សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ គឺជាសមីការដែលកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យស្របគ្នាទៅនឹងវ៉ិចទ័រទិសដៅមួយ។

សូមអោយចំនុចមួយ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅត្រូវបានផ្តល់។ ចំណុចបំពានស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយ។ លីត្រលុះត្រាតែវ៉ិចទ័រ និងជាគូ ពោលគឺពួកវាបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

.

សមីការខាងលើគឺជាសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់។

លេខ ម , ននិង ទំគឺជាការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅទៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។ ដោយសារវ៉ិចទ័រមិនមែនជាសូន្យ ដូច្នេះលេខទាំងអស់។ ម , ននិង ទំមិនអាចជាសូន្យក្នុងពេលតែមួយបានទេ។ ប៉ុន្តែមួយឬពីរក្នុងចំណោមពួកគេអាចជាសូន្យ។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ សញ្ញាណខាងក្រោមត្រូវបានអនុញ្ញាត៖

,

ដែលមានន័យថាការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្ស អូនិង អុកគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ ទាំងវ៉ិចទ័រ និងបន្ទាត់ត្រង់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ Canonical គឺកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស អូនិង អុកឧ. យន្តហោះ yOz .

ឧទាហរណ៍ ១ផ្សំសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ និងឆ្លងកាត់ចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះនេះជាមួយនឹងអ័ក្ស អុក .

ការសម្រេចចិត្ត។ រកចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយអ័ក្ស អុក. ចាប់តាំងពីចំណុចណាមួយនៅលើអ័ក្ស អុក, មានកូអរដោណេ , បន្ទាប់មក សន្មត់ថានៅក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃយន្តហោះ x=y= 0 យើងទទួលបាន 4 z- ៨ = ០ ឬ z= ២. ដូច្នេះចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយអ័ក្ស អុកមានកូអរដោនេ (0; 0; 2) ។ ដោយសារបន្ទាត់ដែលចង់បានគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ វាស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់វា។ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រធម្មតាអាចបម្រើជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឥឡូវនេះយើងសរសេរសមីការដែលចង់បាននៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច ក= (0; 0; 2) ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ

បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានកំណត់ដោយចំណុចពីរនៅលើវា។ និង ក្នុង​ករណី​នេះ វ៉ិចទ័រ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​អាច​ជា​វ៉ិចទ័រ។ បន្ទាប់មកសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់យកទម្រង់

.

សមីការខាងលើកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍ ២សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហដែលឆ្លងកាត់ចំនុច និង .

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងសរសេរសមីការដែលចង់បាននៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងទម្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើក្នុងសេចក្តីយោងទ្រឹស្តី៖

.

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក បន្ទាត់ដែលចង់បានគឺកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស អូ .

ត្រង់ជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ

បន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃប្លង់មិនស្របគ្នាពីរ ហើយឧ. ជាសំណុំនៃចំនុចដែលបំពេញប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរ។

សមីការនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅផងដែរថាសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

ឧទាហរណ៍ ៣បង្កើតសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅក្នុងលំហដែលផ្តល់ដោយសមីការទូទៅ

ការសម្រេចចិត្ត។ ដើម្បីសរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ ឬដែលដូចគ្នា សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ អ្នកត្រូវស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចទាំងពីរនៅលើបន្ទាត់ត្រង់។ ពួកវាអាចជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលមានប្លង់កូអរដោនេពីរ yOzនិង xOz .

ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយយន្តហោះ yOzមាន abscissa x= 0 ។ ដូច្នេះការសន្មត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការនេះ។ x= 0 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដែលមានអថេរពីរ៖

ការសម្រេចចិត្តរបស់នាង y = 2 , z= 6 រួមគ្នាជាមួយ x= 0 កំណត់ចំណុចមួយ។ ក(0; 2; 6) នៃបន្ទាត់ដែលចង់បាន។ សន្មតថាបន្ទាប់មកនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ y= 0 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធ

ការសម្រេចចិត្តរបស់នាង x = -2 , z= 0 រួមគ្នាជាមួយ y= 0 កំណត់ចំណុចមួយ។ ខ(-2; 0; 0) ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលមានយន្តហោះ xOz .

ឥឡូវនេះយើងសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច ក(0; 2; 6) និង ខ (-2; 0; 0) :

,

ឬបន្ទាប់ពីចែកភាគបែងដោយ -2:

,

សមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទិសដៅដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​ឆ្លង​កាត់​ចំណុច​ពីរ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ។ មុំរវាងបន្ទាត់ពីរ។ លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃបន្ទាត់ពីរ។ កំណត់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ

1. សមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ក(x 1 , y 1) ក្នុងទិសដៅដែលបានកំណត់ដោយជម្រាល k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

សមីការនេះកំណត់ខ្មៅដៃនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ ក(x 1 , y 1) ដែលត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាលនៃធ្នឹម។

2. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច៖ ក(x 1 , y 1) និង ខ(x 2 , y២) សរសេរដូចនេះ៖

ចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយឆ្លងកាត់ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

3. មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ កនិង ខគឺជាមុំដែលបន្ទាត់ត្រង់ដំបូងត្រូវតែបង្វិល កនៅជុំវិញចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទាំងនេះច្រាសទ្រនិចនាឡិការហូតដល់វាស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ទីពីរ ខ. ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការជម្រាល

y = k 1 x + ខ 1 ,

សូមអោយពិន្ទុពីរ ម(X 1 ,នៅ 1) និង ន(X 2,y២). ចូរយើងស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ។

