ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរមួយ និងច្រើន។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនិងអាំងតេក្រាល។

DIFFERENTIAL CALCULUS ដែលជាផ្នែកនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីដេរីវេ ឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងការអនុវត្តរបស់ពួកគេក្នុងការសិក្សាមុខងារ។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលបានបង្កើតឡើងជាវិន័យឯករាជ្យនៅពាក់កណ្តាលទី 2 នៃសតវត្សទី 17 ក្រោមឥទ្ធិពលនៃស្នាដៃរបស់ I. Newton និង G. W. Leibniz ដែលក្នុងនោះពួកគេបានបង្កើតបទប្បញ្ញត្តិសំខាន់ៗនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយបានកត់សម្គាល់ពីលក្ខណៈបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមកនៃភាពខុសគ្នា និងការរួមបញ្ចូល។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធជាមួយនឹងការគណនាអាំងតេក្រាល ដែលបង្កើតជាផ្នែកសំខាន់នៃការវិភាគគណិតវិទ្យា (ឬការវិភាគនៃចំនួនគ្មានកំណត់)។ ការបង្កើតការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាលបានបើកយុគសម័យថ្មីក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យា ដែលនាំទៅដល់ការលេចចេញនូវមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាថ្មីៗជាច្រើន (ទ្រឹស្តីស៊េរី ទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ធរណីមាត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល ការគណនាបំរែបំរួល ការវិភាគមុខងារ) និង បានពង្រីកយ៉ាងសំខាន់នូវលទ្ធភាពនៃការអនុវត្តគណិតវិទ្យាទៅនឹងសំណួរនៃវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ និងបច្ចេកវិទ្យា។

ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺផ្អែកលើគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានដូចជាចំនួនពិត មុខងារ ដែនកំណត់ ភាពបន្ត។ គំនិតទាំងនេះបានយកទម្រង់ទំនើបមួយក្នុងដំណើរការនៃការអភិវឌ្ឍន៍នៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល។ គំនិត និងគោលគំនិតសំខាន់ៗនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការសិក្សាអំពីមុខងារនៅក្នុងតូច ពោលគឺនៅក្នុងសង្កាត់តូចៗនៃចំណុចនីមួយៗ ដែលទាមទារឱ្យមានការបង្កើតឧបករណ៍គណិតវិទ្យាសម្រាប់សិក្សាមុខងារដែលមានឥរិយាបថនៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយគ្រប់គ្រាន់នៃចំណុចនីមួយៗនៃ ដែននៃនិយមន័យរបស់ពួកគេគឺជិតទៅនឹងឥរិយាបថនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ ឬពហុនាម។ ឧបករណ៍នេះត្រូវបានផ្អែកលើគោលគំនិតនៃដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ គំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុមួយបានកើតឡើងទាក់ទងនឹងបញ្ហាផ្សេងៗគ្នាជាច្រើននៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ និងគណិតវិទ្យា ដែលនាំទៅដល់ការគណនាដែនកំណត់នៃប្រភេទដូចគ្នា។ សំខាន់បំផុតនៃភារកិច្ចទាំងនេះគឺការកំណត់ល្បឿននៃចលនានៃចំណុចសម្ភារៈនៅតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងការកសាងតង់សង់ទៅខ្សែកោងមួយ។ គោលគំនិតនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺទាក់ទងទៅនឹងលទ្ធភាពនៃមុខងារប្រហាក់ប្រហែលនៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយនៃចំណុចដែលកំពុងពិចារណាដោយអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ។ មិនដូចគោលគំនិតនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នៃអថេរពិតប្រាកដ គំនិតនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាចផ្ទេរបានយ៉ាងងាយស្រួលទៅមុខងារនៃធម្មជាតិទូទៅ រួមទាំងការគូសផែនទីពីលំហអឺគ្លីដមួយទៅលំហមួយទៀត ការគូសផែនទីនៃលំហ Banach ទៅលំហ Banach ផ្សេងទៀត និង បម្រើជាគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៃការវិភាគមុខងារ។

ដេរីវេ. អនុញ្ញាតឱ្យចំណុចសម្ភារៈផ្លាស់ទីតាមអ័ក្ស Oy ហើយ x បង្ហាញពីពេលវេលាដែលបានរាប់ពីពេលដំបូងមួយចំនួន។ ការពិពណ៌នានៃចលនានេះត្រូវបានផ្តល់ដោយអនុគមន៍ y = f(x) ដែលកំណត់ពេលនីមួយៗនៃពេលវេលា x កូអរដោនេ y នៃចំណុចផ្លាស់ទី។ មុខងារនេះនៅក្នុងមេកានិចត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់នៃចលនា។ លក្ខណៈសំខាន់នៃចលនា (ជាពិសេសប្រសិនបើវាមិនស្មើគ្នា) គឺល្បឿននៃចំណុចផ្លាស់ទីនៅរាល់ពេល x (ល្បឿននេះត្រូវបានគេហៅថាល្បឿនភ្លាមៗ)។ ប្រសិនបើចំណុចមួយផ្លាស់ទីតាមអ័ក្ស Oy យោងទៅតាមច្បាប់ y \u003d f (x) បន្ទាប់មកនៅពេលកំណត់ x វាមានកូអរដោនេ f (x) ហើយនៅពេល x + Δx - កូអរដោនេ f (x + Δx ។ ) ដែល Δx គឺជាការកើនឡើងនៃពេលវេលា។ លេខ Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ដែលហៅថាការបង្កើនមុខងារ គឺជាផ្លូវដែលធ្វើដំណើរដោយចំណុចផ្លាស់ទីក្នុងពេលវេលាពី x ទៅ x + Δx ។ អាកប្បកិរិយា

ហៅថាសមាមាត្រភាពខុសគ្នា គឺជាល្បឿនមធ្យមនៃចំណុចក្នុងចន្លោះពេលពី x ទៅ x + Δx ។ ល្បឿនភ្លាមៗ (ឬល្បឿនធម្មតា) នៃចំណុចផ្លាស់ទីនៅពេល x គឺជាដែនកំណត់ដែលល្បឿនមធ្យម (1) មាននិន្នាការនៅពេលដែលចន្លោះពេល Δx ទំនោរទៅសូន្យ ពោលគឺដែនកំណត់ (2)

គោលគំនិតនៃល្បឿនភ្លាមៗនាំទៅរកគំនិតនៃដេរីវេ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បំពាន y \u003d f (x) នៅចំណុចថេរមួយ x ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ (2) (ផ្តល់ថាដែនកំណត់នេះមាន) ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) នៅចំណុចមួយ x ត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញាមួយក្នុងចំណោមនិមិត្តសញ្ញា f '(x), y ', ý, df / dx, dy / dx, Df (x) ។

ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកដេរីវេ (ឬការផ្លាស់ប្តូរពីមុខងារមួយទៅដេរីវេរបស់វា) ត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា។

បញ្ហានៃការសាងសង់តង់សង់ទៅនឹងខ្សែកោងយន្តហោះ ដែលកំណត់ក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian Oxy ដោយសមីការ y \u003d f (x) នៅចំណុចខ្លះ M (x, y) (រូបភាព) ក៏នាំទៅដល់ដែនកំណត់ (2) . ដោយបានផ្តល់ការបង្កើន Δx ទៅនឹងអាគុយម៉ង់ x និងយកចំនុច M 'ជាមួយនឹងកូអរដោណេ (x + Δx, f(x) + Δx) នៅលើខ្សែកោង) កំណត់តង់សង់នៅចំណុច M ជាទីតាំងកំណត់នៃ secant MM' ដូចដែលចំណុច M 'មាននិន្នាការទៅ M (ឧទាហរណ៍ដូចជា Δx ទំនោរទៅសូន្យ) ។ ចាប់តាំងពីចំណុច M ដែលតង់សង់ឆ្លងកាត់ត្រូវបានផ្តល់ ការសាងសង់តង់សង់ត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីកំណត់ជម្រាលរបស់វា (ឧទាហរណ៍ តង់សង់នៃមុំទំនោររបស់វាទៅនឹងអ័ក្សអុក)។ ការគូរបន្ទាត់ត្រង់ MR ស្របទៅនឹងអ័ក្ស Ox វាត្រូវបានទទួលថាជម្រាលនៃ secant MM' គឺស្មើនឹងសមាមាត្រ

នៅក្នុងដែនកំណត់នៅ Δx → 0 ជម្រាលនៃ secant ប្រែទៅជាជម្រាលនៃតង់សង់ដែលប្រែទៅជាស្មើនឹងដែនកំណត់ (2) ពោលគឺ ដេរីវេ f '(x) ។

បញ្ហាមួយចំនួនផ្សេងទៀតនៃវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិក៏នាំទៅដល់គំនិតនៃដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍កម្លាំងបច្ចុប្បន្ននៅក្នុង conductor ត្រូវបានកំណត់ជាដែនកំណត់ lim Δt →0 Δq / Δt ដែល Δq គឺជាបន្ទុកអគ្គីសនីវិជ្ជមានដែលបានផ្ទេរតាមរយៈផ្នែកឆ្លងកាត់នៃ conductor ក្នុងពេលវេលា Δt អត្រានៃប្រតិកម្មគីមីត្រូវបានកំណត់ថាជា lim Δt →0 ΔQ/Δt ដែល ΔQ គឺជាការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណក្នុងកំឡុងពេល Δt ហើយជាទូទៅ ដេរីវេនៃបរិមាណរូបវន្តមួយចំនួនទាក់ទងនឹងពេលវេលាគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណនេះ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y \u003d f (x) ត្រូវបានកំណត់ទាំងនៅចំណុច x ខ្លួនវា និងនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួន ហើយមានដេរីវេនៅចំណុច x នោះមុខងារនេះបន្តនៅចំណុច x ។ ឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍ y \u003d |x| ដែលកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយនៃចំណុច x \u003d 0 បន្តនៅចំណុចនេះ ប៉ុន្តែមិនមានដេរីវេនៅ x \u003d 0 បង្ហាញថាអត្ថិភាពនៃមុខងារនៅចំណុចនេះ ជាទូទៅ មិនធ្វើតាមពីការបន្តនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះដេរីវេ។ ជាងនេះទៅទៀត មានមុខងារដែលបន្តនៅគ្រប់ចំណុចនៃដែននិយមន័យរបស់ពួកគេ ប៉ុន្តែមិនមានដេរីវេនៅចំនុចណាមួយនៃដែននេះទេ។

