ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ (ការខ្ចាត់ខ្ចាយ) នៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។ D(X) គឺជាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃគម្លាតការ៉េនៃអថេរចៃដន្យពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។
1 ទ្រព្យសម្បត្តិ. ការបែកខ្ញែកនៃ C ថេរគឺសូន្យ; D(C) = 0 ។
ភស្តុតាង។តាមនិយមន័យនៃភាពខុសគ្នា D(C) = M(2)។
ពីទ្រព្យសម្បត្តិទីមួយនៃការរំពឹងទុក D(C) = M[(C – C) 2 ] = M(0) = 0 ។
២ ទ្រព្យសម្បត្តិ។កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាបែកខ្ញែកដោយការបំបែកវា៖
D(CX) = C 2 D(X)
ភស្តុតាង។តាមនិយមន័យនៃការប្រែប្រួល D(CX) = M(2)
ពីទ្រព្យសម្បត្តិរំពឹងទុកទីពីរ D(CX)=M(2)=C 2 M(2)=C 2 D(X)
៣ ទ្រព្យ។បំរែបំរួលនៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃបំរែបំរួលនៃអថេរទាំងនេះ៖
D = D[X] + D ។
ភស្តុតាង។យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់គណនាវ៉ារ្យង់យើងមាន
D(X+Y) = M[(X+Y) 2] − 2
ការបើកតង្កៀប និងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃបរិមាណជាច្រើន និងផលនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យពីរ យើងទទួលបាន
D(X + Y) = M − 2 = M(X2) + 2M(X)M(Y) + M(Y2) − M2(X) − 2M(X)M(Y) − M2(Y) = ( M(X2) − 2)+(M(Y2) − 2) = D(X) + D(Y)។ ដូច្នេះ D(X + Y) = D(X) + D(Y)
៤ ទ្រព្យ. បំរែបំរួលនៃភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃបំរែបំរួលរបស់ពួកគេ៖
D(X − Y) = D(X) + D(Y)
ភស្តុតាង។ដោយគុណធម៌ទីបី D(X − Y) = D(X) + D(–Y) ។ ដោយទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរ
D(X − Y) = D(X) + (–1) 2 D(Y) ឬ D(X − Y) = D(X) + D(Y)
លក្ខណៈជាលេខនៃប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យ។ មេគុណទំនាក់ទំនង, លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមេគុណទំនាក់ទំនង។
ពេលទំនាក់ទំនង។លក្ខណៈនៃការពឹងផ្អែករវាងអថេរចៃដន្យគឺជាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃគម្លាត និងពីមជ្ឈមណ្ឌលនៃការចែកចាយរបស់ពួកគេ (ដូចដែលការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថាពេលខ្លះ) ដែលត្រូវបានគេហៅថាពេលជាប់ទាក់ទងគ្នា ឬភាពប្រែប្រួល៖
ដើម្បីគណនាពេលជាប់ទាក់ទងគ្នានៃតម្លៃដាច់ពីគ្នា រូបមន្តខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖
និងសម្រាប់បរិមាណបន្ត - រូបមន្ត៖
មេគុណទំនាក់ទំនង rxy នៃអថេរចៃដន្យ X និង Y គឺជាសមាមាត្រនៃពេលវេលាជាប់ទាក់ទងគ្នាទៅនឹងផលិតផលនៃគម្លាតស្តង់ដារនៃតម្លៃ៖
- មេគុណទំនាក់ទំនង;
គុណលក្ខណៈមេគុណទំនាក់ទំនង៖
1. ប្រសិនបើ X និង Y គឺជាអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ នោះ r = 0;
2. -1≤ r ≤1 .លើសពីនេះទៀត ប្រសិនបើ |r| =1 បន្ទាប់មករវាង X និង Y គឺជាមុខងារមួយ ពោលគឺទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែរ។
3. r កំណត់តម្លៃដែលទាក់ទងនៃគម្លាតនៃ M(XY) ពី M(X)M(Y) ហើយចាប់តាំងពី គម្លាតកើតឡើងសម្រាប់តែបរិមាណអាស្រ័យ បន្ទាប់មក r កំណត់លក្ខណៈតឹងនៃការពឹងផ្អែក។
មុខងារតំរែតំរង់លីនេអ៊ែរ។
ពិចារណាអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ (X, Y) ដែល X និង Y គឺជាអថេរចៃដន្យអាស្រ័យ។ យើងតំណាងឱ្យបរិមាណមួយជាមុខងាររបស់មួយទៀត។ យើងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងទៅនឹងតំណាងប្រហាក់ប្រហែល (ការប៉ាន់ស្មានពិតប្រាកដ ជាទូទៅគឺមិនអាចទៅរួចទេ) នៃ Y ជាមុខងារលីនេអ៊ែរនៃ X:
ដែល α និង β គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលត្រូវកំណត់។
ទ្រឹស្តីបទ។ តំរែតំរង់ការ៉េមធ្យមលីនេអ៊ែរ Y នៅលើ X មានទម្រង់
កន្លែងណា m x = M(X), m y = M(Y), σ x =√D(X), σ y =√D(Y), r=µ xy /(σ x σ y)- មេគុណទំនាក់ទំនងនៃតម្លៃ X និង Y ។
មេគុណ β = rσ y / σ x ត្រូវបានហៅ មេគុណតំរែតំរង់ Y ទៅ X និងបន្ទាត់ត្រង់
ហៅថាត្រង់ មានន័យថា តំរែតំរង់ការ៉េ
Y ដល់ X ។
វិសមភាព Markov ។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីវិសមភាពរបស់ Markov
ប្រសិនបើគ្មានតម្លៃអវិជ្ជមាននៃអថេរ X ទេនោះប្រូបាប៊ីលីតេដែលវានឹងយកលើតម្លៃមួយចំនួនដែលលើសពីចំនួនវិជ្ជមាន A គឺមិនលើសពីប្រភាគ ពោលគឺឧ។
ហើយប្រូបាប៊ីលីតេដែលវានឹងយកលើតម្លៃមួយចំនួនដែលមិនលើសពីចំនួនវិជ្ជមាន A គឺមិនតិចជាង , i.e.
វិសមភាពរបស់ Chebyshev ។
វិសមភាពរបស់ Chebyshev. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យ X ពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វានៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាតគឺតិចជាងចំនួនវិជ្ជមាន ε មិនតិចជាង 1 −D[X]ε 2
P(|X–M(X)|< ε) ≥ 1 –D(X)ε 2
ភស្តុតាង។ចាប់តាំងពីព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការសម្រេចនៃវិសមភាព
P(|X−M(X)|< ε) и P(|X – M(X)| ≥ε) противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.
P(|X–M(X)|< ε) + P(|X – M(X)| ≥ ε) = 1.
ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលយើងចាប់អារម្មណ៍
P(|X–M(X)|< ε) = 1 − P(|X – M(X)| > ε).
ដូច្នេះបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេ P(|X –M(X)| ≥ ε) ។
ចូរយើងសរសេរកន្សោមសម្រាប់បំរែបំរួលនៃអថេរ X
D(X) = 2p1 + 2p2 + ។ . . + 2 ភី
លក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃផលបូកនេះគឺមិនអវិជ្ជមានទេ។ យើងបោះបង់លក្ខខណ្ឌដែល |x i – M(X)|< ε (для оставшихся слагаемых |x j – M(X)| ≥ ε), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,
D(X) ≥ 2 p k + 1 + 2 p k + 2 + ។ . . + 2 ភី
ផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាព |x j –M(X)| ≥ ε (j = k+1, k+2, ..., n) គឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះការបំបែកពួកវា យើងទទួលបានវិសមភាពសមមូល |x j – M(X)| 2 ≥ε 2 .ការជំនួសកត្តានីមួយៗក្នុងផលបូកដែលនៅសល់
|xj – M(X)| 2 ដោយលេខε 2 (ក្នុងករណីនេះវិសមភាពអាចកើនឡើងតែប៉ុណ្ណោះ) យើងទទួលបាន
D(X) ≥ ε 2 (p k+1 + p k+2 + ... + p n)
តាមទ្រឹស្តីបទបន្ថែម ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺ p k + 1 + p k + 2 + ។ . .+p n គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេដែល X នឹងយកមួយ ទោះជាតម្លៃណាក៏ដោយ x k+1 +x k+2 + ។ . .+x n ហើយសម្រាប់ពួកវាណាមួយ គម្លាតបំពេញនូវវិសមភាព |x j – M(X)| ≥ ε វាធ្វើតាមថាផលបូក p k + 1 + p k + 2 + ។ . . + p n បង្ហាញពីប្រូបាប៊ីលីតេ
P(|X–M(X)| ≥ ε)។
នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាពសម្រាប់ D(X) ជា
D(X) ≥ ε 2 P(|X – M(X)| ≥ ε)
P(|X–M(X)|≥ ε) ≤D(X)/ε ២
ទីបំផុតយើងទទួលបាន
P(|X–M(X)|< ε) ≥D(X)/ε 2
ទ្រឹស្តីបទ Chebyshev ។
ទ្រឹស្តីបទ Chebyshev. ប្រសិនបើ ក - បំរែបំរួលចៃដន្យឯករាជ្យជាគូ ហើយការប្រែប្រួលរបស់វាមានកម្រិតដូចគ្នា (កុំលើសពីចំនួនថេរជាមួយ ) មិនថាចំនួនវិជ្ជមានតូចប៉ុនណាទេ។ε , ប្រូបាប៊ីលីតេនៃវិសមភាព
នឹងមានភាពជិតស្និទ្ធនឹងការរួបរួម ប្រសិនបើចំនួនអថេរចៃដន្យមានទំហំធំល្មម។
នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ
ភស្តុតាង. ចូរយើងណែនាំឲ្យពិចារណាលើអថេរចៃដន្យថ្មីមួយ - មធ្យមនព្វន្ធនៃអថេរចៃដន្យ
អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា X. ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា (កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃពាក្យ) , យើងទទួលបាន
| (1) |
ការអនុវត្តវិសមភាព Chebyshev ទៅ X យើងមាន
ឬដោយគិតពីទំនាក់ទំនង (1)
ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវ៉ារ្យ៉ង់ (កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាវ៉ារ្យង់ដោយការបំបែកវា; ភាពខុសគ្នានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃវ៉ារ្យ៉ង់នៃពាក្យ) យើងទទួលបាន
តាមលក្ខខណ្ឌ ការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យទាំងអស់ត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួនថេរ C, i.e. មានភាពមិនស្មើគ្នា៖
 (2)
|
ការជំនួសផ្នែកខាងស្តាំនៃ (2) ទៅជាវិសមភាព (1) (ហេតុអ្វីបានជាក្រោយអាចត្រូវបានពង្រឹង) យើងមាន
ដូច្នេះ ការឆ្លងដល់ដែនកំណត់ជា n →∞ យើងទទួលបាន
ជាចុងក្រោយ ដោយសារប្រូបាប៊ីលីតេមិនអាចលើសពីមួយ ទីបំផុតយើងអាចសរសេរបាន។
ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។
ទ្រឹស្តីបទ Bernoulli ។
ទ្រឹស្តីបទ Bernoulli. ប្រសិនបើនៅក្នុងការសាកល្បងឯករាជ្យនីមួយៗនៃ n ប្រូបាប៊ីលីតេ p នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A គឺថេរ នោះប្រូបាប៊ីលីតេគឺនៅជិតនឹងការរួបរួមដោយបំពានដែលគម្លាតនៃប្រេកង់ដែលទាក់ទងពីប្រូបាប៊ីលីតេ p ក្នុងតម្លៃដាច់ខាតនឹងមានតិចតួចតាមអំពើចិត្ត ប្រសិនបើចំនួននៃការសាកល្បង មានទំហំធំល្មម។
នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ប្រសិនបើ ε គឺជាចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្ត នោះនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ យើងមានសមភាព
ភស្តុតាង. បញ្ជាក់ដោយ x1អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក - ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការធ្វើតេស្តដំបូងតាមរយៈ x2- នៅទីពីរ ... , X ន- ក្នុង នការធ្វើតេស្ត។ វាច្បាស់ណាស់ថាបរិមាណនីមួយៗអាចយកតែតម្លៃពីរប៉ុណ្ណោះ៖ 1 (ព្រឹត្តិការណ៍ A បានកើតឡើង) ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ ទំនិង 0 (ព្រឹត្តិការណ៍មិនបានកើតឡើង) ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ .
ប្រធានបទ 8.12 ។ ការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យ។
អូបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យគឺជាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃគម្លាតការេនៃអថេរចៃដន្យពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។
ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយកំណត់លក្ខណៈកម្រិតនៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យទាក់ទងទៅនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។ ប្រសិនបើតម្លៃទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យមួយត្រូវបានប្រមូលផ្តុំយ៉ាងជិតស្និទ្ធជុំវិញការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា ហើយគម្លាតដ៏ធំពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺមិនទំនងទេ នោះអថេរចៃដន្យបែបនេះមានការបែកខ្ញែកតូចមួយ។ ប្រសិនបើតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានខ្ចាត់ខ្ចាយ និងមានប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់នៃគម្លាតធំពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា នោះអថេរចៃដន្យបែបនេះមានការបែកខ្ញែកធំ។
ដោយប្រើនិយមន័យនៃវ៉ារ្យង់ សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក រូបមន្តសម្រាប់គណនាវ៉ារ្យង់អាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ
អ្នកអាចទាញយករូបមន្តផ្សេងទៀតសម្រាប់គណនាបំរែបំរួល៖
ដូច្នេះ ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការ៉េនៃអថេរចៃដន្យ និងការ៉េនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។
លក្ខណៈសម្បត្តិបែកខ្ញែក។
យើងទុកទ្រព្យសម្បត្តិនេះដោយគ្មានភស្តុតាង។
ច្បាប់នៃការចែកចាយប៊ីណូម៉ា។
សូមឱ្យលេខត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ n ជាកម្មសិទ្ធិ ននិង ទំ(0 <ទំ< មួយ) បន្ទាប់មកចំនួនគត់នីមួយៗពីចន្លោះពេលអាចត្រូវបានផ្តល់ប្រូបាបដែលត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli ។ ចូរយើងទទួលបានច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ (សូមហៅវាថា B(betta))
យើងនឹងនិយាយថាអថេរចៃដន្យត្រូវបានចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ Bernoulli ។ អថេរចៃដន្យបែបនេះគឺជាភាពញឹកញាប់នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ក្នុង នការសាកល្បងឯករាជ្យម្តងហើយម្តងទៀត ប្រសិនបើនៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍សាកល្បងនីមួយៗ A កើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ ទំ.
ពិចារណាដាច់ដោយឡែក ខ្ញុំ- e តេស្ត។ ចន្លោះនៃលទ្ធផលបឋមសម្រាប់វាមានទម្រង់
ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យមួយត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងប្រធានបទមុន។
សម្រាប់ ខ្ញុំ= 1,2, ... , នយើងទទួលបានប្រព័ន្ធពី នអថេរចៃដន្យឯករាជ្យដែលមានច្បាប់ចែកចាយដូចគ្នា។ 
ឧទាហរណ៍។
ក្នុងចំណោមគំរូផលិតផលចំនួន 20 ដែលបានជ្រើសរើសសម្រាប់ការគ្រប់គ្រង 4 បានប្រែក្លាយទៅជាមិនមានស្តង់ដារ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងប៉ាន់ស្មានប្រូបាប៊ីលីតេដែលច្បាប់ចម្លងដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនៃផលិតផលមិនបំពេញតាមស្តង់ដារដោយសមាមាត្រ R *= 4/20 = 0,2.
ជា Xតម្លៃចៃដន្យ, R *ក៏ជាអថេរចៃដន្យផងដែរ។ តម្លៃ R *អាចប្រែប្រួលពីការពិសោធន៍មួយទៅការពិសោធន៍មួយទៀត (ក្នុងករណីដែលកំពុងពិចារណា ការពិសោធន៍គឺជាការជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ និងគ្រប់គ្រងផលិតផលចំនួន 20)។ តើអ្វីទៅជាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា R *? ដរាបណា Xគឺជាអថេរចៃដន្យតំណាងឱ្យចំនួនជោគជ័យនៅក្នុង នការធ្វើតេស្ត Bernoulli, ម( x) = np. សម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ រ* តាមនិយមន័យយើងទទួលបាន៖ ម(ទំ*) = M(x/n), ប៉ុន្តែ ននៅទីនេះគឺថេរ ដូច្នេះដោយទ្រព្យសម្បត្តិរំពឹងទុក
ម(ទំ*) = 1/n*M(x)=1/n np=p
ដូច្នេះ "មធ្យម" គឺជាតម្លៃពិត រដែលត្រូវរំពឹងទុក។ នេះគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិនៃការវាយតម្លៃ R*បរិមាណ រមានឈ្មោះ៖ R*គឺជា មិនលំអៀងការវាយតម្លៃសម្រាប់ រ. មិនមានគម្លាតជាប្រព័ន្ធពីតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រប៉ាន់ស្មានទេ។ របញ្ជាក់ពីលទ្ធភាពនៃការប្រើប្រាស់តម្លៃ R*ជាការប៉ាន់ស្មាន។ យើងទុកសំណួរអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃការប៉ាន់ប្រមាណបើកសម្រាប់ពេលនេះ។
ការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលគណិតវិទ្យាគឺជាលក្ខណៈលេខដែលប្រើជាទូទៅបំផុតនៃអថេរចៃដន្យ។ ពួកគេកំណត់លក្ខណៈសំខាន់បំផុតនៃការចែកចាយ: ទីតាំងនិងកម្រិតនៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយរបស់វា។ នៅក្នុងបញ្ហាជាច្រើននៃការអនុវត្ត ការពិពណ៌នាពេញលេញ និងពេញលេញនៃអថេរចៃដន្យ - ច្បាប់នៃការចែកចាយ - មិនអាចទទួលបានទាល់តែសោះ ឬមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះ។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ ពួកវាត្រូវបានកំណត់ចំពោះការពិពណ៌នាប្រហាក់ប្រហែលនៃអថេរចៃដន្យដោយប្រើលក្ខណៈលេខ។
ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា ជារឿយៗត្រូវបានគេសំដៅយ៉ាងសាមញ្ញថាជាតម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ។ ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃអថេរចៃដន្យគឺជាលក្ខណៈនៃការបែកខ្ញែក ការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យជុំវិញការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក
ចូរយើងខិតទៅជិតគោលគំនិតនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ជាដំបូងបន្តពីការបកស្រាយមេកានិចនៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាស់ឯកតាត្រូវបានចែកចាយរវាងចំនុចនៃអ័ក្ស x x1 , x 2 , ..., xនហើយចំនុចសម្ភារៈនីមួយៗមានម៉ាស់ដែលត្រូវគ្នានឹងវាពី ទំ1 , ទំ 2 , ..., ទំន. វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីជ្រើសរើសចំណុចមួយនៅលើអ័ក្ស x ដែលកំណត់លក្ខណៈទីតាំងនៃប្រព័ន្ធទាំងមូលនៃចំណុចសម្ភារៈដោយគិតគូរពីម៉ាស់របស់វា។ វាជាធម្មជាតិក្នុងការយកចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាសនៃប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈដូចជាចំណុចមួយ។ នេះគឺជាទម្ងន់មធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ Xដែលក្នុងនោះ abscissa នៃចំណុចនីមួយៗ xខ្ញុំបញ្ចូលជាមួយ "ទម្ងន់" ស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា។ តម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យបានទទួលដូច្នេះ Xត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។
ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក គឺជាផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់របស់វា និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះ៖
ឧទាហរណ៍ ១ឆ្នោតឈ្នះ-ឈ្នះត្រូវបានរៀបចំឡើង។ មានការឈ្នះចំនួន 1000 ដែលក្នុងនោះ 400 គឺ 10 រូប្លិកនីមួយៗ។ 300 - 20 rubles គ្នា។ 200 - 100 rubles គ្នា។ និង 100 - 200 rubles គ្នា។ តើការឈ្នះជាមធ្យមសម្រាប់អ្នកដែលទិញសំបុត្រមួយគឺជាអ្វី?
