ការណែនាំ

វិធីសាស្រ្តបន្ថែម។
អ្នកត្រូវសរសេរពីរយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅក្រោមគ្នាទៅវិញទៅមក៖

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11។
នៅក្នុងសមីការដែលបានជ្រើសរើសដោយបំពាន (ពីប្រព័ន្ធ) បញ្ចូលលេខ 11 ជំនួសឱ្យ "ហ្គេម" ដែលបានរកឃើញរួចហើយ ហើយគណនាលេខទីពីរដែលមិនស្គាល់៖

X=61+5*11, x=61+55, x=116។
ចម្លើយនៃប្រព័ន្ធសមីការនេះ៖ x=116, y=11។

វិធីក្រាហ្វិក។
វាមាននៅក្នុងការស្វែងរកជាក់ស្តែងនៃកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបន្ទាត់ត្រូវបានសរសេរតាមគណិតវិទ្យានៅក្នុងប្រព័ន្ធសមីការ។ អ្នកគួរតែគូរក្រាហ្វនៃបន្ទាត់ទាំងពីរដាច់ដោយឡែកពីគ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេតែមួយ។ ទិដ្ឋភាពទូទៅ៖ - y \u003d kx + b ។ ដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចពីរហើយ x ត្រូវបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: 2x - y \u003d ៤

Y \u003d -3x + 1 ។
បន្ទាត់​ត្រង់​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​តាម​ចំណុច​ទី​មួយ ដើម្បី​ភាព​ងាយស្រួល​ត្រូវ​សរសេរ​ចុះ៖ y \u003d 2x-4 ។ មកជាមួយតម្លៃ (ងាយស្រួលជាង) សម្រាប់ x ជំនួសវាទៅក្នុងសមីការ ដោះស្រាយវា រក y ។ ចំណុចពីរត្រូវបានទទួល ដែលបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានសាងសង់។ (សូមមើលរូប។ )
x 0 1

y -៤ -២
បន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានសាងសង់តាមសមីការទីពីរ៖ y \u003d -3x + 1 ។
បង្កើតខ្សែផងដែរ។ (សូមមើលរូប។ )

១-៥
ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលបានសាងសង់ពីរនៅលើក្រាហ្វ (ប្រសិនបើបន្ទាត់មិនប្រសព្វគ្នានោះប្រព័ន្ធនៃសមីការមិនមាន - ដូច្នេះ) ។

វីដេអូពាក់ព័ន្ធ

ដំបូន្មានមានប្រយោជន៍

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធសមីការដូចគ្នាត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីបីផ្សេងគ្នា ចម្លើយនឹងដូចគ្នា (ប្រសិនបើដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវ)។

ប្រភព៖

• ពិជគណិតថ្នាក់ទី៨
• ដោះស្រាយសមីការជាមួយការមិនស្គាល់ពីរតាមអ៊ីនធឺណិត
• ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយពីរ

ប្រព័ន្ធ សមីការគឺជាការប្រមូលផ្ដុំនៃកំណត់ត្រាគណិតវិទ្យា ដែលនីមួយៗមានចំនួនអថេរមួយចំនួន។ មានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយពួកគេ។

អ្នក​នឹង​ត្រូវការ

• - បន្ទាត់និងខ្មៅដៃ;
• - ម៉ាស៊ីនគិតលេខ។

ការណែនាំ

ពិចារណាពីលំដាប់នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលមានសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានទម្រង់: a1x + b1y = c1 និង a2x + b2y = c2 ។ ដែល x និង y គឺជាអថេរមិនស្គាល់ ហើយ b, c គឺជាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ នៅពេលអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះ ប្រព័ន្ធនីមួយៗគឺជាកូអរដោនេនៃចំនុចដែលត្រូវគ្នានឹងសមីការនីមួយៗ។ ជាដំបូង ក្នុងករណីនីមួយៗ បង្ហាញអថេរមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត។ បន្ទាប់មកកំណត់អថេរ x ទៅចំនួនតម្លៃណាមួយ។ ពីរគឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ។ ដោតចូលទៅក្នុងសមីការ ហើយរក y ។ បង្កើតប្រព័ន្ធកូអរដោណេ សម្គាល់ចំណុចដែលទទួលបាននៅលើវា ហើយគូសបន្ទាត់ត្រង់កាត់ពួកវា។ ការគណនាស្រដៀងគ្នាត្រូវតែត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ផ្នែកផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធ។

ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ប្រសិនបើបន្ទាត់ដែលបានសាងសង់ប្រសព្វគ្នា និងមានចំណុចរួមមួយ។ វាមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាទេ ប្រសិនបើពួកវាស្របគ្នា។ ហើយ​វា​មាន​ដំណោះ​ស្រាយ​ជា​ច្រើន​គ្មាន​កំណត់​នៅ​ពេល​ដែល​បន្ទាត់​បញ្ចូល​គ្នា​ទៅ​វិញ​ទៅ​មក។

វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាច្បាស់លាស់ណាស់។ គុណវិបត្តិចម្បងគឺថាមិនស្គាល់ដែលបានគណនាមានតម្លៃប្រហាក់ប្រហែល។ លទ្ធផលត្រឹមត្រូវជាងគឺត្រូវបានផ្តល់ដោយអ្វីដែលគេហៅថា វិធីសាស្ត្រពិជគណិត។

ដំណោះស្រាយណាមួយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការគឺមានតម្លៃពិនិត្យមើល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះជំនួសតម្លៃដែលទទួលបានជំនួសឱ្យអថេរ។ អ្នកក៏អាចស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វាតាមវិធីជាច្រើនផងដែរ។ ប្រសិនបើដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធត្រឹមត្រូវ នោះអ្នកគ្រប់គ្នាគួរតែចេញដូចគ្នា។

ជាញឹកញាប់មានសមីការដែលពាក្យមួយក្នុងចំណោមពាក្យមិនស្គាល់។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ អ្នកត្រូវចាំ ហើយធ្វើសកម្មភាពជាក់លាក់មួយជាមួយនឹងលេខទាំងនេះ។

អ្នក​នឹង​ត្រូវការ

• - ក្រដាស;
• - ប៊ិច ឬខ្មៅដៃ។

ការណែនាំ

ស្រមៃថាអ្នកមានទន្សាយ 8 នៅពីមុខអ្នក ហើយអ្នកមានតែ 5 ការ៉ុតប៉ុណ្ណោះ។ គិតថាអ្នកត្រូវការទិញការ៉ុតបន្ថែមទៀតដើម្បីឱ្យទន្សាយនីមួយៗទទួលបានការ៉ុត។

ចូរតំណាងបញ្ហានេះក្នុងទម្រង់សមីការ៖ 5 + x = 8 ចូរជំនួសលេខ 3 សម្រាប់ x ។ ពិត 5 + 3 = 8 ។

