និយមន័យ 7.2 ។ទីតាំងនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះដែលភាពខុសគ្នារវាងចម្ងាយទៅចំណុចថេរពីរគឺថេរត្រូវបានគេហៅថា អ៊ីពែបូល.

ចំណាំ 7.2 ។និយាយអំពីភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយ ពួកគេមានន័យថាចម្ងាយតូចជាងត្រូវដកពីចម្ងាយធំជាង។ នេះមានន័យថា តាមពិតសម្រាប់អ៊ីពែបូឡា ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំណុចណាមួយរបស់វាទៅចំណុចថេរពីរគឺថេរ។ #

និយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡាគឺស្រដៀងនឹងនិយមន័យ ពងក្រពើ. ភាពខុសគ្នារវាងពួកវាគឺគ្រាន់តែថាសម្រាប់អ៊ីពែបូឡា ភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយទៅចំណុចថេរគឺថេរ ហើយសម្រាប់ពងក្រពើ - ផលបូកនៃចម្ងាយដូចគ្នា។ ដូច្នេះ វា​ជា​រឿង​ធម្មជាតិ​ដែល​ខ្សែកោង​ទាំងនេះ​មាន​ច្រើន​ដូចគ្នា​ទាំង​ក្នុង​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ និង​ពាក្យ​ដែល​ប្រើ។

ចំណុចថេរក្នុងនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា (យើងសម្គាល់ពួកវាដោយ F 1 និង F 2) ត្រូវបានគេហៅថា foci នៃ hyperbole. ចម្ងាយរវាងពួកវា (យើងសម្គាល់វាដោយ 2s) ត្រូវបានគេហៅថា ប្រវែងប្រសព្វនិងផ្នែក F 1 M និង F 2 M ភ្ជាប់ចំណុចបំពាន M នៅលើអ៊ីពែបូឡាជាមួយ foci របស់វា - កាំប្រសព្វ.

ទម្រង់នៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយប្រវែងប្រសព្វ |F 1 F 2 | = 2с និងតម្លៃនៃតម្លៃថេរ 2а ស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃកាំប្រសព្វ និងទីតាំងរបស់វានៅលើយន្តហោះ - ទីតាំងនៃ foci F 1 និង F 2 ។

តាមនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា វាធ្វើតាមថា ដូចជាពងក្រពើ វាស៊ីមេទ្រីអំពីបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ foci ក៏ដូចជាអំពីបន្ទាត់ត្រង់ដែលបែងចែកផ្នែក F 1 F 2 ជាពាក់កណ្តាល ហើយកាត់កែងទៅវា ( រូប ៧.៧)។ អ័ក្សទីមួយនៃស៊ីមេទ្រីទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡានិងទីពីរ - នាង អ័ក្សស្រមៃ. ថេរដែលពាក់ព័ន្ធនឹងនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថា semiaxis ពិតប្រាកដនៃអ៊ីពែបូឡា.

ពាក់កណ្តាលនៃផ្នែក F 1 F 2 តភ្ជាប់ foci នៃអ៊ីពែបូឡាស្ថិតនៅចំនុចប្រសព្វនៃអ័ក្សស៊ីមេទ្រីរបស់វា ហើយដូច្នេះគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូឡា ដែលត្រូវបានគេហៅថាសាមញ្ញ។ ចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែបូឡា.

សម្រាប់អ៊ីពែបូឡា អ័ក្សពិត 2a មិនត្រូវធំជាងចម្ងាយប្រសព្វ 2c ទេ ព្រោះសម្រាប់ត្រីកោណ F 1 MF 2 (សូមមើលរូប 7.7) វិសមភាព ||F 1 M| - |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |។ សមភាព a = c ទទួលបានសម្រាប់តែចំនុច M ដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សពិតនៃស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូឡានៅខាងក្រៅចន្លោះ F 1 F 2 ។ ការបោះបង់ករណីដែលខូចនេះ យើងសន្មត់ថា ក

សមីការ Hyperbola. ចូរយើងពិចារណាលើអ៊ីពែបូឡាមួយចំនួននៅលើយន្តហោះជាមួយ foci នៅចំនុច F 1 និង F 2 និងអ័ក្សពិត 2a ។ សូមឱ្យ 2c ជាប្រវែងប្រសព្វ 2c = |F 1 F 2 | > 2 ក។ យោងតាមចំណាំ 7.2 អ៊ីពែរបូលមានចំណុចទាំងនោះ M(x; y) ដែល | |F 1 M| - - |F 2 M| | = 2 ក។ តោះជ្រើសរើស ប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណអុកស៊ីដ ដើម្បីឱ្យកណ្តាលអ៊ីពែបូឡាស្ថិតនៅ ប្រភពដើមហើយ foci មានទីតាំងនៅលើ abscissa(រូបភាព 7.8) ។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលបែបនេះសម្រាប់អ៊ីពែបូឡាដែលត្រូវបានពិចារណាត្រូវបានគេហៅថា Canonicalនិងអថេរដែលត្រូវគ្នា - Canonical.

