Hyperbola ជាផ្នែកនៃផ្ទៃនៃកោណដោយយន្តហោះខាងមុខ។ សិក្សាទ្រឹស្តីនៃផ្នែកសាជី

ខ្លឹមសារនៃអត្ថបទ

ផ្នែកសាជី,ខ្សែកោងនៃយន្តហោះ ដែលត្រូវបានទទួលដោយការឆ្លងកាត់កោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំជាមួយនឹងយន្តហោះដែលមិនឆ្លងកាត់ផ្នែកខាងលើរបស់វា (រូបភាពទី 1)។ តាមទស្សនៈនៃធរណីមាត្រវិភាគ ផ្នែករាងសាជីគឺជាទីតាំងនៃចំណុចដែលបំពេញសមីការលំដាប់ទីពីរ។ ដោយមានករណីលើកលែងនៃករណី degenerate ដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយ ផ្នែករាងសាជីគឺពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ឬប៉ារ៉ាបូឡា។

ផ្នែកសាជីត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងធម្មជាតិនិងបច្ចេកវិទ្យា។ ជាឧទាហរណ៍ គន្លងនៃភពដែលវិលជុំវិញព្រះអាទិត្យគឺជារាងពងក្រពើ។ រង្វង់​គឺ​ជា​ករណី​ពិសេស​នៃ​រាង​ពង​ក្រពើ ដែល​អ័ក្ស​សំខាន់​ស្មើ​នឹង​អនីតិជន។ កញ្ចក់ប៉ារ៉ាបូលមានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលកាំរស្មីឧបទ្ទវហេតុទាំងអស់ស្របគ្នាទៅនឹងអ័ក្សរបស់វាបញ្ចូលគ្នានៅចំណុចមួយ (ផ្តោត) ។ វាត្រូវបានប្រើនៅក្នុងកែវពង្រីកដែលឆ្លុះបញ្ចាំងភាគច្រើនដោយប្រើកញ្ចក់ប៉ារ៉ាបូល ក៏ដូចជានៅក្នុងអង់តែនរ៉ាដា និងមីក្រូហ្វូនពិសេសដែលមានឧបករណ៍ឆ្លុះបញ្ចាំងប៉ារ៉ាបូល។ ធ្នឹមនៃកាំរស្មីប៉ារ៉ាឡែលបញ្ចេញចេញពីប្រភពពន្លឺដែលដាក់នៅចំកណ្តាលនៃកញ្ចក់ឆ្លុះបញ្ចាំងប៉ារ៉ាបូល។ ដូច្នេះ កញ្ចក់ប៉ារ៉ាបូល ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងអំពូលភ្លើងដែលមានអនុភាព និងចង្កៀងមុខរថយន្ត។ អ៊ីពែបូឡា គឺជាក្រាហ្វនៃទំនាក់ទំនងរាងកាយសំខាន់ៗជាច្រើន ដូចជាច្បាប់របស់ Boyle (ដែលទាក់ទងនឹងសម្ពាធ និងបរិមាណនៃឧស្ម័នដ៏ល្អមួយ) និងច្បាប់ Ohm ដែលកំណត់ចរន្តអគ្គិសនីជាមុខងារនៃភាពធន់នៅតង់ស្យុងថេរ។

ប្រវត្តិសាស្ត្រដើម

អ្នករកឃើញផ្នែករាងសាជី ត្រូវបានគេសន្មត់ថា Menechmus (សតវត្សទី 4 មុនគ.ស) ដែលជាសិស្សរបស់ Plato និងជាគ្រូរបស់ Alexander the Great ។ Menechmus បានប្រើ parabola និង isosceles hyperbola ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃការកើនឡើងទ្វេដងគូបមួយ។

សន្ធិសញ្ញាស្តីពីផ្នែកសាជីដែលសរសេរដោយ Aristaeus និង Euclid នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 4 ។ BC, ត្រូវបានបាត់បង់ប៉ុន្តែសម្ភារៈពីពួកគេត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងដ៏ល្បីល្បាញ ផ្នែកសាជី Apollonius of Perga (c. 260-170 មុនគ.ស) ដែលបានរស់រានមានជីវិតដល់សម័យរបស់យើង។ Apollonius បានបោះបង់ចោលនូវតម្រូវការដែលថា ប្លង់សេកុងនៃ generatrix នៃកោណត្រូវកាត់កែង ហើយដោយការផ្លាស់ប្តូរមុំនៃទំនោររបស់វា ទទួលបានផ្នែកសាជីទាំងអស់ពីកោណរាងជារង្វង់មួយ ត្រង់ ឬទំនោរ។ យើងក៏ជំពាក់ Apollonius ឈ្មោះទំនើបនៃខ្សែកោង - រាងពងក្រពើ ប៉ារ៉ាបូឡា និងអ៊ីពែបូឡា។

នៅក្នុងការសាងសង់របស់គាត់ Apollonius បានប្រើកោណរាងជារង្វង់ពីរសន្លឹក (ដូចក្នុងរូបទី 1) ដូច្នេះជាលើកដំបូង វាច្បាស់ណាស់ថា អ៊ីពែបូឡា គឺជាខ្សែកោងដែលមានមែកពីរ។ ចាប់តាំងពីសម័យ Apollonius ផ្នែកសាជីត្រូវបានបែងចែកទៅជា 3 ប្រភេទ អាស្រ័យលើទំនោរនៃយន្តហោះកាត់ទៅ generatrix នៃកោណ។ ពងក្រពើ (រូបភាពទី 1, ក) ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅពេលដែលយន្តហោះកាត់កាត់ generatrix ទាំងអស់នៃកោណនៅចំណុចមួយនៃបែហោងធ្មែញរបស់វា; ប៉ារ៉ាបូឡា (រូបទី 1, ខ) - នៅពេលដែលយន្តហោះកាត់គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះតង់សង់មួយនៃកោណ; អ៊ីពែបូល (រូបទី 1, ក្នុង) - នៅពេលដែលយន្តហោះកាត់កាត់បែហោងធ្មែញទាំងពីរនៃកោណ។

ការសាងសង់ផ្នែកសាជី

ខណៈពេលដែលកំពុងសិក្សាផ្នែករាងសាជីជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ និងកោណ គណិតវិទូក្រិកបុរាណក៏បានចាត់ទុកពួកគេថាជាគន្លងនៃចំនុចនៅលើយន្តហោះផងដែរ។ វាត្រូវបានគេរកឃើញថាពងក្រពើអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាទីតាំងនៃចំណុច, ផលបូកនៃចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺថេរ; ប៉ារ៉ាបូឡា - ជាទីតាំងនៃចំណុចស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ; អ៊ីពែបូឡា - ជាទីតាំងនៃចំណុច ភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺថេរ។

និយមន័យនៃផ្នែករាងសាជីទាំងនេះជាខ្សែកោងរបស់យន្តហោះក៏ណែនាំពីវិធីសាងសង់ពួកវាដោយប្រើខ្សែដែលលាតសន្ធឹង។

ពងក្រពើ។

ប្រសិនបើចុងបញ្ចប់នៃខ្សែស្រឡាយនៃប្រវែងដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានជួសជុលនៅចំណុច ច 1 និង ច 2 (រូបទី 2) បន្ទាប់មក ខ្សែកោង​ដែល​បាន​ពិពណ៌នា​ដោយ​ចុង​ខ្មៅដៃ​ដែល​រអិល​តាម​ខ្សែ​ដែល​លាតសន្ធឹង​យ៉ាង​តឹង​នោះ​មាន​រាង​ពងក្រពើ។ ពិន្ទុ ច 1 និង ច 2 ត្រូវបានគេហៅថា foci នៃរាងពងក្រពើនិងផ្នែក វ 1 វ 2 និង v 1 v 2 រវាងចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ - អ័ក្សធំនិងអនីតិជន។ ប្រសិនបើពិន្ទុ ច 1 និង ច 2 ស្របគ្នា បន្ទាប់មកពងក្រពើប្រែទៅជារង្វង់។

អ៊ីពែបូឡា។

នៅពេលសាងសង់អ៊ីពែបូឡា ចំណុចមួយ។ ទំចុងខ្មៅដៃត្រូវបានជួសជុលនៅលើខ្សែស្រឡាយដែលរុញដោយសេរីតាមបង្គោលដែលបានដំឡើងនៅចំណុច ច 1 និង ច 2 ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ ៣, ក. ចម្ងាយត្រូវបានជ្រើសរើសដូច្នេះផ្នែក PF 2 គឺវែងជាងផ្នែក PF 1 ដោយចំនួនថេរតិចជាងចម្ងាយ ច 1 ច២. ក្នុងករណីនេះចុងម្ខាងនៃខ្សែស្រឡាយឆ្លងកាត់នៅក្រោម peg ច 1 និងចុងទាំងពីរនៃខ្សែស្រឡាយឆ្លងកាត់ peg នេះ។ ច២. (ចុងខ្មៅដៃមិនគួររុញតាមខ្សែស្រឡាយទេ ដូច្នេះអ្នកត្រូវជួសជុលវាដោយធ្វើរង្វិលជុំតូចមួយនៅលើខ្សែស្រឡាយ ហើយភ្ជាប់ចុងម្ជុលចូលទៅក្នុងវា។) មែកធាងមួយនៃអ៊ីពែបូឡា ( PV 1 សំណួរ) យើងគូរ ដោយធ្វើឱ្យប្រាកដថា ខ្សែស្រឡាយនៅតែតឹងគ្រប់ពេល ហើយទាញចុងទាំងពីរនៃខ្សែស្រឡាយចុះពីលើចំណុច ច 2 ហើយនៅពេលដែលចំណុច ទំនឹងស្ថិតនៅក្រោមបន្ទាត់ ច 1 ច 2, កាន់ខ្សែស្រឡាយនៅចុងទាំងពីរហើយបន្ធូរដោយប្រុងប្រយ័ត្ន (ឧទាហរណ៍ការដោះលែង) វា។ សាខាទីពីរនៃអ៊ីពែបូឡា ( ទំў វ 2 សំណួរў) យើងគូរដោយបានផ្លាស់ប្តូរតួនាទីរបស់ pegs ពីមុន ច 1 និង ច 2 .

មែកធាងនៃអ៊ីពែបូឡាចូលទៅជិតបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលប្រសព្វគ្នារវាងមែកឈើ។ បន្ទាត់ទាំងនេះហៅថា asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡា ត្រូវបានសាងសង់ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប។ ៣, ខ. ចំណោតនៃបន្ទាត់ទាំងនេះគឺ± ( v 1 v 2)/(វ 1 វ 2) កន្លែងណា v 1 v 2 - ផ្នែកនៃ bisector នៃមុំរវាង asymtotes កាត់កែងទៅផ្នែក ច 1 ច២; ផ្នែកបន្ទាត់ v 1 v 2 ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សរួមនៃអ៊ីពែបូឡា និងផ្នែក វ 1 វ 2 - អ័ក្សឆ្លងកាត់របស់វា។ ដូច្នេះ asymtotes គឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែងដែលមានជ្រុងឆ្លងកាត់បួនចំណុច v 1 , v 2 , វ 1 , វ 2 ស្របទៅនឹងអ័ក្ស។ ដើម្បីបង្កើតចតុកោណកែងនេះអ្នកត្រូវបញ្ជាក់ទីតាំងនៃចំណុច v 1 និង v២. ពួកគេនៅចម្ងាយដូចគ្នា, ស្មើ

ពីចំណុចប្រសព្វនៃអ័ក្ស អូ. រូបមន្តនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការសាងសង់ត្រីកោណខាងស្តាំជាមួយនឹងជើង អូ 1 និង វ 2 អូនិងអ៊ីប៉ូតេនុស ច 2 អូ.

ប្រសិនបើ asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡា កាត់កែងគ្នា នោះអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថា isosceles ។ អ៊ីពែបូឡាសពីរដែលមាន asymptotes ទូទៅ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងអ័ក្សឆ្លងកាត់ និងអ័ក្សផ្សំដែលត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ ត្រូវបានគេហៅថាបញ្ចូលគ្នាទៅវិញទៅមក។

ប៉ារ៉ាបូឡា។

foci នៃរាងពងក្រពើនិងអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេស្គាល់ថា Apollonius ប៉ុន្តែជាក់ស្តែងការផ្តោតអារម្មណ៍នៃប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានបង្កើតឡើងដំបូងដោយ Pappus (ពាក់កណ្តាលទី 2 នៃសតវត្សទី 3) ដែលកំណត់ខ្សែកោងនេះជាទីតាំងនៃចំណុចស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ( ការផ្តោតអារម្មណ៍) និងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលត្រូវបានគេហៅថានាយក។ ការសាងសង់ប៉ារ៉ាបូឡាដោយប្រើខ្សែស្រឡាយលាតសន្ធឹងដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃ Pappus ត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Isidore of Miletus (សតវត្សទី 6) ។ ដាក់បន្ទាត់ត្រង់ដើម្បីឱ្យគែមរបស់វាស្របគ្នានឹង directrix អិលў (រូបទី 4) ហើយភ្ជាប់ជើងទៅនឹងគែមនេះ។ ACត្រីកោណគំនូរ ABC. យើងជួសជុលចុងម្ខាងនៃខ្សែស្រឡាយដែលមានប្រវែង ABនៅកំពូល ខត្រីកោណ និងមួយទៀតនៅចំនុចផ្តោតនៃប៉ារ៉ាបូឡា ច. ទាញខ្សែស្រឡាយដោយចុងខ្មៅដៃ ចុចព័ត៌មានជំនួយនៅចំណុចអថេរ ទំទៅជិះស្គីដោយឥតគិតថ្លៃ ABត្រីកោណគំនូរ។ នៅពេលដែលត្រីកោណផ្លាស់ទីតាមបន្ទាត់ ចំណុច ទំនឹងពណ៌នាអំពីធ្នូនៃប៉ារ៉ាបូឡាដោយផ្តោត ចនិងនាយកសាលា អិលў, ចាប់តាំងពីប្រវែងសរុបនៃខ្សែស្រឡាយគឺស្មើនឹង ABផ្នែកនៃខ្សែស្រឡាយគឺនៅជាប់នឹងជើងសេរីនៃត្រីកោណ ហើយដូច្នេះផ្នែកដែលនៅសល់នៃខ្សែស្រឡាយ PFត្រូវតែស្មើនឹងជើងដែលនៅសល់ AB, i.e. ប៉ា. ចំណុចប្រសព្វ វប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានអ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃ parabola ដែលជាបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ ចនិង វ, គឺជាអ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សត្រូវបានគូសតាមរយៈការផ្តោត នោះផ្នែកនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះដែលត្រូវបានកាត់ផ្តាច់ដោយប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វ។ សម្រាប់ពងក្រពើ និងអ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផ្នែកសាជី

និយមន័យ Pappus ។

ការបង្កើតការផ្តោតអារម្មណ៍នៃប៉ារ៉ាបូឡាបាននាំ Pappus ទៅរកគំនិតនៃការផ្តល់និយមន័យជំនួសនៃផ្នែកសាជីជាទូទៅ។ អនុញ្ញាតឱ្យ ចគឺជាចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ផ្តោត) និង អិលគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (directrix) ដែលមិនឆ្លងកាត់ ច, និង ឃ អេហ្វនិង ឃ អិល- ចម្ងាយពីចំណុចផ្លាស់ទី ទំដើម្បីផ្តោតអារម្មណ៍ ចនិងនាយក អិលរៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មក ដូចដែល Papp បានបង្ហាញ ផ្នែករាងសាជីត្រូវបានកំណត់ជាទីតាំងនៃចំណុច ទំដែលសមាមាត្រ ឃ អេហ្វ/ឃ អិលគឺជាថេរមិនអវិជ្ជមាន។ សមាមាត្រនេះត្រូវបានគេហៅថា eccentricity អ៊ីផ្នែករាងសាជី។ នៅ អ៊ី e > 1 គឺជាអ៊ីពែបូឡា នៅ អ៊ី= 1 គឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ ប្រសិនបើ ក ចស្ថិតនៅលើ អិលបន្ទាប់មក ទីតាំងមានទម្រង់ជាបន្ទាត់ (ពិត ឬស្រមើលស្រមៃ) ដែលជាផ្នែកសាជីដែលខូច។

ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃរាងពងក្រពើ និងអ៊ីពែបូឡា បង្ហាញថា ខ្សែកោងនីមួយៗមាន directrixes ពីរ និង foci ពីរ ហើយកាលៈទេសៈនេះបាននាំឱ្យ Kepler ក្នុងឆ្នាំ 1604 ដល់គំនិតដែលថា parabola ក៏មានការផ្តោតជាលើកទីពីរ និង directrix ទីពីរ - ចំណុចនៅគ្មានដែនកំណត់ និង ត្រង់។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ រង្វង់អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជារាងពងក្រពើ ដែល foci របស់វាស្របគ្នាជាមួយនឹងចំណុចកណ្តាល ហើយ directrixes គឺគ្មានដែនកំណត់។ ភាពប្លែក អ៊ីក្នុងករណីនេះគឺសូន្យ។

ការរចនារបស់ Dandelin ។

Foci និង directrixes នៃផ្នែករាងសាជីអាចបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ដោយប្រើស្វ៊ែរដែលចារឹកក្នុងកោណ ហើយហៅថា Dandelin spheres (balls) ជាកិត្តិយសរបស់គណិតវិទូ និងវិស្វករជនជាតិបែលហ្ស៊ិក J. Dandelin (1794–1847) ដែលបានស្នើការសាងសង់ដូចខាងក្រោម។ សូមឱ្យផ្នែករាងសាជីត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះមួយចំនួន ទំជាមួយនឹងកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំពីរ បែហោងធ្មែញជាមួយនឹង apex នៅចំណុចមួយ។ អូ. ចូរ​យើង​ចារឹក​រង្វង់​ពីរ​ក្នុង​កោណ​នេះ។ ស 1 និង ស 2 ដែលប៉ះយន្តហោះ ទំនៅចំណុច ច 1 និង ច 2 រៀងគ្នា។ ប្រសិនបើផ្នែករាងសាជីជារាងពងក្រពើ (រូបភាពទី 5, ក) បន្ទាប់មកស្វ៊ែរទាំងពីរស្ថិតនៅខាងក្នុងបែហោងធ្មែញតែមួយ៖ ស្វ៊ែរមួយស្ថិតនៅពីលើយន្តហោះ ទំនិងមួយទៀតនៅខាងក្រោមវា។ generatrix នីមួយៗនៃកោណប៉ះស្វ៊ែរទាំងពីរ ហើយទីតាំងនៃចំណុចទំនាក់ទំនងមានទម្រង់ជារង្វង់ពីរ គ 1 និង គ 2 ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះស្របគ្នា។ ទំ 1 និង ទំ២. អនុញ្ញាតឱ្យ ទំគឺជាចំណុចបំពានលើផ្នែកសាជី។ តោះគូរត្រង់ PF 1 , PF 2 និងពង្រីកបន្ទាត់ PO. បន្ទាត់ទាំងនេះគឺតង់សង់ទៅស្វ៊ែរនៅចំណុច ច 1 , ច 2 និង រ 1 , រ២. ដោយសារតង់សង់ទាំងអស់ដែលទាញទៅស្វ៊ែរពីចំណុចមួយគឺស្មើគ្នា ដូច្នេះ PF 1 = PR 1 និង PF 2 = PR២. អាស្រ័យហេតុនេះ PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = រ 1 រ២. ចាប់តាំងពីយន្តហោះ ទំ 1 និង ទំ 2 ប៉ារ៉ាឡែល, ចម្រៀក រ 1 រ 2 មានប្រវែងថេរ។ ដូច្នេះតម្លៃ PR 1 + PR 2 គឺដូចគ្នាសម្រាប់ទីតាំងចំណុចទាំងអស់។ ទំ, និងចំណុច ទំជាកម្មសិទ្ធិរបស់ទីតាំងនៃចំនុចដែលផលបូកនៃចម្ងាយពី ទំមុន ច 1 និង ច 2 គឺថេរ។ ដូច្នេះចំណុច ច 1 និង ច 2 - foci នៃផ្នែករាងអេលីប។ លើសពីនេះទៀតវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាបន្ទាត់ដែលនៅតាមបណ្តោយយន្តហោះ ទំឆ្លងកាត់យន្តហោះ ទំ 1 និង ទំ 2, គឺជា directrixes នៃ ellipse សាងសង់។ ប្រសិនបើ ក ទំឆ្លងកាត់បែហោងធ្មែញទាំងពីរនៃកោណ (រូបភាព 5, ខ) បន្ទាប់មក លំពែង Dandelin ពីរស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃយន្តហោះ ទំស្វ៊ែរមួយនៅក្នុងបែហោងធ្មែញនីមួយៗនៃកោណ។ ក្នុងករណីនេះភាពខុសគ្នារវាង PF 1 និង PF 2 គឺថេរ, និងទីតាំងនៃចំណុច ទំមានទម្រង់ hyperbola ជាមួយ foci ច 1 និង ច 2 និងបន្ទាត់ត្រង់ - បន្ទាត់ប្រសព្វ ទំជាមួយ ទំ 1 និង ទំ២- ជានាយក។ ប្រសិនបើផ្នែកសាជីគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ ៥, ក្នុងបន្ទាប់មកមានតែផ្នែក Dandelin មួយប៉ុណ្ណោះដែលអាចចារឹកនៅក្នុងកោណបាន។

លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀត។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផ្នែកសាជីគឺពិតជាមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន ហើយណាមួយនៃពួកវាអាចត្រូវបានគេយកមកធ្វើជាការសម្រេចចិត្ត។ កន្លែងសំខាន់នៅក្នុង ការប្រជុំគណិតវិទ្យាប៉ាប៉ា (គ.៣០០), ធរណីមាត្រ Descartes (1637) និង ការចាប់ផ្តើមញូតុន (១៦៨៧) មាន​ការ​ព្រួយ​បារម្ភ​ចំពោះ​បញ្ហា​នៃ​ទីតាំង​នៃ​ចំណុច​ទាក់ទង​នឹង​បន្ទាត់​បួន។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់ចំនួនបួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ អិល 1 , អិល 2 , អិល 3 និង អិល 4 (ពីរដែលអាចផ្គូផ្គងបាន) និងចំណុចមួយ។ ទំគឺជាផលិតផលនៃចម្ងាយពី ទំមុន អិល 1 និង អិល 2 គឺសមាមាត្រទៅនឹងផលិតផលនៃចម្ងាយពី ទំមុន អិល 3 និង អិល 4 បន្ទាប់មកទីតាំងនៃចំណុច ទំគឺជាផ្នែកសាជី។ ដោយច្រឡំថា Apollonius និង Pappus បានបរាជ័យក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៃទីតាំងនៃចំណុចទាក់ទងនឹងបន្ទាត់ចំនួនបួន Descartes ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយនិងធ្វើឱ្យវាទូទៅបានបង្កើតធរណីមាត្រវិភាគ។

វិធីសាស្រ្តវិភាគ

ចំណាត់ថ្នាក់ពិជគណិត។

នៅក្នុងពាក្យពិជគណិត ផ្នែករាងសាជីអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាខ្សែកោងយន្តហោះដែលសំរបសំរួល Cartesian បំពេញសមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត សមីការនៃផ្នែកសាជីទាំងអស់អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ទូទៅដូចជា

ដែលមិនមែនជាមេគុណទាំងអស់។ ក, ខនិង គគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដោយមានជំនួយពីការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល និងការបង្វិលអ័ក្ស សមីការ (1) អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់

ពូថៅ 2 + ដោយ 2 + គ = 0

ភីច 2 + qy = 0.

សមីការទីមួយត្រូវបានទទួលពីសមីការ (1) ជាមួយ ខ 2 № AC, ទីពីរ - នៅ ខ 2 = AC. ផ្នែកសាជីដែលសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ទីមួយត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាល។ ផ្នែកសាជីដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការនៃប្រភេទទីពីរជាមួយ qលេខ 0 ត្រូវបានគេហៅថាមិនមែនកណ្តាល។ នៅក្នុងប្រភេទទាំងពីរនេះមាន 9 ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃផ្នែកសាជី អាស្រ័យលើសញ្ញានៃមេគុណ។

២៨៣១) អ៊ី ក, ខនិង គមានសញ្ញាដូចគ្នា បន្ទាប់មកមិនមានចំណុចពិតប្រាកដដែលកូអរដោនេនឹងបំពេញសមីការនោះទេ។ ផ្នែករាងសាជីបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាពងក្រពើស្រមើលស្រមៃ (ឬរង្វង់ស្រមើលស្រមៃប្រសិនបើ ក = ខ).

2) ប្រសិនបើ កនិង ខមានសញ្ញាមួយ និង គ- ទល់មុខ បន្ទាប់មកផ្នែករាងសាជីគឺជាពងក្រពើ (រូបភាពទី 1, ក); នៅ ក = ខ- រង្វង់ (រូបភាព 6, ខ).

3) ប្រសិនបើ កនិង ខមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា បន្ទាប់មកផ្នែកសាជីគឺជាអ៊ីពែបូឡា (រូបភាពទី 1, ក្នុង).

4) ប្រសិនបើ កនិង ខមានសញ្ញាផ្សេងគ្នានិង គ= 0 បន្ទាប់មកផ្នែកសាជីមានពីរបន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វគ្នា (រូបភាព 6, ក).

5) ប្រសិនបើ កនិង ខមានសញ្ញាមួយនិង គ= 0 បន្ទាប់មកមានចំណុចពិតតែមួយគត់នៅលើខ្សែកោងដែលបំពេញសមីការ ហើយផ្នែករាងសាជីគឺជាបន្ទាត់ប្រសព្វស្រមើលស្រមៃពីរ។ ក្នុងករណីនេះ មួយក៏និយាយអំពីពងក្រពើដែលចុះកិច្ចសន្យាដល់ចំណុចមួយ ឬប្រសិនបើ ក = ខបានចុះកិច្ចសន្យាដល់ចំណុចនៃរង្វង់មួយ (រូបភាព 6, ខ).

6) ប្រសិនបើ ក, ឬ ខគឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយមេគុណដែលនៅសល់មានសញ្ញាផ្សេងគ្នា បន្ទាប់មកផ្នែករាងសាជីមានបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ។

7) ប្រសិនបើ ក, ឬ ខគឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយមេគុណដែលនៅសល់មានសញ្ញាដូចគ្នា នោះគ្មានចំណុចពិតប្រាកដដែលបំពេញសមីការនោះទេ។ ក្នុង​ករណី​នេះ ផ្នែក​សាជី​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​មាន​បន្ទាត់​ប៉ារ៉ាឡែល​ស្រមើលស្រមៃ​ពីរ។

៨) ប្រសិនបើ គ= 0 និង ក, ឬ ខក៏ស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកផ្នែករាងសាជីមានបន្ទាត់ស្របគ្នាពិតប្រាកដពីរ។ (សមីការមិនកំណត់ផ្នែកសាជីណាមួយនៅ ក = ខ= 0 ដោយហេតុថាក្នុងករណីនេះសមីការដើម (1) មិនមែនជាដឺក្រេទីពីរទេ។)

9) សមីការនៃប្រភេទទីពីរកំណត់ parabolas if ទំនិង qខុសពីសូន្យ។ ប្រសិនបើ ក ទំលេខ 0 និង q= 0 យើងទទួលបានខ្សែកោងពីធាតុទី 8។ ប្រសិនបើផ្ទុយទៅវិញ ទំ= 0 បន្ទាប់មកសមីការមិនកំណត់ផ្នែកសាជីណាមួយទេ ព្រោះសមីការដើម (1) មិនមែនជាដឺក្រេទីពីរទេ។

ដេរីវេនៃសមីការនៃផ្នែកសាជី។

ផ្នែកសាជីណាមួយក៏អាចត្រូវបានកំណត់ថាជាខ្សែកោងតាមបណ្តោយដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នាជាមួយនឹងផ្ទៃបួនជ្រុង ពោលគឺឧ។ ជាមួយនឹងផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការនៃដឺក្រេទីពីរ f (x, y, z) = 0. ជាក់ស្តែង ផ្នែកសាជីត្រូវបានទទួលស្គាល់ជាលើកដំបូងនៅក្នុងទម្រង់នេះ ហើយឈ្មោះរបស់ពួកគេ ( មើល​ខាង​ក្រោម) ត្រូវបានទាក់ទងទៅនឹងការពិតដែលថាពួកគេត្រូវបានទទួលដោយការឆ្លងកាត់យន្តហោះជាមួយកោណ z 2 = x 2 + y២. អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD- មូលដ្ឋាននៃកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំ (រូបភាពទី 7) ដែលមានមុំខាងស្តាំនៅផ្នែកខាងលើ វ. អនុញ្ញាតឱ្យយន្តហោះ FDCប្រសព្វ generatrix វីប៊ីនៅចំណុច ច, មូលដ្ឋានគឺនៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ស៊ីឌីនិងផ្ទៃនៃកោណ - តាមបណ្តោយខ្សែកោង DFPCកន្លែងណា ទំគឺជាចំណុចណាមួយនៅលើខ្សែកោង។ គូរកាត់ពាក់កណ្តាលនៃផ្នែក ស៊ីឌី- ចំណុច អ៊ី- ផ្ទាល់ អេហ្វនិងអង្កត់ផ្ចិត AB. តាមរយៈចំណុច ទំគូរ​ប្លង់​ស្រប​នឹង​មូលដ្ឋាន​កោណ កាត់​កោណ​ជា​រង្វង់ RPSនិងដោយផ្ទាល់ អេហ្វនៅចំណុច សំណួរ. បន្ទាប់មក QFនិង QPអាចត្រូវបានគេយករៀងៗខ្លួនសម្រាប់ abscissa xនិងចាត់តាំង yពិន្ទុ ទំ. ខ្សែកោងលទ្ធផលនឹងជាប៉ារ៉ាបូឡា។

សំណង់ដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ 7 អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីទាញយកសមីការទូទៅសម្រាប់ផ្នែកសាជី។ ការ៉េនៃប្រវែងនៃចម្រៀកកាត់កែង ដែលស្ដារពីចំណុចណាមួយនៃអង្កត់ផ្ចិតទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយរង្វង់ គឺតែងតែស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងនៃផ្នែកនៃអង្កត់ផ្ចិត។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

y 2 = RQហ សំណួរ.

សម្រាប់ប៉ារ៉ាបូឡា ផ្នែកមួយ។ RQមានប្រវែងថេរ (ព្រោះសម្រាប់ទីតាំងណាមួយនៃចំណុច ទំវាស្មើនឹងផ្នែក អេ) និងប្រវែងនៃផ្នែក សំណួរសមាមាត្រ x(ពីទំនាក់ទំនង សំណួរ/អ៊ី = QF/F.E.) ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។

កន្លែងណា កគឺជាមេគុណថេរ។ ចំនួន កបង្ហាញប្រវែងនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា។

ប្រសិនបើមុំនៅកំពូលនៃកោណគឺស្រួច, បន្ទាប់មកចម្រៀក RQមិនស្មើនឹងកាត់ អេ; ប៉ុន្តែសមាមាត្រ y 2 = RQហ សំណួរគឺស្មើនឹងសមីការនៃទម្រង់

កន្លែងណា កនិង ខគឺថេរ ឬបន្ទាប់ពីផ្លាស់ប្តូរអ័ក្សទៅសមីការ

ដែលជាសមីការនៃពងក្រពើ។ ចំនុចប្រសព្វនៃរាងពងក្រពើជាមួយអ័ក្ស x (x = កនិង x = –ក) និងចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្ស y (y = ខនិង y = –ខ) កំណត់អ័ក្សធំ និងអនីតិជនរៀងៗខ្លួន។ ប្រសិនបើមុំនៅចំនុចកំពូលនៃកោណគឺ obtuse នោះខ្សែកោងនៃចំនុចប្រសព្វនៃកោណ និងយន្តហោះមានទម្រង់ជាអ៊ីពែបូឡា ហើយសមីការមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

ឬបន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីអ័ក្ស

ក្នុងករណីនេះចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស xផ្តល់ដោយទំនាក់ទំនង x 2 = ក 2 កំណត់អ័ក្សឆ្លងកាត់ និងចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស yផ្តល់ដោយទំនាក់ទំនង y 2 = –ខ 2 កំណត់អ័ក្សមិត្តរួម។ ប្រសិនបើថេរ កនិង ខនៅក្នុងសមីការ (4a) គឺស្មើគ្នា បន្ទាប់មកអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថា isosceles ។ ដោយការបង្វិលអ័ក្សសមីការរបស់វាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់

xy = k.

ឥឡូវនេះពីសមីការ (3), (2) និង (4) យើងអាចយល់ពីអត្ថន័យនៃឈ្មោះដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយ Apollonius ទៅផ្នែកសាជីសំខាន់ៗបី។ ពាក្យ "ពងក្រពើ", "ប៉ារ៉ាបូឡា" និង "អ៊ីពែបូឡា" មកពីពាក្យក្រិកមានន័យថា "ខ្វះខាត" "ស្មើគ្នា" និង "ឧត្តមភាព" ។ ពីសមីការ (3), (2) និង (4) វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ពងក្រពើ y២ ខ ២/ ក) xសម្រាប់ប៉ារ៉ាបូឡា y 2 = (ក) xនិងសម្រាប់ hyperbole y 2 > (2ខ 2 /ក) x. ក្នុងករណីនីមួយៗ តម្លៃដែលរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបគឺស្មើនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វនៃខ្សែកោង។

Apollonius ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានពិចារណាតែប្រភេទសាជីទូទៅចំនួនបី (ប្រភេទ 2, 3 និង 9 ដែលបានរាយខាងលើ) ប៉ុន្តែវិធីសាស្រ្តរបស់គាត់បានទទួលស្គាល់ភាពទូទៅដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ពិចារណាខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរពិតប្រាកដទាំងអស់។ ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់ត្រូវបានជ្រើសរើសស្របទៅនឹងមូលដ្ឋានរាងជារង្វង់នៃកោណនោះផ្នែកនឹងជារង្វង់។ ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់មានចំណុចរួមតែមួយជាមួយកោណ ចំនុចកំពូលរបស់វា បន្ទាប់មកផ្នែកនៃប្រភេទទី 5 នឹងត្រូវបានទទួល។ ប្រសិនបើវាមានចំនុចកំពូល និងតង់សង់ទៅកោណ នោះយើងទទួលបានផ្នែកនៃប្រភេទទី 8 (រូបភាព 6, ខ); ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់មានម៉ាស៊ីនភ្លើងពីរនៃកោណ នោះខ្សែកោងប្រភេទ 4 ត្រូវបានទទួលនៅក្នុងផ្នែក (រូបភាព 6, ក); នៅពេលដែល vertex ត្រូវបានផ្ទេរទៅ infinity កោណប្រែទៅជាស៊ីឡាំង ហើយប្រសិនបើយន្តហោះមានម៉ាស៊ីនភ្លើងពីរ នោះផ្នែកនៃប្រភេទ 6 ត្រូវបានទទួល។

នៅពេលមើលពីមុំ oblique រង្វង់មួយមើលទៅដូចជាពងក្រពើ។ ទំនាក់ទំនងរវាងរង្វង់និងរាងពងក្រពើដែលគេស្គាល់ថា Archimedes ក្លាយជាជាក់ស្តែងប្រសិនបើរង្វង់ X 2 + យ 2 = ក 2 ដោយប្រើការជំនួស X = x, យ = (ក/ខ) yបំប្លែងទៅជាពងក្រពើដែលផ្តល់ដោយសមីការ (3a)។ ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ X = x, យ = (អាយ/ខ) yកន្លែងណា ខ្ញុំ 2 = –1 អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមីការរង្វង់ក្នុងទម្រង់ (4a) ។ នេះបង្ហាញថាអ៊ីពែបូឡាអាចត្រូវបានមើលជារាងពងក្រពើដែលមានអ័ក្សអនីតិជនដែលស្រមើលស្រមៃ ឬផ្ទុយទៅវិញ ពងក្រពើអាចត្រូវបានមើលថាជាអ៊ីពែបូឡាដែលមានអ័ក្សរួមស្រមើស្រមៃ។

ទំនាក់ទំនងរវាងការចាត់តាំងនៃរង្វង់មួយ។ x 2 + y 2 = ក 2 និងពងក្រពើ ( x 2 /ក 2) + (y 2 /ខ 2) = 1 ដឹកនាំដោយផ្ទាល់ទៅរូបមន្តរបស់ Archimedes ក = p abសម្រាប់តំបន់នៃរាងពងក្រពើ។ Kepler បានដឹងពីរូបមន្តប្រហាក់ប្រហែល ទំ(ក + ខ) សម្រាប់បរិវេណនៃរាងពងក្រពើជិតរង្វង់មួយ ប៉ុន្តែកន្សោមពិតប្រាកដត្រូវបានទទួលតែនៅក្នុងសតវត្សទី 18 ប៉ុណ្ណោះ។ បន្ទាប់ពីការណែនាំនៃអាំងតេក្រាលរាងអេលីប។ ដូចដែល Archimedes បានបង្ហាញ តំបន់នៃផ្នែកប៉ារ៉ាបូលគឺបួនភាគបីនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណចារិក ប៉ុន្តែប្រវែងនៃធ្នូនៃប៉ារ៉ាបូលអាចត្រូវបានគេគណនាបានតែបន្ទាប់ពីសតវត្សទី 17 ប៉ុណ្ណោះ។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបង្កើតឡើង។

វិធីសាស្រ្តគម្រោង

ធរណីមាត្រគម្រោងគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការសាងសង់ទស្សនវិស័យ។ ប្រសិនបើអ្នកគូររង្វង់មួយនៅលើសន្លឹកក្រដាសថ្លា ហើយដាក់វានៅក្រោមប្រភពពន្លឺ នោះរង្វង់នេះនឹងត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះខាងក្រោម។ ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើប្រភពពន្លឺស្ថិតនៅខាងលើចំកណ្តាលរង្វង់ ហើយប្លង់ និងសន្លឹកថ្លាស្របគ្នានោះ ការព្យាករនឹងជារង្វង់មួយផងដែរ (រូបភាពទី 8)។ ទីតាំងនៃប្រភពពន្លឺត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចបាត់។ វាត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ វ. ប្រសិនបើ ក វទីតាំងមិនស្ថិតនៅពីលើចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ ឬប្រសិនបើយន្តហោះមិនស្របនឹងសន្លឹកក្រដាសនោះ ការព្យាករនៃរង្វង់មានទម្រង់ជារាងពងក្រពើ។ ជាមួយនឹងទំនោរកាន់តែខ្លាំងនៃយន្តហោះ អ័ក្សសំខាន់នៃរាងពងក្រពើ (ការព្យាករនៃរង្វង់) លាតសន្ធឹង ហើយពងក្រពើបន្តិចម្តងៗប្រែទៅជាប៉ារ៉ាបូឡា។ នៅលើយន្តហោះស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ VPការព្យាករណ៍មើលទៅដូចជាប៉ារ៉ាបូឡា។ ជាមួយនឹងទំនោរកាន់តែខ្លាំង ការព្យាករកើតឡើងជាទម្រង់មួយនៃសាខានៃអ៊ីពែបូឡា។

ចំណុចនីមួយៗនៅលើរង្វង់ដើមត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចមួយចំនួននៅលើការព្យាករ។ ប្រសិនបើការព្យាករមានទម្រង់ជាប៉ារ៉ាបូឡា ឬអ៊ីពែបូឡា នោះពួកគេនិយាយថាចំណុចដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុច ទំស្ថិតក្នុងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ឬនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។