ចាប់តាំងពីបន្ទាត់នេះឆ្លងកាត់ចំណុច មបន្ទាប់មកយោងទៅតាមរូបមន្ត (1.13) សមីការរបស់វាមានទម្រង់

នៅ – យ 1 = ខេ(X-x 1),

កន្លែងណា ខេគឺជាជម្រាលដែលមិនស្គាល់។

តម្លៃនៃមេគុណនេះត្រូវបានកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌដែលបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានឆ្លងកាត់ចំណុច នដែលមានន័យថាកូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការ (1.13)

យ 2 – យ 1 = ខេ(X 2 – X 1),

ពីទីនេះអ្នកអាចរកឃើញជម្រាលនៃបន្ទាត់នេះ:

,

ឬបន្ទាប់ពីការប្រែចិត្តជឿ

(1.14)

រូបមន្ត (1.14) កំណត់ សមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច ម(X 1, យ 1) និង ន(X 2, យ 2).

ក្នុងករណីពិសេសនៅពេលដែលចំណុច ម(ក, 0), ន(0, ខ), ប៉ុន្តែ ¹ 0, ខ¹ 0 ដេកលើអ័ក្សកូអរដោនេ សមីការ (1.14) ប្រើទម្រង់សាមញ្ញជាង

សមីការ (1.15)បានហៅ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែកនៅទីនេះ ប៉ុន្តែនិង ខសម្គាល់ផ្នែកដែលកាត់ដោយបន្ទាត់ត្រង់នៅលើអ័ក្ស (រូបភាព 1.6) ។

រូបភាព 1.6

ឧទាហរណ៍ 1.10 ។ សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច ម(1, 2) និង ខ(3, –1).

. យោងតាម ​​(1.14) សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានមានទម្រង់

2(យ – 2) = -3(X – 1).

ការផ្ទេរលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង ទីបំផុតយើងទទួលបានសមីការដែលចង់បាន

3X + 2យ – 7 = 0.

ឧទាហរណ៍ 1.11 ។ សរសេរសមីការសម្រាប់បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ ម(2, 1) និងចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ X+ យ- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដោយដោះស្រាយសមីការទាំងនេះជាមួយគ្នា

ប្រសិនបើយើងបន្ថែមសមីការទាំងនេះតាមពាក្យ យើងទទួលបាន 2 X+ 1 = 0 មកពីណា។ ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការណាមួយ យើងរកឃើញតម្លៃនៃ ordinate នៅ:

ឥឡូវ​យើង​សរសេរ​សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​កាត់​តាម​ចំណុច (២, ១) និង៖

ឬ។

ដូច្នេះ ឬ -5( យ – 1) = X – 2.

ទីបំផុតយើងទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានក្នុងទម្រង់ X + 5យ – 7 = 0.

ឧទាហរណ៍ 1.12 ។ ស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច ម(2.1) និង ន(2,3).

ដោយប្រើរូបមន្ត (1.14) យើងទទួលបានសមីការ

វាមិនសមហេតុផលទេព្រោះភាគបែងទីពីរគឺសូន្យ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីស្ថានភាពនៃបញ្ហាដែល abscissas នៃចំណុចទាំងពីរមានតម្លៃដូចគ្នា។ ដូច្នេះបន្ទាត់ដែលត្រូវការគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូយហើយសមីការរបស់វាគឺ៖ x = 2.

មតិយោបល់ . ប្រសិនបើនៅពេលសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់យោងតាមរូបមន្ត (1.14) ភាគបែងមួយប្រែជាស្មើសូន្យ នោះសមីការដែលចង់បានអាចទទួលបានដោយសមីការនៃភាគដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងសូន្យ។

ចូរយើងពិចារណាវិធីផ្សេងទៀតនៃការកំណត់បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។

1. សូមឱ្យវ៉ិចទ័រមិនសូន្យកាត់កែងទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ អិល, និងចំណុច ម 0(X 0, យ 0) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះ (រូបភាព 1.7) ។

រូបភាព 1.7

បញ្ជាក់ ម(X, យ) ចំណុចបំពាននៅលើបន្ទាត់ អិល. វ៉ិចទ័រ និង រាងពងក្រពើ។ ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌ orthogonality សម្រាប់វ៉ិចទ័រទាំងនេះ យើងទទួលបាន ឬ ប៉ុន្តែ(X – X 0) + ខ(យ – យ 0) = 0.

យើងទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ ម 0 គឺកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ។ វ៉ិចទ័រនេះត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រធម្មតា។ ទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ អិល. សមីការលទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា

អូ + វូ + ជាមួយ= 0, កន្លែងណា ជាមួយ = –(ប៉ុន្តែX 0 + ដោយ 0), (1.16),

កន្លែងណា ប៉ុន្តែនិង អេគឺជាកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។

យើងទទួលបានសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងទម្រង់ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

2. បន្ទាត់នៅលើយន្តហោះអាចត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម: អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រមិនសូន្យស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ អិលនិងចំណុច ម 0(X 0, យ 0) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះ។ ជាថ្មីម្តងទៀត យកចំណុចដែលបំពាន ម(X, y) នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ (រូបភាព 1.8) ។

រូបភាព 1.8

វ៉ិចទ័រ និង collinear ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរលក្ខខណ្ឌនៃ collinearity នៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ: , កន្លែង ធគឺ​ជា​លេខ​បំពាន​ដែល​ហៅ​ថា​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ចូរសរសេរសមភាពនេះនៅក្នុងកូអរដោណេ៖

សមីការទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ត្រង់. ចូរយើងដកចេញពីសមីការទាំងនេះនូវប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ធ:

សមីការទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់

. (1.18)

សមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។. ការហៅវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រទិសដៅត្រង់ .

