ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta - គំនិតនេះគឺស៊ាំទៅនឹងមនុស្សគ្រប់គ្នាតាំងពីថ្ងៃសិក្សា។ ប៉ុន្តែតើវាពិតជា "ស្គាល់" មែនទេ? មានមនុស្សតិចណាស់ដែលជួបប្រទះវានៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃ។ ប៉ុន្តែមិនមែនអស់អ្នកដែលទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យាទេ ពេលខ្លះយល់ច្បាស់អំពីអត្ថន័យដ៏ជ្រាលជ្រៅ និងសារៈសំខាន់ដ៏អស្ចារ្យនៃទ្រឹស្តីបទនេះ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ជួយសម្រួលយ៉ាងខ្លាំងដល់ដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាមួយចំនួនធំ ដែលទីបំផុតបានមកដោះស្រាយ៖

ដោយបានយល់ពីសារៈសំខាន់នៃឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដ៏សាមញ្ញ និងមានប្រសិទ្ធភាពបែបនេះ មនុស្សម្នាក់គិតអំពីអ្នកដែលបានរកឃើញវាជាលើកដំបូងដោយចេតនា។

អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របារាំងដ៏ល្បីល្បាញដែលបានចាប់ផ្តើមអាជីពជាមេធាវី។ ប៉ុន្តែជាក់ស្តែង គណិតវិទ្យាគឺជាការហៅរបស់គាត់។ ពេលកំពុងបម្រើរាជការជាទីប្រឹក្សា គាត់បានល្បីល្បាញដោយសារអាចអានសារដែលស្ទាក់ចាប់បានពីស្តេចអេស្ប៉ាញទៅកាន់ហូឡង់។ នេះបានផ្តល់ឱ្យស្តេចបារាំង Henry III នូវឱកាសដើម្បីដឹងអំពីចេតនាទាំងអស់របស់គូប្រជែងរបស់គាត់។

បន្តិចម្តងៗ ស្គាល់ចំណេះដឹងគណិតវិទ្យា លោក Francois Viet បានសន្និដ្ឋានថា ត្រូវតែមានទំនាក់ទំនងជិតស្និទ្ធរវាងការស្រាវជ្រាវចុងក្រោយបង្អស់របស់ "អ្នកពិជគណិត" នៅពេលនោះ និងមរតកធរណីមាត្រដ៏ជ្រៅនៃមនុស្សបុរាណ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការស្រាវជ្រាវវិទ្យាសាស្ត្រ គាត់បានបង្កើត និងបង្កើតពិជគណិតបឋមស្ទើរតែទាំងស្រុង។ គាត់គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលណែនាំការប្រើប្រាស់តម្លៃព្យញ្ជនៈទៅក្នុងឧបករណ៍គណិតវិទ្យា ដោយបែងចែកយ៉ាងច្បាស់រវាងគោលគំនិត៖ ចំនួន ទំហំ និងទំនាក់ទំនងរបស់ពួកគេ។ វៀត​ណាម​បាន​បង្ហាញ​ថា តាមរយៈ​ការ​ធ្វើ​ប្រតិបត្តិការ​ក្នុង​ទម្រង់​ជា​និមិត្ត​រូប វា​អាច​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​សម្រាប់​ករណី​ទូទៅ​សម្រាប់​តម្លៃ​ស្ទើរតែ​ទាំងអស់​នៃ​បរិមាណ​ដែលបាន​ផ្តល់។

ការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងទីពីរបានលទ្ធផលនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទដែលឥឡូវនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាទ្រឹស្តីបទ Vieta ទូទៅ។ វាមានសារៈសំខាន់ក្នុងការអនុវត្តដ៏អស្ចារ្យ ហើយកម្មវិធីរបស់វាធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយសមីការនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

លក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃទ្រឹស្តីបទនេះមានដូចខាងក្រោម៖ ផលិតផលនៃអំណាចទី 1 ទាំងអស់គឺស្មើនឹងពាក្យថេររបស់វា។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេទី 3 ឬទី 4 ដើម្បីកាត់បន្ថយលំដាប់នៃពហុធា។ ប្រសិនបើពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី n មានឫសចំនួនគត់ នោះពួកវាអាចកំណត់បានយ៉ាងងាយស្រួលដោយការជ្រើសរើសសាមញ្ញ។ ហើយបន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីបែងចែកពហុនាមដោយកន្សោម (x-x1) យើងទទួលបានសញ្ញាប័ត្រពហុធា (n-1)-th ។

