លោការីតនៃលេខ b ដល់គោល a គឺជានិទស្សន្តដែលអ្នកត្រូវលើកលេខ a ដើម្បីទទួលបានលេខ b ។

ប្រសិនបើនោះ .

លោការីតគឺខ្លាំងណាស់ បរិមាណគណិតវិទ្យាសំខាន់ដោយហេតុថាការគណនាលោការីតអនុញ្ញាតឱ្យមិនត្រឹមតែដោះស្រាយសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងដំណើរការជាមួយនិទស្សន្ត បែងចែកមុខងារអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត រួមបញ្ចូលគ្នា ហើយនាំពួកវាទៅជាទម្រង់ដែលអាចទទួលយកបានបន្ថែមទៀតដែលត្រូវគណនា។

នៅក្នុងការទំនាក់ទំនងជាមួយ

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃលោការីតគឺទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍ការពិតដែលថា មានន័យថា:

គួរកត់សម្គាល់ថានៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតអាចមានសារៈសំខាន់ និងមានប្រយោជន៍ជាងច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយអំណាច។

នេះគឺជាអត្តសញ្ញាណមួយចំនួន៖

នេះគឺជាកន្សោមពិជគណិតសំខាន់ៗ៖

;

.

យកចិត្តទុកដាក់!អាចមានសម្រាប់តែ x> 0, x≠1, y> 0 ប៉ុណ្ណោះ។

ចូរយើងព្យាយាមយល់ពីសំណួរថាតើលោការីតធម្មជាតិជាអ្វី? ចំណាប់អារម្មណ៍ដាច់ដោយឡែកពីគ្នាក្នុងគណិតវិទ្យា តំណាងពីរប្រភេទ- ទីមួយមានលេខ "10" នៅមូលដ្ឋាន ហើយត្រូវបានគេហៅថា "លោការីតទសភាគ" ។ ទីពីរត្រូវបានគេហៅថាធម្មជាតិ។ មូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិគឺជាលេខ e ។ វាគឺអំពីគាត់ដែលយើងនឹងនិយាយលម្អិតនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។

ការរចនា៖

• lg x - ទសភាគ;
• ln x - ធម្មជាតិ។

ដោយប្រើអត្តសញ្ញាណយើងអាចឃើញថា ln e = 1 ក៏ដូចជា lg 10 = 1 ។

ក្រាហ្វកំណត់ហេតុធម្មជាតិ

យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃលោការីតធម្មជាតិតាមវិធីបុរាណស្តង់ដារដោយចំណុច។ ប្រសិនបើអ្នកចង់បាន អ្នកអាចពិនិត្យមើលថាតើយើងកំពុងបង្កើតមុខងារត្រឹមត្រូវដោយពិនិត្យមើលមុខងារ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាសមហេតុផលក្នុងការរៀនពីរបៀបបង្កើតវា "ដោយដៃ" ដើម្បីដឹងពីរបៀបគណនាលោការីតឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។

អនុគមន៍៖ y = log x ។ ចូរយើងសរសេរតារាងពិន្ទុដែលក្រាហ្វនឹងឆ្លងកាត់៖

ចូរយើងពន្យល់ពីមូលហេតុដែលយើងជ្រើសរើសតម្លៃបែបនេះនៃអាគុយម៉ង់ x ។ វាទាំងអស់អំពីអត្តសញ្ញាណ៖ សម្រាប់លោការីតធម្មជាតិ អត្តសញ្ញាណនេះនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងអាចយកចំណុចយោងចំនួនប្រាំ៖

;

;

.

;

.

ដូច្នេះ ការរាប់លោការីតធម្មជាតិគឺជាកិច្ចការដ៏សាមញ្ញមួយ លើសពីនេះទៅទៀត វាជួយសម្រួលដល់ការគណនាប្រតិបត្តិការដោយអំណាច ដោយបង្វែរវាទៅជា គុណធម្មតា។

ដោយបានសាងសង់ក្រាហ្វដោយពិន្ទុ យើងទទួលបានក្រាហ្វប្រហាក់ប្រហែល៖

ដែននៃលោការីតធម្មជាតិ (ឧ. តម្លៃត្រឹមត្រូវទាំងអស់នៃអាគុយម៉ង់ X) គឺជាលេខទាំងអស់ធំជាងសូន្យ។

យកចិត្តទុកដាក់!ដែននៃលោការីតធម្មជាតិរួមបញ្ចូលតែលេខវិជ្ជមាន! វិសាលភាពមិនរួមបញ្ចូល x=0 ទេ។ នេះគឺមិនអាចទៅរួចទេដោយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌសម្រាប់អត្ថិភាពនៃលោការីត។

ជួរ​តម្លៃ (ឧ. តម្លៃ​ត្រឹមត្រូវ​ទាំងអស់​នៃ​អនុគមន៍ y = ln x) គឺ​ជា​លេខ​ទាំងអស់​ក្នុង​ចន្លោះ​ពេល។

ដែនកំណត់កំណត់ហេតុធម្មជាតិ

សិក្សាក្រាហ្វសំណួរកើតឡើង - តើមុខងារមានឥរិយាបទយ៉ាងដូចម្តេចនៅពេល y<0.

ជាក់ស្តែង ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មានទំនោរឆ្លងកាត់អ័ក្ស y ប៉ុន្តែនឹងមិនអាចធ្វើវាបានទេ ព្រោះលោការីតធម្មជាតិនៃ x<0 не существует.

ដែនកំណត់ធម្មជាតិ កំណត់ហេតុអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ:

រូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននៃលោការីត

ការដោះស្រាយជាមួយលោការីតធម្មជាតិគឺងាយស្រួលជាងការដោះស្រាយលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានតាមអំពើចិត្ត។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលយើងនឹងព្យាយាមរៀនពីរបៀបកាត់បន្ថយលោការីតណាមួយទៅជាធម្មជាតិមួយ ឬបង្ហាញវានៅក្នុងមូលដ្ឋានបំពានតាមរយៈលោការីតធម្មជាតិ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងអត្តសញ្ញាណលោការីត៖

បន្ទាប់មកលេខ ឬអថេរ y អាចត្រូវបានតំណាងជា៖

ដែល x ជាលេខណាមួយ (វិជ្ជមានយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត) ។

កន្សោមនេះអាចត្រូវបានលោការីតទាំងសងខាង។ ចូរ​ធ្វើ​វា​ជាមួយ​នឹង​មូលដ្ឋាន​បំពាន z៖

ចូរប្រើលក្ខណសម្បត្តិ (ជំនួសឱ្យ "ជាមួយ" យើងមានកន្សោម)៖

ពីទីនេះយើងទទួលបានរូបមន្តសកល៖

.

