ប្រធានបទចំនួនកុំផ្លិច និងពហុនាម

ការបង្រៀន 22

§មួយ។ លេខស្មុគស្មាញ៖ និយមន័យមូលដ្ឋាន

និមិត្តសញ្ញា បញ្ចូលសមាមាត្រ
ហើយត្រូវបានគេហៅថា ឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត,
.

និយមន័យ។ ការបង្ហាញទម្រង់
កន្លែងណា
ត្រូវបានគេហៅថា ចំនួនកុំផ្លិច និងលេខ ហៅថាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច និងសម្គាល់
, ចំនួន - ផ្នែកស្រមើលស្រមៃ និងសម្គាល់
.

តាមនិយមន័យនេះវាដូចខាងក្រោមថាចំនួនពិតគឺជាចំនួនកុំផ្លិចដែលផ្នែកស្រមៃស្មើនឹងសូន្យ។

វាងាយស្រួលតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិចជាចំណុចនៃយន្តហោះដែលប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ពោលគឺ៖ ចំនួនកុំផ្លិច
ចំណុចប្រកួត
និងច្រាសមកវិញ។ នៅលើអ័ក្ស
ចំនួនពិតត្រូវបានបង្ហាញ ហើយវាត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សពិត។ លេខស្មុគស្មាញនៃទម្រង់

ត្រូវបានគេហៅថាការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។ ពួកវាត្រូវបានបង្ហាញជាចំណុចនៅលើអ័ក្ស។
ដែលត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សស្រមើស្រមៃ។ យន្តហោះ​នេះ​ដែល​បម្រើ​ឱ្យ​តំណាង​ឱ្យ​ចំនួន​កុំផ្លិច​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា​យន្តហោះ​ស្មុគស្មាញ។ ចំនួនកុំផ្លិចដែលមិនពិត ឧ. បែបនោះ។
ជួនកាលគេហៅថា ស្រមើស្រមៃ។

ចំនួន​កុំផ្លិច​ពីរ​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​ស្មើ​គ្នា​ប្រសិន​បើ​វា​មាន​ផ្នែក​ពិត​និង​ស្រមើស្រមៃ​ដូចគ្នា។

ការបូក ដក និងគុណនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានអនុវត្តដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតានៃពិជគណិតពហុធា ដោយគិតគូរពីការពិតដែលថា

. ប្រតិបត្តិការបែងចែកអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាការបញ្ច្រាសនៃប្រតិបត្តិការគុណ ហើយគេអាចបញ្ជាក់ពីភាពប្លែកនៃលទ្ធផល (ប្រសិនបើផ្នែកចែកខុសពីសូន្យ)។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នាត្រូវបានប្រើ។

លេខស្មុគស្មាញ
និង
ត្រូវបានគេហៅថា conjugate នៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញដែលពួកគេត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សពិត។ វាច្បាស់ណាស់ថា:

1)

;

2)
;

3)
.

ឥឡូវបំបែក នៅ​លើ អាចត្រូវបានធ្វើដូចខាងក្រោម:

.

វាមិនពិបាកក្នុងការបង្ហាញវាទេ។

,

ដែលជាកន្លែងដែលនិមិត្តសញ្ញា តំណាងឱ្យប្រតិបត្តិការនព្វន្ធណាមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន
ចំនួនស្រមើលស្រមៃមួយចំនួន និង គឺជាអថេរពិតប្រាកដ។ ផលិតផលនៃ binomials ពីរ

គឺជាត្រីកោណមាត្រការ៉េដែលមានមេគុណពិត។

ឥឡូវនេះ យើងមានលេខកុំផ្លិច យើងអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េណាមួយ។
.ប្រសិនបើ

ហើយសមីការមានឫសផ្សំស្មុគស្មាញពីរ

.

ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មកសមីការមានឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា។ ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មកសមីការមានឫសដូចគ្នាពីរ។

§២. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច

ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើចំនួនកុំផ្លិច
ងាយស្រួលតំណាងដោយចំណុច
. គេក៏អាចកំណត់អត្តសញ្ញាណលេខបែបនេះជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចនេះ។
. ជាមួយនឹងការបកស្រាយនេះ ការបូកនិងដកនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានអនុវត្តដោយយោងទៅតាមច្បាប់នៃការបូក និងដកវ៉ិចទ័រ។ សម្រាប់គុណ និងចែកចំនួនកុំផ្លិច ទម្រង់មួយផ្សេងទៀតគឺងាយស្រួលជាង។

យើងណែនាំនៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញ
ប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។ បន្ទាប់មកកន្លែងណា
,
និងចំនួនកុំផ្លិច
អាចត្រូវបានសរសេរជា:

ទម្រង់នៃការសម្គាល់នេះត្រូវបានគេហៅថាត្រីកោណមាត្រ (ផ្ទុយពីទម្រង់ពិជគណិត
) នៅក្នុងទម្រង់នេះលេខ ត្រូវបានគេហៅថាម៉ូឌុលនិង - អាគុយម៉ង់ចំនួនកុំផ្លិច . ពួកគេត្រូវបានសម្គាល់:
,

. សម្រាប់ម៉ូឌុលយើងមានរូបមន្ត

អាគុយម៉ង់លេខត្រូវបានកំណត់មិនច្បាស់លាស់ ប៉ុន្តែរហូតដល់មួយពាក្យ
,
. តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ដែលបំពេញវិសមភាព
ត្រូវបានគេហៅថា មេ និងតំណាង
. បន្ទាប់មក
. សម្រាប់តម្លៃចម្បងនៃអាគុយម៉ង់ អ្នកអាចទទួលបានកន្សោមខាងក្រោម៖

,

អាគុយម៉ង់លេខ
ចាត់ទុកថាមិនត្រូវបានកំណត់។

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់សមភាពនៃចំនួនកុំផ្លិចពីរក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រមានទម្រង់៖ ម៉ូឌុលនៃលេខគឺស្មើគ្នា ហើយអាគុយម៉ង់ខុសគ្នាដោយពហុគុណ
.

ស្វែងរកផលគុណនៃចំនួនកុំផ្លិចពីរក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖

ដូច្នេះនៅពេលគុណលេខ ម៉ូឌុលរបស់ពួកគេត្រូវបានគុណ ហើយអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបន្ថែម។

ដូចគ្នានេះដែរ វាអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងថា នៅពេលបែងចែក ម៉ូឌុលនៃលេខត្រូវបានបែងចែក ហើយអាគុយម៉ង់ត្រូវបានដក។

ការយល់ដឹងអំពីនិទស្សន្តជាគុណពហុគុណ យើងអាចទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់បង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពលមួយ៖

យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់
- ឫស អំណាចទីនៃចំនួនកុំផ្លិច (មិនត្រូវច្រឡំជាមួយឫសនព្វន្ធនៃចំនួនពិតទេ!) ប្រតិបត្តិការដកឫសគឺជាការបញ្ច្រាសនៃប្រតិបត្តិការនិទស្សន្ត។ ដូច្នេះ
គឺជាចំនួនកុំផ្លិច បែបនោះ។
.

អនុញ្ញាតឱ្យមាន
ស្គាល់, និង
តម្រូវឱ្យត្រូវបានរកឃើញ។ បន្ទាប់មក

ពីសមភាពនៃចំនួនកុំផ្លិចពីរក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ វាធ្វើតាមនោះ។

,
,
.

ពី​ទីនេះ
(វាជាឫសនព្វន្ធ!)

,
.

វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់វា។ អាចទទួលយកបាន។ តម្លៃខុសគ្នាជាសំខាន់ ឧទាហរណ៍ នៅពេល
. ទីបំផុតយើងមានរូបមន្ត៖

,
.