មតិយោបល់ . វាងាយស្រួលមើលថា if ជាវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅបន្ទាត់ អិលបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់វាអាចជាវ៉ិចទ័រ ចាប់តាំងពី ឧ.

ឧទាហរណ៍ 1.13 ។ សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ ម 0(1, 1) ស្រប​នឹង​បន្ទាត់ 3 X + 2នៅ– 8 = 0.

ការសម្រេចចិត្ត . វ៉ិចទ័រ​គឺ​ជា​វ៉ិចទ័រ​ធម្មតា​ទៅ​នឹង​បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​និង​ចង់​បាន។ ចូរប្រើសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ ម 0 ជាមួយវ៉ិចទ័រធម្មតា 3( X –1) + 2(នៅ- 1) = 0 ឬ 3 X + 2 ឆ្នាំ- 5 \u003d 0. យើងទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បាន។

អត្ថបទនេះបន្តប្រធានបទនៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះ៖ យើងនឹងពិចារណាប្រភេទនៃសមីការដូចជាសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ចូរកំណត់ទ្រឹស្តីបទមួយ ហើយផ្តល់ភស្តុតាងរបស់វា។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើសមីការទូទៅមិនពេញលេញនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាអ្វី និងរបៀបធ្វើការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅទៅប្រភេទសមីការផ្សេងទៀតនៃបន្ទាត់ត្រង់។ យើងនឹងបង្រួបបង្រួមទ្រឹស្ដីទាំងមូលជាមួយនឹងការបង្ហាញ និងដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។

Yandex.RTB R-A-339285-1

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ O x y ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។

ទ្រឹស្តីបទ ១

សមីការណាមួយនៃសញ្ញាបត្រទីមួយដែលមានទម្រង់ A x + B y + C \u003d 0 ដែល A, B, C គឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន (A និង B មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ) កំណត់បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុង ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណនៅលើយន្តហោះ។ នៅក្នុងវេនបន្ទាត់ណាមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណនៅលើយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការដែលមានទម្រង់ A x + B y + C = 0 សម្រាប់សំណុំជាក់លាក់នៃតម្លៃ A, B, C ។

ភស្តុតាង

ទ្រឹស្តីបទនេះមានពីរចំណុច យើងនឹងបញ្ជាក់អំពីពួកវានីមួយៗ។

1. ចូរយើងបង្ហាញថាសមីការ A x + B y + C = 0 កំណត់បន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

សូម​ឲ្យ​មាន​ចំណុច​មួយ​ចំនួន М 0 (x 0 , y 0) ដែល​កូអរដោនេ​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​សមីការ A x + B y + C = 0 ។ ដូចនេះ៖ A x 0 + B y 0 + C = 0 ។ ដកពីផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ A x + B y + C \u003d 0 ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 យើងទទួលបានសមីការថ្មីដែលមើលទៅដូចជា A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 ។ វាស្មើនឹង A x + B y + C = 0 ។

សមីការលទ្ធផល A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ n → = (A, B) និង M 0 M → = (x − x 0, y - y 0) ។ ដូច្នេះ​សំណុំ​នៃ​ចំណុច M (x, y) កំណត់​ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​ចតុកោណ​ជា​បន្ទាត់​ត្រង់​កាត់​កែង​ទៅ​ទិស​នៃ​វ៉ិចទ័រ n → = (A, B) ។ យើងអាចសន្មត់ថាវាមិនដូច្នោះទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ n → = (A, B) និង M 0 M → = (x − x 0, y − y 0) នឹងមិនកាត់កែងទេ ហើយសមភាព A (x − x 0) + B (y - y 0) = 0 មិនពិតទេ។

ដូច្នេះសមីការ A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 កំណត់បន្ទាត់ជាក់លាក់មួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៅលើយន្តហោះ ហើយដូច្នេះសមីការសមមូល A x + B y + C \u003d 0 កំណត់បន្ទាត់ដូចគ្នា។ ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ពី​ផ្នែក​ដំបូង​នៃ​ទ្រឹស្តីបទ។

1. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៅលើយន្តហោះអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃដឺក្រេទីមួយ A x + B y + C = 0 ។

ចូរកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ a នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៅលើយន្តហោះ។ ចំណុច M 0 (x 0 , y 0) ដែលតាមរយៈបន្ទាត់នេះឆ្លងកាត់ ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នេះ n → = (A , B) ។

អនុញ្ញាតឱ្យមានចំណុចមួយចំនួន M (x , y) - ចំណុចអណ្តែតនៃបន្ទាត់។ ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រ n → = (A , B) និង M 0 M → = (x − x 0 , y - y 0) កាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់វាគឺសូន្យ៖

n → , M 0 M → = A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0

ចូរយើងសរសេរសមីការ A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 កំណត់ C: C = - A x 0 - B y 0 ហើយចុងក្រោយទទួលបានសមីការ A x + B y + C = 0 ។

ដូច្នេះ យើង​បាន​ធ្វើ​ការ​បញ្ជាក់​ផ្នែក​ទីពីរ​នៃ​ទ្រឹស្តីបទ ហើយ​យើង​បាន​បង្ហាញ​ទ្រឹស្តីបទ​ទាំងមូល។