នៅពេលអ្នកជំនួសលេខសម្រាប់ x អ្នកកំពុងធ្វើប្រតិបត្តិការដូចគ្នានឹងការដកលេខ 5 ពី 8 ។ ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរក មិនស្គាល់ term ដកពាក្យដែលគេស្គាល់ពីផលបូក។

ឧបមាថាអ្នកមានទន្សាយ 20 និងការ៉ុតតែ 5 ប៉ុណ្ណោះ។ ចូរយើងតែង។ សមីការ​គឺ​ជា​សមភាព​ដែល​មាន​សម្រាប់​តែ​តម្លៃ​ជាក់លាក់​នៃ​អក្សរ​ដែល​រួម​បញ្ចូល​ក្នុង​វា​ប៉ុណ្ណោះ។ អក្សរ​ដែល​តម្លៃ​ដែល​អ្នក​ចង់​រក​ត្រូវ​បាន​ហៅ។ សរសេរសមីការដោយមិនស្គាល់មួយ ហៅវា x ។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហារបស់យើងអំពីទន្សាយ សមីការខាងក្រោមត្រូវបានទទួល៖ 5 + x = 20 ។

ចូរយើងស្វែងរកភាពខុសគ្នារវាងលេខ 20 និង 5។ នៅពេលដកលេខដែលវាត្រូវបានដកត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ លេខដែលត្រូវដកត្រូវបានគេហៅថា ហើយលទ្ធផលចុងក្រោយត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា។ ដូច្នេះ x = 20 − 5; x = 15. អ្នកត្រូវទិញការ៉ុតចំនួន 15 សម្រាប់ទន្សាយ។

ធ្វើការត្រួតពិនិត្យ៖ 5 + 15 = 20. សមីការគឺត្រឹមត្រូវ។ ជាការពិតណាស់នៅពេលដែលវាមកដល់សាមញ្ញបែបនេះ ការត្រួតពិនិត្យគឺមិនចាំបាច់ទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅពេលដែលវាមកដល់សមីការដែលមានលេខបីខ្ទង់ បួនខ្ទង់ ហើយដូច្នេះនៅលើ វាជាការចាំបាច់ដើម្បីធ្វើការត្រួតពិនិត្យមួយដើម្បីឱ្យប្រាកដថាលទ្ធផលនៃការងាររបស់អ្នក។

វីដេអូពាក់ព័ន្ធ

ដំបូន្មានមានប្រយោជន៍

ដើម្បីស្វែងរក minuend ដែលមិនស្គាល់ អ្នកត្រូវបន្ថែម subtrahend ទៅភាពខុសគ្នា។

ដើម្បីស្វែងរក subtrahend ដែលមិនស្គាល់ វាចាំបាច់ក្នុងការដកភាពខុសគ្នាពី minuend ។

គន្លឹះទី 4: របៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការបីជាមួយនឹងមិនស្គាល់បី

ប្រព័ន្ធនៃសមីការបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី ប្រហែលជាមិនមានដំណោះស្រាយទេ ទោះបីជាសមីការចំនួនគ្រប់គ្រាន់ក៏ដោយ។ អ្នកអាចព្យាយាមដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រជំនួស ឬប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ។ វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer បន្ថែមពីលើការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ អនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់វាយតម្លៃថាតើប្រព័ន្ធអាចដោះស្រាយបានមុននឹងស្វែងរកតម្លៃនៃអ្វីដែលមិនស្គាល់។

ការណែនាំ

វិធីសាស្រ្តជំនួសមាននៅក្នុងលំដាប់មួយមិនស្គាល់តាមរយៈពីរផ្សេងទៀត និងការជំនួសលទ្ធផលដែលទទួលបានទៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការបីត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់ទូទៅ៖

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

បញ្ចេញ x ពីសមីការទីមួយ៖ x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ហើយជំនួសទៅក្នុងសមីការទីពីរ និងទីបី បន្ទាប់មកបង្ហាញ y ពីសមីការទីពីរ ហើយជំនួសទៅក្នុងសមីការទីបី។ អ្នកនឹងទទួលបានកន្សោមលីនេអ៊ែរសម្រាប់ z តាមរយៈមេគុណនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ ឥឡូវទៅ "ថយក្រោយ"៖ ដោត z ទៅក្នុងសមីការទីពីរ ហើយរក y បន្ទាប់មកដោត z និង y ទៅក្នុងសមីការទីមួយ ហើយរក x ។ ដំណើរការជាទូទៅត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបរហូតដល់ z ត្រូវបានរកឃើញ។ លើសពីនេះ កំណត់ត្រាក្នុងទម្រង់ទូទៅនឹងមានភាពស្មុគស្មាញពេក នៅក្នុងការអនុវត្ត ការជំនួស អ្នកអាចស្វែងរកការមិនស្គាល់ទាំងបីយ៉ាងងាយស្រួល។

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer មាននៅក្នុងការចងក្រងម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ និងការគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនេះ ក៏ដូចជាម៉ាទ្រីសជំនួយបីទៀត។ ម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានផ្សំឡើងដោយមេគុណនៅលក្ខខណ្ឌមិនស្គាល់នៃសមីការ។ ជួរ​ឈរ​ដែល​មាន​លេខ​នៅ​ផ្នែក​ខាង​ស្ដាំ​នៃ​សមីការ​, ជួរ​ឈរ​នៃ​ផ្នែក​ខាង​ស្ដាំ​។ វា​មិន​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​នៅ​ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​ទេ ប៉ុន្តែ​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​នៅ​ពេល​ដោះស្រាយ​ប្រព័ន្ធ។

វីដេអូពាក់ព័ន្ធ

ចំណាំ

សមីការទាំងអស់នៅក្នុងប្រព័ន្ធត្រូវតែផ្តល់ព័ត៌មានបន្ថែមដោយឯករាជ្យពីសមីការផ្សេងទៀត។ បើមិនដូច្នេះទេ ប្រព័ន្ធនឹងត្រូវបានកំណត់តិចតួច ហើយវានឹងមិនអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយដែលមិនច្បាស់លាស់បានទេ។

ដំបូន្មានមានប្រយោជន៍

បន្ទាប់ពីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម ហើយពិនិត្យមើលថាពួកគេបំពេញសមីការទាំងអស់។

ដោយ​ខ្លួន​វា សមីការជាមួយបី មិនស្គាល់មានដំណោះស្រាយជាច្រើន ដូច្នេះជារឿយៗវាត្រូវបានបំពេញបន្ថែមដោយសមីការ ឬលក្ខខណ្ឌពីរទៀត។ អាស្រ័យលើទិន្នន័យដំបូង វគ្គនៃការសម្រេចចិត្តនឹងពឹងផ្អែកភាគច្រើន។