ក្នុងករណីនៅពេលដែលអនុគមន៍ y \u003d f (x) ត្រូវបានកំណត់ត្រឹមខាងស្តាំ ឬទៅខាងឆ្វេងនៃចំនុច x (ឧទាហរណ៍ នៅពេលដែល x គឺជាចំណុចព្រំដែននៃផ្នែកដែលមុខងារនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ) គោលគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) ត្រូវបានណែនាំនៅចំណុច x ។ ដេរីវេខាងស្តាំនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) នៅចំណុច x ត្រូវបានកំណត់ជាដែនកំណត់ (2) ដែលផ្តល់ថា Δx ទំនោរទៅសូន្យ នៅសល់វិជ្ជមាន ហើយដេរីវេខាងឆ្វេងត្រូវបានកំណត់ជាដែនកំណត់ (2) បានផ្តល់ថា Δx ទំនោរទៅសូន្យ នៅសល់អវិជ្ជមាន។ អនុគមន៍ y \u003d f (x) មានដេរីវេនៅចំនុច x ប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែវាមាននិស្សន្ទវត្ថុខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងស្មើគ្នានៅចំណុចនេះ។ អនុគមន៍ខាងលើ y = |x| មានដេរីវេទីវ័រខាងស្តាំស្មើនឹង 1 នៅចំណុច x = 0 និងដេរីវេទីវ័រខាងឆ្វេងស្មើនឹង -1 ហើយដោយសារដេរីវេទីវ័រខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងមិនស្មើគ្នា មុខងារនេះមិនមានដេរីវេទីវនៅចំណុច x = 0។ ថ្នាក់នៃអនុគមន៍ដែលមានដេរីវេ ភាពខុសគ្នានៃប្រតិបត្តិការគឺលីនេអ៊ែរ ពោលគឺ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) និង (αf(x))' = αf '(x) សម្រាប់លេខណាមួយ a ។ លើសពីនេះ ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាខាងក្រោមគឺជាការពិត៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមមួយចំនួនគឺ៖

α - លេខណាមួយ x> 0;

n = 0, ±1, ±2,

ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមណាមួយ គឺជាអនុគមន៍បឋមម្តងទៀត។

ប្រសិនបើដេរីវេទី f'(x) មានដេរីវេនៅចំនុច x នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍ f'(x) ត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេទី 2 នៃអនុគមន៍ y = f(x) នៅចំណុច x ហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញាមួយ f''(x), y'', ÿ, d 2 f/dx 2, d 2 y/dx 2, D 2 f(x) ។

សម្រាប់ចំណុចសម្ភារៈដែលផ្លាស់ទីតាមអ័ក្ស Oy យោងតាមច្បាប់ y \u003d f (x) ដេរីវេទី 2 គឺជាការបង្កើនល្បឿននៃចំណុចនេះនៅពេល x ។ ដេរីវេនៃលំដាប់ចំនួនគត់ n ត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា ដោយតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា f (n) (x), y (n), d (n) f/dx (n), d (n) y/dx (n), D (n) f (x) ។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែល. មុខងារ y \u003d f (x) ដែលជាដែនដែលមានសង្កាត់មួយចំនួននៃចំនុច x ត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ប្រសិនបើការកើនឡើងរបស់វានៅចំណុចនេះ ដែលត្រូវគ្នានឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ Δx, i.e. តម្លៃ Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) អាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ និងត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា dy ឬ df(x) ។ តាមធរណីមាត្រ សម្រាប់តម្លៃថេរនៃ x និងការផ្លាស់ប្តូរការកើនឡើង Δx ឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាការកើនឡើងនៅក្នុងលំដាប់នៃតង់សង់ ពោលគឺផ្នែក PM "(រូបភព។ ) ឌីផេរ៉ង់ស្យែល dy គឺជាមុខងារនៃចំនុច x និងចំនុច។ increment Δx ឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាជាផ្នែកលីនេអ៊ែរសំខាន់នៃការបង្កើនអនុគមន៍ ដោយហេតុថានៅពេលដែលតម្លៃថេរនៃ x តម្លៃ dy គឺជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរនៃΔх ហើយភាពខុសគ្នា Δу - dy គឺតូចមិនកំណត់ទាក់ទងនឹងΔх ដូច Δх → 0. សម្រាប់អនុគមន៍ f(х) = x តាមនិយមន័យ dx = Δх នោះគឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអថេរឯករាជ្យ dx ស្របពេលជាមួយនឹងការបង្កើនរបស់វា Δx នេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសរសេរឡើងវិញនូវកន្សោមសម្រាប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងទម្រង់ dy=Adx។

សម្រាប់មុខងារនៃអថេរមួយ គំនិតនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងគោលគំនិតនៃដេរីវេ៖ ដើម្បីឱ្យមុខងារ y \u003d f (x) មានឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅចំណុច x វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវា មានដេរីវេកំណត់ f '(x) នៅចំណុចនេះ ខណៈពេលដែលសមភាព dy = f'(x)dx ។ អត្ថន័យដែលមើលឃើញនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺថាតង់សង់ទៅនឹងខ្សែកោង y \u003d f (x) នៅចំណុចជាមួយ abscissa x មិនត្រឹមតែជាទីតាំងកំណត់នៃ secant ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏ជាបន្ទាត់ត្រង់ផងដែរ ដែលនៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយដែលគ្មានដែនកំណត់នៃ ចំនុច x គឺនៅជាប់នឹងខ្សែកោង y \u003d f (x) ជិតជាងបន្ទាត់ត្រង់ផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះ A(x) = f'(x) ជានិច្ច ហើយសញ្ញាណ dy/dx អាចត្រូវបានយល់មិនត្រឹមតែជាសញ្ញាណសម្រាប់ដេរីវេ f'(x) ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាសមាមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ និងអាគុយម៉ង់ផងដែរ។ . ដោយគុណធម៌នៃសមភាព dy = f'(x)dx ច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីច្បាប់ដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុ។ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃការបញ្ជាទិញទីពីរនិងខ្ពស់ជាងនេះក៏ត្រូវបានពិចារណាផងដែរ។

កម្មវិធី. ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ f(x) និងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា (ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វា) ដែលជាខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ទ្រឹស្ដីទាំងនេះរួមបញ្ចូលការអះអាងដែលថាចំណុចខ្លាំងទាំងអស់នៃមុខងារផ្សេងគ្នា f(x) ដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងដែននៃនិយមន័យរបស់វាស្ថិតក្នុងចំណោមឫសគល់នៃសមីការ f'(x) = 0 និងរូបមន្តបង្កើនកម្រិតដែលប្រើញឹកញាប់ (រូបមន្តឡាហ្គ្រេន) f (b) - f(a) = f'(ξ)(b - a) ដែល a<ξ0 រួមបញ្ចូលការកើនឡើងយ៉ាងតឹងរឹងនៅក្នុងមុខងារ ហើយលក្ខខណ្ឌ f '' (x)\u003e 0 - ភាពប៉ោងដ៏តឹងរឹងរបស់វា។ លើសពីនេះ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់គណនាប្រភេទផ្សេងៗនៃដែនកំណត់នៃមុខងារ ជាពិសេសដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃអនុគមន៍ពីរ ដែលជាភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ 0/0 ឬទម្រង់ ∞/∞ (សូមមើលការបង្ហាញនៃភាពមិនច្បាស់លាស់) . ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺងាយស្រួលជាពិសេសសម្រាប់ការសិក្សាអនុគមន៍បឋមដែលនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានសរសេរយ៉ាងច្បាស់លាស់។

ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។វិធីសាស្រ្តនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ សម្រាប់អនុគមន៍នៃអថេរពីរ u = f(x, y) ដេរីវេផ្នែករបស់វាទាក់ទងទៅនឹង x នៅចំណុច M(x, y) គឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះទាក់ទងនឹង x សម្រាប់ y ថេរ ដែលកំណត់ជា

និងតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញាមួយក្នុងចំណោមនិមិត្តសញ្ញា f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x ឬ ∂f(x,y)'/∂x ។ ដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍ u = f(x,y) ទាក់ទងនឹង y ត្រូវបានកំណត់ និងតាងតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។ តម្លៃ Δu \u003d f (x + Δx, y + Δy) - f (x, y) ត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើងសរុបនៃអនុគមន៍ និងនៅចំណុច M (x, y) ។ ប្រសិនបើតម្លៃនេះអាចត្រូវបានតំណាងជា

ដែល A និង B មិនអាស្រ័យលើΔх និង Δу ហើយ α ទំនោរទៅសូន្យនៅ

បន្ទាប់មកអនុគមន៍ u = f(x, y) ត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នាត្រង់ចំនុច M(x, y)។ ផលបូក AΔx + BΔy ត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍ u = f(x, y) នៅចំណុច M(x, y) ហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា du ។ ចាប់តាំងពី A \u003d f'x (x, y), B \u003d f'y (x, y) និងការកើនឡើង Δx និង Δy អាចត្រូវបានគេយកស្មើនឹងឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់ពួកគេ dx និង dy ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប du អាចត្រូវបានសរសេរជា

តាមធរណីមាត្រ ភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរ u = f(x, y) នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M (x, y) មានន័យថាក្រាហ្វរបស់វាមាននៅចំណុចនៃប្លង់តង់ហ្សង់ ហើយឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍នេះគឺជាការបន្ថែម។ នៃការអនុវត្តនៃចំណុចនៃយន្តហោះតង់សង់ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងការបង្កើន dx និង dy អថេរឯករាជ្យ។ សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរ គោលគំនិតនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺមានសារៈសំខាន់ និងធម្មជាតិជាងគោលគំនិតនៃដេរីវេដោយផ្នែក។ ផ្ទុយទៅនឹងអនុគមន៍នៃអថេរមួយ សម្រាប់អនុគមន៍នៃអថេរពីរ u = f(x, y) ដើម្បីអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M(x, y) វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេដែលដេរីវេផ្នែកកំណត់ f'x( x, y) និង f ' y (x, y) ។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អនុគមន៍ u = f(x, y) ដើម្បីអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុច M(x, y) គឺជាអត្ថិភាពនៃដេរីវេផ្នែកកំណត់ f'x(x, y) និង f'y(x, y) និងទំនោរទៅសូន្យនៅ

បរិមាណ

ភាគយកនៃបរិមាណនេះត្រូវបានទទួលដោយការបង្កើនអនុគមន៍ f(x, y) ជាដំបូងដែលត្រូវនឹងការបង្កើន Δx នៃអាគុយម៉ង់ដំបូងរបស់វា ហើយបន្ទាប់មកយកការបង្កើននៃភាពខុសគ្នាលទ្ធផល f(x + Δx, y) - f (x, y) ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងការកើនឡើង Δy នៃអាគុយម៉ង់ទីពីររបស់វា។ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សាមញ្ញសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ u = f(x, y) នៅចំណុច M(x, y) គឺជាអត្ថិភាពនៃដេរីវេផ្នែកបន្ត f'x(x, y) និង f'y(x, y) ។ ) នៅចំណុចនេះ។

ដេរីវេនៃផ្នែកនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាងត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា។ និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក ∂ 2 f/∂х 2 និង ∂ 2 f/∂у 2 ដែលភាពខុសគ្នាទាំងពីរត្រូវបានអនុវត្តក្នុងអថេរតែមួយ ត្រូវបានគេហៅថាសុទ្ធ ហើយនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែក ∂ 2 f/∂х∂у និង ∂ 2 f/∂ у∂х - លាយ។ នៅគ្រប់ចំណុចដែលដេរីវេភាគចម្រុះទាំងពីរបន្តគ្នា ពួកវាស្មើគ្នា។ និយមន័យ និងសញ្ញាណទាំងនេះបន្តទៅករណីនៃចំនួនអថេរកាន់តែច្រើន។