និយមន័យ ១

សមីការដែលមើលទៅដូច A x + B y + C = 0 - នេះ។ សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណអូ x y ។

ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទដែលបានបញ្ជាក់ យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា បន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណថេរ និងសមីការទូទៅរបស់វាត្រូវបានភ្ជាប់គ្នាដោយ inextricably ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត បន្ទាត់ដើមត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការទូទៅរបស់វា; សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

វាក៏ធ្វើតាមពីភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទដែលថាមេគុណ A និង B សម្រាប់អថេរ x និង y គឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ A x + B y + C = 0 ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់លាក់នៃសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យសមីការ 2 x + 3 y − 2 = 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលត្រូវនឹងបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ វ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នេះគឺជាវ៉ិចទ័រ n → = (2 , 3) ​​​​។ គូរបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងគំនូរ។

ខាងក្រោមនេះក៏អាចប្រកែកបានដែរ៖ បន្ទាត់ត្រង់ដែលយើងឃើញក្នុងគំនូរត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការទូទៅ 2 x + 3 y - 2 = 0 ចាប់តាំងពីកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការនេះ។

យើងអាចទទួលបានសមីការ λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ដោយគុណទាំងសងខាងនៃសមីការបន្ទាត់ត្រង់ទូទៅដោយចំនួនមិនសូន្យ λ ។ សមីការលទ្ធផលគឺស្មើនឹងសមីការទូទៅដើម ដូច្នេះវានឹងពណ៌នាអំពីបន្ទាត់ដូចគ្នានៅក្នុងយន្តហោះ។

និយមន័យ ២

បំពេញសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់- សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ A x + B y + C \u003d 0 ដែលលេខ A, B, C គឺមិនមែនសូន្យ។ បើមិនដូច្នោះទេសមីការគឺ មិនពេញលេញ.

ចូរយើងវិភាគការប្រែប្រួលទាំងអស់នៃសមីការទូទៅមិនពេញលេញនៃបន្ទាត់ត្រង់។

1. នៅពេល A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 សមីការទូទៅក្លាយជា B y + C \u003d 0 ។ សមីការទូទៅមិនពេញលេញបែបនេះកំណត់បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ O x y ដែលស្របទៅនឹងអ័ក្ស O x ចាប់តាំងពីសម្រាប់តម្លៃពិតនៃ x អថេរ y នឹងយកតម្លៃ - គ. ម្យ៉ាងវិញទៀត សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ A x + B y + C \u003d 0 នៅពេល A \u003d 0, B ≠ 0 កំណត់ទីតាំងនៃចំនុច (x, y) ដែលកូអរដោនេគឺស្មើនឹងលេខដូចគ្នា - គ.
2. ប្រសិនបើ A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 សមីការទូទៅក្លាយជា y \u003d 0 ។ សមីការមិនពេញលេញបែបនេះកំណត់អ័ក្ស x O x ។
3. នៅពេល A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 យើងទទួលបានសមីការទូទៅមិនពេញលេញ A x + C \u003d 0 ដោយកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ។
4. អនុញ្ញាតឱ្យ A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 បន្ទាប់មកសមីការទូទៅមិនពេញលេញនឹងយកទម្រង់ x \u003d 0 ហើយនេះគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់កូអរដោនេ O y ។
5. ទីបំផុតនៅពេលដែល A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 សមីការទូទៅមិនពេញលេញទទួលបានទម្រង់ A x + B y \u003d 0 ។ ហើយសមីការនេះពិពណ៌នាអំពីបន្ទាត់ត្រង់ដែលឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។ ជាការពិតណាស់ លេខគូ (0 , 0) ត្រូវគ្នានឹងសមភាព A x + B y = 0 ចាប់តាំងពី A · 0 + B · 0 = 0 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញក្រាហ្វិកប្រភេទខាងលើទាំងអស់នៃសមីការទូទៅមិនពេញលេញនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

វាត្រូវបានគេដឹងថាបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ហើយឆ្លងកាត់ចំណុច 2 7 , - 11 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃទម្រង់ A x + C \u003d 0 ដែលក្នុងនោះ A ≠ 0 ។ លក្ខខណ្ឌក៏បញ្ជាក់ពីកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ ហើយកូអរដោនេនៃចំណុចនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងលក្ខខណ្ឌនៃសមីការទូទៅមិនពេញលេញ A x + C = 0 , i.e. សមភាពគឺត្រឹមត្រូវ៖

A 2 7 + C = 0

វាអាចទៅរួចដើម្បីកំណត់ C ពីវាដោយផ្តល់ឱ្យ A តម្លៃដែលមិនមែនជាសូន្យឧទាហរណ៍ A = 7 ។ ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបាន៖ 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2 ។ យើងស្គាល់មេគុណ A និង C ជំនួសវាទៅក្នុងសមីការ A x + C = 0 ហើយទទួលបានសមីការដែលត្រូវការនៃបន្ទាត់៖ 7 x − 2 = 0

ចម្លើយ៖ 7 x − 2 = 0

ឧទាហរណ៍ ២

គំនូរបង្ហាញពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការរបស់វា។

ការសម្រេចចិត្ត

គំនូរដែលបានផ្តល់ឱ្យអនុញ្ញាតឱ្យយើងងាយស្រួលយកទិន្នន័យដំបូងសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហា។ យើង​ឃើញ​ក្នុង​គំនូរ​ថា​បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស​ O x ហើយ​កាត់​តាម​ចំណុច (0 , 3) ​​​។