នៅទីបញ្ចប់ខ្ញុំចង់កត់សម្គាល់ថាទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺជាទ្រឹស្តីបទដ៏ល្បីល្បាញបំផុតមួយនៃវគ្គសិក្សាពិជគណិតសាលា។ ហើយឈ្មោះរបស់គាត់កាន់កាប់កន្លែងសក្ដិសមក្នុងចំណោមឈ្មោះរបស់គណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យ។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា មានល្បិចពិសេសដែលសមីការ quadratic ជាច្រើនត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងរហ័ស និងគ្មានការរើសអើងណាមួយឡើយ។ លើសពីនេះទៅទៀត ជាមួយនឹងការបណ្តុះបណ្តាលត្រឹមត្រូវ មនុស្សជាច្រើនចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយពាក្យសំដី ព្យញ្ជនៈ "ភ្លាមៗ" ។

ជាអកុសលនៅក្នុងវគ្គសិក្សាទំនើបនៃគណិតវិទ្យាសាលា បច្ចេកវិទ្យាបែបនេះស្ទើរតែមិនត្រូវបានសិក្សា។ ហើយអ្នកត្រូវដឹង! ហើយថ្ងៃនេះយើងនឹងពិចារណាបច្ចេកទេសមួយក្នុងចំណោមបច្ចេកទេសទាំងនេះ - ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ជាដំបូងសូមណែនាំនិយមន័យថ្មី។

សមីការការ៉េនៃទម្រង់ x 2 + bx + c = 0 ត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយ។ សូមចំណាំថាមេគុណនៅ x 2 គឺស្មើនឹង 1 ។ មិនមានការរឹតបន្តឹងផ្សេងទៀតលើមេគុណទេ។

1. x 2 + 7x + 12 = 0 គឺជាសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - កាត់បន្ថយផងដែរ;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ប៉ុន្តែនេះមិនមានអ្វីកាត់បន្ថយទេ ព្រោះមេគុណនៅ x 2 គឺ 2 ។

ជាការពិតណាស់ សមីការការ៉េណាមួយនៃទម្រង់ ax 2 + bx + c = 0 អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ - វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបែងចែកមេគុណទាំងអស់ដោយលេខ a ។ យើងតែងតែអាចធ្វើដូចនេះបាន ព្រោះវាធ្វើតាមនិយមន័យនៃសមីការការ៉េដែល a ≠ 0 ។

ពិត ការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះនឹងមិនតែងតែមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការស្វែងរកឫសនោះទេ។ ទាបជាងបន្តិច យើងនឹងធ្វើឱ្យប្រាកដថា វាគួរតែត្រូវបានធ្វើតែនៅពេលដែលនៅក្នុងសមីការការេចុងក្រោយ មេគុណទាំងអស់គឺជាចំនួនគត់។ សម្រាប់ពេលនេះ សូមមើលឧទាហរណ៍ងាយៗមួយចំនួន៖

កិច្ចការ។ បំប្លែងសមីការការ៉េទៅជាកាត់បន្ថយ៖

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0 ។

ចូរបែងចែកសមីការនីមួយៗដោយមេគុណនៃអថេរ x 2 ។ យើង​ទទួល​បាន:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - បែងចែកអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយ 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - ចែកនឹង −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - ចែកនឹង 1.5 មេគុណទាំងអស់ក្លាយជាចំនួនគត់;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - ចែកដោយ 2. ក្នុងករណីនេះ មេគុណប្រភាគបានកើតឡើង។

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ សមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចមានមេគុណចំនួនគត់ ទោះបីជាសមីការដើមមានប្រភាគក៏ដោយ។

ឥឡូវនេះយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទមេ ដែលតាមពិត គំនិតនៃសមីការការ៉េកាត់បន្ថយត្រូវបានណែនាំ៖

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ ពិចារណាសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយនៃទម្រង់ x 2 + bx + c \u003d 0 ។ ឧបមាថាសមីការនេះមានឫសពិត x 1 និង x 2 ។ ក្នុងករណីនេះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមគឺពិត៖

