចលនទិច ហើយ U គឺជាថាមពលសក្តានុពលនៃអន្តរកម្មភាគល្អិត។ បន្ទាប់មកសមីការនៃចលនា d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a យកទម្រង់ m a dv a /dt = - ∂U/∂r a ។ សមីការនៃចលនាទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការញូតុន។ វ៉ិចទ័រ ច a = - ∂U/∂r a ត្រូវបានគេហៅថាកម្លាំង។ ប្រសិនបើមិនមែនជាកូអរដោណេ Cartesian នៃចំណុចត្រូវបានប្រើដើម្បីពណ៌នាអំពីចលនា ប៉ុន្តែកូអរដោណេទូទៅតាមអំពើចិត្ត q i បន្ទាប់មកដើម្បីទទួលបានមុខងារ Lagrangian ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តការបំប្លែងដែលត្រូវគ្នា៖ x a = f(q 1, q 2, .., q s) , x a (∙) = Σ(k) [∂f a /∂q k (∙)] ។ល។ ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅក្នុងអនុគមន៍ L= 1/2 Σ(a) – U យើងទទួលបានមុខងារ Lagrange ដែលចង់បាននៃទម្រង់ L = 1/2 Σ(i,k) – U(q) ។ អាំងតេក្រាលនៃចលនា។មានមុខងារបែបនេះនៃកូអរដោណេទូទៅដែលរក្សាតម្លៃថេរក្នុងអំឡុងពេលចលនា អាស្រ័យតែលើលក្ខខណ្ឌដំបូងប៉ុណ្ណោះ។ ពួកវាត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលនៃចលនា។ ដោយសារភាពដូចគ្នានៃពេលវេលា dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)] ។ ការជំនួស ∂L/∂q i យោងតាមសមីការ Lagrange ដោយ d/dt (∂L/∂q i (∙)) យើងទទួលបាន dL/dt = Σ(i) ឬ d/dt (Σ(i) - L) = 0 នេះបង្ហាញថាបរិមាណ E = Σ(i) – L ដែលហៅថាថាមពល មិនផ្លាស់ប្តូរទេ ពោលគឺឧ។ អាំងតេក្រាលចលនា។ ដោយសារតែភាពដូចគ្នានៃលំហជាមួយនឹងការផ្ទេរតូចមួយគ្មានកំណត់ ε នៅពេលដែលចំនុចទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយ ε = δr ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអនុគមន៍ Lagrange ស្មើនឹង δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ], គួរតែស្មើនឹងសូន្យ, i.e. Σ(a) [∂L/∂r a] = 0. ដោយប្រើសមីការ Lagrange យើងទទួលបាន Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. បន្ទាប់មកបរិមាណ រ= Σ(a)[ ∂L/∂v a ] ហៅថាសន្ទុះ នៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ពោលគឺឧ។ អាំងតេក្រាលចលនា។ ដោយសារតែ isotropy នៃលំហនៅការបង្វិលតូចគ្មានកំណត់តាមរយៈមុំδφ ការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ Lagrange ស្មើនឹង δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ r a + ∂L/∂v a δ v a] ត្រូវតែជាសូន្យ។ ធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ ∂L/∂ vក = ទំ a និង ∂L/∂ rក = ទំ a (∙) ដោយ​មើល​ពី​ការ​បំពាន​នៃ δφ យើង​ទទួល​បាន d/dt Σ(a) [ rក ទំ a ] = 0. តម្លៃ М = Σ(a) [ rក ទំ a] ហៅថា សន្ទុះមុំ នៅតែថេរ ឧ។ អាំងតេក្រាលចលនា។

6. ថាមវន្តនៃរាងកាយរឹងពិតប្រាកដ។ Tensor នៃនិចលភាព។ សមីការអយល័រ។ រាងកាយរឹងគឺជាប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈ, ចម្ងាយរវាងដែលនៅតែថេរ។ ចំពោះការពិពណ៌នាពេញលេញនៃចលនានៃរាងកាយរឹងមួយ បន្ថែមពីលើចលនានៃចំណុចមួយរបស់វា វាចាំបាច់ត្រូវដឹងពីចលនារបស់រាងកាយនៅជិតចំណុចនេះជាចំណុចជួសជុល។ អនុញ្ញាតឱ្យរាងកាយត្រូវបានជួសជុលនៅចំណុច O. យើងកំណត់វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុច m i ដោយគោរពតាម O rខ្ញុំ , វគឺជាល្បឿនមុំភ្លាមៗនៃរាងកាយ បន្ទាប់មកសន្ទុះមុំ អិល= Σ [ rខ្ញុំ * ខ្ញុំ v i ] = Σ = វΣ - Σ ។ សមភាពវ៉ិចទ័រនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាការព្យាករបីនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ L x = w x Σ - Σ ; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ − Σ ។ បានផ្តល់ឱ្យថា ( វ r i) = x i w x + y i w y + z i w z យើងទទួលបាន L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z, ដែល J xx = Σ, J xy = Σ, ផ្សេងទៀតគឺស្រដៀងគ្នា។ តម្លៃ J xx , J yy , J zz ត្រូវបានគេហៅថា axial moments នៃនិចលភាព ហើយ J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy ត្រូវបានគេហៅថា centrifugal moments នៃនិចលភាព។ សំណុំនៃតម្លៃ J ij ត្រូវបានគេហៅថា inertia tensor ។ ធាតុនៃ J ii ត្រូវបានគេហៅថាអង្កត់ទ្រូង។ ប្រសិនបើធាតុបិទអង្កត់ទ្រូងទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ នោះពួកគេនិយាយថាអ័ក្សនៃរាងកាយស្របគ្នានឹងអ័ក្សកូអរដោនេគឺជាអ័ក្សសំខាន់នៃនិចលភាព ហើយបរិមាណ J ii ត្រូវបានគេហៅថាជាគ្រាសំខាន់នៃនិចលភាព។ tensor បែបនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់អង្កត់ទ្រូង។

សមីការអយល័រ។ សមីការនៃចលនានៃកណ្តាលនៃម៉ាសនៃរាងកាយមានទម្រង់ m ឃ v 0 /dt = md/dt ( វ * r 0) = ចកន្លែងណា r 0 គឺជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាសនៃរាងកាយ ដែលទាញចេញពីចំណុចភ្ជាប់របស់វា។ វាងាយស្រួលក្នុងការដឹកនាំអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលជាប់ទាក់ទងនឹងរាងកាយតាមបណ្តោយអ័ក្សសំខាន់នៃនិចលភាព។ ក្នុងករណីនេះ សន្ទុះមុំទទួលបានទម្រង់សាមញ្ញ L 1 = J 1 w 1 , L 2 = J 2 w 2 , L 3 = J 3 w 3 និង w i គឺជាការព្យាករនៃល្បឿនមុំទៅលើអ័ក្សកូអរដោនេដែលផ្លាស់ទីជាមួយគ្នា។ ជាមួយនឹងរាងកាយ។ ដោយប្រើរូបមន្តទូទៅ ឃ ក/dt = ∂ ក/∂t + វ* កយើងអាចតំណាងឱ្យសមីការនៃគ្រាដូចខាងក្រោម៖ ∂ អិល/∂t + វ * អិល = ម. ដោយគិតគូរថា L x = J x w x , L y = J y w y , L z = J z w z យើងសរសេរសមីការនេះឡើងវិញនៅក្នុងការព្យាករលើអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេផ្លាស់ទី៖ J x dw x / dt + (J z - J y )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z ។ សមីការទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការអយល័រ។

7. ចលនាទាក់ទងទៅនឹងស៊ុមមិននិចលភាពនៃសេចក្តីយោង។ NISO គឺជាប្រព័ន្ធមួយនៅក្នុងនោះ។ រាងកាយផ្លាស់ទីជាមួយនឹងការបង្កើនល្បឿនទាក់ទងទៅនឹងការសម្រាក។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល។ នៅទីនេះ គំនិតនៃភាពដូចគ្នា និង isotropy នៃលំហ និងពេលវេលា មិនត្រូវបានបំពេញទេ ពីព្រោះ រយៈពេលនិងប្រវែងនៅក្នុង NISO ខុសគ្នា។ លើសពីនេះទៀតខ្លឹមសារនៃច្បាប់ទី 3 ញូតុននិងច្បាប់អភិរក្សត្រូវបានបាត់បង់។ ហេតុផលសម្រាប់អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺកម្លាំងនិចលភាពដែលទាក់ទងតែជាមួយប្រព័ន្ធកូអរដោនេគឺឆ្មា។ ប៉ះពាល់ដល់ចលនានៃរាងកាយ។ បន្ទាប់មក។ ការបង្កើនល្បឿនអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយកម្លាំងខាងក្រៅឬដោយនិចលភាព។ F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO) ដែល Fi ជាកម្លាំងនៃនិចលភាព a គឺជាការបង្កើនល្បឿន។ សាកសពនៅក្នុង IFR, a'-accel ។ រាងកាយដូចគ្នានៅក្នុង NISO ។ នៅក្នុង NISO ច្បាប់របស់ញូតុនទី 1 មិនត្រូវបានបំពេញទេ! Fi=-m(a′-a) ឧ. កម្លាំង inertial មិនគោរពតាម Z-well ទី 3 របស់ញូតុនទេ ពីព្រោះ ពួកគេមានអាយុខ្លី។ ក្នុងអំឡុងពេលនៃការផ្លាស់ប្តូរពី ISO ទៅ NISO កម្លាំងនិចលភាពបាត់។ និចលភាព កម្លាំងតែងតែតម្រង់ទៅលើត្របកភ្នែក។ កម្លាំងខាងក្រៅ។ កម្លាំងនៃនិចលភាពអាចត្រូវបានបន្ថែមជាវ៉ិចទ័រ។ នៅក្នុង ISO: v=const, v<

dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x ។ គោលគំនិតនៃល្បឿនដាច់ខាត ទំនាក់ទំនង និងការបកប្រែត្រូវបានណែនាំនៅក្នុង NISO: u 0 - absolute speed, a 0 - relative acceleration ។ ងងុយដេក ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល។

u x 0 \u003d v + u x 0 '; a x 0 \u003d a ' + a x; u x ' a x - ល្បឿនទាក់ទង និងការបង្កើនល្បឿន។ ចលនា ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល។ (សាច់ញាតិ); v, a'-ល្បឿន។ និងបង្កើនល្បឿន។ k' សំដៅ។ k, i.e. ល្បឿន​ចល័ត​និង​ការ​បង្កើន​ល្បឿន​