គ្រោងប្រវត្តិសាស្ត្រ. បញ្ហាដាច់ដោយឡែកពីគ្នានៃការកំណត់តង់សង់ទៅខ្សែកោង និងការស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអថេរត្រូវបានដោះស្រាយដោយគណិតវិទូនៃប្រទេសក្រិកបុរាណ។ ឧទាហរណ៍ វិធីត្រូវបានរកឃើញក្នុងការសាងសង់តង់សង់ទៅផ្នែកសាជី និងខ្សែកោងមួយចំនួនទៀត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រដែលបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូបុរាណគឺនៅឆ្ងាយពីគំនិតនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយអាចអនុវត្តបានតែក្នុងករណីពិសេសប៉ុណ្ណោះ។ នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 17 វាច្បាស់ណាស់ថាបញ្ហាជាច្រើនដែលបានរៀបរាប់រួមជាមួយនឹងបញ្ហាផ្សេងទៀត (ឧទាហរណ៍បញ្ហានៃការកំណត់ល្បឿនភ្លាមៗ) អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដូចគ្នាដោយប្រើដេរីវេនិងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ប្រហែលឆ្នាំ 1666 I. Newton បានបង្កើតវិធីសាស្រ្តនៃ fluxes (សូមមើល flux calculus) ។ ញូតុនបានពិចារណាជាពិសេសបញ្ហាពីរនៃមេកានិច៖ បញ្ហានៃការកំណត់ល្បឿននៃចលនាភ្លាមៗពីការពឹងផ្អែកលើផ្លូវដែលគេស្គាល់ទាន់ពេល និងបញ្ហានៃការកំណត់ផ្លូវធ្វើដំណើរក្នុងពេលវេលាដែលបានកំណត់ពីល្បឿនភ្លាមៗដែលគេស្គាល់។ ញូតុនបានហៅមុខងារបន្តនៃពេលវេលាស្ទាត់ជំនាញ ហើយអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូររបស់វា - ភាពប្រែប្រួល។ ដូច្នេះ គោលគំនិតសំខាន់ៗរបស់ញូតុនគឺ និស្សន្ទវត្ថុ (លំហូរ) និងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ (ស្ទាត់ជំនាញ)។ គាត់បានព្យាយាមបញ្ជាក់ពីវិធីសាស្រ្តនៃលំហូរចេញ ដោយមានជំនួយពីទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់ ដែលនៅពេលនោះមានការអភិវឌ្ឍន៍តិចតួច។

នៅពាក់កណ្តាលទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1670 G. W. Leibniz បានបង្កើតក្បួនដោះស្រាយងាយស្រួលសម្រាប់ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃ Leibniz គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលជាការបង្កើនគ្មានកំណត់នៃអនុគមន៍ និងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ជាផលបូកនៃចំនួនឌីផេរ៉ង់ស្យែលដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់។ គាត់បានណែនាំសញ្ញាណនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល ពាក្យ "ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល" បានទទួលច្បាប់មួយចំនួនសម្រាប់ភាពខុសគ្នា និងបានស្នើឱ្យមាននិមិត្តសញ្ញាងាយស្រួល។ ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្នុងសតវត្សទី 17 បានដំណើរការជាចម្បងនៅតាមបណ្តោយផ្លូវដែលបានគូសបញ្ជាក់ដោយ Leibniz ។ ស្នាដៃរបស់ J. និង I. Bernoulli, B. Taylor និងអ្នកដទៃបានដើរតួយ៉ាងសំខាន់នៅដំណាក់កាលនេះ។

ដំណាក់កាលបន្ទាប់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងស្នាដៃរបស់ L. Euler និង J. Lagrange (សតវត្សទី 18) ។ អយល័របានចាប់ផ្ដើមដំបូងបង្ហាញការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាវិន័យវិភាគដោយឯករាជ្យនៃធរណីមាត្រនិងមេកានិក។ គាត់បានប្រើនិស្សន្ទវត្ថុម្តងទៀតជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ Lagrange បានព្យាយាមបង្កើតការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលពិជគណិត ដោយប្រើការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីថាមពល។ គាត់បានណែនាំពាក្យ "ដេរីវេ" និងការរចនា y' និង f'(x) ។ នៅដើមសតវត្សទី 19 បញ្ហានៃការបញ្ជាក់ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់ត្រូវបានដោះស្រាយជាចម្បងដោយអរគុណចំពោះការងាររបស់ O. Cauchy, B. Bolzano និង C. Gauss ។ ការវិភាគស៊ីជម្រៅនៃគោលគំនិតដើមនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍនៃទ្រឹស្តីសំណុំ និងទ្រឹស្តីនៃមុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដនៅចុងសតវត្សទី 19 និងដើមសតវត្សទី 20 ។

លីត៖ ប្រវត្តិគណិតវិទ្យា៖ ក្នុងលេខ ៣ អិម, ១៩៧០-១៩៧២; Rybnikov K.A. ប្រវត្តិគណិតវិទ្យា។ ទី 2 ed ។ M. , 1974; Nikolsky S. M. វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ទី 6 ed ។ M., 2001: Zorich V. A. ការវិភាគគណិតវិទ្យា៖ នៅក្នុងផ្នែកទី 2 នៃ 4th ed ។ M. , 2002; Kudryavtsev L.D. វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា៖ នៅក្នុង 3 ភាគ, ទី 5 ed ។ M. , 2003-2006; Fikhtengol'ts G. M. វគ្គនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល៖ នៅក្នុង 3 ភាគ ទី 8 ed ។ M. , 2003-2006; Ilyin V. A., Poznyak E. G. មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ទី 7 ed ។ M. , 2004. ផ្នែកទី 1. ទី 5 ed ។ M. , 2004. ផ្នែកទី 2; Ilyin V.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl. X. ការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ទី 3 ed ។ M. , 2004. ផ្នែកទី 1. 2nd ed ។ M. , 2004. ផ្នែកទី 2; Ilyin V.A., Kurkina L.V. គណិតវិទ្យាជាន់ខ្ពស់។ ទី 2 ed ។ M. , 2005 ។

សិស្សត្រូវ៖

ដឹង៖

និយមន័យនៃដែនកំណត់នៃមុខងារនៅចំណុចមួយ;

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់នៃមុខងារនៅចំណុចមួយ;

រូបមន្តកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់;

ការកំណត់ភាពបន្តនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារបន្ត;

និយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ អត្ថន័យធរណីមាត្រ និងរូបវន្តរបស់វា; ដេរីវេនៃតារាង, ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា;

ច្បាប់សម្រាប់គណនាដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ; និយមន័យនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារមួយ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា; និយមន័យនៃដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ខ្ពស់; ការប្តេជ្ញាចិត្តនៃមុខងារខ្លាំង, មុខងារប៉ោង, ចំណុច inflection, asymptotes;

និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា អាំងតេក្រាលតារាង;

· រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយមធ្យោបាយនៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរ និងដោយផ្នែកសម្រាប់អាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា រូបមន្តមូលដ្ឋាននៃការគណនាអាំងតេក្រាល - រូបមន្តញូតុន-លីបនីស;

· រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយមធ្យោបាយនៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរ និងដោយផ្នែកសម្រាប់អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

· អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ការអនុវត្តនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

អាច:

គណនាដែនកំណត់នៃលំដាប់ និងមុខងារ; បង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់;

· គណនានិស្សន្ទវត្ថុនៃមុខងារស្មុគស្មាញ និស្សន្ទវត្ថុ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង។

ស្វែងរកចំណុចខ្លាំង និងចំណុចបញ្ឆេះនៃមុខងារ;

· ធ្វើការសិក្សាអំពីមុខងារដោយជំនួយនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់ពួកគេ។

គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ និងកំណត់ដោយវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ និងដោយផ្នែក;

· រួមបញ្ចូលអនុគមន៍សនិទានភាព មិនសមហេតុផល និងត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន អនុវត្តការជំនួសជាសកល។ អនុវត្តអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ដើម្បីស្វែងរកផ្នែកនៃតួលេខយន្តហោះ។

ដែនកំណត់មុខងារ។ មុខងារកំណត់លក្ខណៈសម្បត្តិ។ ដែនកំណត់ឯកតោភាគី។ ដែនកំណត់នៃផលបូក ផលិតផល និងកូតានៃអនុគមន៍ពីរ។ មុខងារបន្ត, លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។ ការបន្តនៃអនុគមន៍បឋម និងស្មុគស្មាញ។ ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់។

និយមន័យនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម។ ភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។ មុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា៖ ដេរីវេនៃផលបូក ផលិតផល និងកូតា។ ដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង។ ការបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់។ ការបង្កើននិងបន្ថយមុខងារ លក្ខខណ្ឌសម្រាប់បង្កើននិងបន្ថយ។ Extrema នៃមុខងារ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃ extremum មួយ។ ការស្វែងរក extrema ដោយប្រើដេរីវេទី 1 ។ មុខងារប៉ោង។ ចំណុចឆ្លង។ រោគសញ្ញា។ ការសិក្សាមុខងារពេញលេញ។

អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ តារាងនៃអាំងតេក្រាលមូលដ្ឋាន។ ការផ្លាស់ប្តូរវិធីសាស្ត្រអថេរ។ ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ ការរួមបញ្ចូលមុខងារសមហេតុផល។ ការរួមបញ្ចូលមុខងារមិនសមហេតុផលមួយចំនួន។ ការជំនួសជាសកល។

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ រូបមន្តមូលដ្ឋាននៃការគណនាអាំងតេក្រាល ការរួមបញ្ចូលដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ និងដោយផ្នែកក្នុងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ការអនុវត្តនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ជម្រើសនៃភារកិច្ចគ្រប់គ្រង

សម្រាប់សិស្សពេញម៉ោង

មហាវិទ្យាល័យគណិតវិទ្យា

ផ្នែកទី 5

សាំងពេត្រុសប៊ឺក

បោះពុម្ពផ្សាយយោងទៅតាមសេចក្តីសម្រេចរបស់នាយកដ្ឋានវិភាគគណិតវិទ្យា និង RIS នៃសាកលវិទ្យាល័យគរុកោសល្យរដ្ឋរុស្ស៊ី។ A.I. ហឺហ្សេន

សៀវភៅណែនាំវិធីសាស្រ្តគឺត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់និស្សិតពេញម៉ោងនៃវគ្គសិក្សា 1-3 នៃមហាវិទ្យាល័យគណិតវិទ្យានៃសាកលវិទ្យាល័យគរុកោសល្យរដ្ឋរុស្ស៊ី។ A.I. ហឺហ្សេន។

អនុលោមតាមកម្មវិធីនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា សៀវភៅណែនាំនេះមានជម្រើស 28 ផ្សេងគ្នាសម្រាប់ការធ្វើតេស្តបុគ្គលនៅផ្ទះលើប្រធានបទ "ការគណនាខុសគ្នានៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន" "អាំងតេក្រាលច្រើន និងកម្មវិធីរបស់ពួកគេ"។ មុនពេលជម្រើសសម្រាប់ការងារត្រួតពិនិត្យ ព័ត៌មានទ្រឹស្តីមួយចំនួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយឧទាហរណ៍ត្រូវបានវិភាគ ដំណោះស្រាយដែលត្រូវបានអមដោយការណែនាំអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ពួកគេ។