1. x1 + x2 = −b ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងមេគុណនៃអថេរ x ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ។
2. x 1 x 2 = គ. ផលគុណនៃឫសនៃសមីការ quadratic គឺស្មើនឹងមេគុណទំនេរ។

ឧទាហរណ៍។ សម្រាប់ភាពសាមញ្ញ យើងនឹងពិចារណាតែសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលមិនត្រូវការការបំប្លែងបន្ថែម៖

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; ឫស៖ x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; ឫស៖ x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; ឫស៖ x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4 ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផ្តល់ឱ្យយើងនូវព័ត៌មានបន្ថែមអំពីឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ នៅ glance ដំបូង, នេះអាចហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញ, ប៉ុន្តែសូម្បីតែជាមួយនឹងការបណ្តុះបណ្តាលតិចតួច, អ្នកនឹងរៀនដើម្បី "មើលឃើញ" ឫសនិងព្យញ្ជនៈទាយពួកគេក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានវិនាទី។

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0 ។

ចូរយើងព្យាយាមសរសេរមេគុណយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta និង "ទាយ" ឫស៖

1. x 2 − 9x + 14 = 0 គឺជាសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ។
   តាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងមាន៖ x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. ងាយមើលថាឫសគឺជាលេខ 2 និង 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - ក៏កាត់បន្ថយផងដែរ។
   តាមទ្រឹស្តីបទ Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. ដូេចនះ ឫស៖ ៣ និង ៩;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - សមីការនេះមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយទេ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងជួសជុលវាឥឡូវនេះដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយមេគុណ a \u003d 3 ។ យើងទទួលបាន៖ x 2 + 11x + 10 \u003d 0 ។
   យើងដោះស្រាយតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta៖ x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ឫស៖ −10 និង −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - ម្តងទៀតមេគុណនៅ x 2 មិនស្មើនឹង 1 ពោលគឺឧ។ សមីការមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងបែងចែកអ្វីៗទាំងអស់ដោយលេខ a = −7 ។ យើងទទួលបាន៖ x 2 − 11x + 30 = 0 ។
   ដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; ពីសមីការទាំងនេះវាងាយស្រួលក្នុងការទាយឫស៖ 5 និង 6 ។

ពីហេតុផលខាងលើ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីរបៀបដែលទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រួលដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ។ គ្មានការគណនាស្មុគស្មាញ គ្មានឫសនព្វន្ធ និងប្រភាគ។ ហើយសូម្បីតែអ្នករើសអើង (សូមមើលមេរៀន "ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង") យើងមិនត្រូវការទេ។

ជាការពិតណាស់ នៅក្នុងការឆ្លុះបញ្ចាំងរបស់យើងទាំងអស់ យើងបានបន្តពីការសន្មត់សំខាន់ពីរ ដែលនិយាយជាទូទៅ វាមិនតែងតែត្រូវបានបំពេញនៅក្នុងបញ្ហាពិតប្រាកដនោះទេ៖

1. សមីការ quadratic ត្រូវបានកាត់បន្ថយ, i.e. មេគុណ x 2 គឺ 1;
2. សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។ តាមទស្សនៈនៃពិជគណិត ក្នុងករណីនេះ ការរើសអើង D > 0 - តាមពិតដំបូងឡើយ យើងសន្មត់ថា វិសមភាពនេះគឺពិត។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងបញ្ហាគណិតវិទ្យាធម្មតាលក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវបានបំពេញ។ ប្រសិនបើជាលទ្ធផលនៃការគណនា សមីការការ៉េ "អាក្រក់" ត្រូវបានទទួល (មេគុណ x 2 ខុសពីលេខ 1) នេះងាយស្រួលជួសជុល - សូមមើលឧទាហរណ៍នៅដើមមេរៀន។ ជាទូទៅខ្ញុំនៅស្ងៀមអំពីឫស៖ តើកិច្ចការប្រភេទណាដែលមិនមានចម្លើយ? ជាការពិតណាស់នឹងមានឫស។

ដូច្នេះ គ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការការ៉េយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta មានដូចខាងក្រោម៖

