IV Yakovlev | សម្ភារៈសិក្សាគណិតវិទ្យា | MathUs.ru

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាប្រភេទពិសេសនៃលំដាប់។ ដូច្នេះ មុននឹងកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធ (ហើយបន្ទាប់មកធរណីមាត្រ) យើងត្រូវពិភាក្សាដោយសង្ខេបអំពីគោលគំនិតសំខាន់ៗនៃលំដាប់លេខមួយ។

បន្តបន្ទាប់

ស្រមៃមើលឧបករណ៍នៅលើអេក្រង់ដែលលេខមួយចំនួនត្រូវបានបង្ហាញមួយបន្ទាប់ពីមួយផ្សេងទៀត។ ចូរនិយាយថា 2; ៧; ១៣; 1; ៦; 0; ៣; : : : សំណុំលេខបែបនេះគ្រាន់តែជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ប៉ុណ្ណោះ។

និយមន័យ។ លំដាប់លេខគឺជាសំណុំនៃលេខដែលលេខនីមួយៗអាចត្រូវបានកំណត់លេខតែមួយគត់ (នោះគឺដាក់នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងជាមួយលេខធម្មជាតិតែមួយ) ១. លេខដែលមានលេខ n ត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកទី n នៃលំដាប់។

ដូច្នេះ ក្នុង​ឧទាហរណ៍​ខាង​លើ លេខ​ដំបូង​មាន​លេខ 2 ដែល​ជា​សមាជិក​ដំបូង​នៃ​លំដាប់ ដែល​អាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ a1 ; លេខប្រាំមានលេខ 6 ដែលជាសមាជិកទី 5 នៃលំដាប់ដែលអាចត្រូវបានតំណាងថា a5 ។ ជាទូទៅ សមាជិកទី 9 នៃលំដាប់មួយត្រូវបានតំណាងដោយ (ឬ bn , cn , ល។ ) ។

ស្ថានភាពងាយស្រួលបំផុតគឺនៅពេលដែលសមាជិកទី n នៃលំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ រូបមន្ត an = 2n 3 បញ្ជាក់លំដាប់៖ 1; 1; ៣; ៥; ៧; : : : រូបមន្ត a = (1)n កំណត់លំដាប់: 1; 1; 1; 1; : ::

មិនមែនគ្រប់លេខទាំងអស់សុទ្ធតែជាលំដាប់ទេ។ ដូច្នេះផ្នែកមួយមិនមែនជាលំដាប់ទេ។ វាមានលេខ ¾ ច្រើនពេកដែលត្រូវប្តូរលេខ។ សំណុំ R នៃចំនួនពិតទាំងអស់ក៏មិនមែនជាលំដាប់ដែរ។ ការពិតទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ៖ និយមន័យមូលដ្ឋាន

ឥឡូវ​នេះ យើង​ត្រៀម​ខ្លួន​ជា​ស្រេច​ក្នុង​ការ​កំណត់​វឌ្ឍនភាព​នព្វន្ធ។

និយមន័យ។ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ដែលពាក្យនីមួយៗ (ចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក្យមុន និងចំនួនថេរមួយចំនួន (ហៅថាភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ)។

ឧទាហរណ៍ លំដាប់ទី 2; ៥; ៨; ដប់មួយ; : : : គឺ​ជា​ការ​វិវឌ្ឍន៍​នព្វន្ធ​ដែល​មាន​ពាក្យ​ទី​មួយ​ 2 និង​ភាព​ខុស​គ្នា 3. លំដាប់​ទី 7; ២; ៣; ៨; : : : គឺ​ជា​ការ​វិវឌ្ឍន៍​នព្វន្ធ​ដែល​មាន​ពាក្យ​ទី​មួយ 7 និង​ភាព​ខុស​គ្នា 5. លំដាប់​ទី 3; ៣; ៣; : : : គឺជាដំណើរការនព្វន្ធដែលមានភាពខុសគ្នាសូន្យ។

និយមន័យសមមូល៖ លំដាប់ a ត្រូវបានគេហៅថាវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ប្រសិនបើភាពខុសគ្នា +1 an ជាតម្លៃថេរ (មិនអាស្រ័យលើ n)។

ការវិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធត្រូវបានគេនិយាយថានឹងកើនឡើង ប្រសិនបើភាពខុសគ្នារបស់វាគឺវិជ្ជមាន ហើយថយចុះប្រសិនបើភាពខុសគ្នារបស់វាគឺអវិជ្ជមាន។

1 ហើយ​នេះ​គឺ​ជា​និយមន័យ​សង្ខេប​ជាង​នេះ៖ លំដាប់​មួយ​គឺ​ជា​អនុគមន៍​ដែល​បាន​កំណត់​លើ​សំណុំ​នៃ​លេខ​ធម្មជាតិ។ ឧទាហរណ៍ លំដាប់នៃចំនួនពិតគឺជាអនុគមន៍ f:N! រ.

តាមលំនាំដើម លំដាប់ត្រូវបានចាត់ទុកថាគ្មានកំណត់ ពោលគឺមានលេខចំនួនគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់រំខានដើម្បីពិចារណាលំដាប់កំណត់ផងដែរ; តាមពិត លេខកំណត់ណាមួយអាចត្រូវបានគេហៅថាជាលំដាប់កំណត់។ ឧទាហរណ៍ លំដាប់ចុងក្រោយ 1; ២; ៣; ៤; 5 មានប្រាំលេខ។

រូបមន្តនៃសមាជិកទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ

វាងាយស្រួលយល់ថាការវិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយលេខពីរ៖ ពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា។ ដូច្នេះ សំណួរកើតឡើង៖ តើការដឹងពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា ស្វែងរកពាក្យតាមអំពើចិត្តនៃដំណើរការនព្វន្ធដោយរបៀបណា?

វាមិនពិបាកក្នុងការទទួលបានរូបមន្តដែលចង់បានសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យមួយ។

ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា ឃ. យើង​មាន:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
ជាពិសេសយើងសរសេរ៖
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ហើយឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថារូបមន្តសម្រាប់មួយគឺ:
an = a1 + (n 1)d:

កិច្ចការ 1. នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ 2; ៥; ៨; ដប់មួយ; : : : រករូបមន្តនៃពាក្យទី 0 ហើយគណនាលេខមួយរយ។

ដំណោះស្រាយ។ យោងតាមរូបមន្ត (១) យើងមាន៖

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299៖

ទ្រព្យសម្បត្តិ និងសញ្ញានៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ និងសម្រាប់ណាមួយ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ (ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ) គឺជាមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកជិតខាង។

	ភស្តុតាង។ យើង​មាន:
	a n 1+ a n+1		(មួយ ឃ) + (មួយ + ឃ)

ដែលជាអ្វីដែលត្រូវបានទាមទារ។

ជាទូទៅ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ បំពេញនូវសមភាព

a n = a n k + a n + k

សម្រាប់ n > 2 និង k ធម្មជាតិណាមួយ។< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

វាប្រែថារូបមន្ត (2) មិនត្រឹមតែជាកត្តាចាំបាច់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់លំដាប់ទៅជាការវិវត្តនព្វន្ធផងដែរ។

សញ្ញានៃការវិវត្តនព្វន្ធ។ ប្រសិនបើសមភាព (2) ទទួលបានសម្រាប់ n > 2 ទាំងអស់ នោះលំដាប់ a គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ភស្តុតាង។ ចូរយើងសរសេររូបមន្ត (២) ឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

a na n 1 = a n + 1a n:

នេះបង្ហាញថាភាពខុសគ្នា +1 a មិនអាស្រ័យលើ n ទេ ហើយនេះគ្រាន់តែមានន័យថា លំដាប់ a គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ និងសញ្ញានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានបង្កើតជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍តែមួយ។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងនឹងធ្វើដូចនេះសម្រាប់លេខបី (នេះគឺជាស្ថានភាពដែលជារឿយៗកើតឡើងក្នុងបញ្ហា)។

លក្ខណៈនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ លេខបី a, b, c បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ 2b = a + c ។

បញ្ហា 2. (សាកលវិទ្យាល័យ Moscow State, មហាវិទ្យាល័យសេដ្ឋកិច្ច, 2007) លេខបី 8x, 3 x2 និង 4 នៅក្នុងលំដាប់ដែលបានបញ្ជាក់បង្កើតជាការថយចុះនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ស្វែងរក x ហើយសរសេរភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនេះ។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ យើងមាន៖

2(3 x2) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5៖

ប្រសិនបើ x = 1 នោះការវិវត្តថយចុះនៃ 8, 2, 4 ត្រូវបានទទួលជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃ 6 ។ ប្រសិនបើ x = 5 នោះការកើនឡើងនៃ 40, 22, 4 ត្រូវបានទទួល។ ករណីនេះមិនដំណើរការទេ។

ចម្លើយ៖ x = 1 ភាពខុសគ្នាគឺ 6 ។

ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ

រឿងព្រេង​និទាន​ថា ម្តង​គ្រូ​ប្រាប់​ក្មេងៗ​ឲ្យ​រក​លេខ​ពី ១ ដល់ ១០០ ហើយ​អង្គុយ​អាន​កាសែត​ស្ងាត់ៗ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មាននាទី ក្មេងប្រុសម្នាក់បាននិយាយថា គាត់បានដោះស្រាយបញ្ហានេះហើយ។ វាគឺជាលោក Carl Friedrich Gauss អាយុ 9 ឆ្នាំដែលក្រោយមកជាគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតម្នាក់ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រ។

គំនិតរបស់ Little Gauss គឺនេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យ

S = 1 + 2 + 3 + : : : : + 98 + 99 + 100៖

ចូរសរសេរផលបូកនេះតាមលំដាប់បញ្ច្រាស៖

S = 100 + 99 + 98 + : : : : + 3 + 2 + 1;

ហើយបន្ថែមរូបមន្តទាំងពីរនេះ៖

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

ពាក្យនីមួយៗនៅក្នុងតង្កៀបគឺស្មើនឹង 101 ហើយវាមាន 100 ពាក្យសរុប។

2S = 101 100 = 10100;

យើងប្រើគំនិតនេះដើម្បីទាញយករូបមន្តផលបូក

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

ការកែប្រែដ៏មានប្រយោជន៍នៃរូបមន្ត (3) ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យ n = a1 + (n 1)d ទៅក្នុងវា៖

		2a1 + (n 1) ឃ

កិច្ចការទី 3. ស្វែងរកផលបូកនៃចំនួនបីខ្ទង់វិជ្ជមានទាំងអស់ដែលបែងចែកដោយ 13 ។

ដំណោះស្រាយ។ លេខបីខ្ទង់ដែលជាគុណនៃ 13 បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងពាក្យដំបូង 104 និងភាពខុសគ្នា 13; វចនានុក្រមទី ៩ នៃវឌ្ឍនភាពនេះគឺ៖

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n៖

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើការវិវត្តរបស់យើងមានសមាជិកប៉ុន្មាននាក់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយវិសមភាព៖

6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; ន ៦ ៦៩៖

ដូច្នេះមានសមាជិកចំនួន 69 នាក់នៅក្នុងដំណើរការរបស់យើង។ យោងតាមរូបមន្ត (4) យើងរកឃើញចំនួនដែលត្រូវការ:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

ប្រសិនបើលេខធម្មជាតិនីមួយៗ ន ផ្គូផ្គងលេខពិត មួយ n បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថាផ្តល់ឱ្យ លំដាប់លេខ :

ក 1 , ក 2 , ក 3 , . . . , មួយ n , . . . .

