យើងបែងចែកជួរទីបីដោយធាតុសំខាន់ស្មើនឹង 5 យើងទទួលបានជួរទីបីនៃតារាងថ្មី។

ជួរឈរមូលដ្ឋានត្រូវគ្នាទៅនឹងជួរឈរតែមួយ។

ការគណនាតម្លៃតារាងដែលនៅសល់៖

"BP - ផែនការមូលដ្ឋាន"៖

; ;

"x1"៖ ; ;

"x5"៖ ; .

តម្លៃនៃជួរសន្ទស្សន៍គឺមិនអវិជ្ជមាន ដូច្នេះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយដ៏ល្អប្រសើរ៖ , ; .

ចម្លើយ៖ប្រាក់ចំណេញអតិបរមាពីការលក់ផលិតផលដែលផលិតស្មើនឹង 160/3 គ្រឿងត្រូវបានធានាដោយការចេញផ្សាយផលិតផលតែមួយគត់នៃប្រភេទទីពីរក្នុងចំនួន 80/9 គ្រឿង។

លេខកិច្ចការ 2

បញ្ហានៃការសរសេរកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារគោលបំណងដោយប្រើវិធីសាស្ត្រវិភាគក្រាហ្វ។ តែងមុខងារ Lagrange ហើយបង្ហាញថាលក្ខខណ្ឌអប្បបរមា (អតិបរមា) គ្រប់គ្រាន់ត្រូវបានពេញចិត្តនៅចំណុចខ្លាំងបំផុត។

ដោយសារតែ ខ្ទង់ចុងក្រោយនៃលេខសម្ងាត់គឺ 8 បន្ទាប់មក A=2; B=5.

ដោយសារតែ ខ្ទង់ចុងក្រោយនៃលេខសម្ងាត់គឺ 1 បន្ទាប់មកអ្នកគួរតែជ្រើសរើសលេខកិច្ចការ 1។

ដំណោះស្រាយ៖

1) ចូរយើងគូរតំបន់ដែលប្រព័ន្ធវិសមភាពកំណត់។

តំបន់​នេះ​ជា​ត្រីកោណ ABC ដែល​មាន​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច​កំពូល៖ A(0; 2); B(4; 6) និង C(16/3; 14/3) ។

កម្រិតមុខងារគោលបំណងគឺជារង្វង់ដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលចំណុច (2; 5) ។ ការ៉េនៃរ៉ាឌីនឹងជាតម្លៃនៃមុខងារគោលបំណង។ បន្ទាប់មកតួលេខបង្ហាញថាតម្លៃអប្បបរមានៃមុខងារគោលបំណងត្រូវបានឈានដល់ចំណុច H តម្លៃអតិបរមាគឺនៅចំណុច A ឬនៅចំណុច C ។

តម្លៃនៃមុខងារគោលបំណងនៅចំណុច A: ;

តម្លៃនៃមុខងារគោលបំណងនៅចំណុច C: ;

នេះមានន័យថាតម្លៃអតិបរមានៃអនុគមន៍ត្រូវបានទៅដល់ចំណុច A(0; 2) និងស្មើនឹង 13។

ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុច H ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះពិចារណាប្រព័ន្ធ:

ó

ó

បន្ទាត់មួយគឺតង់សង់ទៅរង្វង់មួយ ប្រសិនបើសមីការមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ សមីការ​ការ៉េ​មាន​ដំណោះ​ស្រាយ​ប្លែក​មួយ​ប្រសិន​បើ​ការ​រើស​អើង​គឺ 0 ។

បន្ទាប់មក ; ; - តម្លៃអប្បបរមានៃមុខងារ។

2) តែងមុខងារ Lagrange ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយអប្បបរមា៖

នៅ x 1 =2.5; x 2 =4.5 យើង​ទទួល​បាន:

ó

ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយសម្រាប់ , i.e. លក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរគ្រប់គ្រាន់ត្រូវបានពេញចិត្ត។

យើងបង្កើតមុខងារ Lagrange សម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយអតិបរមា៖

ល័ក្ខខ័ណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពខ្លាំង៖

នៅ x 1 =0; x 2 =2 យើង​ទទួល​បាន:

ó ó

ប្រព័ន្ធក៏មានដំណោះស្រាយដែរ ពោលគឺឧ។ លក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរគ្រប់គ្រាន់ត្រូវបានពេញចិត្ត។

ចម្លើយ៖អប្បបរមានៃមុខងារគោលបំណងត្រូវបានឈានដល់ ; ; មុខងារគោលដៅអតិបរិមាត្រូវបានដល់ពេល ; .

លេខកិច្ចការ 3

សហគ្រាសចំនួនពីរត្រូវបានបែងចែកមូលនិធិក្នុងចំនួនទឹកប្រាក់ ឃឯកតា។ នៅពេលបែងចែកទៅសហគ្រាសដំបូងសម្រាប់រយៈពេលមួយឆ្នាំ xឯកតានៃមូលនិធិដែលវាផ្តល់ប្រាក់ចំណូល k 1 xឯកតា ហើយនៅពេលបែងចែកទៅសហគ្រាសទីពីរ yឯកតានៃមូលនិធិ, វាផ្តល់នូវប្រាក់ចំណូល k 1 yឯកតា។ សមតុល្យនៃមូលនិធិនៅចុងឆ្នាំសម្រាប់សហគ្រាសដំបូងគឺស្មើនឹង nxនិងសម្រាប់លើកទីពីរ របស់ខ្ញុំ. តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីចែកចាយមូលនិធិទាំងអស់ក្នុងរយៈពេល 4 ឆ្នាំដើម្បីឱ្យប្រាក់ចំណូលសរុបមានចំនួនច្រើនបំផុត? ដោះស្រាយបញ្ហាដោយការសរសេរកម្មវិធីថាមវន្ត។

i=8, k=1 ។

A=2200; k 1 = 6; k2=1; n=0.2; m=0.5 ។

ដំណោះស្រាយ៖

រយៈពេលទាំងមូលនៃ 4 ឆ្នាំត្រូវបានបែងចែកជា 4 ដំណាក់កាលដែលនីមួយៗស្មើនឹងមួយឆ្នាំ។ ចូរយើងរាប់ដំណាក់កាលដែលចាប់ផ្តើមពីឆ្នាំដំបូង។ អនុញ្ញាតឱ្យ X k និង Y k ជាមូលនិធិដែលបានបែងចែករៀងៗខ្លួនដល់សហគ្រាស A និង B នៅដំណាក់កាល k-th ។ បន្ទាប់មកផលបូក X k + Y k = a k គឺជាចំនួនសរុបនៃមូលនិធិដែលបានប្រើនៅដំណាក់កាល k - នោះ ហើយនៅសល់ពីដំណាក់កាលមុន k - 1. នៅដំណាក់កាលដំបូង មូលនិធិដែលបានបែងចែកទាំងអស់ត្រូវបានប្រើប្រាស់ និង 1 = 2200 ឯកតា។ ប្រាក់ចំណូលដែលនឹងទទួលបាននៅ k - ដំណាក់កាលនោះនៅពេលដែល X k និង Y k ត្រូវបានបែងចែកនឹងមាន 6X k + 1Y k ។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រាក់ចំណូលអតិបរមាដែលទទួលបាននៅដំណាក់កាលចុងក្រោយដោយចាប់ផ្តើមពី k - ដំណាក់កាលនោះគឺ f k (a k) ឯកតា។ ចូរយើងសរសេរសមីការមុខងាររបស់ Bellman ដែលបង្ហាញពីគោលការណ៍នៃភាពសុទិដ្ឋិនិយម៖ ទោះជាស្ថានភាពដំបូង និងដំណោះស្រាយដំបូងក៏ដោយ ដំណោះស្រាយជាបន្តបន្ទាប់ត្រូវតែមានភាពល្អប្រសើរបំផុតទាក់ទងនឹងរដ្ឋដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃស្ថានភាពដំបូង៖