អ្នក​នឹង​ត្រូវការ

• - ប្រព័ន្ធនៃសមីការបីជាមួយនឹងមិនស្គាល់បី។

ការណែនាំ

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធពីរក្នុងចំនោមប្រព័ន្ធទាំងបីមានតែពីរក្នុងចំណោមបីដែលមិនស្គាល់ សូមព្យាយាមបង្ហាញអថេរមួយចំនួននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត ហើយដោតពួកវាទៅក្នុង សមីការជាមួយបី មិនស្គាល់. គោលដៅរបស់អ្នកជាមួយនេះគឺដើម្បីប្រែក្លាយវាទៅជារឿងធម្មតា។ សមីការជាមួយនឹងមិនស្គាល់។ ប្រសិនបើនេះគឺ ដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀតគឺសាមញ្ញណាស់ - ជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត ហើយស្វែងរកអ្វីដែលមិនស្គាល់ផ្សេងទៀត។

ប្រព័ន្ធមួយចំនួននៃសមីការអាចត្រូវបានដកចេញពីសមីការមួយដោយមួយទៀត។ មើលថាតើវាអាចទៅរួចក្នុងការគុណមួយដោយ ឬអថេរ ដូច្នេះការមិនស្គាល់ចំនួនពីរត្រូវបានកាត់បន្ថយក្នុងពេលតែមួយ។ ប្រសិនបើមានឱកាសបែបនេះសូមប្រើវា ភាគច្រើនទំនងជាការសម្រេចចិត្តជាបន្តបន្ទាប់នឹងមិនពិបាកទេ។ កុំភ្លេចថានៅពេលគុណនឹងលេខមួយ អ្នកត្រូវគុណទាំងផ្នែកខាងឆ្វេង និងផ្នែកខាងស្តាំ។ ដូចគ្នាដែរ ពេលដកសមីការ ត្រូវចាំថាផ្នែកខាងស្តាំក៏ត្រូវដកដែរ។

ប្រសិនបើវិធីសាស្រ្តពីមុនមិនបានជួយទេ សូមប្រើវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការណាមួយដែលមានបី មិនស្គាល់. ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 ។ ឥឡូវបង្កើតម៉ាទ្រីសនៃមេគុណនៅ x (A) ម៉ាទ្រីសមិនស្គាល់ (X) និងម៉ាទ្រីសឥតគិតថ្លៃ (B) ។ យកចិត្តទុកដាក់ ដោយគុណម៉ាទ្រីសនៃមេគុណដោយម៉ាទ្រីសនៃមិនស្គាល់ អ្នកនឹងទទួលបានម៉ាទ្រីស ដែលជាម៉ាទ្រីសនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ នោះគឺ A * X \u003d B ។

ស្វែងរកម៉ាទ្រីស A ទៅនឹងថាមពល (-1) បន្ទាប់ពីរកឃើញ ចំណាំថាវាមិនគួរស្មើនឹងសូន្យទេ។ បន្ទាប់ពីនោះ គុណម៉ាទ្រីសលទ្ធផលដោយម៉ាទ្រីស B ជាលទ្ធផលអ្នកនឹងទទួលបានម៉ាទ្រីស X ដែលចង់បានដោយបង្ហាញពីតម្លៃទាំងអស់។

អ្នកក៏អាចស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការបីដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមស្វែងរកកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី ∆ ដែលត្រូវគ្នានឹងម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មកស្វែងរកកត្តាកំណត់ចំនួនបីបន្ថែមទៀត ∆1, ∆2 និង ∆3 ជាបន្តបន្ទាប់ ដោយជំនួសតម្លៃនៃពាក្យទំនេរ ជំនួសឱ្យតម្លៃនៃជួរឈរដែលត្រូវគ្នា។ ឥឡូវរក x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆។

ប្រភព៖

• ដំណោះស្រាយនៃសមីការដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី

ចាប់ផ្តើមដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ស្វែងយល់ថាតើសមីការទាំងនេះជាអ្វី។ វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងល្អ។ សមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ ភាគច្រើនមិនត្រូវបានដោះស្រាយទេ។ មានករណីពិសេសតែមួយគត់ ដែលករណីនីមួយៗមានលក្ខណៈបុគ្គល។ ដូច្នេះ ការសិក្សាអំពីវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយគួរតែចាប់ផ្តើមដោយសមីការលីនេអ៊ែរ។ សមីការបែបនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយសូម្បីតែ algorithm សុទ្ធសាធ។

ការណែនាំ

ចាប់ផ្តើមដំណើរការសិក្សាដោយរៀនពីរបៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានចំនួនមិនស្គាល់ពីរ X និង Y ដោយការលុបបំបាត់។ a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2)។ មេគុណនៃសមីការត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយសន្ទស្សន៍ដែលបង្ហាញពីទីតាំងរបស់វា។ ដូច្នេះមេគុណ a21 សង្កត់ធ្ងន់លើការពិតដែលថាវាត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងសមីការទីពីរនៅកន្លែងដំបូង។ នៅក្នុងសញ្ញាណដែលទទួលយកជាទូទៅ ប្រព័ន្ធត្រូវបានសរសេរដោយសមីការដែលមានទីតាំងមួយនៅខាងក្រោមមួយទៀត ដែលត្រូវបានតំណាងរួមគ្នាដោយដង្កៀបអង្កាញ់នៅខាងស្តាំ ឬខាងឆ្វេង (សម្រាប់ព័ត៌មានលម្អិត សូមមើលរូបទី 1a)។

