មុខងារមួយត្រូវបានគេហៅថា គូ (សេស) ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ និងសមភាព 
.
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គូគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស 
.
ក្រាហ្វនៃមុខងារសេសគឺស៊ីមេទ្រីអំពីប្រភពដើម។
ឧទាហរណ៍ 6.2 ។ពិនិត្យមុខងារគូ ឬសេស
1)
;
2)
;
3)
.
ដំណោះស្រាយ.
1) មុខងារត្រូវបានកំណត់ 
. ចូរយើងស្វែងរក 
.
ទាំងនោះ។ 
. ដូច្នេះមុខងារនេះគឺសូម្បីតែ។
2) មុខងារត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ 
ទាំងនោះ។ 
. ដូច្នេះមុខងារនេះគឺចម្លែក។
3) មុខងារត្រូវបានកំណត់សម្រាប់, i.e. សម្រាប់
,
. ដូច្នេះមុខងារនេះគឺមិនសូម្បីឬសេស។ ចូរហៅវាថាមុខងារទូទៅ។
3. ការស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ monotonicity ។
មុខងារ 
ត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើង (បន្ថយ) លើចន្លោះពេលខ្លះ ប្រសិនបើក្នុងចន្លោះពេលនេះ តម្លៃធំនៃអាគុយម៉ង់នីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃធំជាង (តូចជាង) នៃមុខងារ។
មុខងារកើនឡើង (ថយចុះ) នៅលើចន្លោះពេលខ្លះត្រូវបានគេហៅថា monotonic ។
ប្រសិនបើមុខងារ 
ខុសគ្នានៅលើចន្លោះពេល 
និងមានដេរីវេវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) 
បន្ទាប់មកមុខងារ 
កើនឡើង (ថយចុះ) ក្នុងចន្លោះពេលនេះ។
ឧទាហរណ៍ 6.3. ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃមុខងារ monotonicity
1)
;
3)
.
ដំណោះស្រាយ.
1) មុខងារនេះត្រូវបានកំណត់នៅលើអ័ក្សលេខទាំងមូល។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ។
ដេរីវេគឺសូន្យប្រសិនបើ 
និង 
. ដែននៃនិយមន័យ - អ័ក្សលេខ បែងចែកដោយចំណុច 
,
សម្រាប់ចន្លោះពេល។ ចូរយើងកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះនីមួយៗ។
ក្នុងចន្លោះពេល 
ដេរីវេគឺអវិជ្ជមាន មុខងារថយចុះនៅចន្លោះពេលនេះ។
ក្នុងចន្លោះពេល 
ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះមុខងារកំពុងកើនឡើងនៅចន្លោះពេលនេះ។
2) មុខងារនេះត្រូវបានកំណត់ប្រសិនបើ 
ឬ
.
យើងកំណត់សញ្ញានៃត្រីកោណការ៉េក្នុងចន្លោះនីមួយៗ។
ដូច្នេះវិសាលភាពនៃមុខងារ
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ 
,
, ប្រសិនបើ 
, i.e. 
, ប៉ុន្តែ 
. ចូរយើងកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះពេល 
.
ក្នុងចន្លោះពេល 
ដេរីវេគឺអវិជ្ជមាន ដូច្នេះមុខងារថយចុះនៅចន្លោះពេល 
. ក្នុងចន្លោះពេល 
ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន មុខងារកើនឡើងនៅចន្លោះពេល 
.
4. ការស៊ើបអង្កេតលើមុខងារសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមមួយ។
ចំណុច 
ត្រូវបានគេហៅថា អតិបរមា (អប្បបរមា) នៃមុខងារ 
ប្រសិនបើមានសង្កាត់បែបនេះ 
នោះសម្រាប់អ្នករាល់គ្នា 
សង្កាត់នេះបំពេញនូវវិសមភាព 
.
ចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំង។
ប្រសិនបើមុខងារ 
នៅចំណុច 
មានភាពជ្រុលនិយម បន្ទាប់មកដេរីវេនៃមុខងារនៅចំណុចនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃជ្រុល)។
ចំណុចដែលនិស្សន្ទវត្ថុស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន ត្រូវបានគេហៅថាសំខាន់។
5. លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម។
វិធាន 1. ប្រសិនបើក្នុងអំឡុងពេលនៃការផ្លាស់ប្តូរ (ពីឆ្វេងទៅស្តាំ) ឆ្លងកាត់ចំណុចសំខាន់ 
ដេរីវេ 
ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី "+" ទៅ "-" បន្ទាប់មកនៅចំណុច 
មុខងារ 
មានអតិបរមា; ប្រសិនបើពី "-" ទៅ "+", បន្ទាប់មកអប្បបរមា; ប្រសិនបើ 
មិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាបន្ទាប់មកមិនមានភាពជ្រុលនិយម។
ក្បួនទី 2. អនុញ្ញាតឱ្យនៅចំណុច 
ដេរីវេដំបូងនៃមុខងារ 
សូន្យ 
ហើយដេរីវេទី 2 មាន និងមិនសូន្យ។ ប្រសិនបើ ក 
បន្ទាប់មក 
គឺជាចំណុចអតិបរមា ប្រសិនបើ 
បន្ទាប់មក 
គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារ។
ឧទាហរណ៍ 6.4 . រុករកមុខងារអតិបរមា និងអប្បបរមា៖
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
ដំណោះស្រាយ។
1) មុខងារត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើចន្លោះពេល 
.
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ 
និងដោះស្រាយសមីការ 
, i.e. 
។ពីទីនេះ 
គឺជាចំណុចសំខាន់។
ចូរយើងកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះពេល , 
.
នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច 
និង 
ការផ្លាស់ប្តូរនិស្សន្ទវត្ថុសញ្ញាពី “–” ទៅ “+” ដូច្នេះយោងតាមវិធាន ១ 
គឺជាពិន្ទុអប្បបរមា។
នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ 
ការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេសញ្ញាពី "+" ទៅ "-", ដូច្នេះ 
គឺជាចំណុចអតិបរមា។
,
.
2) មុខងារត្រូវបានកំណត់ និងបន្តក្នុងចន្លោះពេល 
. ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ 
.
ដោយការដោះស្រាយសមីការ 
, ស្វែងរក 
និង 
គឺជាចំណុចសំខាន់។ ប្រសិនបើភាគបែង 
, i.e. 
បន្ទាប់មក ដេរីវេមិនមានទេ។ ដូច្នេះ 
គឺជាចំណុចសំខាន់ទីបី។ ចូរយើងកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះពេល។
ដូច្នេះមុខងារមានអប្បបរមានៅចំណុច 
, អតិបរមានៅចំណុច 
និង 
.
3) មុខងារមួយត្រូវបានកំណត់ និងបន្តប្រសិនបើ 
, i.e. នៅ 
.
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ 
.
ចូរយើងស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗ៖ 
អ្នកជិតខាងនៃចំណុច 
មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃការកំណត់ ដូច្នេះពួកគេមិនមែនជា extremum t ។ ដូច្នេះ ចូរយើងស្វែងយល់ពីចំណុចសំខាន់ៗ 
និង 
.
4) មុខងារត្រូវបានកំណត់និងបន្តនៅលើចន្លោះពេល 
. យើងប្រើក្បួន 2. ស្វែងរកដេរីវេ 
.