ដូច្នេះឫស សញ្ញាប័ត្រទី ពីចំនួនកុំផ្លិចមាន តម្លៃខុសគ្នា។ នៅលើយន្តហោះស្មុគ្រស្មាញ តម្លៃទាំងនេះស្ថិតនៅត្រង់ចំណុចកំពូលយ៉ាងត្រឹមត្រូវ -gon ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ
ផ្តោតលើប្រភពដើម។ ឫស "ទីមួយ" មានអំណះអំណាង
អាគុយម៉ង់នៃឫស "អ្នកជិតខាង" ពីរខុសគ្នាដោយ
.

ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងយកឫសគូបនៃឯកតាស្រមើលស្រមៃ៖
,
,
. បន្ទាប់មក៖

,

ប្រធានបទ "ចំនួនកុំផ្លិច" ច្រើនតែបង្កការលំបាកដល់សិស្ស ប៉ុន្តែតាមពិតមិនមានអ្វីគួរឱ្យភ័យខ្លាចនៅក្នុងពួកគេទេព្រោះវាហាក់ដូចជានៅ glance ដំបូង។

ដូច្នេះឥឡូវនេះ យើងនឹងវិភាគ និងពិចារណាជាមួយឧទាហរណ៍ងាយៗ ថាតើចំនួនកុំផ្លិចគឺជាអ្វី របៀបដែលវាត្រូវបានតំណាង និងអ្វីដែលវាមាន។ កន្សោម z = a + ប៊ីត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច។ វាជាលេខតែមួយ មិនមែនជាការបន្ថែមទេ។

ឧទាហរណ៍ ១ : z = 6 + 4i

តើចំនួនកុំផ្លិចគឺជាអ្វី?

ចំនួនកុំផ្លិចមានផ្នែកពិត និងស្រមើស្រមៃនៅក្នុងសមាសភាពរបស់វា។

លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច ហើយត្រូវបានតាង a = Re(z). ហើយនេះគឺជាអ្វីដែលឈរជាមួយអក្សរ ខ្ញុំ- i.e. ចំនួន ខត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនៃផ្នែកស្រមើលស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិច ហើយត្រូវបានតាង b = អ៊ីម(z). រួមគ្នា ប៊ីបង្កើតផ្នែកស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិច។

វាងាយស្រួលទាយនិងងាយចាំថាអក្សរកាត់ "ឡើងវិញ"មកពីពាក្យ ពិត- ផ្នែកពិត។ រៀងៗខ្លួន "អ៊ឹម"គឺជាអក្សរកាត់នៃពាក្យ "ការស្រមើស្រមៃ"ផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។

ឧទាហរណ៍ ២ : z = 0.5 + 9i. នេះគឺជាផ្នែកពិត a=Re(z)=0.5និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ b = Im(z) = 9i

ឧទាហរណ៍ ៣ : z = -5 + 19i. នេះគឺជាផ្នែកពិត a=Re(z)=-5និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ b=Im(z)=19.

ចំនួនកុំផ្លិចដែលស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ

ចំនួនកុំផ្លិចដែលមិនមានផ្នែកពិតប្រាកដ i.e. Re(z) = 0ហៅថាការស្រមើស្រមៃសុទ្ធសាធ។

ឧទាហរណ៍ 4 : z = 2i. ផ្នែកពិតគឺបាត់ a = Re(z) = 0និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ b = Im(z) = 2.

ឧទាហរណ៍ ៥ . z=-8i. នេះគឺជាផ្នែកស្រមើលស្រមៃ b=Im(z)=-8, ផ្នែកពិត a = Re(z) = 0.

