ឆ្លងកាត់វិសមភាពទាំងនេះដល់ដែនកំណត់ដូចជា Δ x→ 0 និងយកទៅក្នុងគណនីថាដេរីវេ f "(x 0) មានហើយ ដូច្នេះដែនកំណត់នៅខាងឆ្វេងមិនអាស្រ័យលើរបៀប Δ ទេ។ x→ 0 យើងទទួលបាន៖ សម្រាប់ Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 និងនៅ Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. ចាប់តាំងពី f"(x 0) កំណត់លេខមួយ បន្ទាប់មកវិសមភាពទាំងពីរនេះគឺត្រូវគ្នាលុះត្រាតែ f"(x 0) = 0.

ទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្ហាញបញ្ជាក់ថា ពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមាអាចស្ថិតនៅក្នុងចំណោមតម្លៃទាំងនោះនៃអាគុយម៉ង់ដែលដេរីវេទីវបាត់។

យើងបានពិចារណាករណីនៅពេលដែលមុខងារមួយមានដេរីវេនៅគ្រប់ចំណុចនៃផ្នែកជាក់លាក់មួយ។ តើមានអ្វីកើតឡើងនៅពេលដែលដេរីវេមិនមាន? ពិចារណាឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍.

1. y=|x|.

   អនុគមន៍មិនមានដេរីវេនៅចំនុចមួយទេ។ x=0 (នៅចំណុចនេះ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានតង់សង់ច្បាស់លាស់ទេ) ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះ អនុគមន៍មានអប្បបរមា ចាប់តាំងពី y(0)=0 និងសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា x≠ 0y > 0.



មុខងារមិនមានដេរីវេនៅ x=0, ចាប់តាំងពីវាទៅគ្មានដែនកំណត់នៅពេលដែល x=0. ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះមុខងារមានអតិបរមា។



មុខងារមិនមានដេរីវេនៅ x=0 ព្រោះ នៅ x→0. នៅចំណុចនេះ មុខងារមិនមានអតិបរមា ឬអប្បបរមាទេ។ ពិតជា f(x)=0 និងនៅ x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.



ដូច្នេះ ពីឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្កើត វាច្បាស់ណាស់ថា អនុគមន៍អាចមានកម្រិតខ្លាំងតែក្នុងករណីពីរប៉ុណ្ណោះ៖ 1) នៅចំនុចដែលដេរីវេទីវមាន ហើយស្មើនឹងសូន្យ។ 2) នៅចំណុចដែលដេរីវេមិនមាន។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយប្រសិនបើនៅចំណុចណាមួយ។ x 0 យើងដឹង f"(x 0 ) =0 បន្ទាប់មកវាមិនអាចសន្និដ្ឋានបានពីចំណុចនេះទេ។ x 0 មុខងារមានកម្រិតខ្លាំង។

ឧទាហរណ៍. .



ប៉ុន្តែចំណុច x=0 មិន​មែន​ជា​ចំណុច​ខ្លាំង​ទេ ព្រោះ​នៅ​ខាង​ឆ្វេង​នៃ​ចំណុច​នេះ តម្លៃ​មុខងារ​ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​អ័ក្ស គោនិងខាងលើនៅខាងស្តាំ។

តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ពីដែននៃអនុគមន៍ ដែលដេរីវេនៃមុខងារបាត់ ឬមិនមាន ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចសំខាន់.




វាធ្វើតាមពីខាងលើដែលចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារគឺស្ថិតក្នុងចំណោមចំណុចសំខាន់ ហើយទោះជាយ៉ាងណា មិនមែនគ្រប់ចំណុចសំខាន់ទាំងអស់សុទ្ធតែជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។ ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ អ្នកត្រូវស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗទាំងអស់នៃមុខងារ ហើយបន្ទាប់មកពិនិត្យមើលចំណុចនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នាសម្រាប់អតិបរមា និងអប្បបរមា។ ចំពោះបញ្ហានេះទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមបម្រើ។

ទ្រឹស្តីបទ 2. (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម។ )អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារបន្តនៅលើចន្លោះពេលមួយចំនួនដែលមានចំណុចសំខាន់ x 0 និងអាចខុសគ្នានៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេលនេះ (លើកលែងតែ ប្រហែលជាចំណុចខ្លួនឯង x 0). ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ពីឆ្វេងទៅស្តាំឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក បន្ទាប់មកនៅចំណុច x = x 0 មុខងារមានអតិបរមា។ ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ x 0 ពីឆ្វេងទៅស្តាំ និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក បន្ទាប់មកមុខងារមានអប្បបរមានៅចំណុចនេះ។

ដូច្នេះប្រសិនបើ

ភស្តុតាង. ចូរយើងសន្មតជាមុនថានៅពេលឆ្លងកាត់ x 0, ការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេសញ្ញាពីបូកទៅដក, i.e. សម្រាប់​ទាំងអស់ xជិតដល់ចំណុច x 0 f "(x) > 0 សម្រាប់ x< x 0 , f"(x)< 0 សម្រាប់ x > x 0. ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Lagrange ទៅនឹងភាពខុសគ្នា f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), កន្លែងណា គស្ថិតនៅចន្លោះ xនិង x 0 .