8. គោលការណ៍បំរែបំរួលរបស់ Hamilton ។ (គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុត) ។

មាន -function នៃកូអរដោណេទូទៅ ល្បឿន ពេលវេលា។ ពិចារណាទំហំវិមាត្រ 2S បន្ទាប់មកទីតាំងនៃប្រព័ន្ធ S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t) dt, L គឺជាមុខងារ Lagrange; សកម្មភាពរបស់អេស។ មុខងារនៃសកម្មភាពត្រូវបានគេហៅថា itnegral S=∫ Ldt=0 ជាមួយនឹងឆ្មា។ យកតាមគន្លងពិតនៃចលនា ប្រព័ន្ធនឹងមានតម្លៃអប្បបរមាពោលគឺឧ។ S=Smin, δS=0។ ទាំងនោះ។ ប្រព័ន្ធពី 1 ទៅ 2 ផ្លាស់ទីតាមគន្លងបែបនេះដែលសកម្មភាពរបស់វាគឺតិចតួច - គោលការណ៍របស់ Hamilton នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុត។ L = T – U គឺជាភាពខុសគ្នារវាងថាមពល kinetic និងសក្តានុពលនៃប្រព័ន្ធ។ យោងតាមលោក Hamilton គន្លងពិតប្រាកដត្រូវគ្នាទៅនឹងសកម្មភាពអប្បបរមា។ ចូរយើងស្វែងរកគន្លងមួយ។ គន្លងពិតប្រាកដគឺជាគន្លងអប្បបរមា។ ស - មុខងារ។ ចូរយើងស្វែងរកអប្បបរមារបស់វា។ δS = 0 បំរែបំរួលដំបូង។ δS = ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i δg i] + Σ[∂L/∂g i ( ) δg i ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( )δg i (t 1 ,t 2) - ∫(t 1 ,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt;

;

δg ខ្ញុំមិនពឹងផ្អែកលើគ្នាទៅវិញទៅមកទេ។
=0
នៅលើគន្លងជាក់ស្តែង សមីការខាងក្រោមត្រូវតែពេញចិត្ត៖
- សមីការ Lagrange (សម្រាប់ i= 1,…S) ។

9. លំយោលនៃប្រព័ន្ធដែលមានកម្រិតមួយ និងច្រើននៃសេរីភាព។ រំញ័រដោយសេរី និងបង្ខំ . ករណីសាមញ្ញបំផុតគឺនៅពេលដែលប្រព័ន្ធមានសេរីភាពមួយកម្រិត។ លំនឹងដែលមានស្ថេរភាពត្រូវគ្នាទៅនឹងទីតាំងនៃប្រព័ន្ធបែបនេះនៅក្នុងឆ្មា។ សក្តានុពលរបស់នាង។ ន. U(q) មានអប្បបរមា។ គម្លាតពីទីតាំងនេះនាំទៅដល់ការកើតនៃកម្លាំង - dU/dq ដែលមានទំនោរនាំប្រព័ន្ធត្រឡប់មកវិញ។ q 0 - កូអរដោណេទូទៅ។ យើងពង្រីក U(q) - U(q0) នៅក្នុងអំណាច ហើយទទួលបាន U(q) - U(q0) ≈ k / 2 (q - q 0) 2 ដែល k \u003d U'' (q 0) គឺជាមេគុណវិជ្ជមាន . U(q 0) \u003d 0 យើងសម្គាល់ x \u003d q - q 0 - គម្លាតនៃកូអរដោនេពីតម្លៃលំនឹង បន្ទាប់មក U (x) \u003d kx 2 / 2 គឺជាថាមពលសក្តានុពល។ 1/2a(q) q' 2 = 1/2a(q)x' 2 -kinetic energy at q = q0 និង a(q0) = m យើងទទួលបានមុខងារ Lagrange សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលអនុវត្តលំយោលមួយវិមាត្រ៖ L = mx 2 (∙) /2 – kx 2/2 ។ សមីការនៃចលនាដែលត្រូវគ្នានឹងមុខងារនេះនឹងមានៈ mx(∙∙) + kx = 0 ឬ x(∙∙) + w 2 x = 0 ដែល w = √(k/m) គឺជាប្រេកង់លំយោលរង្វិល។ ដំណោះស្រាយចំពោះ ur-th ទាំងនេះគឺ x \u003d a cos (wt + α) ដែល a គឺជាទំហំនៃលំយោល wt + α គឺជាដំណាក់កាលនៃលំយោល។ បន្ទាប់មក។ ថាមពលនៃប្រព័ន្ធលំយោលនឹងមាន E = mx 2 (∙)/2 + kx 2/2 ។ រំញ័រដោយបង្ខំ។ក្នុងករណីនេះ រួមជាមួយនឹងថាមពលសក្តានុពលផ្ទាល់របស់វា ½ kx 2 ប្រព័ន្ធក៏មានថាមពលសក្តានុពល U e (x, m) ដែលទាក់ទងនឹងសកម្មភាពនៃវាលខាងក្រៅ។ ដូច្នោះហើយ មុខងារ Lagrange នៃប្រព័ន្ធបែបនេះនឹងមានៈ L = mx 2 (∙)/2 + kx 2/2 + x F(t) ដែល F(t) ជាកម្លាំងខាងក្រៅ។

សមីការចលនាដែលត្រូវគ្នានឹង mx(∙∙) + kx = F(t) ឬ x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m ។ ប្រសិនបើ F(t) គឺជាមុខងារតាមកាលកំណត់ដ៏សាមញ្ញនៃពេលវេលាជាមួយនឹងប្រេកង់មួយចំនួន γ: F(t) = f cos(γt + β) នោះដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនៃចលនានឹងមានៈ X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a និង α ត្រូវបានកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌដំបូង។ នោះ។ នៅក្រោមសកម្មភាពនៃកម្លាំងជំរុញប្រព័ន្ធធ្វើឱ្យចលនាតំណាងឱ្យការរួមបញ្ចូលគ្នានៃលំយោលពីរ - ជាមួយនឹងប្រេកង់ធម្មជាតិនៃប្រព័ន្ធ w និងជាមួយនឹងប្រេកង់នៃកម្លាំងជំរុញ - γ។ លំយោលនៃប្រព័ន្ធដែលមានកម្រិតជាច្រើននៃសេរីភាព . ផើង។ ន. ប្រព័ន្ធ U(q i) មានអប្បបរមានៅ q i = q i 0 ។ ការណែនាំការផ្លាស់ទីលំនៅតូចៗ x i = q i - q i 0 និងការពង្រីក U នៅក្នុងពួកវាជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់ទី 2 យើងទទួលបានសក្តានុពល។ ថាមពល៖ U = 1/2 Σ(i,k), k ik = k ki ។ គីណេត។ ន. សម្រាប់ប្រព័ន្ធបែបនេះនឹងមាន 1/2 Σ(i,k) ដែល m ik =m ki ។ សមីការ Lagrange សម្រាប់ប្រព័ន្ធបែបនេះនឹងមានៈ L = 1/2 Σ(i,k) ។ បន្ទាប់មក dL = Σ(i,k) ។ យើងកំពុងស្វែងរក x k (t) ក្នុងទម្រង់ x k \u003d A k exp (-iwt), A k គឺជាថេរ។ ការជំនួសវាទៅក្នុងសមីការ Lagrange យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ។ Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - សមីការលក្ខណៈ វាមានឫសផ្សេងគ្នា w 2 α (α=1,2,….,s) w α - ប្រេកង់ធម្មជាតិនៃ ប្រព័ន្ធ។ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃប្រព័ន្ធមានទម្រង់៖ x k = ∆ kα C α exp(-iw α t) ។ ដំណោះស្រាយទូទៅគឺជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយពិសេសទាំងអស់៖ x k = Σ(α) [∆ kα Q α] ដែល Q = Re (C α exp(-iw α t)) ។