1. កាត់បន្ថយសមីការ quadratic ទៅមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ, ប្រសិនបើនេះមិនទាន់ត្រូវបានធ្វើរួចនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា;
2. ប្រសិនបើមេគុណនៅក្នុងសមីការបួនជ្រុងខាងលើប្រែទៅជាប្រភាគ យើងដោះស្រាយតាមរយៈការរើសអើង។ អ្នកថែមទាំងអាចត្រលប់ទៅសមីការដើមវិញ ដើម្បីធ្វើការជាមួយលេខ "ងាយស្រួល" បន្ថែមទៀត។
3. ក្នុងករណីមេគុណចំនួនគត់ យើងដោះស្រាយសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta;
4. ប្រសិនបើក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទីវាមិនអាចទស្សន៍ទាយឫសបានទេ យើងដាក់ពិន្ទុលើទ្រឹស្តីបទ Vieta ហើយដោះស្រាយតាមរយៈការរើសអើង។

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយសមីការ៖ 5x 2 − 35x + 50 = 0 ។

ដូច្នេះ យើង​មាន​សមីការ​ដែល​មិន​ត្រូវ​បាន​កាត់​បន្ថយ​នោះ​ទេ​ព្រោះ មេគុណ a \u003d 5. ចែកអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយ 5 យើងទទួលបាន: x 2 - 7x + 10 \u003d 0 ។

មេគុណទាំងអស់នៃសមីការការ៉េគឺជាចំនួនគត់ - តោះព្យាយាមដោះស្រាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។ យើងមាន៖ x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. ក្នុងករណីនេះឫសគឺងាយស្រួលទាយ - ទាំងនេះគឺ 2 និង 5 ។ អ្នកមិនចាំបាច់រាប់តាមអ្នករើសអើងទេ។

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយសមីការ៖ −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ។

យើងមើល៖ -5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - សមីការនេះមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយទេ យើងបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយមេគុណ a = -5 ។ យើងទទួលបាន៖ x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - សមីការដែលមានមេគុណប្រភាគ។

វាជាការប្រសើរក្នុងការត្រលប់ទៅសមីការដើមវិញ ហើយរាប់តាមការរើសអើង៖ −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 \u003d 0.4 ។

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយសមីការ៖ 2x 2 + 10x − 600 = 0 ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងបែងចែកអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយមេគុណ a \u003d 2 ។ យើងទទួលបានសមីការ x 2 + 5x - 300 \u003d 0 ។

នេះគឺជាសមីការកាត់បន្ថយ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងមាន៖ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300 ។ វាពិបាកក្នុងការទស្សន៍ទាយឫសគល់នៃសមីការ quadratic ក្នុងករណីនេះ - ដោយផ្ទាល់ខ្ញុំ "បង្កក" យ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរនៅពេលខ្ញុំដោះស្រាយបញ្ហានេះ។

យើង​នឹង​ត្រូវ​ស្វែង​រក​ឫស​តាម​រយៈ​ការ​រើស​អើង៖ D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនចាំឫសគល់នៃអ្នករើសអើងទេ ខ្ញុំគ្រាន់តែចំណាំថា 1225: 25 = 49 ដូច្នេះហើយ 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 ។

ឥឡូវនេះឫសគល់នៃអ្នករើសអើងត្រូវបានដឹង ការដោះស្រាយសមីការមិនពិបាកទេ។ យើងទទួលបាន៖ x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20 ។

មុននឹងបន្តទៅទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងណែនាំនិយមន័យមួយ។ សមីការការ៉េនៃទម្រង់ x² + ភីច + q= 0 ត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយ។ នៅក្នុងសមីការនេះ មេគុណនាំមុខគឺស្មើនឹងមួយ។ ឧទាហរណ៍ សមីការ x² - ៣ x- 4 = 0 ត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ សមីការការ៉េនៃទម្រង់ណាមួយ។ ពូថៅ² + ខ x + គ= 0 អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ សម្រាប់ការនេះ យើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយ ក≠ 0. ឧទាហរណ៍ សមីការ ៤ x² + 4 x- 3 \u003d 0 ចែកនឹង 4 ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖ x² + x- 3/4 = 0. យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ សម្រាប់នេះ យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េទូទៅ៖ ពូថៅ² + bx + គ = 0