សម្រាប់ដំណាក់កាលនីមួយៗ អ្នកត្រូវជ្រើសរើសតម្លៃ X k និងតម្លៃ យ ក= កk- Xk. ជាមួយនឹងគំនិតនេះ យើងនឹងស្វែងរកប្រាក់ចំណូលនៅដំណាក់កាល k-th៖

សមីការ Bellman មុខងារនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ពិចារណាដំណាក់កាលទាំងអស់ដោយចាប់ផ្តើមពីចុងក្រោយ។

(ចាប់តាំងពីអតិបរមានៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរត្រូវបានឈានដល់នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកនៅ x 4 = a 4);

ទីភ្នាក់ងារសហព័ន្ធសម្រាប់ការអប់រំ

ស្ថាប័នអប់រំថវិការដ្ឋ

ការអប់រំវិជ្ជាជីវៈខ្ពស់។

"សាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋ Omsk"

ការគណនានិងការងារក្រាហ្វិក

ដោយវិន័យ "ទ្រឹស្តីនៃការគ្រប់គ្រងល្អបំផុត »

លើប្រធានបទ "វិធីសាស្ត្របង្កើនប្រសិទ្ធភាព និងការស្រាវជ្រាវប្រតិបត្តិការ »

ជម្រើសទី 7

បានបញ្ចប់៖

សិស្សឆ្លើយឆ្លង

ក្រុមឆ្នាំទី 4 ZA-419

ឈ្មោះ: Kuzhelev S.A.

បានពិនិត្យ៖

Devyaterikova M.V.

Omsk - ឆ្នាំ 2012
^

កិច្ចការ 1. វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ។

7) 7x 1 + 6x 2 → អតិបរមា 20x 1 + 6x 2 ≤ 15 16x 1 − 2x 2 ≤ 18 8x 1 + 4x 2 ≤ 20 13x 1 + 3x 2 ≤ 4 x 1 , x 2 ≥ 0.

ជំហានទី 1. ការកសាងតំបន់ត្រឹមត្រូវ។

លក្ខខណ្ឌនៃការមិនអវិជ្ជមាននៃអថេរ និងការ៉េកំណត់ជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានរបស់ពួកគេទៅ quadrant ដំបូង។ រាល់ឧបសគ្គទាំងបួនដែលនៅសល់ - វិសមភាពនៃគំរូត្រូវគ្នាទៅនឹងយន្តហោះពាក់កណ្តាល។ ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពាក់កណ្តាលទាំងនេះជាមួយ quadrant ដំបូងបង្កើតជាសំណុំនៃដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើទៅបានចំពោះបញ្ហា។

ឧបសគ្គដំបូងនៃគំរូគឺ . ការជំនួសសញ្ញា ≤ នៅក្នុងវាដោយសញ្ញា = យើងទទួលបានសមីការ . នៅលើរូបភព។ 1.1 វាកំណត់បន្ទាត់ (1) ដែលបែងចែកយន្តហោះទៅជាយន្តហោះពាក់កណ្តាលពីរ ក្នុងករណីនេះខាងលើ និងខាងក្រោមបន្ទាត់។ ដើម្បីជ្រើសរើសមួយណាដែលបំពេញវិសមភាព យើងជំនួសវានូវកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ឧទាហរណ៍ ប្រភពដើម X 1 = 0, X 2 = 0). ដោយសារយើងទទួលបានកន្សោមត្រឹមត្រូវ (20 0 + 6 0 = 0 ≤15) យន្តហោះពាក់កណ្តាលដែលមានប្រភពដើម (សម្គាល់ដោយព្រួញ) បំពេញវិសមភាព។ បើមិនដូច្នោះទេយន្តហោះពាក់កណ្តាលមួយទៀត។

យើងបន្តដូចគ្នាជាមួយនឹងឧបសគ្គដែលនៅសល់នៃបញ្ហា។ ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពាក់កណ្តាលដែលបានសាងសង់ទាំងអស់ជាមួយនឹងទម្រង់ quadrant ដំបូង ABCD(សូមមើលរូបទី 1) ។ នេះគឺជាវិសាលភាពត្រឹមត្រូវនៃកិច្ចការ។

ជំហានទី 2. ការកសាងបន្ទាត់កម្រិត បន្ទាត់កម្រិត objective function គឺជាសំណុំនៃចំនុចនៅក្នុងយន្តហោះដែលមុខងារ objective យកតម្លៃថេរ។ សំណុំបែបនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ f ( x) = const. ចូរយើងដាក់ឧទាហរណ៍ const = 0 ហើយគូរបន្ទាត់នៅកម្រិត f ( x) = 0 , ឧ។ ក្នុងករណីរបស់យើងដោយផ្ទាល់ 7 x 1 + 6x 2 = 0.

បន្ទាត់នេះឆ្លងកាត់ប្រភពដើម ហើយកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ។ វ៉ិចទ័រនេះគឺជាជម្រាលមុខងារគោលបំណងនៅ (0,0) ។ ជម្រាល​នៃ​អនុគមន៍​គឺ​ជា​វ៉ិចទ័រ​នៃ​តម្លៃ​នៃ​ដេរីវេ​ផ្នែក​នៃ​អនុគមន៍​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នៅ​ចំណុច​ក្នុង​សំណួរ។ នៅក្នុងករណីនៃបញ្ហា LP ដេរីវេនៃផ្នែកនៃមុខងារគោលបំណងគឺស្មើនឹងមេគុណ គខ្ញុំ j = 1 , ..., ន.

ជម្រាលបង្ហាញពីទិសដៅនៃការលូតលាស់លឿនបំផុតនៃមុខងារ។ ផ្លាស់ទីបន្ទាត់កម្រិតមុខងារគោលបំណង f ( x) = const. កាត់កែងទៅនឹងទិសដៅនៃជម្រាល ស្វែងរកចំណុចចុងក្រោយដែលវាប្រសព្វជាមួយផ្ទៃ។ ក្នុងករណីរបស់យើង នេះគឺជាចំណុច D ដែលនឹងក្លាយជាចំណុចអតិបរមានៃមុខងារគោលបំណង (សូមមើលរូបភាពទី 2)

វាស្ថិតនៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ (2) និង (3) (សូមមើលរូបទី 1) ហើយកំណត់ដំណោះស្រាយល្អបំផុត។

^ ចំណាំថាប្រសិនបើវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃអប្បបរមានៃមុខងារគោលបំណង បន្ទាត់កម្រិតត្រូវបានផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅផ្ទុយទៅនឹងទិសដៅនៃជម្រាល។

^ ជំហានទី 3. ការកំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចអតិបរមា (អប្បបរមា) និងតម្លៃល្អបំផុតនៃមុខងារគោលបំណង

ដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុច C វាចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលមានសមីការផ្ទាល់ដែលត្រូវគ្នា (ក្នុងករណីនេះពីសមីការ 2 និង 3)៖

16x 1 − 2x 2 ≤ 18

8x 1 + 4x 2 ≤ 20

យើងទទួលបានដំណោះស្រាយល្អបំផុត = 1.33 ។

^ តម្លៃល្អបំផុតនៃមុខងារគោលបំណង f * = f (X*) = 7 * 0 + 6 * 1,33 = 7,8

ដំណោះស្រាយ៖ ស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ \(f (x, y)\) នៅក្រោមឧបសគ្គខាងក្រោម $$ f(x,y)=(x-4)^2 + (y-3)^2 \rightarrow អតិបរមា, min \\ \begin(cases) 2x+3y\geq 6 \\ 3x-2y\leq 18\\ -x+2y\leq 8\\ x,y\geq0\end(cases) $$
វាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រើវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកនៃការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់បញ្ហាជាមួយអថេរពីរដែលត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ស៊ីមេទ្រី ក៏ដូចជាសម្រាប់បញ្ហាជាមួយនឹងអថេរជាច្រើន ដោយផ្តល់ថាសញ្ញាណ Canonical របស់ពួកគេមានអថេរឥតគិតថ្លៃច្រើនជាងពីរ។