សម្ភារៈនៃសៀវភៅដៃអាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការបណ្តុះបណ្តាលជាក់ស្តែង ការងារត្រួតពិនិត្យ និងផ្ទៀងផ្ទាត់នៅមហាវិទ្យាល័យវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា។

សាស្ត្រាចារ្យជាន់ខ្ពស់ O.S. Korsakov,

បណ្ឌិត ជំនួយការ K.G. មេហ្សេវិច

អ្នកត្រួតពិនិត្យ៖ ប្រធាននាយកដ្ឋាន គណិតវិទ្យា។ ការវិភាគ RGPU ពួកគេ។ A.I. ហឺហ្សេន

Bokhan K.A., Egorova I.A., Laschenov K.V. វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ M.: Enlightenment, 1972, v.1,2 ។

Vilenkin N.Ya. ល។ សៀវភៅបញ្ហាសម្រាប់វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ - M.: Enlightenment, 1971. វគ្គ ១,២។

Kuznetsov A.A. ការប្រមូលកិច្ចការក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ: វិទ្យាល័យឆ្នាំ 1983 ។

Kudryavtsev L.D. វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ M.: វិទ្យាល័យឆ្នាំ 1988 T. 1.2 ។

Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D., Chekhlov V.I., Shabunin M.I. ការប្រមូលបញ្ហាក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ មុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ S.-Pb, 1994 ។

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. ចន្លោះម៉ែត្រ។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ សៀវភៅសិក្សា / LGPI អ៊ឹម។ A.I. Herzen.-L., 1985 ។

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. ការគណនាអាំងតេក្រាលនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន និងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ សៀវភៅសិក្សា / LGPI អ៊ឹម។ A.I. Herzen.-L., 1986 ។

Fikhtengolts G.M. មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ - M.: Nauka, 1968. Vol. 1, 2.

មុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

DOMAIN និងក្រាហ្វនៃមុខងារនៃអថេរច្រើន។

សូមឱ្យគ្រប់ចំណុច
លេខត្រូវគ្នា។
. បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថានៅលើឈុត ឃបានកំណត់ អនុគមន៍លេខនៃអថេរជាច្រើន។
.

មួយបាច់ ឃហៅ ដែននៃនិយមន័យមុខងារ, ចំណុច
-អាគុយម៉ង់មុខងារ។

យើងនឹងពិចារណាបន្ថែមទៀតអំពីមុខងារនៃអថេរពីរ
. ចំណាំថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលបាននិយាយខាងក្រោមអាចត្រូវបានពង្រីកទៅមុខងារ នអថេរ, កន្លែងណា ន>2 .

សំណុំនៃចំណុចទាំងអស់។
ដែលមុខងារ
ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយការវិភាគធ្វើឱ្យយល់បានត្រូវបានគេហៅថាធម្មជាតិ ដែននៃនិយមន័យមុខងារនេះ។

ឧទាហរណ៍ វិសាលភាពនៃមុខងារ
គឺជារង្វង់ចំហរនៃកាំ 2 ដែលផ្តោតលើប្រភពដើម ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយវិសមភាព
.

កាលវិភាគមុខងារ
, កន្លែងណា
ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំ។ វាកំណត់ផ្ទៃមួយចំនួននៅក្នុងលំហ
.

ឧទាហរណ៍ក្រាហ្វនៃមុខងារ
,
, គឺជា paraboloid មួយ។

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកដែននៃមុខងារ
.

មុខងារ កំណត់នៅចំណុចទាំងនោះនៃយន្តហោះ
, កន្លែងណា
.

វិសមភាពនេះគឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រព័ន្ធពីរ៖

និង
.

ប្រព័ន្ធទីមួយនៃវិសមភាពត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងអស់ដែលមានទីតាំងនៅប៉ារ៉ាបូឡា
ឬពីលើវា ហើយដេកក្នុងយន្តហោះពាក់កណ្តាល
. ឈុតនេះត្រូវបានដាក់ស្រមោលនៅក្នុងរូបភាពទី 1 ។ ប្រព័ន្ធទីពីរត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចដែលស្ថិតនៅក្នុងឈុតដែលមានស្រមោលនៅក្នុងរូបភាពទី 1 ។ 2. ដូច្នេះដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍នេះគឺជាការរួបរួមនៃសំណុំដែលបានរកឃើញ, i.e. សំណុំ, ដែលត្រូវបានដាក់ស្រមោលនៅក្នុងរូបភព។ ៣.

អង្ករ។ 1 រូបភព។ 2 រូបភព។ ៣

បន្ទាត់កម្រិតមុខងារ
ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំនៃចំណុច
, បំពេញសមីការ
.

កម្រិត (ឬ ផ្ទៃកម្រិត) មុខងារ នអថេរ, ប្រសិនបើ ន>2.

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកបន្ទាត់កម្រិតមុខងារ
.

ចំណាំថាមុខងារត្រូវបានកំណត់នៅលើយន្តហោះទាំងមូល
.

ដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់កម្រិតវាចាំបាច់សម្រាប់ណាមួយ។
ស្វែងរកសំណុំនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះ កូអរដោនេ x, y ដែលបំពេញសមីការ
. ដូច្នេះប្រសិនបើ
, នោះ។
, ហើយប្រសិនបើ
, នោះ។
.

វាច្បាស់ណាស់។ ជាមួយមិនអាចអវិជ្ជមានទេ (ក្នុងករណីនេះយើងនិយាយអញ្ចឹង ជាមួយ- កម្រិតមុខងារ គ<0 គឺជាសំណុំទទេ) ។

ស្វែងរកបន្ទាត់កម្រិតនៅ c=0:

ដូចគ្នានេះដែរ បន្ទាត់កម្រិតត្រូវបានរកឃើញសម្រាប់ផ្សេងៗ c>0.

នៅលើរូបភព។ 4 បង្ហាញបន្ទាត់កម្រិតសម្រាប់ c=0, c=1និង c=2.

ដែនកំណត់មុខងារ

កំណត់ (បើករង្វង់នៃកាំ
ផ្តោតលើចំណុចមួយ។
) ត្រូវបានគេហៅថា -សង្កាត់ពិន្ទុ
. តាមរយៈ
យើងនឹងបញ្ជាក់ពីសង្កាត់ដែលត្រូវបានវាយដំនៃចំណុចមួយ។
.

ចំណុច
ហៅ ចំណុចកំណត់សំណុំ
ប្រសិនបើចំនុចប្រសព្វនៃណាមួយ។ - អ្នកជិតខាងនៃចំណុចមួយ។
និងជាច្រើន។ ឃមានយ៉ាងហោចណាស់មួយចំណុចក្រៅពី
, i.e. សម្រាប់

.

ចំណាំថាចំណុចកំណត់អាចមិនមែនជារបស់សំណុំទេ។ ឃ.

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
កំណត់នៅលើសំណុំ ឃនិងចំណុច
- ចំណុចកំណត់ ឃ.

ចំនួន កហៅ ដែនកំណត់មុខងារ
នៅចំណុច
ប្រសិនបើសម្រាប់សង្កាត់ណាមួយ។
ពិន្ទុ ក (
) មាន - អ្នកជិតខាង
ពិន្ទុ
ដូច្នេះសម្រាប់ចំណុចណាមួយ។

តម្លៃមុខងារ
ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់
.

ដូច្នេះ

:

)

:

).

ឧទាហរណ៍ ៣ចូរយើងបញ្ជាក់
.

ចំណាំថាមុខងារនេះត្រូវបានកំណត់នៅលើយន្តហោះទាំងមូល លើកលែងតែចំណុច (0,0 ) .

ដោយសារតែ
បន្ទាប់មកសម្រាប់ណាមួយ។
មាន
(ពោលគឺ
) ដូច្នេះសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់។
បំពេញលក្ខខណ្ឌ
, វិសមភាព
.

មុខងារ
ហៅ បន្តនៅចំណុចមួយ។
, ប្រសិនបើ
.

មុខងារត្រូវបានគេហៅថា បន្តនៅលើឈុតឃប្រសិនបើវាបន្តនៅគ្រប់ចំណុចនៃសំណុំ ឃ.

ឧទាហរណ៍ 4 1) មុខងារ
គឺបន្តនៅ (0,0) ដោយសារតែ
(សូមមើលឧទាហរណ៍ 3) ។

2) មុខងារ
នៅចំណុច (0,0) ទទួលរងការមិនបន្ត, ដោយសារតែ

ដេរីវេឯកជន។ មុខងារ ឌីផេរ៉ង់ស្យែល

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
បានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច
. ប្រសិនបើមានដែនកំណត់
និង
បន្ទាប់មកពួកគេត្រូវបានគេហៅថា និស្សន្ទវត្ថុឯកជនមុខងារ
នៅចំណុច
ដោយអថេរ x និង yរៀងៗខ្លួន និងត្រូវបានតំណាង
និង
(ឬ៖
និង
).

ដើម្បីគណនាដេរីវេដោយផ្នែក (ឬ ) ប្រើរូបមន្ត និងច្បាប់ដែលគេស្គាល់សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារនៃអថេរមួយ ដោយពិចារណាលើអថេរមួយទៀត y (ឬ x) តម្លៃថេរ។

ឧទាហរណ៍ 5ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍
.

ប្រសិនបើអ្នករាប់ y= const, នោះ។ - មុខងារថាមពលរបស់ x, នោះហើយជាមូលហេតុដែល
.

ប្រសិនបើ x= const, នោះ។ - អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលពី y, ហេតុដូចនេះហើយ
.

មុខងារ
ហៅ ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយ។
ប្រសិនបើមានលេខ កនិង INដូច្នេះការកើនឡើង

មុខងារ fនៅចំណុច
តំណាងក្នុងទម្រង់

កន្លែងណា
នៅ
.

ផ្នែកសំខាន់នៃការកើនឡើងសរុប
, លីនេអ៊ែរដោយគោរពទៅ
និង
, i.e.
, ត្រូវបានគេហៅថា ឌីផេរ៉ង់ស្យែលពេញលេញមុខងារ
នៅចំណុច
និងតំណាង
.

ដូច្នេះ

.

តាមនិយមន័យ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអថេរឯករាជ្យគឺជាការបង្កើនរបស់វា i.e.
,
.

មុខងារត្រូវបានគេហៅថា ខុសគ្នានៅលើសំណុំឃប្រសិនបើវាខុសគ្នានៅគ្រប់ចំណុចនៃសំណុំ ឃ.

ទ្រឹស្តីបទ ១. ប្រសិនបើមុខងារ
ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយ។
និង

គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វានៅចំណុចនេះ បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះមានដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ f, ហើយក្រៅពីនេះ

=ក,
=IN.

ទ្រឹស្តីបទ 1 ធ្វើឱ្យវាអាចគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ fយោងតាមរូបមន្ត

+
.