10. សមីការ Canonical នៃ Hamilton ។ គុណសម្បត្តិមួយចំនួនក្នុងការសិក្សាអំពីសំណួរនៃមេកានិចគឺការពិពណ៌នាដោយជំនួយពីកូអរដោណេទូទៅ និងសន្ទុះ ការផ្លាស់ប្តូរពីសំណុំនៃអថេរឯករាជ្យមួយទៅមួយទៀតអាចធ្វើឡើងដោយការបំប្លែង Legendre ។ ក្នុង​ករណី​នេះ​វា​មក​ដល់​ដូច​ខាង​ក្រោម។ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍ Lagrange ជាមុខងារនៃកូអរដោណេ និងល្បឿនគឺ៖ dL = Σ(i) [∂L/∂q i] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)] ។ កន្សោមនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា dL = Σ(i) + Σ(i) ។ ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញក្នុងទម្រង់៖ d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) ។ តម្លៃនៅក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាថាមពលនៃប្រព័ន្ធដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោណេនិងម៉ូម៉ង់ហើយវាត្រូវបានគេហៅថាមុខងារ Hamiltonian: H (p, q, t) = Σ (i) - L. ពី dif ។ សមភាព dH = - Σ(i) + Σ(i) ធ្វើតាមសមីការ៖ q i (∙) = ∂H/∂p i, p i (∙) = - ∂H/∂q i គឺជាសមីការ Hamiltonian ។ នៅក្នុងទិដ្ឋភាពនៃភាពសាមញ្ញនិងភាពស៊ីមេទ្រីរបស់ពួកគេត្រូវបានគេហៅផងដែរ។ Canonical ។ តង្កៀប Poisson ។ដេរីវេនៃពេលវេលានៃអនុគមន៍ F នៃកូអរដោណេទូទៅ គ្រា និងពេលវេលាគឺ dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/∂ p i dpi / dt] ។ ដោយប្រើសមីការរបស់ Hamilton យើងអាចសរសេរសមីការនេះឡើងវិញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖ dF/dt = ∂F/∂t + , where = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ p i ] - ហៅ។ តង្កៀប Poisson ។ ជាក់ស្តែងសមីការរបស់ Hamilton អាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើតង្កៀប Poisson ។

11. សមីការ Hamilton-Jacobi . តាមគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត យើងមាន S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt ។ ពិចារណាសកម្មភាព (S) ជាបរិមាណដែលកំណត់លក្ខណៈចលនាតាមគន្លងពិត។ ដោយផ្អែកលើសមីការ Lagrange សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរសកម្មភាពនៅពេលផ្លាស់ទីពីគន្លងមួយទៅគន្លងមួយទៀតនៅជិតវា (ជាមួយនឹងកម្រិតមួយនៃសេរីភាព) យើងទទួលបាន: δS = pδq ឬសម្រាប់ចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាពណាមួយ: δS = Σ(i) ។ វាធ្វើតាមដែលដេរីវេនៃផ្នែកនៃសកម្មភាពទាក់ទងនឹងកូអរដោណេគឺស្មើនឹង momenta ដែលត្រូវគ្នា៖ ∂S/∂q i = p i (1) ។ តាមនិយមន័យ dS/dt = L ផ្ទុយទៅវិញ ដោយចាត់ទុក S ជាមុខងារនៃកូអរដោនេ និងពេលវេលា ហើយប្រើរូបមន្ត (1) យើងមាន៖ dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S /∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) ។ ប្រៀបធៀបកន្សោមទាំងពីរ យើងទទួលបាន ∂S/∂t = L - Σ(i) ឬ ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2)។ រូបមន្ត (1), (2) អាចត្រូវបានសរសេររួមគ្នាជា dS = Σ(i) – Hdt ។ ហើយសកម្មភាព (S) ខ្លួនវានឹងជា S = ∫ (Σ(i) – Hdt) ។ សម្រាប់ H ឯករាជ្យនៃ t, S(q,t) = S 0 (q) - Et ដែល S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i] គឺជាសកម្មភាពខ្លី ហើយ Еt ត្រូវបានជំនួសដោយ H(p , q) ។ មុខងារ S(q,t) បំពេញនូវភាពខុសគ្នាជាក់លាក់មួយ។ សមីការដែលយើងទទួលបានដោយការជំនួស Impulses Р នៅក្នុងទំនាក់ទំនង (2) ជាមួយនិស្សន្ទវត្ថុ ∂S/∂q: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,… ,q s ,t) = 0 គឺជាសមីការនៅក្នុងដេរីវេមួយផ្នែកនៃលំដាប់ទី 1 ហៅថា។ សមីការ Hamilton-Jacobi ។ ដូច្នេះ សម្រាប់ភាគល្អិតមួយនៅក្នុងវាលខាងក្រៅ U(x,y,z,t) វាមានទម្រង់៖ ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂ y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0។

12. ការខូចទ្រង់ទ្រាយ និងភាពតានតឹងនៅក្នុងអង្គធាតុរឹង។ ម៉ូឌុលរបស់ Young, កាត់។ សមាមាត្រ Poisson . ការខូចទ្រង់ទ្រាយគឺជាការផ្លាស់ប្តូររូបរាង និងបរិមាណនៃរាងកាយក្រោមឥទ្ធិពលនៃកម្លាំងខាងក្រៅ។ នៅក្រោមសកម្មភាពនៃកម្លាំងខាងក្រៅរូបរាងរបស់រាងកាយផ្លាស់ប្តូរ។ ការខូចទ្រង់ទ្រាយទាំងអស់នៅក្នុងធម្មជាតិអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយមកត្រឹម 3 មការខូចទ្រង់ទ្រាយសំខាន់ៗ៖ 1) ភាពតានតឹងការបង្ហាប់; 2) កាត់; 3) ការរមួល។ បែងចែករវាងការខូចទ្រង់ទ្រាយដូចគ្នា និង inhomogeneous ។ ប្រសិនបើផ្នែកទាំងអស់ត្រូវបានខូចទ្រង់ទ្រាយតាមរបៀបដូចគ្នានោះនេះគឺជា ខូចទ្រង់ទ្រាយស្មើគ្នា។ប្រសិនបើផ្នែកទាំងអស់នៃរាងកាយខូចទ្រង់ទ្រាយខុសគ្នា នោះចំណុចនេះ។ ខូចទ្រង់ទ្រាយ inhomogeneously ។ច្បាប់របស់ Hooke ពេញចិត្តនៅក្នុងតំបន់នៃការខូចទ្រង់ទ្រាយតែមួយគត់។  = អ៊ី  ។ F/S = E ∆l/l 0 ; F control = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/l 0 ; ការគ្រប់គ្រង F \u003d ESx / l 0 ។ ច្បាប់របស់ Hooke កំណត់ទំនាក់ទំនងរវាង  និង  ។ k គឺជាមេគុណនៃការបត់បែន វាអាស្រ័យលើវិមាត្រធរណីមាត្រ សម្ភារៈដែលរាងកាយត្រូវបានផលិត។ E គឺជាម៉ូឌុលរបស់ Young ។ ម៉ូឌុលរបស់ Young គឺស្មើនឹងកម្លាំងដែលត្រូវតែអនុវត្តទៅលើតួនៃផ្នែកឆ្លងកាត់ឯកតា ដើម្បីឱ្យរាងកាយរបស់វាកើនឡើង 2 ដង។ ប្រភេទមួយទៀតនៃការខូចទ្រង់ទ្រាយគឺការខូចទ្រង់ទ្រាយកាត់ វាត្រូវបានគេសង្កេតឃើញនៅពេលដែលផ្ទៃត្រូវបានអនុវត្ត tangentially; វាស្របទៅនឹងផ្ទៃខូចទ្រង់ទ្រាយនៃផ្នែកកាត់ ដែលត្រូវបានអង្កេតនៅក្រោមសកម្មភាពនៃកម្លាំងតង់សង់ ពោលគឺ កម្លាំងត្រូវបានអនុវត្តតាមតង់សង់។ Ψ ~ F t / S (មុំផ្លាស់ប្តូរ) ។ Ψ = nF t / S; n គឺជាកត្តាផ្លាស់ប្តូរ។ F t = nS ។ (E> N, E ~ 4N) ។

ទំនាក់ទំនងបរិមាណរវាង E និង N ត្រូវបានផ្តល់តាមរយៈសមាមាត្ររបស់ Poisson ។ N = E/(2(1+μ)) ដែល  គឺជាសមាមាត្ររបស់ Poisson ។ μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 | សមាមាត្ររបស់ Poisson កំណត់ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងវិមាត្រឆ្លងកាត់ក្នុងអំឡុងពេលភាពតានតឹងឬការបង្ហាប់។  0.5 ។