ចូរយើងស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗ៖
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទីពីរ 
និងកំណត់សញ្ញារបស់វានៅចំណុច 
នៅចំណុច 
មុខងារមានអប្បបរមា។
នៅចំណុច 
មុខងារមានអតិបរមា។
ការពឹងផ្អែកនៃអថេរ y លើអថេរ x ដែលតម្លៃនីមួយៗនៃ x ត្រូវគ្នានឹងតម្លៃតែមួយនៃ y ត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍។ សញ្ញាណគឺ y=f(x)។ មុខងារនីមួយៗមានលក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋានមួយចំនួនដូចជា monotonicity, parity, periodicity និងផ្សេងទៀត។
ពិចារណាអំពីទ្រព្យសម្បត្តិស្មើភាពគ្នាឱ្យកាន់តែលម្អិត។
អនុគមន៍ y=f(x) ត្រូវបានហៅទោះបីជាវាបំពេញលក្ខខណ្ឌពីរដូចខាងក្រោមក៏ដោយ៖
2. តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់វិសាលភាពនៃអនុគមន៍ត្រូវតែស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច -x ។ នោះគឺសម្រាប់ចំណុច x ណាមួយពីដែននៃមុខងារ សមភាពខាងក្រោម f (x) \u003d f (-x) ត្រូវតែពិត។
ក្រាហ្វនៃមុខងារស្មើគ្នា
ប្រសិនបើអ្នកបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គូ វានឹងស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y ។
ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ y=x^2 ស្មើ។ សូមពិនិត្យមើលវាចេញ។ ដែននៃនិយមន័យគឺជាអ័ក្សលេខទាំងមូល ដែលមានន័យថាវាស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុច O ។
យកតាមចិត្ត x=3 ។ f(x)=3^2=9។
f(-x)=(-3)^2=9 ។ ដូច្នេះ f(x) = f(-x)។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទាំងពីរគឺពេញចិត្តសម្រាប់យើងដែលមានន័យថាមុខងារគឺសូម្បីតែ។ ខាងក្រោមនេះជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=x^2។
តួលេខបង្ហាញថាក្រាហ្វគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y ។
ក្រាហ្វនៃមុខងារសេស
អនុគមន៍ y=f(x) ត្រូវបានគេហៅថាសេស ប្រសិនបើវាបំពេញលក្ខខណ្ឌពីរខាងក្រោម៖
1. ដែននៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវតែស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុច O. នោះគឺប្រសិនបើចំនុចមួយចំនួន a ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃអនុគមន៍ នោះចំនុចដែលត្រូវគ្នា -a ត្រូវតែជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។
2. សម្រាប់ចំណុច x ណាមួយពីដែននៃអនុគមន៍ ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោម f (x) \u003d -f (x) ត្រូវតែពេញចិត្ត។
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍សេសគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងចំណុច O - ប្រភពដើម។ ឧទាហរណ៍ មុខងារ y=x^3 គឺសេស។ សូមពិនិត្យមើលវាចេញ។ ដែននៃនិយមន័យគឺជាអ័ក្សលេខទាំងមូល ដែលមានន័យថាវាស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុច O ។
យក x = 2 បំពាន។ f(x)=2^3=8។
f(-x)=(-2)^3=-8 ។ ដូច្នេះ f(x) = -f(x) ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទាំងពីរគឺពេញចិត្តសម្រាប់យើង ដែលមានន័យថាមុខងារគឺសេស។ ខាងក្រោមនេះជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=x^3។
តួលេខនេះបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថាមុខងារសេស y=x^3 គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម។
មួយកម្រិត ឬមួយកម្រិតទៀតដែលអ្នកធ្លាប់ស្គាល់។ វាត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ផងដែរនៅទីនោះថាភាគហ៊ុននៃលក្ខណៈសម្បត្តិមុខងារនឹងត្រូវបានបំពេញបន្ថែមបន្តិចម្តង ៗ ។ អចលនទ្រព្យថ្មីចំនួនពីរនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកនេះ។
និយមន័យ ១.
អនុគមន៍ y \u003d f (x), x є X ត្រូវបានហៅ ទោះបីជាតម្លៃណាមួយ x ពីសំណុំ X ភាពស្មើគ្នា f (-x) \u003d f (x) គឺពិត។
និយមន័យ ២.