1. អនុញ្ញាតឱ្យមាន x< x 0. បន្ទាប់មក គ< x 0 និង f "(c) > 0. ដូច្នេះ f "(c)(x-x 0)< 0 ហើយដូច្នេះ

   f(x) - f(x 0 )< 0, i.e. f(x)< f(x 0 ).

2. អនុញ្ញាតឱ្យមាន x > x 0. បន្ទាប់មក គ > x 0 និង f"(c)< 0. មធ្យោបាយ f "(c)(x-x 0)< 0. ដូច្នេះ f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

ដូច្នេះសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ xជិតល្មម x 0 f(x)< f(x 0 ) . ហើយនេះមានន័យថានៅចំណុច x 0 មុខងារមានអតិបរមា។

ផ្នែកទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទអប្បបរមាត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នា។



ចូរយើងបង្ហាញពីអត្ថន័យនៃទ្រឹស្តីបទនេះនៅក្នុងរូប។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន f"(x 1 ) =0 និងសម្រាប់ណាមួយ។ x,ជិតល្មម x១, វិសមភាព

f"(x)< 0 នៅ x< x 1 , f "(x) > 0 នៅ x > x 1 .

បន្ទាប់មកទៅខាងឆ្វេងនៃចំណុច x 1 មុខងារកំពុងកើនឡើង និងថយចុះនៅខាងស្តាំ ដូច្នេះនៅពេលណា x = xអនុគមន៍ 1 ចេញ​ពី​ការ​បង្កើន​ទៅ​ការ​ថយ​ចុះ ពោល​គឺ​វា​មាន​អតិបរមា។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ មនុស្សម្នាក់អាចពិចារណាចំណុច x 2 និង x 3 .


តាមគ្រោងការណ៍ ទាំងអស់ខាងលើអាចត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងរូបភាព:

ច្បាប់សម្រាប់សិក្សាអនុគមន៍ y=f(x) សម្រាប់ extremum

1. ស្វែងរកវិសាលភាពនៃមុខងារ f(x)
2. ស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃមុខងារ f"(x).
3. កំណត់ចំណុចសំខាន់សម្រាប់រឿងនេះ៖
   1. ស្វែងរកឫសពិតនៃសមីការ f"(x)=0;
   2. ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់។ xនៅក្រោមនោះ ដេរីវេ f"(x)មិន​មាន​ទេ។
4. កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៅខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំនៃចំណុចសំខាន់។ ដោយសារសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុនៅតែថេររវាងចំនុចសំខាន់ពីរ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៅចំនុចណាមួយទៅខាងឆ្វេង និងនៅចំណុចមួយទៅខាងស្តាំនៃចំនុចសំខាន់។
5. គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចខ្លាំង។

ឧទាហរណ៍. រុករកមុខងារសម្រាប់អប្បបរមា និងអតិបរមា។




តម្លៃមុខងារដ៏អស្ចារ្យបំផុត និងអប្បរមានៅលើការស្ទាក់ចាប់

ធំបំផុតតម្លៃនៃមុខងារនៅលើផ្នែកមួយគឺធំបំផុតនៃតម្លៃទាំងអស់របស់វានៅលើផ្នែកនេះ និង យ៉ាងហោចណាស់គឺតូចបំផុតនៃតម្លៃរបស់វា។

ពិចារណាមុខងារ y=f(x)បន្តនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ មុខងារបែបនេះឈានដល់តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមារបស់វា ទាំងនៅលើព្រំដែននៃផ្នែក ឬនៅខាងក្នុងវា។ ប្រសិនបើតម្លៃអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃអនុគមន៍ត្រូវបានទៅដល់ចំណុចខាងក្នុងនៃផ្នែក នោះតម្លៃនេះគឺជាអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃអនុគមន៍ នោះគឺវាត្រូវបានឈានដល់ចំណុចសំខាន់។

ដូច្នេះយើងទទួលបានដូចខាងក្រោម ច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍មួយនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] :