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងនឹងរកឃើញការឈ្នះជាមធ្យម ប្រសិនបើចំនួនសរុបនៃការឈ្នះដែលស្មើនឹង 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 rubles ត្រូវបានបែងចែកដោយ 1000 (ចំនួនសរុបនៃការឈ្នះ)។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន 50000/1000 = 50 rubles ។ ប៉ុន្តែកន្សោមសម្រាប់គណនាការចំណេញមធ្យមក៏អាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖
ម៉្យាងទៀតនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌទាំងនេះចំនួននៃការឈ្នះគឺជាអថេរចៃដន្យដែលអាចទទួលយកតម្លៃ 10, 20, 100 និង 200 រូប្លិ៍។ ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេស្មើនឹង 0.4 រៀងគ្នា; 0.3; 0.2; ០.១. ដូច្នេះការសងជាមធ្យមដែលរំពឹងទុកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃទំហំនៃការទូទាត់សង និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលពួកគេ។
ឧទាហរណ៍ ២អ្នកបោះពុម្ពបានសម្រេចចិត្តបោះពុម្ពសៀវភៅថ្មី។ គាត់នឹងលក់សៀវភៅនេះក្នុងតម្លៃ 280 រូប្លិ ដែលក្នុងនោះ 200 នឹងត្រូវផ្តល់ឱ្យគាត់ 50 ទៅហាងលក់សៀវភៅ និង 30 ដល់អ្នកនិពន្ធ។ តារាងផ្តល់ព័ត៌មានអំពីតម្លៃនៃការបោះពុម្ពសៀវភៅ និងលទ្ធភាពនៃការលក់សៀវភៅមួយចំនួន។
ស្វែងរកប្រាក់ចំណេញដែលរំពឹងទុករបស់អ្នកបោះពុម្ពផ្សាយ។
ការសម្រេចចិត្ត។ អថេរចៃដន្យ "ប្រាក់ចំណេញ" គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងប្រាក់ចំណូលពីការលក់ និងតម្លៃនៃការចំណាយ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើសៀវភៅ 500 ច្បាប់ត្រូវបានលក់នោះប្រាក់ចំណូលពីការលក់គឺ 200 * 500 = 100,000 ហើយតម្លៃនៃការបោះពុម្ពគឺ 225,000 រូប្លិ៍។ ដូច្នេះអ្នកបោះពុម្ពត្រូវប្រឈមនឹងការបាត់បង់ 125,000 រូប្លិ៍។ តារាងខាងក្រោមសង្ខេបតម្លៃដែលរំពឹងទុកនៃអថេរចៃដន្យ - ប្រាក់ចំណេញ៖
| ចំនួន | ប្រាក់ចំណេញ xខ្ញុំ | ប្រូបាប៊ីលីតេ ទំខ្ញុំ | xខ្ញុំ ទំខ្ញុំ |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| សរុប៖ | 1,00 | 25000 |
ដូច្នេះ យើងទទួលបានការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃប្រាក់ចំណេញរបស់អ្នកបោះពុម្ពផ្សាយ៖
.
ឧទាហរណ៍ ៣មានឱកាសវាយមួយគ្រាប់ ទំ= 0.2 ។ កំណត់ការប្រើប្រាស់សំបកដែលផ្តល់នូវការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃចំនួននៃការចុចស្មើ 5 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ ពីរូបមន្តរំពឹងទុកដូចគ្នាដែលយើងបានប្រើកន្លងមក យើងបង្ហាញ x- ការប្រើប្រាស់សំបក៖
.
ឧទាហរណ៍ 4កំណត់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ xចំនួននៃការវាយជាមួយការបាញ់ចំនួនបី ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយដោយការបាញ់នីមួយៗ ទំ = 0,4 .
ព័ត៌មានជំនួយ៖ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យដោយ រូបមន្ត Bernoulli .
ទ្រព្យសម្បត្តិរំពឹងទុក
ពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។
ទ្រព្យ ១.ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃតម្លៃថេរគឺស្មើនឹងតម្លៃថេរនេះ៖
ទ្រព្យ ២.កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញារំពឹងទុក៖
ទ្រព្យ ៣.ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖
ទ្រព្យ ៤.ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖
ទ្រព្យ ៥.ប្រសិនបើតម្លៃទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យ Xថយចុះ (កើនឡើង) ដោយចំនួនដូចគ្នា។ ជាមួយបន្ទាប់មកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វានឹងថយចុះ (កើនឡើង) ដោយចំនួនដូចគ្នា៖
នៅពេលដែលអ្នកមិនអាចត្រូវបានកំណត់ត្រឹមតែការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ។
ក្នុងករណីភាគច្រើន មានតែការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ មិនអាចកំណត់លក្ខណៈបានគ្រប់គ្រាន់នៃអថេរចៃដន្យនោះទេ។
អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ Xនិង យត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយច្បាប់ចែកចាយដូចខាងក្រោមៈ
| អត្ថន័យ X | ប្រូបាប៊ីលីតេ |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| អត្ថន័យ យ | ប្រូបាប៊ីលីតេ |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃបរិមាណទាំងនេះគឺដូចគ្នា - ស្មើសូន្យ៖
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយការចែកចាយរបស់ពួកគេគឺខុសគ្នា។ តម្លៃចៃដន្យ Xអាចយកតែតម្លៃដែលខុសគ្នាតិចតួចពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ហើយអថេរចៃដន្យ យអាចយកតម្លៃដែលខុសពីការរំពឹងទុកខាងគណិតវិទ្យាយ៉ាងខ្លាំង។ ឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នានេះ៖ ប្រាក់ឈ្នួលជាមធ្យមមិនធ្វើឱ្យវាអាចវិនិច្ឆ័យសមាមាត្រនៃកម្មករដែលមានប្រាក់ខែខ្ពស់ និងទាបនោះទេ។ ម៉្យាងទៀត តាមការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា មនុស្សម្នាក់មិនអាចវិនិច្ឆ័យថាតើគម្លាតណាមួយពីវាទេ យ៉ាងហោចណាស់ជាមធ្យមអាចធ្វើទៅបាន។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវស្វែងរកភាពប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យ។
ការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។
ការបែកខ្ញែកអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក Xត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការ៉េនៃគម្លាតរបស់វាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖
គម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យ Xគឺជាតម្លៃនព្វន្ធនៃឫសការ៉េនៃការប្រែប្រួលរបស់វា៖
.