ដូច្នេះ លំដាប់លេខគឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ។

ចំនួន ក 1 ហៅ សមាជិកដំបូងនៃលំដាប់ , ចំនួន ក 2 — សមាជិកទីពីរនៃលំដាប់ , ចំនួន ក 3 — ទីបី ល​ល។ ចំនួន មួយ n ហៅ សមាជិកទី 3 នៃលំដាប់ និងលេខធម្មជាតិ ន — លេខរបស់គាត់។ .

ពីសមាជិកជិតខាងពីរនាក់ មួយ n និង មួយ n +1 លំដាប់នៃសមាជិក មួយ n +1 ហៅ ជាបន្តបន្ទាប់ (ឆ្ពោះទៅរក មួយ n ) ក មួយ n — មុន (ឆ្ពោះទៅរក មួយ n +1 ).

ដើម្បីបញ្ជាក់លំដាប់ អ្នកត្រូវតែបញ្ជាក់វិធីសាស្ត្រដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកសមាជិកលំដាប់ដែលមានលេខណាមួយ។

ជាញឹកញាប់លំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជាមួយ រូបមន្ត​ពាក្យ​ទី​ នោះគឺជារូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់សមាជិកលំដាប់ដោយលេខរបស់វា។

ឧទាហរណ៍,

លំដាប់នៃលេខសេសវិជ្ជមានអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត

មួយ n= 2n- 1,

និងលំដាប់នៃការជំនួស 1 និង -1 - រូបមន្ត

ខន = (-1)ន +1 . ◄

លំដាប់អាចត្រូវបានកំណត់ រូបមន្តកើតឡើងវិញ។, នោះគឺជារូបមន្តដែលបង្ហាញពីសមាជិកណាមួយនៃលំដាប់ ដោយចាប់ផ្តើមពីមួយចំនួន តាមរយៈសមាជិកមុន (មួយ ឬច្រើន)។

ឧទាហរណ៍,

ប្រសិនបើ ក 1 = 1 , ក មួយ n +1 = មួយ n + 5

ក 1 = 1,

ក 2 = ក 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ក 3 = ក 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ក 4 = ក 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ក 5 = ក 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ប្រសិនបើ ក ១= 1, a 2 = 1, មួយ n +2 = មួយ n + មួយ n +1 , បន្ទាប់មកសមាជិកប្រាំពីរដំបូងនៃលំដាប់លេខត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម:

ក ១ = 1,

a 2 = 1,

ក ៣ = ក ១ + a 2 = 1 + 1 = 2,

ក ៤ = a 2 + ក ៣ = 1 + 2 = 3,

ក ៥ = ក ៣ + ក ៤ = 2 + 3 = 5,

ក 6 = ក 4 + ក 5 = 3 + 5 = 8,

ក 7 = ក 5 + ក 6 = 5 + 8 = 13. ◄

លំដាប់អាចជា ចុងក្រោយ និង គ្មានទីបញ្ចប់ .

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ចុងក្រោយ ប្រសិនបើវាមានចំនួនកំណត់នៃសមាជិក។ លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា គ្មានទីបញ្ចប់ ប្រសិនបើវាមានសមាជិកច្រើនឥតកំណត់។

ឧទាហរណ៍,

លំដាប់នៃលេខធម្មជាតិពីរខ្ទង់៖

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

ចុងក្រោយ។

លំដាប់លេខបឋម៖

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

គ្មានទីបញ្ចប់។ ◄

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង ប្រសិនបើសមាជិកនីមួយៗរបស់វា ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺធំជាងសមាជិកមុន។

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ស្រក ប្រសិនបើសមាជិកនីមួយៗរបស់វា ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺតិចជាងសមាជិកមុន។

ឧទាហរណ៍,

2, 4, 6, 8, . . . , 2ន, . . . គឺជាលំដាប់ឡើង;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ន, . . . គឺជាលំដាប់ចុះ។ ◄

លំដាប់ដែលធាតុមិនថយចុះជាមួយនឹងចំនួនកើនឡើង ឬផ្ទុយទៅវិញមិនកើនឡើង ត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់ឯកតា .

លំដាប់ Monotonic ជាពិសេសគឺកំពុងបង្កើនលំដាប់ និងបន្ថយលំដាប់។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ លំដាប់​មួយ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ដែល​សមាជិក​នីមួយៗ​ដែល​ចាប់​ផ្ដើម​ពី​លេខ​ពីរ​គឺ​ស្មើ​នឹង​លេខ​មុន​ដែល​ចំនួន​ដូចគ្នា​ត្រូវ​បាន​បន្ថែម។

ក 1 , ក 2 , ក 3 , . . . , មួយ n, . . .

គឺជាការវិវត្តនព្វន្ធ ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។ ន លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ:

មួយ n +1 = មួយ n + ឃ,

កន្លែងណា ឃ - លេខមួយចំនួន។

ដូច្នេះ ភាពខុសគ្នារវាងសមាជិកបន្ទាប់ និងមុននៃដំណើរការនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺតែងតែថេរ៖

a 2 - ក 1 = ក ៣ - ក 2 = . . . = មួយ n +1 - មួយ n = ឃ.

ចំនួន ឃ ហៅ ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ.

ដើម្បីកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ពាក្យដំបូង និងភាពខុសគ្នារបស់វា។

ឧទាហរណ៍,

ប្រសិនបើ ក 1 = 3, ឃ = 4 បន្ទាប់មកពាក្យប្រាំដំបូងនៃលំដាប់ត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម:

ក ១ =3,

a 2 = ក ១ + ឃ = 3 + 4 = 7,

ក ៣ = a 2 + ឃ= 7 + 4 = 11,

ក ៤ = ក ៣ + ឃ= 11 + 4 = 15,

ក 5 = ក 4 + ឃ= 15 + 4 = 19. ◄

សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធជាមួយពាក្យទីមួយ ក 1 និងភាពខុសគ្នា ឃ របស់នាង ន

មួយ n = ក ១ + (ន- 1)ឃ.

ឧទាហរណ៍,

ស្វែងរកពាក្យទីសាមសិបនៃដំណើរការនព្វន្ធ

1, 4, 7, 10, . . .

ក ១ =1, ឃ = 3,

មួយ 30 = ក ១ + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

មួយ n-1 = ក ១ + (ន- 2)ឃ,

មួយ n= ក ១ + (ន- 1)ឃ,

មួយ n +1 = ក 1 + ន,

បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង

មួយ n=	a n-1 + a n + 1
	2

សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃសមាជិកមុន និងបន្ទាប់។

លេខ a, b និង c គឺ​ជា​សមាជិក​ជាប់​គ្នា​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ​មួយ​ចំនួន​ប្រសិន​បើ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ពួក​គេ​ស្មើ​នឹង​មធ្យម​នព្វន្ធ​នៃ​ពីរ​ផ្សេង​ទៀត​។

ឧទាហរណ៍,

មួយ n = 2ន- 7 , គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ចូរយើងប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើ។ យើង​មាន:

មួយ n = 2ន- 7,

មួយ n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2ន- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2ន- 5.

អាស្រ័យហេតុនេះ

a n+1+a n-1	=	2ន- 5 + 2ន- 9	= 2ន- 7 = មួយ n,
2		2

◄

ចំណាំ​ថា ន -th សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានរកឃើញមិនត្រឹមតែតាមរយៈ ក 1 ប៉ុន្តែក៏មានពីមុនៗដែរ។ ក

មួយ n = ក + (ន- k)ឃ.

ឧទាហរណ៍,

សម្រាប់ ក 5 អាចត្រូវបានសរសេរ

ក ៥ = ក ១ + 4ឃ,

ក ៥ = a 2 + 3ឃ,

ក ៥ = ក ៣ + 2ឃ,

ក ៥ = ក ៤ + ឃ. ◄

មួយ n = មួយ n-k + kd,

មួយ n = មួយ n+k - kd,

បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង

មួយ n=	ក n-k + ក n+k
	2

សមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធនេះ ដែលមានគម្លាតស្មើគ្នាពីវា។

លើសពីនេះទៀត សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធណាមួយ សមភាពគឺពិត៖

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l ។

ឧទាហរណ៍,

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ

1) ក 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ក 9 + ក 11 )/2;

2) 28 = មួយ 10 = ក ៣ + 7ឃ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) មួយ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ដោយសារតែ

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

ស= a 1 + a 2 + a 3 + ។ . .+ មួយ n,

ដំបូង ន សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃពាក្យខ្លាំងដោយចំនួនពាក្យ៖

ពីនេះជាពិសេសវាដូចខាងក្រោមថាប្រសិនបើវាចាំបាច់ដើម្បីបូកលក្ខខណ្ឌ

ក, ក +1 , . . . , មួយ n,

បន្ទាប់មករូបមន្តមុនរក្សារចនាសម្ព័ន្ធរបស់វា៖

ឧទាហរណ៍,

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ស 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ស 10 - ស 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ប្រសិនបើការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះបរិមាណ ក 1 , មួយ n, ឃ, ននិងស ន ភ្ជាប់ដោយរូបមន្តពីរ៖

ដូច្នេះប្រសិនបើតម្លៃនៃចំនួនបីនៃបរិមាណទាំងនេះត្រូវបានផ្តល់ នោះតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃបរិមាណពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានកំណត់ពីរូបមន្តទាំងនេះបញ្ចូលគ្នាទៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមិនស្គាល់ពីរ។

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ monotonic ។ ក្នុងនោះ៖

• ប្រសិនបើ ឃ > 0 បន្ទាប់មកវាកំពុងកើនឡើង;
• ប្រសិនបើ ឃ < 0 បន្ទាប់មកវាកំពុងថយចុះ;
• ប្រសិនបើ ឃ = 0 បន្ទាប់មកលំដាប់នឹងនៅស្ងៀម។

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ លំដាប់​មួយ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ពាក្យ​នីមួយៗ​ដែល​ចាប់​ផ្ដើម​ពី​លេខ​ពីរ​គឺ​ស្មើ​នឹង​លេខ​មុន​គុណ​នឹង​លេខ​ដូច​គ្នា។

ខ 1 , ខ 2 , ខ 3 , . . . , b n, . . .

គឺជាការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រ ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។ ន លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ:

b n +1 = b n · q,

កន្លែងណា q ≠ 0 - លេខមួយចំនួន។

ដូច្នេះ សមាមាត្រនៃពាក្យបន្ទាប់នៃដំណើរការធរណីមាត្រនេះទៅលេខមុន គឺជាចំនួនថេរ៖

ខ 2 / ខ 1 = ខ 3 / ខ 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

ចំនួន q ហៅ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ.

ដើម្បីកំណត់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ពាក្យដំបូង និងភាគបែងរបស់វា។

ឧទាហរណ៍,

ប្រសិនបើ ខ 1 = 1, q = -3 បន្ទាប់មកពាក្យប្រាំដំបូងនៃលំដាប់ត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម:

b ១ = 1,

b ២ = b ១ · q = 1 · (-3) = -3,

b ៣ = b ២ · q= -3 · (-3) = 9,

b ៤ = b ៣ · q= 9 · (-3) = -27,

ខ 5 = ខ 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ខ 1 និងភាគបែង q របស់នាង ន -ពាក្យទី អាចរកបានតាមរូបមន្ត៖

b n = ខ 1 · q n -1 .

ឧទាហរណ៍,

ស្វែងរកពាក្យទីប្រាំពីរនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ 1, 2, 4, . . .

ខ 1 = 1, q = 2,

ខ 7 = ខ 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b ១ · q n -2 ,

b n = b ១ · q n -1 ,

b n +1 = ខ 1 · q n,

បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺស្មើនឹងមធ្យមធរណីមាត្រ (សមាមាត្រ) នៃសមាជិកមុន និងបន្ទាប់បន្សំ។

ដោយសារការសន្ទនាក៏ជាការពិត ការអះអាងខាងក្រោមមាន៖

លេខ a, b និង c គឺជាសមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នានៃដំណើរការធរណីមាត្រមួយចំនួន ប្រសិនបើការ៉េនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេស្មើនឹងផលគុណនៃចំនួនពីរផ្សេងទៀត នោះគឺជាលេខមួយក្នុងចំណោមលេខគឺជាមធ្យមធរណីមាត្រនៃចំនួនពីរផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍,

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្ត b n= −3 ២ ន , គឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ចូរយើងប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើ។ យើង​មាន:

b n= −3 ២ ន,

b n -1 = −3 ២ ន -1 ,

b n +1 = −3 ២ ន +1 .

អាស្រ័យហេតុនេះ

b n 2 =(-៣ ២ ន) 2 = (−3 ២ ន -1 ) (-៣ ២ ន +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ដែលបញ្ជាក់ពីការអះអាងដែលត្រូវការ។ ◄

ចំណាំ​ថា ន ពាក្យទី 1 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រអាចត្រូវបានរកឃើញមិនត្រឹមតែតាមរយៈ ខ 1 ប៉ុន្តែក៏មានពាក្យពីមុនៗផងដែរ។ b k ដែលវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការប្រើរូបមន្ត

b n = b k · q n - k.

ឧទាហរណ៍,

សម្រាប់ ខ 5 អាចត្រូវបានសរសេរ

b ៥ = b ១ · q 4 ,

b ៥ = b ២ · q ៣,

b ៥ = b ៣ · q2,

b ៥ = b ៤ · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង

b n 2 = b n - k· b n + k

ការេនៃសមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពនេះដែលស្មើគ្នាពីវា។

លើសពីនេះទៀត សម្រាប់ដំណើរការធរណីមាត្រណាមួយ សមភាពគឺពិត៖

b m· b n= b k· b l,

ម+ ន= k+ លីត្រ.

ឧទាហរណ៍,

និទស្សន្ត

1) ខ 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ខ 5 · ខ 7 ;

2) 1024 = ខ 11 = ខ 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ខ 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ខ 4 · ខ 8 ;

4) ខ 2 · ខ 7 = ខ 4 · ខ 5 , ដោយសារតែ

ខ 2 · ខ 7 = 2 · 64 = 128,

ខ 4 · ខ 5 = 8 · 16 = 128. ◄

ស= ខ 1 + ខ 2 + ខ 3 + . . . + b n

ដំបូង ន សមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង q ≠ 0 គណនាដោយរូបមន្ត៖

ហើយ​នៅពេល​ដែល q = 1 - យោងតាមរូបមន្ត

ស= n.b. 1

ចំណាំថាប្រសិនបើយើងត្រូវការបូកសរុបលក្ខខណ្ឌ

b k, b k +1 , . . . , b n,

បន្ទាប់មករូបមន្តត្រូវបានប្រើ៖

ស- ស គ -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

ឧទាហរណ៍,

និទស្សន្ត 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ស 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ស 10 - ស 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ប្រសិនបើវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យបន្ទាប់មកបរិមាណ ខ 1 , b n, q, ននិង ស ភ្ជាប់ដោយរូបមន្តពីរ៖

ដូច្នេះប្រសិនបើតម្លៃនៃបរិមាណទាំងបីនេះត្រូវបានគេផ្តល់ឱ្យ នោះតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃបរិមាណពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានកំណត់ពីរូបមន្តទាំងនេះបញ្ចូលគ្នាទៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមិនស្គាល់ពីរ។

សម្រាប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយពាក្យដំបូង ខ 1 និងភាគបែង q ខាងក្រោមនេះកើតឡើង លក្ខណៈសម្បត្តិ monotonicity :

• វឌ្ឍនភាពកំពុងកើនឡើង ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖

ខ 1 > 0 និង q> 1;

ខ 1 < 0 និង 0 < q< 1;

• វឌ្ឍនភាពកំពុងថយចុះ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖

ខ 1 > 0 និង 0 < q< 1;

ខ 1 < 0 និង q> 1.

ប្រសិនបើ q< 0 បន្ទាប់មក ការវិវត្តនៃធរណីមាត្រគឺជាសញ្ញាជំនួស៖ ពាក្យសេសរបស់វាមានសញ្ញាដូចគ្នានឹងពាក្យដំបូងរបស់វា ហើយពាក្យលេខគូមានសញ្ញាផ្ទុយ។ វាច្បាស់ណាស់ថាការវិវត្តនៃធរណីមាត្រឆ្លាស់គ្នាមិនមែនជា monotonic ទេ។

ផលិតផលទីមួយ ន លក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការធរណីមាត្រអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ទំ ន= b ១ · b ២ · b ៣ · . . . · b n = (b ១ · b n) ន / 2 .

ឧទាហរណ៍,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ការថយចុះឥតឈប់ឈរនៃដំណើរការធរណីមាត្រ

ការថយចុះឥតឈប់ឈរនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ត្រូវបានគេហៅថាដំណើរការធរណីមាត្រគ្មានកំណត់ ដែលម៉ូឌុលភាគបែងគឺតិចជាង 1 នោះគឺ

|q| < 1 .

ចំណាំថាការវិវត្តនៃធរណីមាត្រដែលថយចុះដោយគ្មានកំណត់អាចមិនមែនជាលំដាប់ធ្លាក់ចុះនោះទេ។ នេះសមនឹងករណីនេះ។

1 < q< 0 .

ជាមួយនឹងភាគបែងបែបនេះ លំដាប់គឺសញ្ញា-ឆ្លាស់គ្នា។ ឧទាហរណ៍,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ ដាក់ឈ្មោះលេខដែលផលបូកដំបូង ន លក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពជាមួយនឹងការកើនឡើងចំនួនគ្មានដែនកំណត់ ន . លេខនេះតែងតែកំណត់ ហើយត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត

ស= ខ 1 + ខ 2 + ខ 3 + . . . =	ខ 1	.
	1 - q

ឧទាហរណ៍,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

ទំនាក់ទំនងរវាងដំណើរការនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ

ដំណើរការនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ពីរប៉ុណ្ណោះ។

ក 1 , ក 2 , ក 3 , . . . ឃ , នោះ។

b ក 1 , b ក 2 , b ក 3 , . . . b ឃ .

ឧទាហរណ៍,

1, 3, 5, . . . - ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា 2 និង

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង 7 2 . ◄

ខ 1 , ខ 2 , ខ 3 , . . . គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង q , នោះ។

កំណត់ហេតុ a b 1, កំណត់ហេតុ a b 2, កំណត់ហេតុ a b ៣, . . . - ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា កំណត់ហេតុ កq .

ឧទាហរណ៍,

2, 12, 72, . . . គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង 6 និង

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា lg 6 . ◄

ការវិវត្តនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ

ព័ត៌មានទ្រឹស្តី

ព័ត៌មានទ្រឹស្តី

	វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ	វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
និយមន័យ	វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ មួយ nលំដាប់​មួយ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ដែល​សមាជិក​នីមួយៗ​ដែល​ចាប់​ផ្ដើម​ពី​លេខ​ពីរ​គឺ​ស្មើ​នឹង​សមាជិក​មុន​ដែល​បន្ថែម​ដោយ​លេខ​ដូច​គ្នា។ ឃ (ឃ- ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ)	វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ b nលំដាប់នៃលេខមិនមែនសូន្យត្រូវបានហៅ ដែលពាក្យនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរគឺស្មើនឹងពាក្យមុនគុណនឹងចំនួនដូចគ្នា q (q- ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព)
រូបមន្ត​ដដែលៗ	សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន a n + 1 = a n + d	សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន b n + 1 = b n ∙ q , b n ≠ 0
រូបមន្តទី 3	a n = a 1 + ឃ (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
លក្ខណៈសម្បត្តិ
ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយ

ឧទាហរណ៍នៃភារកិច្ចជាមួយមតិយោបល់

លំហាត់ 1

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ( មួយ n) ក ១ = -6, a 2

យោងតាមរូបមន្តនៃពាក្យទី 9:

មួយ 22 = ក ១+ ឃ (២២ − ១) = ក ១+ ២១ ឃ

តាមលក្ខខណ្ឌ៖

ក ១= -6 ដូច្នេះ មួយ 22= -6 + 21 ឃ។

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

មួយ 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

ចម្លើយ៖ មួយ 22 = -48.