ក្នុងករណីនេះភារកិច្ចដែលមានអថេរពីរ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហា "ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃបញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ"៖

1. ចូរយើងសាងសង់ដែននៃដំណោះស្រាយដែលអាចទទួលយកបាននៅលើយន្តហោះ xOy ។
2. ជ្រើសរើសតំបន់នៃដំណោះស្រាយដែលមិនអវិជ្ជមាន។

4. អនុញ្ញាតឱ្យយើងសាងសង់ក្រុមគ្រួសារនៃមុខងារគោលបំណង។
5. ស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា (អប្បបរមា) នៃមុខងារគោលបំណង។

1. យើងសាងសង់ដែននៃដំណោះស្រាយដែលអាចទទួលយកបាននៃបញ្ហា \(D\) ។

ដើម្បីកសាងតំបន់នៃដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើទៅបាន:
1) យើងបង្កើតខ្សែព្រំដែន៖
យើងបំប្លែងវិសមភាពទៅជាសមភាព ហើយបន្ទាប់មកទៅសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែកនៅលើអ័ក្សនៃទម្រង់ \(\frac(x)(a)+\frac(y)(b) = 1\) បន្ទាប់មក \ (x=a\) គឺជាផ្នែកមួយដែលត្រូវបានកាត់ផ្តាច់នៅលើអ័ក្សអុក \(y=b\) - នៅលើអ័ក្ស Oy $$ \begin(cases) 2x+3y = 6 \\ 3x-2y = 18\\ - x+2y = 8 \end(cases) => \begin(cases) \frac(x)(3)+\frac(y)(2)=1 \\ \frac(x)(8)-\frac( y)(9) = 1 \\ -\frac (x)(6)+ \frac(y)(4) = 1 \end(cases) $$ សម្រាប់បន្ទាត់នីមួយៗ ដាក់ផ្នែកមួយឡែកនៅលើអ័ក្ស ហើយភ្ជាប់ពួកវា។ យើងទទួលបានបន្ទាត់ត្រឹមត្រូវ។

2) យើងរកឃើញយន្តហោះពាក់កណ្តាលដែលបំពេញវិសមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យ:
សម្រាប់វិសមភាព \(2x+3y\geq 6\) គឺជាពាក់កណ្តាលយន្តហោះដែលស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ \(2x+3y = 6\)។ AC ផ្ទាល់
សម្រាប់វិសមភាព \(3x-2y\leq 18 => -3x+2y \geq -18\) គឺជាយន្តហោះពាក់កណ្តាលដែលស្ថិតនៅពីលើបន្ទាត់ \(3x-2y = 18\) ។ CB ផ្ទាល់
សម្រាប់វិសមភាព \(-x+2y\leq 8\) គឺជាពាក់កណ្តាលយន្តហោះដែលស្ថិតនៅក្រោមបន្ទាត់ \(-x+2y = 8\) ។ AB ផ្ទាល់

ដែននៃដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើទៅបានត្រូវបានកំណត់ថាជាផ្នែកទូទៅនៃពាក់កណ្តាលយន្តហោះទាំងបីដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងវិសមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តំបន់​នេះ​ជា​ត្រីកោណ \(ABC\)

តំបន់ \(D\) គឺជាត្រីកោណ \(ABC\) សូមមើលរូបភព។

2. ជ្រើសរើសតំបន់នៃដំណោះស្រាយដែលមិនអវិជ្ជមាន។

តំបន់នៃដំណោះស្រាយមិនអវិជ្ជមានមានទីតាំងនៅត្រីមាសទីមួយ ហើយជាផ្នែកទូទៅនៃយន្តហោះពាក់កណ្តាលទាំងប្រាំ ដែលបីក្នុងនោះជាតំបន់ \(D\) ដែលទទួលបានពីវិសមភាព និងលើសពីនេះទៀតវិសមភាពពីរ \(x \geq 0\) - យន្តហោះពាក់កណ្តាលខាងលើ (ត្រីមាស I និង II) និង \(y \geq 0\) - យន្តហោះពាក់កណ្តាលខាងស្តាំ (ត្រីមាស I និង IV) ដែលបង្ហាញពីលក្ខខណ្ឌនៃការមិនអវិជ្ជមាននៃអថេរ \( x; y\) ។ ទទួលបានតំបន់ដែលចង់បាននៃដំណោះស្រាយមិនអវិជ្ជមាន \(DEBFG\)

3. ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលនៃតំបន់។
កូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលទាំងបួនត្រូវបានគេស្គាល់រួចហើយ (ទាំងនេះគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយអ័ក្ស) ។
តោះសរសេរកូអរដោនេទាំងនេះ៖
\(D(0;2)\), \(E(0;4)\), \(F(6;0)\), \(G(3;0)\)
រកកូអរដោនេនៃចំនុច \(B\) ជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ \(-x+2y = 8\) និង \(3x-2y = 18\) ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ និងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចនេះ $$\begin(cases) -x+2y = 8\\ 3x-2y = 18\end(cases)=> \begin(cases) 2x = 26\\ 3x -2y = 18 \end(cases)=> \begin(cases) x = 13\\ y =10.5\end(cases)$$
យើងទទួលបានកូអរដោនេនៃចំណុច \(B(13;10.5)\)

4. យើងកសាងក្រុមគ្រួសារនៃមុខងារគោលបំណង។
សមីការ \(f(x,y)=(x-4)^2 + (y-3)^2 \rightarrow max,min\) កំណត់នៅលើយន្តហោះ xOy គ្រួសារនៃរង្វង់ប្រមូលផ្តុំដែលស្ថិតនៅកណ្តាលចំណុចជាមួយកូអរដោនេ \ (Q(4 ;3)\) ដែលនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃជាក់លាក់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(f\) ។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាសម្រាប់សមីការនៃរង្វង់មួយ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(f=R^2\) ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងតំណាងនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដូចគ្នាក្រុមគ្រួសារនៃរង្វង់ប្រមូលផ្តុំ \(f\) និងក្រុមគ្រួសារនៃបន្ទាត់។ បញ្ហានៃការកំណត់ចំណុចអតិបរមា (អប្បបរមា) នៃចំណុច \(f\) នឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការស្វែងរកនៅក្នុងតំបន់ដែលអាចទទួលយកបាននូវចំណុចដែលរង្វង់គ្រួសារ \(f=const\) ឆ្លងកាត់ ដែលទទួលខុសត្រូវចំពោះ តម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(f\) ។

5. ស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា (អប្បបរមា) នៃមុខងារគោលបំណង។

តម្លៃមុខងារគោលបំណងអប្បបរមា៖ ដោយបង្កើនកាំនៃរង្វង់ជាបណ្តើរៗ យើងបានទទួលថាចំនុចកំពូលទីមួយដែលរង្វង់ឆ្លងកាត់គឺជាចំនុច \(G(3;0)\)។ មុខងារគោលបំណងនៅចំណុចនេះនឹងមានតិចតួចបំផុត និងស្មើនឹង \(f(3,0)=(3-4)^2 + (0-3)^2 = 10\)

តម្លៃអតិបរមានៃមុខងារគោលបំណង៖ ដោយការបង្កើនកាំនៃរង្វង់បន្ថែមទៀត យើងបានទទួលថាចំនុចចុងក្រោយដែលរង្វង់នឹងឆ្លងកាត់គឺជាចំនុច \(B(13;10.5)\)។ មុខងារគោលបំណងនៅចំណុចនេះនឹងមានអតិបរមា និងស្មើនឹង \(f(13,10.5)=(13-4)^2 + (10.5-3)^2 = 137.25\)