1. ស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗនៃអនុគមន៍ក្នុងចន្លោះពេល ( ក, ខ) និងគណនាតម្លៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះ។
2. គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែកសម្រាប់ x=a, x=b.
3. ក្នុងចំណោមតម្លៃដែលទទួលបានទាំងអស់ ជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុត។

>> ខ្លាំង

មុខងារខ្លាំង

និយមន័យនៃជ្រុល

មុខងារ y = f (x) ត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង (ស្រក) ក្នុងចន្លោះពេលខ្លះប្រសិនបើសម្រាប់ x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x2)) ។

ប្រសិនបើមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន y \u003d f (x) នៅលើផ្នែកមួយកើនឡើង (ថយចុះ) នោះដេរីវេរបស់វានៅលើផ្នែកនេះ f " (x)> 0

(f"(x)< 0).

ចំណុច x អំពី បានហៅ ចំណុចអតិបរមាក្នុងស្រុក (អប្បបរមា) នៃអនុគមន៍ f (x) ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំនុច x oសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់ដែលវិសមភាព f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )) ។

ពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំងហើយតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះគឺជារបស់វា។ ខ្លាំង។

ចំណុចខ្លាំង

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ជ្រុល . ប្រសិនបើចំណុច x អំពី គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ f (x) បន្ទាប់មក f " (x o ) = 0 ឬ f(x o) មិនមានទេ។ ចំណុចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សំខាន់ដែលមុខងារខ្លួនវាត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចសំខាន់។ ភាពខ្លាំងនៃមុខងារមួយគួរតែត្រូវបានស្វែងរកក្នុងចំណោមចំណុចសំខាន់ៗរបស់វា។

លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ដំបូង។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន x អំពី - ចំណុចសំខាន់។ ប្រសិនបើ f" (x) នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច x អំពី ប្តូរសញ្ញាបូកទៅជាដក បន្ទាប់មកនៅចំណុច x oមុខងារមានអតិបរមា បើមិនដូច្នេះទេវាមានអប្បបរមា។ ប្រសិនបើដេរីវេមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចសំខាន់ នោះនៅចំណុច x អំពី មិនមានជ្រុល។

លក្ខខណ្ឌទីពីរគ្រប់គ្រាន់។ ឱ្យអនុគមន៍ f(x) មាន
f" (x) នៅជិតចំនុច x អំពី និងដេរីវេទី ២ នៅចំណុច x o. ប្រសិនបើ f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oគឺជាចំនុចអប្បបរមា (អតិបរមា) ក្នុងតំបន់នៃអនុគមន៍ f(x)។ ប្រសិនបើ =0 នោះ មួយត្រូវតែប្រើលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ដំបូង ឬពាក់ព័ន្ធនឹងអ្វីដែលខ្ពស់ជាង។

នៅលើផ្នែកមួយ មុខងារ y \u003d f (x) អាចឈានដល់តម្លៃតូចបំផុត ឬធំបំផុត ទាំងនៅចំណុចសំខាន់ ឬនៅចុងផ្នែក។

ឧទាហរណ៍ 3.22 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ជា f " (

ភារកិច្ចសម្រាប់ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ 3.23 ។ ក

ការសម្រេចចិត្ត។ xនិង y y
0 ≤ x≤
> 0 ខណៈពេលដែល x > a / 4 ស " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение មុខងារ sq ។. ឯកតា).

ឧទាហរណ៍ 3.24 ។ p ≈

ការសម្រេចចិត្ត។ទំ
ស"
R = 2, H = 16/4 = 4 ។

ឧទាហរណ៍ 3.22 ។រកផ្នែកខ្លាំងនៃអនុគមន៍ f (x) = 2x 3 − 15x 2 + 36x − 14 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ជា f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3) បន្ទាប់មកចំនុចសំខាន់នៃអនុគមន៍ x 1 \u003d 2 និង x 2 \u003d 3. ចំនុចខ្លាំងអាចមាននៅចំនុចទាំងនេះតែប៉ុណ្ណោះ ពិន្ទុ។ ចាប់តាំងពីពេលឆ្លងកាត់ចំណុច x 1 \u003d 2 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះមុខងារមានអតិបរមា។ នៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x 2 \u003d 3 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក ដូច្នេះនៅចំណុច x 2 \u003d 3 មុខងារមានអប្បបរមា។ ការគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ជាចំនុច
x 1 = 2 និង x 2 = 3 យើងរកឃើញភាពខ្លាំងនៃអនុគមន៍៖ អតិបរមា f (2) = 14 និងអប្បបរមា f (3) = 13 ។