លេខរៀងនៃសមីការគឺបំពាន។ ជ្រើសរើសអ្វីដែលសាមញ្ញបំផុត ដូចជាអថេរមួយ ដែលអថេរមួយត្រូវនាំមុខដោយកត្តា 1 ឬយ៉ាងហោចណាស់ចំនួនគត់។ ប្រសិនបើនេះជាសមីការ (1) បន្ទាប់មកបង្ហាញបន្ថែមថា មិនស្គាល់ Y នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ X (ករណីនៃការលុបបំបាត់ Y) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបំប្លែង (1) ទៅជាទម្រង់ a12*Y=b1-a11*X (ឬ a11*X=b1-a12*Y ប្រសិនបើ X ត្រូវបានដកចេញ)) ហើយបន្ទាប់មក Y=(b1-a11*X)/a12 . ការជំនួសក្រោយទៅជាសមីការ (2) សរសេរ a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2។ ដោះស្រាយសមីការនេះសម្រាប់ X ។
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) ឬ X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21)។
ដោយប្រើទំនាក់ទំនងដែលបានរកឃើញរវាង Y និង X ទីបំផុតទទួលបានទីពីរមិនស្គាល់ Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21)។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយមេគុណលេខជាក់លាក់ នោះការគណនានឹងមានភាពស្មុកស្មាញតិច។ ម៉្យាងវិញទៀត ដំណោះស្រាយទូទៅធ្វើឱ្យវាអាចពិចារណាលើការពិតដែលថា ចំពោះការមិនស្គាល់ដែលបានរកឃើញ គឺដូចគ្នាបេះបិទ។ បាទ/ចាស ហើយលេខភាគអាចមើលឃើញនូវគំរូមួយចំនួននៃការសាងសង់របស់វា។ ប្រសិនបើវិមាត្រនៃប្រព័ន្ធសមីការធំជាងពីរ នោះវិធីសាស្ត្រលុបបំបាត់នឹងនាំឱ្យមានការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញ។ ដើម្បីជៀសវាងពួកគេ ដំណោះស្រាយអាល់ហ្គោរីតសុទ្ធត្រូវបានបង្កើតឡើង។ សាមញ្ញបំផុតនៃពួកគេគឺក្បួនដោះស្រាយរបស់ Cramer (រូបមន្តរបស់ Cramer) ។ សម្រាប់គួរតែរៀនប្រព័ន្ធទូទៅនៃសមីការ n ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរជាមួយ n មិនស្គាល់មានទម្រង់ (សូមមើលរូបទី 1a)។ នៅក្នុងវា aij គឺជាមេគុណនៃប្រព័ន្ធ
хj – មិនស្គាល់, ប៊ី – សមាជិកឥតគិតថ្លៃ (i=1, 2, … , n; j=1, 2, … , n)។ ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងបង្រួមក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស AX=B ។ នៅទីនេះ A គឺជាម៉ាទ្រីសមេគុណនៃប្រព័ន្ធ X គឺជាម៉ាទ្រីសជួរឈរនៃមិនស្គាល់ B គឺជាម៉ាទ្រីសជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ (សូមមើលរូបភាពទី 1 ខ) ។ យោងតាមវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer នីមួយៗមិនស្គាល់ xi =∆i/∆ (i=1,2…,n)។ កត្តាកំណត់ ∆ នៃម៉ាទ្រីសនៃមេគុណត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់សំខាន់ ហើយ ∆i ត្រូវបានគេហៅថាជំនួយ។ សម្រាប់ការមិនស្គាល់នីមួយៗ កត្តាកំណត់ជំនួយត្រូវបានរកឃើញដោយជំនួសជួរឈរ i-th នៃកត្តាកំណត់សំខាន់ជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer សម្រាប់ករណីនៃប្រព័ន្ធនៃលំដាប់ទីពីរនិងទីបីត្រូវបានបង្ហាញលម្អិតនៅក្នុងរូបភព។ ២.

ប្រព័ន្ធគឺជាសហជីពនៃសមភាពពីរ ឬច្រើន ដែលនីមួយៗមានពីរ ឬច្រើនមិនស្គាល់។ មានវិធីសំខាន់ពីរដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលប្រើក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ពួក​គេ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​វិធី​សា​ស្រ្ត, ផ្សេង​ទៀត​គឺ​ជា​វិធី​សា​ស្រ្ត​បន្ថែម.

ទម្រង់ស្តង់ដារនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ

ក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ សមីការទីមួយគឺ a1*x+b1*y=c1 សមីការទីពីរគឺ a2*x+b2*y=c2 ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងករណីពីរផ្នែកនៃប្រព័ន្ធក្នុង a1, a2, b1, b2, c1, c2 គឺជាមេគុណលេខមួយចំនួនដែលបង្ហាញក្នុងសមីការជាក់លាក់។ នៅក្នុងវេន x និង y គឺមិនស្គាល់ដែលតម្លៃត្រូវកំណត់។ តម្លៃដែលចង់បានបង្វែរសមីការទាំងពីរក្នុងពេលដំណាលគ្នាទៅជាសមភាពពិត។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធ នោះគឺដើម្បីស្វែងរកតម្លៃទាំងនោះនៃ x និង y ដែលនឹងប្រែក្លាយពួកវាទៅជាសមភាពពិត អ្នកត្រូវអនុវត្តជំហានសាមញ្ញមួយចំនួន។ ទីមួយគឺការបំប្លែងសមីការណាមួយតាមរបៀបដែលមេគុណលេខសម្រាប់អថេរ x ឬ y ក្នុងសមីការទាំងពីរស្របគ្នាក្នុងតម្លៃដាច់ខាត ប៉ុន្តែខុសគ្នាត្រង់សញ្ញា។

ឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធដែលមានសមីការពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ទីមួយមានទម្រង់ 2x+4y=8 ទីពីរមានទម្រង់ 6x+2y=6។ ជម្រើសមួយក្នុងចំណោមជម្រើសសម្រាប់ការបញ្ចប់ភារកិច្ចគឺត្រូវគុណសមីការទីពីរដោយកត្តានៃ -2 ដែលនឹងនាំវាទៅជាទម្រង់ -12x-4y=-12 ។ ជម្រើសត្រឹមត្រូវនៃមេគុណគឺជាកិច្ចការសំខាន់មួយក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម ព្រោះវាកំណត់វគ្គបន្តទាំងមូលនៃនីតិវិធីសម្រាប់ការស្វែងរកមិនស្គាល់។

ឥឡូវនេះវាចាំបាច់ក្នុងការបន្ថែមសមីការពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ជាក់ស្តែង ការបំផ្លិចបំផ្លាញទៅវិញទៅមកនៃអថេរដែលមានតម្លៃស្មើគ្នា ប៉ុន្តែផ្ទុយពីមេគុណសញ្ញានឹងនាំវាទៅជាទម្រង់ -10x=-4 ។ បន្ទាប់ពីនោះ វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការសាមញ្ញនេះ ដែលវាធ្វើតាមដោយមិនច្បាស់លាស់ x=0.4 ។

ជំហានចុងក្រោយក្នុងដំណើរការដំណោះស្រាយគឺដើម្បីជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃអថេរមួយទៅក្នុងសមភាពដំបូងណាមួយដែលមាននៅក្នុងប្រព័ន្ធ។ ឧទាហរណ៍ ការជំនួស x=0.4 ទៅក្នុងសមីការទីមួយ អ្នកអាចទទួលបានកន្សោម 2*0.4+4y=8 ដែល y=1.8 ។ ដូច្នេះ x=0.4 និង y=1.8 គឺជាឫសគល់នៃប្រព័ន្ធដែលបង្ហាញក្នុងឧទាហរណ៍។

ដើម្បីធ្វើឱ្យប្រាកដថាឫសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវវាមានប្រយោជន៍ក្នុងការត្រួតពិនិត្យដោយការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ឧទាហរណ៍ក្នុងករណីនេះសមភាពនៃទម្រង់ 0.4 * 6 + 1.8 * 2 = 6 ត្រូវបានទទួលដែលត្រឹមត្រូវ។