ជាពិសេស ប្រសិនបើ z=e នោះ៖

.

យើងបានគ្រប់គ្រងដើម្បីតំណាងឱ្យលោការីតទៅមូលដ្ឋានបំពានតាមរយៈសមាមាត្រនៃលោការីតធម្មជាតិពីរ។

យើងដោះស្រាយបញ្ហា

ដើម្បីរុករកក្នុងលោការីតធម្មជាតិបានប្រសើរជាងមុន សូមពិចារណាឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាមួយចំនួន។

កិច្ចការទី 1. វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការ ln x = 3 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ដោយប្រើនិយមន័យនៃលោការីត៖ ប្រសិនបើ នោះ យើងទទួលបាន៖

កិច្ចការទី 2. ដោះស្រាយសមីការ (5 + 3 * ln (x − 3)) = 3 ។

ដំណោះស្រាយ៖ ដោយប្រើនិយមន័យលោការីត៖ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក យើងទទួលបាន៖

.

ជាថ្មីម្តងទៀត យើងអនុវត្តនិយមន័យនៃលោការីត៖

.

ដូចនេះ៖

.

អ្នកអាចគណនាចំលើយប្រហែល ឬអ្នកអាចទុកវាក្នុងទម្រង់នេះ។

កិច្ចការទី 3 ។ដោះស្រាយសមីការ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ចូរធ្វើការជំនួស៖ t = ln x ។ បន្ទាប់មកសមីការនឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

.

យើង​មាន​សមីការ​ការ៉េ។ ចូរយើងស្វែងរកការរើសអើងរបស់វា៖

ឫសដំបូងនៃសមីការ៖

.

ឫសទីពីរនៃសមីការ៖

.

ដោយចងចាំថាយើងធ្វើការជំនួស t = ln x យើងទទួលបាន៖

នៅក្នុងស្ថិតិ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ បរិមាណលោការីតគឺជារឿងធម្មតាណាស់។ នេះមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេព្រោះលេខ e - ជារឿយៗឆ្លុះបញ្ចាំងពីអត្រាកំណើននៃតម្លៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ ការសរសេរកម្មវិធី និងទ្រឹស្តីកុំព្យូទ័រ លោការីតគឺជារឿងធម្មតាណាស់ ឧទាហរណ៍ ដើម្បីរក្សាទុក N ប៊ីតក្នុងអង្គចងចាំ។

នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃ fractal និងវិមាត្រ លោការីតត្រូវបានប្រើប្រាស់ឥតឈប់ឈរ ដោយសារវិមាត្រនៃ fractal ត្រូវបានកំណត់តែជាមួយនឹងជំនួយរបស់វា។

នៅក្នុងមេកានិចនិងរូបវិទ្យាមិនមានផ្នែកដែលលោការីតមិនត្រូវបានប្រើទេ។ ការចែកចាយ Barometric គោលការណ៍ទាំងអស់នៃទែរម៉ូឌីណាមិកស្ថិតិ សមីការ Tsiolkovsky និងផ្សេងៗទៀតគឺជាដំណើរការដែលអាចពិពណ៌នាតាមគណិតវិទ្យាដោយប្រើលោការីត។

នៅក្នុងគីមីវិទ្យា លោការីតត្រូវបានប្រើនៅក្នុងសមីការ Nernst ការពិពណ៌នាអំពីដំណើរការ redox ។

អស្ចារ្យណាស់ សូម្បីតែនៅក្នុងតន្ត្រី ដើម្បីស្វែងយល់ពីចំនួនផ្នែកនៃ octave លោការីតត្រូវបានប្រើ។

អនុគមន៍លោការីតធម្មជាតិ y=ln x លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃលោការីតធម្មជាតិ

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y)។

មូលដ្ឋានដូចគ្នា។

log6 4 + log6 ៩.

ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​កិច្ចការ​ស្មុគស្មាញ​បន្តិច។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយលោការីត

ចុះបើមានដឺក្រេក្នុងគោល ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីត? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើលោការីត ODZ ត្រូវបានសង្កេតឃើញ៖ a > 0, a ≠ 1, x >

កិច្ចការ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

សូមឱ្យលោការីតលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ c ដូចជា c > 0 និង c ≠ 1 សមភាពគឺពិត៖

កិច្ចការ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

សូម​មើល​ផង​ដែរ:

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

និទស្សន្តគឺ 2.718281828…. ដើម្បីចងចាំនិទស្សន្ត អ្នកអាចសិក្សាក្បួន៖ និទស្សន្តគឺ 2.7 និងពីរដងនៃឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Tolstoy ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

ដោយដឹងពីច្បាប់នេះ អ្នកនឹងដឹងទាំងតម្លៃពិតប្រាកដនៃនិទស្សន្ត និងថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Tolstoy ។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់លោការីត

យកលោការីតនៃកន្សោម

ឧទាហរណ៍ ១
ក) x=10ac^2 (a>0, c>0)។

ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិ 3,5 យើងគណនា

2.

3.

4. កន្លែងណា .

ឧទាហរណ៍ទី 2 ស្វែងរក x ប្រសិនបើ

ឧទាហរណ៍ 3. អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

គណនា log(x) ប្រសិនបើ

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងបំប្លែងតាមគ្រប់មធ្យោបាយដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប៉ុន្តែដោយសារលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទេ មានច្បាប់នៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.

ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវតែដឹង - គ្មានបញ្ហាលោការីតធ្ងន់ធ្ងរអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្មានពួកវាទេ។ លើសពីនេះទៀតមានពួកគេតិចតួចណាស់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចរៀនបានក្នុងមួយថ្ងៃ។ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។

ការបូកនិងដកលោការីត

ពិចារណាលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ លោការីត និងលោការីត។ បន្ទាប់មក គេអាចបូក និងដក និង៖

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y)។

ដូច្នេះផលបូកនៃលោការីតគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាគឺលោការីតនៃកូតាត។ សូមចំណាំ៖ ចំណុចសំខាន់នៅទីនេះគឺ - មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. ប្រសិនបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា ច្បាប់ទាំងនេះមិនដំណើរការទេ!

រូបមន្តទាំងនេះនឹងជួយគណនាកន្សោមលោការីត ទោះបីជាផ្នែកនីមួយៗរបស់វាមិនត្រូវបានពិចារណាក៏ដោយ (សូមមើលមេរៀន "អ្វីជាលោការីត")។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ហើយមើល៖

ដោយសារមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log2 48 − log2 ៣.

មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log3 135 − log3 ៥.

ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញកន្សោមដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោការីត "អាក្រក់" ដែលមិនត្រូវបានគេចាត់ទុកថាដាច់ដោយឡែក។ ប៉ុន្តែ​បន្ទាប់​ពី​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​ចំនួន​ធម្មតា​ពិត​ជា​ចេញ​។ ការធ្វើតេស្តជាច្រើនគឺផ្អែកលើការពិតនេះ។ បាទ/ចាស ការគ្រប់គ្រង - ការបញ្ចេញមតិស្រដៀងគ្នាក្នុងភាពធ្ងន់ធ្ងរទាំងអស់ (ជួនកាល - ស្ទើរតែគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ) ត្រូវបានផ្តល់ជូននៅពេលប្រឡង។

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាច្បាប់ចុងក្រោយធ្វើតាមពីរដំបូងរបស់ពួកគេ។ ប៉ុន្តែវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវាយ៉ាងណាក៏ដោយ - ក្នុងករណីខ្លះវានឹងកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើលោការីត ODZ ត្រូវបានសង្កេតឃើញ៖ a> 0, a ≠ 1, x> 0។ ហើយរឿងមួយទៀត៖ រៀនអនុវត្តរូបមន្តទាំងអស់មិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងច្រាសមកវិញផងដែរ ពោលគឺឧ។ អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមុនសញ្ញាលោការីតទៅក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។ នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log7 496 ។

ចូរយើងកម្ចាត់ដឺក្រេនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ដោយរូបមន្តទីមួយ៖
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

កិច្ចការ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

ចំណាំថាភាគបែងគឺជាលោការីតដែលមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ: 16 = 24; 49 = 72. យើងមាន៖

ខ្ញុំគិតថាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយត្រូវការការបំភ្លឺ។ តើលោការីតបានទៅណា? រហូត​ដល់​ពេល​ចុង​ក្រោយ​បំផុត យើង​ធ្វើ​ការ​តែ​ជាមួយ​ភាគបែង​ប៉ុណ្ណោះ។

រូបមន្តលោការីត។ លោការីតគឺជាឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ។

ពួកគេបានបង្ហាញពីមូលដ្ឋាន និងអំណះអំណាងនៃលោការីតឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់ជាដឺក្រេ ហើយយកសូចនាករចេញ - ពួកគេទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភាគសំខាន់។ ភាគយក និងភាគបែងមានលេខដូចគ្នា៖ log2 7. ចាប់តាំងពី log2 7 ≠ 0 យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគបាន - 2/4 នឹងនៅតែស្ថិតក្នុងភាគបែង។ យោងទៅតាមក្បួននព្វន្ធ លេខទាំងបួនអាចផ្ទេរទៅភាគយកដែលបានធ្វើរួច។ លទ្ធផលគឺចម្លើយ៖ ២.

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

និយាយអំពីច្បាប់សម្រាប់បូក និងដកលោការីត ខ្ញុំបានសង្កត់ធ្ងន់ជាពិសេសថាពួកវាដំណើរការតែជាមួយមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ចុះបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា? ចុះ​បើ​ពួក​គេ​មិន​មែន​ជា​លេខ​ដូច​គ្នា?

រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីមកជួយសង្គ្រោះ។ យើងបង្កើតវាក្នុងទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ៖

សូមឱ្យលោការីតលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ c ដូចជា c > 0 និង c ≠ 1 សមភាពគឺពិត៖

ជាពិសេសប្រសិនបើយើងដាក់ c = x យើងទទួលបាន៖

វាធ្វើតាមរូបមន្តទីពីរដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះកន្សោមទាំងមូលត្រូវបាន "ត្រឡប់" ពោលគឺឧ។ លោការីតគឺនៅក្នុងភាគបែង។

រូបមន្តទាំងនេះកម្រត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងកន្សោមលេខធម្មតា។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវាយតម្លៃថាតើពួកវាមានភាពងាយស្រួលយ៉ាងណានៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត និងវិសមភាព។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានកិច្ចការដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាល់តែសោះ លើកលែងតែការផ្លាស់ប្តូរទៅកាន់គ្រឹះថ្មីមួយ។ ចូរយើងពិចារណាពីរបីចំណុចនេះ៖

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log5 16 log2 25.

ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទាំងពីរគឺជានិទស្សន្តពិតប្រាកដ។ ចូរយកសូចនាករនេះចេញ៖ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ឥឡូវ​យើង​ត្រឡប់​លោការីត​ទីពីរ៖

ដោយសារផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរពីការបំប្លែងកត្តា យើងគុណនឹងបួន និងពីរដោយស្ងប់ស្ងាត់ ហើយបន្ទាប់មករកលោការីត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log9 100 lg ៣.

មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទី 1 គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរសរសេរវាចុះ ហើយកម្ចាត់សូចនាករ៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីតំណាងឱ្យលេខជាលោការីតទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះរូបមន្តនឹងជួយយើង:

ក្នុងករណីទីមួយ លេខ n ក្លាយជានិទស្សន្តនៅក្នុងអាគុយម៉ង់។ លេខ n អាចជាអ្វីទាំងអស់ ព្រោះវាគ្រាន់តែជាតម្លៃនៃលោការីតប៉ុណ្ណោះ។

រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបានបកស្រាយ។ វាត្រូវបានគេហៅថាដូចនេះ៖

ជាការពិត តើនឹងមានអ្វីកើតឡើង ប្រសិនបើលេខ b ត្រូវបានលើកឡើងដល់កម្រិតដែលលេខ b ក្នុងសញ្ញាបត្រនេះផ្តល់លេខ a? ត្រឹមត្រូវ៖ នេះគឺជាលេខដូចគ្នា a ។ អានកថាខណ្ឌនេះម្តងទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន - មនុស្សជាច្រើន "ព្យួរ" លើវា។

ដូចរូបមន្តបំប្លែងមូលដ្ឋានថ្មី អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន ជួនកាលជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

ចំណាំថា log25 64 = log5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ដោយផ្អែកលើច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងទទួលបាន៖

ប្រសិនបើនរណាម្នាក់មិនស្គាល់ នោះគឺជាកិច្ចការពិតប្រាកដមួយពីការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម🙂