កិច្ចការទី 2

ស្វែងរកពាក្យទីប្រាំនៃដំណើរការធរណីមាត្រ: -3; ៦;....

វិធីទី ១ (ដោយប្រើរូបមន្ត n-term)

យោងតាមរូបមន្តនៃសមាជិក n-th នៃដំណើរការធរណីមាត្រ៖

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q ៤.

ដោយសារតែ b ១ = -3,

វិធីទី 2 (ដោយប្រើរូបមន្ត recursive)

ដោយសារភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពគឺ -2 (q = -2) បន្ទាប់មក៖

b ៣ = 6 ∙ (-2) = -12;

b ៤ = -12 ∙ (-2) = 24;

b ៥ = 24 ∙ (-2) = -48.

ចម្លើយ៖ b ៥ = -48.

កិច្ចការទី 3

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ( a n) a ៧៤ = 34; មួយ 76= 156. រកពាក្យចិតសិបប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ លក្ខណៈសម្បត្តិលក្ខណៈមានទម្រង់ .

ដូច្នេះ៖

.

ជំនួសទិន្នន័យក្នុងរូបមន្ត៖

ចម្លើយ៖ ៩៥។

កិច្ចការទី 4

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ( a n) a n= 3n − 4. រកផលបូកនៃដប់ប្រាំពីរដំបូង។

ដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ រូបមន្តពីរត្រូវបានប្រើ៖

.

តើពួកគេមួយណាងាយស្រួលជាងក្នុងការដាក់ពាក្យក្នុងករណីនេះ?

តាមលក្ខខណ្ឌ រូបមន្តនៃសមាជិកទី 9 នៃដំណើរការដើមត្រូវបានគេស្គាល់ ( មួយ n) មួយ n= 3n − 4. អាចរកបានភ្លាមៗ និង ក ១, និង មួយ ១៦ដោយ​មិន​បាន​រក​ឃើញ ឃ. ដូច្នេះយើងប្រើរូបមន្តដំបូង។

ចម្លើយ៖ ៣៦៨ ។

កិច្ចការទី 5

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ មួយ n) ក ១ = -6; a 2= -8 ។ ស្វែងរករយៈពេលម្ភៃវិនាទីនៃវឌ្ឍនភាព។

យោងតាមរូបមន្តនៃពាក្យទី 9:

a 22 = a 1 + ឃ (22 – 1) = ក ១+ ២១ ឃ។

តាមលក្ខខណ្ឌប្រសិនបើ ក ១= -6 បន្ទាប់មក មួយ 22= -6 + 21 ឃ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

មួយ 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

ចម្លើយ៖ មួយ 22 = -48.

កិច្ចការទី 6

លក្ខខណ្ឌជាប់ៗគ្នាជាច្រើននៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានកត់ត្រា៖

ស្វែងរកពាក្យនៃវឌ្ឍនភាព ដែលតំណាងដោយអក្សរ x ។

ពេល​ដោះស្រាយ យើង​ប្រើ​រូបមន្ត​សម្រាប់​ពាក្យ​ទី​៩ b n \u003d b 1 ∙ q n - 1សម្រាប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ សមាជិកដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព។ ដើម្បីស្វែងរកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព q អ្នកត្រូវយកលក្ខខណ្ឌណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពទាំងនេះ ហើយចែកដោយលេខមុន។ ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង អ្នកអាចយក និងបែងចែកដោយ។ យើងទទួលបាននោះ q \u003d 3. ជំនួសឱ្យ n យើងជំនួសលេខ 3 ក្នុងរូបមន្ត ព្រោះវាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកពាក្យទីបីនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបាន៖

.

ចម្លើយ៖ ។

កិច្ចការទី 7

ពីវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្តនៃពាក្យទី n ជ្រើសរើសមួយដែលលក្ខខណ្ឌពេញចិត្ត មួយ ២៧ > 9:

ដោយសារលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវតែពេញចិត្តសម្រាប់អាណត្តិទី 27 នៃវឌ្ឍនភាព យើងជំនួសលេខ 27 ជំនួសឱ្យ n ក្នុងគ្រប់ដំណាក់កាលទាំងបួន។ នៅដំណាក់កាលទី ៤ យើងទទួលបាន៖

.

ចម្លើយ៖ ៤.

កិច្ចការ ៨

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ក ១= 3, ឃ = -1.5 ។ បញ្ជាក់តម្លៃធំបំផុតនៃ n ដែលវិសមភាពមាន មួយ n > -6.

បញ្ហាវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធមានតាំងពីបុរាណកាលមក។ ពួកគេបានបង្ហាញខ្លួន និងទាមទារដំណោះស្រាយមួយ ពីព្រោះពួកគេមានតម្រូវការជាក់ស្តែង។

ដូច្នេះនៅក្នុងក្រដាសមួយនៃ papyri នៃប្រទេសអេហ្ស៊ីបបុរាណដែលមានមាតិកាគណិតវិទ្យា - ក្រដាស Rhind (សតវត្សទី XIX មុនគ។ ទីប្រាំបីនៃរង្វាស់មួយ។

ហើយនៅក្នុងស្នាដៃគណិតវិទ្យារបស់ក្រិកបុរាណមានទ្រឹស្ដីឆើតឆាយទាក់ទងនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ។ ដូច្នេះ Hypsicles of Alexandria (សតវត្សទី 2 ដែលបានចងក្រងបញ្ហាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើនហើយបានបន្ថែមសៀវភៅទីដប់បួនទៅ "ធាតុ" របស់ Euclid បានបង្កើតគំនិតនេះថា: "នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងចំនួនគូនៃសមាជិក ផលបូកនៃសមាជិកនៃពាក់កណ្តាលទីពីរ។ គឺធំជាងផលបូកនៃសមាជិកនៃទី 1 ដោយសមាជិកការ៉េ 1/2 ។

លំដាប់ a ត្រូវបានតំណាង។ លេខ​នៃ​លំដាប់​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​សមាជិក​របស់​វា ហើយ​ជា​ធម្មតា​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដោយ​អក្សរ​ដែល​មាន​សន្ទស្សន៍​ដែល​បង្ហាញ​ពី​លេខ​សៀរៀល​នៃ​សមាជិក​នេះ (a1, a2, a3 ... អាន៖ “a 1st” “a 2nd” “a 3rd” និងផ្សេងៗទៀត)។

លំដាប់អាចគ្មានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។

តើការវិវត្តនព្វន្ធជាអ្វី? វាត្រូវបានយល់ដូចដែលទទួលបានដោយការបន្ថែមពាក្យមុន (n) ជាមួយនឹងលេខដូចគ្នា d ដែលជាភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព។

ប្រសិនបើ ឃ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 បន្ទាប់មកការវិវត្តបែបនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាកំពុងកើនឡើង។

ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេនិយាយថាមានកំណត់ ប្រសិនបើមានតែពាក្យដំបូងមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានយកមកពិចារណា។ ជាមួយនឹងចំនួនសមាជិកដ៏ច្រើន នេះគឺជាការវិវឌ្ឍន៍គ្មានកំណត់រួចទៅហើយ។

ការវិវត្តនព្វន្ធណាមួយត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម៖

a =kn+b ខណៈពេលដែល b និង k គឺជាលេខមួយចំនួន។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលផ្ទុយពីនេះ គឺពិតជាពិត៖ ប្រសិនបើលំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តស្រដៀងគ្នា នោះពិតជាការវិវត្តនព្វន្ធ ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ៖

1. សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពគឺជាមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកមុន និងបន្ទាប់បន្សំ។
2. ផ្ទុយ៖ ប្រសិនបើចាប់ផ្តើមពីលេខ 2 ពាក្យនីមួយៗគឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃពាក្យមុន និងបន្ទាប់ ពោលគឺឧ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ នោះលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។ សមភាពនេះគឺក្នុងពេលតែមួយជាសញ្ញានៃវឌ្ឍនភាព ដូច្នេះជាធម្មតាវាត្រូវបានគេហៅថាជាលក្ខណៈលក្ខណៈនៃវឌ្ឍនភាព។
   ដូចគ្នាដែរ ទ្រឹស្តីបទដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីទ្រព្យសម្បត្តិនេះគឺពិត៖ លំដាប់មួយគឺជាការវិវត្តនព្វន្ធ លុះត្រាតែសមភាពនេះជាការពិតសម្រាប់សមាជិកណាមួយនៃលំដាប់ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខ 2 ។

លក្ខណៈលក្ខណៈសម្រាប់លេខទាំងបួននៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត a + am = ak + al ប្រសិនបើ n + m = k + l (m, n, k គឺជាលេខនៃវឌ្ឍនភាព) ។

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ពាក្យណាមួយដែលចាំបាច់ (Nth) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយអនុវត្តរូបមន្តខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍៖ ពាក្យទីមួយ (a1) ក្នុងដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ និងស្មើបី ហើយភាពខុសគ្នា (d) ស្មើនឹងបួន។ អ្នកត្រូវស្វែងរកពាក្យទីសែសិបប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។ a45=1+4(45-1)=177

រូបមន្ត a = ak + d (n - k) អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់សមាជិក n-th នៃដំណើរការនព្វន្ធតាមរយៈសមាជិក k-th ណាមួយរបស់វា ផ្តល់ថាវាត្រូវបានគេស្គាល់។

ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ (សន្មត់ថាសមាជិកទី 1 n នៃវឌ្ឍនភាពចុងក្រោយ) ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖

Sn = (a1+an) n/2 ។

ប្រសិនបើពាក្យទី 1 ត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរនោះរូបមន្តមួយផ្សេងទៀតគឺងាយស្រួលសម្រាប់ការគណនា:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធដែលមានពាក្យ n ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖

ជម្រើសនៃរូបមន្តសម្រាប់ការគណនាអាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌនៃភារកិច្ច និងទិន្នន័យដំបូង។

ស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខណាមួយដូចជា 1,2,3,...,n,... គឺជាឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

បន្ថែមពីលើការវិវត្តនព្វន្ធ ក៏មានធរណីមាត្រមួយផងដែរ ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ និងលក្ខណៈរបស់វា។

បាទ/ចាស៎៖ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធមិនមែនជារបស់លេងសម្រាប់អ្នកទេ :)

ជាការប្រសើរណាស់, មិត្តភក្តិ, ប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានអត្ថបទនេះ, បន្ទាប់មកភស្តុតាង cap ខាងក្នុងប្រាប់ខ្ញុំថាអ្នកនៅតែមិនដឹងថាតើការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាអ្វី, ប៉ុន្តែអ្នកពិតជា (មិនដូចនេះ: SOOOOO!) ចង់ដឹង។ ដូច្នេះហើយ ខ្ញុំនឹងមិនធ្វើទារុណកម្មអ្នកដោយការណែនាំដ៏វែង ហើយនឹងចុះទៅអាជីវកម្មភ្លាមៗ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមឧទាហរណ៍ពីរបី។ ពិចារណាសំណុំលេខជាច្រើន៖

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\2\sqrt(2);\3\sqrt(2);...$

តើឈុតទាំងអស់នេះមានអ្វីដូចគ្នា? នៅ glance ដំបូង, គ្មានអ្វី។ ប៉ុន្តែតាមពិតមានអ្វីមួយ។ ពោលគឺ៖ ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗខុសពីធាតុមុនដោយលេខដូចគ្នា។.

វិនិច្ឆ័យសម្រាប់ខ្លួនអ្នក។ ឈុតទីមួយគ្រាន់តែជាលេខជាប់គ្នា លេខនីមួយៗច្រើនជាងលេខមុន។ ក្នុងករណីទី 2 ភាពខុសគ្នារវាងលេខដែលនៅជាប់គ្នាគឺស្មើនឹងប្រាំរួចទៅហើយ ប៉ុន្តែភាពខុសគ្នានេះនៅតែថេរ។ ក្នុងករណីទីបីមានឫសជាទូទៅ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ខណៈពេលដែល $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. ក្នុងករណីដែលធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគ្រាន់តែកើនឡើង $\sqrt(2)$ (ហើយកុំខ្លាចថាចំនួននេះគឺមិនសមហេតុផល)។

ដូច្នេះ៖ លំដាប់​ទាំង​អស់​នេះ​គ្រាន់​តែ​ហៅ​ថា​វឌ្ឍនភាព​នព្វន្ធ។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដ៏តឹងរឹងមួយ៖

និយមន័យ។ លំដាប់នៃលេខដែលនីមួយៗបន្ទាប់ខុសគ្នាពីលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ចំនួន​ដែល​លេខ​ខុស​គ្នា​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន ហើយ​ច្រើន​តែ​បង្ហាញ​ដោយ​អក្សរ $d$។

កំណត់សម្គាល់៖ $\left(((a)_(n)) \right)$ គឺជាការវិវត្តខ្លួនវា $d$ គឺជាភាពខុសគ្នារបស់វា។

ហើយគ្រាន់តែជាការកត់សម្គាល់សំខាន់ពីរបីប៉ុណ្ណោះ។ ទីមួយការវិវត្តត្រូវបានពិចារណាតែប៉ុណ្ណោះ សណ្តាប់ធ្នាប់លំដាប់លេខ៖ ពួកគេត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យអានយ៉ាងតឹងរ៉ឹងតាមលំដាប់ដែលពួកគេត្រូវបានសរសេរ - ហើយគ្មានអ្វីផ្សេងទៀតទេ។ អ្នកមិនអាចរៀបចំឡើងវិញ ឬប្តូរលេខបានទេ។

ទីពីរ លំដាប់​ខ្លួន​វា​អាច​មាន​កំណត់ ឬ​គ្មាន​កំណត់។ ឧទាហរណ៍ សំណុំ (1; 2; 3) គឺច្បាស់ជាដំណើរការនព្វន្ធកំណត់។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកសរសេរអ្វីមួយដូចជា (1; 2; 3; 4; ... ) - នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពគ្មានទីបញ្ចប់រួចទៅហើយ។ រាងពងក្រពើបន្ទាប់ពីទាំងបួនដូចដែលវាត្រូវបានគេណែនាំថាចំនួនច្រើនទៅមុខទៀត។ ច្រើនឥតកំណត់ ជាឧទាហរណ៍។ :)

ខ្ញុំ​ក៏​ចង់​កត់​សម្គាល់​ដែរ​ថា វឌ្ឍនភាព​កំពុង​កើនឡើង និង​ថយ​ចុះ។ យើងបានឃើញការកើនឡើងរួចទៅហើយ - សំណុំដូចគ្នា (1; 2; 3; 4; ... ) ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការថយចុះវឌ្ឍនភាព៖

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\sqrt(5)-1;\sqrt(5)-2;\sqrt(5)-3;...$

មិនអីទេ មិនអីទេ៖ ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយអាចហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញពេក។ ប៉ុន្តែនៅសល់ ខ្ញុំគិតថាអ្នកយល់។ ដូច្នេះ យើងណែនាំនិយមន័យថ្មី៖

និយមន័យ។ ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថា៖

1. ការកើនឡើងប្រសិនបើធាតុបន្ទាប់នីមួយៗធំជាងធាតុមុន;
2. ថយចុះ ប្រសិនបើផ្ទុយទៅវិញ ធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗគឺតិចជាងធាតុមុន។

លើសពីនេះទៀតមានអ្វីដែលគេហៅថា "ស្ថានី" លំដាប់ - ពួកគេមានលេខដដែលៗ។ ឧទាហរណ៍ (៣; ៣; ៣; ...)។

មានតែសំណួរមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសេសសល់៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសម្គាល់វឌ្ឍនភាពដែលកំពុងកើនឡើងពីការថយចុះមួយ? ជាសំណាងល្អ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅទីនេះអាស្រ័យតែលើសញ្ញានៃលេខ $d$, i.e. ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ៖

1. ប្រសិនបើ $d \gt 0$ នោះការវិវត្តកំពុងកើនឡើង។
2. ប្រសិនបើ $d \lt 0$ នោះការវិវឌ្ឍន៍ជាក់ស្តែងនឹងថយចុះ។
3. ជាចុងក្រោយ មានករណី $d=0$ — ក្នុងករណីនេះ ដំណើរការទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាលំដាប់លំដោយនៃលេខដូចគ្នា៖ (1; 1; 1; 1; ...) ។ល។

ចូរយើងព្យាយាមគណនាភាពខុសគ្នា $d$ សម្រាប់ការថយចុះចំនួនបីខាងលើ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការយកធាតុពីរដែលនៅជាប់គ្នា (ឧទាហរណ៍ទីមួយនិងទីពីរ) ហើយដកពីលេខនៅខាងស្តាំលេខនៅខាងឆ្វេង។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$ ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងករណីទាំងបីភាពខុសគ្នាពិតជាប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ ហើយឥឡូវនេះ យើងបានរកឃើញនិយមន័យច្រើន ឬតិច វាជាពេលវេលាដើម្បីរកឱ្យឃើញពីរបៀបដែលវឌ្ឍនភាពត្រូវបានពិពណ៌នា និងលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីដែលពួកគេមាន។

សមាជិក​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន និង​រូបមន្ត​ដែល​កើតឡើង​ដដែលៗ

ដោយសារ​ធាតុ​នៃ​លំដាប់​របស់​យើង​មិន​អាច​ផ្លាស់ប្តូរ​គ្នា​បាន ពួកវា​អាច​ត្រូវ​បាន​លេខ​រៀង៖

\[\left(((a)_(n)) \\right)=\left\(((a)_(1)),\((a)_(2)),((a)_(3) )) ... \ ស្តាំ\)\]

ធាតុបុគ្គលនៃសំណុំនេះត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ ពួកវាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញតាមរបៀបនេះដោយមានជំនួយពីលេខមួយ: សមាជិកទីមួយ សមាជិកទីពីរ ជាដើម។

លើសពីនេះទៀត ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយ សមាជិកជិតខាងនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវបានទាក់ទងគ្នាដោយរូបមន្ត៖

\[(((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

សរុបមក ដើម្បីស្វែងរកពាក្យ $n$th នៃវឌ្ឍនភាព អ្នកត្រូវដឹងពីពាក្យ $n-1$th និងភាពខុសគ្នា $d$។ រូបមន្តបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាកើតឡើងដដែលៗ ពីព្រោះដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចស្វែងរកលេខណាមួយ ដោយគ្រាន់តែដឹងពីលេខមុន (ហើយតាមពិត លេខមុនទាំងអស់)។ នេះគឺជាការរអាក់រអួលខ្លាំងណាស់ ដូច្នេះមានរូបមន្តដ៏ពិបាកជាងនេះ ដែលកាត់បន្ថយការគណនាណាមួយទៅពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា៖

\[(((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1\right)d\]

អ្នកប្រហែលជាធ្លាប់ឆ្លងកាត់រូបមន្តនេះពីមុនមក។ ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់ឱ្យវានៅក្នុងគ្រប់ប្រភេទនៃសៀវភៅយោងនិង reshebniks ។ ហើយ​ក្នុង​សៀវភៅ​សិក្សា​គណិតវិទ្យា​ដែល​សមហេតុសមផល​ណាមួយ វា​គឺ​ជា​សៀវភៅ​ដំបូង​គេ​មួយ​។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកអនុវត្តបន្តិច។

លេខកិច្ចការ 1 ។ សរសេរពាក្យបីដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$ ។

ដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះ យើងដឹងពីពាក្យដំបូង $((a)_(1))=8$ និងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព $d=-5$។ ចូរប្រើរូបមន្តដែលទើបតែផ្តល់ឲ្យ ហើយជំនួស $n=1$, $n=2$ និង $n=3$៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1\right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1\right)d=((a)_(1))+d=8-5= ៣; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1\right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -២. \\ \end(តម្រឹម)\]

ចម្លើយ៖ (៨; ៣; -២)