វីដេអូពាក់ព័ន្ធ

សមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរមានទម្រង់ទូទៅ ax + by + c = 0. នៅក្នុងវា a, b និង c គឺជាមេគុណ - លេខមួយចំនួន; និង x និង y គឺជាអថេរ - មិនស្គាល់លេខដែលត្រូវរកឃើញ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរគឺជាគូនៃលេខ x និង y ដែល ax + by + c = 0 គឺជាសមភាពពិត។

សមីការលីនេអ៊ែរជាក់លាក់ដែលមានអថេរពីរ (ឧទាហរណ៍ 3x + 2y - 1 = 0) មានសំណុំនៃដំណោះស្រាយ នោះគឺជាសំណុំនៃចំនួនគូដែលសមីការគឺពិត។ សមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរត្រូវបានបំលែងទៅជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ y = kx + m ដែលជាបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ។ កូអរដោនេនៃចំណុចទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរក្នុងអថេរពីរ។

ប្រសិនបើសមីការលីនេអ៊ែរពីរនៃទម្រង់ ax + by + c = 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃដូចជា x និង y ដែលពួកវាទាំងពីរនឹងមានដំណោះស្រាយ នោះពួកគេនិយាយថាវាចាំបាច់។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ. ប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានសរសេរនៅក្រោមតង្កៀបអង្កាញ់ធម្មតា។ ឧទាហរណ៍៖

ប្រព័ន្ធសមីការមិនអាចមានដំណោះស្រាយទេ ប្រសិនបើបន្ទាត់ដែលជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរដែលត្រូវគ្នាមិនប្រសព្វគ្នា (នោះគឺវាស្របគ្នា)។ ដើម្បីសន្និដ្ឋានថាមិនមានដំណោះស្រាយទេ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបំប្លែងសមីការលីនេអ៊ែរទាំងពីរដែលមានអថេរពីរទៅជាទម្រង់ y = kx + m ។ ប្រសិនបើ k ជាចំនួនដូចគ្នាក្នុងសមីការទាំងពីរ នោះប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃសមីការមួយប្រែទៅជាមានសមីការដូចគ្នាបេះបិទពីរ (ដែលប្រហែលជាមិនច្បាស់ភ្លាមៗ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីការបំលែង) នោះវាមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។ ក្នុងករណីនេះយើងកំពុងនិយាយអំពីភាពមិនច្បាស់លាស់។

នៅក្នុងគ្រប់ករណីផ្សេងទៀត ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមួយ។ ការសន្និដ្ឋាននេះអាចទាញចេញពីការពិតដែលថាបន្ទាត់មិនស្របគ្នាទាំងពីរអាចប្រសព្វគ្នានៅចំណុចតែមួយ។ វាគឺជាចំនុចប្រសព្វនេះ ដែលនឹងស្ថិតនៅទាំងបន្ទាត់ទីមួយ និងទីពីរ ពោលគឺវានឹងជាដំណោះស្រាយនៃសមីការទីមួយ និងទីពីរ។ ដូច្នេះ ដើម្បី​ជា​ដំណោះស្រាយ​ចំពោះ​ប្រព័ន្ធ​សមីការ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ស្ថានភាពនៅពេលដែលការរឹតបន្តឹងជាក់លាក់ត្រូវបានដាក់លើតម្លៃនៃ x និង y (ជាធម្មតាដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា) ។ ឧទាហរណ៍ x > 0, y > 0. ក្នុងករណីនេះ ទោះបីជាប្រព័ន្ធសមីការមានដំណោះស្រាយក៏ដោយ ប៉ុន្តែវាមិនបំពេញលក្ខខណ្ឌនោះ វាត្រូវបានសន្និដ្ឋានថាប្រព័ន្ធសមីការមិនមានដំណោះស្រាយក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។

មានវិធីបីយ៉ាងដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

1. វិធីសាស្រ្តជ្រើសរើស។ ភាគច្រើននៃពេលវេលានេះគឺពិបាកធ្វើណាស់។
2. វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិក។ នៅពេលដែលបន្ទាត់ពីរត្រូវបានគូរនៅលើប្លង់កូអរដោនេ (ក្រាហ្វនៃមុខងារនៃសមីការដែលត្រូវគ្នា) ហើយចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេត្រូវបានរកឃើញ។ វិធីសាស្រ្តនេះអាចផ្តល់លទ្ធផលមិនត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វគឺជាលេខប្រភាគ។
3. វិធីសាស្រ្តពិជគណិត។ ពួកគេមានភាពចម្រុះ និងអាចទុកចិត្តបាន។

យើងធ្លាប់ស្គាល់រួចមកហើយនូវគោលគំនិតនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៅក្នុងចំនួនមិនស្គាល់ពីរ។ សមីការអាចមានវត្តមាននៅក្នុងបញ្ហាមួយ ទាំងសមីការបុគ្គល និងសមីការជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយ។ ក្នុងករណីបែបនេះសមីការត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាទៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការ។

តើអ្វីទៅជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ប្រព័ន្ធសមីការគឺជាសមីការពីរ ឬច្រើន ដែលវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរួមរបស់ពួកគេ។ ជាធម្មតា ដើម្បីសរសេរប្រព័ន្ធសមីការ ពួកគេត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរឈរមួយ ហើយគូរដង្កៀបអង្កាញ់ធម្មតាមួយ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានសរសេរខាងក្រោម។

(4x + 3y = 6
( 2x + y = 4

កំណត់ត្រានេះមានន័យថាប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយមានអថេរពីរ។ ប្រសិនបើមានសមីការបីនៅក្នុងប្រព័ន្ធ នោះវានឹងជាប្រព័ន្ធនៃសមីការបី។ ហើយដូច្នេះសម្រាប់ចំនួនសមីការណាមួយ។

ប្រសិនបើសមីការទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងប្រព័ន្ធគឺលីនេអ៊ែរ នោះពួកគេនិយាយថាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរគឺទើបតែបង្ហាញ។ ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើប្រព័ន្ធអាចមានដំណោះស្រាយទូទៅ។ យើងនឹងពិភាក្សាអំពីពាក្យ "ដំណោះស្រាយទូទៅ" ខាងក្រោម។

តើដំណោះស្រាយជាអ្វី?