បន្ទាត់ត្រង់ដែលស្របទៅនឹង abscissa ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការទូទៅមិនពេញលេញ B y + С = 0 ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃ B និង C ។ កូអរដោនេនៃចំណុច (0, 3) ចាប់តាំងពីបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យឆ្លងកាត់វានឹងបំពេញសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ B y + С = 0 បន្ទាប់មកសមភាពមានសុពលភាព: В · 3 + С = 0 ។ ចូរកំណត់ B ទៅតម្លៃមួយចំនួនក្រៅពីសូន្យ។ ចូរនិយាយថា B \u003d 1 ក្នុងករណីនេះពីសមភាព B · 3 + C \u003d 0 យើងអាចរកឃើញ C: C \u003d - 3 ។ ដោយប្រើតម្លៃដែលស្គាល់នៃ B និង C យើងទទួលបានសមីការដែលត្រូវការនៃបន្ទាត់ត្រង់: y - 3 = 0 ។

ចម្លើយ៖ y − 3 = 0 ។

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃយន្តហោះ

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យឆ្លងកាត់ចំណុច M 0 (x 0, y 0) បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ i.e. សមភាពគឺពិត៖ A x 0 + B y 0 + C = 0 ។ ដកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការនេះចេញពីផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការពេញលេញទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។ យើងទទួលបាន៖ A (x − x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0 សមីការនេះគឺស្មើនឹងសញ្ញាទូទៅដើម ឆ្លងកាត់ចំនុច M 0 (x 0, y 0) ហើយមាន វ៉ិចទ័រធម្មតា n → \u003d (A, B) ។

លទ្ធផលដែលយើងទទួលបានធ្វើឱ្យវាអាចសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់សម្រាប់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់ និងកូអរដោនេនៃចំណុចជាក់លាក់នៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ផ្តល់ចំណុច M 0 (- 3, 4) ដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នេះ n → = (1 , − 2) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

លក្ខខណ្ឌដំបូងអនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានទិន្នន័យចាំបាច់សម្រាប់ការចងក្រងសមីការ៖ A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d ៤. បន្ទាប់មក៖

A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 ⇔ 1 (x − (− 3)) - 2 y (y − 4) = 0 ⇔ ⇔ x − 2 y + 22 = 0

បញ្ហាអាចត្រូវបានដោះស្រាយខុសគ្នា។ សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់ A x + B y + C = 0 ។ វ៉ិចទ័រធម្មតាដែលបានផ្តល់ឱ្យអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានតម្លៃនៃមេគុណ A និង B បន្ទាប់មក៖

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x − 2 y + C = 0 ⇔ x − 2 y + C = 0

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃ C ដោយប្រើចំណុច M 0 (- 3, 4) ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលតាមរយៈបន្ទាត់ឆ្លងកាត់។ កូអរដោនេនៃចំណុចនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការ x − 2 · y + C = 0 , i.e. - 3 - 2 4 + C \u003d 0 ។ ដូច្នេះ C = 11 ។ សមីការបន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវការមានទម្រង់៖ x − 2 · y + 11 = 0 ។

ចម្លើយ៖ x − 2 y + 11 = 0 ។

ឧទាហរណ៍ 4

ដែលបានផ្តល់ឱ្យបន្ទាត់ 2 3 x - y - 1 2 = 0 និងចំណុច M 0 ដេកលើបន្ទាត់នេះ។ មានតែ abscissa នៃចំណុចនេះត្រូវបានគេដឹងហើយវាស្មើនឹង - 3 ។ វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ការចាត់តាំងនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរ​កំណត់​ការ​កំណត់​កូអរដោនេ​នៃ​ចំណុច M 0 ជា x 0 និង y 0 ។ ទិន្នន័យដំបូងបង្ហាញថា x 0 \u003d - 3 ។ ដោយសារចំនុចនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់មួយ នោះកូអរដោនេរបស់វាត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់នេះ។ បន្ទាប់មកសមភាពខាងក្រោមនឹងក្លាយជាការពិត៖

2 3 x 0 − y 0 − 1 2 = 0

កំណត់ y 0 : 2 3 ( − 3 ) - y 0 − 1 2 = 0 ⇔ − 5 2 − y 0 = 0 ⇔ y 0 = − 5 2

ចម្លើយ៖ - 5 2

ការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅប្រភេទផ្សេងទៀតនៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងច្រាសមកវិញ

ដូចដែលយើងដឹងមានប្រភេទជាច្រើននៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នានៅក្នុងយន្តហោះ។ ជម្រើសនៃប្រភេទនៃសមីការអាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា; វាអាចទៅរួចក្នុងការជ្រើសរើសមួយដែលងាយស្រួលជាងសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់វា។ នេះគឺជាកន្លែងដែលជំនាញនៃការបំប្លែងសមីការនៃប្រភេទមួយទៅជាសមីការនៃប្រភេទមួយផ្សេងទៀតគឺមានប្រយោជន៍ណាស់។

ជាដំបូង សូមពិចារណាពីការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅនៃទម្រង់ A x + B y + C = 0 ទៅសមីការ Canonical x − x 1 a x = y − y 1 a y ។

ប្រសិនបើ A ≠ 0 នោះយើងផ្ទេរពាក្យ B y ទៅខាងស្តាំនៃសមីការទូទៅ។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងយក A ចេញពីតង្កៀប។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖ A x + C A = − B y ។