អស់ហើយ! ចំណាំថាការវិវត្តរបស់យើងកំពុងថយចុះ។

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ $n=1$ មិន​អាច​ត្រូវ​បាន​ជំនួស​បាន​ទេ - យើង​បាន​ដឹង​ហើយ​ពាក្យ​ដំបូង​។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ តាមរយៈការជំនួសឯកតា យើងបានធ្វើឱ្យប្រាកដថា សូម្បីតែសម្រាប់ពាក្យទីមួយ រូបមន្តរបស់យើងដំណើរការ។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត អ្វីគ្រប់យ៉ាងបានធ្លាក់មកលេខនព្វន្ធ banal ។

លេខកិច្ចការ 2 ។ សរសេរពាក្យបីដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើពាក្យទីប្រាំពីររបស់វាគឺ −40 ហើយពាក្យទីដប់ប្រាំពីររបស់វាគឺ −50។

ដំណោះស្រាយ។ យើងសរសេរលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាក្នុងលក្ខខណ្ឌធម្មតា៖

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(តម្រឹម) \\ ស្តាំ។

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \ ត្រូវ។\]

ខ្ញុំដាក់សញ្ញានៃប្រព័ន្ធព្រោះតម្រូវការទាំងនេះត្រូវតែបំពេញក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ ហើយឥឡូវនេះយើងកត់សំគាល់ថាប្រសិនបើយើងដកសមីការទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ (យើងមានសិទ្ធិធ្វើដូច្នេះព្រោះយើងមានប្រព័ន្ធ) យើងទទួលបាននេះ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \\right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(តម្រឹម)\]

ដូច​នេះ យើង​បាន​រក​ឃើញ​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន! វានៅសល់ដើម្បីជំនួសលេខដែលបានរកឃើញនៅក្នុងសមីការណាមួយនៃប្រព័ន្ធ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងទីមួយ៖

\\[\begin(ម៉ាទ្រីស) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \\ ចុះក្រោម \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ក)_(១))=-៤០+៦=-៣៤។ \\ \ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\]

ឥឡូវនេះ ដោយដឹងពីពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា វានៅតែត្រូវស្វែងរកពាក្យទីពីរ និងទីបី៖

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ក)_(៣))=((ក)_(១))+២d=-៣៤-២=-៣៦។ \\ \end(តម្រឹម)\]

រួចរាល់ហើយ! បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖ (-៣៤; -៣៥; -៣៦)

សូមកត់សម្គាល់នូវទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យចង់ដឹងអំពីវឌ្ឍនភាពដែលយើងបានរកឃើញ៖ ប្រសិនបើយើងយកពាក្យ $n$th និង $m$th ហើយដកវាចេញពីគ្នាទៅវិញទៅមក យើងទទួលបានភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពគុណនឹងចំនួន $n-m$៖

\[(((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m\right)\]

ទ្រព្យសម្បត្តិដ៏សាមញ្ញ ប៉ុន្តែមានប្រយោជន៍បំផុតដែលអ្នកគួរដឹង - ដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចបង្កើនល្បឿនដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាវិវត្តជាច្រើន។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍សំខាន់នៃរឿងនេះ៖

លេខកិច្ចការ 3 ។ ពាក្យទីប្រាំនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺ 8.4 ហើយពាក្យទីដប់របស់វាគឺ 14.4 ។ ស្វែងរកពាក្យទីដប់ប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

ដំណោះស្រាយ។ ចាប់តាំងពី $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ហើយយើងត្រូវស្វែងរក $((a)_(15))$ យើងកត់សំគាល់ដូចខាងក្រោម៖

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ក)_(១០))-((ក)_(៥))=៥ឃ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ប៉ុន្តែតាមលក្ខខណ្ឌ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ដូច្នេះ $5d=6$ យើងមាន៖

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ចម្លើយ៖ ២០.៤

អស់ហើយ! យើងមិនចាំបាច់បង្កើតប្រព័ន្ធសមីការណាមួយ ហើយគណនាពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នានោះទេ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានសម្រេចត្រឹមតែពីរបីបន្ទាត់ប៉ុណ្ណោះ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាអំពីបញ្ហាមួយប្រភេទទៀត - ការស្វែងរកសមាជិកអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាននៃវឌ្ឍនភាព។ វាមិនមែនជារឿងសម្ងាត់ទេដែលថា ប្រសិនបើការវិវឌ្ឍន៍កើនឡើង ខណៈពេលដែលពាក្យទីមួយរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន នោះមិនយូរមិនឆាប់ពាក្យវិជ្ជមាននឹងលេចឡើងនៅក្នុងវា។ ហើយផ្ទុយមកវិញ៖ លក្ខខណ្ឌនៃការថយចុះនៃដំណើរការនឹងឆាប់ឬក្រោយមកក្លាយជាអវិជ្ជមាន។

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះវានៅឆ្ងាយពីតែងតែអាចរកឃើញពេលនេះ "នៅលើថ្ងាស" ដោយតម្រៀបតាមលំដាប់នៃធាតុ។ ជារឿយៗ បញ្ហាត្រូវបានរៀបចំឡើងតាមរបៀបដែលដោយមិនដឹងពីរូបមន្ត ការគណនានឹងយកសន្លឹកជាច្រើនសន្លឹក យើងនឹងងងុយគេងរហូតដល់យើងរកឃើញចម្លើយ។ ដូច្នេះ​ហើយ យើង​នឹង​ព្យាយាម​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ទាំងនេះ​ឱ្យ​បាន​លឿន​ជាង​មុន ។

លេខកិច្ចការ 4 ។ តើមានពាក្យអវិជ្ជមានប៉ុន្មានក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ -38.5; -៣៥.៨; …?

ដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះ $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ ដែលយើងរកឃើញភាពខុសគ្នាភ្លាមៗ៖

ចំណាំថាភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះការវិវត្តកំពុងកើនឡើង។ ពាក្យ​ទីមួយ​គឺ​អវិជ្ជមាន ដូច្នេះ​នៅ​ពេល​ណាមួយ​យើង​នឹង​ជំពប់​ដួល​លើ​លេខ​វិជ្ជមាន។ សំណួរតែមួយគត់គឺនៅពេលណាដែលរឿងនេះនឹងកើតឡើង។

ចូរយើងព្យាយាមស្វែងយល់៖ តើរយៈពេលប៉ុន្មាន (ឧ. រហូតដល់ចំនួនធម្មជាតិ $n$) ភាពអវិជ្ជមាននៃលក្ខខណ្ឌត្រូវបានរក្សាទុក៖

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ ត្រឹមត្រូវ។ \\ & -385+27\cdot \left(n-1\right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max))=15. \\ \end(តម្រឹម)\]

បន្ទាត់ចុងក្រោយត្រូវការការបំភ្លឺ។ ដូច្នេះយើងដឹងថា $n \lt 15\frac(7)(27)$ ។ ម៉្យាងវិញទៀត មានតែតម្លៃចំនួនគត់នៃចំនួនគត់ដែលសាកសមនឹងយើង (លើសពីនេះទៅទៀត៖ $n\in \mathbb(N)$) ដូច្នេះចំនួនដែលអាចអនុញ្ញាតបានធំបំផុតគឺ $n=15$ ហើយគ្មានករណី 16 ទេ។

លេខកិច្ចការ 5 ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ ។ ស្វែងរកចំនួននៃពាក្យវិជ្ជមានដំបូងនៃដំណើរការនេះ។

នេះពិតជាបញ្ហាដូចគ្នានឹងបញ្ហាមុនដែរ ប៉ុន្តែយើងមិនដឹង $((a)_(1))$ ទេ។ ប៉ុន្តែពាក្យដែលនៅជិតខាងត្រូវបានគេស្គាល់ថា $((a)_(5))$ និង $((a)_(6))$ ដូច្នេះយើងអាចរកឃើញភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពយ៉ាងងាយស្រួល៖

បន្ថែមពីលើនេះ ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញពាក្យទីប្រាំនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃទីមួយ និងភាពខុសគ្នាដោយប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162 ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវនេះយើងបន្តដោយការប្រៀបធៀបជាមួយបញ្ហាមុន។ យើងស្វែងយល់ថាតើចំណុចអ្វីខ្លះនៅក្នុងលេខវិជ្ជមានលំដាប់របស់យើងនឹងបង្ហាញឡើង៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \\ gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(តម្រឹម)\]

ដំណោះស្រាយចំនួនគត់អប្បបរមានៃវិសមភាពនេះគឺលេខ 56 ។

សូមចំណាំថានៅក្នុងកិច្ចការចុងក្រោយ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាវិសមភាពដ៏តឹងរឹង ដូច្នេះជម្រើស $n=55$ នឹងមិនសមនឹងយើងទេ។

ឥឡូវ​នេះ​យើង​បាន​រៀន​ពី​របៀប​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​សាមញ្ញ​ហើយ សូម​បន្ត​ទៅ​កាន់​បញ្ហា​ស្មុគស្មាញ​បន្ថែម​ទៀត។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងស្វែងយល់អំពីទ្រព្យសម្បត្តិដ៏មានប្រយោជន៍មួយទៀតនៃដំណើរការនព្វន្ធ ដែលនឹងជួយសន្សំសំចៃពេលវេលាច្រើន និងកោសិកាមិនស្មើគ្នានាពេលអនាគត។ :)

មធ្យមនព្វន្ធ និងការចូលបន្ទាត់ស្មើគ្នា

ពិចារណាលក្ខខណ្ឌជាប់ៗគ្នាជាច្រើននៃការកើនឡើងនព្វន្ធ $\left(((a)_(n)) \right)$ ។ តោះព្យាយាមសម្គាល់ពួកវានៅលើបន្ទាត់លេខ៖

សមាជិកវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធនៅលើបន្ទាត់លេខ

ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ជាពិសេសអំពីសមាជិកបំពាន $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, និងមិនមែន $((a)_(1)) , \((a)_(2)),\((a)_(3))$ ។ល។ ដោយសារតែច្បាប់ដែលខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកឥឡូវនេះ ដំណើរការដូចគ្នាសម្រាប់ "ផ្នែក" ណាមួយ។

ហើយច្បាប់គឺសាមញ្ញណាស់។ ចូរយើងចងចាំរូបមន្តដដែលៗ ហើយសរសេរវាចុះសម្រាប់សមាជិកដែលបានសម្គាល់ទាំងអស់៖

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(តម្រឹម)\]

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមភាពទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញខុសគ្នា៖

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(តម្រឹម)\]