ឧទាហរណ៍ ៥គណនាបំរែបំរួល និងគម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យ Xនិង យដែលច្បាប់នៃការចែកចាយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងតារាងខាងលើ។
ការសម្រេចចិត្ត។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ Xនិង យដូចដែលបានរកឃើញខាងលើគឺស្មើនឹងសូន្យ។ យោងតាមរូបមន្តបំបែកសម្រាប់ អ៊ី(X)=អ៊ី(y)=0 យើងទទួលបាន៖
បន្ទាប់មកគម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យ Xនិង យបង្កើត
.
ដូច្នេះជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដូចគ្នា ភាពប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យ Xតូចនិងចៃដន្យណាស់។ យ- សំខាន់។ នេះគឺជាផលវិបាកនៃភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយរបស់ពួកគេ។
ឧទាហរណ៍ ៦វិនិយោគិនមានគម្រោងវិនិយោគជំនួសចំនួន ៤។ តារាងសង្ខេបទិន្នន័យអំពីប្រាក់ចំណេញដែលរំពឹងទុកនៅក្នុងគម្រោងទាំងនេះជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា។
| គម្រោង ១ | គម្រោង ២ | គម្រោង ៣ | គម្រោង ៤ |
| 500, ទំ=1 | 1000, ទំ=0,5 | 500, ទំ=0,5 | 500, ទំ=0,5 |
| 0, ទំ=0,5 | 1000, ទំ=0,25 | 10500, ទំ=0,25 | |
| 0, ទំ=0,25 | 9500, ទំ=0,25 |
ស្វែងរកជម្រើសនីមួយៗ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា វ៉ារ្យ៉ង់ និងគម្លាតស្តង់ដារ។
ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលបរិមាណទាំងនេះត្រូវបានគណនាសម្រាប់ជម្រើសទី 3៖
តារាងសង្ខេបតម្លៃដែលបានរកឃើញសម្រាប់ជម្រើសទាំងអស់។
ជម្មើសជំនួសទាំងអស់មានការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដូចគ្នា។ នេះមានន័យថា ក្នុងរយៈពេលវែង មនុស្សគ្រប់រូបមានប្រាក់ចំណូលដូចគ្នា។ គម្លាតស្តង់ដារអាចត្រូវបានបកស្រាយថាជារង្វាស់នៃហានិភ័យ - វាកាន់តែធំ ហានិភ័យនៃការវិនិយោគកាន់តែធំ។ វិនិយោគិនដែលមិនចង់បានហានិភ័យច្រើននឹងជ្រើសរើសគម្រោង 1 ព្រោះវាមានគម្លាតស្តង់ដារតូចបំផុត (0)។ ប្រសិនបើអ្នកវិនិយោគចូលចិត្តហានិភ័យ និងប្រាក់ចំណេញខ្ពស់ក្នុងរយៈពេលខ្លី នោះគាត់នឹងជ្រើសរើសគម្រោងដែលមានគម្លាតស្តង់ដារធំបំផុត - គម្រោងទី 4 ។
លក្ខណៈសម្បត្តិបែកខ្ញែក
ចូរយើងបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែកខ្ញែក។
ទ្រព្យ ១.ការបែកខ្ញែកនៃតម្លៃថេរគឺសូន្យ៖
ទ្រព្យ ២.កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាបែកខ្ញែកដោយការបំបែកវា៖
.
ទ្រព្យ ៣.បំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការ៉េនៃតម្លៃនេះ ដែលការេនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃតម្លៃខ្លួនវាត្រូវបានដក៖
,
កន្លែងណា 
.
ទ្រព្យ ៤.ភាពខុសគ្នានៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃបំរែបំរួលរបស់វា៖
ឧទាហរណ៍ ៧វាត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក Xយកតែតម្លៃពីរ៖ −3 និង 7។ លើសពីនេះ ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេស្គាល់៖ អ៊ី(X) = ៤. ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក។
ការសម្រេចចិត្ត។ បញ្ជាក់ដោយ ទំប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យយកតម្លៃ x1 = −3 . បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃ x2 = 7 នឹងមាន 1 − ទំ. ចូរយើងទាញយកសមីការសម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖
អ៊ី(X) = x 1 ទំ + x 2 (1 − ទំ) = −3ទំ + 7(1 − ទំ) = 4 ,
កន្លែងដែលយើងទទួលបានប្រូបាប៊ីលីតេ៖ ទំ= 0.3 និង 1 − ទំ = 0,7 .
ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ៖
| X | −3 | 7 |
| ទំ | 0,3 | 0,7 |
យើងគណនាបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យនេះដោយប្រើរូបមន្តពីលក្ខណៈសម្បត្តិ 3 នៃវ៉ារ្យង់៖
ឃ(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកមើលដំណោះស្រាយ
ឧទាហរណ៍ ៨អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក Xយកតែពីរតម្លៃ។ វាយកតម្លៃធំជាងនៃ 3 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.4 ។ លើសពីនេះ ភាពប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានគេស្គាល់ ឃ(X) = ៦. ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ។
ឧទាហរណ៍ ៩កោដ្ឋមួយមានគ្រាប់ពណ៌ស៦ និងគ្រាប់ខ្មៅ៤ ។ បាល់ចំនួន ៣ ត្រូវបានគេយកចេញពីកោដ្ឋ។ ចំនួនបាល់ពណ៌សក្នុងចំណោមបាល់ដែលបានគូរគឺជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X. ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យនេះ។
ការសម្រេចចិត្ត។ តម្លៃចៃដន្យ Xអាចយកតម្លៃ 0, 1, 2, 3 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នាអាចត្រូវបានគណនាពី ក្បួនគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ. ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ៖
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| ទំ | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
ដូច្នេះការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យនេះ៖
ម(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
បំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺ៖
ឃ(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់
សម្រាប់អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ ការបកស្រាយមេកានិកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានឹងរក្សាបាននូវអត្ថន័យដូចគ្នា៖ ចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់សម្រាប់ម៉ាស់ឯកតាដែលចែកចាយបន្តនៅលើអ័ក្ស x ជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេ f(x) ផ្ទុយទៅនឹងអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ដែលអាគុយម៉ង់មុខងារ xខ្ញុំផ្លាស់ប្តូរភ្លាមៗ សម្រាប់អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ អាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់។ ប៉ុន្តែការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យបន្តគឺទាក់ទងទៅនឹងតម្លៃមធ្យមរបស់វាផងដែរ។
ដើម្បីស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ អ្នកត្រូវស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ . ប្រសិនបើអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេនៃអថេរចៃដន្យបន្តត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះវាចូលទៅក្នុងអាំងតេក្រាលដោយផ្ទាល់។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះដោយការបែងចែកវា អ្នកត្រូវស្វែងរកអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេ។
មធ្យមនព្វន្ធនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យបន្តត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាតំណាងដោយ ឬ .