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានពីរមិនស្គាល់គឺជាលេខមួយគូ (x, y) ដែលប្រសិនបើលេខទាំងនេះត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ នោះសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធនឹងប្រែទៅជាសមភាពពិត។

ឧទាហរណ៍ យើងមានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរ។ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការទីមួយនឹងជាគូនៃលេខទាំងអស់ដែលបំពេញសមីការនេះ។

សម្រាប់សមីការទីពីរ ដំណោះស្រាយនឹងជាគូនៃលេខដែលបំពេញសមីការនេះ។ ប្រសិនបើមានគូនៃលេខបែបនេះដែលពេញចិត្តទាំងសមីការទីមួយ និងទីពីរ នោះគូនៃលេខនេះនឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានចំនួនមិនស្គាល់ពីរ។

ដំណោះស្រាយក្រាហ្វិក

ក្រាហ្វិក ដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់មួយចំនួននៅលើយន្តហោះ។

សម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ យើងនឹងមានបន្ទាត់ជាច្រើន (យោងតាមចំនួនសមីការ)។ ហើយដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការនឹងជាចំណុចដែលបន្ទាត់ទាំងអស់ប្រសព្វគ្នា។ ប្រសិនបើមិនមានចំណុចបែបនេះទេនោះប្រព័ន្ធនឹងមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ចំណុចដែលបន្ទាត់ទាំងអស់ប្រសព្វគ្នាជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់នីមួយៗ ដូច្នេះដំណោះស្រាយត្រូវបានគេហៅថាទូទៅ។

ដោយវិធីនេះ ការរៀបចំសមីការនៃប្រព័ន្ធ និងការស្វែងរកចំណុចរួមរបស់ពួកគេ គឺជាវិធីមួយដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេហៅថាក្រាហ្វិក។

វិធីផ្សេងទៀតដើម្បីដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

មានវិធីផ្សេងទៀតដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ។ វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរ។

យើងនឹងវិភាគពីរប្រភេទនៃប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការ៖

1. ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តជំនួស។
2. ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយពាក្យបូក (ដក) នៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ។

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ វិធីសាស្រ្តជំនួសអ្នកត្រូវធ្វើតាមក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញមួយ៖
1. យើងបង្ហាញ។ ពីសមីការណាមួយ យើងបង្ហាញអថេរមួយ។
2. ជំនួស។ យើងជំនួសនៅក្នុងសមីការមួយផ្សេងទៀតជំនួសឱ្យអថេរដែលបានសម្តែងដែលជាតម្លៃលទ្ធផល។
3. យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលជាមួយនឹងអថេរមួយ។ យើងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។

ដើម្បីដោះស្រាយ ប្រព័ន្ធដោយការបូកតាមកាលកំណត់ (ដក)ត្រូវការ៖
1. ជ្រើសរើសអថេរដែលយើងនឹងបង្កើតមេគុណដូចគ្នា។
2. យើងបូកឬដកសមីការ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការដែលមានអថេរមួយ។
3. យើងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលទ្ធផល។ យើងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃមុខងារ។

ចូរយើងពិចារណាលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ #1៖

តោះដោះស្រាយដោយវិធីជំនួស

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រជំនួស

2x+5y=1 (សមីការ 1)
x-10y=3 (សមីការទី 2)

1. អ៊ិចប្រេស
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅក្នុងសមីការទីពីរមានអថេរ x ជាមួយនឹងមេគុណនៃ 1 ដូច្នេះវាប្រែថាវាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការបញ្ចេញអថេរ x ពីសមីការទីពីរ។
x=3+10y

2. បន្ទាប់ពីបង្ហាញរួច យើងជំនួស 3 + 10y ក្នុងសមីការទីមួយជំនួសឱ្យអថេរ x ។
2(3+10y)+5y=1

3. យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលជាមួយនឹងអថេរមួយ។
2(3+10y)+5y=1 (បើកតង្កៀប)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វ ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរក x និង y ព្រោះចំនុចប្រសព្វមាន x និង y ។ ចូររក x ក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយដែលយើងបង្ហាញ យើងជំនួស y នៅទីនោះ។
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

វាជាទម្លាប់ក្នុងការសរសេរចំនុចដំបូង យើងសរសេរអថេរ x ហើយនៅកន្លែងទីពីរ អថេរ y ។
ចម្លើយ៖ (១; -០.២)

ឧទាហរណ៍ #2៖

ចូរដោះស្រាយដោយការបូក (ដក) តាមពាក្យបូក។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម

3x-2y=1 (សមីការ 1)
2x-3y=-10 (សមីការទី 2)

1. ជ្រើសរើសអថេរ ឧបមាថាយើងជ្រើសរើស x ។ នៅក្នុងសមីការទីមួយ អថេរ x មានមេគុណ 3 ក្នុងទីពីរ - 2. យើងត្រូវធ្វើឱ្យមេគុណដូចគ្នា សម្រាប់ការនេះ យើងមានសិទ្ធិគុណសមីការ ឬចែកដោយលេខណាមួយ។ យើងគុណសមីការទីមួយដោយ 2 និងទីពីរដោយ 3 ហើយទទួលបានមេគុណសរុបនៃ 6 ។

3x-2y=1 |*2
៦x-៤y=២

2x-3y=-10 |*3
៦x-៩y=-៣០

2. ពីសមីការទីមួយ ដកទីពីរ ដើម្បីកម្ចាត់អថេរ x យើងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។
__6x-4y=2

5y=32 | : ៥
y=៦.៤

3. រក x ។ ជំនួសនៅក្នុងសមីការណាមួយដែលរកឃើញ y ចូរនិយាយថានៅក្នុងសមីការទីមួយ។
3x−2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

ចំនុចប្រសព្វនឹង x = 4.6; y=៦.៤
ចម្លើយ៖ (៤.៦; ៦.៤)

តើអ្នកចង់រៀបចំការប្រឡងដោយឥតគិតថ្លៃទេ? គ្រូតាមអ៊ីនធឺណិត អត់​គិតថ្លៃ. និយាយ​មែនទែន។

គួរឱ្យទុកចិត្តជាងវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកដែលបានពិភាក្សាក្នុងកថាខណ្ឌមុន។

វិធីសាស្រ្តជំនួស

យើងបានប្រើវិធីសាស្រ្តនេះនៅថ្នាក់ទី 7 ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ក្បួនដោះស្រាយដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅថ្នាក់ទី 7 គឺពិតជាសមរម្យសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរណាមួយ (មិនចាំបាច់លីនេអ៊ែរ) ជាមួយនឹងអថេរពីរ x និង y (ជាការពិតណាស់ អថេរអាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរផ្សេងទៀតដែលមិនមានបញ្ហា) ។ តាមពិតទៅ យើងបានប្រើក្បួនដោះស្រាយនេះនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន នៅពេលដែលបញ្ហានៃលេខពីរខ្ទង់នាំទៅដល់គំរូគណិតវិទ្យា ដែលជាប្រព័ន្ធនៃសមីការ។ យើងបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការខាងលើដោយវិធីសាស្ត្រជំនួស (សូមមើលឧទាហរណ៍ទី 1 ពី§ 4) ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ប្រើវិធីជំនួសពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានអថេរពីរ x, y ។