អ្នកអាចផ្ទៀងផ្ទាត់ភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយដោយជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលដែលនៅសល់ទៅក្នុងសមីការមុខងារគោលបំណង៖
នៅចំនុចកំពូល \(D(0;2)\) តម្លៃនៃមុខងារគោលបំណងគឺស្មើនឹង \(f(0,2)=(0-4)^2 + (2-3)^2 = 17\)
នៅចំនុចកំពូល \(E(0;4)\) តម្លៃនៃមុខងារគោលបំណងគឺស្មើនឹង \(f(0,4)=(0-4)^2 + (4-3)^2 = 17\)
នៅចំនុចកំពូល \(F(6;0)\) តម្លៃនៃមុខងារគោលបំណងគឺ \(f(6,4)=(6-4)^2 + (0-3)^2 = 13\)
យល់

ចម្លើយ:
តម្លៃអប្បបរមានៃមុខងារគោលបំណង \(f_(min) = 10\)
តម្លៃអតិបរមានៃមុខងារគោលបំណង \(f_(អតិបរមា) = 137.25\)

មុខងារគោលបំណង- មុខងារពិត ឬចំនួនគត់នៃអថេរជាច្រើន កម្មវត្ថុនៃការបង្កើនប្រសិទ្ធភាព (ការបង្រួមអប្បបរមា ឬអតិបរមា) ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាពមួយចំនួន។ ពាក្យនេះត្រូវបានប្រើនៅក្នុងកម្មវិធីគណិតវិទ្យា ការស្រាវជ្រាវប្រតិបត្តិការ ការរៀបចំកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ ទ្រឹស្តីការសម្រេចចិត្តស្ថិតិ និងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា ជាចម្បងនៃធម្មជាតិដែលបានអនុវត្ត ទោះបីជាគោលដៅនៃការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពក៏អាចជាដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាគណិតវិទ្យាខ្លួនឯងដែរ។ បន្ថែមពីលើមុខងារគោលបំណង ក្នុងបញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាព អថេរអាចត្រូវដាក់កម្រិតក្នុងទម្រង់ជាប្រព័ន្ធនៃសមភាព ឬវិសមភាព។ ក្នុងករណីទូទៅ អាគុយម៉ង់មុខងារគោលបំណងអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅលើសំណុំបំពាន។

ឧទាហរណ៍

មុខងាររលូន និងប្រព័ន្ធនៃសមីការ

បញ្ហានៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការណាមួយ។

( F 1 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 F 2 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 … F N (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 ( \displaystyle \left\((\begin(ម៉ាទ្រីស)F_(1)(x_(1),x_(2),\ldots,x_(M))=0\\F_(2)(x_(1),x_ (2),\ldots ,x_(M))=0\\\ldots \\F_(N)(x_(1),x_(2),\ldots,x_(M))=0\end(ម៉ាទ្រីស) )\ ត្រូវ។)

អាចត្រូវបានបង្កើតជាបញ្ហានៃការបង្រួមមុខងារគោលបំណង

S = ∑ j = 1 N F j 2 (x 1 , x 2 , … , x M) (1) (\displaystyle S=\sum _(j=1)^(N)F_(j)^(2)( x_(1),x_(2),\ldots,x_(M))\qquad(1))

ប្រសិនបើមុខងារមានភាពរលូន នោះបញ្ហាបង្រួមអប្បបរមាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រជម្រាល។

សម្រាប់មុខងារគោលបំណងរលូនណាមួយ មនុស្សម្នាក់អាចស្មើនឹង 0 (\displaystyle 0) ដេរីវេដោយផ្នែកទាក់ទងនឹងអថេរទាំងអស់។ មុខងារគោលបំណងដ៏ល្អប្រសើរនឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយមួយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការបែបនេះ។ ក្នុងករណីមុខងារ (1) (\displaystyle (1)) វានឹងជាប្រព័ន្ធនៃសមីការការ៉េតិចបំផុត (LSM) ។ ដំណោះស្រាយណាមួយនៃប្រព័ន្ធដើមគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធការ៉េតិចបំផុត។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធដើមមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានោះ ប្រព័ន្ធ LSM ដែលតែងតែមានដំណោះស្រាយ ធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រព័ន្ធដើម។ ចំនួនសមីការនៃប្រព័ន្ធ LSM ស្របពេលជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ដែលជួនកាលជួយសម្រួលដល់ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដំបូងរួម។

កម្មវិធីលីនេអ៊ែរ

ឧទាហរណ៍ដ៏ល្បីមួយទៀតនៃមុខងារគោលបំណងគឺមុខងារលីនេអ៊ែរដែលកើតឡើងនៅក្នុងបញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ។ ផ្ទុយទៅនឹងមុខងារគោលបំណងរាងបួនជ្រុង ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែមានការរឹតបន្តឹងក្នុងទម្រង់ជាប្រព័ន្ធនៃសមភាពលីនេអ៊ែរ ឬវិសមភាព។

ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពរួមបញ្ចូលគ្នា

ឧទាហរណ៍ធម្មតានៃមុខងារគោលបំណងរួមបញ្ចូលគ្នាគឺជាមុខងារគោលបំណងនៃបញ្ហាអ្នកលក់ធ្វើដំណើរ។ មុខងារនេះគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃវដ្ត Hamiltonian នៅលើក្រាហ្វ។ វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើសំណុំ permutation n −1 (\displaystyle n-1) នៃបន្ទាត់បញ្ឈរក្រាហ្វ ហើយត្រូវបានកំណត់ដោយម៉ាទ្រីសប្រវែងគែមរបស់ក្រាហ្វ។ ដំណោះស្រាយពិតប្រាកដនៃបញ្ហាបែបនេះច្រើនតែធ្លាក់មកលើការរាប់បញ្ចូលជម្រើស។

ជំពូកទី 1. សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីបញ្ហាចម្បងនៃការសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ

1. កម្មវិធីលីនេអ៊ែរ

ការសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ គឺជាផ្នែកមួយនៃការសរសេរកម្មវិធីគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីវិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាខ្លាំងបំផុត ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែររវាងអថេរ និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យលីនេអ៊ែរ។ ភារកិច្ចបែបនេះរកឃើញកម្មវិធីទូលំទូលាយនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្ស។ ការសិក្សាជាប្រព័ន្ធនៃបញ្ហានៃប្រភេទនេះបានចាប់ផ្តើមនៅឆ្នាំ 1939-1940 ។ នៅក្នុងស្នាដៃរបស់ L.V. Kantorovich ។

បញ្ហាគណិតវិទ្យានៃការសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ រួមមានការសិក្សាអំពីផលិតកម្មជាក់លាក់ និងស្ថានភាពសេដ្ឋកិច្ច ដែលក្នុងទម្រង់មួយ ឬទម្រង់ផ្សេងទៀតត្រូវបានបកស្រាយថាជាបញ្ហានៃការប្រើប្រាស់ដ៏ល្អប្រសើរនៃធនធានមានកំណត់។

ជួរនៃបញ្ហាដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរគឺធំទូលាយណាស់។ ទាំងនេះជាឧទាហរណ៍៖

បញ្ហានៃការប្រើប្រាស់ធនធានដ៏ល្អប្រសើរក្នុងការរៀបចំផែនការផលិតកម្ម។

បញ្ហានៃល្បាយ (ការធ្វើផែនការសមាសភាពនៃផលិតផល);

បញ្ហានៃការស្វែងរកការរួមបញ្ចូលគ្នាដ៏ល្អប្រសើរនៃប្រភេទផ្សេងគ្នានៃផលិតផលសម្រាប់ការរក្សាទុកនៅក្នុងឃ្លាំង (ការគ្រប់គ្រងសារពើភ័ណ្ឌឬ);