កាលពីមុន យើងបានផ្តល់រូបមន្តមួយចំនួនដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកលក្ខណៈលេខនៃអនុគមន៍ នៅពេលដែលច្បាប់ចែកចាយនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានគេស្គាល់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយក្នុងករណីជាច្រើនដើម្បីស្វែងរកលក្ខណៈលេខនៃមុខងារវាមិនចាំបាច់សូម្បីតែដឹងពីច្បាប់នៃការចែកចាយអាគុយម៉ង់ប៉ុន្តែវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងតែលក្ខណៈលេខមួយចំនួនរបស់ពួកគេប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុងករណីនេះ យើងធ្វើដោយគ្មានច្បាប់នៃការចែកចាយអ្វីទាំងអស់។ ការកំណត់លក្ខណៈលេខនៃអនុគមន៍ដោយលក្ខណៈលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអាគុយម៉ង់ ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលយ៉ាងសំខាន់នូវដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាមួយចំនួន។ សម្រាប់ផ្នែកភាគច្រើន វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញបែបនេះទាក់ទងនឹងមុខងារលីនេអ៊ែរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មុខងារដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរបឋមមួយចំនួនក៏អនុញ្ញាតឱ្យមានវិធីសាស្រ្តនេះផងដែរ។
ក្នុងពេលបច្ចុប្បន្ននេះ យើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទមួយចំនួនលើលក្ខណៈជាលេខនៃមុខងារ ដែលសរុបទាំងអស់របស់វាតំណាងឱ្យឧបករណ៍សាមញ្ញបំផុតសម្រាប់ការគណនាលក្ខណៈទាំងនេះ ដែលអាចអនុវត្តបានក្នុងលក្ខខណ្ឌដ៏ធំទូលាយមួយ។
1. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរដែលមិនចៃដន្យ
ទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់គឺជាក់ស្តែង។ វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការពិចារណាអថេរដែលមិនមែនជាចៃដន្យជាប្រភេទជាក់លាក់នៃចៃដន្យមួយ ជាមួយនឹងតម្លៃដែលអាចធ្វើបានជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃមួយ។ បន្ទាប់មកយោងតាមរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖
.
2. ការបែកខ្ញែកនៃអថេរដែលមិនចៃដន្យ
ប្រសិនបើតម្លៃមិនចៃដន្យនោះ
3. ការដកអថេរដែលមិនចៃដន្យលើសពីសញ្ញានៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា
, (10.2.1)
ឧ. តម្លៃដែលមិនចៃដន្យអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញារំពឹងទុក។
ភស្តុតាង។
ក) សម្រាប់បរិមាណមិនបន្ត
ខ) សម្រាប់បរិមាណបន្ត
.
4. ការដកចេញនូវតម្លៃដែលមិនចៃដន្យសម្រាប់សញ្ញានៃការប្រែប្រួល និងគម្លាតស្តង់ដារ
ប្រសិនបើជាអថេរមិនចៃដន្យ ហើយចៃដន្យនោះ
, (10.2.2)
i.e. តម្លៃដែលមិនចៃដន្យអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាបែកខ្ញែកដោយការបំបែកវា។
ភស្តុតាង។ តាមនិយមន័យនៃភាពខុសគ្នា
ផលវិបាក
,
ឧ. តម្លៃមិនចៃដន្យអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃគម្លាតស្តង់ដារដោយតម្លៃដាច់ខាតរបស់វា។ យើងទទួលបានភ័ស្តុតាងដោយទាញយកឫសការ៉េពីរូបមន្ត (10.2.2) ហើយពិចារណាថា r.s.c. គឺជាតម្លៃវិជ្ជមានដ៏សំខាន់។
5. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យ
ចូរយើងបញ្ជាក់ថាសម្រាប់អថេរចៃដន្យណាមួយ និង
i.e. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ។
ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាទ្រឹស្តីបទបន្ថែមរំពឹងទុក។
ភស្តុតាង។
ក) ទុកជាប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យដែលមិនបន្ត។ ចូរយើងអនុវត្តចំពោះផលបូកនៃអថេរចៃដន្យ រូបមន្តទូទៅ (10.1.6) សម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអនុគមន៍នៃអាគុយម៉ង់ពីរ៖
.
Ho គ្មានអ្វីលើសពីប្រូបាប៊ីលីតេសរុបដែលតម្លៃនឹងយកលើតម្លៃ៖
;
ដូចនេះ
.
នៅក្នុងវិធីស្រដៀងគ្នានេះយើងនឹងបញ្ជាក់
,
ហើយទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។
ខ) ទុកជាប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់។ យោងតាមរូបមន្ត (១០.១.៧)
. (10.2.4)
យើងបំប្លែងអាំងតេក្រាលទីមួយ (១០.២.៤)៖
;
ដូចគ្នានេះដែរ
,
ហើយទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ជាពិសេសថាទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាមានសុពលភាពសម្រាប់អថេរចៃដន្យណាមួយ - ទាំងពឹងផ្អែកនិងឯករាជ្យ។
ទ្រឹស្ដីការបន្ថែមការរំពឹងទុក អាចត្រូវបានទូទៅទៅជាចំនួនតាមអំពើចិត្តនៃពាក្យ៖
, (10.2.5)
i.e. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យជាច្រើនគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ។
ដើម្បីបញ្ជាក់វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលពេញលេញ។
6. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ
ពិចារណាមុខងារលីនេអ៊ែរនៃអាគុយម៉ង់ចៃដន្យជាច្រើន៖
កន្លែងដែលជាមេគុណមិនចៃដន្យ។ ចូរយើងបញ្ជាក់
, (10.2.6)
i.e. មធ្យមនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរគឺស្មើនឹងអនុគមន៍លីនេអ៊ែរដូចគ្នានៃមធ្យមនៃអាគុយម៉ង់។
ភស្តុតាង។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទបន្ថែម m.o. និងច្បាប់នៃការយកអថេរដែលមិនចៃដន្យចេញពីសញ្ញា m. o. យើងទទួលបាន៖
.
7. Dispepផលបូកនៃអថេរចៃដន្យនេះ។
វ៉ារ្យ៉ង់នៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃវ៉ារ្យង់របស់វាបូកពីរដងនៃពេលជាប់ទាក់ទងគ្នា៖
ភស្តុតាង។ បញ្ជាក់
នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទបន្ថែមនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា
ចូរឆ្លងពីអថេរចៃដន្យទៅអថេរកណ្តាលដែលត្រូវគ្នា។ ដកពាក្យដោយពាក្យពីសមភាព (១០.២.៨) សមភាព (១០.២.៩) យើងមាន៖
តាមនិយមន័យនៃភាពខុសគ្នា
Q.E.D.