13. មេកានិចនៃរាវនិងឧស្ម័ន។ សម្រាប់វត្ថុរាវ និងឧស្ម័នទាំងអស់ ប៉ារ៉ាម៉ែត្របង្រួបបង្រួមគឺ: ដង់ស៊ីតេρ, សម្ពាធ P = F n / S ។ នៅក្នុងអង្គធាតុរាវ និងឧស្ម័ន ម៉ូឌុលរបស់ Young កើតឡើង ប៉ុន្តែម៉ូឌុលកាត់ |σ|=|P|, σ - ភាពតានតឹងមិនកើតឡើងទេ។ ប្រសិនបើអង្គធាតុរាវ (ឧស្ម័ន) មិនមានចលនា នោះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយអ៊ីដ្រូស្តាទិច (Aerostatics)។ ច្បាប់លក្ខណៈ៖ ច្បាប់របស់ប៉ាស្កាល់៖ សម្ពាធលើសដែលបង្កើតក្នុងឧស្ម័ន និងវត្ថុរាវត្រូវបានបញ្ជូនស្មើៗគ្នានៅគ្រប់ទិសទី។ Zn Archimedes មានសុពលភាពសម្រាប់ទាំងវត្ថុរាវ និងឧស្ម័ន។ កម្លាំង Archimedes តែងតែធ្វើសកម្មភាពប្រឆាំងនឹងកម្លាំងទំនាញ។ ហេតុផលសម្រាប់ការលេចឡើងនៃកម្លាំង Archimedes គឺវត្តមាននៃតួនៃបរិមាណ V. Zn Archimedes: រាងកាយនៅក្នុងអង្គធាតុរាវឬឧស្ម័នតែងតែត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយកម្លាំងស្មើនឹងទម្ងន់នៃអង្គធាតុរាវឬឧស្ម័នដែលផ្លាស់ទីលំនៅដោយផ្នែកជ្រមុជនៃ រាងកាយនិងដឹកនាំបញ្ឈរឡើងលើ។ ប្រសិនបើ F A > F HEAVY នោះរាងកាយអណ្តែត បើផ្ទុយមកវិញ វានឹងលិច។ ប្រសិនបើអង្គធាតុរាវ (ឧស្ម័ន) កំពុងហូរ នោះសមីការបន្តនៃយន្តហោះត្រូវបានបន្ថែមទៅសមីការទាំងនេះ។ គន្លងនៃចលនានៃភាគល្អិតនៅក្នុងអង្គធាតុរាវត្រូវបានគេហៅថា។ បន្ទាត់បច្ចុប្បន្ន។ ផ្នែកនៃលំហដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់បច្ចុប្បន្នត្រូវបានគេហៅថា។ បំពង់បច្ចុប្បន្ន។ អង្គធាតុរាវនៅក្នុងបំពង់ស្ទ្រីមអាចហូរដោយស្ថានី ឬមិនស្ថិតស្ថេរ។ ចរន្តត្រូវបានគេហៅថា ស្ថានីយ៍ ប្រសិនបើតាមរយៈផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃបំពង់បច្ចុប្បន្នក្នុងមួយឯកតា។ ពេលវេលាឆ្លងកាត់បរិមាណដូចគ្នានៃរាវ (ឧស្ម័ន) បើមិនដូច្នេះទេលំហូរមិនឋិតិវន្ត។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានបំពង់បច្ចុប្បន្ននៃទម្រង់ដូចខាងក្រោម: ប្រសិនបើលំហូរសារធាតុរាវឋិតិវន្ត។ បន្ទាប់មក m 1 = m 2 =…=m n ក្នុងមួយឯកតាពេលវេលា ប្រសិនបើអង្គធាតុរាវមិនអាចបង្រួមបាននោះ ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n , ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; \u003d ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 \u003d ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n ចាប់តាំងពីអង្គធាតុរាវមិនអាចបង្រួមបាន ρ គឺថេរ υ 1 S 1 = υ 2 S 2 =… = υ n S n , υS = const; υ=const/S គឺជាសមីការបន្តនៃយន្តហោះ។ ទំ ឃ v/dt = ρ g- ថ្នាក់ P - eq ។ អយល័រ - លំដាប់ទី ២ ។ ញូតុនសម្រាប់រាវនិងឧស្ម័ន។ ច្បាប់ត្រូវបានរក្សា។ ថាមពលនៅក្នុងអង្គធាតុរាវ និងឧស្ម័ន។ Lv. ប៊ែរណូលី។ លេខសម្គាល់ ណាស។ អង្គធាតុរាវដែលមិនអាចបង្រួមបានដែលកម្លាំងកកិត viscous អាចត្រូវបានធ្វេសប្រហែស។ ថាមពល Kinetic មិនត្រូវបានចំណាយលើការងារប្រឆាំងនឹងកម្លាំងកកិតទេ។ Ρυ 2/2+ρgh + P = const – eq ។ Bernoulli, ρυ 2/2 - សម្ពាធថាមវន្ត, ρgh - អ៊ីដ្រូស្តាត។ សម្ពាធ, P - សម្ពាធម៉ូលេគុល។ Mυ 2/2 \u003d E K; mυ 2/2V= E K/V= ρυ 2/2 ។ កម្លាំងកកិត viscous F A = ​​- ηΔυΔS/ΔZ  6 π r η υ – កម្លាំង Stokes ។ Η - មេគុណ។ viscosity, Δυ/ΔZ – grad υ, r – វិមាត្ររាងកាយ។ នេះគឺជារូបមន្តរបស់ញូតុនសម្រាប់កម្លាំងកកិត viscous ។ ប្រសិនបើមានកម្លាំងកកិតនៅក្នុងអង្គធាតុរាវនោះ លេខសម្គាល់។ អង្គធាតុរាវក្លាយជា viscous ។ ρ v 1 2 / 2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 / 2 + ρgh 2 + P 2 ; (P 1 - P 2) \u003d ρ (υ 2 2 - υ 1 2) / 2 ។ ប្រសិនបើ ΔP = 0 នោះ υ 2 2 - υ 1 2 = 0 ហើយវានឹងមិនមានលំហូរសារធាតុរាវទេ។ កន្លែងដែល P ធំជាង ទីនោះមានល្បឿនលឿន។ ចរន្តតិច។ ប្រសិនបើផ្នែកឆ្លងកាត់ S កើនឡើង នោះ P កើនឡើង ហើយ υ ថយចុះ។ ប្រសិនបើបំពង់បច្ចុប្បន្នមិនផ្ដេកទេ υ 2 2 -υ 1 2 \u003d 2g (h 1 -h 2); υ \u003d sqrt (2g (h 1 -h 2)) - រូបមន្តរបស់ Torricelli ។

1. គោលការណ៍របស់ Hamilton-Ostrogradsky

ឥឡូវនេះវាបានក្លាយទៅជាគោលការណ៍គ្រឹះមួយនៃមេកានិច។ សម្រាប់ប្រព័ន្ធមេកានិច holonomic វាអាចត្រូវបានទទួលដោយផ្ទាល់ជាផលវិបាកនៃគោលការណ៍ d'Alembert-Lagrange ។ នៅក្នុងវេន, លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃចលនានៃប្រព័ន្ធមេកានិច holonomic អាចទទួលបានពីគោលការណ៍ Hamilton-Ostrogradsky ។

ចូរយើងពិចារណាអំពីចលនានៃប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈដែលទាក់ទងទៅនឹងស៊ុមយោងអនិតិកម្មមួយចំនួននៅក្រោមសកម្មភាពនៃកម្លាំងសកម្ម។ អនុញ្ញាតឱ្យការផ្លាស់ទីលំនៅដែលអាចកើតមាននៃចំណុចនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានរារាំងដោយឧបសគ្គហូឡូណូមដ៏ល្អឥតខ្ចោះ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់កូអរដោនេ Cartesian នៃចំណុចនិងកូអរដោនេ Lagrangian ឯករាជ្យដែលជាទំនាក់ទំនងរវាងកូអរដោនេ Cartesian និង Lagrangian ត្រូវបានផ្តល់ដោយទំនាក់ទំនង។

នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ យើងនឹងសន្មត់ថា កូអរដោនេត្រូវបានតំណាងដោយអនុគមន៍តម្លៃតែមួយ បន្ត និងខុសគ្នាតាមអំពើចិត្តនៃអថេរ។ លើសពីនេះ យើងនឹងសន្មត់ថា ពីទីតាំងនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រអាចផ្លាស់ប្តូរទាំងក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ . យើង​នឹង​ពិចារណា​អំពី​ចលនា​របស់​ប្រព័ន្ធ​ដែល​ចាប់​ផ្តើម​ពី​ពេល​វេលា​ជាក់លាក់​មួយ​រហូត​ដល់​ពេល​ដែល​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​ទីតាំង​ដំបូង​របស់​ប្រព័ន្ធ​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​តម្លៃ។

កូអរដោនេ Lagrangian និងទីតាំងនៃប្រព័ន្ធនៅពេលនេះ - តម្លៃអនុញ្ញាតឱ្យយើងណែនាំទៅក្នុងពិចារណា - វិមាត្រពង្រីកចន្លោះនៃកូអរដោនេនិងពេលវេលាដែលចំណុចមួយត្រូវគ្នាទៅនឹងទីតាំងជាក់លាក់នីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ។ នៅក្នុងចន្លោះវិមាត្រពង្រីកបែបនេះ ចលនានៃប្រព័ន្ធត្រូវបានតំណាងដោយខ្សែកោងជាក់លាក់មួយ ដែលនឹងត្រូវបានគេហៅថាគន្លងនៃប្រព័ន្ធនៅក្នុងអ្វីដែលដូចខាងក្រោម។ ចំណុចពីរនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងទីតាំងដំបូង និងចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធនៅទីនេះ។ នៅក្នុងចលនាជាក់ស្តែងនៃប្រព័ន្ធពីទីតាំងមួយទៅទីតាំងមួយ កូអរដោនេ Lagrangian ផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់ដោយកំណត់ខ្សែកោងនៅក្នុង -dimensional space ដែលយើងនឹងហៅថាគន្លងពិតនៃប្រព័ន្ធ។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីធ្វើឱ្យប្រព័ន្ធផ្លាស់ទីស្របតាមឧបសគ្គដែលដាក់លើប្រព័ន្ធពីទីតាំងមួយទៅទីតាំងមួយក្នុងចន្លោះពេលដូចគ្នា ប៉ុន្តែនៅតាមបណ្តោយគន្លងខុសគ្នា ជិតនឹងការពិត ដោយមិនបារម្ភអំពីការបំពេញសមីការនៃចលនា។ យើងហៅគន្លងបែបនេះក្នុងលំហវិមាត្រថាជាគន្លងរង្វង់មូល។ ការប្រៀបធៀបចលនាតាមគន្លងជាក់ស្តែង និងផ្លូវវាង អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ខ្លួនយើងនូវគោលដៅនៃការកំណត់គន្លងពិតប្រាកដក្នុងចំណោមផ្លូវវាង។ សូមឱ្យទីតាំងនៃប្រព័ន្ធនៅពេលមួយនៅលើគន្លងពិតប្រាកដត្រូវបានសម្គាល់ដោយចំណុច P និងទីតាំងនៃប្រព័ន្ធក្នុងពេលតែមួយនៅលើគន្លងរង្វង់មូល - ដោយចំណុច P (រូបភាព 252) ។