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ 1 ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុចមួយ នោះមានដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនោះ។ ការបញ្ច្រាសគឺមិនពិតទេ។ ដើម្បីឱ្យមុខងារមួយមានភាពខុសប្លែកគ្នា លក្ខខណ្ឌខ្លាំងជាងគឺត្រូវបានទាមទារជាជាងវត្តមានរបស់ដេរីវេដោយផ្នែកនៅចំណុចមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក
និង
មុខងារ fមាននៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច
និងបន្តនៅក្នុង
បន្ទាប់មកមុខងារ f ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយ។
.

ឧទាហរណ៍ ៦គណនាដេរីវេដោយផ្នែក និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍
នៅចំណុច (1, 1/5) ។

,

,

,
;

ដេរីវេដោយផ្នែកនៃមុខងារស្មុគស្មាញ

ទ្រឹស្តីបទ ៣. អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
និង
ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច
និងមុខងារ
បានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច។

ប្រសិនបើមុខងារ f ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយ។
និងនៅចំណុច
មាននិស្សន្ទវត្ថុ
បន្ទាប់មកនៅចំណុច
មានដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ
, និង

,
.

ឧទាហរណ៍ ៧ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។
, កន្លែងណា , ។

ឧទាហរណ៍ ៨ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ
, កន្លែងណា
,
. ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មុខងារ x និង y អាស្រ័យលើអថេរមួយ។ t, ដូច្នេះមុខងារស្មុគស្មាញ
គឺជាមុខងារនៃអថេរមួយ។

ឧទាហរណ៍ ៩អនុញ្ញាតឱ្យ f(យូ) គឺជាមុខងារដែលអាចបែងចែកតាមអំពើចិត្ត។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថាមុខងារ
បំពេញសមីការ
. តោះដាក់
.

អាស្រ័យហេតុនេះ

ដេរីវេដោយផ្នែក និងភាពខុសគ្នា

នៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
នៅជិតចំណុច
មានដេរីវេដោយផ្នែក .

ដេរីវេដោយផ្នែកនៃមុខងារមួយ។ ដោយអថេរ x ហៅ ដេរីវេដោយផ្នែក លំដាប់ទីពីរដោយអថេរ xនិងតំណាង ឬ
.

ដេរីវេដោយផ្នែក ដោយអថេរ yហៅ ដេរីវេដោយផ្នែក លំដាប់ទីពីរដោយអថេរ xនិង yនិងតំណាង ឬ
.

និស្សន្ទវត្ថុផ្នែកលំដាប់ទីពីរត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា និង (
និង
) ជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ .

និស្សន្ទវត្ថុ និង ហៅ ដេរីវេនៃផ្នែកចម្រុះ។

ទ្រឹស្តីបទ ៤. អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
កំណត់រួមជាមួយនឹងដេរីវេនៃផ្នែករបស់វា។ ,,
,
នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច

និង
បន្តនៅចំណុចនេះ។ បន្ទាប់មកតម្លៃនៃនិស្សន្ទវត្ថុចម្រុះនៅចំណុចនេះគឺស្មើគ្នា, i.e.

=

.

និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកនៃនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីពីរត្រូវបានគេហៅថា និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកលំដាប់ទីបី៖
ល។

ដេរីវេដោយផ្នែក (ទាក់ទងទៅនឹងអថេរឯករាជ្យណាមួយ) នៃដេរីវេផ្នែកនៃលំដាប់ ម-1 ត្រូវបានគេហៅថា ដេរីវេដោយផ្នែកនៃលំដាប់ ម.

ទ្រឹស្តីបទ 4 ក៏មានសុពលភាពសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុចម្រុះនៃលំដាប់ទីបី ទីបួន និងខ្ពស់ជាងនេះ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើមុខងារ
ត្រូវបានកំណត់រួមជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុមួយផ្នែករបស់វារហូតដល់បញ្ជាទិញ 3 ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច
និងនិស្សន្ទវត្ថុចម្រុះ
,
និង
គឺបន្តនៅចំណុចនេះ បន្ទាប់មកតម្លៃនៃនិស្សន្ទវត្ថុចម្រុះនៅចំណុចនេះគឺ៖

=

=

.

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរមុខងារនៃអថេរពីរត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទីមួយ។

ប្រសិនបើមុខងារ
មានភាពខុសប្លែកគ្នាជាបន្តបន្ទាប់ពីរដងនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច
(ឧ. មានដេរីវេផ្នែកបន្តនៃអនុគមន៍ f រហូតដល់លំដាប់ទីពីរ រួមបញ្ចូលនៅក្នុងតំបន់ជុំវិញនៃចំណុច
) បន្ទាប់មក

ឧទាហរណ៍ 10ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីពីរនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដែលអាចបំបែកបានជាបន្តបន្ទាប់ពីរដង
, កន្លែងណា
,
.

,
.

=
,

ដូចគ្នានេះដែរយើងគណនា

ដេរីវេតាមទិសដៅ។ ជម្រាល

អនុញ្ញាតឱ្យ លីត្រ - ឯកតាវ៉ិចទ័រនៅក្នុង
ជាមួយនឹងកូអរដោនេ
.

មុខងារដេរីវេ
ឆ្ពោះទៅរក វ៉ិចទ័រ លីត្រ នៅចំណុច
ហៅ

ដេរីវេទិសដៅត្រូវបានបញ្ជាក់

.

ជម្រាលមុខងារ f នៅចំណុច
គឺជាវ៉ិចទ័រដែលកូអរដោនេគឺជាដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ៖

ថ្នាក់ទី f
= (
,
) =
ខ្ញុំ +
j.

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាដេរីវេទិសដៅ លីត្រគឺស្មើនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រជម្រាល និងវ៉ិចទ័រ លីត្រ:

=

+

=
,

ដែល  ជាមុំរវាងវ៉ិចទ័រ ថ្នាក់ទី f
និង លីត្រ.

វាធ្វើតាមរូបមន្តចុងក្រោយដែលដេរីវេដោយគោរពតាមទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ ថ្នាក់ទី f
មានតម្លៃធំបំផុតក្នុងចំណោមដេរីវេទីវ័រក្នុងទិសផ្សេងៗ ហើយស្មើនឹងម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រជម្រាល។

ឧទាហរណ៍ 11 ។ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍
នៅចំណុច ម(1, 0) ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ MN, កន្លែងណា ន (5, 3) .

វ៉ិចទ័រ MN មានកូអរដោនេ (4, 3),
. ដូច្នេះវ៉ិចទ័រឯកតា លីត្រមានកូអរដោនេ (4/5, 3/5) ។ គណនានិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកនៅចំណុចមួយ។ ម:
,
. បន្ទាប់មក
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

ឧទាហរណ៍ 12 ។ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍
នៅចំណុច (2,3) ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រជម្រាលនៅចំណុចនោះ។

ចូរយើងគណនានិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក៖

,
.

ដេរីវេក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រជម្រាលនៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ ថ្នាក់ទី f. អាស្រ័យហេតុនេះ

ប្លង់ TANGENT និងធម្មតាទៅផ្ទៃ

សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៅចំណុចមួយ។
មុខងារ
ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមគឺត្រឹមត្រូវ៖

កន្លែងណា
,
(នេះធ្វើតាមនិយមន័យនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ)។ ហាងឆេង កនិង INកំណត់យ៉ាងច្បាស់៖
=ក,
=IN.

សមីការ

គឺជាសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច
. យន្តហោះនេះត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃមុខងារ
នៅចំណុច
.

ដូច្នេះ ប្លង់តង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍
នៅចំណុចមួយគឺដូចជាយន្តហោះដែលភាពខុសគ្នារវាងកម្មវិធីរបស់វា និងតម្លៃនៃមុខងារ
នៅចំណុចនេះមានបរិមាណដែលមិនអាចកំណត់បានបើប្រៀបធៀបទៅនឹង  នៅ   0 .

សមីការនៃធម្មតាទៅនឹងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ។
នៅចំណុច
មានទម្រង់

ប្រសិនបើសមីការនៃផ្ទៃរលោងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រយោល។
បន្ទាប់មកសមីការនៃយន្តហោះតង់សង់នៅចំណុច
មានទម្រង់

ហើយសមីការនៃធម្មតានៅចំណុចនេះគឺ៖

ឧទាហរណ៍ 13ចូរសរសេរសមីការនៃយន្តហោះតង់សង់ និងធម្មតាទៅផ្ទៃ
នៅចំណុច (-2, 1, 4) ។

,
. សមីការយន្តហោះតង់សង់មានទម្រង់៖ ឬ
.

សមីការធម្មតា៖ .

មុខងារ EXTREMA នៃអថេរជាច្រើន។

ចំណុច
ហៅថាចំណុចមួយ។ អតិបរមាក្នុងស្រុក (អប្បបរមាក្នុងស្រុក) មុខងារ
,
ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំណុច
សម្រាប់ចំណុចទាំងអស់នៃវិសមភាព

(
).

ចំណុចនៃអតិបរមាក្នុងតំបន់ និងអប្បរមាមូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានហៅ ចំណុចខ្លាំងក្នុងតំបន់.

ឧទាហរណ៍ចំណុច (0,0) គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍
.

ទ្រឹស្តីបទ ៥ (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការជ្រុល) ប្រសិនបើមុខងារ
មាននៅចំណុច
ភាពជ្រុលនិយមក្នុងស្រុក ហើយនៅចំណុចនេះមានដេរីវេទីវេយ្យេតដោយផ្នែក f, នោះ។

=0 និង
=0.

ចំណុច
ហៅ ចំណុចស្ថានីមុខងារ f, ប្រសិនបើ
=0 និង
=0.

ទ្រឹស្តីបទ ៦ (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពធ្ងន់ធ្ងរ) អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
មានភាពខុសប្លែកគ្នាពីរដងជាបន្តបន្ទាប់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចស្ថានី
.

កំណត់សម្គាល់  =

- (

) ២. បន្ទាប់មក

1) ប្រសិនបើ  > 0 បន្ទាប់មកនៅចំណុច
មុខងារ f មានភាពជ្រុលនិយមក្នុងតំបន់៖ អតិបរមានៅ

> 0 និងអប្បបរមានៅ

< 0;

2) ប្រសិនបើ  < 0 បន្ទាប់មកនៅចំណុច
មុខងារ fមិនមានជ្រុល;

3) ប្រសិនបើ  = 0 បន្ទាប់មកនៅចំណុច
មុខងារ f អាចមាន ឬមិនមានជ្រុលនិយមក្នុងមូលដ្ឋាន (ក្នុងករណីនេះ ការសិក្សាបន្ថែមត្រូវបានទាមទារ)។

ឧទាហរណ៍ 14យើងស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម

ចំណាំថាមុខងារ យូ ត្រូវបានកំណត់ និងខុសគ្នានៅលើយន្តហោះទាំងមូល។
,
. ដោយស្មើនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកទៅសូន្យ និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផល យើងរកឃើញចំណុចស្ថានីនៃអនុគមន៍៖ (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) ។

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
ដូច្នេះនៅចំណុច (1, 2) មុខងារមានអប្បបរមា យូ(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108> 0 ដូច្នេះហើយ នៅចំណុច (-1, -2) អនុគមន៍មានអតិបរមា យូ(-1, -2) = 31.