អញ្ចឹងតើអ្វីទៅ? ប៉ុន្តែការពិតដែលពាក្យ $((a)_(n-1))$ និង $((a)_(n+1))$ ស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពី $((a)_(n))$ . ហើយចម្ងាយនេះគឺស្មើនឹង $d$។ ដូចគ្នានេះដែរអាចត្រូវបាននិយាយអំពីពាក្យ $((a)_(n-2))$ និង $((a)_(n+2))$ - ពួកគេក៏ត្រូវបានដកចេញពី $((a)_(n) ផងដែរ។ )$ ដោយចម្ងាយដូចគ្នាស្មើនឹង $2d$ ។ អ្នកអាចបន្តដោយគ្មានកំណត់ ប៉ុន្តែរូបភាពបង្ហាញអត្ថន័យបានយ៉ាងល្អ

សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីមជ្ឈមណ្ឌល

តើនេះមានន័យយ៉ាងណាចំពោះយើង? នេះមានន័យថាអ្នកអាចស្វែងរក $((a)_(n))$ ប្រសិនបើលេខដែលនៅជិតខាងត្រូវបានគេស្គាល់៖

\[(((a)_(n))=\frac((((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

យើងបានកាត់ចេញនូវសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏អស្ចារ្យមួយ៖ សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកជិតខាង! លើសពីនេះទៅទៀត យើងអាចបង្វែរពី $((a)_(n))$ របស់យើងទៅខាងឆ្វេង និងទៅខាងស្តាំ មិនមែនមួយជំហានទេ ប៉ុន្តែដោយជំហាន $k$ — ហើយនៅតែរូបមន្តនឹងត្រឹមត្រូវ៖

\[(((a)_(n))=\frac((((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

ទាំងនោះ។ យើងអាចស្វែងរកបានយ៉ាងងាយស្រួល $((a)_(150))$ ប្រសិនបើយើងដឹង $((a)_(100))$ និង $((a)_(200))$ ព្រោះ $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$។ នៅ glance ដំបូង, វាអាចហាក់ដូចជាថាការពិតនេះមិនបានផ្តល់ឱ្យយើងនូវអ្វីដែលមានប្រយោជន៍។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងការអនុវត្ត កិច្ចការជាច្រើនត្រូវបាន "ធ្វើឱ្យច្បាស់" ពិសេសសម្រាប់ការប្រើប្រាស់មធ្យមនព្វន្ធ។ សូមក្រឡេកមើល៖

លេខកិច្ចការ 6 ។ ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃ $x$ ដូចជាលេខ $-6((x)^(2))$, $x+1$ និង $14+4((x)^(2))$ គឺជាសមាជិកជាប់គ្នានៃ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ (តាមលំដាប់ជាក់លាក់) ។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយសារលេខទាំងនេះគឺជាសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពមួយ លក្ខខណ្ឌមធ្យមនព្វន្ធគឺពេញចិត្តសម្រាប់ពួកគេ៖ ធាតុកណ្តាល $x+1$ អាចត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុជិតខាង៖

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(២))+x-៦=០។ \\ \end(តម្រឹម)\]

លទ្ធផល​គឺ​សមីការ​ការ៉េ​បុរាណ។ ឫសរបស់វា៖ $x=2$ និង $x=-3$ គឺជាចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ -៣; ២.

លេខកិច្ចការ 7 ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃ $$ ដែលលេខ $-1;4-3;(()^(2))+1$ បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ (តាមលំដាប់នោះ)។

ដំណោះស្រាយ។ ជាថ្មីម្តងទៀត យើងបង្ហាញពាក្យកណ្តាលក្នុងន័យនព្វន្ធនៃន័យជិតខាង៖

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \\ cdot 2 \\ ស្តាំ។ \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(២))-៧x+៦=០។ \\ \end(តម្រឹម)\]

សមីការ​ការ៉េ​មួយ​ទៀត។ ហើយម្តងទៀតឫសពីរ៖ $x=6$ និង $x=1$ ។

ចម្លើយ៖ ១; ៦.

ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហា អ្នកទទួលបានលេខដ៏ឃោរឃៅមួយចំនួន ឬអ្នកមិនប្រាកដទាំងស្រុងអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃចម្លើយដែលបានរកឃើញនោះ មានល្បិចដ៏អស្ចារ្យមួយដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកពិនិត្យមើល៖ តើយើងបានដោះស្រាយបញ្ហាត្រឹមត្រូវទេ?

ចូរនិយាយថានៅក្នុងបញ្ហាទី 6 យើងទទួលបានចម្លើយ -3 និង 2 ។ តើយើងអាចពិនិត្យមើលដោយរបៀបណាថាចម្លើយទាំងនេះត្រឹមត្រូវ? ចូរយើងគ្រាន់តែដោតពួកវាទៅក្នុងស្ថានភាពដើម ហើយមើលថាមានអ្វីកើតឡើង។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា យើងមានលេខបី ($-6()^(2))$, $+1$ និង $14+4(()^(2))$) ដែលគួរតែបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។ ជំនួស $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & ១៤+៤((x)^(២))=៥០។ \end(តម្រឹម)\]

យើងទទួលបានលេខ -54; −២; 50 ដែលខុសគ្នាដោយ 52 គឺពិតជាការវិវត្តនព្វន្ធ។ រឿងដដែលនេះកើតឡើងសម្រាប់ $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & ១៤+៤((x)^(២))=៣០។ \end(តម្រឹម)\]

ការវិវត្តម្តងទៀត ប៉ុន្តែជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃ 27 ។ ដូច្នេះបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។ អ្នក​ដែល​ប្រាថ្នា​អាច​ពិនិត្យ​កិច្ចការ​ទី​ពីរ​បាន​ដោយ​ខ្លួន​ឯង ប៉ុន្តែ​ខ្ញុំ​នឹង​និយាយ​ភ្លាម​ថា​៖ អ្វីៗ​ក៏​ត្រឹមត្រូវ​ដែរ​។

ជាទូទៅ ពេលដោះស្រាយបញ្ហាចុងក្រោយ យើងបានជំពប់ដួលលើការពិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយទៀត ដែលចាំបាច់ត្រូវចងចាំផងដែរ៖

ប្រសិនបើលេខបីគឺដូចជាលេខ ទីពីរគឺជាមធ្យមនៃទីមួយ និងចុងក្រោយ នោះលេខទាំងនេះបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។

នៅពេលអនាគត ការយល់ដឹងអំពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើង "សាងសង់" តាមព្យញ្ជនៈនូវការវិវត្តចាំបាច់ដោយផ្អែកលើស្ថានភាពនៃបញ្ហា។ ប៉ុន្តែមុនពេលយើងចូលរួមក្នុង "ការសាងសង់" បែបនេះយើងគួរតែយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតមួយទៀតដែលធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីអ្វីដែលបានពិចារណារួចហើយ។

ការដាក់ជាក្រុម និងផលបូកនៃធាតុ

ចូរយើងត្រលប់ទៅបន្ទាត់លេខម្តងទៀត។ យើងកត់សំគាល់ថាមានសមាជិកមួយចំនួននៃវឌ្ឍនភាព រវាងនោះ ប្រហែលជា។ មានតម្លៃសមាជិកផ្សេងទៀតជាច្រើន៖

ធាតុ 6 ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើបន្ទាត់លេខ

តោះព្យាយាមបង្ហាញ "កន្ទុយឆ្វេង" ក្នុងន័យ $((a)_(n))$ និង $d$ និង "កន្ទុយស្តាំ" ក្នុងន័យ $((a)_(k))$ និង $ d$។ វាសាមញ្ញណាស់៖

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវចំណាំថាផលបូកខាងក្រោមគឺស្មើគ្នា៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ស; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ស. \end(តម្រឹម)\]

និយាយឱ្យសាមញ្ញ ប្រសិនបើយើងពិចារណាថាជាធាតុចាប់ផ្តើមពីរនៃវឌ្ឍនភាព ដែលសរុបស្មើនឹងចំនួនមួយចំនួន $S$ ហើយបន្ទាប់មកយើងចាប់ផ្តើមបោះជំហានពីធាតុទាំងនេះក្នុងទិសដៅផ្ទុយគ្នា (ឆ្ពោះទៅរកគ្នាទៅវិញទៅមក ឬផ្ទុយមកវិញដើម្បីផ្លាស់ទីទៅឆ្ងាយ) បន្ទាប់មក ផលបូកនៃធាតុដែលយើងនឹងជំពប់ដួលក៏នឹងស្មើគ្នាដែរ។$S$។ នេះអាចត្រូវបានតំណាងយ៉ាងល្អបំផុតតាមក្រាហ្វិក៖

ការចូលបន្ទាត់ដូចគ្នាផ្តល់ផលបូកស្មើគ្នា

ការយល់ដឹងអំពីការពិតនេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហានៃកម្រិតខ្ពស់ជាមូលដ្ឋាននៃភាពស្មុគស្មាញជាងអ្វីដែលយើងបានពិចារណាខាងលើ។ ឧទាហរណ៍ទាំងនេះ៖

លេខកិច្ចការ 8 ។ កំណត់ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធដែលពាក្យទីមួយគឺ 66 ហើយផលគុណនៃពាក្យទីពីរ និងដប់ពីរគឺតូចបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាន។

ដំណោះស្រាយ។ តោះសរសេរអ្វីទាំងអស់ដែលយើងដឹង៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min ។ \end(តម្រឹម)\]

ដូច្នេះ យើងមិនដឹងពីភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព $d$ ទេ។ តាមពិតដំណោះស្រាយទាំងមូលនឹងត្រូវបានបង្កើតឡើងជុំវិញភាពខុសគ្នា ចាប់តាំងពីផលិតផល $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ អាចសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2)) \\cdot ((a)_(12))=\left(66+d\right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ &=11 \\ cdot ឆ្វេង (d + ៦៦ \\ ស្តាំ) \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦ \\ ស្តាំ) ។ \end(តម្រឹម)\]

សម្រាប់អ្នកនៅក្នុងធុង: ខ្ញុំបានយកកត្តាទូទៅ 11 ចេញពីតង្កៀបទីពីរ។ ដូច្នេះផលិតផលដែលចង់បានគឺជាមុខងារបួនជ្រុងដែលទាក់ទងនឹងអថេរ $d$ ។ ដូច្នេះ សូមពិចារណាមុខងារ $f\left(d\right)=11\left(d+66\right)\left(d+6\right)$ - ក្រាហ្វរបស់វានឹងក្លាយជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានមែកធាងឡើង ពីព្រោះ ប្រសិនបើយើងបើកតង្កៀបយើងទទួលបាន៖

\[\begin(align) & f\left(d\right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(តម្រឹម)\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ មេគុណដែលមានពាក្យខ្ពស់បំផុតគឺ 11 - នេះគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ដូច្នេះយើងពិតជាកំពុងដោះស្រាយជាមួយប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានសាខាឡើងលើ៖