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំនឹងផ្តល់អត្តសញ្ញាណពីរដែលពិបាកហៅលក្ខណៈសម្បត្តិ - ផ្ទុយទៅវិញ ទាំងនេះគឺជាផលវិបាកពីនិយមន័យនៃលោការីត។ ពួកគេត្រូវបានរកឃើញជានិច្ចនៅក្នុងបញ្ហា ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល បង្កើតបញ្ហាសូម្បីតែសម្រាប់សិស្ស "កម្រិតខ្ពស់" ក៏ដោយ។

1. logaa = 1 គឺ។ ចងចាំម្តងនិងសម្រាប់ទាំងអស់៖ លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយ a ពីមូលដ្ឋាននោះវាស្មើនឹងមួយ។
2. loga 1 = 0 គឺ។ គោល a អាច​ជា​អ្វី​ក៏​ដោយ ប៉ុន្តែ​ប្រសិន​បើ​អាគុយម៉ង់​គឺ​មួយ នោះ​លោការីត​គឺ​សូន្យ! ដោយសារតែ a0 = 1 គឺជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។

នោះហើយជាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់។ ត្រូវ​អនុវត្ត​ឲ្យ​បាន​ជាក់​ជា​មិន​ខាន! ទាញយកសន្លឹកបន្លំនៅដើមមេរៀន បោះពុម្ពវាចេញ និងដោះស្រាយបញ្ហា។

សូម​មើល​ផង​ដែរ:

លោការីតនៃលេខ b ទៅមូលដ្ឋាន a តំណាងឱ្យកន្សោម។ ដើម្បីគណនាលោការីតមានន័យថា ស្វែងរកអំណាច x () ដែលសមភាពគឺពិត

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើត្រូវតែដឹង ព្រោះថានៅលើមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេ បញ្ហា និងឧទាហរណ៍ស្ទើរតែទាំងអស់ត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្អែកលើលោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិកម្រនិងអសកម្មដែលនៅសេសសល់អាចទទួលបានដោយឧបាយកលគណិតវិទ្យាជាមួយនឹងរូបមន្តទាំងនេះ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

នៅពេលគណនារូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃលោការីត (៣.៤) ត្រូវបានជួបប្រទះជាញឹកញាប់។ អ្វីដែលនៅសល់គឺស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែនៅក្នុងកិច្ចការមួយចំនួន ពួកគេមិនអាចខ្វះបានសម្រាប់ការសម្រួលកន្សោមស្មុគស្មាញ និងគណនាតម្លៃរបស់វា។

ករណីទូទៅនៃលោការីត

លោការីតទូទៅមួយចំនួនគឺជាអ្នកដែលមានមូលដ្ឋានសូម្បីតែដប់ និទស្សន្ត ឬ deuce ។
លោការីតគោលដប់ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាលោការីតគោលដប់ ហើយត្រូវបានតំណាងយ៉ាងសាមញ្ញ lg(x)។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីកំណត់ត្រាដែលជាមូលដ្ឋានមិនត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងកំណត់ត្រា។ ឧទាហរណ៍

លោការីតធម្មជាតិគឺជាលោការីតដែលមូលដ្ឋានជានិទស្សន្ត (តំណាង ln(x))។

និទស្សន្តគឺ 2.718281828…. ដើម្បីចងចាំនិទស្សន្ត អ្នកអាចសិក្សាក្បួន៖ និទស្សន្តគឺ 2.7 និងពីរដងនៃឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Tolstoy ។ ដោយដឹងពីច្បាប់នេះ អ្នកនឹងដឹងទាំងតម្លៃពិតប្រាកដនៃនិទស្សន្ត និងថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Tolstoy ។

ហើយមូលដ្ឋានសំខាន់មួយទៀតលោការីតពីរគឺ

ដេរីវេនៃលោការីតនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងមួយបែងចែកដោយអថេរ

លោការីតអាំងតេក្រាល ឬអង្គបដិវត្តត្រូវបានកំណត់ដោយការពឹងផ្អែក

សម្ភារៈខាងលើគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អ្នកក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនទាក់ទងនឹងលោការីត និងលោការីត។ ដើម្បីបញ្ចូលសម្ភារៈ ខ្ញុំនឹងលើកឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយចំនួនពីកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា និងសាកលវិទ្យាល័យ។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់លោការីត

យកលោការីតនៃកន្សោម

ឧទាហរណ៍ ១
ក) x=10ac^2 (a>0, c>0)។

ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិ 3,5 យើងគណនា

2.
ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិខុសគ្នានៃលោការីត យើងមាន

3.
ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3.5 យើងរកឃើញ

4. កន្លែងណា .

កន្សោម​ដែល​ហាក់​ដូច​ជា​ស្មុគ្រ​ស្មាញ​ដោយ​ប្រើ​ស៊េរី​នៃ​ច្បាប់​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ឱ្យ​សាមញ្ញ​ទៅ​នឹង​ទម្រង់​បែបបទ

ការស្វែងរកតម្លៃលោការីត

ឧទាហរណ៍ទី 2 ស្វែងរក x ប្រសិនបើ

ការសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ការគណនា យើងអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិ 5 និង 13 រហូតដល់ពាក្យចុងក្រោយ

ជំនួសក្នុងកំណត់ត្រា និងកាន់ទុក្ខ

ដោយហេតុថាមូលដ្ឋានស្មើគ្នា នោះយើងស្មើនឹងកន្សោម

លោការីត។ កម្រិតដំបូង។

អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

គណនា log(x) ប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖ យកលោការីតនៃអថេរមកសរសេរលោការីតតាមរយៈផលបូកនៃពាក្យ

នេះគ្រាន់តែជាការចាប់ផ្តើមនៃការស្គាល់លោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ អនុវត្តការគណនា បង្កើនជំនាញជាក់ស្តែងរបស់អ្នក - អ្នកនឹងត្រូវការចំណេះដឹងដែលទទួលបានក្នុងពេលឆាប់ៗនេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីត។ ដោយបានសិក្សាពីវិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបែបនេះ យើងនឹងពង្រីកចំនេះដឹងរបស់អ្នកសម្រាប់ប្រធានបទសំខាន់ស្មើគ្នាមួយទៀតគឺ វិសមភាពលោការីត...

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងបំប្លែងតាមគ្រប់មធ្យោបាយដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប៉ុន្តែដោយសារលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទេ មានច្បាប់នៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.

ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវតែដឹង - គ្មានបញ្ហាលោការីតធ្ងន់ធ្ងរអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្មានពួកវាទេ។ លើសពីនេះទៀតមានពួកគេតិចតួចណាស់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចរៀនបានក្នុងមួយថ្ងៃ។ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។

ការបូកនិងដកលោការីត

ពិចារណាលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ លោការីត និងលោការីត។ បន្ទាប់មក គេអាចបូក និងដក និង៖

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y)។

ដូច្នេះផលបូកនៃលោការីតគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាគឺលោការីតនៃកូតាត។ សូមចំណាំ៖ ចំណុចសំខាន់នៅទីនេះគឺ - មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. ប្រសិនបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា ច្បាប់ទាំងនេះមិនដំណើរការទេ!

រូបមន្តទាំងនេះនឹងជួយគណនាកន្សោមលោការីត ទោះបីជាផ្នែកនីមួយៗរបស់វាមិនត្រូវបានពិចារណាក៏ដោយ (សូមមើលមេរៀន "អ្វីជាលោការីត")។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ហើយមើល៖

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log6 4 + log6 ៩.

ដោយសារមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log2 48 − log2 ៣.

មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log3 135 − log3 ៥.

ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញកន្សោមដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោការីត "អាក្រក់" ដែលមិនត្រូវបានគេចាត់ទុកថាដាច់ដោយឡែក។ ប៉ុន្តែ​បន្ទាប់​ពី​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​ចំនួន​ធម្មតា​ពិត​ជា​ចេញ​។ ការធ្វើតេស្តជាច្រើនគឺផ្អែកលើការពិតនេះ។ បាទ/ចាស ការគ្រប់គ្រង - ការបញ្ចេញមតិស្រដៀងគ្នាក្នុងភាពធ្ងន់ធ្ងរទាំងអស់ (ជួនកាល - ស្ទើរតែគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ) ត្រូវបានផ្តល់ជូននៅពេលប្រឡង។

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​កិច្ចការ​ស្មុគស្មាញ​បន្តិច។ ចុះបើមានដឺក្រេក្នុងគោល ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីត? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ

វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាច្បាប់ចុងក្រោយធ្វើតាមពីរដំបូងរបស់ពួកគេ។ ប៉ុន្តែវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវាយ៉ាងណាក៏ដោយ - ក្នុងករណីខ្លះវានឹងកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើលោការីត ODZ ត្រូវបានសង្កេតឃើញ៖ a> 0, a ≠ 1, x> 0។ ហើយរឿងមួយទៀត៖ រៀនអនុវត្តរូបមន្តទាំងអស់មិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងច្រាសមកវិញផងដែរ ពោលគឺឧ។ អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមុនសញ្ញាលោការីតទៅក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។

វិធីដោះស្រាយលោការីត

នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log7 496 ។

ចូរយើងកម្ចាត់ដឺក្រេនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ដោយរូបមន្តទីមួយ៖
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

កិច្ចការ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

ចំណាំថាភាគបែងគឺជាលោការីតដែលមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ: 16 = 24; 49 = 72. យើងមាន៖

ខ្ញុំគិតថាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយត្រូវការការបំភ្លឺ។ តើលោការីតបានទៅណា? រហូត​ដល់​ពេល​ចុង​ក្រោយ​បំផុត យើង​ធ្វើ​ការ​តែ​ជាមួយ​ភាគបែង​ប៉ុណ្ណោះ។ ពួកគេបានបង្ហាញពីមូលដ្ឋាន និងអំណះអំណាងនៃលោការីតឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់ជាដឺក្រេ ហើយយកសូចនាករចេញ - ពួកគេទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភាគសំខាន់។ ភាគយក និងភាគបែងមានលេខដូចគ្នា៖ log2 7. ចាប់តាំងពី log2 7 ≠ 0 យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគបាន - 2/4 នឹងនៅតែស្ថិតក្នុងភាគបែង។ យោងទៅតាមក្បួននព្វន្ធ លេខទាំងបួនអាចផ្ទេរទៅភាគយកដែលបានធ្វើរួច។ លទ្ធផលគឺចម្លើយ៖ ២.

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

និយាយអំពីច្បាប់សម្រាប់បូក និងដកលោការីត ខ្ញុំបានសង្កត់ធ្ងន់ជាពិសេសថាពួកវាដំណើរការតែជាមួយមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ចុះបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា? ចុះ​បើ​ពួក​គេ​មិន​មែន​ជា​លេខ​ដូច​គ្នា?

រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីមកជួយសង្គ្រោះ។ យើងបង្កើតវាក្នុងទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ៖

សូមឱ្យលោការីតលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ c ដូចជា c > 0 និង c ≠ 1 សមភាពគឺពិត៖

ជាពិសេសប្រសិនបើយើងដាក់ c = x យើងទទួលបាន៖

វាធ្វើតាមរូបមន្តទីពីរដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះកន្សោមទាំងមូលត្រូវបាន "ត្រឡប់" ពោលគឺឧ។ លោការីតគឺនៅក្នុងភាគបែង។

រូបមន្តទាំងនេះកម្រត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងកន្សោមលេខធម្មតា។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវាយតម្លៃថាតើពួកវាមានភាពងាយស្រួលយ៉ាងណានៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត និងវិសមភាព។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានកិច្ចការដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាល់តែសោះ លើកលែងតែការផ្លាស់ប្តូរទៅកាន់គ្រឹះថ្មីមួយ។ ចូរយើងពិចារណាពីរបីចំណុចនេះ៖

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log5 16 log2 25.

ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទាំងពីរគឺជានិទស្សន្តពិតប្រាកដ។ ចូរយកសូចនាករនេះចេញ៖ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ឥឡូវ​យើង​ត្រឡប់​លោការីត​ទីពីរ៖

ដោយសារផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរពីការបំប្លែងកត្តា យើងគុណនឹងបួន និងពីរដោយស្ងប់ស្ងាត់ ហើយបន្ទាប់មករកលោការីត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log9 100 lg ៣.

មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទី 1 គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរសរសេរវាចុះ ហើយកម្ចាត់សូចនាករ៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីតំណាងឱ្យលេខជាលោការីតទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះរូបមន្តនឹងជួយយើង:

ក្នុងករណីទីមួយ លេខ n ក្លាយជានិទស្សន្តនៅក្នុងអាគុយម៉ង់។ លេខ n អាចជាអ្វីទាំងអស់ ព្រោះវាគ្រាន់តែជាតម្លៃនៃលោការីតប៉ុណ្ណោះ។

រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបានបកស្រាយ។ វាត្រូវបានគេហៅថាដូចនេះ៖

ជាការពិត តើនឹងមានអ្វីកើតឡើង ប្រសិនបើលេខ b ត្រូវបានលើកឡើងដល់កម្រិតដែលលេខ b ក្នុងសញ្ញាបត្រនេះផ្តល់លេខ a? ត្រឹមត្រូវ៖ នេះគឺជាលេខដូចគ្នា a ។ អានកថាខណ្ឌនេះម្តងទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន - មនុស្សជាច្រើន "ព្យួរ" លើវា។

ដូចរូបមន្តបំប្លែងមូលដ្ឋានថ្មី អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន ជួនកាលជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

ចំណាំថា log25 64 = log5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ដោយផ្អែកលើច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងទទួលបាន៖

ប្រសិនបើនរណាម្នាក់មិនស្គាល់ នោះគឺជាកិច្ចការពិតប្រាកដមួយពីការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម🙂

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំនឹងផ្តល់អត្តសញ្ញាណពីរដែលពិបាកហៅលក្ខណៈសម្បត្តិ - ផ្ទុយទៅវិញ ទាំងនេះគឺជាផលវិបាកពីនិយមន័យនៃលោការីត។ ពួកគេត្រូវបានរកឃើញជានិច្ចនៅក្នុងបញ្ហា ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល បង្កើតបញ្ហាសូម្បីតែសម្រាប់សិស្ស "កម្រិតខ្ពស់" ក៏ដោយ។

1. logaa = 1 គឺ។ ចងចាំម្តងនិងសម្រាប់ទាំងអស់៖ លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយ a ពីមូលដ្ឋាននោះវាស្មើនឹងមួយ។
2. loga 1 = 0 គឺ។ គោល a អាច​ជា​អ្វី​ក៏​ដោយ ប៉ុន្តែ​ប្រសិន​បើ​អាគុយម៉ង់​គឺ​មួយ នោះ​លោការីត​គឺ​សូន្យ! ដោយសារតែ a0 = 1 គឺជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។

នោះហើយជាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់។ ត្រូវ​អនុវត្ត​ឲ្យ​បាន​ជាក់​ជា​មិន​ខាន! ទាញយកសន្លឹកបន្លំនៅដើមមេរៀន បោះពុម្ពវាចេញ និងដោះស្រាយបញ្ហា។

ផ្នែកនៃលោការីតគឺមានសារៈសំខាន់យ៉ាងខ្លាំងនៅក្នុងវគ្គសិក្សា "ការវិភាគគណិតវិទ្យា" ។ ភារកិច្ចសម្រាប់អនុគមន៍លោការីតគឺផ្អែកលើគោលការណ៍ផ្សេងទៀតជាងភារកិច្ចសម្រាប់វិសមភាព និងសមីការ។ ចំណេះដឹងអំពីនិយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃគោលគំនិតនៃលោការីត និងមុខងារលោការីតនឹងធានាបាននូវដំណោះស្រាយដ៏ជោគជ័យនៃបញ្ហា USE ធម្មតា។

មុននឹងបន្តពន្យល់ពីអ្វីដែលអនុគមន៍លោការីតគឺវាមានតម្លៃសំដៅទៅលើនិយមន័យនៃលោការីត។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ៖ កំណត់ហេតុ a x = x ដែល a › 0, a ≠ 1 ។

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗរបស់ លោការីត អាចត្រូវបានរាយក្នុងចំណុចជាច្រើន៖

លោការីត

លោការីតគឺជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាដែលអនុញ្ញាតឱ្យប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគោលគំនិតដើម្បីស្វែងរកលោការីតនៃចំនួនឬកន្សោមមួយ។

ឧទាហរណ៍:

មុខងារលោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

អនុគមន៍លោការីតមានទម្រង់

យើងកត់សំគាល់ភ្លាមៗថាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍អាចកើនឡើងសម្រាប់ 1 ‹ a ‹ 1 ។ អាស្រ័យលើនេះ ខ្សែកោងមុខងារនឹងមានទម្រង់មួយឬផ្សេងទៀត។

ខាងក្រោមនេះជាលក្ខណៈសម្បត្តិ និងវិធីសាស្ត្រសម្រាប់គូសក្រាហ្វលោការីត៖

• ដែននៃ f(x) គឺជាសំណុំនៃចំនួនវិជ្ជមានទាំងអស់ ឧ. x អាចយកតម្លៃណាមួយពីចន្លោះពេល (0; + ∞);
• មុខងារ ODZ - សំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ i.e. y អាចស្មើនឹងលេខណាមួយពីចន្លោះពេល (-∞; +∞);
• ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃលោការីត a> 1 នោះ f(x) កើនឡើងលើដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ។
• ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺ 0 ‹ a ‹ 1 នោះ F នឹងថយចុះ។
• អនុគមន៍លោការីតគឺមិនសូម្បីតែឬសេស;
• ខ្សែកោងក្រាហ្វតែងតែឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (1;0) ។

ការកសាងក្រាហ្វទាំងពីរប្រភេទគឺសាមញ្ញណាស់ សូមក្រឡេកមើលដំណើរការដោយប្រើឧទាហរណ៍មួយ។

ដំបូងអ្នកត្រូវចងចាំលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតសាមញ្ញ និងមុខងាររបស់វា។ ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ អ្នកត្រូវបង្កើតតារាងសម្រាប់តម្លៃជាក់លាក់ x និង y ។ បន្ទាប់មកនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេចំណុចដែលទទួលបានគួរតែត្រូវបានសម្គាល់និងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់រលោង។ ខ្សែកោងនេះនឹងក្លាយជាក្រាហ្វដែលត្រូវការ។

អនុគមន៍លោការីត គឺជាមុខងារបញ្ច្រាសនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលផ្តល់ដោយ y = a x ។ ដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់នេះ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការគូរខ្សែកោងទាំងពីរនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេដូចគ្នា។

ជាក់ស្តែង បន្ទាត់ទាំងពីរគឺជារូបភាពឆ្លុះគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដោយ​ការ​បង្កើត​បន្ទាត់​ត្រង់ y = x អ្នក​អាច​មើល​ឃើញ​អ័ក្ស​ស៊ីមេទ្រី។

ដើម្បីស្វែងរកចម្លើយចំពោះបញ្ហាបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស អ្នកត្រូវគណនាតម្លៃនៃចំណុចសម្រាប់ y ​​= log 2⁡ x ហើយបន្ទាប់មកគ្រាន់តែផ្លាស់ទីប្រភពដើមនៃចំនុចកូអរដោណេបីចែកចុះតាមអ័ក្ស OY និង 2 ផ្នែកទៅ ខាងឆ្វេងតាមអ័ក្ស OX ។