ដូចដែលយើងបានឃើញហើយ ជាមួយនឹងជម្រើសដ៏សមរម្យនៃចំណុចដែលបាត់ រង្វង់មួយអាចត្រូវបានព្យាករទៅជារាងពងក្រពើដែលមានទំហំផ្សេងៗ និងមានភាពខុសប្លែកគ្នាផ្សេងៗ ហើយប្រវែងនៃអ័ក្សសំខាន់ៗមិនទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ដែលបានព្យាករនោះទេ។ ដូច្នេះធរណីមាត្រព្យាករណ៍មិនទាក់ទងនឹងចម្ងាយ ឬប្រវែងក្នុងមួយសេទេ ភារកិច្ចរបស់វាគឺដើម្បីសិក្សាសមាមាត្រនៃប្រវែងដែលត្រូវបានរក្សាទុកក្រោមការព្យាករ។ ទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើសំណង់ខាងក្រោម។ តាមរយៈចំណុចណាមួយ។ ទំយន្តហោះយើងគូរតង់សង់ពីរទៅរង្វង់ណាមួយ ហើយភ្ជាប់ចំណុចទំនាក់ទំនងជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ ទំ. សូមឱ្យបន្ទាត់មួយទៀតឆ្លងកាត់ចំណុច ទំ, ប្រសព្វរង្វង់នៅចំណុច គ 1 និង គ 2 ប៉ុន្តែបន្ទាត់ត្រង់ ទំ- នៅចំណុច សំណួរ(រូបភាពទី 9) ។ Planimetry បញ្ជាក់ កុំព្យូទ័រ 1 /កុំព្យូទ័រ 2 = –QC 1 /QC២. (សញ្ញាដកកើតឡើងដោយសារតែទិសដៅនៃផ្នែក QC 1 ទល់មុខនឹងទិសដៅនៃផ្នែកផ្សេងៗ។) ម្យ៉ាងវិញទៀតចំនុច ទំនិង សំណួរបែងចែកផ្នែក គ 1 គ 2 ខាងក្រៅនិងខាងក្នុងក្នុងការគោរពដូចគ្នា; ពួកគេក៏និយាយផងដែរថា សមាមាត្រអាម៉ូនិកនៃបួនចម្រៀកគឺស្មើនឹង - 1. ប្រសិនបើរង្វង់ត្រូវបានព្យាករទៅជាផ្នែកសាជី ហើយការរចនាដូចគ្នាត្រូវបានរក្សាទុកសម្រាប់ចំណុចដែលត្រូវគ្នា នោះសមាមាត្រអាម៉ូនិក ( កុំព្យូទ័រ 1)(QC 2)/(កុំព្យូទ័រ 2)(QC 1) នឹងនៅតែស្មើគ្នា - 1. ចំណុច ទំហៅថាបង្គោលនៃបន្ទាត់ ទំទាក់ទងនឹងផ្នែករាងសាជី និងបន្ទាត់ត្រង់ ទំ- ចំណុចប៉ូល។ ទំទាក់ទងនឹងផ្នែកសាជី។

ពេលដែលចំនុច ទំខិតជិតផ្នែករាងសាជី ប៉ូលមានទំនោរទៅរកទីតាំងនៃតង់សង់។ ប្រសិនបើចំណុច ទំស្ថិតនៅលើផ្នែករាងសាជី បន្ទាប់មកប៉ូលរបស់វាស្របគ្នាជាមួយនឹងតង់សង់ទៅផ្នែកសាជីនៅចំណុច ទំ. ប្រសិនបើចំណុច ទំដែលមានទីតាំងនៅខាងក្នុងផ្នែករាងសាជី បន្ទាប់មកប៉ូលរបស់វាអាចត្រូវបានសាងសង់ដូចខាងក្រោម។ ចូរយើងឆ្លងកាត់ចំណុច ទំបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយដែលកាត់ផ្នែករាងសាជីនៅពីរចំណុច; គូរតង់សង់ទៅផ្នែកសាជីនៅចំណុចប្រសព្វ; ឧបមាថាតង់សង់ទាំងនេះប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។ ទំមួយ។ ចូរយើងឆ្លងកាត់ចំណុច ទំបន្ទាត់ត្រង់មួយទៀតដែលកាត់ផ្នែករាងសាជីនៅចំណុចពីរផ្សេងទៀត; ឧបមាថាតង់សង់ទៅផ្នែកសាជីនៅចំណុចថ្មីទាំងនេះប្រសព្វគ្នានៅចំណុច ទំ 2 (រូបភព 10) ។ បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច ទំ 1 និង ទំ 2 ហើយមានប៉ូលដែលចង់បាន ទំ. ប្រសិនបើចំណុច ទំខិតជិតមជ្ឈមណ្ឌល អូផ្នែកសាជីកណ្តាល បន្ទាប់មកប៉ូល ទំផ្លាស់ទីឆ្ងាយពី អូ. ពេលដែលចំនុច ទំស្របពេលជាមួយ អូបន្ទាប់មក បន្ទាត់រាងប៉ូលរបស់វាក្លាយជាគ្មានកំណត់ ឬជាឧត្តមគតិ ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។

អគារពិសេស

ការចាប់អារម្មណ៍ជាពិសេសចំពោះតារាវិទូគឺការស្ថាបនាដ៏សាមញ្ញខាងក្រោមនៃចំណុចនៃពងក្រពើដោយប្រើត្រីវិស័យ និងត្រង់។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់បំពានឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ អូ(រូបទី ១១, ក), ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច សំណួរនិង ររង្វង់ផ្ចិតពីរដែលដាក់ចំកណ្តាលចំណុចមួយ។ អូនិងរ៉ាឌី ខនិង កកន្លែងណា ខក. ចូរយើងឆ្លងកាត់ចំណុច សំណួរបន្ទាត់ផ្តេក និង រ- បន្ទាត់បញ្ឈរមួយ ហើយបញ្ជាក់ចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ ទំ ទំនៅពេលបង្វិលត្រង់ OQRនៅជុំវិញចំណុច អូនឹងក្លាយជាពងក្រពើ។ ជ្រុង fរវាងបន្ទាត់ OQRហើយអ័ក្សសំខាន់ត្រូវបានគេហៅថាមុំ eccentric ហើយពងក្រពើដែលបានសាងសង់ត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងងាយស្រួលដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = ក cos f, y = ខអំពើបាប f. មិនរាប់បញ្ចូលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ fយើងទទួលបានសមីការ (3a) ។

សម្រាប់អ៊ីពែបូឡា សំណង់គឺស្រដៀងគ្នា។ បន្ទាត់បំពានឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ អូកាត់រង្វង់មួយក្នុងចំណោមរង្វង់ទាំងពីរនៅចំណុចមួយ។ រ(រូបទី ១១, ខ) ដល់ចំណុច ររង្វង់មួយនិងដល់ចំណុចបញ្ចប់ សអង្កត់ផ្ចិតផ្តេកនៃរង្វង់មួយទៀត យើងគូរតង់សង់ប្រសព្វគ្នា។ ប្រព័ន្ធប្រតិបត្តិការនៅចំណុច ធនិង ឬ- នៅចំណុច សំណួរ. អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់បញ្ឈរឆ្លងកាត់ចំណុច ធនិងបន្ទាត់ផ្តេកឆ្លងកាត់ចំណុច សំណួរ, ប្រសព្វនៅចំណុចមួយ។ ទំ. បន្ទាប់មកទីតាំងនៃចំណុច ទំនៅពេលបង្វិលផ្នែក ឬជុំវិញ អូវានឹងមានអ៊ីពែបូឡាដែលផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = កវិ f, y = ខ tg fកន្លែងណា f- មុំ eccentric ។ សមីការទាំងនេះត្រូវបានទទួលដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង A. Legendre (1752–1833)។ ដោយមិនរាប់បញ្ចូលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ fយើងទទួលបានសមីការ (4a) ។

រាងពងក្រពើ ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ដោយ N. Copernicus (1473-1543) អាចត្រូវបានសាងសង់ដោយប្រើចលនាអេពីស៊ីក។ ប្រសិនបើរង្វង់មួយវិលដោយមិនរអិលតាមបណ្តោយខាងក្នុងនៃរង្វង់មួយទៀតដែលមានអង្កត់ផ្ចិតពីរដងបន្ទាប់មកចំនុចនីមួយៗ ទំដោយមិននិយាយកុហកនៅលើរង្វង់តូចជាង ប៉ុន្តែថេរទាក់ទងទៅនឹងវា នឹងពិពណ៌នាអំពីរាងពងក្រពើ។ ប្រសិនបើចំណុច ទំស្ថិតនៅលើរង្វង់តូចជាង បន្ទាប់មកគន្លងនៃចំណុចនេះគឺជាករណី degenerate នៃរាងពងក្រពើ - អង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ធំជាងនេះ។ ការសាងសង់រាងពងក្រពើកាន់តែសាមញ្ញត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Proclus នៅសតវត្សទី 5 ។ ប្រសិនបើបញ្ចប់ កនិង ខផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ ABនៃ​ស្លាយ​ប្រវែង​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​តាម​បណ្តោយ​បន្ទាត់​ត្រង់​ប្រសព្វ​ថេរ​ពីរ (ឧទាហរណ៍ តាម​អ័ក្ស​កូអរដោណេ) បន្ទាប់​មក​ចំណុច​ខាង​ក្នុង​នីមួយៗ ទំផ្នែកនឹងពិពណ៌នាអំពីពងក្រពើ; គណិតវិទូជនជាតិហូឡង់ F. van Schoten (1615–1660) បានបង្ហាញថាចំណុចណាមួយនៅក្នុងប្លង់នៃបន្ទាត់ប្រសព្វ ដែលថេរទាក់ទងទៅនឹងផ្នែករអិល ក៏នឹងពណ៌នាអំពីពងក្រពើផងដែរ។

B. Pascal (1623–1662) នៅអាយុ 16 ឆ្នាំបានបង្កើតទ្រឹស្តីបទ Pascal ដ៏ល្បីល្បាញដែលនិយាយថា: ចំនុចប្រសព្វបីនៃជ្រុងទល់មុខនៃឆកោនដែលចារឹកនៅក្នុងផ្នែកសាជីណាមួយស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ Pascal ទទួលបានច្រើនជាង 400 corollaries ពីទ្រឹស្តីបទនេះ។

ផ្នែកបន្ទាត់ l ។ )

13) ផ្តល់​ឱ្យ​ប៉ារ៉ាឡែល ABCD ។ គូរបន្ទាត់តាមចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ P ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ l ។ (ព័ត៌មានជំនួយ៖ អនុវត្ត 10 ទៅកណ្តាលនៃប្រលេឡូក្រាម ហើយប្រើ 8 ។ )

14) ផ្តល់ប្រលេឡូក្រាម; បង្កើនផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយ n ដង។ (ការណែនាំ៖ ប្រើលេខ ១៣ និង ១១។ )

15) ផ្តល់ប្រលេឡូក្រាម; ចែកផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជា n ផ្នែកស្មើគ្នា។

16) ផ្តល់រង្វង់ថេរជាមួយកណ្តាល។ គូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមរយៈចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ (ការណែនាំ៖ អនុវត្ត ១៣។ )

17) ផ្តល់រង្វង់ថេរជាមួយកណ្តាល។ បង្កើននិងបន្ថយផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយ n ដង។ (ការណែនាំ៖ អនុវត្ត ១៣។ )

18) ផ្តល់រង្វង់ថេរជាមួយកណ្តាល។ គូរកាត់កែងទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមរយៈចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ (ព័ត៌មានជំនួយ៖ ប្រើចតុកោណកែងដែលចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដោយមានភាគីទាំងពីរស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយកាត់បន្ថយទៅបញ្ហាមុន។)

19) ដោយបានកែសម្រួលភារកិច្ច 1-18, រាយបញ្ជីកិច្ចការសាងសង់មូលដ្ឋានដែលអ្នកអាចធ្វើបានជាមួយនឹងបន្ទាត់ទ្វេភាគី (ភាគីទាំងពីរស្របគ្នា)។

20) បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ l 1 និង l2 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច P ដែលនៅខាងក្រៅគំនូរ។ បង្កើតបន្ទាត់តភ្ជាប់ចំណុច Q ដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយចំណុច P ។ (ព័ត៌មានជំនួយ៖ បំពេញធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមរបៀបដែលការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធនៃទ្រឹស្តីបទ Desargues ប្លង់ត្រូវបានទទួល ដោយ P និង Q ក្លាយជាចំណុចប្រសព្វនៃជ្រុងដែលត្រូវគ្នានៃត្រីកោណពីរ។ )

21) គូរបន្ទាត់ត្រង់កាត់ចំនុចពីរដែលបំបែកដោយលើសពីប្រវែងបន្ទាត់។ (ការណែនាំ៖ អនុវត្ត ២០។ )

22) បន្ទាត់ l 1 និង l2 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច P ; បន្ទាត់ត្រង់ m1 និង m2 - នៅចំណុច Q; ចំណុចទាំងពីរ P និង Q គឺនៅខាងក្រៅគំនូរ។ សាងសង់ផ្នែកនោះនៃបន្ទាត់ P Q ដែលស្ថិតនៅក្នុងគំនូរ។ (ការចង្អុលបង្ហាញ៖ ដើម្បីទទួលបានចំណុចនៃបន្ទាត់ P Q សូមបង្កើតការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ Desargues តាមរបៀបដែលភាគីទាំងពីរនៃត្រីកោណមួយស្ថិតនៅលើ l1 និង m1 ភាគីទាំងពីរនៃមួយទៀត - រៀងគ្នានៅលើ l2 និង m2 )។

23) ដំណោះស្រាយ 20 ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Pascal (ទំ។២០៩). (ព័ត៌មានជំនួយ៖ បំពេញការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ Pascal ដោយពិចារណា l1 និង l2 ជាគូនៃជ្រុងម្ខាងនៃឆកោន ហើយ Q ជាចំនុចប្រសព្វនៃគូម្ខាងទៀតនៃភាគីផ្ទុយ។ )

*24) បន្ទាត់ត្រង់ទាំងពីរដែលស្ថិតនៅខាងក្រៅគំនូរត្រូវបានផ្តល់ដោយបន្ទាត់ត្រង់ពីរគូដែលប្រសព្វគ្នានៅខាងក្រៅគំនូរ។

ក្នុង ចំណុចនៃបន្ទាត់ដែលត្រូវគ្នា។ កំណត់ចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេដោយប្រើបន្ទាត់ពីរដែលប្រសព្វគ្នានៅខាងក្រៅគំនូរ។

§ 8. ផ្នែកសាជី និងរាងបួនជ្រុង

1. ធរណីមាត្រម៉ែត្របឋមនៃផ្នែកសាជី។ រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានដោះស្រាយតែចំណុច បន្ទាត់ យន្តហោះ និងតួលេខដែលបង្កើតឡើងដោយចំនួនកំណត់នៃធាតុទាំងនេះ។ ប្រសិនបើធរណីមាត្រព្យាករណ៍ត្រូវបានកំណត់ចំពោះការពិចារណានៃ "li-

ផ្នែករាងសាជី និង quadrics

តួលេខធម្មជាតិ" វានឹងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់។ ប៉ុន្តែការពិតនៃសារៈសំខាន់ដ៏សំខាន់មួយគឺការពិតដែលថាធរណីមាត្រព្យាករណ៍មិនត្រូវបានកំណត់ចំពោះរឿងនេះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងរួមបញ្ចូលនូវផ្នែកដ៏ធំទូលាយនៃផ្នែកសាជី និងការពង្រីកពហុវិមាត្ររបស់វា។ ការព្យាបាលម៉ែត្រ Apollonian នៃផ្នែករាងសាជី - រាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា គឺជាជោគជ័យដ៏អស្ចារ្យមួយនៃគណិតវិទ្យាបុរាណ។ មនុស្សម្នាក់ស្ទើរតែមិនអាចប៉ាន់ស្មានលើសសារៈសំខាន់នៃផ្នែកសាជីសម្រាប់ទាំងគណិតវិទ្យាសុទ្ធ និងអនុវត្ត (ឧទាហរណ៍ គន្លងនៃភព និងគន្លងនៃអេឡិចត្រុងនៅក្នុងអាតូមអ៊ីដ្រូសែនគឺជាផ្នែកសាជី)។ វាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលទ្រឹស្តីបុរាណនៃផ្នែកសាជីដែលមានដើមកំណើតនៅប្រទេសក្រិកបុរាណនៅតែជាផ្នែកចាំបាច់នៃការអប់រំគណិតវិទ្យាសព្វថ្ងៃនេះ។ ប៉ុន្តែ​ធរណីមាត្រ​ក្រិក​គ្មាន​ពាក្យ​ចុងក្រោយ​ទេ។ ពីរពាន់ឆ្នាំក្រោយមក លក្ខណៈសម្បត្តិព្យាករណ៍ដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃផ្នែកសាជីត្រូវបានរកឃើញ។ ទោះបីជាមានភាពសាមញ្ញ និងភាពឆើតឆាយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះក៏ដោយ រហូតមកដល់ពេលនេះ និចលភាពនៃការសិក្សាបានក្លាយជាឧបសគ្គចំពោះការជ្រៀតចូលទៅក្នុងការបង្រៀនរបស់សាលា។

យើងចាប់ផ្តើមដោយរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យម៉ែត្រនៃលំហូររាងសាជី។ មាននិយមន័យបែបនេះជាច្រើន ហើយសមមូលរបស់ពួកវាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងធរណីមាត្របឋម។ និយមន័យទូទៅបំផុតគឺទាក់ទងទៅនឹង foci នៃខ្សែកោង។ ពងក្រពើត្រូវបានកំណត់ជាទីតាំងនៃចំណុច P បែបនេះនៅលើយន្តហោះដែលផលបូកនៃចម្ងាយរបស់ពួកគេ r1 និង r2 ពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ F1 និង F2 ហៅថា foci មានតម្លៃថេរ។ (ប្រសិនបើ foci ស្របគ្នា ខ្សែកោងក្លាយជារង្វង់។) អ៊ីពែបូឡាត្រូវបានកំណត់ថាជាទីតាំងនៃចំណុច P នៅលើយន្តហោះ ដែលតម្លៃដាច់ខាតនៃភាពខុសគ្នា r1 − r2 គឺថេរដូចគ្នា។ ប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានកំណត់ថាជាទីតាំងនៃចំណុច P ដែលចម្ងាយ r ពីចំណុច F ស្មើនឹងចម្ងាយ l ពីបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ ខ្សែកោងទាំងនេះត្រូវបានតំណាងដោយសមីការនៃដឺក្រេទីពីរនៅក្នុងកូអរដោនេចតុកោណ x, y ។ វាងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់ ផ្ទុយទៅវិញ ខ្សែកោងណាមួយដែលតំណាងដោយសមីការលំដាប់ទីពីរ

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0,

មានផ្នែកសាជីមួយក្នុងចំណោមផ្នែកទាំងបីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ ឬបន្ទាត់ត្រង់មួយ ឬបន្ទាត់ត្រង់មួយគូ ឬត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាចំណុចតែមួយ ឬជាការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។ ដូចដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងវគ្គសិក្សាណាមួយនៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដែលបានជ្រើសរើសត្រឹមត្រូវនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេសម្រាប់ភស្តុតាង។

និយមន័យខាងលើនៃផ្នែករាងសាជី គឺជាម៉ែត្រដ៏សំខាន់ ព្រោះវាប្រើគោលគំនិតនៃចម្ងាយ។ ប៉ុន្តែនេះគឺជានិយមន័យមួយផ្សេងទៀតដែលបង្កើតកន្លែងនៃផ្នែករាងសាជីនៅក្នុងការព្យាករ

អង្ករ។ 94. ផ្នែកសាជី

ធរណីមាត្រគម្រោង។ AXIOMATICS

ធរណីមាត្រ៖ ផ្នែករាងសាជីគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីការព្យាករនៃរង្វង់លើយន្តហោះនោះទេ។ ប្រសិនបើយើងចាប់ផ្តើមព្យាកររង្វង់ C ពីចំណុច O មួយចំនួន នោះបន្ទាត់ព្យាករបង្កើតជាកោណទ្វេគ្មានកំណត់ ហើយចំនុចប្រសព្វនៃកោណនេះជាមួយប្លង់ p នឹងជាការព្យាករនៃរង្វង់ C ។ ខ្សែកោងប្រសព្វនឹងជារាងពងក្រពើ ឬ a អ៊ីពែបូឡា

អាស្រ័យលើថាតើយន្តហោះប្រសព្វគ្នាតែមួយ "បែហោងធ្មែញ" នៃកោណឬទាំងពីរ។ ករណីកម្រិតមធ្យមនៃប៉ារ៉ាបូឡាក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ ប្រសិនបើយន្តហោះ p ស្របទៅនឹងខ្សែបន្ទាត់មួយតាមរយៈ O (រូបភាព 94) ។