ឧទាហរណ៍ 3.23 ។វាចាំបាច់ក្នុងការសាងសង់តំបន់ចតុកោណនៅជិតជញ្ជាំងថ្មដើម្បីឱ្យវាត្រូវបានហ៊ុមព័ទ្ធដោយសំណាញ់លួសនៅសងខាងបីហើយនៅជាប់នឹងជញ្ជាំងនៅជ្រុងទីបួន។ សម្រាប់នេះមាន កម៉ែត្រលីនេអ៊ែរនៃក្រឡាចត្រង្គ។ តើ​គេហទំព័រ​នឹង​មាន​ផ្ទៃ​ធំ​ជាង​គេ​នៅ​សមាមាត្រ​មួយ​ណា?

ការសម្រេចចិត្ត។សម្គាល់ផ្នែកនៃគេហទំព័រតាមរយៈ xនិង y. ផ្ទៃនៃគេហទំព័រគឺស្មើនឹង S = xy ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន yគឺជាប្រវែងនៃផ្នែកដែលនៅជាប់នឹងជញ្ជាំង។ បន្ទាប់មក តាមលក្ខខណ្ឌ សមភាព 2x + y = ត្រូវតែកាន់។ ដូច្នេះ y = a − 2x និង S = x (a − 2x) ដែល
0 ≤ x≤ a /2 (ប្រវែងនិងទទឹងនៃបន្ទះមិនអាចជាអវិជ្ជមាន) ។ S” = a − 4x, a − 4x = 0 សម្រាប់ x = a/4, មកពីណា
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2 ។ ដរាបណា x = a /4 គឺជាចំណុចសំខាន់តែមួយគត់ សូមពិនិត្យមើលថាតើសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះឬអត់។ សម្រាប់ x a / 4 S "> 0 ខណៈពេលដែល x > a / 4 ស " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение មុខងារ S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (sq ។. ឯកតា). ដោយសារ S កំពុងបន្ត ហើយតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃ S(0) និង S(a/2) គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះតម្លៃដែលបានរកឃើញនឹងជាតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ។ ដូច្នេះសមាមាត្រអំណោយផលបំផុតនៃគេហទំព័រក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺ y = 2x ។

ឧទាហរណ៍ 3.24 ។វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីធ្វើធុងស៊ីឡាំងបិទជិតដែលមានសមត្ថភាព V = 16 p ≈ ៥០ ម ៣. តើទំហំធុងគួរមានទំហំប៉ុនណា (កាំ R និងកំពស់ H) ដើម្បីប្រើប្រាស់សម្ភារៈតិចបំផុតសម្រាប់ការផលិតរបស់វា?

ការសម្រេចចិត្ត។ផ្ទៃដីសរុបនៃស៊ីឡាំងគឺ S = 2ទំ R(R+H)។ យើងដឹងពីបរិមាណនៃស៊ីឡាំង V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 ទំ / ទំ R 2 \u003d 16 / R ២. ដូច្នេះ S(R) = 2ទំ (R2+16/R)។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះ៖
ស"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2) ។ ស" (R) = 0 សម្រាប់ R 3 = 8 ដូច្នេះ
R = 2, H = 16/4 = 4 ។

មុខងារ វាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះ ដើម្បីដឹងពីវត្តមានរបស់និស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីរ ហើយយល់ពីអត្ថន័យរូបវន្តរបស់វា។ ដំបូងអ្នកត្រូវយល់ដូចខាងក្រោមៈ

• ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ ពង្រីកអតិបរមា ឬផ្ទុយទៅវិញ កាត់បន្ថយតម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយតាមអំពើចិត្ត។
• នៅចំណុចខ្លាំងមិនគួរមានការដាច់នៃមុខងារនោះទេ។