ផ្នែកដែលភ្ជាប់ចំណុចពីរនៅលើគន្លងផ្សេងៗគ្នាក្នុងពេលតែមួយនឹងតំណាងឱ្យចលនាដែលអាចកើតមាននៃប្រព័ន្ធនៅពេលនេះ។ វាត្រូវគ្នាទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងកូអរដោនេ Lagrangian នៅពេលផ្លាស់ទីពីទីតាំង P ទៅទីតាំង P ដោយបរិមាណដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ចលនានៃប្រព័ន្ធនឹងឆ្លើយតបទៅនឹងការប្រែប្រួលនៃកូអរដោនេ Cartesian ដែលអាចត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការប្រែប្រួលនៃកូអរដោនេ Lagrange ក្នុងទម្រង់សមភាព។

ពិចារណាលើគ្រួសារប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយតាមអំពើចិត្តនៃ "គន្លង"

ដែលនីមួយៗភ្ជាប់ចំណុចដែលឆ្លងកាត់ពួកវាតាមដងរៀងៗខ្លួន ហើយអនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវគ្នាទៅនឹងគន្លងពិតប្រាកដ (ផ្លូវផ្ទាល់) ដែលប្រព័ន្ធឆ្លងកាត់តាមពេលវេលាពីទីតាំងមួយទៅទីតាំងមួយ ពោលគឺគន្លងផ្សេងទៀតទាំងអស់ដែលភ្ជាប់ចំណុចនៅក្នុង ពេលវេលា។ ចលនានៃប្រព័ន្ធតាមគន្លងណាមួយនឹងឆ្លើយតបទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងកូអរដោណេ Lagrangian ដោយសារតែការផ្លាស់ប្តូរពេលវេលានៅពេលដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a នៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a នឹងផ្លាស់ប្តូរតែនៅពេលផ្លាស់ទីពីគន្លងមួយទៅគន្លងមួយទៀត។ ការបំរែបំរួលនៃកូអរដោណេឥឡូវនេះនឹងត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖

និងដេរីវេនៃពេលវេលានៃកូអរដោណេនឹងមានទម្រង់

អនុញ្ញាតឱ្យកូអរដោណេ Lagrangian មានតម្លៃតែមួយមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបានជាបន្តបន្ទាប់នៃ . បន្ទាប់មក

ទំនាក់ទំនងដែលទទួលបាននៅក្នុងមេកានិចត្រូវបានគេហៅថា "អាចផ្លាស់ប្តូរបាន" ។ ប្រតិបត្តិការភាពខុសគ្នាគឺអាចផ្លាស់ប្តូរបានលុះត្រាតែកូអរដោនេទាំងអស់គឺឯករាជ្យ និងមិនត្រូវបានភ្ជាប់ដោយទំនាក់ទំនងដែលមិនអាចរួមបញ្ចូលបាន។

ចូរយើងបង្ហាញថា ភាពអាចផ្លាស់ប្តូរបាននៃប្រតិបត្តិការនៃបំរែបំរួល និងភាពខុសគ្នាក៏មានសុពលភាពសម្រាប់កូអរដោនេ Cartesian ផងដែរ។ អនុញ្ញាតឱ្យ

ពិចារណាពីដេរីវេនៃពេលវេលា

ម្យ៉ាង​វិញទៀត,

ដកសមភាពទីពីរពីទីមួយ យើងទទួលបាន

ពីណាមក

i.e. ប្រតិបត្តិការនៃភាពខុសគ្នា និងបំរែបំរួលគឺអាចអនុញ្ញាតិបានសម្រាប់កូអរដោនេ Cartesian ផងដែរ ប្រសិនបើមានតែឧបសគ្គដ៏ល្អឥតខ្ចោះប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានដាក់លើប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈ។

ចូរយើងបន្តទៅនិយមន័យនៃគន្លងពិតប្រាកដក្នុងចំណោមផ្លូវវាងទាំងអស់។ ចលនាពិតប្រាកដនៃប្រព័ន្ធកើតឡើងស្របតាមគោលការណ៍ d'Alembert-Lagrange

ដែលកំណត់ "និន្នាការ" នៃចលនាពិត (ចលនាពិត) នៅគ្រប់ពេលវេលា។ ពិចារណាលើអាំងតេក្រាល។

យកតាមគន្លងជាក់ស្តែងនៃប្រព័ន្ធ។ រាល់គន្លងប្រៀបធៀបនៃប្រព័ន្ធចាប់ផ្តើមនៅពេលតែមួយ និងពីចំណុចដូចគ្នានៅក្នុង -dimensional space។ ពួកគេទាំងអស់បញ្ចប់នៅចំណុចដូចគ្នាក្នុងពេលតែមួយក្នុងពេលវេលា។ ដូច្នេះនៅចុងបញ្ចប់នៃគន្លងនៅ , លក្ខខណ្ឌ

យើងបំប្លែងសមីការលទ្ធផលដោយការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកនៃកន្សោម

ហើយចាប់តាំងពីការបំរែបំរួលបាត់នៅចុងបញ្ចប់នៃគន្លង យើងមាន

ដោយសារតែភាពប្រែប្រួលនៃប្រតិបត្តិការនៃភាពខុសគ្នានិងការប្រែប្រួលយើងមាន

បន្ទាប់ពីនោះសមីការយកទម្រង់

នៅក្នុងទម្រង់នេះ សមីការលទ្ធផលបង្ហាញពី "គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត" របស់ Hamilton សម្រាប់ប្រព័ន្ធមេកានិចទូទៅ។ នៅលើគន្លងពិតប្រាកដនៃប្រព័ន្ធ អាំងតេក្រាលនៃមុខងារបាត់

ប្រសិនបើកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើប្រព័ន្ធមានមុខងារកម្លាំង នោះទំនាក់ទំនងខាងក្រោមមាន៖

ហើយសមីការខាងលើយកទម្រង់

ដោយសារបំរែបំរួលមិនត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរពេលវេលា ប្រតិបត្តិការនៃការប្រែប្រួល និងការរួមបញ្ចូលអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ៖

i.e. អាំងតេក្រាលនៅលើគន្លងពិតប្រាកដមានតម្លៃថេរ។

យើងបានបង្ហាញពីតម្រូវការសម្រាប់តម្លៃស្ថានីនៃអាំងតេក្រាលនៅលើគន្លងពិតប្រាកដ។ ចូរយើងបង្ហាញថាការបាត់ខ្លួននៃបំរែបំរួលអាំងតេក្រាលគឺជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ចលនាពិតប្រាកដនៃប្រព័ន្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទទួលបានសមីការនៃចលនានៃប្រព័ន្ធពីគោលការណ៍របស់ Hamilton ។

ពិចារណាលើប្រព័ន្ធមេកានិកដែលមានឧបសគ្គដ៏ល្អឯក ដែលទីតាំងរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយកូអរដោនេ Lagrangian និងកម្លាំងផ្ទាល់

អាស្រ័យលើល្បឿន កូអរដោនេ និងពេលវេលាទូទៅ។ យកទៅក្នុងគណនីទំនាក់ទំនងល្បី

ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវគោលការណ៍ Hamilton នៅក្នុងទម្រង់បែបបទ

ការអនុវត្តបំរែបំរួលកម្លាំងពលកម្ម

ហើយបន្ទាប់មករួមបញ្ចូលដោយផ្នែក

ដោយសារនៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេល ការប្រែប្រួលនៃកូអរដោនេគឺស្មើនឹងសូន្យ ពីគោលការណ៍ Hamilton យើងទទួលបាន

បំរែបំរួលគឺបំពាន និងឯករាជ្យក្នុងចន្លោះពេល ហើយបន្ទាប់មក ដោយគុណធម៌នៃធាតុសំខាន់នៃការគណនាបំរែបំរួល សមភាពនឹងអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែមេគុណទាំងអស់នៅរលាយបាត់ ពោលគឺនៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌ

សមីការលទ្ធផលត្រូវតែមានសុពលភាពក្នុងចលនាជាក់ស្តែងនៃប្រព័ន្ធមេកានិច។ ភាពគ្រប់គ្រាន់នៃគោលការណ៍របស់ Hamilton ត្រូវបានបង្ហាញដោយការពិតដែលថាសមីការទាំងនេះគឺជាសមីការរបស់ Lagrange នៃប្រភេទទីពីរដែលពិពណ៌នាអំពីចលនានៃប្រព័ន្ធមេកានិចដែលឧបសគ្គនៃឧត្តមគតិ holonomic ត្រូវបានដាក់។