កោណ​ដែល​បញ្ចាំង​មិន​ចាំ​បាច់​ត្រូវ​ជា "រាង​ជា​រង្វង់​ខាង​ស្ដាំ" ដែល​មាន​ចំណុច​កំពូល O បញ្ឈរ​នៅ​ខាង​លើ​កណ្តាល​រង្វង់ C៖ វា​ក៏​អាច​ជា "oblique" ផង​ដែរ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ (ដូចដែលយើងនឹងទទួលយកនៅទីនេះដោយមិនផ្តល់ភស្តុតាង) នៅចំនុចប្រសព្វនៃកោណជាមួយនឹងយន្តហោះ ខ្សែកោងមួយត្រូវបានទទួល សមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។ ហើយផ្ទុយមកវិញ ខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរអាចទទួលបានពីរង្វង់ដោយការព្យាករ។ សម្រាប់ហេតុផលនេះខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកសាជី។

យើងបានកត់សម្គាល់រួចហើយថាប្រសិនបើយន្តហោះប្រសព្វគ្នាតែមួយ "បែហោងធ្មែញ" នៃកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំនោះចំនុចប្រសព្វ E គឺជាពងក្រពើ។ វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថា

បន្ទាត់ E បំពេញនិយមន័យបង្គោលធម្មតានៃរាងពងក្រពើ ដែលត្រូវបានរៀបចំខាងលើ។ នេះគឺជាភស្តុតាងដ៏សាមញ្ញ និងឆើតឆាយដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅឆ្នាំ 1822 ដោយគណិតវិទូជនជាតិបែលហ្ស៊ិក Dandelin ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្រមៃមើលរង្វង់ពីរ S1 និង S2 (រូបភាព 95) ដែលប៉ះប្លង់ផ្នែក p នៅចំណុច F1 និង F2 រៀងគ្នា ហើយលើសពីនេះទៀត ប៉ះកោណតាមបណ្តោយរង្វង់ប៉ារ៉ាឡែល K1 និង K2 ។ ដោយយកចំណុចបំពាន P នៃខ្សែកោង E យើងគូរផ្នែក P F1 និង P F2 ។ បន្ទាប់មកពិចារណាផ្នែក P O ដែលភ្ជាប់ចំណុច P ជាមួយ vertex នៃកោណ O; ផ្នែកនេះស្ថិតនៅលើផ្ទៃនៃកោណទាំងស្រុង។ សម្គាល់ដោយ Q1 និង Q2 ចំណុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយរង្វង់ K1 និង K2 ។ ចាប់តាំងពី P F1 និង P Q1 មានពីរ

ផ្នែករាងសាជី និង quadrics

តង់ហ្សង់ដែលទាញចេញពីចំណុច P ទៅស្វ៊ែរដូចគ្នា S1 បន្ទាប់មក

P F1 = P Q1 ។

ស្រដៀងគ្នា

P F2 = P Q2 ។

ការបន្ថែមសមភាពទាំងនេះ យើងទទួលបាន៖

P F1 + P F2 = P Q1 + P Q2 ។

ប៉ុន្តែ P Q1 + P Q2 = Q1 Q2 គឺជាចំងាយរវាងរង្វង់ប៉ារ៉ាឡែល K1 និង K2 លើផ្ទៃកោណ៖ វាមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃចំនុច P នៅលើខ្សែកោង E. វាធ្វើតាមនោះ ទោះចំនុចណាក៏ដោយ P នៅលើ E, សមភាព

P F1 + P F2 = const,

ហើយនេះគឺជានិយមន័យប្រសព្វនៃរាងពងក្រពើ។ ដូច្នេះ E គឺជារាងពងក្រពើ ហើយ F1 និង F2 គឺជា foci របស់វា។

លំហាត់មួយ។ ប្រសិនបើយន្តហោះប្រសព្វគ្នារវាង "បែហោងធ្មែញ" នៃកោណ នោះខ្សែកោងប្រសព្វគឺជាអ៊ីពែបូឡា។ បញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះដោយដាក់ស្វ៊ែរមួយនៅក្នុង "បែហោងធ្មែញ" នីមួយៗនៃកោណ។

2. លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នៃ​ផ្នែក​សាជី​។ ដោយផ្អែកលើបទប្បញ្ញត្តិដែលបានបង្កើតឡើងក្នុងកថាខណ្ឌមុន ឥឡូវនេះយើងទទួលយកជាបណ្តោះអាសន្ននូវនិយមន័យដូចខាងក្រោម៖ ផ្នែករាងសាជីគឺជាការព្យាករនៃរង្វង់មួយនៅលើយន្តហោះ។ នេះគឺជានិយមន័យនៃការឈឺចាប់

ត្រូវគ្នាទៅនឹងស្មារតីនៃធរណីមាត្រព្យាករណ៍ក្នុងវិសាលភាពធំជាងចំនុចប្រសព្វដែលទទួលយកជាទូទៅអង្ករ។ 95. លំពែង Dandelin

និយមន័យរបស់ nye ចាប់តាំងពីចុងក្រោយទាំងនេះគឺផ្អែកទាំងស្រុងលើគោលគំនិតម៉ែត្រនៃចម្ងាយ។ និយមន័យ​ថ្មី​ក៏​មិន​រួច​ផុត​ពី​ការ​ខ្វះ​ខាត​នេះ​ដែរ ព្រោះ "រង្វង់" ក៏​ជា​គោល​គំនិត​ម៉ែត្រ​ដែរ។ ប៉ុន្តែក្នុងពេលបន្តិចទៀត យើងនឹងទៅដល់និយមន័យជាក់ស្តែងនៃផ្នែកសាជី។

ដោយសារ​យើង​បាន​ទទួល​យក​ថា​ផ្នែក​រាង​សាជី​គឺ​គ្មាន​អ្វី​ក្រៅ​ពី​ការ​ព្យាករ​នៃ​រង្វង់​ទេ (និយាយ​ម្យ៉ាង​ទៀត តាម​រយៈ​ពាក្យ "ផ្នែក​រាង​សាជី" យើង​មាន​ន័យ​ថា​ខ្សែ​កោង​ណាមួយ​ដែល​ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់​ការ​ព្យាករ។

ធរណីមាត្រគម្រោង។ AXIOMATICS

ថ្នាក់រង្វង់; សូមមើលទំព័រ 206) វាភ្លាមៗបន្ទាប់ពីរឿងនេះ

ទ្រព្យសម្បត្តិណាមួយនៃរង្វង់ដែលមិនប្រែប្រួលនៅក្រោមការព្យាករណ៍

ការផ្លាស់ប្តូរ,

គួរតែដូច្នេះ -

ជាកម្មសិទ្ធិរបស់នរណាម្នាក់

ផ្នែក nic ។ ចូរយើងចងចាំ

ឥឡូវនេះ ខាងក្រោមនេះគឺល្អនៃ-

ស្គាល់ - ម៉ែត្រ - ផ្ទាល់ខ្លួន -

circumference: "ចារឹកក្នុង

មុំរង្វង់ដែលគាំទ្រ -

នៅលើធ្នូដូចគ្នា, ស្មើនឹង

យើង​ចំពោះ​គ្នា»។ នៅលើរូបភព។ ៩៦

មុំ AOB ផ្អែកលើ du-

gu ab, ឯករាជ្យនៃមុខតំណែង

ចំណុច O នៅលើរង្វង់។ បរិសុទ្ធ

ការយល់ដឹងអំពីគម្រោង

អង្ករ។ 96. ទំនាក់ទំនងទ្វេរលើបរិមាត្រ

សមាមាត្រទ្វេ, ការណែនាំ

មិនមានពីរនៅលើរង្វង់ទៀតទេ

ចំណុច A, B, និងបួន៖ A, B, C,

D. បន្ទាត់បួន a, b, c, d ភ្ជាប់ចំណុចទាំងនេះដោយចំណុច O នៅលើ

រង្វង់មានសមាមាត្រទ្វេ (a, b, c, d) អាស្រ័យតែលើ

មុំផ្អែកលើ arcs CA, CB, DA, DB ។ ការភ្ជាប់ A, B, C, D

ជាមួយនឹងចំណុចផ្សេងទៀត O0 នៅលើរង្វង់ យើងទទួលបានបន្ទាត់ a0, b0, c0, d0 ។ វាធ្វើតាមពីទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានកត់សម្គាល់ពីមុននៃរង្វង់ដែលបន្ទាត់ពីរបួនគឺ "ស្របគ្នា"1 ។ ដូច្នេះពួកគេនឹងមានសមាមាត្រទ្វេដូចគ្នា៖ (a0 b0 c0 d0 ) = (abcd) ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងគូសរង្វង់មួយនៅលើផ្នែកសាជីមួយចំនួន K: បន្ទាប់មកនៅលើ K យើងទទួលបានបួនចំណុច ដែលយើងបញ្ជាក់ម្តងទៀតដោយ A, B, C, D, ពីរចំណុច O និង O0 និងពីរបួនបន្ទាត់ a, b, c, d និង a0, b0, c0, d0 ។ បន្ទាត់បួនបួននេះនឹងលែងត្រូវគ្នាទៀតហើយ ចាប់តាំងពីនិយាយជាទូទៅ មុំមិនត្រូវបានរក្សាកំឡុងពេលបញ្ចាំង។ ប៉ុន្តែ​ដោយ​សារ​សមាមាត្រ​ទ្វេ​ដង​មិន​បាន​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​ក្នុង​អំឡុង​ពេល​ការ​រចនា, សមភាព (abcd) = (a0 b0 c0 d0 ) នៅ​តែ​មាន​។ ដូច្នេះហើយ យើងបានមកដល់ទ្រឹស្តីបទចម្បងដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើចំនុចបួននៃផ្នែកសាជី K និយាយថា A, B, C, D ត្រូវបានភ្ជាប់។

ជាមួយ ចំណុចទីប្រាំ O នៃផ្នែកដូចគ្នាដោយបន្ទាត់ a, b, c, d បន្ទាប់មកសមាមាត្រទ្វេ (abcd) មិនអាស្រ័យលើទីតាំងនៃ O នៅលើខ្សែកោង K (រូបភាព 97) ។

នេះគឺជាលទ្ធផលដ៏អស្ចារ្យ។ ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយថា ប្រសិនបើចំនុច A, B, C, D ចំនួនបួនត្រូវបានយកនៅលើបន្ទាត់មួយ នោះទំនាក់ទំនងទ្វេដែលផ្សំឡើងនៃបន្ទាត់ដែលតភ្ជាប់ចំនុចទាំងនេះជាមួយនឹងចំនុចទីប្រាំ O មិនអាស្រ័យលើ

1 បួនបួន a, b, c, d ត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវគ្នានឹង quadruple ផ្សេងទៀត a 0 , b0 , c0 , d0 ប្រសិនបើមុំរវាងគូនៃបន្ទាត់នីមួយៗក្នុង quadruple ដំបូងគឺស្មើគ្នាទាំងក្នុងរ៉ិចទ័រ និងក្នុងទិសដៅយោងទៅមុំរវាងបន្ទាត់ដែលត្រូវគ្នានៃ quadruple ទីពីរ។

ផ្នែករាងសាជី និង quadrics

ជ្រើសរើសចំណុចទីប្រាំនេះ។ នេះគឺជាទីតាំងចាប់ផ្តើមមូលដ្ឋាន

ធរណីមាត្រព្យាករណ៍។ ឥឡូវនេះ យើងបានដឹងថា សេចក្តីថ្លែងការណ៍ស្រដៀងគ្នានេះ។

និយមន័យ​ក៏​ត្រឹមត្រូវ​ដែរ​ចំពោះ​ចំណុច​បួន​ដែល​បាន​យក​មក​លើ​ចំណុច​ខ្លះ

ផ្នែកសាជី K ប៉ុន្តែមានដែនកំណត់សំខាន់៖ ទីប្រាំ

ចំណុច O មិនអាចផ្លាស់ទីដោយសេរីលើយន្តហោះទាំងមូលបានទេ ប៉ុន្តែអាច

គ្រាន់តែផ្លាស់ទីតាមផ្នែកសាជី K ។

វាមិនពិបាកទេក្នុងការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទសន្ទនាដូចខាងក្រោម។

ទម្រង់៖ ប្រសិនបើមានចំណុច O និង O0 ពីរនៅលើខ្សែកោង K ដែលមាន

ដោយទ្រព្យសម្បត្តិដែលចំនួនបួនបួននៃពិន្ទុ A, B, C, D នៅលើ

ខ្សែកោង K សមាមាត្រទ្វេដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់តភ្ជាប់

ចំណុចទាំងនេះជាមួយ O ហើយពីបន្ទាត់តភ្ជាប់ចំណុចទាំងនេះជាមួយ O0 គឺស្មើគ្នា

រវាងខ្លួនពួកគេបន្ទាប់មកខ្សែកោង K គឺជាផ្នែកសាជី (ហើយសូម្បីតែបន្ទាប់មកដោយ

ទ្រឹស្តីបទផ្ទាល់, ទំនាក់ទំនងទ្វេដែលផ្សំឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់, តភ្ជាប់

យកពិន្ទុដែលបានផ្តល់ឱ្យចំនួនបួនជាមួយនឹងចំណុចបំពាន O00 នៅលើ K នឹងជា

មានតម្លៃថេរដូចគ្នា) ។ ប៉ុន្តែភស្តុតាងដែលយើងនៅទីនេះ

យើងនឹងមិននាំមកទេ។

លក្ខណៈសម្បត្តិព្យាករណ៍ខាងលើនៃផ្នែកសាជីនាំទៅរក

គំនិតនៃវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការសាងសង់ចំណុចនៃខ្សែកោងទាំងនេះ។ ចូរយើងយល់ព្រម

នៅក្រោមខ្មៅដៃនៃបន្ទាត់ត្រូវបានយល់សរុបនៃបន្ទាត់ទាំងអស់នៃយន្តហោះ,

ឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ។

ku O. ពិចារណាខ្មៅដៃនៃបន្ទាត់,

ឆ្លងកាត់ពីរ

O0 មានទីតាំងនៅ

ផ្នែក K. រវាងត្រង់

ធ្នឹម O និងធ្នឹមត្រង់

O0 អាចត្រូវបានកំណត់ទៅវិញទៅមក

ប៉ុន្តែការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយ។

ការផ្គត់ផ្គង់ដោយផ្ទាល់ពីដំបូង

ខ្សែបន្ទាត់ a0 ពីខ្សែទីពីរទាំងអស់ -

កំណត់ពីរបៀបដែល a និង a0 ជួបគ្នា

អង្ករ។ 97. ទំនាក់ទំនងទ្វេនៅលើរាងពងក្រពើ

នៅចំណុចមួយចំនួន A នៃខ្សែកោង K ។

បន្ទាប់មកបួនបួននៃបន្ទាត់ a,

b, c, d ពី sheaf O នឹងមានសមាមាត្រទ្វេដងដូចគ្នាជាមួយ co-

បួនជ្រុងដែលត្រូវគ្នា a0 , b0 , c0 , d0 ពី sheaf O0 ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺតែមួយ -

ការឆ្លើយឆ្លងដែលមានតម្លៃមួយរវាងខ្មៅដៃពីរនៃបន្ទាត់ដែលមាន

ទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយនេះត្រូវបានគេហៅថាការឆ្លើយឆ្លងគម្រោង។

(និយមន័យ​នេះ​គឺ​ជា​ពីរ​ទាក់ទង​នឹង​និយមន័យ​នៃ​ការ​ព្យាករ

ការឆ្លើយឆ្លងរវាងចំណុចនៅលើបន្ទាត់ពីរ សូមមើលទំព័រ 198–198។)

ដោយប្រើនិយមន័យនេះ ឥឡូវនេះយើងអាចបញ្ជាក់ថារាងសាជី

ផ្នែក K គឺជាទីតាំងនៃចំនុចប្រសព្វ

បន្ទាត់ដែលត្រូវគ្នាពីខ្មៅដៃពីរនៅក្នុងការព្យាករ

ការអនុលោមតាម។ ទ្រឹស្តីបទលទ្ធផលផ្តល់នូវមូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ដូចខាងក្រោម

ដែលផ្តល់និយមន័យជាក់ស្តែងនៃផ្នែកសាជី៖ សាជី

ធរណីមាត្រគម្រោង។ AXIOMATICS

ផ្នែកមួយគឺជាទីតាំងនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលត្រូវគ្នាពីខ្មៅដៃពីរដែលមាននៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងគម្រោង1។ ជាការល្បួងដូចដែលវាអាចជាការជ្រៀតចូលទៅក្នុងជម្រៅនៃទ្រឹស្តីនៃផ្នែកសាជីដោយផ្អែកលើនិយមន័យបែបនេះ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងត្រូវបានបង្ខំឱ្យបង្ខាំងខ្លួនយើងទៅនឹងការកត់សម្គាល់មួយចំនួនលើប្រធានបទនេះ។

គូនៃ sheaves នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងព្យាករណ៍អាចទទួលបានដូចខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងព្យាករចំណុច P ទាំងអស់នៃបន្ទាត់ត្រង់ l ពីមជ្ឈមណ្ឌលពីរផ្សេងគ្នា O និង O00 ហើយបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយរវាងខ្មៅដៃបញ្ចាំងដោយប្រៀបធៀបទៅនឹងបន្ទាត់ទាំងនោះដែលប្រសព្វគ្នានៅលើបន្ទាត់ l ។ នេះគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ធ្នឹមលទ្ធផលក្នុងការឆ្លើយឆ្លងតាមគម្រោង។ បន្ទាប់មកយើងយកធ្នឹម O00 ហើយផ្ទេរវា "ជាវត្ថុរឹង" ទៅទីតាំងបំពាន O0 ។ ថា sheaf O0 ថ្មីនឹងស្ថិតនៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងជាមួយ sheaf O គឺច្បាស់ណាស់។ ប៉ុន្តែ​អ្វី​ដែល​គួរ​ឲ្យ​កត់​សម្គាល់​នោះ​គឺ​ការ​ឆ្លើយ​ឆ្លង​គ្នា​ដែល​មាន​ការ​ព្យាករ​រវាង​ការ​កាត់​ពីរ​អាច​មាន

អង្ករ។ 98. នៅលើការសាងសង់ខ្មៅដៃព្យាករនៃបន្ទាត់

ទទួលបានវាតាមវិធីនោះ។ (កាលៈទេសៈនេះគឺពីរដងទៅនឹងលំហាត់ទី 1 នៅលើទំព័រ 199។) ប្រសិនបើច្រូត O និង O0 ស្របគ្នា រង្វង់មួយនឹងត្រូវបានទទួល។ ប្រសិនបើមុំរវាងកាំរស្មីដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងធ្នឹមពីរគឺស្មើគ្នា ប៉ុន្តែត្រូវបានវាស់ក្នុងទិសដៅផ្ទុយ នោះអ៊ីពែបូឡាដែលស្មើគ្នាត្រូវបានទទួល (រូបភាព 99)។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ផងដែរថានិយមន័យដែលបានចង្អុលបង្ហាញនៃផ្នែកសាជីជាពិសេសអាចផ្តល់បន្ទាត់ត្រង់ដូចបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ 98. ក្នុងករណីនេះ បន្ទាត់ OO00 ត្រូវគ្នានឹងខ្លួនវា ហើយចំណុចទាំងអស់របស់វាត្រូវតែចាត់ទុកថាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ទីតាំងដែលចង់បាន។ ដូច្នេះផ្នែករាងសាជី degenerate ចូលទៅក្នុង

1 ទីតាំងនេះ ស្ថិតក្រោមកាលៈទេសៈណាមួយ អាចខូចទៅជាបន្ទាត់ត្រង់។ សូមមើលរូបភព។ ៩៨.