ផ្សំលេខកុំផ្លិច

លេខបន្សំស្មុគស្មាញត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ "z"ជាមួយរបារមួយ ហើយត្រូវបានគេប្រើឧទាហរណ៍ ដើម្បីស្វែងរកកូតានៃចំនួនកុំផ្លិច ម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីអនុវត្តការបែងចែកលេខ។ អ្នកដែលកំពុងគិតឥឡូវនេះ អ្នកនៅទីនេះ - អានអំពីការបែងចែកចំនួនកុំផ្លិច។

លេខត្រូវបានគេហៅថា conjugate ស្មុគស្មាញ ពួកគេមានផ្នែកពិតដូចគ្នា ហើយខុសគ្នាតែនៅក្នុងសញ្ញានៃផ្នែកស្រមើលស្រមៃប៉ុណ្ណោះ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ៖

ឧទាហរណ៍ ៦ . បន្សំស្មុគស្មាញនៃលេខ z = 7 + 13iគឺជាលេខ។

ឯកតាស្រមើលស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិច

ហើយចុងក្រោយសូមនិយាយអំពីសំបុត្រ ខ្ញុំ. អក្សរដូចគ្នាដែលបង្កើតសមាសធាតុស្រមើលស្រមៃក្នុងចំនួនកុំផ្លិច។ ទោះបីជាយើងមានការបញ្ចេញមតិក៏ដោយ។ z=5វាគ្រាន់តែមានន័យថាផ្នែកស្រមើលស្រមៃនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺសូន្យ ហើយផ្នែកពិតគឺប្រាំ។

តម្លៃ ខ្ញុំបានហៅ ឯកតាស្រមើលស្រមៃ.

ឯកតាស្រមើលស្រមៃមានប្រយោជន៍នៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងនៅក្នុងករណីពេលដែលអ្នករើសអើងមានតិចជាងសូន្យ។ យើង​មាន​ទម្លាប់​ជឿ​ថា​បើ​អវិជ្ជមាន​គឺ​គ្មាន​ដំណោះស្រាយ​គ្មាន​ឫស។ នេះមិនត្រឹមត្រូវទាំងស្រុងទេ។ ឫសមាន ពួកគេគ្រាន់តែស្មុគស្មាញ។ ប៉ុន្តែនៅពេលក្រោយទៀត។ ហើយឥឡូវនេះសូមបន្តទៅអត្ថបទបន្ទាប់ស្តីពីការសិក្សាចំនួនកុំផ្លិច យើងនឹងរៀនពីរបៀបគណនា

រំលឹកឡើងវិញនូវព័ត៌មានចាំបាច់អំពីចំនួនកុំផ្លិច។

លេខស្មុគស្មាញគឺជាការបង្ហាញនៃទម្រង់ ក + ប៊ីកន្លែងណា ក, ខគឺជាចំនួនពិត និង ខ្ញុំ- ហៅថា ឯកតាស្រមើលស្រមៃនិមិត្តសញ្ញាដែលការ៉េគឺ -1, i.e. ខ្ញុំ២=-១. ចំនួន កបានហៅ ផ្នែកពិត, និងលេខ ខ - ផ្នែកស្រមើលស្រមៃចំនួនកុំផ្លិច z = ក + ប៊ី. ប្រសិនបើ ក ខ= 0 បន្ទាប់មកជំនួសឱ្យ ក + 0ខ្ញុំសរសេរយ៉ាងសាមញ្ញ ក. វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាចំនួនពិតគឺជាករណីពិសេសនៃចំនួនកុំផ្លិច។

ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើចំនួនកុំផ្លិចគឺដូចគ្នាទៅនឹងចំនួនពិតដែរ៖ ពួកគេអាចត្រូវបានបូក ដក គុណ និងចែកគ្នាទៅវិញទៅមក។ ការបូក និងដក ដំណើរការទៅតាមច្បាប់ ( ក + ប៊ី) ± ( គ + ឌី) = (ក ± គ) + (ខ ± ឃ)ខ្ញុំ, និងគុណ - យោងទៅតាមច្បាប់ ( ក + ប៊ី) · ( គ + ឌី) = (អេក – bd) + (ការផ្សាយពាណិជ្ជកម្ម + bc)ខ្ញុំ(នៅទីនេះវាទើបតែត្រូវបានប្រើ ខ្ញុំ 2 = -1) ។ លេខ = ក – ប៊ីបានហៅ conjugate ស្មុគស្មាញទៅ z = ក + ប៊ី. សមភាព z · = ក 2 + ខ 2 អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកយល់ពីរបៀបបែងចែកចំនួនកុំផ្លិចមួយដោយចំនួនកុំផ្លិចផ្សេងទៀត (មិនសូន្យ)៖

(ឧទាហរណ៍, .)