សមីការកាត់បន្ថយ x² + ភីច + q= 0 ស្របគ្នានឹងសមីការទូទៅដែលក្នុងនោះ ក = 1, ខ = ទំ, គ = qដូច្នេះ​សម្រាប់​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ រូបមន្ត​ត្រូវ​យក​ទម្រង់​៖

កន្សោមចុងក្រោយត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តនៃឫសនៃសមីការ quadratic កាត់បន្ថយ វាងាយស្រួលជាពិសេសក្នុងការប្រើរូបមន្តនេះនៅពេលដែល រ- ចំនួន​គូ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ x² - ១៤ x — 15 = 0

ជាការឆ្លើយតប យើងសរសេរសមីការមានឫសពីរ។

សម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយជាមួយវិជ្ជមាន ទ្រឹស្ដីខាងក្រោមមាន

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

ប្រសិនបើ x 1 និង x 2 - ឫសគល់នៃសមីការ x² + ភីច + q= 0 បន្ទាប់មករូបមន្តមានសុពលភាព៖

x 1 + x 2 = — រ

x 1 * x 2 \u003d q,នោះគឺផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលផ្តល់គឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ។

ដោយផ្អែកលើរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េខាងលើ យើងមាន៖

ការបន្ថែមសមភាពទាំងនេះ យើងទទួលបាន៖ x 1 + x 2 = —រ.

ការគុណសមភាពទាំងនេះ ដោយប្រើភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ យើងទទួលបាន៖

សូមចំណាំថាទ្រឹស្តីបទ Vieta ក៏មានសុពលភាពផងដែរ នៅពេលដែលការរើសអើងគឺសូន្យ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាក្នុងករណីនេះសមីការការ៉េមានឫសដូចគ្នាពីរ៖ x 1 = x 2 = — រ/2.

មិនដោះស្រាយសមីការ x² - ១៣ x+ 30 = 0 រកផលបូកនិងផលនៃឫសរបស់វា។ x 1 និង x២. សមីការនេះ។ ឃ\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0 ដូច្នេះអ្នកអាចអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Vieta៖ x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀត។ ឫសគល់មួយនៃសមីការ x² — ភីច- 12 = 0 គឺ x 1 = 4. ស្វែងរកមេគុណ រនិងឫសទីពីរ x 2 នៃសមីការនេះ។ នេះ​បើ​តាម​ទ្រឹស្ដី​របស់ Vieta x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — រ.ដោយសារតែ x 1 = 4 បន្ទាប់មក 4 x 2 = - 12, មកពីណា x 2 = — 3, រ = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. ជាការឆ្លើយតប យើងសរសេរឫសទីពីរ x 2 = − 3, មេគុណ p = - 1.

មិនដោះស្រាយសមីការ x² + 2 x- 4 = 0 រកផលបូកនៃការ៉េនៃឫសរបស់វា។ អនុញ្ញាតឱ្យ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ នេះ​បើ​តាម​ទ្រឹស្ដី​របស់ Vieta x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = − 4. ដោយសារតែ x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 បន្ទាប់មក x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d ១២.

រកផលបូក និងផលនៃសមីការ 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. សមីការនេះមានឫសពីរផ្សេងគ្នា ចាប់តាំងពីអ្នករើសអើង ឃ= 16 + 4 * 3 * 5 > 0 ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ យើងប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។ ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ។ ដូច្នេះ ចូរយើងបែងចែកសមីការនេះដោយ 3 ។

ដូច្នេះផលបូកនៃឫសគឺ -4/3 ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ -5/3 ។

ជាទូទៅឫសនៃសមីការ ពូថៅ² + ខ x + គ= 0 ត្រូវបានទាក់ទងដោយសមភាពដូចខាងក្រោមៈ x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,ដើម្បីទទួលបានរូបមន្តទាំងនេះ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការការ៉េនេះដោយ ក ≠ 0 ហើយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ទៅនឹងសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយលទ្ធផល។ ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ អ្នកត្រូវបង្កើតសមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឫសគល់របស់វា។ x 1 = 3, x 2 = 4. ដោយសារតែ x 1 = 3, x 2 = 4 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x² + ភីច + q= 0 បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta រ = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. ជាការឆ្លើយតប យើងសរសេរ x² - ៧ x+ 12 = 0. ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួន។

ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

ប្រសិនបើលេខ រ, q, x 1 , x 2 គឺបែបនោះ។ x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, នោះ។ x ១និង x2គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x² + ភីច + q= 0. ជំនួសនៅផ្នែកខាងឆ្វេង x² + ភីច + qជំនួស​អោយ រកន្សោម - ( x 1 + x 2) ប៉ុន្តែផ្ទុយទៅវិញ q- ការងារ x 1 * x 2 ។យើង​ទទួល​បាន: x² + ភីច + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x − x 1) (x − x 2) ។ដូច្នេះប្រសិនបើលេខ រ, q, x 1 និង x 2 ត្រូវបានទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនងទាំងនេះបន្ទាប់មកសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា Xសមភាព x² + ភីច + q = (x − x 1) (x − x 2) .ដែលវាធ្វើតាមនោះ។ x 1 និង x 2 - ឫសគល់នៃសមីការ x² + ភីច + q= 0. ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទផ្ទុយទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ជួនកាលវាអាចទៅរួចក្នុងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េដោយការជ្រើសរើស។ ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ, x² - 5 x+ 6 = 0. នៅទីនេះ រ = — 5, q= 6. ជ្រើសរើសលេខពីរ x 1 និង x 2 ដូច្នេះ x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. ដោយកត់សំគាល់ថា 6 = 2 * 3 និង 2 + 3 = 5 ដោយទ្រឹស្តីបទ ធៀបទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងទទួលបាននោះ។ x 1 = 2, x 2 = 3 - ឫសគល់នៃសមីការ x² - 5 x + 6 = 0.

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីសាកល្បងឫសដែលបានរកឃើញរួចហើយ។ ប្រសិនបើអ្នកបានរកឃើញឫស អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) ដើម្បីគណនាតម្លៃ \(p\ ) និង \\ ( q ) ។ ហើយប្រសិនបើពួកវាប្រែជាដូចនៅក្នុងសមីការដើម នោះឫសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងប្រើ ដោះស្រាយសមីការ \(x^2+x-56=0\) និងទទួលបានឫស៖ \(x_1=7\), \(x_2=-8\) ។ សូមពិនិត្យមើលថាតើយើងមានកំហុសក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយដែរឬទេ។ ក្នុងករណីរបស់យើង \(p=1\) និង \(q=-56\) ។ តាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងមាន៖

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \\cdot x_2=q\end(cases)\) \\(\leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងពីរបានបញ្ចូលគ្នា ដែលមានន័យថា យើងបានដោះស្រាយសមីការបានត្រឹមត្រូវ។

ការធ្វើតេស្តនេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយផ្ទាល់មាត់។ វានឹងចំណាយពេល 5 វិនាទី ហើយជួយសង្រ្គោះអ្នកពីកំហុសឆោតល្ងង់។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស

ប្រសិនបើ \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) បន្ទាប់មក \(x_1\) និង \(x_2\) គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ \ (x^2+px+q=0\) ។

ឬតាមរបៀបសាមញ្ញ៖ ប្រសិនបើអ្នកមានសមីការនៃទម្រង់ \(x^2+px+q=0\) បន្ទាប់មកដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ \\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \\ cdot x_2=q\ end (cases)\) អ្នកនឹងរកឃើញឫសរបស់វា។

សូមអរគុណចំពោះទ្រឹស្តីបទនេះ អ្នកអាចរកឃើញឫសនៃសមីការការ៉េបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស ជាពិសេសប្រសិនបើឫសទាំងនេះមាន។ ជំនាញនេះមានសារៈសំខាន់ព្រោះវាចំណេញពេលវេលាច្រើន។

ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការ \(x^2-5x+6=0\) ។

ដំណោះស្រាយ ៖ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស យើងទទួលបានថាឫសបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖ \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\) ។
សូមមើលសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ \(x_1 \cdot x_2=6\) ។ តើ​លេខ​ពីរ​អាច​រលាយ​ទៅ​ជា \(6\)? នៅលើ \(2\) និង \(3\), \(6\) និង \(1\) ឬ \(-2\) និង \(-3\) និង \(-6\) និង \(- ១\) ហើយគូណាដែលត្រូវជ្រើសរើស សមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធនឹងប្រាប់៖ \(x_1+x_2=5\)។ \(2\) និង \(3\) គឺស្រដៀងគ្នា ពីព្រោះ \(2+3=5\) ។
ចម្លើយ ៖ \(x_1=2\), \(x_2=3\) ។