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Canonical, foci នៃអ៊ីពែបូឡាមាន កូអរដោនេ F 1 (c; 0) និង F 2 (-c; 0) ។ ដោយប្រើរូបមន្តចម្ងាយរវាងចំណុចពីរ យើងសរសេរលក្ខខណ្ឌ ||F 1 M| - |F 2 M|| = 2a ក្នុងកូអរដោនេ |√((x − c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2)| \u003d 2a ដែល (x; y) គឺជាកូអរដោណេនៃចំណុច M. ដើម្បីសម្រួលសមីការនេះ យើងកម្ចាត់សញ្ញាម៉ូឌុល៖ √ ((x - c) 2 + y 2) - √ ((x + c) ) 2 + y 2) \u003d ±2a រំកិលរ៉ាឌីកាល់ទីពីរទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយការ៉េវា៖ (x - c) 2 + y 2 \u003d (x + c) 2 + y 2 ± 4a √ ((x + គ) 2 + y 2) + 4a 2 . បន្ទាប់ពីភាពសាមញ្ញ យើងទទួលបាន -εx - a \u003d ± √ ((x + c) 2 + y 2) ឬ

√((x + c) 2 + y 2) = |εx + a| (7.7)

ដែលជាកន្លែងដែល ε = c/a ។ យើងការ៉េជាលើកទីពីរហើយម្តងទៀតនាំមកនូវពាក្យស្រដៀងគ្នា: (ε 2 - 1) x 2 - y 2 \u003d c 2 - a 2 ឬបានផ្តល់សមភាពε \u003d c / a និងការកំណត់ b 2 \u003d c 2 - a 2,

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1 (7.8)

តម្លៃ b> 0 ត្រូវបានហៅ ពាក់កណ្តាលស្រមៃនៃអ៊ីពែបូឡា.

ដូច្នេះ យើងបានកំណត់ថាចំណុចណាមួយនៅលើអ៊ីពែបូឡាដែលមាន foci F 1 (c; 0) និង F 2 (-c; 0) និងអ័ក្សពាក់កណ្តាលពិតប្រាកដមួយ បំពេញសមីការ (7.8) ។ ប៉ុន្តែយើងក៏ត្រូវតែបង្ហាញផងដែរថា កូអរដោនេនៃចំណុចនៅខាងក្រៅអ៊ីពែបូឡាមិនបំពេញសមីការនេះទេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងពិចារណាក្រុមគ្រួសារនៃអ៊ីពែរបូលទាំងអស់ដែលមាន foci F 1 និង F 2 ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ គ្រួសារអ៊ីពែបូឡានេះមានអ័ក្សស៊ីមេទ្រីទូទៅ។ វាច្បាស់ណាស់ពីការពិចារណាធរណីមាត្រដែលចំណុចនីមួយៗនៃយន្តហោះ (លើកលែងតែចំណុចដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សពិតនៃស៊ីមេទ្រីនៅខាងក្រៅចន្លោះពេល F1F2 និងចំណុចដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សស្រមើស្រមៃនៃស៊ីមេទ្រី) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ៊ីពែបូឡាមួយចំនួននៃគ្រួសារ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ ចាប់តាំងពីភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំណុចទៅ foci F 1 និង F 2 ផ្លាស់ប្តូរពីអ៊ីពែរបូលទៅអ៊ីពែរបូល។ អនុញ្ញាតឱ្យចំណុចសំរបសំរួល M(x; y) បំពេញសមីការ (7.8) ហើយអនុញ្ញាតឱ្យចំណុចខ្លួនវាជារបស់អ៊ីពែបូឡានៃគ្រួសារជាមួយនឹងតម្លៃ ã នៃ semiaxis ពិតប្រាកដ។ បន្ទាប់មក ដូចដែលយើងបានបង្ហាញ កូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការ ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមិនស្គាល់ពីរ

មានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ តាមរយៈការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ យើងធ្វើឱ្យប្រាកដថាសម្រាប់ ã ≠ a វាមិនអាចទៅរួចទេ។ ជាការពិត ការលុបបំបាត់ឧទាហរណ៍ x ពីសមីការទីមួយ៖

បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរ យើងទទួលបានសមីការ

ដែលសម្រាប់ ã ≠ a មិនមានដំណោះស្រាយទេ ចាប់តាំងពី . ដូច្នេះ (7.8) គឺជាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡាដែលមានអ័ក្សពាក់កណ្តាលពិតប្រាកដ a > 0 និងអ័ក្សពាក់កណ្តាលស្រមៃ b = √ (с 2 - a 2) > 0 ។ វាត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា.