ភារកិច្ចដឹកជញ្ជូន (ការវិភាគទីតាំងនៃសហគ្រាសចលនាទំនិញ) ។

ការសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ គឺជាផ្នែកដែលត្រូវបានអភិវឌ្ឍ និងប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយបំផុតនៃការសរសេរកម្មវិធីគណិតវិទ្យា (លើសពីនេះ រួមមានៈ ចំនួនគត់ ថាមវន្ត មិនមែនលីនេអ៊ែរ ការសរសេរកម្មវិធីប៉ារ៉ាម៉ែត្រ)។ នេះត្រូវបានពន្យល់ដូចខាងក្រោមៈ

គំរូគណិតវិទ្យានៃបញ្ហាសេដ្ឋកិច្ចមួយចំនួនធំគឺមានលក្ខណៈលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹងអថេរដែលត្រូវការ។

បញ្ហាប្រភេទនេះបច្ចុប្បន្នត្រូវបានសិក្សាច្រើនបំផុត។ សម្រាប់គាត់វិធីសាស្រ្តពិសេសត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយមានជំនួយពីបញ្ហាទាំងនេះត្រូវបានដោះស្រាយហើយកម្មវិធីកុំព្យូទ័រដែលត្រូវគ្នា;

បញ្ហាជាច្រើននៃការសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ ដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយ បានរកឃើញកម្មវិធីធំទូលាយ។

បញ្ហាមួយចំនួនដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរក្នុងទម្រង់ដើម បន្ទាប់ពីការរឹតបន្តឹង និងការសន្មត់បន្ថែមមួយចំនួន អាចក្លាយជាលីនេអ៊ែរ ឬអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់បែបនោះ ដែលពួកគេអាចដោះស្រាយបានដោយវិធីសាស្ត្រសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ។

គំរូសេដ្ឋកិច្ច និងគណិតវិទ្យានៃបញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ រួមមានៈ មុខងារគោលបំណង តម្លៃល្អបំផុតដែល (អតិបរមា ឬអប្បបរមា) ត្រូវតែរកឃើញ។ ការរឹតបន្តឹងក្នុងទម្រង់ជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ឬវិសមភាព; តម្រូវការនៃភាពមិនអវិជ្ជមាននៃអថេរ។

ជាទូទៅ គំរូត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖

មុខងារគោលបំណង

(1.1) ក្រោមការរឹតបន្តឹង

(1.2) តម្រូវការមិនអវិជ្ជមាន

(1.3) កន្លែងណា x j- អថេរ (មិនស្គាល់);

- មេគុណនៃបញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ។

បញ្ហាគឺត្រូវស្វែងរកតម្លៃល្អបំផុតនៃមុខងារ (1.1) ដែលត្រូវនឹងឧបសគ្គ (1.2) និង (1.3)។

ប្រព័ន្ធនៃឧបសគ្គ (1.2) ត្រូវបានគេហៅថាឧបសគ្គមុខងារនៃបញ្ហាហើយឧបសគ្គ (1.3) ត្រូវបានគេហៅថាឧបសគ្គផ្ទាល់។

វ៉ិចទ័រដែលបំពេញនូវឧបសគ្គ (1.2) និង (1.3) ត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើទៅបាន (ផែនការ) នៃបញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ។ ផែនការដែលមុខងារ (1.1) ឈានដល់តម្លៃអតិបរមា (អប្បបរមា) ត្រូវបានគេហៅថាល្អបំផុត។

១.២. វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ

វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញត្រូវបានបង្កើតឡើង និងអនុវត្តដំបូងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងឆ្នាំ 1947 ដោយគណិតវិទូជនជាតិអាមេរិក J. Danzig ។

បញ្ហាសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរពីរវិមាត្រត្រូវបានដោះស្រាយជាក្រាហ្វិក។ សម្រាប់ករណី N=3 យើងអាចពិចារណាលំហរបីវិមាត្រ ហើយមុខងារគោលបំណងនឹងឈានដល់តម្លៃដ៏ល្អប្រសើររបស់វានៅចំនុចកំពូលមួយនៃពហុកោណ។

ដំណោះស្រាយដែលអាចទទួលយកបាន (ផែនការដែលអាចទទួលយកបាន) នៃបញ្ហា LP ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារគឺជាសំណុំលេខលំដាប់ (x1, x2, ..., xn) ដែលបំពេញនូវឧបសគ្គ។ គឺជាចំនុចមួយនៅក្នុងលំហ n-dimensional ។

សំណុំនៃដំណោះស្រាយដែលអាចទទួលយកបានបង្កើតបានជាតំបន់នៃដំណោះស្រាយដែលអាចទទួលយកបាន (SDR) នៃបញ្ហា LP ។ ODR គឺជាពហុកោណប៉ោង (ពហុកោណ) ។

នៅក្នុងពាក្យទូទៅ នៅពេលដែល N-unknowns ពាក់ព័ន្ធនឹងបញ្ហានោះ យើងអាចនិយាយបានថា តំបន់នៃដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើទៅបានដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រព័ន្ធនៃលក្ខខណ្ឌកំណត់ត្រូវបានតំណាងដោយប៉ោងប៉ោងនៅក្នុងលំហ n-dimensional និងតម្លៃល្អបំផុតនៃគោលបំណង។ មុខងារត្រូវបានសម្រេចនៅចំនុចមួយ ឬច្រើន។

ដំណោះស្រាយត្រូវបានគេហៅថាជាមូលដ្ឋាន ប្រសិនបើអថេរឥតគិតថ្លៃទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ។

ដំណោះស្រាយយោងគឺជាដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានដែលមិនអវិជ្ជមាន។ ដំណោះស្រាយជំនួយអាចមិនខូច និងខូចទ្រង់ទ្រាយ។ ដំណោះស្រាយជំនួយត្រូវបានគេហៅថា non-degenerate ប្រសិនបើចំនួននៃកូអរដោណេមិនសូន្យរបស់វាគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធ បើមិនដូច្នេះទេវានឹង degenerate ។

ដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើទៅបាន ដែលមុខងារគោលបំណងឈានដល់តម្លៃខ្លាំងបំផុត ត្រូវបានគេហៅថាល្អប្រសើរបំផុត និងត្រូវបានតំណាងឱ្យ .

វាពិបាកណាស់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះតាមក្រាហ្វិកនៅពេលដែលចំនួនអថេរច្រើនជាង 3 ។ មានវិធីសកលដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ ហៅថា វិធីសាស្ត្រសាមញ្ញ។

វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញគឺជាវិធីសាស្រ្តសកលសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា LP ដែលជាដំណើរការដដែលៗដែលចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងដំណោះស្រាយមួយ ហើយក្នុងការស្វែងរកជម្រើសដ៏ល្អបំផុត ផ្លាស់ទីតាមចំនុចជ្រុងនៃតំបន់នៃដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើទៅបានរហូតដល់វាឈានដល់តម្លៃល្អបំផុត។ .

វាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរណាមួយ។

វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញគឺផ្អែកលើគំនិតនៃការកែលម្អជាបន្តបន្ទាប់នៃដំណោះស្រាយលទ្ធផល។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃវិធីសាស្ត្រ simplex គឺដើម្បីផ្លាស់ទីជាបន្តបន្ទាប់ពីចំនុចកំពូលមួយនៃប៉ូលីអេដរ៉ុនឧបសគ្គទៅជិតខាង ដែលក្នុងនោះមុខងារគោលបំណងយកតម្លៃល្អបំផុត (ឬយ៉ាងហោចណាស់មិនអាក្រក់បំផុត) រហូតដល់ដំណោះស្រាយល្អបំផុតត្រូវបានរកឃើញ - ចំនុចកំពូលដែលជាកន្លែងដែល តម្លៃល្អបំផុតត្រូវបានឈានដល់មុខងារគោលដៅ (ប្រសិនបើបញ្ហាមានកម្រិតល្អបំផុត)។