ឧទាហរណ៍ . ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ច្រាសរកឫសនៃសមីការការ៉េ៖
ក) \(x^2-15x+14=0\); ខ) \(x^2+3x-4=0\); គ) \(x^2+9x+20=0\); ឃ) \\(x^2-88x+780=0\) ។

ដំណោះស្រាយ :
ក) \(x^2-15x+14=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(14\) រលាយទៅជា? \(2\) និង \(7\), \(-2\) និង \(-7\), \(-1\) និង \(-14\), \(1\) និង \(14\ ) តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​បន្ថែម​ដល់ \(15\)? ចម្លើយ៖ \(1\) និង \(14\) ។

ខ) \(x^2+3x-4=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(-4\) រលាយ? \(-2\) និង \(2\), \(4\) និង \(-1\), \(1\) និង \(-4\) ។ តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​បន្ថែម​ដល់ \(-៣\)? ចម្លើយ៖ \(១\) និង \(-៤\) ។

គ) \(x^2+9x+20=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(20\) រលាយ? \(4\) និង \(5\), \(-4\) និង \(-5\), \(2\) និង \(10\), \(-2\) និង \(-10\) ), \(-20\) និង \(-1\), \(20\) និង \(1\) ។ តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​បន្ថែម​ដល់ \(-៩\)? ចម្លើយ៖ \(-៤\) និង \(-៥\) ។

ឃ) \(x^2-88x+780=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(780\) រលាយ? \(390\) និង \(2\) ។ តើពួកគេបន្ថែមរហូតដល់ \(88\) ទេ? ទេ តើ \(780\) មានមេគុណអ្វីទៀត? \(78\) និង \(10\) ។ តើពួកគេបន្ថែមរហូតដល់ \(88\) ទេ? បាទ។ ចម្លើយ៖ \(78\) និង \(10\) ។

វាមិនចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងពាក្យចុងក្រោយទៅជាកត្តាដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ (ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ)។ អ្នកអាចពិនិត្យមើលភ្លាមៗថាតើផលបូករបស់ពួកគេផ្តល់ឱ្យ \(-p\) ដែរឬទេ។

សំខាន់!ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta និងទ្រឹស្តីបទសន្ទនាដំណើរការតែជាមួយ ពោលគឺមេគុណនៅពីមុខ \(x^2\) ស្មើនឹងមួយ។ ប្រសិនបើដំបូងយើងមានសមីការមិនកាត់បន្ថយ នោះយើងអាចកាត់បន្ថយបានដោយគ្រាន់តែបែងចែកដោយមេគុណនៅពីមុខ \(x^2\)។

ឧទាហរណ៍អនុញ្ញាតឱ្យសមីការ \(2x^2-4x-6=0\) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយយើងចង់ប្រើទ្រឹស្តីបទមួយរបស់ Vieta ។ ប៉ុន្តែយើងមិនអាចទេ ព្រោះមេគុណមុន \(x^2\) ស្មើនឹង \(2\)។ ចូរកម្ចាត់វាដោយបែងចែកសមីការទាំងមូលដោយ \(2\) ។

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\\(x^2-2x-3=0\)

រួចរាល់។ ឥឡូវនេះយើងអាចប្រើទ្រឹស្តីបទទាំងពីរ។

ចម្លើយចំពោះសំណួរដែលគេសួរញឹកញាប់

សំណួរ៖ តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta តើអ្នកអាចដោះស្រាយបានទេ?
ចម្លើយ៖ ជាអកុសលទេ។ ប្រសិនបើមិនមានចំនួនគត់នៅក្នុងសមីការ ឬសមីការមិនមានឫសគល់អ្វីទាំងអស់ នោះទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta នឹងមិនអាចជួយបានទេ។ ក្នុងករណីនេះអ្នកត្រូវប្រើ រើសអើង . ជាសំណាងល្អ 80% នៃសមីការក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលាមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់។