ផ្នែករាងសាជី និង quadrics

បន្ទាត់ត្រង់មួយគូ៖ កាលៈទេសៈនេះគឺស្របនឹងការពិតដែលថាមានផ្នែកនៃកោណដែលមានបន្ទាត់ត្រង់ពីរ (ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់ឆ្លងកាត់កំពូលនៃកោណ) ។

៩ ៨ អូ ៧

អង្ករ។ 99. ការបង្កើតរង្វង់មួយ និងអ៊ីពែបូឡាសមមូល ដោយប្រើចង្កឹះបញ្ចាំង

លំហាត់។ 1) គូរពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា ដោយប្រើខ្មៅដៃបញ្ចាំង។ (អ្នកអានត្រូវបានលើកទឹកចិត្តយ៉ាងមុតមាំឱ្យសាកល្បងជាមួយសំណង់ប្រភេទនេះ។ នេះគឺអំណោយផលខ្ពស់ក្នុងការស្វែងយល់ពីខ្លឹមសារនៃបញ្ហានេះ។ )

2) ប្រាំចំណុច O, O0, A, B, C នៃផ្នែករាងសាជី K មួយចំនួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វ D នៃបន្ទាត់បំពាន d នៃខ្មៅដៃ O ជាមួយនឹងខ្សែកោង K. (ការចង្អុលបង្ហាញ៖ គូរបន្ទាត់ OA, OB, OC តាមរយៈ O ហើយដាក់ឈ្មោះពួកវា a, b, c គូរបន្ទាត់ O0 A, O0 B, O0 C តាមរយៈ O0 ហើយហៅពួកគេថា a0 , b0 , c0 គូរបន្ទាត់ d តាមរយៈ O ហើយបង្កើតបន្ទាត់ d0 នៃ O0 ដូចនេះ (abcd) = ( a0 b0 c0 d0 ) បន្ទាប់មកចំនុចប្រសព្វនៃ d និង d0 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ខ្សែកោង K ។

3. ផ្នែកសាជីជា "ខ្សែកោងគ្រប់គ្រង" ។ គោលគំនិតនៃតង់សង់ទៅផ្នែករាងសាជី ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ធរណីមាត្រព្យាករណ៍ ដោយសារតង់សង់ទៅផ្នែករាងសាជីគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានចំណុចរួមតែមួយជាមួយខ្សែកោងខ្លួនវា ហើយនេះគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិដែលត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងអំឡុងពេលព្យាករ។ លក្ខណៈសម្បត្តិព្យាករណ៍នៃតង់សង់ទៅផ្នែករាងសាជីគឺផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម៖

សមាមាត្រទ្វេនៃចំណុចប្រសព្វនៃតង់ហ្សង់ថេរចំនួនបួនទៅផ្នែកសាជីដែលមានតង់សង់ទីប្រាំតាមអំពើចិត្ត

អង្ករ។ 100. រង្វង់ជាបណ្តុំនៃតង់សង់

ធរណីមាត្រគម្រោង។ AXIOMATICS

មិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃតង់សង់ទីប្រាំនេះទេ។ ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះគឺខ្លាំងណាស់

ជា​ធម្មតា។ ដោយហេតុថាផ្នែកសាជីណាមួយគឺជាការព្យាករនៃរង្វង់មួយ ហើយចាប់តាំងពីទ្រឹស្តីបទទាក់ទងតែជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិដែលមិនមានការប្រែប្រួលនៅក្រោមការព្យាករ ដូច្នេះដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទនៅក្នុងករណីទូទៅ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់វាសម្រាប់ករណីជាក់លាក់នៃ រង្វង់។

សម្រាប់ករណីពិសេសដូចគ្នា ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញដោយធរណីមាត្របឋម។ ឱ្យ P , Q , R , S ជាបួនចំណុចនៅលើរង្វង់ K; a, b, c, d គឺជាតង់សង់នៅចំណុចទាំងនេះ; T - ចំណុចផ្សេងទៀតនៅលើរង្វង់, o - តង់សង់នៅក្នុងវា; អនុញ្ញាតឱ្យ, បន្ថែមទៀត, A, B, C, D -

ចំនុចប្រសព្វនៃតង់សង់ o ជាមួយតង់សង់ a, b, c, d ។ ប្រសិនបើ M-

កណ្តាលនៃរង្វង់បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង T MA = 1 2 T MP និងចុងក្រោយ

កន្សោម​តំណាង​ឲ្យ​មុំ​ដែល​ចារឹក​ជា K ដោយ​ផ្អែក​លើ​ធ្នូ T P ។ ក្នុង​វិធី​ដូចគ្នា T MB តំណាង​ឱ្យ​មុំ​ចារឹក​ជា K និង​ផ្អែក​លើ​ធ្នូ T Q ។ ដូច្នេះ

AMB = 1 2 ^ PQ,

ដែល 1 2 ^ P Q តំណាង​ឱ្យ​មុំ​ដែល​បាន​ចារឹក​ជា K និង​ផ្អែក​លើ​

gu P Q. ពីនេះវាច្បាស់ណាស់ថា A, B, C, D ត្រូវបានព្យាករពី M ដោយបន្ទាត់ត្រង់ចំនួនបួន មុំរវាងដែលមានតម្លៃដែលអាស្រ័យតែលើទីតាំងនៃចំនុច P, Q, R, S ហូ បន្ទាប់មក សមាមាត្រទ្វេ (ABCD) អាស្រ័យតែលើតង់ហ្សង់បួន a, b, c, d ប៉ុន្តែមិនមែនមកពីតង់សង់ o ។ នេះពិតជាអ្វីដែលត្រូវដំឡើង។

អង្ករ។ 101. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃតង់សង់ទៅរង្វង់មួយ។

ផ្នែករាងសាជី និង quadrics

នៅក្នុងផ្នែករងមុន យើងមានឱកាសដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់ថាផ្នែកសាជីអាចត្រូវបានសាងសង់ "ដោយចំណុច" ប្រសិនបើយើងចាប់ផ្តើមសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលត្រូវគ្នាទៅវិញទៅមកនៃខ្មៅដៃពីរដែលការឆ្លើយឆ្លងតាមគម្រោងត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ទ្រឹស្តីបទទើបតែបង្ហាញឱ្យឃើញអាចឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីទ្រឹស្តីបទពីរ។ យកតង់សង់ពីរ a និង a0 ទៅកាន់ផ្នែកសាជី K. អនុញ្ញាតឱ្យតង់សង់ទីបី t កាត់ a និង a0 ត្រង់ចំនុច A និង A0 រៀងគ្នា។ ប្រសិនបើ t ផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោង នោះការឆ្លើយឆ្លងមួយនឹងត្រូវបានបង្កើតឡើង

A ← → A0

រវាងចំណុច a និងចំណុច a0 ។ ការឆ្លើយឆ្លងនេះនឹងក្លាយជាការព្យាករណ៍ ចាប់តាំងពីតាមទ្រឹស្តីបទទើបតែបង្ហាញឱ្យឃើញ ចំនុចដែលបំពានចំនួនបួននៅលើ a នឹងចាំបាច់មានសមាមាត្រទ្វេរដងដូចគ្នាទៅនឹងបួនជ្រុងនៃចំនុចដែលត្រូវគ្នានៅលើ a0 ។ វាកើតឡើងពីនេះដែលផ្នែកសាជី K dis-

អង្ករ។ 102. ជួរ​ព្យាករ​នៃ​ចំណុច​នៅ​លើ​តង់សង់​ពីរ​ទៅ​ពង​ក្រពើ​មួយ​

ចាត់ទុកថាជា "ចំនួនសរុបនៃតង់សង់របស់វា" "មាន" នៃបន្ទាត់តភ្ជាប់ចំណុចដែលត្រូវគ្នាទៅវិញទៅមកនៃចំនុចពីរស៊េរី 1 នៅលើ a និងនៅលើ a0 ដែលស្ថិតនៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងតាមគម្រោង។ កាលៈទេសៈនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងណែនាំនិយមន័យថ្មីនៃផ្នែកសាជី ដែលលើកនេះចាត់ទុកថាជា "ខ្សែកោងគ្រប់គ្រង"។ ចូរយើងប្រៀបធៀបនិយមន័យនេះជាមួយនឹងនិយមន័យព្យាករណ៍ពីមុននៃផ្នែកសាជី។

1 ការប្រមូលពិន្ទុនៅលើបន្ទាត់មួយត្រូវបានគេហៅថាស៊េរីចំណុច។ គោលគំនិតនេះគឺទ្វេដោយគោរពទៅនឹងខ្មៅដៃនៃបន្ទាត់។

ធរណីមាត្រគម្រោង។ AXIOMATICS

នីយ៉ា បានផ្តល់ក្នុងកថាខណ្ឌមុន៖

ផ្នែករាងសាជី ដែលត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាបណ្តុំនៃចំនុច មានចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលត្រូវគ្នាទៅវិញទៅមកក្នុងគម្រោងពីរ

ផ្នែករាងសាជីដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជា "បណ្តុំនៃបន្ទាត់" មានបន្ទាត់តភ្ជាប់ចំណុចដែលត្រូវគ្នាទៅវិញទៅមកក្នុងគម្រោងពីរ

ប្រសិនបើយើងចាប់ផ្តើមពិចារណាតង់សង់ទៅផ្នែករាងសាជីនៅចំណុចមួយចំនួនរបស់វាជាធាតុពីរដោយគោរពទៅនឹងចំណុចខ្លួនវា ហើយលើសពីនេះទៀត យើងយល់ព្រមលើមូលដ្ឋាននៃ duality ដើម្បីប្រៀបធៀប "ខ្សែកោងគ្រប់គ្រង" (បង្កើតឡើងដោយ សំណុំនៃតង់សង់) ជាមួយនឹង "ខ្សែកោងចំណុច" (បង្កើតឡើងដោយសំណុំនៃចំណុច) បន្ទាប់មកទម្រង់មុននឹងមិនអាចល្អឥតខ្ចោះពីទស្សនៈនៃគោលការណ៍ទ្វេ។ នៅពេលដែល "បកប្រែ" រូបមន្តមួយទៅជាមួយផ្សេងទៀត ជាមួយនឹងការជំនួសនៃគោលគំនិតទាំងអស់ដោយគោលគំនិតពីរដែលត្រូវគ្នានោះ "ផ្នែកសាជី" នៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងករណីមួយ វាត្រូវបានគេគិតថាជា "ខ្សែកោងចំនុច" ដែលកំណត់ដោយចំនុចរបស់វា នៅក្នុងករណីផ្សេងទៀតជា "ខ្សែកោងគ្រប់គ្រង" ដែលកំណត់ដោយតង់សង់របស់វា។

កូរ៉ូឡារីសំខាន់មួយធ្វើតាមពីខាងលើ៖ គោលការណ៍នៃភាពទ្វេដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដំបូងក្នុងធរណីមាត្រនៃយន្តហោះសម្រាប់តែចំនុច និងបន្ទាត់ប៉ុណ្ណោះ ប្រែថាអាចអនុវត្តបានចំពោះផ្នែករាងសាជីផងដែរ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងការបង្កើតទ្រឹស្តីបទណាមួយទាក់ទងនឹងចំណុច បន្ទាត់ និងផ្នែកសាជី យើងជំនួសធាតុនីមួយៗដោយទ្វេរបស់វា (ដោយមិនបាត់បង់ការមើលឃើញនៃការពិតដែលថាចំនុចនៃផ្នែកសាជីត្រូវតែភ្ជាប់ជាមួយតង់សង់ទៅផ្នែកសាជីនេះ)

បន្ទាប់មកលទ្ធផលក៏ជាទ្រឹស្តីបទត្រឹមត្រូវផងដែរ។ យើងនឹងជួបឧទាហរណ៍នៃប្រតិបត្តិការនៃគោលការណ៍នេះនៅក្នុងកថាខណ្ឌទី 4 នៃកថាខណ្ឌនេះ។

ការសាងសង់ផ្នែកសាជីដែលគេយល់ថាជា "ខ្សែកោងគ្រប់គ្រង" ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ ១០៣–១០៤។ ជាពិសេស ប្រសិនបើនៅក្នុងស៊េរីចំនុចព្យាករចំនួនពីរ ចំនុចនៅ Infinity ត្រូវគ្នានឹងគ្នាទៅវិញទៅមក (វាប្រាកដជានឹងកើតឡើងប្រសិនបើស៊េរីចំនុចស្របគ្នា ឬស្រដៀងគ្នា។ 1

ធរណីមាត្រគម្រោង។ AXIOMATICS

គោលការណ៍នៃភាពទ្វេដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះផ្នែកសាជីគឺជាទំនាក់ទំនងរវាងទ្រឹស្តីបទទូទៅនៃ Pascal និង Brianchon ។ ទីមួយនៃពួកគេត្រូវបានគេរកឃើញនៅឆ្នាំ 1640 ទីពីរ - នៅឆ្នាំ 1806 ។ ហើយទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយពួកគេម្នាក់ៗគឺជាលទ្ធផលភ្លាមៗនៃមួយទៀតចាប់តាំងពីទ្រឹស្តីបទណាមួយ ការបង្កើតដែលនិយាយអំពីតែផ្នែកសាជី បន្ទាត់ និងចំណុច ប្រាកដជានៅតែមានសុពលភាព។ នៅពេលដែលការបង្កើតត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយគោលការណ៍នៃ duality ។

ទ្រឹស្ដីដែលបានបង្ហាញនៅក្នុង§ 5 ក្រោមឈ្មោះដូចគ្នាគឺ "ករណី degenerate" នៃទ្រឹស្តីបទទូទៅបន្ថែមទៀតដូចខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ Pascal ។ ផ្នែកទល់មុខនៃឆកោនដែលចារឹកក្នុងផ្នែករាងសាជី ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុចបី។

អង្ករ។ 105. ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធទូទៅរបស់ Pascal ។ ករណីពីរត្រូវបានបង្ហាញ មួយសម្រាប់ឆកោន 1, 2, 3, 4, 5, 6, មួយទៀតសម្រាប់ឆកោន 1, 3, 5, 2, 6, 4

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Brianchon ។ អង្កត់ទ្រូងបីតភ្ជាប់ទល់មុខបញ្ឈរនៃឆកោនដែលគូសរង្វង់អំពីផ្នែករាងសាជីគឺស្របគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទទាំងពីរមានខ្លឹមសារជាក់ស្តែង។ ភាពជាគូរបស់ពួកគេមានភាពទាក់ទាញនៅពេលបង្កើតដូចខាងក្រោមៈ

ទ្រឹស្តីបទ Pascal ។ ផ្តល់ប្រាំមួយពិន្ទុ 1, 2, 3, 4, 5, 6 នៅលើផ្នែកសាជី។ ភ្ជាប់ចំណុចបន្តបន្ទាប់គ្នាជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1) ។ ចំណាំចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ (1, 2) និង (4, 5), (2, 3) និង (5, 6), (3, 4) និង (6, 1) ។ ចំណុចទាំងបីនេះស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។

ផ្នែករាងសាជី និង quadrics

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Brianchon ។ ផ្តល់តង់សង់ប្រាំមួយ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ទៅផ្នែកសាជី។ តង់សង់បន្តប្រសព្វគ្នានៅចំណុច (១, ២), (២, ៣), (៣, ៤), (៤, ៥), (៥, ៦), (៦, ១)។ ចូរគូរបន្ទាត់ត្រង់ភ្ជាប់ចំនុច (1, 2) និង (4, 5), (2, 3) និង (5, 6), (3, 4) និង (6, 1)។ បន្ទាត់ទាំងបីនេះឆ្លងកាត់ចំណុចដូចគ្នា។

ភ័ស្តុតាងត្រូវបានអនុវត្តដោយជំនួយពីឯកទេសនៃប្រភេទដូចគ្នានឹងករណីនៃការ degeneracy ដែលបានពិចារណាពីមុន។ ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទរបស់ Pascal ។ អនុញ្ញាតឱ្យ A, B, C, D, E, F ជាចំនុចកំពូលនៃឆកោនដែលចារឹកក្នុងផ្នែកសាជី K. ដោយការព្យាករ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីធ្វើឱ្យបន្ទាត់ AB និង ED, F A និង CD ស្របគ្នា (ហើយបន្ទាប់មកយើងទទួលបានការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដែលបានបង្ហាញ នៅក្នុងរូបភាព 107; ដើម្បីភាពងាយស្រួល ឆកោនក្នុងគំនូរត្រូវបានយកជាការប្រសព្វគ្នាដោយខ្លួនឯង ទោះបីជាវាមិនចាំបាច់សម្រាប់រឿងនេះក៏ដោយ។) ឥឡូវនេះ យើងត្រូវបញ្ជាក់រឿងតែមួយគត់៖ បន្ទាត់ CB គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ F E; នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ដែលភាគីផ្ទុយប្រសព្វគ្នានៅបន្ទាត់នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ដើម្បីបញ្ជាក់ចំណុចនេះ សូមពិចារណាបួនបួនពិន្ទុ F , A , B , D ដែលដូចដែលយើងដឹងហើយថា រក្សាសមាមាត្រទ្វេដូចគ្នា និយាយថា k នៅពេលព្យាករពីចំណុចណាមួយ K ។ ចូរយើងធ្វើគម្រោងពីចំណុច C ទៅបន្ទាត់ AF ; យើងទទួលបានបួនបួនពិន្ទុ F, A, Y, ∞, និង

k = (F , A, Y , ∞) = Y Y F A

(សូមមើលទំព័រ 205) ។

សូម​ឱ្យ​យើង​ឥឡូវ​នេះ​គ្រោង​ពី​ចំណុច E ទៅ​បន្ទាត់ BA; យើង​ទទួល​បាន

ធរណីមាត្រគម្រោង។ AXIOMATICS

អង្ករ។ 108. ការសាងសង់បន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាបីបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងទីតាំងទូទៅ

បួនពិន្ទុ X, A, B, ∞ និង

k = (X, A, B, ∞) = BX BA ។

BX BA=Y YF A,

ដែលមានន័យថា Y B k F X. ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Pascal គឺពេញលេញ។

ទ្រឹស្ដីរបស់ Brianchon ដូចដែលបានចង្អុលបង្ហាញ ធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Pascal ដោយគោលការណ៍ទ្វេ។ ប៉ុន្តែ​វា​ក៏​អាច​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដោយ​ផ្ទាល់​ដែរ​ដោយ​ការ​វែកញែក​ដែល​ជា​ពីរ​ទាក់ទង​នឹង​ការ​ដែល​ទើប​តែ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ។ វានឹងក្លាយជាលំហាត់ដ៏ល្អសម្រាប់អ្នកអានដើម្បីអនុវត្តហេតុផលនេះឱ្យបានលម្អិត។

5. អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត។ នៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ យើងជួបប្រទះអ្វីដែលគេហៅថា quadrics (ផ្ទៃនៃលំដាប់ទីពីរ) ដែលក្នុងករណីនេះដើរតួដូចគ្នានឹង "ផ្នែករាងសាជី" (ខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ) នៅក្នុងយន្តហោះ។

ភាពសាមញ្ញបំផុតនៃទាំងនេះគឺស្វ៊ែរនិងរាងអេលីប។ Quadrics មានភាពចម្រុះជាងផ្នែកសាជី ហើយការសិក្សាអំពីផ្នែកទាំងនោះពាក់ព័ន្ធនឹងការពិបាកជាង។ យើងនឹងពិចារណាដោយសង្ខេប និងដោយគ្មានភស្តុតាងអំពីផ្ទៃដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតនៃប្រភេទនេះ៖ អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតដែលតភ្ជាប់ (ឬសន្លឹកតែមួយ) ។

ផ្ទៃនេះអាចទទួលបានតាមវិធីខាងក្រោម។ យកចន្លោះបីជួរ l1 , l2 , l3 នៅក្នុងទីតាំងទូទៅ។ ក្រោយមកទៀត មានន័យថា គ្មានពីរក្នុងចំណោមពួកគេស្របគ្នា ហើយទាំងបី

អង្ករ។ 109. អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត

§ 8 ផ្នែក CONIC និង quadRICS 239

មិនស្របទៅនឹងយន្តហោះតែមួយ។ វាហាក់ដូចជាគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលដែលថាមានចំនួនបន្ទាត់គ្មានកំណត់នៅក្នុងលំហ ដែលនីមួយៗប្រសព្វគ្នាទាំងបីបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចូរ​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​អំពី​ការ​នេះ​។