គោលការណ៍របស់ Hamilton សម្រាប់ប្រព័ន្ធមេកានិកជាមួយនឹងឧបសគ្គដ៏ល្អឯក holonomic ឥឡូវនេះអាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម:

ចលនាជាក់ស្តែងនៃប្រព័ន្ធដែលមានទំនាក់ទំនងដ៏ល្អឯកតោភាគីរវាងមុខតំណែងដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរខុសពីចលនាដែលអាចធ្វើបាន kinematically រវាងមុខតំណែងទាំងនេះដែលបានអនុវត្តក្នុងចន្លោះពេលដូចគ្នា ដែលក្នុងនោះអាំងតេក្រាលបាត់នៅលើចលនាពិត។

សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់។

ការប្រើប្រាស់គោលការណ៍ d'Alembert ធ្វើឱ្យវាមិនអាចគិតគូរពីកម្លាំងប្រតិកម្មនៃចំណង និងធ្វើឱ្យវាអាចអនុវត្តកូអរដោនេទូទៅតាមអំពើចិត្ត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការទទួលបានសមីការនៅក្នុងកូអរដោណេទូទៅអាចជាការពិបាកដោយសារតែវត្តមាននៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៅក្នុងគោលការណ៍ d'Alembert (2.13) ។ ដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងកូអរដោនេ សមីការ (2.13) អាចត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់ដែលមានមុខងារមាត្រដ្ឋាននៃកូអរដោនេទូទៅប៉ុណ្ណោះ។ យើង​នឹង​បង្ហាញ​វិធី​មួយ​ផ្សេង​ទៀត នៅ​ពេល​ដំបូង​គេ​ឆ្លង​កាត់​ពី​គោលការណ៍ d'Alembert ទៅ​គោលការណ៍​បំរែបំរួល​អាំងតេក្រាល​។ ប្រភពដើមនៃសមីការនៃមេកានិចពីគោលការណ៍បំរែបំរួលបានធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានលទ្ធផលសំខាន់ៗជាច្រើន។ នៅពេលអនាគត គោលការណ៍បំរែបំរួលបានចាប់ផ្តើមប្រើក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃរូបវិទ្យាទ្រឹស្តី។

ពិចារណាករណីនៅពេលដែលកងកម្លាំងមានសក្តានុពល។ បន្ទាប់មកការងារនិម្មិតនៃកងកម្លាំងនឹងត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ (2.14)

ជាទូទៅថាមពលសក្តានុពលអាចអាស្រ័យលើពេលវេលា។ ដោយសារការប្រែប្រួលត្រូវបានគណនាតាមតម្លៃថេរ វាមិនប៉ះពាល់ដល់ការសន្និដ្ឋានតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ។ នៅពេលប្រើកូអរដោនេទូទៅ ថាមពលសក្តានុពលគឺជាមុខងារនៃកូអរដោនេទូទៅ។ បន្ទាប់មកការប្រែប្រួលនៃថាមពលសក្តានុពលនឹងមានទម្រង់

(2.15)

ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយកន្សោម (1.12) ដេរីវេផ្នែកនៃថាមពលសក្តានុពលទាក់ទងនឹងកូអរដោនេទូទៅត្រូវបានគេហៅថា កម្លាំងទូទៅ៖

ដើម្បីបំប្លែងពាក្យជាមួយនឹងការបង្កើនល្បឿនទៅជាបំរែបំរួលពីអនុគមន៍មាត្រដ្ឋាន យើងបញ្ចូលសមីការជាមុនសិន។ (2.9) នៅក្នុងពេលវេលា៖ . (2.17)

(2.18)

យើងនឹងសន្មត់ថាដំបូងនៅពេលនៃពេលវេលា និងទីតាំងចុងក្រោយនៅពេលនៃប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះសម្រាប់គ្រាទាំងនេះ វាស្មើនឹងសូន្យ ហើយពាក្យទីមួយក្នុង (2.18) បាត់ទៅវិញ។ ដោយសារការប្រែប្រួលនៃកូអរដោណេត្រូវបានពិចារណាសម្រាប់ពេលវេលាថេរ ដេរីវេនៃពេលវេលា និងការប្រែប្រួលអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ ពាក្យទីពីរនៅក្នុង (2.18) ត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់

(2.19)

ការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់កូអរដោនេនៃចំណុចសម្ភារៈទាំងអស់។ យើងក៏យកទៅក្នុងគណនីកន្សោម (2.14) សម្រាប់ការងារនិម្មិតនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារសក្តានុពល។ ជាលទ្ធផលសម្រាប់អាំងតេក្រាល (2.17) យើងទទួលបាន

. (2.20) ភាពខុសគ្នារវាងថាមពល kinetic និងសក្តានុពលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងអាំងតេក្រាលចុងក្រោយនៅក្នុងរូបមន្ត (2.20) ត្រូវបានគេហៅថា មុខងារ Lagrangeហើយត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ . មុខងារ Lagrange អាស្រ័យលើកូអរដោនេ និងល្បឿននៃចំណុចសម្ភារៈ។ នៅពេលឆ្លងកាត់កូអរដោណេទូទៅ វាត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេទូទៅ និងល្បឿនទូទៅ៖

ពេលវេលាប្រហែលជាមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងមុខងារ Lagrange ទេ។ អាំងតេក្រាលពី (2.20) ត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរមួយហើយត្រូវបានគេហៅថា សកម្មភាព; (2.22)

បន្ទាប់ពីណែនាំសញ្ញាណទាំងនេះ លក្ខខណ្ឌ (2.20) មានទម្រង់ . (2.23)

បំរែបំរួលនៃសកម្មភាពគឺសូន្យ។ នេះមានន័យថា សកម្មភាពមានភាពជ្រុលនិយម ចំណាយលើតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុត ប្រសិនបើមុខងារពិពណ៌នាអំពីចលនានៃប្រព័ន្ធមេកានិកត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងអាំងតេក្រាល (2.22) ជាការពឹងផ្អែក។ ដូច្នេះ លក្ខខណ្ឌនៃសកម្មភាពខ្លាំងបំផុត អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកច្បាប់នៃចលនានៃប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈ។

ឥឡូវនេះយើងអាចបង្កើតបាន។ គោលការណ៍អាំងតេក្រាល,ហៅ គោលការណ៍របស់ Hamilton: ចលនានៃប្រព័ន្ធមេកានិចមួយក្នុងរយៈពេលកំណត់ពី ពីមុន វាកើតឡើងតាមរបៀបដែលសកម្មភាពមានភាពជ្រុលនិយម។

សម្រាប់ប្រព័ន្ធអភិរក្ស គោលការណ៍របស់ Hamilton គឺស្មើនឹងច្បាប់របស់ញូតុន។ ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាគោលការណ៍ជាមូលដ្ឋាននៃមេកានិច ដែលសមីការទាំងអស់នៃមេកានិចត្រូវបានយកមក។ នេះគឺជាគោលការណ៍បំរែបំរួល ដោយហេតុថាការពឹងផ្អែកនៃកូអរដោណេទូទៅតាមពេលវេលាត្រូវបានរកឃើញពីលក្ខខណ្ឌអប្បបរមានៃអាំងតេក្រាលសកម្មភាព។ គុណសម្បត្តិមួយនៃការអនុវត្តគោលការណ៍របស់ Hamilton គឺថាវារួមបញ្ចូលតែមុខងារ scalar ប៉ុណ្ណោះដែលអាចគណនាឡើងវិញទៅជាកូអរដោណេទូទៅតាមអំពើចិត្ត។ ដូច្នេះសមីការដែលធ្វើតាមគោលការណ៍បំរែបំរួលប្រែទៅជាត្រូវបានសរសេរភ្លាមៗនៅក្នុងកូអរដោនេទូទៅ។ ការទទួលបានសមីការនៃមេកានិចពីគោលការណ៍បំរែបំរួលក៏បានធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយសំណួរជាមូលដ្ឋានមួយចំនួននៃមេកានិចបុរាណ។

អេឡិចត្រុង 2 - រលក និងភាគល្អិត

តោះមើលការពិសោធន៍នេះ។ អេឡិចត្រុងនៃថាមពលជាក់លាក់មួយ ហោះចេញពីប្រភព ឆ្លងកាត់រន្ធតូចៗនៅក្នុងឧបសគ្គដែលដាក់ក្នុងផ្លូវរបស់ពួកគេ ហើយបន្ទាប់មកធ្លាក់លើចានរូបថត ឬនៅលើអេក្រង់ភ្លឺ ដែលពួកវាបន្សល់ទុកដានមួយ។ បន្ទាប់​ពី​បង្កើត​ផ្ទាំង​រូប​ថត អ្នក​អាច​មើល​ឃើញ​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​នៃ​ឆ្នូត​ឆ្នូត​ពន្លឺ និង​ងងឹត​នៅ​លើ​វា ពោល​គឺ។ លំនាំនៃការបំភាយ ដែលជាបាតុភូតរូបវន្តដ៏ស្មុគស្មាញមួយ រួមមាន តាមពិត ការបង្វែរ (ឧ. ការបង្គត់នៃឧបសគ្គដោយរលក) និងការជ្រៀតជ្រែក (ការត្រួតលើគ្នានៃរលក)។

ដោយមិនគិតពីព័ត៌មានលម្អិត ចូរយើងពិចារណាអំពីបាតុភូតនេះ។ យើងកត់សំគាល់ចំណុចដូចខាងក្រោមៈ