សមភាពនេះអាចសរសេរជាសមាមាត្រ៖ x + C A - B = y A ។

ប្រសិនបើ B ≠ 0 យើងទុកតែពាក្យ A x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទូទៅ យើងផ្ទេរអ្នកផ្សេងទៀតទៅខាងស្តាំ យើងទទួលបាន៖ A x \u003d - B y - C ។ យើងដក - B ចេញពីតង្កៀបបន្ទាប់មក៖ A x \u003d - B y + C B ។

ចូរសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពជាសមាមាត្រ៖ x − B = y + C B A ។

ជាការពិតណាស់ មិនចាំបាច់ទន្ទេញរូបមន្តលទ្ធផលនោះទេ។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីក្បួនដោះស្រាយនៃសកម្មភាពកំឡុងពេលផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅទៅ Canonical មួយ។

ឧទាហរណ៍ ៥

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ 3 y - 4 = 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាត្រូវតែបំប្លែងទៅជាសមីការ Canonical។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងសរសេរសមីការដើមជា 3 y - 4 = 0 ។ បន្ទាប់​មក យើង​ធ្វើ​តាម​ក្បួន​ដោះស្រាយ៖ ពាក្យ 0 x នៅ​ខាង​ឆ្វេង។ ហើយនៅផ្នែកខាងស្តាំយើងយកចេញ - 3 ចេញពីតង្កៀប; យើងទទួលបាន៖ 0 x = − 3 y − 4 3 ។

ចូរសរសេរសមភាពលទ្ធផលជាសមាមាត្រ៖ x − 3 = y − 4 3 0 ។ ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលសមីការនៃទម្រង់ Canonical ។

ចម្លើយ៖ x − 3 = y − 4 3 0.

ដើម្បីបំប្លែងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅជាប៉ារ៉ាម៉ែត ទីមួយ ការផ្លាស់ប្តូរទៅជាទម្រង់ Canonical ត្រូវបានអនុវត្ត ហើយបន្ទាប់មកការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ឧទាហរណ៍ ៦

បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ 2 x − 5 y − 1 = 0 ។ សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់នេះ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅទៅ Canonical មួយ៖

2 x − 5 y − 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ឥឡូវនេះ ចូរយើងយកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ Canonical លទ្ធផលស្មើនឹង λ បន្ទាប់មក៖

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = − 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

ចម្លើយ៖x = 5 λ y = − 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

សមីការទូទៅអាចត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាល y \u003d k x + b ប៉ុន្តែនៅពេលដែល B ≠ 0 ប៉ុណ្ណោះ។ សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរនៅខាងឆ្វេងយើងទុកពាក្យ B y នៅសល់ត្រូវបានផ្ទេរទៅខាងស្តាំ។ យើងទទួលបាន៖ B y = - A x - C ។ ចូរបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពលទ្ធផលដោយ B ដែលខុសពីសូន្យ៖ y = - A B x - C B ។

ឧទាហរណ៍ ៧

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ 2 x + 7 y = 0 ។ អ្នកត្រូវបំប្លែងសមីការនោះទៅជាសមីការជម្រាល។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងអនុវត្តសកម្មភាពចាំបាច់យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ៖

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y − 2 x ⇔ y = − 2 7 x

ចម្លើយ៖ y = − 2 7 x ។

ពីសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការទទួលបានសមីការក្នុងផ្នែកនៃទម្រង់ x a + y b \u003d 1 ។ ដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះ យើងផ្ទេរលេខ C ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពលទ្ធផលដោយ - С ហើយចុងក្រោយផ្ទេរមេគុណសម្រាប់អថេរ x និង y ទៅភាគបែង៖

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

ឧទាហរណ៍ ៨

វាចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ x − 7 y + 1 2 = 0 ទៅជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាចម្រៀក។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូររំកិល 1 2 ទៅខាងស្តាំ៖ x − 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x − 7 y = − 1 2 ។

ចែកដោយ −1/2 ទាំងសងខាងនៃសមីការ៖ x − 7 y = − 1 2 ⇔ 1 − 1 2 x − 7 − 1 2 y = 1 ។

ចម្លើយ៖ x − 1 2 + y 1 14 = 1 ។

ជាទូទៅការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាសក៏មានភាពងាយស្រួលផងដែរ: ពីប្រភេទសមីការផ្សេងទៀតទៅទូទៅ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក និងសមីការដែលមានជម្រាលអាចត្រូវបានបម្លែងយ៉ាងងាយស្រួលទៅជាទូទៅមួយដោយគ្រាន់តែប្រមូលពាក្យទាំងអស់នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ៖

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y − 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

សមីការ Canonical ត្រូវ​បាន​បំប្លែង​ទៅ​ជា​ទូទៅ​តាម​គ្រោងការណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

x − x 1 a x = y − y 1 a y ⇔ a y (x − x 1) = a x (y − y 1) ⇔ ⇔ a y x − a x y − a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

ដើម្បីឆ្លងពីប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ការផ្លាស់ប្តូរទៅជា Canonical ត្រូវបានអនុវត្តដំបូង ហើយបន្ទាប់មកទៅទូទៅមួយ៖

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x − x 1 a x = y − y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

ឧទាហរណ៍ ៩

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ x = - 1 + 2 · λ y = 4 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់នេះ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទៅជា Canonical៖

x = − 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = − 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y − 4 0 ⇔ x + 1 2 = y − 4 0

ចូរផ្លាស់ទីពី Canonical ទៅទូទៅ៖

x + 1 2 = y − 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y − 4) ⇔ y − 4 = 0