អនុញ្ញាតឱ្យ p ជាយន្តហោះបំពានដែលមានបន្ទាត់ l1 ; យន្តហោះនេះប្រសព្វបន្ទាត់ l2 និង l3 នៅពីរចំនុច ហើយបន្ទាត់ m ឆ្លងកាត់ចំនុចទាំងពីរនេះច្បាស់ជាប្រសព្វគ្រប់បន្ទាត់ l1 , l2 និង l3 ។ នៅពេលដែលយន្តហោះ p បង្វិលអំពីបន្ទាត់ l1 បន្ទាត់ m នឹងផ្លាស់ប្តូរទីតាំងរបស់វា ប៉ុន្តែទាំងអស់ខណៈពេលដែលបន្តប្រសព្វបន្ទាត់បីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅពេលដែល m ផ្លាស់ទី ផ្ទៃមួយកើតឡើងដែលឆ្ពោះទៅរកភាពគ្មានកំណត់ ដែលត្រូវបានគេហៅថា hyperboloid មួយសន្លឹក។ វាមានសំណុំបន្ទាត់គ្មានកំណត់នៃប្រភេទ m ។ បន្ទាត់ទាំងបីនេះ និយាយថា m1 , m2 និង m3 ក៏នឹងស្ថិតនៅក្នុងទីតាំងទូទៅដែរ ហើយបន្ទាត់ទាំងនោះនៅក្នុងលំហដែលនឹងប្រសព្វគ្នាបីបន្ទាត់ m1 , m2 និង m3 ក្នុងពេលតែមួយ។

ក៏នឹងស្ថិតនៅលើផ្ទៃដែលបានពិចារណាផងដែរ។ នេះបង្កប់ន័យលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត៖ វាត្រូវបានផ្សំឡើងដោយគ្រួសារពីរផ្សេងគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់។ រាល់បន្ទាត់ទាំងបីនៃគ្រួសារតែមួយគឺស្ថិតនៅក្នុងទីតាំងទូទៅ ហើយគ្រប់បន្ទាត់នៃគ្រួសារមួយប្រសព្វគ្រប់បន្ទាត់នៃគ្រួសារមួយទៀត។

ទ្រព្យសម្បត្តិព្យាករដ៏សំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតគឺថា សមាមាត្រទ្វេរដងនៃចំណុចទាំងបួន ដែលបន្ទាត់ចំនួនបួននៃគ្រួសារមួយបានកាត់កាត់ខ្សែមួយចំនួននៃគ្រួសារទីពីរមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃចុងក្រោយនេះទេ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះធ្វើឡើងពីវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតដោយប្រើយន្តហោះបង្វិល ហើយអ្នកអានអាចជឿជាក់លើសុពលភាពរបស់វា និងគុណភាពនៃលំហាត់។

យើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិគួរឱ្យកត់សម្គាល់មួយទៀតនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត៖ ទោះបីជាវាមានពីរគ្រួសារនៃបន្ទាត់ត្រង់ក៏ដោយអត្ថិភាពនៃបន្ទាត់ទាំងនេះមិនរារាំងផ្ទៃពីការពត់កោងទេ - វាមិនធ្វើឱ្យមានភាពរឹង។ ប្រសិនបើយើងបង្កើតគំរូនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីកំណាត់ដែលអាចបង្វិលដោយសេរីជុំវិញចំនុចនៃចំនុចប្រសព្វគ្នាទៅវិញទៅមក នោះផ្ទៃទាំងមូល

ស្ថាប័នអប់រំក្រុង

អនុវិទ្យាល័យ លេខ ៤

ផ្នែកសាជី

បំពេញ

Spiridonov Anton

សិស្សថ្នាក់ទី ១១

បានពិនិត្យ

Korobeynikova A.T.

Tobolsk - ឆ្នាំ 2006

សេចក្តីផ្តើម

គំនិតនៃផ្នែកសាជី

ប្រភេទនៃផ្នែកសាជី

សិក្សា

ការសាងសង់ផ្នែកសាជី

វិធីសាស្រ្តវិភាគ

ការដាក់ពាក្យ

ការដាក់ពាក្យ

គន្ថនិទ្ទេស

សេចក្តីផ្តើម។

គោលបំណង៖ ដើម្បីសិក្សាផ្នែកសាជី។

គោលបំណង៖ ដើម្បីរៀនបែងចែករវាងប្រភេទនៃផ្នែកសាជី បង្កើតផ្នែកមិនច្បាស់លាស់ និងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តវិភាគ។

ផ្នែករាងសាជីត្រូវបានស្នើឡើងជាលើកដំបូងដោយអ្នកភូមិសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Menechmus ដែលរស់នៅក្នុងសតវត្សទី 4 មុនគ។ ភារកិច្ចនេះត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងរឿងព្រេងដូចខាងក្រោម។

ថ្ងៃមួយ ជំងឺប៉េស្តមួយបានផ្ទុះឡើងនៅលើកោះ Delos ។ ប្រជាជននៅលើកោះនេះបានងាកទៅរក oracle ដែលបាននិយាយថាដើម្បីបញ្ឈប់ការរីករាលដាលនៃមេរោគនេះ ចាំបាច់ត្រូវធ្វើអាសនៈមាសពីរដង ដែលមានរាងជាគូប ហើយមានទីតាំងនៅប្រាសាទ Apollo ក្នុងទីក្រុង Athens។ ពួក​អ្នក​កោះ​ធ្វើ​អាសនៈ​ថ្មី ដែល​ឆ្អឹង​ជំនីរ​ធំ​ជាង​ឆ្អឹង​ជំនីរ​ចាស់​ពីរ​ដង។ ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា ជំងឺ​ប៉េស្ត​មិន​បាន​បញ្ឈប់​ឡើយ។ អ្នកស្រុកខឹងបានលឺពី oracle ថាពួកគេបានយល់ខុសវេជ្ជបញ្ជារបស់គាត់ - វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើនគែមគូបទ្វេដងប៉ុន្តែបរិមាណរបស់វា នោះគឺដើម្បីបង្កើនគែមគូបដោយ

ម្តង។ នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃពិជគណិតធរណីមាត្រដែលត្រូវបានប្រើដោយគណិតវិទូក្រិច បញ្ហានេះមានន័យថា៖ សម្រាប់ផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ a សូមស្វែងរកផ្នែកទាំងនោះ x និង y ដូចជា a: x = x: y = y: 2a ។ បន្ទាប់មកប្រវែងនៃ x នឹងជា .

សមាមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រព័ន្ធនៃសមីការ:

ប៉ុន្តែ x 2 = ay និង y 2 = 2ax គឺជាសមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ ដូច្នេះដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាវាចាំបាច់ត្រូវរកចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ ប្រសិនបើយើងពិចារណាថាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡា xy=2a 2 ក៏អាចទទួលបានពីប្រព័ន្ធដែរ នោះបញ្ហាដូចគ្នាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយអ៊ីពែបូឡា។

ដើម្បីទទួលបានផ្នែករាងសាជី Menechmus បានឆ្លងកាត់កោណ - មុំស្រួច រាងចតុកោណកែង ឬរាងពងក្រពើ ជាមួយនឹងយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងមួយ។ សម្រាប់កោណដែលមានមុំស្រួច ផ្នែកដោយយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹង generatrix របស់វាមានរាងពងក្រពើ។ កោណរាងពងក្រពើផ្តល់អ៊ីពែបូឡា ខណៈដែលកោណរាងចតុកោណផ្តល់ប៉ារ៉ាបូឡា។

ពីទីនេះមកឈ្មោះនៃខ្សែកោងដែលត្រូវបានណែនាំដោយ Apollonius នៃ Perga ដែលរស់នៅក្នុងសតវត្សទី 3 មុនគ។ អ៊ីពែបូល (ύπέρβωλη) - ការបំផ្លើស, ការគិតទុកជាមុន (មុំនៃកោណលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ); ប៉ារ៉ាបូឡា (παραβολη) - ប្រហាក់ប្រហែល, សមភាព (មុំកោណទៅមុំខាងស្តាំ) ។ ក្រោយមកជនជាតិក្រិចបានកត់សម្គាល់ថាខ្សែកោងទាំងបីអាចទទួលបាននៅលើកោណតែមួយដោយការផ្លាស់ប្តូរជម្រាលនៃយន្តហោះកាត់។ ក្នុងករណីនេះ គេគួរតែយកកោណមួយដែលមានបែហោងធ្មែញពីរ ហើយគិតថាពួកវាលាតសន្ធឹងដល់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ (រូបភាពទី 1)។

ប្រសិនបើយើងគូរផ្នែកនៃកោណរាងជារង្វង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សរបស់វា ហើយបន្ទាប់មកបង្វិលយន្តហោះកាត់ ដោយបន្សល់ទុកចំនុចមួយនៃចំនុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយនឹងកោណដែលមិនមានចលនា នោះយើងនឹងឃើញពីរបៀបដែលរង្វង់នឹងលាតសន្ធឹងដំបូង ប្រែទៅជារាងពងក្រពើ។ បន្ទាប់មកចំនុចកំពូលទីពីរនៃរាងពងក្រពើនឹងទៅគ្មានដែនកំណត់ ហើយជំនួសឱ្យពងក្រពើ ប៉ារ៉ាបូឡានឹងប្រែចេញ ហើយបន្ទាប់មកយន្តហោះនឹងកាត់ផ្នែកទីពីរនៃកោណ ហើយអ៊ីពែបូឡានឹងប្រែជាចេញ។

គំនិតនៃផ្នែកសាជី។

ផ្នែករាងសាជីគឺជាខ្សែកោងរបស់យន្តហោះដែលត្រូវបានទទួលដោយការកាត់រាងជារង្វង់ខាងស្តាំជាមួយនឹងយន្តហោះដែលមិនឆ្លងកាត់ចំនុចកំពូលរបស់វា។ តាមទស្សនៈនៃធរណីមាត្រវិភាគ ផ្នែករាងសាជីគឺជាទីតាំងនៃចំណុចដែលបំពេញសមីការលំដាប់ទីពីរ។ លើកលែងតែករណី degenerate ដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយ ផ្នែករាងសាជីគឺពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ឬប៉ារ៉ាបូឡា (រូបភាពទី 2)។

នៅពេលដែលត្រីកោណខាងស្តាំបង្វិលប្រហែលជើងមួយ អ៊ីប៉ូតេនុសដែលមានផ្នែកបន្ថែមរបស់វាពិពណ៌នាអំពីផ្ទៃរាងសាជី ដែលហៅថាផ្ទៃនៃកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំ ដែលអាចចាត់ទុកថាជាខ្សែបន្តបន្ទាប់គ្នាឆ្លងកាត់ចំនុចកំពូល និងហៅថា generatrices និងទាំងអស់ generatrixes ពឹងផ្អែកលើរង្វង់ដូចគ្នាដែលហៅថាអ្នកផលិត។ ម៉ាស៊ីនភ្លើងនីមួយៗគឺជាអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណបង្វិល (នៅក្នុងទីតាំងដែលគេស្គាល់) បានបន្តក្នុងទិសដៅទាំងពីរទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ដូច្នេះ generatrix នីមួយៗលាតសន្ធឹងលើផ្នែកទាំងពីរនៃ vertex ដែលជាលទ្ធផលដែលផ្ទៃខាងលើក៏មានបែហោងធ្មែញពីរផងដែរ៖ ពួកវាទៅចំណុចមួយនៅចំនុចកំពូលរួម។ ប្រសិនបើផ្ទៃបែបនេះត្រូវបានឆ្លងកាត់ដោយយន្តហោះនោះខ្សែកោងមួយនឹងត្រូវបានទទួលនៅក្នុងផ្នែកដែលត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកសាជី។ វាអាចមានបីប្រភេទ៖

1) ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់ផ្ទៃរាងសាជីនៅតាមបណ្តោយម៉ាស៊ីនភ្លើងទាំងអស់នោះ មានតែបែហោងធ្មែញមួយប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានកាត់ ហើយខ្សែកោងបិទជិតមួយត្រូវបានទទួលនៅក្នុងផ្នែកដែលហៅថាពងក្រពើ។

2) ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់កាត់បែហោងធ្មែញទាំងពីរ នោះខ្សែកោងមួយត្រូវបានទទួលដែលមានមែកពីរ ហើយត្រូវបានគេហៅថាអ៊ីពែបូឡា។

3) ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់គឺស្របទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងមួយ នោះប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានទទួល។

ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់គឺស្របទៅនឹងរង្វង់បង្កើត នោះរង្វង់មួយត្រូវបានទទួល ដែលអាចចាត់ទុកថាជាករណីពិសេសនៃរាងពងក្រពើ។ យន្តហោះកាត់អាចប្រសព្វផ្ទៃរាងសាជីនៅចំនុចកំពូលមួយប៉ុណ្ណោះ បន្ទាប់មកចំនុចមួយត្រូវបានទទួលនៅក្នុងផ្នែក ជាករណីពិសេសនៃរាងពងក្រពើ។

ប្រសិនបើបែហោងធ្មែញទាំងពីរត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុចកំពូល នោះបន្ទាត់ប្រសព្វមួយគូត្រូវបានទទួលនៅក្នុងផ្នែក ដែលចាត់ទុកថាជាករណីពិសេសនៃអ៊ីពែបូឡា។

ប្រសិនបើ vertex ស្ថិតនៅកម្រិតគ្មានកំណត់ នោះផ្ទៃរាងសាជីប្រែទៅជារាងស៊ីឡាំង ហើយផ្នែករបស់វាដោយយន្តហោះស្របទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើង ផ្តល់នូវបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមួយគូ ដែលជាករណីពិសេសនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ ផ្នែកសាជីត្រូវបានបង្ហាញដោយសមីការលំដាប់ទី 2 ដែលជាទម្រង់ទូទៅ

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

ហើយត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងលំដាប់ទី 2 ។

ប្រភេទនៃផ្នែកសាជី។

ផ្នែកសាជីអាចមានបីប្រភេទ៖

1) យន្តហោះកាត់កាត់ generatrix ទាំងអស់នៃកោណនៅចំណុចមួយនៃបែហោងធ្មែញរបស់វា; បន្ទាត់ប្រសព្វគឺជាខ្សែកោងរាងពងក្រពើបិទជិត - រាងពងក្រពើ; រង្វង់​ជា​ករណី​ពិសេស​នៃ​រាង​អេលីប​ត្រូវ​បាន​ទទួល​នៅ​ពេល​ដែល​យន្តហោះ​កាត់​កាត់​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​អ័ក្ស​នៃ​កោណ។

2) យន្តហោះកាត់គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះតង់សង់មួយនៃកោណ; នៅក្នុងផ្នែក ខ្សែកោងបើកចំហទៅកាន់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ត្រូវបានទទួល - ប៉ារ៉ាបូឡាដែលដេកទាំងស្រុងនៅលើបែហោងធ្មែញមួយ។

3) យន្តហោះកាត់ប្រសព្វទាំងពីរបែហោងធ្មែញនៃកោណ; បន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វ - អ៊ីពែបូឡា - មានផ្នែកមិនបិទដូចគ្នាពីរ (សាខានៃអ៊ីពែបូឡា) ដែលលាតសន្ធឹងទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ដេកលើបែហោងធ្មែញទាំងពីរនៃកោណ។

សិក្សា។

ក្នុងករណីដែលផ្នែករាងសាជីមានចំណុចកណ្តាលស៊ីមេទ្រី (កណ្តាល) ពោលគឺ វាជារាងពងក្រពើ ឬអ៊ីពែបូឡា សមីការរបស់វាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ (ដោយផ្លាស់ទីដើមទៅកណ្តាល) ទៅជាទម្រង់៖

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 ។

ការសិក្សាបន្ថែមទៀតនៃផ្នែកសាជី (ហៅថាកណ្តាល) បង្ហាញថាសមីការរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់សាមញ្ញជាងនេះ៖

Ah 2 + Wu 2 = C,

ប្រសិនបើអ្នកជ្រើសរើសទិសដៅសំខាន់សម្រាប់ទិសដៅនៃអ័ក្សកូអរដោនេ - ទិសដៅនៃអ័ក្សសំខាន់ (អ័ក្សស៊ីមេទ្រី) នៃផ្នែកសាជី។ ប្រសិនបើ A និង B មានសញ្ញាដូចគ្នា (ស្របពេលជាមួយនឹងសញ្ញា C) នោះសមីការកំណត់ពងក្រពើ។ ប្រសិនបើ A និង B មានសញ្ញាផ្សេងគ្នា នោះវាគឺជាអ៊ីពែបូល។

សមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡាមិនអាចកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ (Ax 2 + Vu 2 \u003d C)។ ជាមួយនឹងជម្រើសត្រឹមត្រូវនៃអ័ក្សកូអរដោនេ (អ័ក្សកូអរដោនេមួយគឺជាអ័ក្សតែមួយគត់នៃស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូឡា មួយទៀតគឺជាបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅវាឆ្លងកាត់ចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡា) សមីការរបស់វាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖

ការសាងសង់ផ្នែកសាជី។

ខណៈពេលដែលកំពុងសិក្សាផ្នែករាងសាជីជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ និងកោណ គណិតវិទូក្រិកបុរាណក៏បានចាត់ទុកពួកគេថាជាគន្លងនៃចំនុចនៅលើយន្តហោះផងដែរ។ វាត្រូវបានគេរកឃើញថាពងក្រពើអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាទីតាំងនៃចំណុច, ផលបូកនៃចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺថេរ; ប៉ារ៉ាបូឡា - ជាទីតាំងនៃចំណុចស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ; អ៊ីពែបូឡា - ជាទីតាំងនៃចំណុច ភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺថេរ។

និយមន័យនៃផ្នែករាងសាជីទាំងនេះជាខ្សែកោងរបស់យន្តហោះក៏ណែនាំពីវិធីសាងសង់ពួកវាដោយប្រើខ្សែដែលលាតសន្ធឹង។

ពងក្រពើ។ ប្រសិនបើចុងបញ្ចប់នៃខ្សែស្រឡាយនៃប្រវែងដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានជួសជុលនៅចំណុច F 1 និង F 2 (រូបភាព 3) នោះខ្សែកោងដែលបានពិពណ៌នាដោយចុងខ្មៅដៃដែលរអិលតាមខ្សែស្រឡាយដែលលាតសន្ធឹងយ៉ាងតឹងតែងមានរាងពងក្រពើ។ ចំនុច F 1 និង F 2 ត្រូវបានគេហៅថា foci នៃរាងពងក្រពើ ហើយផ្នែក V 1 V 2 និង v 1 v 2 រវាងចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សធំ និងអនីតិជន។ ប្រសិនបើចំនុច F 1 និង F 2 ស្របគ្នា នោះពងក្រពើប្រែទៅជារង្វង់ (រូបភាព 3) ។

អ៊ីពែបូឡា។ នៅពេលសាងសង់អ៊ីពែបូឡា ចំណុច P ដែលជាចុងខ្មៅដៃត្រូវបានជួសជុលនៅលើខ្សែស្រឡាយដែលរុញដោយសេរីតាមបង្គោលដែលបានដំឡើងនៅចំណុច F 1 និង F 2 ដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 4 ហើយចម្ងាយត្រូវបានជ្រើសរើសដើម្បីឱ្យផ្នែក PF 2 គឺវែងជាងផ្នែក PF 1 ដោយតម្លៃថេរតិចជាងចម្ងាយ F 1 F 2 ។ ក្នុង​ករណី​នេះ ចុង​ម្ខាង​នៃ​អំបោះ​ឆ្លងកាត់​ក្រោម​បង្គោល F 1 ហើយ​ចុង​ទាំង​ពីរ​នៃ​អំបោះ​ឆ្លង​កាត់​បង្គោល F 2 ។ (ចុងខ្មៅដៃមិនគួររុញតាមខ្សែស្រឡាយទេ ដូច្នេះវាត្រូវតែធានាដោយធ្វើរង្វិលជុំតូចមួយនៅលើខ្សែស្រឡាយ ហើយភ្ជាប់ចុងម្ជុលចូលទៅក្នុងវា។) យើងគូរសាខាមួយនៃអ៊ីពែបូឡា (PV 1 Q) ត្រូវប្រាកដថា ខ្សែស្រឡាយនៅតែតឹងតែងគ្រប់ពេលវេលា ហើយទាញចុងទាំងពីរនៃខ្សែស្រឡាយចុះក្រោមចំណុច F 2 ហើយនៅពេលដែលចំនុច P ស្ថិតនៅក្រោមផ្នែក F 1 F 2 សង្កត់ខ្សែស្រឡាយនៅចុងទាំងពីរ ហើយបញ្ចេញវាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ យើងគូរសាខាទីពីរនៃអ៊ីពែបូឡា ដោយដំបូងប្តូរម្ជុល F 1 និង F 2 (រូបភាព 4) ។