ជាភស្តុតាង យើងនឹងបង្កើតតារាងគណនាសម្រាប់ចំនុចនៃក្រាហ្វ y = log 2 ⁡ (x + 2) -3 ហើយប្រៀបធៀបតម្លៃដែលទទួលបានជាមួយនឹងរូប។

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ កូអរដោនេពីតារាង និងចំណុចនៅលើក្រាហ្វត្រូវគ្នា ដូច្នេះហើយការផ្ទេរតាមអ័ក្សត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា USE ធម្មតា។

ភារកិច្ចសាកល្បងភាគច្រើនអាចបែងចែកជាពីរផ្នែក៖ ការស្វែងរកដែននៃនិយមន័យ បញ្ជាក់ប្រភេទនៃមុខងារដោយយោងតាមគំនូរក្រាហ្វ កំណត់ថាតើមុខងារកំពុងកើនឡើង/បន្ថយឬយ៉ាងណា។

សម្រាប់ចម្លើយរហ័សចំពោះកិច្ចការ ចាំបាច់ត្រូវយល់ឱ្យបានច្បាស់ថា f(x) កើនឡើង ប្រសិនបើនិទស្សន្តនៃលោការីត a > 1 និងថយចុះនៅពេល 0 ‹ a ‹ 1 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនត្រឹមតែមូលដ្ឋានប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានអាគុយម៉ង់ផងដែរ។ អាចប៉ះពាល់យ៉ាងខ្លាំងដល់ទម្រង់នៃខ្សែកោងមុខងារ។

F(x) ដែលសម្គាល់ដោយសញ្ញាធីកគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។ ការសង្ស័យនៅក្នុងករណីនេះគឺបណ្តាលមកពីឧទាហរណ៍ទី 2 និងទី 3 ។ សញ្ញា "-" នៅពីមុខកំណត់ហេតុផ្លាស់ប្តូរកើនឡើងដល់ការថយចុះ និងច្រាសមកវិញ។

ដូច្នេះ ក្រាហ្វ y=-log 3⁡ x ថយចុះលើដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ ហើយ y= -log (1/3) ⁡x កើនឡើង ទោះបីជាការពិតដែលថាមូលដ្ឋានគឺ 0 ‹ a ‹ 1 ។

ចម្លើយ: 3,4,5.

ចម្លើយ: 4.

ប្រភេទនៃកិច្ចការទាំងនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាងាយស្រួល ហើយត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណនៅ 1-2 ពិន្ទុ។

កិច្ចការទី 3 ។

កំណត់ថាតើមុខងារកំពុងថយចុះ ឬកើនឡើង ហើយបង្ហាញពីវិសាលភាពនៃនិយមន័យរបស់វា។

Y = កំណត់ហេតុ 0.7 ⁡(0.1x-5)

ដោយសារមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺតិចជាងមួយ ប៉ុន្តែធំជាងសូន្យ មុខងាររបស់ x ថយចុះ។ យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត អាគុយម៉ង់ក៏ត្រូវតែធំជាងសូន្យផងដែរ។ តោះដោះស្រាយវិសមភាព៖

ចម្លើយ៖ ដែននៃនិយមន័យ D(x) គឺជាចន្លោះពេល (50; + ∞)។

ចម្លើយ៖ 3, 1, អ័ក្ស OX, ទៅខាងស្តាំ។

ភារកិច្ចបែបនេះត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ជាមធ្យមហើយត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណនៅ 3-4 ពិន្ទុ។

កិច្ចការទី 5. ស្វែងរកជួរសម្រាប់មុខងារមួយ៖

វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតថាអាគុយម៉ង់អាចគ្រាន់តែជាវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះយើងគណនាផ្ទៃដីនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃមុខងារ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវានឹងចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពពីរ។

កន្សោមលោការីត ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាបញ្ហាទាក់ទងនឹងការដោះស្រាយលោការីត។ កិច្ចការ​ចោទ​សួរ​រក​តម្លៃ​នៃ​កន្សោម។ គួរកត់សម្គាល់ថាគោលគំនិតនៃលោការីតត្រូវបានប្រើក្នុងកិច្ចការជាច្រើនហើយវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ពីអត្ថន័យរបស់វា។ សម្រាប់ USE លោការីតត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយសមីការ ក្នុងបញ្ហាដែលបានអនុវត្ត និងក្នុងកិច្ចការដែលទាក់ទងនឹងការសិក្សាមុខងារផងដែរ។

នេះជាឧទាហរណ៍ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃលោការីត៖

អត្តសញ្ញាណលោការីតជាមូលដ្ឋាន៖

លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត ដែលអ្នកត្រូវតែចងចាំជានិច្ច៖

* លោការីតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីតនៃកត្តា។

* * *

* លោការីតនៃប្រភាគ (ប្រភាគ) គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃលោការីតនៃកត្តា។

* * *

* លោការីតនៃដឺក្រេគឺស្មើនឹងផលគុណនៃនិទស្សន្ត និងលោការីតនៃគោលរបស់វា។

* * *

* ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី។

* * *

លក្ខណៈសម្បត្តិច្រើនទៀត៖

* * *

ការគណនាលោការីតគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃនិទស្សន្ត។

យើងរាយបញ្ជីពួកគេមួយចំនួន៖

ខ្លឹមសារនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះគឺថានៅពេលផ្ទេរភាគយកទៅភាគបែងនិងច្រាសមកវិញសញ្ញានៃនិទស្សន្តផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ។ ឧទាហរណ៍:

ផលវិបាកនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ៖

* * *

នៅពេលបង្កើនថាមពលទៅជាថាមពល មូលដ្ឋាននៅតែដដែល ប៉ុន្តែនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ។

* * *

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ គោលគំនិតនៃលោការីតគឺសាមញ្ញ។ រឿងចំបងគឺថាការអនុវត្តល្អគឺចាំបាច់ដែលផ្តល់នូវជំនាញជាក់លាក់មួយ។ ចំណេះដឹងពិតប្រាកដនៃរូបមន្តគឺជាកាតព្វកិច្ច។ ប្រសិនបើជំនាញក្នុងការបំប្លែងលោការីតបឋមមិនត្រូវបានបង្កើតឡើងទេ នោះនៅពេលដោះស្រាយកិច្ចការសាមញ្ញ មនុស្សម្នាក់អាចធ្វើខុសបានយ៉ាងងាយ។

អនុវត្ត, ដោះស្រាយឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតពីវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាជាមុនសិន, បន្ទាប់មកបន្តទៅស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ នៅពេលអនាគត ខ្ញុំនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលលោការីត "អាក្រក់" ត្រូវបានដោះស្រាយ នឹងមិនមានការប្រឡងបែបនេះទេ ប៉ុន្តែគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ សូមកុំខកខាន!