− ទាំងការបង្វែរ និងការជ្រៀតជ្រែកបានសង្កេតឃើញនៅក្នុងការពិសោធន៍បែបនេះ

ជាមួយ អេឡិចត្រុង ពួកគេនិយាយអំពីការបង្ហាញលក្ខណៈនៃរលកដោយពួកវា (និងជាទូទៅដោយមីក្រូភាគ) ព្រោះមានតែរលកប៉ុណ្ណោះដែលអាចធ្វើដំណើរជុំវិញឧបសគ្គមួយ ហើយត្រួតលើគ្នានៅចំណុចប្រជុំ។

- សូម្បីតែនៅពេលដែលអេឡិចត្រុងឆ្លងកាត់រន្ធម្តងមួយៗ (ឧទាហរណ៍ជាមួយចន្លោះពេលធំ) លំនាំនៃការបំភាយលទ្ធផលនៅតែដូចគ្នានឹងការបាញ់ផ្លោងដ៏ធំ ដែលមានន័យថា

អំពី ការបង្ហាញនៃលក្ខណៈសម្បត្តិរលកនៃអេឡិចត្រុងនីមួយៗ;

− ដើម្បីពន្យល់ពីការបង្វែរនៃអេឡិចត្រុង វាចាំបាច់ក្នុងការប្រៀបធៀបជាមួយនឹងចលនារបស់វា។មុខងាររលកមួយចំនួន លក្ខណៈសម្បត្តិដែលគួរកំណត់លំនាំនៃការសាយភាយដែលបានសង្កេត។ ប៉ុន្តែដោយសារមានអនុគមន៍រលក នោះត្រូវតែមានសមីការរលក ដំណោះស្រាយដែលមុខងារនេះគឺ។

ដូច្នេះ យើងនឹងចាប់ផ្តើមការសិក្សា មិនមែនអំពីសមីការខ្លួនវាទេ ប៉ុន្តែអំពីមុខងារ ពោលគឺឧ។ ដំណោះស្រាយសមីការរលក។ ប៉ុន្តែជាដំបូង យើងរំលឹកឡើងវិញនូវគោលការណ៍របស់ Hamilton ដែលធ្វើការជា axiom នៅក្នុងមេកានិចកង់ទិច។

គោលការណ៍ HAMILTON

នៅឆ្នាំ 1833 លោក Sir Hamilton នៅក្នុងការងាររបស់គាត់ "On a General Method of Expressing the Paths of Light and Planets by the Coefficients of a certain Characteristic Function" បានបង្ហាញគំនិតនេះ ដែលមានដូចខាងក្រោម៖

ការបង្ហាញនៃច្បាប់នៃមេកានិចជាធម្មតាចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងច្បាប់របស់ញូតុន។ ប៉ុន្តែ មួយអាចចាប់ផ្តើមពី "ចុងម្ខាងទៀត" ពោលគឺពីការបង្កើតសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅដែលហៅថា គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត។. យោងទៅតាមគោលការណ៍នេះ ចលនាពិតនៃប្រព័ន្ធមេកានិក (មិនដូចអ្វីផ្សេងទៀតដែលអាចយល់បាន។

ចលនា) ត្រូវគ្នាទៅនឹងភាពខ្លាំង (និងសម្រាប់ចន្លោះពេលតូចមួយគ្រប់គ្រាន់ ∆ t = t 2 − t 1 − អប្បបរមា) តម្លៃនៃអាំងតេក្រាលដែលហៅថា

ផ្តល់ដោយ "សកម្មភាព" S = ∫ Ldt ,

ដែល L គឺជាមុខងារមួយចំនួននៃកូអរដោណេ ល្បឿន និងជាទូទៅ ពេលវេលា ហៅថា "មុខងារ Lagrange"។

ដូចដែល Hamilton បានបង្ហាញ បរិមាណណាមួយនៅក្នុងមេកានិចត្រូវគ្នាទៅនឹងបរិមាណដែលស្រដៀងនឹងវានៅក្នុងអុបទិកធរណីមាត្រ។ ដូច្នេះការសាយភាយនៃរលកយន្តហោះអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការផ្លាស់ទីលំនៅក្នុងលំហនៃផ្ទៃនៃដំណាក់កាលថេរ ϕ = const ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ចលនានៃប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈដូចគ្នាបេះបិទតាមបណ្តុំនៃគន្លងអាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងចលនានៅក្នុងលំហនៃផ្ទៃនៃសកម្មភាពថេរ S = const ។ ភាពស្រដៀងគ្នា "ដំណាក់កាល" - "សកម្មភាព" អាចត្រូវបានបន្តបន្ទាប់មកបរិមាណដូចជាថាមពលនិងប្រេកង់ក៏ដូចជាសន្ទុះនិងវ៉ិចទ័ររលកនឹង "ស្រដៀងគ្នា" (នោះគឺរូបមន្តគឺស្រដៀងគ្នាទោះបីជាអត្ថន័យខុសគ្នាក៏ដោយ) ។

អ៊ី = − ∂ ∂ S t ; ω = − ∂ ∂ ϕ t ; p = S; k = ϕ ។

- ប្រតិបត្តិករ "nabla" ណែនាំដោយ Hamilton

= ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k ។

ភាពស្រដៀងគ្នានៃអុបទិក-មេកានិចដែលបានរកឃើញដោយ Hamilton មិនទាក់ទាញការចាប់អារម្មណ៍អស់រយៈពេលជាង 100 ឆ្នាំមកហើយ។ ហើយមានតែ de Broglie ប៉ុណ្ណោះដែលយល់អំពីសារៈសំខាន់នៃភាពស្រដៀងគ្នានេះសម្រាប់លក្ខណៈពីរនៃវត្ថុមីក្រូ (យើងនឹងរស់នៅលើទំនាក់ទំនងរបស់ de Broglie នៅពេលក្រោយ)។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់ការងារបន្ថែមទៀត យើងត្រូវប្រៀបធៀបវត្ថុជាមួយនឹងម៉ាស់សម្រាក និងរលក។

រូបមន្តរលកយន្តហោះ។

យោងតាមគោលការណ៍របស់ Hamilton ចលនាមួយវិមាត្រនៃអេឡិចត្រុង (វត្ថុដែលមានម៉ាសនៅសល់) ក្នុងទិសដៅនៃអ័ក្ស "x" អាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងរលក monochromatic របស់យន្តហោះ:

	Ψ = A cos 2π					−ν ន
	Ψ = A sin 2π					−ν ន

Ψ - ទំហំ (ជាមួយនឹងតម្លៃដាច់ខាតអតិបរមា A) ,

λ - ប្រវែងរលក, ν - ប្រេកង់, t - ពេលវេលា។

ចូរយើងណែនាំប្រេកង់រាងជារង្វង់ ω = 2 πν និងវ៉ិចទ័ររលក k = 2 λ π n ,

ដែល n គឺជាវ៉ិចទ័រឯកតាដែលបង្ហាញពីទិសដៅនៃចលនានៃរលកយន្តហោះ; បន្ទាប់មក៖

Ψ = Acos(kx − ω t)

Ψ = A sin(kx − ω t) (6)

កន្សោម (kx − ω t) ត្រូវបានគេហៅថាដំណាក់កាលនៃរលក (ϕ) ។

វាងាយស្រួលជាងក្នុងការសរសេរកន្សោម (6) ក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញសមមូល៖

Ψ = A (cosϕ + i sinϕ ) = Ae i ϕ , (7)

ដែល A - ក៏អាចស្មុគស្មាញផងដែរ។ កន្សោម e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ (8) គឺជារូបមន្តអយល័រ។

អនុគមន៍ (8) គឺតាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល 2 π n (n = 0, ± 1; ± 2;...) ។ អេ

(7) មាន​ទាំង​រលក​និង​លក្ខណៈ​ដាច់​ពី​គ្នា​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​រយៈ​ពេល (8​) ។ ដូច្នេះហើយ យើងបានបោះជំហានដំបូងឆ្ពោះទៅរកការទទួលបានមុខងាររលក ដែលអាចប្រៀបធៀបទៅនឹងចលនានៃអេឡិចត្រុងសេរី ដោយសរសេររូបមន្ត (7)។

ការពិសោធន៍ដើម្បីស្វែងរកសែលអេឡិចត្រូនិច។

ដូច្នេះ អេឡិចត្រុងមួយអាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងភាគល្អិតដោយគ្មានម៉ាស់សម្រាក ដែលបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិរលក។ ការពិតនេះត្រូវបានព្យាករណ៍ជាលើកដំបូងដោយរូបវិទូជនជាតិបារាំងដ៏ល្បីឈ្មោះ Louis de Broglie ក្នុងឆ្នាំ 1924 ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍របស់ Hamilton ហើយបន្ទាប់មកបានបង្កើតឡើងដោយពិសោធន៍នៅឆ្នាំ 1927 ។ ជនជាតិអាមេរិក J. Davisson និង A. Germer ។

លោក Louis de Broglie បានផ្តល់យោបល់ថា អេឡិចត្រុងដែលផ្លាស់ទីដោយសេរីជាមួយនឹងសន្ទុះ p និងថាមពល E អាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងរលកដែលមានវ៉ិចទ័រ k និងប្រេកង់ ω និង:

	p = h					(9) និង E = h ω (10) ។

(រំលឹកថា h \u003d 2 h π \u003d 1.054 10 - 34 J s)