តម្លៃមុខងារដ៏អស្ចារ្យបំផុត និងអប្បបរមា

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
គឺបន្តនៅលើសំណុំបិទជិត ឃ.

រំលឹកថាឈុតនោះ។
ហៅ មានកំណត់ប្រសិនបើមានសង្កាត់បែបនេះ យូ (0,0) ដែល
យូ (0.0); មួយបាច់
ហៅ បិទប្រសិនបើវាមានចំណុចកំណត់របស់វាទាំងអស់។

តាមទ្រឹស្តីបទ Weierstrass មានចំណុចបែបនេះ
និង
, អ្វី
គឺជាតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារនៅលើសំណុំ ឃ, ក
- តម្លៃតូចបំផុតរបស់វានៅលើសំណុំ ឃ.

អនុគមន៍ដែលអាចខុសប្លែកគ្នាក្នុងតំបន់ជាប់ព្រំដែន និងបន្តនៅលើព្រំដែនរបស់វាឈានដល់តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមាទាំងនៅចំណុចស្ថានី ឬនៅចំណុចព្រំដែន។ ឃ.

ឧទាហរណ៍ 15ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៅលើសំណុំ ឃកំណត់ដោយបន្ទាត់ត្រង់
,
,
.

y(២, ១), (១, ២), (-២, -១), (-១, -២) - ស្ថានី

ចំណុចមុខងារ យូ (សូមមើលឧទាហរណ៍ ១៤) ប៉ុន្តែ (-២,-១)

(-១,-២) មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិ ឃ.

យូ (2, 1) = -23, យូ (1, 2) = -25.

ឃ ចូរយើងសិក្សាពីឥរិយាបថនៃមុខងារ យូនៅលើ

xកំណត់ព្រំដែន ឃ.

អង្ករ។ ៥
. នេះគឺជាមុខងារនៃអថេរមួយ

ដែលយកតម្លៃតូចបំផុតនៅចំណុច
និងតម្លៃធំបំផុតនៅចំណុច
:យូ (4,0) = -45, យូ (0,0)= 3;

2)
,
. នៅលើផ្នែកនេះ។
. ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ យើងគណនាតម្លៃរបស់វានៅចំនុចស្ថានី និងនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក៖
;
, ប៉ុន្តែ
ដូច្នេះយើងគណនា យូ (0,0) = 3, យូ (0,
)= =
, យូ (0,4) = 7. តម្លៃធំបំផុតគឺនៅចំណុច (0.4) ហើយតម្លៃតូចបំផុតគឺនៅចំណុច (0,
);

3)
,
. នៅទីនេះ

យើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចស្ថានី និងនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក៖ ;; យូ (0,4)= 7, យូ (3/2, 5/2) = -20, យូ (5/2,3/2)= -18, យូ (4.0)=-45 ។ នៅលើផ្នែកនៃព្រំដែននេះតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុច (0.4) គឺធំបំផុតនិងតូចបំផុត - នៅចំណុច (4.0) ។

ពីតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍ដែលទទួលបានក្នុងចំណុច 1)-3) នៅលើផ្នែកផ្សេងគ្នានៃព្រំដែន និងពីតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចស្ថានី យើងជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុត។ តម្លៃខ្ពស់បំផុត៖ យូ (0.4)=7 តម្លៃតូចបំផុត៖ យូ (4,0)= -45.

ការគណនាថ្មីជាប្រព័ន្ធមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងរង្វាស់ពេញលេញដោយញូតុន ដែលទោះជាយ៉ាងណា មិនបានផ្សព្វផ្សាយការរកឃើញរបស់គាត់អស់រយៈពេលជាយូរ។

ថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើតផ្លូវការនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាខែឧសភានៅពេលដែល Leibniz បានបោះពុម្ពអត្ថបទដំបូង វិធីសាស្រ្តថ្មីនៃការឡើងខ្ពស់ និងទាប.... អត្ថបទនេះក្នុងទម្រង់សង្ខេប និងមិនអាចចូលដំណើរការបាន គូសបញ្ជាក់អំពីគោលការណ៍នៃវិធីសាស្ត្រថ្មីមួយហៅថា ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

Leibniz និងសិស្សរបស់គាត់។

និយមន័យទាំងនេះត្រូវបានពន្យល់តាមធរណីមាត្រ ដោយរូបភាព។ ការកើនឡើងគ្មានកំណត់ត្រូវបានបង្ហាញថាជាចំនួនកំណត់។ ការពិចារណាគឺផ្អែកលើតម្រូវការពីរ (axioms) ។ ទីមួយ៖

វាត្រូវបានទាមទារថាបរិមាណពីរដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែដោយចំនួនមិនកំណត់អាចត្រូវបានគេយក [នៅពេលធ្វើឱ្យកន្សោមសាមញ្ញ?] ដោយព្រងើយកណ្តើយមួយជំនួសឱ្យមួយផ្សេងទៀត។

ដូច្នេះវាប្រែចេញ x + ឃx = x , បន្ថែមទៀត

ឃxy = (x + ឃx)(y + ឃy) − xy = xឃy + yឃx + ឃxឃy = (x + ឃx)ឃy + yឃx = xឃy + yឃx

ការបន្តនៃបន្ទាត់នីមួយៗត្រូវបានគេហៅថាតង់សង់ទៅខ្សែកោង។ ការរុករកតង់សង់តាមរយៈចំណុចមួយ។ ម = (x,y) , L'Hopital យកចិត្តទុកដាក់យ៉ាងខ្លាំងចំពោះបរិមាណ

ឈានដល់តម្លៃខ្លាំងនៅចំណុច inflection នៃខ្សែកោងខណៈពេលដែលសមាមាត្រ ឃyទៅ ឃxគ្មានសារៈសំខាន់ពិសេសត្រូវបានភ្ជាប់។

ការស្វែងរកចំណុចខ្លាំងគឺគួរអោយកត់សំគាល់។ ប្រសិនបើជាមួយនឹងការកើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់នៅក្នុងអង្កត់ផ្ចិត xចាត់តាំង yដំបូងកើនឡើងហើយបន្ទាប់មកថយចុះបន្ទាប់មកឌីផេរ៉ង់ស្យែល ឃyវិជ្ជមានដំបូងធៀបនឹង ឃxហើយបន្ទាប់មកអវិជ្ជមាន។

ប៉ុន្តែបរិមាណដែលកើនឡើង ឬថយចុះជាបន្តបន្ទាប់មិនអាចប្រែពីវិជ្ជមានទៅអវិជ្ជមានដោយមិនឆ្លងកាត់ភាពគ្មានកំណត់ ឬសូន្យ... វាកើតឡើងថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃរ៉ិចទ័រធំបំផុត និងតូចបំផុតត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ ឬគ្មានដែនកំណត់។

រូបមន្តនេះប្រហែលជាមិនល្អឥតខ្ចោះទេ ប្រសិនបើយើងរំលឹកពីតម្រូវការដំបូង៖ អនុញ្ញាតឱ្យនិយាយថា y = x 2 បន្ទាប់មកដោយគុណធម៌នៃតម្រូវការដំបូង

2xឃx + ឃx 2 = 2xឃx ;

នៅសូន្យ ផ្នែកខាងស្តាំគឺសូន្យ ប៉ុន្តែផ្នែកខាងឆ្វេងមិនមែនទេ។ ទំនងជាគួរនិយាយបែបនេះ។ ឃyអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរស្របតាមតម្រូវការដំបូងដូច្នេះនៅចំណុចអតិបរមា ឃy= 0 ។ . នៅក្នុងឧទាហរណ៍ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺបង្ហាញឱ្យឃើញដោយខ្លួនឯង ហើយមានតែនៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃចំណុចបញ្ឆេះប៉ុណ្ណោះដែល Lopital សរសេរថា ឃyស្មើនឹងសូន្យនៅចំណុចអតិបរមានៅពេលចែកដោយ ឃx .

លើសពីនេះទៀត ដោយមានជំនួយពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលតែម្នាក់ឯង លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយបញ្ហាស្មុគស្មាញមួយចំនួនធំត្រូវបានពិចារណា ដែលភាគច្រើនទាក់ទងនឹងធរណីមាត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅលើយន្តហោះ។ នៅចុងបញ្ចប់នៃសៀវភៅនៅក្នុង ch ។ 10 អ្វីដែលឥឡូវនេះត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់របស់ L'Hopital ត្រូវបានចែងទោះបីជាមិនមានទម្រង់ធម្មតារបស់វាក៏ដោយ។ សូមឱ្យតម្លៃនៃការតែងតាំង yខ្សែកោងត្រូវបានបង្ហាញជាប្រភាគ ភាគយក និងភាគបែងដែលបាត់នៅ x = ក. បន្ទាប់មកចំណុចនៃខ្សែកោងជាមួយ x = កមានការចាត់តាំង yស្មើនឹងសមាមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលភាគយកទៅនឹងឌីផេរ៉ង់ស្យែលភាគបែង យកនៅ x = ក .

យោងតាមគំនិតរបស់ L'Hopital អ្វីដែលគាត់បានសរសេរគឺជាផ្នែកទីមួយនៃការវិភាគ ខណៈពេលដែលផ្នែកទីពីរត្រូវបានគេសន្មត់ថាមានការគណនាអាំងតេក្រាល នោះគឺជាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការស្វែងរកការតភ្ជាប់នៃអថេរដោយការតភ្ជាប់ដែលគេស្គាល់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់ពួកគេ។ ការបង្ហាញដំបូងរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ Johann Bernoulli នៅក្នុងរបស់គាត់។ ការបង្រៀនគណិតវិទ្យាលើវិធីសាស្ត្រអាំងតេក្រាល។. នៅទីនេះ វិធីសាស្រ្តមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការទទួលយកអាំងតេក្រាលបឋមភាគច្រើន ហើយវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយជាច្រើនត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ។

អយល័រ

ការផ្លាស់ប្តូរដែលបានកើតឡើងក្នុងពាក់កណ្តាលសតវត្សបន្ទាប់ត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងនៅក្នុងសន្ធិសញ្ញាទូលំទូលាយរបស់អយល័រ។ ការបង្ហាញនៃការវិភាគបើក "សេចក្តីផ្តើម" ពីរភាគដែលមានការស្រាវជ្រាវលើតំណាងផ្សេងៗនៃមុខងារបឋម។ ពាក្យ "មុខងារ" ដំបូងលេចឡើងតែនៅក្នុង Leibniz ប៉ុន្តែវាគឺជាអយល័រដែលបានដាក់វាឆ្ពោះទៅមុខតួនាទីដំបូង។ ការបកស្រាយដើមនៃគោលគំនិតនៃអនុគមន៍មួយគឺថា មុខងារគឺជាកន្សោមសម្រាប់រាប់ (អាល្លឺម៉ង់។ Rechnungsausdrϋck) ឬ ការបញ្ចេញមតិវិភាគ.