លេខស្មុគស្មាញមានតំណាងធរណីមាត្រងាយស្រួល និងមើលឃើញ៖ លេខ z = ក + ប៊ីអាចត្រូវបានតំណាងជាវ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោនេ ( ក; ខ) នៅលើយន្តហោះ Cartesian (ឬដែលស្ទើរតែដូចគ្នា ចំណុចមួយ - ចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រជាមួយនឹងកូអរដោនេទាំងនេះ)។ ក្នុងករណីនេះ ផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិចពីរត្រូវបានបង្ហាញជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រដែលត្រូវគ្នា (ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយក្បួនប្រលេឡូក្រាម)។ តាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោណេ ( ក; ខ) ស្មើនឹង។ តម្លៃនេះត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច z = ក + ប៊ីនិងត្រូវបានតំណាងដោយ | z| មុំដែលវ៉ិចទ័រនេះបង្កើតជាមួយទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស x (រាប់ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា) ត្រូវបានគេហៅថា អាគុយម៉ង់ចំនួនកុំផ្លិច zនិងតំណាងដោយ Arg z. អាគុយម៉ង់​មិន​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ឡែក​ទេ ប៉ុន្តែ​មាន​តែ​ការ​បន្ថែម​នៃ​ពហុគុណ​នៃ 2 ប៉ុណ្ណោះ។ π រ៉ាដ្យង់ (ឬ 360° ប្រសិនបើអ្នករាប់ជាដឺក្រេ) - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ វាច្បាស់ណាស់ថាការបត់តាមមុំជុំវិញដើមនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរវ៉ិចទ័រទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើវ៉ិចទ័រនៃប្រវែង rបង្កើតជាមុំមួយ។ φ ជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស x បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាស្មើនឹង ( r cos φ ; rអំពើបាប φ ) ដូច្នេះវាប្រែចេញ សញ្ញាណត្រីកោណមាត្រចំនួនកុំផ្លិច៖ z = |z| (cos(Arg z) + ខ្ញុំអំពើបាប (Arg z)). ជារឿយៗវាងាយស្រួលក្នុងការសរសេរលេខស្មុគ្រស្មាញក្នុងទម្រង់នេះ ព្រោះវាជួយសម្រួលដល់ការគណនាយ៉ាងច្រើន។ ការគុណនៃចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រមើលទៅសាមញ្ញណាស់៖ zមួយ · z 2 = |z១ | · | z២ | (cos(Arg z 1+ អាគុយម៉ង់ z 2) + ខ្ញុំអំពើបាប (Arg z 1+ អាគុយម៉ង់ z 2)) (នៅពេលគុណចំនួនកុំផ្លិចពីរ ម៉ូឌុលរបស់ពួកវាត្រូវបានគុណ ហើយអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបន្ថែម)។ ពីទីនេះធ្វើតាម រូបមន្ត De Moivre: z n = |z|ន(cos( ន(អ z)) + ខ្ញុំអំពើបាប( ន(អ z)))។ ដោយមានជំនួយពីរូបមន្តទាំងនេះ វាងាយស្រួលក្នុងការរៀនពីរបៀបស្រង់ឫសនៃដឺក្រេណាមួយពីចំនួនកុំផ្លិច។ ឫសទី n នៃ zគឺជាចំនួនកុំផ្លិច វអ្វី w n = z. វាច្បាស់ណាស់។ , និង​ជា​កន្លែង kអាចយកតម្លៃណាមួយពីសំណុំ (0, 1, ..., ន- មួយ) ។ នេះមានន័យថាតែងតែមានពិតប្រាកដ នឫស នដឺក្រេទី ពីចំនួនកុំផ្លិច (នៅលើយន្តហោះពួកគេមានទីតាំងនៅកំពូលនៃធម្មតា។ ន- ហ្គុន) ។