ប្រភេទនៃអ៊ីពែបូឡា។នៅក្នុងទម្រង់របស់វា អ៊ីពែបូឡា (7.8) ខុសគ្នាខ្លាំងពីពងក្រពើ។ ដោយគិតពីវត្តមាននៃអ័ក្សពីរនៃស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូឡា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីសាងសង់ផ្នែកនោះដែលស្ថិតនៅក្នុងត្រីមាសទីមួយនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Canonical ។ នៅក្នុងត្រីមាសទីមួយ i.e. សម្រាប់ x ≥ 0, y ≥ 0 សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានដោះស្រាយដោយឡែកទាក់ទងនឹង y៖

y \u003d b / a √ (x 2 - a 2) ។ (7.9)

ការសិក្សាមុខងារនេះ y(x) ផ្តល់លទ្ធផលដូចខាងក្រោម។

ដែននៃអនុគមន៍គឺ (x: x ≥ a) ហើយនៅក្នុងដែននេះ វាបន្តជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ ហើយនៅចំណុច x = a វាបន្តនៅខាងស្តាំ។ សូន្យតែមួយគត់នៃអនុគមន៍គឺចំនុច x = a ។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y (x): y "(x) \u003d bx / a √ (x 2 - a 2)។ ពីនេះយើងសន្និដ្ឋានថាសម្រាប់ x> អនុគមន៍គឺកើនឡើងឯកតា។ ដែលមានន័យថានៅចំណុច x = a នៃចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមានអ័ក្ស x មានតង់សង់បញ្ឈរ។ អនុគមន៍ y(x) មានដេរីវេទីពីរ y" = -ab(x 2 - a 2) -3/2 សម្រាប់ x> a ហើយដេរីវេនេះគឺអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺប៉ោងឡើងលើ ហើយនៅទីនោះ មិនមានចំណុចឆ្លងទេ។

មុខងារនេះមាន asymptote oblique ដែលកើតឡើងពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់ពីរ៖

asymptote oblique ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ y = (b/a)x ។

ការសិក្សាអំពីមុខងារ (7.9) អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា (រូបភាព 7.9) ដែលស្របគ្នានឹងផ្នែកនៃអ៊ីពែបូឡា (7.8) ដែលមាននៅក្នុងត្រីមាសទីមួយ។

ដោយសារអ៊ីពែបូឡាមានភាពស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សរបស់វា ខ្សែកោងទាំងមូលមានទម្រង់បង្ហាញក្នុងរូប។ ៧.១០. អ៊ីពែបូឡា មានសាខាស៊ីមេទ្រីពីរ ដែលមានទីតាំងនៅផ្សេងគ្នា

ផ្នែកម្ខាងនៃអ័ក្សស្រមើស្រមៃរបស់វា។ សាខាទាំងនេះមិនត្រូវបានចងនៅសងខាងទេ ហើយបន្ទាត់ y = ±(b/a)x គឺជា asymptotes នៃសាខាទាំងខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃអ៊ីពែបូឡា។

អ័ក្សនៃស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូឡា ខុសគ្នាត្រង់ថា ធាតុពិតប្រសព្វគ្នាជាមួយអ៊ីពែបូឡា ហើយការស្រមើស្រមៃដែលជាទីតាំងនៃចំណុចដែលស្មើគ្នាពី foci មិនប្រសព្វគ្នាទេ (នោះហើយជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានគេហៅថាការស្រមើស្រមៃ)។ ចំនុចប្រសព្វពីរនៃអ័ក្សពិតនៃស៊ីមេទ្រីជាមួយអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចកំពូលនៃអ៊ីពែបូឡា (ចំណុច A (a; 0) និង B (-a; 0) នៅក្នុងរូបភាព 7.10) ។

ការសាងសង់អ៊ីពែបូឡាតាមអ័ក្សពិត (2a) និងស្រមើស្រមៃ (2b) គួរតែចាប់ផ្តើមដោយចតុកោណកែងដែលស្ថិតនៅកណ្តាលដើម និងជ្រុង 2a និង 2b ស្របគ្នារៀងគ្នាទៅនឹងអ័ក្សពិត និងស្រមើស្រមៃនៃស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូឡា (រូបភាព 7.11 ) asymtotes នៃអ៊ីពែបូឡាគឺជាការបន្តនៃអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែងនេះ ហើយចំនុចកំពូលនៃអ៊ីពែបូឡាគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃជ្រុងនៃចតុកោណជាមួយនឹងអ័ក្សពិតនៃស៊ីមេទ្រី។ ចំណាំថាចតុកោណកែង និងទីតាំងរបស់វានៅលើយន្តហោះកំណត់រូបរាង និងទីតាំងរបស់អ៊ីពែបូឡា។ សមាមាត្រ b/a នៃជ្រុងនៃចតុកោណកែងកំណត់កម្រិតនៃការបង្ហាប់អ៊ីពែបូឡា ប៉ុន្តែជំនួសឱ្យប៉ារ៉ាម៉ែត្រនេះ ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាជាធម្មតាត្រូវបានប្រើ។ ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាហៅថាសមាមាត្រនៃប្រវែងប្រសព្វរបស់វាទៅនឹងអ័ក្សពិត។ ភាពចម្លែកត្រូវបានតំណាងដោយ ε ។ សម្រាប់អ៊ីពែបូឡាដែលបានពិពណ៌នាដោយសមីការ (7.8), ε = c/a ។ ចំណាំថាប្រសិនបើ ភាពប្លែកនៃរាងពងក្រពើអាចយកតម្លៃពីចន្លោះពាក់កណ្តាល)