ដូច្នេះ ការដែលមានប្រព័ន្ធនៃឧបសគ្គត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical (ឧបសគ្គមុខងារទាំងអស់គឺនៅក្នុងទម្រង់នៃភាពស្មើគ្នា) មនុស្សម្នាក់ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធនេះដោយយកចិត្តទុកដាក់ដើម្បីស្វែងរកវាឱ្យបានសាមញ្ញតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប្រសិនបើដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានដែលបានរកឃើញដំបូងបានប្រែទៅជាអាចធ្វើទៅបាន នោះវាត្រូវបានពិនិត្យសម្រាប់ភាពល្អប្រសើរ។ ប្រសិនបើវាមិនល្អបំផុតទេ នោះការផ្លាស់ប្តូរមួយត្រូវបានធ្វើឡើងទៅដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានដែលចាំបាច់អាចទទួលយកបាន។ វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញធានាថាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយថ្មីនេះ មុខងារគោលបំណង ប្រសិនបើវាមិនឈានដល់កម្រិតល្អបំផុតទេនោះ ចូលទៅជិតវា (ឬយ៉ាងហោចណាស់មិនរើចេញពីវា)។ ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានថ្មីដែលអាចទទួលយកបាន ដូចគ្នានេះត្រូវបានធ្វើឡើងរហូតដល់ដំណោះស្រាយមួយត្រូវបានរកឃើញថាល្អបំផុត។

ដំណើរការនៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តសាមញ្ញពាក់ព័ន្ធនឹងការអនុវត្តធាតុសំខាន់បីរបស់វា:

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់កំណត់ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានដែលអាចធ្វើទៅបានដំបូងចំពោះបញ្ហា។

ច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរទៅល្អបំផុត (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀតមិនមែនអាក្រក់បំផុត) ដំណោះស្រាយ;

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ពិនិត្យមើលភាពល្អប្រសើរនៃដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញ។

វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញរួមមានជំហានមួយចំនួន ហើយអាចត្រូវបានបង្កើតជាក្បួនដោះស្រាយច្បាស់លាស់ (ការណែនាំច្បាស់លាស់ដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការបន្តបន្ទាប់គ្នា)។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើតកម្មវិធីដោយជោគជ័យ និងអនុវត្តវានៅលើកុំព្យូទ័រ។ បញ្ហាជាមួយនឹងអថេរ និងឧបសគ្គមួយចំនួនតូចអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រសាមញ្ញដោយដៃ។

6.1 ការណែនាំ

ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាព។ ផ្នែកទី 1

វិធីសាស្រ្តបង្កើនប្រសិទ្ធភាពអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកជ្រើសរើសជម្រើសរចនាដ៏ល្អបំផុតពីជម្រើសដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ ក្នុងប៉ុន្មានឆ្នាំថ្មីៗនេះ ការយកចិត្តទុកដាក់ជាច្រើនត្រូវបានបង់ចំពោះវិធីសាស្ត្រទាំងនេះ ហើយជាលទ្ធផល ក្បួនដោះស្រាយដែលមានប្រសិទ្ធភាពខ្ពស់មួយចំនួនត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលធ្វើឱ្យវាអាចស្វែងរកជម្រើសរចនាដ៏ល្អប្រសើរដោយប្រើកុំព្យូទ័រឌីជីថល។ ជំពូកនេះបង្ហាញអំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីបង្កើនប្រសិទ្ធភាព ពិចារណាលើគោលការណ៍ជាមូលដ្ឋាននៃការសាងសង់ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដំណោះស្រាយដ៏ល្អប្រសើរ ពិពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយដ៏ល្បីបំផុត និងវិភាគគុណសម្បត្តិ និងគុណវិបត្តិរបស់វា។

6.2 មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីបង្កើនប្រសិទ្ធភាព

ពាក្យ "ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាព" នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍សំដៅលើដំណើរការ ឬលំដាប់នៃប្រតិបត្តិការដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានដំណោះស្រាយចម្រាញ់។ ទោះបីជាគោលដៅចុងក្រោយនៃការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពគឺដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយដែលល្អបំផុត ឬ "ល្អបំផុត" ក៏ដោយ ជាធម្មតា មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែពេញចិត្តជាមួយនឹងការកែលម្អដំណោះស្រាយដែលគេស្គាល់ជាជាងធ្វើឱ្យពួកវាល្អឥតខ្ចោះ។ ដូច្នេះ ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពទំនងជាត្រូវបានយល់ថាជាការស្វែងរកភាពល្អឥតខ្ចោះ ដែលប្រហែលជាមិនអាចសម្រេចបាន។

ដោយពិចារណាលើប្រព័ន្ធបំពានមួយចំនួនដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ m ជាមួយ n មិនស្គាល់ យើងអាចបែងចែកបញ្ហាបីប្រភេទសំខាន់ៗ។ ប្រសិនបើ m = n នោះបញ្ហាត្រូវបានគេហៅថាពិជគណិត។ បញ្ហាបែបនេះជាធម្មតាមានដំណោះស្រាយមួយ។ ប្រសិនបើ m>n នោះបញ្ហាត្រូវបានកំណត់ឡើងវិញ ហើយតាមក្បួនមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ទីបំផុតសម្រាប់ ម

មុននឹងបន្តទៅការពិភាក្សាអំពីបញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាព យើងណែនាំនិយមន័យមួយចំនួន។

ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនា

ពាក្យនេះបង្ហាញពីប៉ារ៉ាម៉ែត្រអថេរឯករាជ្យ ដែលកំណត់ទាំងស្រុង និងមិនច្បាស់លាស់នៃបញ្ហារចនាដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយ។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាគឺជាបរិមាណដែលមិនស្គាល់តម្លៃដែលត្រូវបានគណនាក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការបង្កើនប្រសិទ្ធភាព។ បរិមាណមូលដ្ឋាន ឬដេរីវេណាដែលបម្រើដើម្បីពណ៌នាអំពីប្រព័ន្ធអាចបម្រើជាប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនា។ ដូច្នេះ, វាអាចជាតម្លៃមិនស្គាល់នៃប្រវែង, ម៉ាស់, ពេលវេលា, សីតុណ្ហភាព។ ចំនួននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាកំណត់លក្ខណៈកម្រិតនៃភាពស្មុគស្មាញនៃបញ្ហារចនានេះ។ ជាធម្មតាចំនួននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាត្រូវបានតាងដោយ n ហើយប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាដោយខ្លួនឯងដោយ x ជាមួយនឹងសន្ទស្សន៍ដែលត្រូវគ្នា។ ដូច្នេះ n ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនានៃបញ្ហានេះនឹងត្រូវបានតាងដោយ

X1, x2, x3, ...,xn ។

មុខងារគោលបំណង

នេះគឺជាកន្សោមដែលតម្លៃដែលវិស្វករព្យាយាមពង្រីក ឬបង្រួមអប្បបរមា។ មុខងារគោលបំណងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប្រៀបធៀបបរិមាណដំណោះស្រាយជំនួសពីរ។ តាមទស្សនៈគណិតវិទ្យា មុខងារគោលបំណងពិពណ៌នាមួយចំនួន (n + 1) - ផ្ទៃវិមាត្រ។ តម្លៃរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនា

M=M(x 1, x 2,...,x n)។

ឧទាហរណ៍នៃមុខងារគោលបំណង ដែលជារឿយៗជួបប្រទះក្នុងការអនុវត្តវិស្វកម្ម គឺតម្លៃ ទម្ងន់ កម្លាំង វិមាត្រ ប្រសិទ្ធភាព។ ប្រសិនបើមានប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាតែមួយ នោះមុខងារគោលបំណងអាចត្រូវបានតំណាងដោយខ្សែកោងនៅលើយន្តហោះ (រូបភាព 6.1) ។ ប្រសិនបើមានប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាពីរ នោះមុខងារគោលដៅនឹងត្រូវបានតំណាងដោយផ្ទៃក្នុងចន្លោះនៃវិមាត្របី (រូបភាព 6.2)។ ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាបី ឬច្រើន ផ្ទៃដែលបានបញ្ជាក់ដោយមុខងារគោលបំណងត្រូវបានគេហៅថា hypersurfaces ហើយមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញបានទេ។