ហើយ​ឥឡូវ​នេះ​រឿង​ដដែល​តែ​ក្នុង​ពាក្យ​សាមញ្ញ​ប៉ុណ្ណោះ។ មើលចុងប៊ិចប៊ិច។ ប្រសិនបើប៊ិចត្រូវបានដាក់បញ្ឈរជាមួយនឹងការសរសេរបញ្ចប់ នោះកណ្តាលនៃបាល់នឹងក្លាយជាចំណុចខ្លាំងបំផុត - ចំណុចខ្ពស់បំផុត។ ក្នុងករណីនេះយើងនិយាយអំពីអតិបរមា។ ឥឡូវនេះ ប្រសិនបើអ្នកបង្វែរប៊ិចដោយប្រើចុងសរសេរចុះក្រោម នោះនៅពាក់កណ្តាលបាល់នឹងមានមុខងារអប្បបរមារួចហើយ។ ដោយមានជំនួយពីតួលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅទីនេះអ្នកអាចស្រមៃមើលឧបាយកលដែលបានរាយបញ្ជីសម្រាប់ខ្មៅដៃសម្ភារៈការិយាល័យ។ ដូច្នេះ មុខងារខ្លាំងបំផុតគឺតែងតែជាចំណុចសំខាន់៖ អតិបរមា ឬអប្បបរមារបស់វា។ ផ្នែកដែលនៅជាប់គ្នានៃគំនូសតាងអាចមានភាពមុតស្រួច ឬរលោងតាមអំពើចិត្ត ប៉ុន្តែវាត្រូវតែមាននៅលើភាគីទាំងសងខាង មានតែនៅក្នុងករណីនេះទេ ចំណុចគឺខ្លាំងបំផុត។ ប្រសិនបើគំនូសតាងមានវត្តមានតែនៅម្ខាង ចំណុចនេះនឹងមិនមានភាពជ្រុលនិយមទេ បើទោះបីជាលក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរបំផុតត្រូវបានបំពេញនៅផ្នែកម្ខាងរបស់វាក៏ដោយ។ ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​សិក្សា​ពី​ភាព​ខ្លាំង​នៃ​មុខងារ​តាម​ទស្សនៈ​វិទ្យាសាស្ត្រ។ ដើម្បីឱ្យចំណុចមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាជាភាពជ្រុលនិយម វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែល៖

• ដេរីវេទី 1 គឺស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាននៅចំណុច។
• សញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេទី 1 នៅចំណុចនេះ។

លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបកស្រាយខុសគ្នាខ្លះពីទស្សនៈនៃនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាង៖ សម្រាប់អនុគមន៍ដែលអាចបែងចែកបាននៅចំណុចមួយ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់សេសដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ ខណៈដែលនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទាបទាំងអស់ត្រូវតែ មានហើយស្មើនឹងសូន្យ។ នេះគឺជាការបកស្រាយដ៏សាមញ្ញបំផុតនៃទ្រឹស្តីបទពីសៀវភៅសិក្សា។ ប៉ុន្តែសម្រាប់មនុស្សសាមញ្ញបំផុត វាគឺមានតម្លៃពន្យល់ចំណុចនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ មូលដ្ឋានគឺប៉ារ៉ាបូឡាធម្មតា។ ធ្វើការកក់ភ្លាមៗ នៅចំណុចសូន្យ វាមានអប្បបរមា។ គណិតវិទ្យាបន្តិច៖

• ដេរីវេទី 1 (X 2) | = 2X សម្រាប់ចំណុចសូន្យ 2X = 0;
• ដេរីវេទី ២ (2X) | = 2 សម្រាប់ចំណុចសូន្យ 2 = 2 ។

នៅក្នុងវិធីសាមញ្ញបែបនេះ លក្ខខណ្ឌដែលកំណត់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារទាំងសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីមួយ និងសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាងត្រូវបានបង្ហាញ។ វាអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅនេះថាដេរីវេទី 2 គឺគ្រាន់តែជាដេរីវេដូចគ្នានៃលំដាប់សេស មិនស្មើសូន្យ ដែលត្រូវបានលើកឡើងខ្ពស់ជាងបន្តិច។ នៅពេលដែលវាមកដល់ extrema នៃមុខងារនៃអថេរពីរ លក្ខខណ្ឌត្រូវតែបំពេញសម្រាប់អាគុយម៉ង់ទាំងពីរ។ នៅពេលដែលការធ្វើទូទៅកើតឡើង នោះនិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកចូលមកលេង។ នោះគឺវាចាំបាច់សម្រាប់វត្តមាននៃភាពជ្រុលនិយមនៅចំណុចមួយដែលនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីមួយទាំងពីរស្មើនឹងសូន្យ ឬយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាមិនមាន។ សម្រាប់ភាពគ្រប់គ្រាន់នៃវត្តមានរបស់ extremum កន្សោមមួយត្រូវបានស៊ើបអង្កេត ដែលជាភាពខុសគ្នារវាងផលិតផលនៃនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីពីរ និងការ៉េនៃដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរចម្រុះនៃអនុគមន៍។ ប្រសិនបើកន្សោមនេះធំជាងសូន្យ នោះមានភាពជ្រុលនិយម ហើយប្រសិនបើមានសមភាពដល់សូន្យ នោះសំណួរនៅតែបើកចំហ ហើយត្រូវការការស្រាវជ្រាវបន្ថែម។