អនុគមន៍ y \u003d f (x), x є X ត្រូវបានគេហៅថាសេស ប្រសិនបើតម្លៃណាមួយ x ពីសំណុំ X សមភាព f (-x) \u003d -f (x) គឺពិត។
បង្ហាញថា y = x 4 គឺជាអនុគមន៍គូ។
ដំណោះស្រាយ។ យើងមាន៖ f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) ៤. ប៉ុន្តែ (-x) 4 = x 4 ។ ដូច្នេះសម្រាប់ x ណាមួយ សមភាព f (-x) = f (x), i.e. មុខងារគឺស្មើគ្នា។
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ វាអាចបញ្ជាក់បានថាមុខងារ y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 គឺស្មើគ្នា។
បង្ហាញថា y = x 3 គឺជាអនុគមន៍សេស។
ដំណោះស្រាយ។ យើងមាន៖ f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) ៣. ប៉ុន្តែ (-x) 3 = −x 3 ។ ដូច្នេះ សម្រាប់ x ណាមួយ សមភាព f (-x) \u003d -f (x), i.e. មុខងារគឺចម្លែក។
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ វាអាចបញ្ជាក់បានថាមុខងារ y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 គឺសេស។
អ្នក និងខ្ញុំបានបញ្ចុះបញ្ចូលខ្លួនយើងម្តងហើយម្តងទៀតថាពាក្យថ្មីនៅក្នុងគណិតវិទ្យាភាគច្រើនមានប្រភពដើម "ផែនដី" ពោលគឺឧ។ ពួកគេអាចត្រូវបានពន្យល់តាមវិធីណាមួយ។ នេះជាករណីសម្រាប់មុខងារគូ និងសេស។ សូមមើល៖ y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 គឺជាមុខងារសេស ខណៈពេលដែល y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 គឺជាមុខងារដូចគ្នា។ ហើយជាទូទៅសម្រាប់មុខងារណាមួយនៃទម្រង់ y \u003d x "(ខាងក្រោមយើងនឹងសិក្សាមុខងារទាំងនេះជាពិសេស) ដែល n ជាលេខធម្មជាតិ យើងអាចសន្និដ្ឋានបាន៖ ប្រសិនបើ n ជាលេខសេស នោះមុខងារ y \u003d x "គឺចម្លែក; ប្រសិនបើ n ជាលេខគូ នោះអនុគមន៍ y = xn គឺគូ។
វាក៏មានមុខងារដែលមិនសូម្បីតែឬសេស។ ជាឧទាហរណ៍ មុខងារ y \u003d 2x + 3 ។ ជាការពិត f (1) \u003d 5 និង f (-1) \u003d 1. ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ នៅទីនេះ ទាំងអត្តសញ្ញាណ f (-x ) \u003d f ( x) ឬអត្តសញ្ញាណ f(-x) = -f(x) ។
ដូច្នេះ មុខងារមួយអាចជាគូ សេស ឬទាំងពីរ។
ការសិក្សាអំពីសំណួរថាតើមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺគូ ឬសេស ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា ការសិក្សាមុខងារសម្រាប់ភាពស្មើគ្នា។
និយមន័យ 1 និង 2 ដោះស្រាយជាមួយតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x និង -x ។ នេះសន្មតថាមុខងារត្រូវបានកំណត់ទាំងនៅចំណុច x និងនៅចំណុច -x ។ នេះមានន័យថាចំនុច -x ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃអនុគមន៍ក្នុងពេលតែមួយជាមួយចំនុច x ។ ប្រសិនបើសំណុំលេខ X រួមជាមួយនឹងធាតុនីមួយៗរបស់វា x មានធាតុផ្ទុយ -x នោះ X ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំស៊ីមេទ្រី។ ចូរនិយាយថា (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) គឺជាសំណុំស៊ីមេទ្រី ខណៈ ; (∞;∞) គឺជាសំណុំស៊ីមេទ្រី ហើយ , [–5;4] គឺមិនស៊ីមេទ្រី។
- តើមុខងារសូម្បីតែមានដែននិយមន័យ - សំណុំស៊ីមេទ្រី? ប្លែកៗ?
- ប្រសិនបើ D ( f) គឺជាសំណុំ asymmetric បន្ទាប់មកតើមុខងារជាអ្វី?