ចម្លើយ៖ y − 4 = 0

ឧទាហរណ៍ 10

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក x 3 + y 1 2 = 1 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរទៅជាទម្រង់ទូទៅនៃសមីការ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដែលត្រូវការ៖

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y − 1 = 0

ចម្លើយ៖ 1 3 x + 2 y − 1 = 0 ។

គូរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់

ខាងលើ យើងបាននិយាយថាសមីការទូទៅអាចត្រូវបានសរសេរជាមួយនឹងកូអរដោណេដែលគេស្គាល់នៃវ៉ិចទ័រធម្មតា និងកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់។ បន្ទាត់ត្រង់បែបនេះត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ។ នៅកន្លែងដដែលយើងបានវិភាគឧទាហរណ៍ដែលត្រូវគ្នា។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ស្មុគ្រស្មាញបន្ថែមទៀតដែលក្នុងនោះដំបូងវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។

ឧទាហរណ៍ 11

ផ្តល់បន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ 2 x − 3 y + 3 3 = 0 ។ គេស្គាល់ផងដែរគឺចំណុច M 0 (4 , 1) ដែលបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យឆ្លងកាត់។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

លក្ខខណ្ឌដំបូងប្រាប់យើងថាបន្ទាត់គឺស្របគ្នា បន្ទាប់មកជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ដែលសមីការត្រូវសរសេរ យើងយកវ៉ិចទ័រផ្ទាល់នៃបន្ទាត់ n → = (2, − 3): 2 x − 3 y + 3 3 = 0 ។ ឥឡូវនេះយើងដឹងពីទិន្នន័យចាំបាច់ទាំងអស់ដើម្បីសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ៖

A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 ⇔ 2 (x − 4) − 3 (y − 1) = 0 ⇔ 2 x − 3 y − 5 = 0

ចម្លើយ៖ 2 x − 3 y − 5 = 0 ។

ឧទាហរណ៍ 12

បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​កាត់​តាម​ដើម​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​បន្ទាត់ x − 2 3 = y + 4 5 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

វ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ x − 2 3 = y + 4 5 ។

បន្ទាប់មក n → = (3, 5) ។ បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម i.e. តាមរយៈចំណុច O (0, 0) ។ ចូរយើងចងក្រងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ៖

A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 ⇔ 3 (x − 0) + 5 (y − 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

ចម្លើយ៖ 3 x + 5 y = 0 ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

មេរៀនពីស៊េរី "ក្បួនដោះស្រាយធរណីមាត្រ"

ជំរាបសួរអ្នកអានជាទីស្រឡាញ់!

ថ្ងៃនេះយើងនឹងចាប់ផ្តើមរៀនក្បួនដោះស្រាយទាក់ទងនឹងធរណីមាត្រ។ ការពិតគឺថាមានបញ្ហា Olympiad ជាច្រើននៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រទាក់ទងនឹងធរណីមាត្រគណនា ហើយដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបែបនេះច្រើនតែបង្កការលំបាក។

នៅក្នុងមេរៀនមួយចំនួន យើងនឹងពិចារណាលើបញ្ហារងបឋមមួយចំនួន ដែលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាភាគច្រើននៃធរណីមាត្រគណនាគឺផ្អែកលើ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងសរសេរកម្មវិធីសម្រាប់ ការស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ការផ្តល់ឱ្យ ចំណុចពីរ. ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រ យើងត្រូវការចំណេះដឹងខ្លះៗអំពីធរណីមាត្រគណនា។ យើងនឹងលះបង់ផ្នែកមួយនៃមេរៀន ដើម្បីស្គាល់ពួកគេ។

ព័ត៌មានពីធរណីមាត្រគណនា

ធរណីមាត្រគណនាគឺជាសាខានៃវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រដែលសិក្សាពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រ។

ទិន្នន័យដំបូងសម្រាប់បញ្ហាបែបនេះអាចជាសំណុំនៃចំណុចនៅលើយន្តហោះ សំណុំនៃចម្រៀក ពហុកោណ (ឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយបញ្ជីនៃកំពូលរបស់វាតាមទ្រនិចនាឡិកា) ។ល។

លទ្ធផលអាចជាចម្លើយចំពោះសំណួរមួយចំនួន (ដូចជា តើចំណុចមួយជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកមួយ ធ្វើផ្នែកពីរប្រសព្វគ្នា ... ) ឬវត្ថុធរណីមាត្រមួយចំនួន (ឧទាហរណ៍ ពហុកោណប៉ោងតូចបំផុតដែលភ្ជាប់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ តំបន់នៃ ពហុកោណ។ល។)។

យើងនឹងពិចារណាបញ្ហានៃធរណីមាត្រគណនាតែនៅលើយន្តហោះ និងនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ប៉ុណ្ណោះ។

វ៉ិចទ័រនិងកូអរដោនេ

ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃធរណីមាត្រគណនា ចាំបាច់ត្រូវបកប្រែរូបភាពធរណីមាត្រទៅជាភាសានៃលេខ។ យើងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះដែលក្នុងនោះទិសដៅនៃការបង្វិលច្រាសទ្រនិចនាឡិកាត្រូវបានគេហៅថាវិជ្ជមាន។

ឥឡូវនេះ វត្ថុធរណីមាត្រទទួលបានកន្សោមវិភាគ។ ដូច្នេះដើម្បីកំណត់ចំណុចមួយ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់កូអរដោនេរបស់វា៖ លេខគូ (x; y) ។ ផ្នែកមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយបញ្ជាក់កូអរដោនេនៃចុងរបស់វា បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយបញ្ជាក់កូអរដោណេនៃគូនៃចំនុចរបស់វា។

ប៉ុន្តែឧបករណ៍សំខាន់សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហានឹងជាវ៉ិចទ័រ។ ដូច្នេះ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកអំពីព័ត៌មានមួយចំនួនអំពីពួកគេ។

ផ្នែកបន្ទាត់ ABដែលមានចំណុចមួយ។ ប៉ុន្តែពិចារណាការចាប់ផ្តើម (ចំណុចនៃការអនុវត្ត) និងចំណុច អេ- ចុងបញ្ចប់ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ ABនិងតំណាងដោយអក្សរតូច ឬអក្សរដិត ជាឧទាហរណ៍ ក .