1. បញ្ចេញ y ក្នុងន័យ x ពីសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធ។
2. ជំនួសកន្សោមលទ្ធផលជំនួសឱ្យ y ទៅក្នុងសមីការមួយផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធ។
3. ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលសម្រាប់ x ។
4. ជំនួសនៅក្នុងវេននៃឫសនីមួយៗនៃសមីការដែលបានរកឃើញនៅជំហានទីបីជំនួសឱ្យ x ចូលទៅក្នុងកន្សោម y ដល់ x ដែលទទួលបាននៅជំហានដំបូង។
5. សរសេរចម្លើយក្នុងទម្រង់ជាគូនៃតម្លៃ (x; y) ដែលត្រូវបានរកឃើញរៀងៗខ្លួនក្នុងជំហានទីបី និងទីបួន។

4) ជំនួសនៅក្នុងវេននីមួយៗនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញរបស់ y ទៅក្នុងរូបមន្ត x \u003d 5 - Zy ។ បើអញ្ចឹង
5) គូ (2; 1) និងដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចម្លើយ៖ (២; ១);

វិធីសាស្ត្របន្ថែមពិជគណិត

វិធីសាស្រ្តនេះ ដូចជាវិធីសាស្ត្រជំនួស គឺធ្លាប់ស្គាល់អ្នកពីវគ្គសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី 7 ដែលវាត្រូវបានគេប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ យើងរំលឹកពីខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ២ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

យើងគុណលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធដោយ 3 ហើយទុកសមីការទីពីរមិនផ្លាស់ប្តូរ៖
ដកសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធចេញពីសមីការទីមួយរបស់វា៖

ជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមពិជគណិតនៃសមីការពីរនៃប្រព័ន្ធដើម សមីការមួយត្រូវបានទទួលដែលសាមញ្ញជាងសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាមួយនឹងសមីការដ៏សាមញ្ញនេះ យើងមានសិទ្ធិជំនួសសមីការណាមួយនៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍ ទីពីរ។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការនឹងត្រូវបានជំនួសដោយប្រព័ន្ធសាមញ្ញជាងនេះ៖

ប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តជំនួស។ ពីសមីការទីពីរ យើងរកឃើញ ការជំនួសកន្សោមនេះជំនួសឱ្យ y ទៅក្នុងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន

វានៅសល់ដើម្បីជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ នៃ x ទៅក្នុងរូបមន្ត

ប្រសិនបើ x = 2 បន្ទាប់មក

ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញដំណោះស្រាយពីរចំពោះប្រព័ន្ធ៖

វិធីសាស្រ្តណែនាំអថេរថ្មី។

អ្នកបានស្គាល់វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីមួយ នៅពេលដោះស្រាយសមីការសមហេតុផលជាមួយនឹងអថេរមួយនៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី 8 ។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការគឺដូចគ្នា ប៉ុន្តែតាមទស្សនៈបច្ចេកទេសមានលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួនដែលយើងនឹងពិភាក្សាក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ចូរណែនាំអថេរថ្មីមួយ បន្ទាប់មកសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់សាមញ្ញមួយ៖ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនេះទាក់ទងនឹងអថេរ t:

តម្លៃទាំងពីរនេះបំពេញលក្ខខណ្ឌ ដូច្នេះហើយគឺជាឫសគល់នៃសមីការសមហេតុផលជាមួយអថេរ t ។ ប៉ុន្តែនោះមានន័យថា ពីកន្លែងដែលយើងរកឃើញថា x = 2y ឬ
ដូច្នេះ ដោយមានជំនួយពីវិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មី យើងអាច "ធ្វើមាត្រដ្ឋាន" សមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ ដែលមានលក្ខណៈស្មុគស្មាញក្នុងរូបរាងទៅជាសមីការសាមញ្ញជាងពីរ៖

x = 2 y; y - 2x ។

មាន​អ្វី​បន្ទាប់? ហើយបន្ទាប់មកសមីការសាមញ្ញទាំងពីរដែលទទួលបានត្រូវតែយកមកពិចារណានៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលមានសមីការ x 2 - y 2 \u003d 3 ដែលយើងមិនទាន់បានចងចាំ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត បញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការពីរ៖

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធទីមួយ ប្រព័ន្ធទីពីរ និងរួមបញ្ចូលតម្លៃលទ្ធផលទាំងអស់នៅក្នុងចម្លើយ។ តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការទីមួយ៖

ចូរយើងប្រើវិធីជំនួស ជាពិសេសចាប់តាំងពីអ្វីគ្រប់យ៉ាងរួចរាល់សម្រាប់វានៅទីនេះ៖ យើងជំនួសកន្សោម 2y ជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ទទួលបាន

ចាប់តាំងពី x \u003d 2y យើងរកឃើញ x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2 រៀងគ្នា។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយពីរចំពោះប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានទទួល៖ (2; 1) និង (-2; -1) ។ តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការទីពីរ៖

ចូរប្រើវិធីជំនួសម្តងទៀត៖ យើងជំនួសកន្សោម 2x ជំនួសឱ្យ y ក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ទទួលបាន

សមីការនេះមិនមានឫសគល់ ដែលមានន័យថា ប្រព័ន្ធសមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ដូច្នេះមានតែដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទីមួយប៉ុណ្ណោះដែលគួរតែត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងចំលើយ។

ចម្លើយ៖ (២; ១); (-២;-១) ។

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរជាមួយអថេរពីរត្រូវបានប្រើជាពីរកំណែ។ ជម្រើសទីមួយ៖ អថេរថ្មីមួយត្រូវបានណែនាំ និងប្រើក្នុងសមីការតែមួយនៃប្រព័ន្ធ។ នេះគឺជាអ្វីដែលបានកើតឡើងក្នុងឧទាហរណ៍ទី 3 ។ ជម្រើសទីពីរ៖ អថេរថ្មីពីរត្រូវបានណែនាំ និងប្រើប្រាស់ក្នុងពេលដំណាលគ្នាក្នុងសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធ។ នេះនឹងជាករណីក្នុងឧទាហរណ៍ទី ៤ ។

ឧទាហរណ៍ 4ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

សូមណែនាំអថេរថ្មីពីរ៖

យើងរៀនវានៅពេលនោះ។

វានឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យឡើងវិញក្នុងទម្រង់សាមញ្ញជាង ប៉ុន្តែទាក់ទងនឹងអថេរថ្មី a និង b៖

ចាប់តាំងពី \u003d 1 បន្ទាប់មកពីសមីការ a + 6 \u003d 2 យើងរកឃើញ: 1 + 6 \u003d 2; ៦=១. ដូច្នេះសម្រាប់អថេរ a និង b យើងទទួលបានដំណោះស្រាយមួយ៖