អស់ហើយ! សូម​ឱ្យ​អ្នក​មាន​សំណាងល្អ!

ដោយក្តីគោរព Alexander Krutitskikh

P.S: ខ្ញុំនឹងដឹងគុណប្រសិនបើអ្នកប្រាប់អំពីគេហទំព័រនៅក្នុងបណ្តាញសង្គម។

លោការីតនៃចំនួនវិជ្ជមាន b ទៅមូលដ្ឋាន a (a> 0, a មិនស្មើនឹង 1) គឺជាលេខ c ដូចនេះ a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a> 0, a ≠ 1, b > 0)       

ចំណាំថាលោការីតនៃចំនួនមិនវិជ្ជមានមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ ផងដែរ មូលដ្ឋាននៃលោការីតត្រូវតែជាចំនួនវិជ្ជមាន មិនស្មើនឹង 1 ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើយើងការ៉េ -2 យើងទទួលបានលេខ 4 ប៉ុន្តែនេះមិនមានន័យថាលោការីតគោល -2 នៃ 4 គឺ 2 ។

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

កំណត់ហេតុ a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

វាមានសារៈសំខាន់ដែលដែននៃនិយមន័យនៃផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃរូបមន្តនេះគឺខុសគ្នា។ ផ្នែកខាងឆ្វេងត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តែ b>0, a>0 និង a ≠ 1។ ផ្នែកខាងស្តាំត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ b ណាមួយ ហើយមិនអាស្រ័យលើ a ទាល់តែសោះ។ ដូច្នេះការអនុវត្ត "អត្តសញ្ញាណ" លោការីតជាមូលដ្ឋានក្នុងការដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាពអាចនាំឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុង DPV ។

ផលវិបាកជាក់ស្តែងពីរនៃនិយមន័យនៃលោការីត

កំណត់ហេតុ a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
កត់ត្រា a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

ជាការពិតនៅពេលលើកលេខ a ដល់ថាមពលទីមួយ យើងទទួលបានលេខដូចគ្នា ហើយនៅពេលលើកវាដល់លេខសូន្យ យើងទទួលបានមួយ។

លោការីត​នៃ​ផលិតផល និង​លោការីត​នៃ​កូតា

log a (b c) = log a b + log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0) (5)

កត់ត្រា a b c = log a b − log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0) (6)

ខ្ញុំចង់ព្រមានសិស្សសាលាប្រឆាំងនឹងការប្រើប្រាស់រូបមន្តទាំងនេះដោយមិនបានគិតនៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត និងវិសមភាព។ នៅពេលដែលពួកវាត្រូវបានប្រើ "ពីឆ្វេងទៅស្តាំ" ODZ រួមតូច ហើយនៅពេលផ្លាស់ទីពីផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃលោការីតទៅលោការីតនៃផលិតផល ឬកូតា ODZ ពង្រីក។

ជាការពិត កំណត់ហេតុកន្សោម a (f (x) g (x)) ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងករណីពីរ៖ នៅពេលដែលមុខងារទាំងពីរមានភាពវិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរឹង ឬនៅពេលដែល f(x) និង g(x) ទាំងពីរគឺតិចជាងសូន្យ។

ការបំប្លែងកន្សោមនេះទៅជា sum log a f(x) + log a g(x) យើងត្រូវបង្ខំខ្លួនយើងអោយដាក់កម្រិតតែក្នុងករណី f(x)>0 និង g(x)>0។ មានការរួមតូចនៃជួរតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន ហើយនេះគឺមិនអាចទទួលយកបានជាលក្ខណៈក្រុម ព្រោះវាអាចនាំឱ្យបាត់បង់ដំណោះស្រាយ។ បញ្ហាស្រដៀងគ្នានេះមានសម្រាប់រូបមន្ត (6) ។

សញ្ញាប័ត្រអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីត

log a b p = p log a b (a> 0, a ≠ 1, b> 0) (7)

ហើយម្តងទៀតខ្ញុំចង់អំពាវនាវឱ្យមានភាពត្រឹមត្រូវ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

កត់ត្រា a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពត្រូវបានកំណត់យ៉ាងច្បាស់សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ f(x) លើកលែងតែសូន្យ។ ផ្នែកខាងស្តាំគឺសម្រាប់តែ f(x)> 0 ប៉ុណ្ណោះ! ការដកថាមពលចេញពីលោការីត យើងបង្រួម ODZ ម្តងទៀត។ នីតិវិធីបញ្ច្រាសនាំទៅដល់ការពង្រីកជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន។ ការកត់សម្គាល់ទាំងអស់នេះមិនត្រឹមតែអនុវត្តចំពោះអំណាចនៃ 2 ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងអំណាចណាមួយផងដែរ។

រូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី។

log a b = log c b log c a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0, c ≠ 1) (8)

ករណីដ៏កម្រនោះនៅពេលដែល ODZ មិនផ្លាស់ប្តូរកំឡុងពេលបំប្លែង។ ប្រសិនបើអ្នកបានជ្រើសរើសមូលដ្ឋាន c ដោយប្រាជ្ញា (វិជ្ជមាន និងមិនស្មើនឹង 1) រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីគឺមានសុវត្ថិភាពឥតខ្ចោះ។

ប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសលេខ b ជាគោលថ្មី c យើងទទួលបានករណីពិសេសសំខាន់មួយនៃរូបមន្ត (8)៖

កត់ត្រា a b = 1 log b a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1) (9)

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយចំនួនជាមួយលោការីត

ឧទាហរណ៍ទី 1 គណនា៖ lg2 + lg50 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ lg2 + lg50 = lg100 = 2. យើងបានប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកលោការីត (5) និងនិយមន័យនៃលោការីតទសភាគ។

ឧទាហរណ៍ទី 2 គណនា៖ lg125/lg5 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ lg125/lg5 = log 5 125 = 3. យើងបានប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋានថ្មី (8) ។

តារាងរូបមន្តទាក់ទងនឹងលោការីត

កំណត់ហេតុ a b = b (a > 0, a ≠ 1)

កត់ត្រា a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

កត់ត្រា a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0)

log a b c = log a b − log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0)

log a b p = p log a b (a> 0, a ≠ 1, b> 0)

log a b = log c b log c a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1)