មធ្យោបាយសាមញ្ញ zheniya ។ លក្ខណៈសម្បត្តិ topological នៃផ្ទៃមុខងារគោលបំណងដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងដំណើរការបង្កើនប្រសិទ្ធភាព ដោយសារជម្រើសនៃក្បួនដោះស្រាយដែលមានប្រសិទ្ធភាពបំផុតអាស្រ័យលើពួកគេ។

មុខងារគោលបំណងនៅក្នុងករណីខ្លះអាចយកទម្រង់ដែលមិនរំពឹងទុកបំផុត។ ជាឧទាហរណ៍ វាមិនតែងតែអាចបង្ហាញវានៅក្នុងនោះទេ។

រូបភព 1. មុខងារគោលបំណងមួយវិមាត្រ។

Fig.6.2.មុខងារគោលបំណងពីរវិមាត្រ។

ទម្រង់គណិតវិទ្យាដែលបិទ ក្នុងករណីផ្សេងទៀតវាអាចធ្វើបាន

ក្លាយជាមុខងាររលូន។ ជួនកាលមុខងារគោលបំណងអាចត្រូវការតារាងទិន្នន័យបច្ចេកទេស (ឧទាហរណ៍ តារាងស្ថានភាពចំហាយទឹក) ឬវាអាចចាំបាច់ដើម្បីធ្វើពិសោធន៍។ ក្នុងករណីខ្លះ ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាយកតែតម្លៃចំនួនគត់។ ឧទាហរណ៍​មួយ​នឹង​ជា​ចំនួន​ធ្មេញ​នៅ​ក្នុង​ប្រអប់​លេខ ឬ​ចំនួន​ប៊ូឡុង​នៅ​ក្នុង​ប្រអប់​ដែក។ ជួនកាលប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាមានតម្លៃតែពីរប៉ុណ្ណោះ - បាទឬអត់។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រគុណភាព ដូចជាការពេញចិត្តរបស់អតិថិជន ភាពជឿជាក់ សោភ័ណភាព មានភាពលំបាកក្នុងការយកទៅពិចារណាក្នុងដំណើរការបង្កើនប្រសិទ្ធភាព ដោយសារវាស្ទើរតែមិនអាចកំណត់បរិមាណបាន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងទម្រង់ណាក៏ដោយ ដែលមុខងារគោលបំណងត្រូវបានបង្ហាញ វាត្រូវតែជាមុខងារតម្លៃតែមួយនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនា។

នៅក្នុងបញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាពមួយចំនួន ការណែនាំនៃមុខងារគោលបំណងច្រើនជាងមួយគឺត្រូវបានទាមទារ។ ជួនកាលមួយក្នុងចំណោមពួកវាអាចមិនត្រូវគ្នានឹងមួយទៀត។ ឧទាហរណ៏មួយគឺការរចនានៃយន្តហោះនៅពេលដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីផ្តល់នូវកម្លាំងអតិបរមាទម្ងន់អប្បបរមានិងការចំណាយអប្បបរមាក្នុងពេលតែមួយ។ ក្នុងករណីបែបនេះ អ្នករចនាត្រូវតែណែនាំប្រព័ន្ធអាទិភាព និងកំណត់មេគុណគ្មានវិមាត្រមួយចំនួនដល់មុខងារគោលបំណងនីមួយៗ។ ជាលទ្ធផល "មុខងារសម្របសម្រួល" លេចឡើងដែលអនុញ្ញាតឱ្យប្រើមុខងារគោលបំណងផ្សំមួយនៅក្នុងដំណើរការបង្កើនប្រសិទ្ធភាព។

ស្វែងរកអប្បបរមានិងអតិបរមា

ក្បួនដោះស្រាយការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពមួយចំនួនត្រូវបានកែសម្រួលសម្រាប់ការស្វែងរកអតិបរមា និងផ្សេងទៀតសម្រាប់ការស្វែងរកអប្បបរមា។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយមិនគិតពីប្រភេទនៃបញ្ហាធ្ងន់ធ្ងរដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយ មនុស្សម្នាក់អាចប្រើក្បួនដោះស្រាយដូចគ្នា ចាប់តាំងពីបញ្ហាបង្រួមអប្បបរមាអាចប្រែទៅជាបញ្ហាស្វែងរកអតិបរមាបានយ៉ាងងាយស្រួលដោយបញ្ច្រាសសញ្ញានៃមុខងារគោលបំណង។ បច្ចេកទេសនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាព 6.3 ។

កន្លែងរចនា

នេះគឺជាឈ្មោះនៃតំបន់ដែលកំណត់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនា n ទាំងអស់។ ទំហំរចនាមិនធំដូចដែលវាហាក់បីដូចជាទេ ព្រោះជាធម្មតាវាត្រូវបានកំណត់ចំពោះចំនួនមួយចំនួន

លក្ខខណ្ឌដែលទាក់ទងនឹងខ្លឹមសាររូបវន្តនៃបញ្ហា។ ឧបសគ្គអាចខ្លាំងដែលកិច្ចការនឹងមិនមាន

Fig.6.3. ការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃមុខងារគោលបំណងទៅផ្ទុយ

ភារកិច្ចអតិបរមាក្លាយជាភារកិច្ចអប្បបរមា។

ដំណោះស្រាយដែលពេញចិត្ត។ ឧបសគ្គត្រូវបានបែងចែកជាពីរក្រុម៖ ឧបសគ្គ - សមភាព និងឧបសគ្គ - វិសមភាព។

ឧបសគ្គ - សមភាព

ឧបសគ្គ - សមភាព - គឺជាការពឹងផ្អែករវាងប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការរចនាដែលត្រូវតែយកមកពិចារណានៅពេលស្វែងរកដំណោះស្រាយ។ ពួកគេឆ្លុះបញ្ចាំងពីច្បាប់នៃធម្មជាតិ សេដ្ឋកិច្ច សិទ្ធិ ចំណង់ចំណូលចិត្ត និងលទ្ធភាពទទួលបានសម្ភារៈចាំបាច់។ ចំនួននៃការរឹតបន្តឹង - សមភាពអាចជាណាមួយ។ ពួកគេមើលទៅដូច

C 1 (x 1, x 2,...,x n)=0,

C 2 (x 1, x 2,...,x n)=0,

..................

C j (x 1 , x 2 , ... ,x n) = 0 ។

ប្រសិនបើមានទំនាក់ទំនងទាំងនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាណាមួយ នោះវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដកប៉ារ៉ាម៉ែត្រនេះចេញពីដំណើរការបង្កើនប្រសិទ្ធភាព។ នេះកាត់បន្ថយចំនួនវិមាត្រនៃទំហំរចនា និងសម្រួលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា។

ឧបសគ្គ - វិសមភាព

នេះគឺជាប្រភេទនៃឧបសគ្គពិសេសដែលបង្ហាញដោយវិសមភាព។ ក្នុងករណីទូទៅ វាអាចមានលេខណាមួយ ហើយពួកវាទាំងអស់មានទម្រង់

z 1 r 1 (x 1 , x 2 ,... ,x n) Z ១

z 2 r 2 (x 1 , x 2 ,... ,x n) Z ២

.......................

z k r k (x 1 , x 2 , ... ,x n) Z k

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាជាញឹកញាប់ណាស់, ដោយសារតែដែនកំណត់, តម្លៃដ៏ល្អប្រសើរនៃមុខងារគោលបំណងមិនត្រូវបានសម្រេចនៅពេលដែលផ្ទៃរបស់វាមានជម្រាលសូន្យ។ ជារឿយៗដំណោះស្រាយដ៏ល្អបំផុតគឺនៅព្រំដែនមួយនៃដែននៃការរចនា។