រូបមន្ត (10.2.7) សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃផលបូកអាចត្រូវបានទូទៅទៅចំនួននៃលក្ខខណ្ឌណាមួយ:
,
(10.2.10)
ដែលជាកន្លែងដែលជាពេលជាប់ទាក់ទងគ្នានៃតម្លៃ សញ្ញានៅក្រោមផលបូកមានន័យថាការបូកសរុបអនុវត្តចំពោះបន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យ 
.
ភ័ស្តុតាងគឺស្រដៀងនឹងលេខមុន ហើយធ្វើតាមរូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃពហុធា។
រូបមន្ត (10.2.10) អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់មួយផ្សេងទៀត៖
, (10.2.11)
ដែលជាកន្លែងដែលផលបូកទ្វេពង្រីកទៅធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសជាប់ទាក់ទងនៃប្រព័ន្ធបរិមាណ ដែលមានទាំងគ្រាជាប់ទាក់ទងគ្នា និងភាពប្រែប្រួល។
ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យទាំងអស់។ រួមបញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធ គឺមិនទាក់ទងគ្នា (ឧ. នៅ) រូបមន្ត (១០.២.១០) យកទម្រង់៖
, (10.2.12)
i.e. វ៉ារ្យ៉ង់នៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យដែលមិនទាក់ទងគ្នាគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការប្រែប្រួលនៃពាក្យ។
សំណើនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាទ្រឹស្តីបទបន្ថែមវ៉ារ្យង់។
8. ការបែកខ្ញែកនៃមុខងារលីនេអ៊ែរ
ពិចារណាមុខងារលីនេអ៊ែរនៃអថេរចៃដន្យជាច្រើន។
កន្លែងដែលអថេរមិនចៃដន្យ។
ចូរយើងបង្ហាញថាការបែកខ្ញែកនៃមុខងារលីនេអ៊ែរនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត
, (10.2.13)
តើពេលវេលាទំនាក់ទំនងនៃបរិមាណនៅឯណា។
ភស្តុតាង។ ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណៈ
. (10.2.14)
ការអនុវត្តរូបមន្ត (10.2.10) សម្រាប់បំរែបំរួលនៃផលបូកទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃកន្សោម (10.2.14) ហើយយកទៅក្នុងគណនីនោះ យើងទទួលបាន៖
តើពេលវេលាទំនាក់ទំនងនៃបរិមាណនៅឯណា៖
.
ចូរយើងគណនាពេលវេលានេះ។ យើងមាន:
;
ដូចគ្នានេះដែរ
ការជំនួសកន្សោមនេះទៅជា (10.2.15) យើងមកដល់រូបមន្ត (10.2.13)។
ក្នុងករណីពិសេសនៅពេលដែលបរិមាណទាំងអស់។ មិនទាក់ទងគ្នា រូបមន្ត (១០.២.១៣) យកទម្រង់៖
, (10.2.16)
i.e. វ៉ារ្យ៉ង់នៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរនៃអថេរចៃដន្យដែលមិនទាក់ទងគ្នាគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃការេនៃមេគុណ និងវ៉ារ្យ៉ង់នៃអាគុយម៉ង់ដែលត្រូវគ្នា។
9. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យ
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេបូកនឹងពេលជាប់ទាក់ទងគ្នា៖
ភស្តុតាង។ យើងនឹងបន្តពីនិយមន័យនៃពេលវេលាជាប់ទាក់ទងគ្នា៖
យើងបំប្លែងកន្សោមនេះដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖
ដែលជាក់ស្តែងស្មើនឹងរូបមន្ត (10.2.17)។
ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យមិនទាក់ទងគ្នា នោះរូបមន្ត (10.2.17) យកទម្រង់៖
ឧ. មធ្យមនៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យដែលមិនទាក់ទងគ្នាពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃមធ្យមរបស់ពួកគេ។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាទ្រឹស្តីបទមេគុណរំពឹងទុក។
រូបមន្ត (10.2.17) គឺគ្មានអ្វីក្រៅពីការបញ្ចេញមតិនៃពេលកណ្តាលចម្រុះទីពីរនៃប្រព័ន្ធក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃគ្រាដំបូងចម្រុះទីពីរ និងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖
. (10.2.19)
កន្សោមនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុងការអនុវត្តនៅពេលគណនាពេលជាប់ទាក់ទងគ្នាក្នុងវិធីដូចគ្នាដែលសម្រាប់អថេរចៃដន្យមួយ វ៉ារ្យង់ត្រូវបានគណនាជាញឹកញាប់តាមរយៈគ្រាដំបូងទីពីរ និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា។
ទ្រឹស្ដីគុណនៃការរំពឹងទុកក៏អាចត្រូវបានគេដាក់ជាទូទៅទៅជាកត្តាមួយចំនួនតាមអំពើចិត្តផងដែរ មានតែក្នុងករណីនេះសម្រាប់ការអនុវត្តរបស់វា វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេដែលបរិមាណមិនទាក់ទងគ្នា ប៉ុន្តែវាត្រូវបានទាមទារឱ្យពេលវេលាចម្រុះខ្ពស់មួយចំនួនក៏បាត់ទៅវិញ ដែលចំនួនដែលអាស្រ័យលើ ចំនួននៃលក្ខខណ្ឌនៅក្នុងផលិតផល។ លក្ខខណ្ឌទាំងនេះពិតជាពេញចិត្ត ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យរួមបញ្ចូលនៅក្នុងផលិតផលគឺឯករាជ្យ។ ក្នុងករណីនេះ
, (10.2.20)
i.e. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ។
សំណើនេះអាចបញ្ជាក់បានយ៉ាងងាយស្រួលដោយការបញ្ចូលពេញលេញ។
10. ការបែកខ្ញែកនៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ
ចូរយើងបញ្ជាក់ថាសម្រាប់បរិមាណឯករាជ្យ
ភស្តុតាង។ ចូរយើងសម្គាល់។ តាមនិយមន័យនៃភាពខុសគ្នា
ចាប់តាំងពីបរិមាណគឺឯករាជ្យ, និង
សម្រាប់ឯករាជ្យ បរិមាណក៏ឯករាជ្យ។ ដូចនេះ
,
ប៉ុន្តែគ្មានអ្វីក្រៅពីគ្រាដំបូងនៃបរិមាណទេ ហើយដូច្នេះវាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការប្រែប្រួល៖
;
ដូចគ្នានេះដែរ
.
ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជារូបមន្ត (10.2.22) និងនាំយកពាក្យដូច យើងមកដល់រូបមន្ត (10.2.21) ។
ក្នុងករណីដែលអថេរចៃដន្យកណ្តាលត្រូវបានគុណ (តម្លៃជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាស្មើនឹងសូន្យ) រូបមន្ត (10.2.21) យកទម្រង់៖
, (10.2.23)
ឧ. វ៉ារ្យ៉ង់នៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យកណ្តាលឯករាជ្យគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការប្រែប្រួលរបស់វា។
11. គ្រាខ្ពស់នៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យ
ក្នុងករណីខ្លះវាចាំបាច់ដើម្បីគណនាពេលវេលាខ្ពស់ជាងនៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីទំនាក់ទំនងដែលពាក់ព័ន្ធមួយចំនួន។
1) ប្រសិនបើបរិមាណឯករាជ្យ
ភស្តុតាង។
មកពីណាដោយទ្រឹស្តីបទមេគុណរំពឹងទុក
ប៉ុន្តែពេលកណ្តាលដំបូងសម្រាប់បរិមាណណាមួយគឺសូន្យ។ ពាក្យកណ្តាលពីរបាត់ ហើយរូបមន្ត (10.2.24) ត្រូវបានបង្ហាញ។
ទំនាក់ទំនង (10.2.24) អាចត្រូវបានទូទៅយ៉ាងងាយស្រួលដោយការបញ្ចូលទៅជាចំនួនបំពាននៃលក្ខខណ្ឌឯករាជ្យ:
. (10.2.25)
2) ពេលកណ្តាលទីបួននៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យពីរត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត
តើការបែកខ្ញែកនិង .
ភ័ស្តុតាងគឺដូចគ្នាទៅនឹងឯកសារមុនដែរ។
ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលពេញលេញ វាងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់ការទូទៅនៃរូបមន្ត (10.2.26) ទៅជាចំនួនបំពាននៃលក្ខខណ្ឌឯករាជ្យ។
ការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។
អថេរចៃដន្យជាច្រើនមានការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដូចគ្នា ប៉ុន្តែតម្លៃដែលអាចធ្វើបានខុសគ្នា។ ដូច្នេះ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាមួយគឺមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីកំណត់លក្ខណៈអថេរចៃដន្យនោះទេ។
សូមឱ្យប្រាក់ចំណូល Xនិង យ(គិតជាដុល្លារ) នៃក្រុមហ៊ុនពីរត្រូវបានផ្តល់ដោយការចែកចាយ៖
ពេលខ្លះវាងាយស្រួលប្រើរូបមន្តផ្សេងទៀត ដែលអាចទទួលបានដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។
ការបែកខ្ញែកមានប្រសិនបើស៊េរី (រៀងគ្នាអាំងតេក្រាល) បញ្ចូលគ្នា។
លេខមិនអវិជ្ជមាន 
បានហៅ គម្លាតស្តង់ដារអថេរចៃដន្យ X.វាមានវិមាត្រនៃអថេរចៃដន្យ Xនិងកំណត់ចន្លោះពេលបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ rms ស្តង់ដារមួយចំនួន ស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ តម្លៃជួនកាលត្រូវបានគេហៅថាគម្លាតស្តង់ដារ។
អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថា កណ្តាល, ប្រសិនបើ . អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថា បានធ្វើឱ្យធម្មតា។(ស្តង់ដារ) ប្រសិនបើ។
សូមបន្តឧទាហរណ៍. គណនាភាពខុសគ្នានៃប្រាក់ចំណូលរបស់ក្រុមហ៊ុនពីរ៖
ប្រៀបធៀបភាពខុសប្លែកគ្នា យើងឃើញថាប្រាក់ចំណូលរបស់ក្រុមហ៊ុនទីពីរប្រែប្រួលច្រើនជាងក្រុមហ៊ុនទីមួយ។
លក្ខណៈសម្បត្តិបែកខ្ញែក.
1. ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃតម្លៃថេរគឺស្មើនឹងសូន្យ, i.e. , ប្រសិនបើ ថេរ។ នេះគឺជាក់ស្តែង ដោយសារតម្លៃថេរមានការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាស្មើនឹងតម្លៃថេរ ពោលគឺឧ។ .
2. មេគុណថេរ គអាចត្រូវបានដកចេញពីសញ្ញាបែកខ្ញែកដោយការ៉េដំបូង។
ពិតជា
3. វ៉ារ្យ៉ង់នៃផលបូកពិជគណិតនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃវ៉ារ្យង់របស់វា i.e.
កន្សោមត្រូវបានគេហៅថា ភាពឆបគ្នានៃ X និង Y(សូមមើលប្រធានបទទី 4 § 2) ។ សម្រាប់អថេរចៃដន្យឯករាជ្យ ភាពប្រែប្រួលគឺសូន្យ ពោលគឺឧ។
ដោយប្រើសមភាពនេះ អ្នកអាចបន្ថែមទៅក្នុងបញ្ជីនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X និង Y គឺឯករាជ្យបន្ទាប់មកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាពោលគឺ៖
ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យត្រូវបានបំលែងជាលីនេអ៊ែរ ឧ។ បន្ទាប់មក
.
ឧទាហរណ៍ 1. អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានផលិត នការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែក្នុងចំនួននីមួយៗគឺថេរ និងស្មើ ទំ. តើអ្វីជាភាពខុសគ្នានៃចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការសាកល្បងទាំងនេះ?
ការសម្រេចចិត្ត។ ទុកជាចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការសាកល្បងដំបូង គឺជាចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការសាកល្បងលើកទី ២ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ បន្ទាប់មកចំនួនសរុបនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែក្នុង នការសាកល្បងស្មើគ្នា
ដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិ 3 នៃការបែកខ្ញែកយើងទទួលបាន
នៅទីនេះយើងបានប្រើការពិតដែលថា 
, ខ្ញុំ= (សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 និង 2 ធាតុ 3.3.1 ។ ) ។
ឧទាហរណ៍ 2. អនុញ្ញាតឱ្យ X -ចំនួនទឹកប្រាក់នៃការដាក់ប្រាក់ (គិតជាដុល្លារ) នៅក្នុងធនាគារ - ផ្តល់ដោយការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ
| X | ||||||
| ខ្ញុំ = | 0,01 | 0,03 | 0,10 | 0,30 | 0,5 | 0,06 |
ស្វែងរកចំនួនវិភាគទានជាមធ្យម និងភាពខុសគ្នា។
ការសម្រេចចិត្ត។ ចំនួនប្រាក់បញ្ញើជាមធ្យមគឺស្មើនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា
ដើម្បីគណនាបំរែបំរួល យើងប្រើរូបមន្ត
D (X) \u003d 8196 - 7849.96 \u003d 348.04 ។
គម្លាតស្តង់ដារ
គ្រា
ដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីឥទ្ធិពលលើការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យ Xដែលមានទំហំធំ ប៉ុន្តែមានប្រូបាប៊ីលីតេទាប វាត្រូវបានណែនាំឱ្យពិចារណាលើការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃថាមពលចំនួនគត់វិជ្ជមាននៃអថេរចៃដន្យ។