មុខងារនៃបរិមាណអថេរ គឺជាកន្សោមវិភាគដែលបង្កើតឡើងក្នុងវិធីមួយចំនួននៃបរិមាណ និងលេខអថេរនេះ ឬបរិមាណថេរ។

ដោយសង្កត់ធ្ងន់ថា "ភាពខុសគ្នាចំបងរវាងមុខងារស្ថិតនៅក្នុងវិធីដែលពួកវាត្រូវបានផ្សំឡើងដោយអថេរ និងថេរ" អយល័របានរាប់បញ្ចូលសកម្មភាព "ដោយបរិមាណដែលអាចត្រូវបានផ្សំ និងលាយបញ្ចូលគ្នាទៅវិញទៅមក។ សកម្មភាពទាំងនេះគឺ៖ បូក និងដក គុណ និងចែក និទស្សន្ត និងដកឫស។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការ [ពិជគណិត] គួរតែត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅទីនេះផងដែរ។ បន្ថែមពីលើប្រតិបត្តិការទាំងនេះ ហៅថា ពិជគណិត មានច្រើនផ្សេងទៀត វិសាលភាព ដូចជាអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត និងរាប់មិនអស់ផ្សេងទៀត ផ្តល់ដោយការគណនាអាំងតេក្រាល។ ការបកស្រាយបែបនេះបានធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួលជាមួយអនុគមន៍ពហុគុណ និងមិនតម្រូវឱ្យមានការពន្យល់អំពីវាលណាមួយដែលមុខងារត្រូវបានពិចារណាលើ៖ កន្សោមសម្រាប់ការរាប់ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃស្មុគស្មាញនៃអថេរ ទោះបីជាវាមិនមែនជា ចាំបាច់សម្រាប់បញ្ហាដែលកំពុងពិចារណា។

ប្រតិបត្តិការនៅក្នុងកន្សោមត្រូវបានអនុញ្ញាតតែក្នុងចំនួនកំណត់ប៉ុណ្ណោះ ហើយវិចារណញាណបានជ្រាបចូលដោយជំនួយពីចំនួនដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់។ នៅក្នុងកន្សោម លេខនេះត្រូវបានប្រើរួមជាមួយលេខធម្មជាតិ។ ជាឧទាហរណ៍ កន្សោមបែបនេះសម្រាប់និទស្សន្តត្រូវបានចាត់ទុកថាមានសុពលភាព

ដែលក្នុងនោះមានតែអ្នកនិពន្ធនៅពេលក្រោយប៉ុណ្ណោះដែលឃើញការផ្លាស់ប្តូរទៅដែនកំណត់។ ការបំប្លែងផ្សេងៗត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការបញ្ចេញមតិវិភាគ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអយល័រស្វែងរកតំណាងសម្រាប់មុខងារបឋមក្នុងទម្រង់ជាស៊េរី ផលិតផលគ្មានកំណត់។ ការគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយសម្រាប់នីមួយៗពីរូបមន្តដែលបានសរសេរ។

ផ្ទុយទៅនឹង L'Hopital អយល័រពិចារណាមុខងារឆ្លងដែនយ៉ាងលម្អិត និងជាពិសេសថ្នាក់សិក្សាពីររបស់ពួកគេ - អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងត្រីកោណមាត្រ។ គាត់បានរកឃើញថាអនុគមន៍បឋមទាំងអស់អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ និងប្រតិបត្តិការពីរ - យកលោការីត និងនិទស្សន្ត។

វគ្គនៃភស្តុតាងបង្ហាញយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះនូវបច្ចេកទេសនៃការប្រើប្រាស់ដ៏ធំគ្មានកំណត់។ ដោយបានកំណត់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ អយល័រ ដកឃ្លាខាងក្រោមចេញពីរូបមន្តបន្ថែម៖

សន្មត់និង z = នx , គាត់ទទួល

ការបោះបង់តម្លៃគ្មានកំណត់នៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង។ ដោយប្រើពាក្យនេះ និងការបញ្ចេញមតិស្រដៀងគ្នា អយល័រក៏ទទួលបានរូបមន្តដ៏ល្បីល្បាញរបស់គាត់ផងដែរ។

ដោយបានចង្អុលបង្ហាញកន្សោមផ្សេងៗសម្រាប់មុខងារដែលឥឡូវនេះហៅថាបឋម អយល័របន្តពិចារណាខ្សែកោងនៅក្នុងយន្តហោះ ដែលគូរដោយចលនាដៃដោយសេរី។ តាមគំនិតរបស់គាត់ វាមិនអាចស្វែងរកកន្សោមវិភាគតែមួយសម្រាប់គ្រប់ខ្សែកោងបែបនេះទេ (សូមមើលផងដែរ String Controversy)។ នៅសតវត្សទី 19 តាមការណែនាំរបស់ Casorati សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានចាត់ទុកថាខុសឆ្គង៖ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Weierstrass ខ្សែកោងបន្តណាមួយក្នុងន័យទំនើបអាចត្រូវបានពិពណ៌នាប្រហែលដោយពហុនាម។ តាមពិត អយល័រមិនសូវមានការជឿជាក់ពីរឿងនេះទេ ព្រោះការឆ្លងកាត់ដល់កម្រិតក៏ត្រូវសរសេរឡើងវិញដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា។

ការបង្ហាញរបស់អយល័រនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងទ្រឹស្ដីនៃភាពខុសគ្នាកម្រិតកំណត់ បន្ទាប់មកនៅក្នុងជំពូកទីបីដោយការពន្យល់បែបទស្សនវិជ្ជាថា "បរិមាណគ្មានកំណត់គឺពិតជាសូន្យ" ដែលភាគច្រើនមិនសមស្របនឹងសហសម័យរបស់អយល័រ។ បន្ទាប់មក ឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបង្កើតឡើងពីភាពខុសគ្នាកំណត់ជាមួយនឹងការបង្កើនគ្មានកំណត់ ហើយពីរូបមន្តអន្តរប៉ូលរបស់ញូតុន រូបមន្តរបស់ Taylor ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រឡប់ទៅការងាររបស់ Taylor (1715) វិញ។ ក្នុងករណីនេះ អយល័រមានសមាមាត្រស្ថិរភាព ដែលទោះជាយ៉ាងណាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសមាមាត្រនៃចំនួនគ្មានកំណត់ពីរ។ ជំពូកចុងក្រោយត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលដោយប្រើស៊េរី។

នៅក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលបីភាគ អយល័របកស្រាយ និងណែនាំគោលគំនិតនៃអាំងតេក្រាលមួយដូចខាងក្រោម៖

អនុគមន៍ដែលឌីផេរ៉ង់ស្យែល = Xឃxត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលរបស់វា ហើយត្រូវបានតំណាងដោយសញ្ញា សបានដាក់នៅខាងមុខ។

សរុបមក ផ្នែកនៃសន្ធិសញ្ញារបស់ អយល័រ នេះត្រូវបានឧទ្ទិសដល់បញ្ហាទូទៅបន្ថែមទៀតនៃការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមទស្សនៈទំនើប។ ក្នុងការធ្វើដូច្នេះ អយល័ររកឃើញសមីការអាំងតេក្រាល និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាច្រើនដែលនាំទៅរកមុខងារថ្មី ឧ. អនុគមន៍ Γ មុខងាររាងអេលីប។ Liouville (cf. មុខងារបឋម) ។

Lagrange

ការងារសំខាន់បន្ទាប់ដែលដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍គំនិតនៃការវិភាគគឺ ទ្រឹស្តីនៃមុខងារវិភាគ Lagrange និងការនិយាយឡើងវិញយ៉ាងទូលំទូលាយនៃការងាររបស់ Lagrange ដែលធ្វើឡើងដោយ Lacroix ក្នុងលក្ខណៈចម្រុះ។

ដោយមានបំណងចង់កម្ចាត់ភាពគ្មានដែនកំណត់ទាំងស្រុង Lagrange បានប្តូរទំនាក់ទំនងរវាងនិស្សន្ទវត្ថុ និងស៊េរី Taylor ។ តាមរយៈមុខងារវិភាគ Lagrange បានយល់ពីមុខងារបំពានដែលត្រូវបានស៊ើបអង្កេតដោយវិធីសាស្រ្តនៃការវិភាគ។ គាត់បានកំណត់មុខងារជា f(x) ដោយផ្តល់នូវវិធីក្រាហ្វិកដើម្បីសរសេរការពឹងផ្អែក - មុននេះ អយល័របានគ្រប់គ្រងដោយអថេរតែប៉ុណ្ណោះ។ ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការវិភាគនេះបើយោងតាម Lagrange វាចាំបាច់ដែលមុខងារពង្រីកទៅជាស៊េរី

មេគុណដែលនឹងមានមុខងារថ្មី។ x. វានៅសល់ដើម្បីដាក់ឈ្មោះ ទំដេរីវេ (មេគុណឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ហើយសម្គាល់វាជា f"(x) ។ ដូច្នេះ គោលគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានណែនាំនៅលើទំព័រទីពីរនៃសន្ធិសញ្ញា និងដោយគ្មានជំនួយពី infinitesimals ។ វានៅសល់ដើម្បីកត់សម្គាល់

ដូច្នេះមេគុណ qគឺជាដេរីវេនៃដេរីវេ f(x), នោះគឺ

ល។

វិធីសាស្រ្តក្នុងការបកស្រាយនៃគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុនេះ ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងពិជគណិតទំនើប និងបានបម្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការបង្កើតទ្រឹស្តី Weierstrass នៃមុខងារវិភាគ។

Lagrange ដំណើរការលើស៊េរីដូចជាផ្លូវការ និងទទួលបានទ្រឹស្តីបទគួរឱ្យកត់សម្គាល់មួយចំនួន។ ជាពិសេស ជាលើកដំបូង និងយ៉ាងម៉ឺងម៉ាត់ គាត់បានបង្ហាញពីភាពអាចដោះស្រាយបាននៃបញ្ហាដំបូងសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតានៅក្នុងស៊េរីថាមពលផ្លូវការ។

សំណួរនៃការប៉ាន់ប្រមាណភាពត្រឹមត្រូវនៃការប៉ាន់ប្រមាណដែលផ្តល់ដោយផលបូកមួយផ្នែកនៃស៊េរី Taylor ត្រូវបានដាក់ដំបូងដោយ Lagrange៖ នៅចុងបញ្ចប់ ទ្រឹស្តីនៃមុខងារវិភាគគាត់បានមកពីអ្វីដែលឥឡូវនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តនៅសល់ Lagrange របស់ Taylor ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ផ្ទុយទៅនឹងអ្នកនិពន្ធសម័យទំនើប Lagrange មិនបានមើលឃើញពីតម្រូវការក្នុងការប្រើប្រាស់លទ្ធផលនេះដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Taylor នោះទេ។

សំណួរថាតើមុខងារដែលប្រើក្នុងការវិភាគពិតជាអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរីថាមពលដែលក្រោយមកបានក្លាយជាប្រធានបទនៃការពិភាក្សា។ ជាការពិតណាស់ Lagrange បានដឹងថានៅចំណុចខ្លះមុខងារបឋមប្រហែលជាមិនពង្រីកទៅជាស៊េរីថាមពលទេ ប៉ុន្តែនៅចំណុចទាំងនេះ ពួកគេមិនមានន័យខុសគ្នាទេ។ Koshy នៅក្នុងរបស់គាត់។ ការវិភាគពិជគណិតបានផ្តល់ជាឧទាហរណ៍ផ្ទុយពីមុខងារ