ក្នុងស្រុកល្អបំផុត

នេះគឺជាឈ្មោះនៃចំណុចនៅក្នុងចន្លោះការរចនាដែលមុខងារគោលបំណងមានតម្លៃធំបំផុតបើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃរបស់វានៅគ្រប់ចំណុចផ្សេងទៀតនៅក្នុងសង្កាត់ភ្លាមៗរបស់វា។

Fig.6.4. មុខងារគោលបំណងបំពានអាចមានច្រើន។

optima ក្នុងស្រុក។

នៅលើរូបភព។ រូបភាពទី 6.4 បង្ហាញមុខងារគោលបំណងមួយវិមាត្រដែលមានភាពល្អប្រសើរក្នុងតំបន់ពីរ។ ជាញឹកញយ កន្លែងរចនាមានសុទិដ្ឋិនិយមក្នុងស្រុកជាច្រើន ហើយត្រូវយកចិត្តទុកដាក់កុំឱ្យច្រឡំលេខទីមួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយល្អបំផុតចំពោះបញ្ហា។

សកលល្អបំផុត

ល្អបំផុតជាសកលគឺជាដំណោះស្រាយដ៏ល្អប្រសើរសម្រាប់ទំហំរចនាទាំងមូល។ វាប្រសើរជាងដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតទាំងអស់ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង optima ក្នុងស្រុក ហើយនេះគឺជាអ្វីដែលអ្នករចនាកំពុងស្វែងរក។ ករណីនៃ optima សកលស្មើគ្នាជាច្រើនដែលមានទីតាំងនៅផ្នែកផ្សេងៗនៃទំហំរចនាគឺអាចធ្វើទៅបាន។ របៀបដែលបញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាពត្រូវបានដាក់បង្ហាញគឺល្អបំផុតដោយឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍ 6.1

អនុញ្ញាតឱ្យវាតម្រូវឱ្យរចនាធុងរាងចតុកោណដែលមានបរិមាណ 1 ម រចនាឡើងដើម្បីដឹកជញ្ជូនជាតិសរសៃដែលមិនបានវេចខ្ចប់។ វាជាការចង់បានដែលថាសម្ភារៈតិចតួចតាមដែលអាចធ្វើទៅបានត្រូវបានចំណាយលើការផលិតធុងបែបនេះ (សន្មតថាកម្រាស់ជញ្ជាំងថេរនេះមានន័យថាផ្ទៃដីគួរតែមានតិចតួច) ព្រោះវាមានតម្លៃថោកជាង។ ដើម្បីធ្វើឱ្យវាមានភាពងាយស្រួលក្នុងការយកធុងជាមួយ forklift ទទឹងរបស់វាត្រូវតែមានយ៉ាងហោចណាស់ 1.5 ម៉ែត្រ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតបញ្ហានេះក្នុងទម្រង់ដែលងាយស្រួលសម្រាប់អនុវត្តក្បួនដោះស្រាយបង្កើនប្រសិទ្ធភាព។

ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនា៖ x 1, x 2, x 3 ។

មុខងារគោលបំណង (ដែលត្រូវការបង្រួមអប្បបរមា) គឺជាផ្ទៃនៃផ្ទៃចំហៀងនៃធុង៖

A=2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3), m2 ។

ឧបសគ្គ - សមភាព៖

បរិមាណ \u003d x 1 x 2 x 3 \u003d 1m3 ។

ឧបសគ្គ - វិសមភាព៖

បញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ

កម្មវិធីលីនេអ៊ែរ (LP)គឺជាផ្នែកមួយនៃការសរសេរកម្មវិធីគណិតវិទ្យា - វិន័យដែលសិក្សាពីបញ្ហា (ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាព) យ៉ាងខ្លាំង ហើយបង្កើតវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

បញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាពគឺជាបញ្ហាគណិតវិទ្យាដែលមាននៅក្នុងការស្វែងរកតម្លៃល្អបំផុត (ឧ។ អតិបរមា ឬអប្បបរមា) នៃមុខងារគោលបំណង ហើយតម្លៃនៃអថេរត្រូវតែជារបស់តំបន់ជាក់លាក់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន (ODV)។

ជាទូទៅ ការបង្កើតបញ្ហាធ្ងន់ធ្ងរនៃការសរសេរកម្មវិធីគណិតវិទ្យាមានក្នុងការកំណត់តម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ ដែលហៅថា មុខងារគោលបំណងនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ (ការរឹតបន្តឹង) កន្លែង និងត្រូវបានផ្តល់មុខងារ និងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យថេរ។ ទន្ទឹមនឹងនេះ ការរឹតបន្តឹងក្នុងទម្រង់សមភាព និងវិសមភាពកំណត់សំណុំ (តំបន់) នៃដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើទៅបាន (ODS) ហើយត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនា.

អាស្រ័យលើប្រភេទនៃមុខងារ និងបញ្ហានៃការសរសេរកម្មវិធីគណិតវិទ្យាត្រូវបានបែងចែកទៅជាថ្នាក់មួយចំនួន (លីនេអ៊ែរ, មិនលីនេអ៊ែរ, ប៉ោង, ចំនួនគត់, stochastic, ការសរសេរកម្មវិធីថាមវន្ត។ល។)។

អេ ទិដ្ឋភាពទូទៅបញ្ហា LP មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

, (5.1)

, , (5.2)

, , (5.3)

ដែលជាកន្លែងដែល , , ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យថេរ។

អនុគមន៍ (៥.១) ហៅថា មុខងារគោលបំណង; ប្រព័ន្ធ (5.2), (5.3) - ដោយប្រព័ន្ធនៃឧបសគ្គមួយ; លក្ខខណ្ឌ (5.4) គឺជាលក្ខខណ្ឌនៃភាពមិនអវិជ្ជមាននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនា។

សំណុំនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាដែលបំពេញនូវឧបសគ្គ (5.2), (5.3) និង (5.4) ត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយដែលអាចទទួលយកបាន។ឬ ផែនការ.

ដំណោះស្រាយល្អបំផុតឬ ផែនការដ៏ល្អប្រសើរបញ្ហា LP ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ជា​ដំណោះ​ស្រាយ​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន ដែល​មុខងារ​គោល​បំណង (5.1) យក​តម្លៃ​ដ៏​ប្រសើរ (អតិបរមា ឬ​អប្បបរមា)។

ភារកិច្ចស្តង់ដារ LP ត្រូវបានគេហៅថាបញ្ហានៃការស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា (អប្បបរមា) នៃមុខងារគោលបំណង (5.1) ក្រោមលក្ខខណ្ឌ (5.2) និង (5.4) ដែលជាកន្លែងដែល , , i.e. ទាំងនោះ។ ការរឹតត្បិតតែក្នុងទម្រង់វិសមភាព (5.2) ហើយប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាទាំងអស់បំពេញលក្ខខណ្ឌមិនអវិជ្ជមាន ហើយមិនមានលក្ខខណ្ឌក្នុងទម្រង់សមភាពទេ៖

,

, , (5.5)

.

កិច្ចការ Canonical (ចម្បង) LP ត្រូវបានគេហៅថាបញ្ហានៃការស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា (អប្បបរមា) នៃមុខងារគោលបំណង (5.1) ក្រោមលក្ខខណ្ឌ (5.3) និង (5.4) ដែលជាកន្លែងដែល , , i.e. ទាំងនោះ។ ការរឹតត្បិតតែក្នុងទម្រង់សមភាព (៥.៣) និងប៉ារ៉ាម៉ែត្ររចនាទាំងអស់បំពេញលក្ខខណ្ឌមិនអវិជ្ជមាន ហើយមិនមានលក្ខខណ្ឌក្នុងទម្រង់វិសមភាពទេ៖

,

.

បញ្ហា Canonical LP ក៏អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស និងវ៉ិចទ័រផងដែរ។

ទម្រង់ម៉ាទ្រីសនៃបញ្ហា Canonical LP មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

ទម្រង់វ៉ិចទ័រនៃបញ្ហា Canonical LP ។