- ដូច្នេះប្រសិនបើមុខងារ នៅ = f(X) គឺគូ ឬសេស បន្ទាប់មកដែននៃនិយមន័យរបស់វាគឺ D( f) គឺជាសំណុំស៊ីមេទ្រី។ ប៉ុន្តែតើការសន្ទនាពិតទេ ប្រសិនបើដែននៃអនុគមន៍ជាសំណុំស៊ីមេទ្រីនោះ វាជាគូ ឬសេស?
- ដូច្នេះវត្តមាននៃសំណុំស៊ីមេទ្រីនៃដែននិយមន័យគឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់មួយ ប៉ុន្តែមិនមែនជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់នោះទេ។
- ដូច្នេះតើយើងអាចស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ភាពស្មើគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច? តោះព្យាយាមសរសេរ algorithm ។
ស្លាយ
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ពិនិត្យមុខងារសម្រាប់ភាពស្មើគ្នា
1. កំណត់ថាតើដែននៃមុខងារគឺស៊ីមេទ្រី។ បើមិនអញ្ចឹងទេ មុខងារនេះក៏មិនមែនជាសេសដែរ។ ប្រសិនបើបាទ/ចាស សូមចូលទៅកាន់ជំហានទី 2 នៃក្បួនដោះស្រាយ។
2. សរសេរកន្សោមសម្រាប់ f(–X).
3. ប្រៀបធៀប f(–X) និង f(X):
- ប្រសិនបើ f(–X).= f(X) បន្ទាប់មកមុខងារគឺសូម្បីតែ;
- ប្រសិនបើ f(–X).= – f(X) បន្ទាប់មកមុខងារគឺសេស;
- ប្រសិនបើ f(–X) ≠ f(X) និង f(–X) ≠ –f(X) បន្ទាប់មកមុខងារគឺមិនសូម្បីតែឬសេស។
ឧទាហរណ៍:
ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ភាពស្មើគ្នា ក) នៅ= x 5 +; ខ) នៅ= ; ក្នុង) នៅ= .
ដំណោះស្រាយ។
ក) h (x) \u003d x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), សំណុំស៊ីមេទ្រី។
2) ម៉ោង (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),
3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e មុខងារ h(x)= x 5 + សេស។
ខ) y =,
នៅ = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞) សំណុំ asymmetric ដូច្នេះមុខងារគឺមិនសូម្បីតែឬសេស។
ក្នុង) f(X) = , y = f(x),
1) ឃ ( f) = (–∞; 3] ≠; ខ) (∞; –2), (–4; 4]?
ជម្រើសទី 2
1. គឺជាសំណុំស៊ីមេទ្រីដែលផ្តល់ឱ្យ: a) [–2;2]; ខ) (∞; 0], (0; 7) ?
ក); ខ) y \u003d x (5 - x 2) ។
ក) y \u003d x 2 (2x - x 3), ខ) y \u003d
គ្រោងមុខងារ នៅ = f(X) ប្រសិនបើ នៅ = f(X) គឺជាមុខងារស្មើ។
គ្រោងមុខងារ នៅ = f(X) ប្រសិនបើ នៅ = f(X) គឺជាមុខងារចម្លែក។
ពិនិត្យគ្នាទៅវិញទៅមក ស្លាយ។
6. កិច្ចការផ្ទះ៖ №11.11, 11.21,11.22;
ភស្តុតាងនៃអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃទ្រព្យសម្បត្តិស្មើគ្នា។
*** (ការចាត់តាំងនៃជម្រើស USE) ។
1. មុខងារសេស y \u003d f (x) ត្រូវបានកំណត់នៅលើបន្ទាត់ពិតទាំងមូល។ សម្រាប់តម្លៃដែលមិនអវិជ្ជមាននៃអថេរ x តម្លៃនៃអនុគមន៍នេះស្របគ្នានឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– ៧). ស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍ h( X) = នៅ X = 3.
7. សង្ខេប