ពង្រីកដោយសូន្យនៅសូន្យ។ មុខងារនេះគឺនៅគ្រប់ទីកន្លែងដោយរលូននៅលើអ័ក្សពិត ហើយមានសូន្យស៊េរី Maclaurin នៅសូន្យ ដែលដូច្នេះវាមិនបញ្ចូលគ្នាទៅនឹងតម្លៃ f(x) ។ ប្រឆាំងនឹងឧទាហរណ៍នេះ Poisson បានជំទាស់ថា Lagrange បានកំណត់មុខងារជាកន្សោមវិភាគតែមួយ ខណៈពេលដែលនៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់ Cauchy មុខងារត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខុសគ្នានៅសូន្យ និងនៅ . វាគ្រាន់តែនៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 19 ប៉ុណ្ណោះដែល Pringsheim បានបង្ហាញថាមានមុខងារខុសគ្នាគ្មានកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយកន្សោមតែមួយដែលស៊េរី Maclaurin ខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍នៃមុខងារបែបនេះផ្តល់នូវកន្សោម

ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀត

គន្ថនិទ្ទេស

អក្សរសិល្ប៍អប់រំ

សៀវភៅសិក្សាស្តង់ដារ

អស់រយៈពេលជាច្រើនឆ្នាំ សៀវភៅសិក្សាខាងក្រោមមានប្រជាប្រិយភាពនៅក្នុងប្រទេសរុស្ស៊ី៖

Kudryavtsev, L.D. , វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា (ជាបីភាគ) ។

T. 1. ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាលនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។ T. 2. ជួរដេក។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនិងអាំងតេក្រាលនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ V. 3. ការវិភាគអាម៉ូនិក។ ធាតុផ្សំនៃការវិភាគមុខងារ។ ការយកចិត្តទុកដក់ជាពិសែសនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាគឺត្រូវបានបង់ទៅលើការបង្ហាញអំពីគុណភាព និងវិធីសាស្រ្តវិភាគ វាក៏ឆ្លុះបញ្ចាំងពីការអនុវត្តធរណីមាត្រមួយចំនួននៃការវិភាគផងដែរ។ វាត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់និស្សិតនៃសាកលវិទ្យាល័យ និងរូបវិទ្យា-គណិតវិទ្យា និងឯកទេសវិស្វកម្ម-រូបវិទ្យានៃសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេស ព្រមទាំងនិស្សិតនៃឯកទេសផ្សេងទៀតសម្រាប់ការបណ្តុះបណ្តាលគណិតវិទ្យាស៊ីជម្រៅ។

Courant, R. (ជាពីរភាគ) ។ ការរកឃើញវិធីសាស្រ្តសំខាន់នៃវគ្គសិក្សា៖ ដំបូង គំនិតសំខាន់ៗត្រូវបាននិយាយយ៉ាងសាមញ្ញ ហើយបន្ទាប់មកពួកគេត្រូវបានផ្តល់ភស្តុតាងយ៉ាងម៉ត់ចត់។ សរសេរដោយ Courant នៅពេលដែលគាត់ជាសាស្រ្តាចារ្យនៅសាកលវិទ្យាល័យ Göttingen ក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1920 ក្រោមឥទ្ធិពលនៃគំនិតរបស់ Klein បន្ទាប់មកផ្ទេរទៅដីអាមេរិកក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1930 ។ ការបកប្រែជាភាសារុស្សីឆ្នាំ 1934 និងការបោះពុម្ពឡើងវិញរបស់វាផ្តល់នូវអត្ថបទយោងទៅតាមការបោះពុម្ពរបស់អាល្លឺម៉ង់ ការបកប្រែនៃទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1960 (ហៅថាការបោះពុម្ពលើកទី 4) គឺជាការចងក្រងពីសៀវភៅសិក្សារបស់អាល្លឺម៉ង់ និងអាមេរិក ហើយដូច្នេះវាមានន័យខ្លាំងណាស់។
Fikhtengolt, Grigory Mikhailovich ។ វគ្គសិក្សានៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល(ជាបីភាគ) // ម៉ាត់។ ការវិភាគនៅលើ EqWorld គឺជាការបង្រៀនដ៏ល្អមួយ ប៉ុន្តែមានលក្ខណៈចាស់បន្តិច។

និងសៀវភៅបញ្ហា

Demidovich, B.P., ការប្រមូលបញ្ហា និងលំហាត់ក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា// ម៉ាត់ ការវិភាគនៅ EqWorld

មានការបោះពុម្ពផ្សាយជាច្រើនដែលអះអាងថាតួនាទីរបស់ Anti-Demidovich៖

Lyashko I. I. និងអ្នកដទៃ។ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់គណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់. v. 1-5

សាកលវិទ្យាល័យភាគច្រើនមានការណែនាំផ្ទាល់ខ្លួនសម្រាប់ការវិភាគ៖

សាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋម៉ូស្គូ, mekhmat:

Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N.ការបង្រៀនអំពីគណិតវិទ្យា។ ការវិភាគ។
Zorich V.A.ការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ផ្នែក I. M.: Nauka, 1981. 544 ទំ។
Zorich V.A.ការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកទី II ។ M.: Nauka, 1984. 640 ទំ។

Ilyin V.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl. X.ការវិភាគគណិតវិទ្យា (ជាពីរផ្នែក)

សាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋម៉ូស្គូ មហាវិទ្យាល័យរូបវិទ្យា៖

Ilyin V.A., Poznyak E.G.មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការគណនា (ជាពីរផ្នែក) // http://lib.homelinux.org ។
Butuzov V.F. និងអ្នកដទៃ។ម៉ាត់ ការវិភាគលើសំណួរនិងបញ្ហា // http://lib.homelinux.org ។

MSTU. Bauman៖

គណិតវិទ្យានៅសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសការប្រមូលជំនួយការបង្រៀនចំនួន ២១ ភាគ។

NSU, mekhmat:

Reshetnyak Yu.G.វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ជំពូក I. សៀវភៅ 1. ការណែនាំអំពីការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។ Novosibirsk: គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពនៃវិទ្យាស្ថានគណិតវិទ្យាឆ្នាំ 1999 ។ 454 ទំ។ ISBN 5-86134-066-8 ។
Reshetnyak Yu.G.វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកទី I. សៀវភៅ 2. ការគណនាអាំងតេក្រាលនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ Novosibirsk: គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពផ្សាយនៃវិទ្យាស្ថានគណិតវិទ្យា ឆ្នាំ 1999 ។ 512 ទំ។ ISBN 5-86134-067-6 ។
Reshetnyak Yu.G.វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកទី II ។ សៀវភៅ 1. មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគរលូនក្នុងចន្លោះពហុវិមាត្រ។ ទ្រឹស្តីជួរដេក។ Novosibirsk: គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពផ្សាយនៃវិទ្យាស្ថានគណិតវិទ្យា ឆ្នាំ ២០០០ ៤៤០ ទំ។ ISBN 5-86134-086-2 ។
Reshetnyak Yu.G.វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកទី II ។ សៀវភៅ 2. ការគណនាអាំងតេក្រាលនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ ការគណនាអាំងតេក្រាលនៅលើ manifolds ។ ទម្រង់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលខាងក្រៅ។ Novosibirsk: គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពផ្សាយនៃវិទ្យាស្ថានគណិតវិទ្យា ឆ្នាំ ២០០១។ ៤៤៤ ទំ. ISBN 5-86134-089-7 ។
Shvedov I.A.វគ្គសិក្សាបង្រួមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាភាគទី 1. មុខងារនៃអថេរមួយ, ផ្នែកទី 2. ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើន។

Fiztekh, ទីក្រុងម៉ូស្គូ

Kudryavtsev L.D. វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា (ជាបីភាគ)

សៀវភៅសិក្សាកម្រិតខ្ពស់

ការបង្រៀន៖

Rudin W.មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ M. , 1976 - សៀវភៅតូចមួយដែលបានសរសេរយ៉ាងច្បាស់និងសង្ខេប។

ភារកិច្ចបង្កើនភាពស្មុគស្មាញ៖

G. Polia, G. Sege,បញ្ហា និងទ្រឹស្តីបទពីការវិភាគ។ ផ្នែកទី 1 ផ្នែកទី 2 ឆ្នាំ 1978
ប៉ាស្កាល់, អ៊ី.(ណាប៉ូលី)។ Esercizii, 1895; លើកទី 2 ឆ្នាំ 1909 // បណ្ណសារអ៊ីនធឺណិត

សៀវភៅយោង

ស្នាដៃបុរាណ

Lopital ។ ការវិភាគអថេរ // គណិតវិទ្យា។ ការវិភាគនៅ EqWorld
Bernulli, Johann ។ Die erste Integrelrechnunug ។ Leipzig-Berlin ឆ្នាំ 1914 ។
អយល័រ។ សេចក្តីផ្តើមនៃការវិភាគ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ការគណនាអាំងតេក្រាល // Mat. ការវិភាគនៅ EqWorld (ភាគទី 2 នៃការណែនាំអំពីការវិភាគត្រូវបានរក្សាទុកដោយមានកំហុស)
កាច។ សង្ខេបមេរៀនស្តីពី ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល // Mat. ការវិភាគនៅ EqWorld
ព្យុះ។ វគ្គសិក្សាវិភាគ។ T.1,2 - វគ្គសិក្សាបុរាណនៃសាលាពហុបច្ចេកទេសប៉ារីសនៃទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1830 ។
Gursa E. វគ្គសិក្សា mat ។ ការវិភាគ។ T. 1.1, 1.2 // គណិតវិទ្យា។ ការវិភាគនៅ EqWorld

សៀវភៅប្រវត្តិសាស្ត្រ

Kestner, Abraham Gottgelf ។ Geschichte der Mathematik. 4 ភាគ Göttingen, 1796-1800
Kantor, Moritz ។ Vorlesungen über geschichte der គណិតវិទ្យា Leipzig: B.G. Teubner, - ។ bd 1, Bd ។ 2, Bd ។ 3, Bd ។ ៤
ប្រវត្តិគណិតវិទ្យា កែសម្រួលដោយ A.P. Yushkevich (ជាបីភាគ)៖

Markushevich AI Essays ស្តីពីប្រវត្តិនៃទ្រឹស្តីនៃមុខងារវិភាគ។ ១៩៥១
Vileitner G. ប្រវត្តិគណិតវិទ្យាពី Descartes ដល់ពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 19 ។ ឆ្នាំ 1960
សៀវភៅសិក្សាដំបូងរបស់រុស្ស៊ីនៅលើកម្រាល។ ការវិភាគ៖ M.E. Vashchenko-Zakharchenko ការវិភាគពិជគណិត ឬពិជគណិតខ្ពស់ជាង។ ១៨៨៧