ដើម្បីសម្គាល់ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ (នោះគឺប្រវែងនៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នា) យើងនឹងប្រើនិមិត្តសញ្ញាម៉ូឌុល (ឧទាហរណ៍ )។

វ៉ិចទ័រ​បំពាន​នឹង​មាន​កូអរដោនេ​ស្មើ​នឹង​ភាព​ខុស​គ្នា​រវាង​កូអរដោណេ​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​នៃ​ចុង​និង​ដើម​របស់​វា​៖

,

ចំណុចនៅទីនេះ កនិង ខ មានកូអរដោនេ រៀងគ្នា។

សម្រាប់ការគណនាយើងនឹងប្រើគំនិត មុំតម្រង់ទិសនោះគឺមុំដែលគិតគូរពីទីតាំងដែលទាក់ទងនៃវ៉ិចទ័រ។

មុំតម្រង់ទិសរវាងវ៉ិចទ័រ ក និង ខ វិជ្ជមានប្រសិនបើការបង្វិលនៅឆ្ងាយពីវ៉ិចទ័រ ក ទៅវ៉ិចទ័រ ខ ត្រូវបានធ្វើក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាន (ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា) និងអវិជ្ជមាននៅក្នុងករណីផ្សេងទៀត។ សូមមើល fig.1a, fig.1b ។ គេ​និយាយ​ដែរ​ថា វ៉ិចទ័រ​មួយ​គូ ក និង ខ ទិសដៅវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) ។

ដូច្នេះ​តម្លៃ​នៃ​មុំ​តម្រង់​ទិស​អាស្រ័យ​លើ​លំដាប់​នៃ​ការ​រាប់​វ៉ិចទ័រ ហើយ​អាច​យក​តម្លៃ​ក្នុង​ចន្លោះ​ពេល។

បញ្ហាធរណីមាត្រគណនាជាច្រើនប្រើគំនិតនៃវ៉ិចទ័រ (skew ឬ pseudoscalar) ផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a និង b គឺជាផលិតផលនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា៖

.

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រក្នុងកូអរដោនេ៖

កន្សោមខាងស្តាំគឺជាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ៖

មិនដូចនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងធរណីមាត្រវិភាគទេ នេះគឺជាមាត្រដ្ឋាន។

សញ្ញានៃផលិតផលឈើឆ្កាងកំណត់ទីតាំងនៃវ៉ិចទ័រដែលទាក់ទងគ្នាទៅវិញទៅមក:

ក និង ខ តម្រង់ទិសវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើតម្លៃគឺ នោះគូនៃវ៉ិចទ័រ ក និង ខ តម្រង់ទិសអវិជ្ជមាន។

ផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យគឺសូន្យប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែពួកវាជាគូ ( ) នេះមានន័យថាពួកគេដេកនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នាឬនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។

ចូរយើងពិចារណាកិច្ចការសាមញ្ញមួយចំនួនដែលចាំបាច់សម្រាប់ដោះស្រាយកិច្ចការដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ។

ចូរកំណត់សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយកូអរដោនេនៃពីរចំណុច។

សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​កាត់​តាម​ចំណុច​ពីរ​ផ្សេង​គ្នា​ដែល​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​កូអរដោនេ​របស់​វា។

សូម​ឱ្យ​ចំណុច​មិន​ស្រប​គ្នា​ពីរ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នៅ​លើ​បន្ទាត់៖ ជាមួយ​កូអរដោណេ (x1; y1) និង​ជាមួយ​កូអរដោណេ (x2; y2) ។ ដូច្នោះ​ហើយ វ៉ិចទ័រ​ដែល​មាន​ដើម​ត្រង់​ចំណុច និង​ចុង​ត្រង់​ចំណុច​មាន​កូអរដោណេ (x2-x1, y2-y1)។ ប្រសិនបើ P(x, y) គឺជាចំណុចបំពាននៅលើបន្ទាត់របស់យើង នោះកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រគឺ (x-x1, y - y1) ។

ដោយមានជំនួយពីផលិតផលឈើឆ្កាងលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រហើយអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

ទាំងនោះ។ (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

យើងសរសេរសមីការចុងក្រោយឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

អ័ក្ស + ដោយ + គ = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

ដូច្នេះបន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃទម្រង់ (1) ។

កិច្ចការ 1. កូអរដោនេនៃចំណុចពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកតំណាងរបស់វាក្នុងទម្រង់ ax + ដោយ + c = 0 ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានស្គាល់ព័ត៌មានមួយចំនួនពីធរណីមាត្រគណនា។ យើងបានដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ដោយកូអរដោនេនៃចំណុចពីរ។

នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងនឹងសរសេរកម្មវិធីមួយដើម្បីស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរដែលផ្តល់ដោយសមីការរបស់យើង។