ទំនាក់ទំនងទាំងនេះបានដើរតួយ៉ាងសំខាន់ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រនៃការបង្កើតរូបវិទ្យាកង់ទិច ព្រោះវាជាទំនាក់ទំនងដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយពិសោធន៍។ ចូរយើងយល់ពីខ្លឹមសារនៃការពិសោធន៍របស់ Davisson និង Gerrmer ។ Davisson ដែលសិក្សាពីការឆ្លុះបញ្ចាំងនៃអេឡិចត្រុងពីវត្ថុធាតុរឹង បានព្យាយាម "ស៊ើបអង្កេត" ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធនៃវាលអគ្គិសនីជុំវិញអាតូមបុគ្គល ពោលគឺឧ។ បានស្វែងរកសំបកអេឡិចត្រូនិច

អាតូមគី។ នៅឆ្នាំ 1923 រួមជាមួយសិស្សរបស់គាត់ G. Kansman គាត់ទទួលបានខ្សែកោងសម្រាប់ការចែកចាយអេឡិចត្រុងដែលខ្ចាត់ខ្ចាយលើមុំ អាស្រ័យលើល្បឿននៃធ្នឹមដំបូង (មិនខ្ចាត់ខ្ចាយ) ។

គ្រោងការណ៍នៃការដំឡើងគឺសាមញ្ញណាស់ថាមពលធ្នឹមមុំនៃឧប្បត្តិហេតុនៅលើគោលដៅនិងទីតាំងរបស់ឧបករណ៍ចាប់ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ យោងតាមរូបវិទ្យាបុរាណ អេឡិចត្រុងដែលខ្ចាត់ខ្ចាយគួរតែហោះចេញគ្រប់ទិសទី។ អាំងតង់ស៊ីតេរបស់ពួកគេមិនគួរអាស្រ័យលើមុំឬថាមពលទេ។ នេះគឺជាអ្វីដែលបានកើតឡើងនៅក្នុងការពិសោធន៍របស់ Davisson និង Kansman ។ ស្ទើរតែ ... ប៉ុន្តែនៅតែមានអតិបរមាតូចនៅលើខ្សែកោងនៃការចែកចាយជាមុំពីថាមពល ពួកគេត្រូវបានពន្យល់ដោយភាពមិនដូចគ្នានៃវាលនៅជិតអាតូមគោលដៅ។ អ្នករូបវិទ្យាជនជាតិអាឡឺម៉ង់ J. Frank និង W. Elsasser បានផ្តល់យោបល់ថា នេះគឺដោយសារតែការបង្វែរអេឡិចត្រុង។ ជម្លោះបានជួយដោះស្រាយករណីនេះ។ នៅឆ្នាំ 1927 Davisson រួមជាមួយ Germer បានពិសោធន៍ជាមួយចាននីកែល។ ខ្យល់ចូលក្នុងការដំឡើងដោយចៃដន្យ ហើយផ្ទៃលោហៈបានកត់សុី។ វាចាំបាច់ក្នុងការយកខ្សែភាពយន្តអុកស៊ីតចេញដោយ annealing គ្រីស្តាល់នៅក្នុង furnace សីតុណ្ហភាពខ្ពស់នៅក្នុងបរិយាកាសកាត់បន្ថយមួយ, បន្ទាប់ពីការពិសោធន៍ត្រូវបានបន្ត។ ប៉ុន្តែលទ្ធផលគឺខុសគ្នា។ ជំនួសឱ្យការផ្លាស់ប្តូរ monotonic (ឬស្ទើរតែ monotonic) នៅក្នុងអាំងតង់ស៊ីតេនៃអេឡិចត្រុងដែលខ្ចាត់ខ្ចាយជាមួយនឹងមុំ, ការបញ្ចេញសំឡេង maxima និង minima ត្រូវបានគេសង្កេតឃើញទីតាំងដែលអាស្រ័យលើថាមពលអេឡិចត្រុង។ ហេតុផលសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងមុតស្រួចបែបនេះនៅក្នុងគំរូនៃការខ្ចាត់ខ្ចាយគឺការបង្កើតគ្រីស្តាល់នីកែលតែមួយដែលជាលទ្ធផលនៃការបាញ់ដែលបម្រើជាក្រឡាចត្រង្គ diffraction ។ ប្រសិនបើ de Broglie ត្រឹមត្រូវ ហើយអេឡិចត្រុងមានលក្ខណៈសម្បត្តិរលក នោះលំនាំនៃការខ្ចាត់ខ្ចាយគួរតែស្រដៀងនឹងគំរូកាំរស្មីអ៊ិច ហើយការគណនានៃគំរូកាំរស្មីអ៊ិចត្រូវបានអនុវត្តតាមរូបមន្ត Bragg ដែលត្រូវបានគេស្គាល់រួចហើយ។ ដូច្នេះ​សម្រាប់​ករណី​ដែល​បង្ហាញ​ក្នុង​រូប មុំ α រវាង​យន្តហោះ Bragg និង​ទិសដៅ​នៃ​ការ​ខ្ចាត់ខ្ចាយ​អេឡិចត្រុង​អតិបរមា​គឺ 650 ។ ចម្ងាយ "a" ដែលវាស់វែងដោយវិធីសាស្ត្រកាំរស្មីអ៊ិចរវាងយន្តហោះនៅក្នុងគ្រីស្តាល់ Ni គឺ 0.091 nm ។

សមីការ Bragg ដែលពិពណ៌នាអំពីទីតាំងនៃ maxima កំឡុងពេលបង្វែរមានទម្រង់៖ n λ = 2asin α (n ជាចំនួនគត់)។

សន្មត់ថា n = 1 និងប្រើតម្លៃពិសោធន៍នៃ ″a″

និង ″ α″ យើងទទួលបានសម្រាប់ λ:

λ = 2 0.091 sin 650 = 0.165 nm ។

រូបមន្ត De Broglie៖

ដែលជាកិច្ចព្រមព្រៀងដ៏ល្អជាមួយការពិសោធន៍។ ក្រោយមក លទ្ធផលស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានទទួលដោយ Tom-

កូនប្រុស (1928) និងនៅឆ្នាំ 1930 ដោយអ្នករូបវិទ្យាជាច្រើនទៀត។

ដូច្នេះ ទាំងការពិសោធន៍ និងទ្រឹស្តីបានបង្ហាញពីភាពទ្វេនៃឥរិយាបទរបស់អេឡិចត្រុង។ ទោះបីជាមានលក្ខណៈបដិវត្តន៍នៃទស្សនៈនេះក៏ដោយ រចនាសម្ព័ន្ធខាងក្នុងរបស់អេឡិចត្រុងនៅតែមិនច្បាស់លាស់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ព្រឹត្ដិការណ៍កើតឡើងជាញឹកញាប់នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ ដោយសារវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីឆ្លងកាត់ផ្នែកនៃចំណេះដឹងដែលមិនអាចគ្រប់គ្រងបាន និងចាត់វិធានការជាក់លាក់នៅលើផ្លូវនៃវឌ្ឍនភាពក្នុងផ្លូវវាងមួយ។

នៅទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1920 នៅពេលព្រឹកព្រលឹមនៃមេកានិចកង់ទិច អ្នករូបវិទ្យាបានកំណត់ខ្លួនឯងនូវកិច្ចការមួយទៀត - ដើម្បីកសាងមេកានិចនៃពិភពមីក្រូ ពោលគឺឧ។ ស្វែងរកច្បាប់ដែលកំណត់ចលនារបស់អេឡិចត្រុងក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងៗ

លក្ខខណ្ឌ ដោយមិនប្រើគំរូដែលពិពណ៌នាអំពីរចនាសម្ព័ន្ធផ្ទៃក្នុងរបស់វា។

ដូច្នេះ៖ យើងមានវត្ថុតូចដែលមានបន្ទុកអវិជ្ជមាន និងម៉ាស់ជាក់លាក់ ដែលរួមបញ្ចូលគ្នានូវលក្ខណៈសម្បត្តិនៃរលក និងភាគល្អិតមួយ។ សំណួរគឺ៖ តើអ្វីជាលក្ខណៈនៃការពិពណ៌នារូបវន្តនៃចលនានៃវត្ថុមីក្រូបែបនេះ? លក្ខណៈពិសេសមួយគឺច្បាស់រួចហើយ។ ចលនាដោយមិនបាត់បង់ថាមពលអាចអនុវត្តបានតែដោយភាគល្អិតដោយគ្មានម៉ាស់សម្រាក ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិរលកទាំងស្រុង ពោលគឺ ហ្វូតុន។ ប៉ុន្តែលក្ខណៈពិសេសមួយទៀតនៃវត្ថុនេះគឺថាវាគ្មានការសម្រាក។ ការបញ្ចូលគ្នានូវលក្ខណៈពិសេសទាំងពីរនេះនៃ microparticle តម្រូវឱ្យមាន axioms ពិសេស ឬគោលការណ៍។ គោលការណ៍ដ៏សំខាន់បំផុតមួយសម្រាប់ការពិពណ៌នាអំពីវត្ថុបែបនេះ ដែលនៅពេលដ៏កម្រផ្លាស់ប្តូរខ្លឹមសាររបស់វា និងឆ្លុះបញ្ចាំងពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃរលក ឬរាងកាយ គឺជាគោលការណ៍មិនប្រាកដប្រជា។