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បួនជ្រុង - ប៉ារ៉ាបូឡា

សូមចំណាំ៖ ប៉ារ៉ាបូឡានេះយកតម្លៃអប្បបរមារបស់វានៅចំនុចកំពូលរបស់វាជាមួយនឹង abscissa $((d)_(0))$ ។ ជាការពិតណាស់ យើងអាចគណនា abscissa នេះតាមគ្រោងការណ៍ស្តង់ដារ (មានរូបមន្ត $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) ប៉ុន្តែវានឹងសមហេតុផលជាងនេះទៅទៀត។ ចំណាំថាចំនុចកំពូលដែលចង់បានស្ថិតនៅលើអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូឡា ដូច្នេះចំនុច $((d)_(0))$ គឺស្មើគ្នាពីឫសនៃសមីការ $f\left(d\right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11 \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦៦ \\ ស្តាំ) \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦ \\ ស្តាំ) = ០; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(តម្រឹម)\]

នោះហើយជាមូលហេតុដែលខ្ញុំមិនប្រញាប់ដើម្បីបើកតង្កៀប: នៅក្នុងទម្រង់ដើមឫសគឺងាយស្រួលរកណាស់។ ដូច្នេះ abscissa គឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃលេខ −66 និង −6:

\[(((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

តើអ្វីផ្តល់ឱ្យយើងនូវលេខដែលបានរកឃើញ? ជាមួយវា ផលិតផលដែលត្រូវការយកតម្លៃតូចបំផុត (ដោយវិធីនេះ យើងមិនបានគណនា $((y)_(\min ))$ - វាមិនត្រូវបានទាមទារពីយើងទេ)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះចំនួននេះគឺជាភាពខុសគ្នានៃការវិវត្តដំបូង, i.e. យើងបានរកឃើញចម្លើយ។ :)

ចម្លើយ៖ -៣៦

លេខកិច្ចការ 9 ។ បញ្ចូលលេខបីរវាងលេខ $-\frac(1)(2)$ និង $-\frac(1)(6)$ ដូច្នេះ រួមជាមួយនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យពួកគេបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ដំណោះស្រាយ។ តាមពិតយើងត្រូវធ្វើលំដាប់លេខប្រាំ ដោយលេខទីមួយ និងលេខចុងក្រោយគេដឹងរួចហើយ។ សម្គាល់លេខដែលបាត់ដោយអថេរ $x$, $y$ និង $z$៖

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(-\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6)\right\ )\]

ចំណាំថាលេខ $y$ គឺជា "កណ្តាល" នៃលំដាប់របស់យើង - វាស្មើគ្នាពីលេខ $x$ និង $z$ និងពីលេខ $-\frac(1)(2)$ និង $-\frac (1)(6)$។ ហើយប្រសិនបើនៅពេលនេះយើងមិនអាចទទួលបាន $y$ ពីលេខ $x$ និង $z$ ទេនោះ ស្ថានភាពគឺខុសគ្នាជាមួយនឹងការបញ្ចប់នៃដំណើរការ។ ចងចាំអត្ថន័យនព្វន្ធ៖

ឥឡូវនេះ ដោយដឹងថា $y$ យើងនឹងរកឃើញលេខដែលនៅសល់។ ចំណាំថា $x$ ស្ថិតនៅចន្លោះ $-\frac(1)(2)$ និង $y=-\frac(1)(3)$ ទើបរកឃើញ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

ប្រកែកស្រដៀងគ្នានេះ យើងរកឃើញចំនួនដែលនៅសល់៖

រួចរាល់ហើយ! យើងបានរកឃើញលេខទាំងបី។ ចូរសរសេរពួកវាចុះក្នុងចំលើយតាមលំដាប់លំដោយ ដែលគួរបញ្ចូលរវាងលេខដើម។

ចម្លើយ៖ $-\frac(5)(12);\-\frac(1)(3);\-\frac(1)(4)$

លេខកិច្ចការ 10 ។ នៅចន្លោះលេខ 2 និង 42 បញ្ចូលលេខជាច្រើនដែលរួមជាមួយនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើគេដឹងថាផលបូកនៃលេខទីមួយ ទីពីរ និងចុងក្រោយនៃលេខដែលបានបញ្ចូលគឺ 56។

ដំណោះស្រាយ។ កិច្ចការដែលពិបាកជាងនេះទៅទៀត ដែលទោះជាយ៉ាងណា វាត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នានឹងកិច្ចការមុនៗដែរ - តាមរយៈមធ្យមនព្វន្ធ។ បញ្ហាគឺយើងមិនដឹងថាត្រូវបញ្ចូលលេខប៉ុន្មានទេ។ ដូច្នេះសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងសន្មត់ថាបន្ទាប់ពីការបញ្ចូលវានឹងមានចំនួន $n$ យ៉ាងពិតប្រាកដ ហើយលេខទីមួយគឺ 2 ហើយចុងក្រោយគឺ 42។ ក្នុងករណីនេះ ការវិវត្តនព្វន្ធដែលចង់បានអាចត្រូវបានតំណាងដូចជា៖

\\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(2;((a)_(2));((a)_(3));...;((( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[(((a)_(2))+((a)_(3))+(a)_(n-1))=56\]

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សូមចំណាំថា លេខ $((a)_(2))$ និង $((a)_(n-1))$ ត្រូវបានទទួលពីលេខ 2 និង 42 ដែលឈរនៅគែមដោយមួយជំហានឆ្ពោះទៅរកគ្នាទៅវិញទៅមក។ , ឧ.. ទៅកណ្តាលនៃលំដាប់។ ហើយនេះមានន័យថា

\[(((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកកន្សោមខាងលើអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចនេះ:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \\right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((ក)_(៣))=៥៦-៤៤=១២។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ដោយដឹងថា $((a)_(3))$ និង $((a)_(1))$ យើងអាចស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការបានយ៉ាងងាយស្រួល៖

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1\right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10 ព្រួញស្ដាំ d=5 ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

វានៅសល់តែដើម្បីស្វែងរកសមាជិកដែលនៅសល់៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(តម្រឹម)\]

ដូច្នេះហើយនៅជំហានទី 9 យើងនឹងមកដល់ចុងខាងឆ្វេងនៃលំដាប់ - លេខ 42 ។ សរុបមកមានតែ 7 លេខប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបញ្ចូល: 7; ១២; ១៧; ២២; ២៧; ៣២; ៣៧.

ចម្លើយ៖ ៧; ១២; ១៧; ២២; ២៧; ៣២; ៣៧

អត្ថបទកិច្ចការជាមួយវឌ្ឍនភាព

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់ពិចារណាពីបញ្ហាសាមញ្ញមួយចំនួន។ ជាការប្រសើរណាស់ ដូចជារឿងសាមញ្ញៗ៖ សម្រាប់សិស្សភាគច្រើនដែលសិក្សាគណិតវិទ្យានៅសាលា ហើយមិនបានអានអ្វីដែលបានសរសេរខាងលើ កិច្ចការទាំងនេះអាចហាក់ដូចជាកាយវិការមួយ។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ វា​គឺ​ជា​កិច្ចការ​ដែល​កើត​ឡើង​ក្នុង​ OGE និង USE ក្នុង​គណិតវិទ្យា ដូច្នេះ​ខ្ញុំ​សូម​ណែនាំ​ឱ្យ​អ្នក​ស្គាល់​ខ្លួន​អ្នក​ជាមួយ​ពួកគេ។

លេខកិច្ចការ 11 ។ ក្រុមនេះផលិតបាន 62 ផ្នែកក្នុងខែមករា ហើយក្នុងខែបន្តបន្ទាប់គ្នា ពួកគេផលិតបាន 14 ផ្នែកច្រើនជាងកាលពីមុន ។ តើកងពលតូចផលិតបានប៉ុន្មានផ្នែកក្នុងខែវិច្ឆិកា?

ដំណោះស្រាយ។ ជាក់ស្តែង ចំនួននៃផ្នែកដែលត្រូវបានលាបពណ៌តាមខែ នឹងក្លាយជាការរីកចំរើនផ្នែកនព្វន្ធ។ និង៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1\right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

ខែវិច្ឆិកា គឺជាខែទី 11 នៃឆ្នាំ ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរក $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ដូច្នេះ 202 ផ្នែកនឹងត្រូវបានផលិតនៅក្នុងខែវិច្ឆិកា។

លេខកិច្ចការ 12 ។ សិក្ខាសាលាចងសៀវភៅបានចងសៀវភៅចំនួន 216 ក្បាលក្នុងខែមករា ហើយជារៀងរាល់ខែវាបានចងសៀវភៅ 4 ក្បាលច្រើនជាងខែមុន។ តើសិក្ខាសាលាបានចងសៀវភៅប៉ុន្មានក្បាលក្នុងខែធ្នូ?

ដំណោះស្រាយ។ ដូចគ្នា​ទាំងអស់:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1\right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ខែធ្នូគឺជាខែចុងក្រោយនៃឆ្នាំទី 12 ដូច្នេះយើងកំពុងស្វែងរក $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

នេះគឺជាចម្លើយ - សៀវភៅចំនួន 260 ក្បាលនឹងត្រូវបានចងនៅខែធ្នូ។

ជាការប្រសើរណាស់, ប្រសិនបើអ្នកបានអានឆ្ងាយនេះ, ខ្ញុំប្រញាប់ដើម្បីអបអរសាទរអ្នក: អ្នកបានបញ្ចប់ដោយជោគជ័យ "វគ្គសិក្សាអ្នកប្រយុទ្ធវ័យក្មេង" នៅក្នុងការរីកចម្រើននព្វន្ធ។ យើងអាចបន្តទៅមេរៀនបន្ទាប់ដោយសុវត្ថិភាព ដែលយើងនឹងសិក្សារូបមន្តផលបូកនៃវឌ្ឍនភាព ក៏ដូចជាផលវិបាកសំខាន់ៗ និងមានប្រយោជន៍បំផុតពីវា។