ត្រលប់ទៅអថេរ x និង y យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ

យើងអនុវត្តវិធីសាស្ត្របន្ថែមពិជគណិតដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ៖

ចាប់ពីពេលនោះមក ពីសមីការ 2x + y = 3 យើងរកឃើញ៖
ដូច្នេះសម្រាប់អថេរ x និង y យើងទទួលបានដំណោះស្រាយមួយ៖

ចូរយើងបញ្ចប់ផ្នែកនេះដោយការពិភាក្សាដោយសង្ខេប ប៉ុន្តែជាទ្រឹស្តីដ៏ធ្ងន់ធ្ងរ។ អ្នកបានទទួលបទពិសោធន៍ខ្លះហើយក្នុងការដោះស្រាយសមីការផ្សេងៗ៖ លីនេអ៊ែរ ការ៉េ សនិទានភាព មិនសមហេតុផល។ អ្នកដឹងថាគំនិតចម្បងនៃការដោះស្រាយសមីការគឺដើម្បីផ្លាស់ទីបន្តិចម្តង ៗ ពីសមីការមួយទៅសមីការមួយទៀតដែលសាមញ្ញជាង ប៉ុន្តែស្មើនឹងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅក្នុងផ្នែកមុន យើងបានណែនាំអំពីសញ្ញាណនៃសមមូលសម្រាប់សមីការដែលមានអថេរពីរ។ គំនិតនេះក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់សម្រាប់ប្រព័ន្ធសមីការផងដែរ។

និយមន័យ។

ប្រព័ន្ធពីរនៃសមីការដែលមានអថេរ x និង y ត្រូវបានគេហៅថាសមមូល ប្រសិនបើពួកគេមានដំណោះស្រាយដូចគ្នា ឬប្រសិនបើប្រព័ន្ធទាំងពីរមិនមានដំណោះស្រាយ។

វិធីសាស្រ្តទាំងបី (ការជំនួស ការបន្ថែមពិជគណិត និងការណែនាំអថេរថ្មី) ដែលយើងបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកនេះគឺពិតជាត្រឹមត្រូវតាមទស្សនៈនៃសមមូល។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តទាំងនេះ យើងជំនួសប្រព័ន្ធមួយនៃសមីការជាមួយប្រព័ន្ធមួយទៀត ដែលសាមញ្ញជាង ប៉ុន្តែស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើម។

វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

យើងបានសិក្សារួចហើយអំពីរបៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការនៅក្នុងវិធីទូទៅ និងគួរឱ្យទុកចិត្តដូចជាវិធីសាស្រ្តនៃការជំនួស ការបន្ថែមពិជគណិត និងការណែនាំនៃអថេរថ្មី។ ហើយឥឡូវនេះ ចូរយើងចងចាំវិធីសាស្រ្តដែលអ្នកបានសិក្សារួចហើយនៅក្នុងមេរៀនមុន។ នោះគឺ ចូរយើងនិយាយឡើងវិញនូវអ្វីដែលអ្នកដឹងអំពីវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយក្រាហ្វិក។

វិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការក្រាហ្វិកគឺការស្ថាបនាក្រាហ្វសម្រាប់សមីការជាក់លាក់នីមួយៗដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ និងនៅក្នុងប្លង់កូអរដោនេដូចគ្នា ហើយក៏ជាកន្លែងដែលវាទាមទារដើម្បីស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃចំនុចនៃក្រាហ្វទាំងនេះផងដែរ។ . ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការនេះគឺជាកូអរដោនេនៃចំណុចនេះ (x; y) ។

វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា វាជារឿងធម្មតាសម្រាប់ប្រព័ន្ធក្រាហ្វិកនៃសមីការដែលមានដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវតែមួយ ឬចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ឬមិនមានដំណោះស្រាយទាល់តែសោះ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់អំពីដំណោះស្រាយនីមួយៗទាំងនេះ។ ដូច្នេះហើយ ប្រព័ន្ធនៃសមីការអាចមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ប្រសិនបើបន្ទាត់ដែលជាក្រាហ្វនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធប្រសព្វគ្នា។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ទាំងនេះស្របគ្នា នោះប្រព័ន្ធសមីការបែបនេះពិតជាគ្មានដំណោះស្រាយទេ។ ក្នុងករណីចៃដន្យនៃក្រាហ្វដោយផ្ទាល់នៃសមីការនៃប្រព័ន្ធបន្ទាប់មកប្រព័ន្ធបែបនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកដំណោះស្រាយជាច្រើន។

មែនហើយ ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើល ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរជាមួយ 2 មិនស្គាល់ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក៖

ដំបូង យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការទី 1 ។
ជំហានទីពីរនឹងជាគ្រោងក្រាហ្វដែលទាក់ទងនឹងសមីការទីពីរ។
ទីបី យើងត្រូវស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វ។
ហើយជាលទ្ធផល យើងទទួលបានកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនីមួយៗ ដែលនឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ។

សូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្រ្តនេះឱ្យបានលំអិតជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ យើងផ្តល់ប្រព័ន្ធសមីការដែលត្រូវដោះស្រាយ៖

ការដោះស្រាយសមីការ

1. ជាដំបូង យើងនឹងបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការនេះ៖ x2+y2=9។

ប៉ុន្តែគួរកត់សំគាល់ថាក្រាហ្វនៃសមីការនេះនឹងជារង្វង់ដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលដើម ហើយកាំរបស់វានឹងស្មើនឹងបី។

2. ជំហានបន្ទាប់របស់យើងគឺការគ្រោងសមីការដូចជា: y = x − 3 ។

ក្នុង​ករណី​នេះ យើង​ត្រូវ​បង្កើត​បន្ទាត់ ហើយ​រក​ចំណុច (0;−3) និង (3;0)។

3. តោះមើលអ្វីដែលយើងទទួលបាន។ យើងឃើញថាបន្ទាត់កាត់រង្វង់នៅចំណុចពីររបស់វា A និង B ។

ឥឡូវនេះយើងកំពុងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងនេះ។ យើងឃើញថាកូអរដោនេ (៣;០) ត្រូវនឹងចំណុច A ហើយកូអរដោនេ (០;−៣) ត្រូវនឹងចំណុចខ។

ហើយតើយើងទទួលបានលទ្ធផលអ្វី?

លេខ (3;0) និង (0;−3) ដែលទទួលបាននៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានរង្វង់គឺច្បាស់ណាស់ដំណោះស្រាយនៃសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ហើយពីនេះវាដូចខាងក្រោមថាលេខទាំងនេះក៏ជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការនេះ។

នោះគឺចម្លើយនៃដំណោះស្រាយនេះគឺជាលេខ៖ (3;0) និង (0;−3) ។