ផ្នែកសាជី
ខ្សែកោងនៃយន្តហោះ ដែលត្រូវបានទទួលដោយការឆ្លងកាត់កោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំជាមួយនឹងយន្តហោះដែលមិនឆ្លងកាត់ផ្នែកខាងលើរបស់វា (រូបភាពទី 1)។ តាមទស្សនៈនៃធរណីមាត្រវិភាគ ផ្នែករាងសាជីគឺជាទីតាំងនៃចំណុចដែលបំពេញសមីការលំដាប់ទីពីរ។ ដោយមានករណីលើកលែងនៃករណី degenerate ដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយ ផ្នែករាងសាជីគឺពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ឬប៉ារ៉ាបូឡា។

ផ្នែកសាជីត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងធម្មជាតិនិងបច្ចេកវិទ្យា។ ជាឧទាហរណ៍ គន្លងនៃភពដែលវិលជុំវិញព្រះអាទិត្យគឺជារាងពងក្រពើ។ រង្វង់​គឺ​ជា​ករណី​ពិសេស​នៃ​រាង​ពង​ក្រពើ ដែល​អ័ក្ស​សំខាន់​ស្មើ​នឹង​អនីតិជន។ កញ្ចក់ប៉ារ៉ាបូលមានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលកាំរស្មីឧបទ្ទវហេតុទាំងអស់ស្របគ្នាទៅនឹងអ័ក្សរបស់វាបញ្ចូលគ្នានៅចំណុចមួយ (ផ្តោត) ។ វាត្រូវបានប្រើនៅក្នុងកែវពង្រីកដែលឆ្លុះបញ្ចាំងភាគច្រើនដោយប្រើកញ្ចក់ប៉ារ៉ាបូល ក៏ដូចជានៅក្នុងអង់តែនរ៉ាដា និងមីក្រូហ្វូនពិសេសដែលមានឧបករណ៍ឆ្លុះបញ្ចាំងប៉ារ៉ាបូល។ ធ្នឹមនៃកាំរស្មីប៉ារ៉ាឡែលបញ្ចេញចេញពីប្រភពពន្លឺដែលដាក់នៅចំកណ្តាលនៃកញ្ចក់ឆ្លុះបញ្ចាំងប៉ារ៉ាបូល។ ដូច្នេះ កញ្ចក់ប៉ារ៉ាបូល ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងអំពូលភ្លើងដែលមានអនុភាព និងចង្កៀងមុខរថយន្ត។ អ៊ីពែបូឡា គឺជាក្រាហ្វនៃទំនាក់ទំនងរាងកាយសំខាន់ៗជាច្រើន ដូចជាច្បាប់របស់ Boyle (ដែលទាក់ទងនឹងសម្ពាធ និងបរិមាណនៃឧស្ម័នដ៏ល្អមួយ) និងច្បាប់ Ohm ដែលកំណត់ចរន្តអគ្គិសនីជាមុខងារនៃភាពធន់នៅតង់ស្យុងថេរ។
សូម​មើល​ផង​ដែរមេកានិកស្ថានសួគ៌។
ប្រវត្តិសាស្ត្រដើម
អ្នករកឃើញផ្នែករាងសាជីត្រូវបានគេសន្មត់ថាជា Menechmus (សតវត្សទី 4 មុនគ្រឹស្តសករាជ) ដែលជាសិស្សរបស់ Plato និងជាគ្រូរបស់ Alexander the Great ។ Menechmus បានប្រើ parabola និង isosceles hyperbola ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃការកើនឡើងទ្វេដងគូបមួយ។ សន្ធិសញ្ញាស្តីពីផ្នែកសាជីដែលសរសេរដោយ Aristaeus និង Euclid នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 4 ។ BC, ត្រូវបានបាត់បង់ ប៉ុន្តែសម្ភារៈពីពួកគេត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងផ្នែកសាជីដ៏ល្បីល្បាញនៃ Apollonius នៃ Perga (គ. 260-170 មុនគ.ស) ដែលបានរស់រានមានជីវិតដល់សម័យរបស់យើង។ Apollonius បានបោះបង់ចោលនូវតម្រូវការដែលថា ប្លង់សេកុងនៃ generatrix នៃកោណត្រូវកាត់កែង ហើយដោយការផ្លាស់ប្តូរមុំនៃទំនោររបស់វា ទទួលបានផ្នែកសាជីទាំងអស់ពីកោណរាងជារង្វង់មួយ ត្រង់ ឬទំនោរ។ យើងក៏ជំពាក់ Apollonius ឈ្មោះទំនើបនៃខ្សែកោង - រាងពងក្រពើ ប៉ារ៉ាបូឡា និងអ៊ីពែបូឡា។ នៅក្នុងការសាងសង់របស់គាត់ Apollonius បានប្រើកោណរាងជារង្វង់ពីរសន្លឹក (ដូចក្នុងរូបទី 1) ដូច្នេះជាលើកដំបូង វាច្បាស់ណាស់ថា អ៊ីពែបូឡា គឺជាខ្សែកោងដែលមានមែកពីរ។ ចាប់តាំងពីសម័យ Apollonius ផ្នែកសាជីត្រូវបានបែងចែកទៅជា 3 ប្រភេទ អាស្រ័យលើទំនោរនៃយន្តហោះកាត់ទៅ generatrix នៃកោណ។ រាងពងក្រពើ (រូបទី 1, ក) ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅពេលដែលយន្តហោះកាត់ប្រសព្វគ្នាទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងទាំងអស់នៃកោណនៅចំណុចនៃប្រហោងមួយរបស់វា។ ប៉ារ៉ាបូឡា (រូបទី 1, ខ) - នៅពេលដែលយន្តហោះកាត់គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះតង់សង់មួយនៃកោណ; អ៊ីពែបូឡា (រូបភាពទី 1, គ) - នៅពេលដែលយន្តហោះកាត់កាត់ប្រហោងទាំងពីរនៃកោណ។
ការសាងសង់ផ្នែកសាជី
ខណៈពេលដែលកំពុងសិក្សាផ្នែករាងសាជីជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ និងកោណ គណិតវិទូក្រិកបុរាណក៏បានចាត់ទុកពួកគេថាជាគន្លងនៃចំនុចនៅលើយន្តហោះផងដែរ។ វាត្រូវបានគេរកឃើញថាពងក្រពើអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាទីតាំងនៃចំណុច, ផលបូកនៃចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺថេរ; ប៉ារ៉ាបូឡា - ជាទីតាំងនៃចំណុចស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ; អ៊ីពែបូឡា - ជាទីតាំងនៃចំណុច ភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺថេរ។ និយមន័យនៃផ្នែករាងសាជីទាំងនេះជាខ្សែកោងរបស់យន្តហោះក៏ណែនាំពីវិធីសាងសង់ពួកវាដោយប្រើខ្សែដែលលាតសន្ធឹង។
ពងក្រពើ។ប្រសិនបើចុងបញ្ចប់នៃខ្សែស្រឡាយនៃប្រវែងដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានជួសជុលនៅចំណុច F1 និង F2 (រូបភាពទី 2) នោះខ្សែកោងដែលបានពិពណ៌នាដោយចុងខ្មៅដៃដែលរអិលតាមខ្សែស្រឡាយដែលលាតសន្ធឹងយ៉ាងតឹងតែងមានរាងពងក្រពើ។ ចំនុច F1 និង F2 ត្រូវបានគេហៅថា foci នៃរាងពងក្រពើ ហើយផ្នែក V1V2 និង v1v2 រវាងចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សធំ និងតូច។ ប្រសិនបើចំនុច F1 និង F2 ស្របគ្នា នោះពងក្រពើប្រែទៅជារង្វង់។



អ៊ីពែបូឡា។នៅពេលសាងសង់អ៊ីពែបូឡា ចំណុច P ដែលជាចំណុចនៃខ្មៅដៃត្រូវបានជួសជុលនៅលើខ្សែស្រឡាយដែលរុញដោយសេរីតាមបង្គោលដែលបានដំឡើងនៅចំណុច F1 និង F2 ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ 3 ក. ចម្ងាយត្រូវបានជ្រើសរើសដើម្បីឱ្យផ្នែក PF2 វែងជាងផ្នែក PF1 ដោយចំនួនថេរដែលតិចជាងចម្ងាយ F1F2 ។ ក្នុងករណីនេះ ចុងម្ខាងនៃខ្សែស្រឡាយឆ្លងកាត់ក្រោម F1 peg ហើយចុងទាំងពីរនៃខ្សែស្រឡាយឆ្លងកាត់ F2 peg ។ (ចុងខ្មៅដៃមិនគួររុញតាមខ្សែស្រឡាយទេ ដូច្នេះវាត្រូវតែធានាដោយធ្វើរង្វិលជុំតូចមួយនៅលើខ្សែស្រឡាយ ហើយភ្ជាប់ចុងម្ជុលចូលទៅក្នុងវា។) យើងគូរសាខាមួយនៃអ៊ីពែបូឡា (PV1Q) ត្រូវប្រាកដថា ខ្សែស្រឡាយ នៅតែតឹងតែងគ្រប់ពេលវេលា ហើយទាញចុងទាំងពីរចុះក្រោមចំណុច F2 ហើយនៅពេលដែលចំនុច P ស្ថិតនៅក្រោមផ្នែក F1F2 សង្កត់ខ្សែស្រឡាយនៅចុងទាំងពីរ ហើយបន្ធូរដោយប្រុងប្រយ័ត្ន (ពោលគឺបញ្ចេញ) វា។ យើងគូរសាខាទីពីរនៃអ៊ីពែបូឡា (P "V2Q") ដោយពីមុនបានផ្លាស់ប្តូរតួនាទីរបស់ pegs F1 និង F2 ។



មែកធាងនៃអ៊ីពែបូឡាចូលទៅជិតបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលប្រសព្វគ្នារវាងមែកឈើ។ បន្ទាត់ទាំងនេះហៅថា asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡា ត្រូវបានសាងសង់ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប។ 3 ខ. ចំណោតនៃបន្ទាត់ទាំងនេះគឺស្មើនឹង ± (v1v2)/(V1V2) ដែល v1v2 គឺជាផ្នែកនៃ bisector នៃមុំរវាង asymptotes កាត់កែងទៅនឹងផ្នែក F1F2; ចម្រៀក v1v2 ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សរួមនៃអ៊ីពែបូឡា ហើយផ្នែក V1V2 ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សឆ្លងកាត់របស់វា។ ដូច្នេះ asymptotes គឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែងដែលមានជ្រុងឆ្លងកាត់បួនចំណុច v1, v2, V1, V2 ស្របទៅនឹងអ័ក្ស។ ដើម្បីបង្កើតចតុកោណកែងនេះ អ្នកត្រូវបញ្ជាក់ទីតាំងនៃចំនុច v1 និង v2។ ពួកគេនៅចម្ងាយដូចគ្នា, ស្មើ

ពីចំណុចប្រសព្វនៃអ័ក្ស O. រូបមន្តនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការស្ថាបនាត្រីកោណខាងស្តាំដែលមានជើង Ov1 និង V2O និងអ៊ីប៉ូតេនុស F2O ។ ប្រសិនបើ asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡា កាត់កែងគ្នា នោះអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថា isosceles ។ អ៊ីពែបូឡាសពីរដែលមាន asymptotes ទូទៅ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងអ័ក្សឆ្លងកាត់ និងអ័ក្សផ្សំដែលត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ ត្រូវបានគេហៅថាបញ្ចូលគ្នាទៅវិញទៅមក។
ប៉ារ៉ាបូឡា។ foci នៃរាងពងក្រពើនិងអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេស្គាល់ថា Apollonius ប៉ុន្តែជាក់ស្តែងការផ្តោតអារម្មណ៍នៃប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានបង្កើតឡើងដំបូងដោយ Pappus (ពាក់កណ្តាលទី 2 នៃសតវត្សទី 3) ដែលកំណត់ខ្សែកោងនេះជាទីតាំងនៃចំណុចស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ( ការផ្តោតអារម្មណ៍) និងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលត្រូវបានគេហៅថានាយក។ ការសាងសង់ប៉ារ៉ាបូឡាដោយប្រើខ្សែស្រឡាយលាតសន្ធឹងដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃ Pappus ត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Isidore of Miletus (សតវត្សទី 6) ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរៀបចំបន្ទាត់ដើម្បីឱ្យគែមរបស់វាស្របគ្នាជាមួយនឹង directrix LLў (រូបភាពទី 4) ហើយភ្ជាប់ជើង AC នៃត្រីកោណគំនូរ ABC ទៅគែមនេះ។ យើងជួសជុលចុងម្ខាងនៃខ្សែស្រឡាយប្រវែង AB នៅចំនុចកំពូល B នៃត្រីកោណ ហើយមួយទៀតនៅត្រង់ចំនុចប៉ារ៉ាបូឡា F. ទាញខ្សែស្រឡាយដោយចុងខ្មៅដៃ ចុចចុងត្រង់ចំនុចអថេរ P ទៅទំនេរ ជើង AB នៃត្រីកោណគំនូរ។ នៅពេលដែលត្រីកោណផ្លាស់ទីតាមបន្ទាត់ ចំនុច P នឹងពិពណ៌នាអំពីធ្នូនៃប៉ារ៉ាបូឡាដោយផ្តោត F និង directrix LLў ចាប់តាំងពីប្រវែងសរុបនៃខ្សែស្រឡាយគឺ AB ផ្នែកនៃខ្សែស្រឡាយគឺនៅជាប់នឹងជើងសេរីនៃត្រីកោណ ហើយ ដូច្នេះផ្នែកដែលនៅសល់នៃខ្សែស្រឡាយ PF ត្រូវតែស្មើនឹងផ្នែកដែលនៅសល់នៃជើង AB, i.e. ប៉ា ចំនុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា V ជាមួយនឹងអ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃ parabola បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ F និង V ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សនៃ parabola ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សត្រូវបានគូសតាមរយៈការផ្តោត នោះផ្នែកនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះដែលត្រូវបានកាត់ផ្តាច់ដោយប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វ។ សម្រាប់ពងក្រពើ និងអ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា។



លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផ្នែកសាជី
និយមន័យ Pappus ។ការបង្កើតការផ្តោតអារម្មណ៍នៃប៉ារ៉ាបូឡាបាននាំ Pappus ទៅរកគំនិតនៃការផ្តល់និយមន័យជំនួសនៃផ្នែកសាជីជាទូទៅ។ អនុញ្ញាតឱ្យ F ជាចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ផ្តោត) L បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (directrix) មិនឆ្លងកាត់ F ហើយ DF និង DL ចម្ងាយពីចំណុចផ្លាស់ទី P ទៅផ្តោត F និង directrix L រៀងគ្នា។ បន្ទាប់មក ដូចដែល Papp បានបង្ហាញ ផ្នែកសាជីត្រូវបានកំណត់ជាទីតាំងនៃចំណុច P ដែលសមាមាត្រ DF/DL គឺជាថេរមិនអវិជ្ជមាន។ សមាមាត្រនេះត្រូវបានគេហៅថា eccentricity e នៃផ្នែកសាជី។ នៅពេលដែលអ៊ី 1 - អ៊ីពែបូល; សម្រាប់ e = 1 - ប៉ារ៉ាបូឡា។ ប្រសិនបើ F ស្ថិតនៅលើ L នោះទីតាំងមានទម្រង់ជាបន្ទាត់ (ពិត ឬស្រមើលស្រមៃ) ដែលជាផ្នែកសាជីដែលខូច។ ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃរាងពងក្រពើ និងអ៊ីពែបូឡា បង្ហាញថា ខ្សែកោងនីមួយៗមាន directrixes ពីរ និង foci ពីរ ហើយកាលៈទេសៈនេះបាននាំឱ្យ Kepler ក្នុងឆ្នាំ 1604 ដល់គំនិតដែលថា parabola ក៏មានការផ្តោតជាលើកទីពីរ និង directrix ទីពីរ - ចំណុចនៅគ្មានដែនកំណត់ និង ត្រង់។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ រង្វង់អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជារាងពងក្រពើ ដែល foci របស់វាស្របគ្នាជាមួយនឹងចំណុចកណ្តាល ហើយ directrixes គឺគ្មានដែនកំណត់។ ភាពឯកា e ក្នុងករណីនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។
ការរចនារបស់ Dandelin ។ការផ្តោត និងទិសដៅនៃផ្នែករាងសាជីអាចបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ដោយប្រើស្វ៊ែរដែលចារឹកក្នុងកោណ ហើយហៅថា Dandelin spheres (បាល់) ជាកិត្តិយសរបស់គណិតវិទូបែលហ្ស៊ិក និងវិស្វករ J. Dandelin (1794-1847) ដែលបានស្នើការសាងសង់ដូចខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យផ្នែករាងសាជីត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះជាក់លាក់ p ដែលមានកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំពីរសន្លឹកដែលមានចំនុចកំពូលនៅចំណុច O. យើងចារឹកនៅក្នុងរាងកោណនេះ S1 និង S2 ដែលប៉ះនឹងយន្តហោះ p នៅចំណុច F1 និង F2 រៀងៗខ្លួន។ ប្រសិនបើផ្នែករាងសាជីជារាងពងក្រពើ (រូបភាពទី 5 ក) នោះស្វ៊ែរទាំងពីរស្ថិតនៅខាងក្នុងបែហោងធ្មែញតែមួយ៖ ស្វ៊ែរមួយស្ថិតនៅពីលើយន្តហោះ p និងមួយទៀតនៅខាងក្រោមវា។ generatrix នីមួយៗនៃកោណប៉ះស្វ៊ែរទាំងពីរ ហើយទីតាំងនៃចំណុចទំនាក់ទំនងមានទម្រង់ជារង្វង់ពីរ C1 និង C2 ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះស្របគ្នា p1 និង p2 ។ អនុញ្ញាតឱ្យ P ជាចំណុចបំពានលើផ្នែកសាជី។ គូរបន្ទាត់ PF1, PF2 និងពង្រីកបន្ទាត់ PO ។ បន្ទាត់ទាំងនេះគឺតង់សង់ទៅស្វ៊ែរនៅចំណុច F1, F2 និង R1, R2 ។ ដោយសារតង់សង់ទាំងអស់ដែលទាញទៅស្វ៊ែរពីចំណុចមួយគឺស្មើគ្នា នោះ PF1 = PR1 និង PF2 = PR2 ។ ដូច្នេះ PF1 + PF2 = PR1 + PR2 = R1R2 ។ ដោយសារយន្តហោះ p1 និង p2 គឺស្របគ្នា ចម្រៀក R1R2 មានប្រវែងថេរ។ ដូច្នេះបរិមាណ PR1 + PR2 គឺដូចគ្នាសម្រាប់ទីតាំងទាំងអស់នៃចំណុច P ហើយចំនុច P ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ទីតាំងនៃចំនុចដែលផលបូកនៃចម្ងាយពី P ទៅ F1 និង F2 គឺថេរ។ ដូច្នេះចំនុច F1 និង F2 គឺជា foci នៃផ្នែករាងអេលីប។ លើសពីនេះទៀតវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាបន្ទាត់ដែលនៅតាមបណ្តោយយន្តហោះ p កាត់គ្នានៃយន្តហោះ p1 និង p2 គឺជា directrixes នៃរាងពងក្រពើដែលបានសាងសង់។ ប្រសិនបើ p ប្រសព្វគ្នារវាងបែហោងធ្មែញទាំងពីរនៃកោណ (រូបភាព 5b) នោះ លំពែង Dandelin ពីរស្ថិតនៅលើផ្នែកដូចគ្នានៃយន្តហោះ p ស្វ៊ែរមួយនៅក្នុងប្រហោងនីមួយៗនៃកោណ។ ក្នុងករណីនេះភាពខុសគ្នារវាង PF1 និង PF2 គឺថេរហើយទីតាំងនៃចំណុច P មានទម្រង់ជាអ៊ីពែបូឡាដែលមាន foci F1 និង F2 និងបន្ទាត់ត្រង់ - បន្ទាត់ប្រសព្វនៃ p ជាមួយ p1 និង p2 - ជា directrixes ។ ប្រសិនបើផ្នែកសាជីគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ 5c បន្ទាប់មកមានតែរង្វង់ Dandelin មួយប៉ុណ្ណោះដែលអាចចារឹកនៅក្នុងកោណបាន។



លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀត។លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផ្នែកសាជីគឺពិតជាមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន ហើយណាមួយនៃពួកវាអាចត្រូវបានគេយកមកធ្វើជាការសម្រេចចិត្ត។ កន្លែងដ៏សំខាន់មួយនៅក្នុងការប្រមូលគណិតវិទ្យានៃ Pappus (c. 300), Geometry of Descartes (1637) និង Principles of Newton (1687) ត្រូវបានកាន់កាប់ដោយបញ្ហានៃទីតាំងនៃចំនុចទាក់ទងនឹងបួនបន្ទាត់។ ប្រសិនបើបន្ទាត់បួន L1, L2, L3 និង L4 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ (ពីរអាចស្របគ្នា) ហើយចំនុច P គឺដូច្នេះផលិតផលនៃចម្ងាយពី P ទៅ L1 និង L2 គឺសមាមាត្រទៅនឹងផលិតផលនៃចម្ងាយពី P ។ ទៅ L3 និង L4 បន្ទាប់មកទីតាំងនៃចំនុច P គឺជាផ្នែករាងសាជី។ ដោយច្រឡំថា Apollonius និង Pappus បានបរាជ័យក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៃទីតាំងនៃចំណុចទាក់ទងនឹងបន្ទាត់ចំនួនបួន Descartes ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយនិងធ្វើឱ្យវាទូទៅបានបង្កើតធរណីមាត្រវិភាគ។
វិធីសាស្រ្តវិភាគ
ចំណាត់ថ្នាក់ពិជគណិត។នៅក្នុងពាក្យពិជគណិត ផ្នែករាងសាជីអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាខ្សែកោងយន្តហោះដែលសំរបសំរួល Cartesian បំពេញសមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត សមីការនៃផ្នែកសាជីទាំងអស់អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ទូទៅដូចជា

ដែលមិនមែនមេគុណ A, B និង C ទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យទេ។ ដោយមានជំនួយពីការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល និងការបង្វិលអ័ក្ស សមីការ (1) អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ ax2 + by2 + c = 0
ឬ px2 + qy = 0. សមីការទីមួយត្រូវបានទទួលពីសមីការ (1) ជាមួយ B2 № AC, ទីពីរ - ជាមួយ B2 = AC ។ ផ្នែកសាជីដែលសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ទីមួយត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាល។ ផ្នែកសាជីដែលផ្តល់ដោយសមីការនៃប្រភេទទីពីរដែលមាន q លេខ 0 ត្រូវបានគេហៅថាមិនមែនកណ្តាល។ នៅក្នុងប្រភេទទាំងពីរនេះមាន 9 ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃផ្នែកសាជី អាស្រ័យលើសញ្ញានៃមេគុណ។ 1) ប្រសិនបើមេគុណ a, b និង c មានសញ្ញាដូចគ្នា នោះគ្មានចំណុចពិតប្រាកដដែលកូអរដោនេនឹងបំពេញសមីការនោះទេ។ ផ្នែករាងសាជីបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាពងក្រពើស្រមើលស្រមៃ (ឬរង្វង់ស្រមើលស្រមៃប្រសិនបើ a = b) ។ 2) ប្រសិនបើ a និង b មានសញ្ញាដូចគ្នា ហើយ c ទល់មុខ នោះផ្នែករាងសាជីគឺជាពងក្រពើ (រូបភាពទី 1, a); សម្រាប់ a = b - រង្វង់មួយ (រូបភាព 6, ខ) ។



3) ប្រសិនបើ a និង b មានសញ្ញាផ្សេងគ្នា នោះផ្នែករាងសាជីគឺជាអ៊ីពែបូឡា (រូបភាពទី 1, គ)។ 4) ប្រសិនបើ a និង b មានសញ្ញាផ្សេងគ្នា និង c = 0 នោះផ្នែករាងសាជីមានពីរបន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វគ្នា (រូបភាព 6a) ។ 5) ប្រសិនបើ a និង b មានសញ្ញាដូចគ្នា និង c = 0 នោះមានចំណុចពិតប្រាកដតែមួយគត់នៅលើខ្សែកោងដែលបំពេញសមីការ ហើយផ្នែករាងសាជីគឺជាបន្ទាត់ប្រសព្វស្រមើលស្រមៃពីរ។ ក្នុងករណីនេះ មួយក៏និយាយអំពីពងក្រពើដែលចុះកិច្ចសន្យាដល់ចំណុចមួយ ឬប្រសិនបើ a = b រង្វង់មួយចុះកិច្ចសន្យាដល់ចំណុចមួយ (រូបភាព 6b) ។ 6) ប្រសិនបើ a ឬ b ស្មើសូន្យ ហើយមេគុណផ្សេងទៀតមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា នោះផ្នែករាងសាជីមានបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ។ 7) ប្រសិនបើ a ឬ b ស្មើសូន្យ ហើយមេគុណដែលនៅសល់មានសញ្ញាដូចគ្នា នោះគ្មានចំណុចពិតប្រាកដដែលបំពេញសមីការនោះទេ។ ក្នុង​ករណី​នេះ ផ្នែក​សាជី​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​មាន​បន្ទាត់​ប៉ារ៉ាឡែល​ស្រមើលស្រមៃ​ពីរ។ 8) ប្រសិនបើ c = 0 ហើយ a ឬ b ក៏ជាសូន្យ នោះផ្នែករាងសាជីមានបន្ទាត់ត្រង់ដែលជាប់គ្នាពិតប្រាកដពីរ។ (សមីការមិនកំណត់ផ្នែករាងសាជីណាមួយនៅ a = b = 0 ទេ ព្រោះក្នុងករណីនេះ សមីការដើម (1) មិនមែនជាដឺក្រេទីពីរ។ ប្រសិនបើ p លេខ 0 និង q = 0 យើងទទួលបានខ្សែកោងពីធាតុទី 8 ។ ប្រសិនបើ p = 0 នោះសមីការមិនកំណត់ផ្នែកសាជីណាមួយទេ ព្រោះសមីការដើម (1) មិនមែនជាដឺក្រេទីពីរទេ។ ដេរីវេនៃសមីការនៃផ្នែកសាជី។ ផ្នែកសាជីណាមួយក៏អាចត្រូវបានកំណត់ថាជាខ្សែកោងតាមបណ្តោយដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នាជាមួយនឹងផ្ទៃបួនជ្រុង ពោលគឺឧ។ ជាមួយនឹងផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការនៃដឺក្រេទីពីរ f (x, y, z) = 0 ។ តាមមើលទៅផ្នែកសាជីត្រូវបានទទួលស្គាល់ជាលើកដំបូងនៅក្នុងទម្រង់នេះហើយឈ្មោះរបស់ពួកគេ (សូមមើលខាងក្រោម) ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការពិតដែលថាពួកគេត្រូវបានទទួលដោយ យន្តហោះឆ្លងកាត់ជាមួយកោណ z2 = x2 + y2 ។ អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ជាមូលដ្ឋាននៃកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំ (រូបភាពទី 7) ដែលមានមុំខាងស្តាំនៅចំនុចកំពូល V. អនុញ្ញាតឱ្យយន្តហោះ FDC កាត់ generatrix VB នៅចំណុច F មូលដ្ឋានតាមបណ្តោយបន្ទាត់ CD និងផ្ទៃនៃកោណតាមបណ្តោយ។ ខ្សែកោង DFPC ដែល P ជាចំណុចណាមួយនៅលើខ្សែកោង។ គូរកាត់កណ្តាលផ្នែក ស៊ីឌី - ចំណុច E - បន្ទាត់ EF និងអង្កត់ផ្ចិត AB ។ តាមរយៈចំនុច P យើងគូរប្លង់ស្របទៅនឹងមូលដ្ឋាននៃកោណ ប្រសព្វកោណតាមបណ្តោយរង្វង់ RPS និងបន្ទាត់ EF ត្រង់ចំនុច Q. បន្ទាប់មក QF និង QP អាចត្រូវបានគេយករៀងគ្នា ដោយសារ x abscissa និង y កំណត់ នៃចំនុច P. ខ្សែកោងលទ្ធផលនឹងជាប៉ារ៉ាបូឡា។ សំណង់ដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ 7 អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីទាញយកសមីការទូទៅសម្រាប់ផ្នែកសាជី។ ការ៉េនៃប្រវែងនៃចម្រៀកកាត់កែង ដែលស្ដារពីចំណុចណាមួយនៃអង្កត់ផ្ចិតទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយរង្វង់ គឺតែងតែស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងនៃផ្នែកនៃអង្កត់ផ្ចិត។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល



y2 = RQ * QS ។
សម្រាប់ប៉ារ៉ាបូឡា ផ្នែក RQ មានប្រវែងថេរ (ព្រោះសម្រាប់ទីតាំងណាមួយនៃចំណុច P វាស្មើនឹងផ្នែក AE) ហើយប្រវែងនៃផ្នែក QS គឺសមាមាត្រទៅនឹង x (ពីទំនាក់ទំនង QS/EB = QF/ អេហ្វ) ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។

ដែល a គឺជាកត្តាថេរ។ លេខ a បង្ហាញពីប្រវែងនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ ប្រសិនបើមុំនៅកំពូលនៃកោណគឺស្រួច នោះផ្នែក RQ គឺមិនស្មើនឹងផ្នែក AE; ប៉ុន្តែទំនាក់ទំនង y2 = RQЧQS គឺស្មើនឹងសមីការនៃទម្រង់

ដែល a និង b ជាថេរ ឬបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរអ័ក្ស សមីការ

ជាសមីការនៃពងក្រពើ។ ចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្ស x (x = a និង x = -a) និងចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្ស y (y = b និង y = -b) កំណត់អ័ក្សធំ និងអនីតិជន រៀងៗខ្លួន។ ប្រសិនបើមុំនៅចំនុចកំពូលនៃកោណគឺ obtuse នោះខ្សែកោងនៃចំនុចប្រសព្វនៃកោណ និងយន្តហោះមានទម្រង់ជាអ៊ីពែបូឡា ហើយសមីការមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

ឬបន្ទាប់ពីផ្លាស់ប្តូរអ័ក្ស។

ក្នុងករណីនេះ x-intercepts ដែលផ្តល់ដោយ x2 = a2 កំណត់អ័ក្សឆ្លងកាត់ ហើយ y-intercepts ដែលផ្តល់ដោយ y2 = -b2 កំណត់អ័ក្ស conjugate ។ ប្រសិនបើថេរ a និង b ក្នុងសមីការ (4a) ស្មើគ្នា នោះអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថា isosceles ។ ដោយការបង្វិលអ័ក្សសមីការរបស់វាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ xy = k ។
ឥឡូវនេះពីសមីការ (3), (2) និង (4) យើងអាចយល់ពីអត្ថន័យនៃឈ្មោះដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយ Apollonius ទៅផ្នែកសាជីសំខាន់ៗបី។ ពាក្យ "ពងក្រពើ", "ប៉ារ៉ាបូឡា" និង "អ៊ីពែបូឡា" មកពីពាក្យក្រិកមានន័យថា "ខ្វះខាត" "ស្មើគ្នា" និង "ឧត្តមភាព" ។ ពីសមីការ (3), (2) និង (4) វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ពងក្រពើ y2 (2b2/a) x ។ ក្នុងករណីនីមួយៗ តម្លៃដែលរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបគឺស្មើនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វនៃខ្សែកោង។ Apollonius ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានពិចារណាតែប្រភេទសាជីទូទៅចំនួនបី (ប្រភេទ 2, 3 និង 9 ដែលបានរាយខាងលើ) ប៉ុន្តែវិធីសាស្រ្តរបស់គាត់បានទទួលស្គាល់ភាពទូទៅដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ពិចារណាខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរពិតប្រាកដទាំងអស់។ ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់ត្រូវបានជ្រើសរើសស្របទៅនឹងមូលដ្ឋានរាងជារង្វង់នៃកោណនោះផ្នែកនឹងជារង្វង់។ ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់មានចំណុចរួមតែមួយជាមួយកោណ ចំនុចកំពូលរបស់វា បន្ទាប់មកផ្នែកនៃប្រភេទទី 5 នឹងត្រូវបានទទួល។ ប្រសិនបើវាមានចំនុចកំពូល និងតង់សង់ទៅកោណ នោះយើងទទួលបានផ្នែកនៃប្រភេទទី 8 (រូបភាព 6b); ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់មានម៉ាស៊ីនភ្លើងពីរនៃកោណ នោះខ្សែកោងប្រភេទ 4 ត្រូវបានទទួលនៅក្នុងផ្នែក (រូបភាព 6, ក); នៅពេលដែល vertex ត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅគ្មានដែនកំណត់ កោណប្រែទៅជាស៊ីឡាំង ហើយប្រសិនបើយន្តហោះមានម៉ាស៊ីនភ្លើងពីរ នោះផ្នែកនៃប្រភេទ 6 នឹងត្រូវបានទទួល។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលរង្វង់នៅមុំ oblique នោះវាមើលទៅដូចជារាងពងក្រពើ។ ទំនាក់ទំនង​រវាង​រង្វង់​និង​រាង​ពង​ក្រពើ ដែល​គេ​ស្គាល់​រួច​ទៅ​ហើយ​ចំពោះ Archimedes បង្ហាញ​ឱ្យ​ឃើញ​ថា ប្រសិនបើ​រង្វង់ X2 + Y2 = a2 ត្រូវ​បាន​បំប្លែង​ទៅ​ជា​រាង​ពង​ក្រពើ​ដែល​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​សមីការ (3a) ដោយ​ប្រើ​ការ​ជំនួស X = x, Y = (a/b) y . ការបំប្លែង X = x, Y = (ai/b) y ដែល i2 = -1 អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមីការរង្វង់ក្នុងទម្រង់ (4a) ។ នេះបង្ហាញថាអ៊ីពែបូឡាអាចត្រូវបានមើលជារាងពងក្រពើដែលមានអ័ក្សអនីតិជនដែលស្រមើលស្រមៃ ឬផ្ទុយទៅវិញ ពងក្រពើអាចត្រូវបានមើលថាជាអ៊ីពែបូឡាដែលមានអ័ក្សរួមស្រមើស្រមៃ។ ទំនាក់ទំនងរវាងការចាត់តាំងនៃរង្វង់ x2 + y2 = a2 និងរាងពងក្រពើ (x2/a2) + (y2/b2) = 1 ដឹកនាំដោយផ្ទាល់ទៅរូបមន្ត Archimedes A = pab សម្រាប់តំបន់នៃរាងពងក្រពើ។ Kepler បានដឹងពីរូបមន្តប្រហាក់ប្រហែល p (a + b) សម្រាប់បរិវេណនៃរាងពងក្រពើនៅជិតរង្វង់មួយ ប៉ុន្តែកន្សោមពិតប្រាកដត្រូវបានទទួលតែនៅក្នុងសតវត្សទី 18 ប៉ុណ្ណោះ។ បន្ទាប់ពីការណែនាំនៃអាំងតេក្រាលរាងអេលីប។ ដូចដែល Archimedes បានបង្ហាញ តំបន់នៃផ្នែកប៉ារ៉ាបូលគឺបួនភាគបីនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណចារិក ប៉ុន្តែប្រវែងនៃធ្នូនៃប៉ារ៉ាបូលអាចត្រូវបានគេគណនាបានតែបន្ទាប់ពីសតវត្សទី 17 ប៉ុណ្ណោះ។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបង្កើតឡើង។
វិធីសាស្រ្តគម្រោង
ធរណីមាត្រគម្រោងគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការសាងសង់ទស្សនវិស័យ។ ប្រសិនបើអ្នកគូររង្វង់មួយនៅលើសន្លឹកក្រដាសថ្លា ហើយដាក់វានៅក្រោមប្រភពពន្លឺ នោះរង្វង់នេះនឹងត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះខាងក្រោម។ ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើប្រភពពន្លឺស្ថិតនៅខាងលើចំកណ្តាលរង្វង់ ហើយប្លង់ និងសន្លឹកថ្លាស្របគ្នានោះ ការព្យាករនឹងជារង្វង់មួយផងដែរ (រូបភាពទី 8)។ ទីតាំងនៃប្រភពពន្លឺត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចបាត់។ វាត្រូវបានតាងដោយអក្សរ V. ប្រសិនបើ V មិនស្ថិតនៅខាងលើកណ្តាលរង្វង់ ឬប្រសិនបើយន្តហោះមិនស្របនឹងសន្លឹកក្រដាសទេ នោះការព្យាករនៃរង្វង់មានទម្រង់ជារាងពងក្រពើ។ ជាមួយនឹងទំនោរកាន់តែខ្លាំងនៃយន្តហោះ អ័ក្សសំខាន់នៃរាងពងក្រពើ (ការព្យាករនៃរង្វង់) លាតសន្ធឹង ហើយពងក្រពើបន្តិចម្តងៗប្រែទៅជាប៉ារ៉ាបូឡា។ នៅលើយន្តហោះស្របទៅនឹងបន្ទាត់ VP ការព្យាករណ៍មើលទៅដូចជាប៉ារ៉ាបូឡា។ ជាមួយនឹងទំនោរកាន់តែខ្លាំង ការព្យាករកើតឡើងជាទម្រង់មួយនៃសាខានៃអ៊ីពែបូឡា។



ចំណុចនីមួយៗនៅលើរង្វង់ដើមត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចមួយចំនួននៅលើការព្យាករ។ ប្រសិនបើការព្យាករមានទម្រង់ជាប៉ារ៉ាបូឡា ឬអ៊ីពែបូឡា នោះចំណុចដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុច P ត្រូវបានគេនិយាយថាស្ថិតនៅកម្រិតគ្មានកំណត់ ឬនៅភាពគ្មានកំណត់។ ដូចដែលយើងបានឃើញហើយ ជាមួយនឹងជម្រើសដ៏សមរម្យនៃចំណុចដែលបាត់ រង្វង់មួយអាចត្រូវបានព្យាករទៅជារាងពងក្រពើដែលមានទំហំផ្សេងៗ និងមានភាពខុសប្លែកគ្នាផ្សេងៗ ហើយប្រវែងនៃអ័ក្សសំខាន់ៗមិនទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ដែលបានព្យាករនោះទេ។ ដូច្នេះធរណីមាត្រព្យាករណ៍មិនទាក់ទងនឹងចម្ងាយ ឬប្រវែងក្នុងមួយសេទេ ភារកិច្ចរបស់វាគឺដើម្បីសិក្សាសមាមាត្រនៃប្រវែងដែលត្រូវបានរក្សាទុកក្រោមការព្យាករ។ ទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើសំណង់ខាងក្រោម។ តាមរយៈចំណុច P ណាមួយនៃយន្តហោះ យើងគូរតង់សង់ពីរទៅរង្វង់ណាមួយ ហើយភ្ជាប់ចំណុចទំនាក់ទំនងជាមួយបន្ទាត់ p ។ សូមឱ្យបន្ទាត់មួយទៀតឆ្លងកាត់ចំណុច P កាត់រង្វង់នៅចំណុច C1 និង C2 ហើយបន្ទាត់ p - នៅចំណុច Q (រូបភាព 9) ។ Planimetry បង្ហាញថា PC1/PC2 = -QC1/QC2 ។ (សញ្ញាដកបានមកពីការពិតដែលថាទិសដៅនៃផ្នែក QC1 គឺផ្ទុយពីទិសដៅនៃផ្នែកផ្សេងទៀត។) នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ចំនុច P និង Q បែងចែកផ្នែក C1C2 ខាងក្រៅ និងខាងក្នុងក្នុងសមាមាត្រដូចគ្នា; ពួកគេក៏និយាយផងដែរថាសមាមាត្រអាម៉ូនិកនៃផ្នែកទាំងបួនគឺ -1 ។ ប្រសិនបើរង្វង់ត្រូវបានព្យាករទៅជាផ្នែករាងសាជី ហើយការរចនាដូចគ្នាត្រូវបានរក្សាទុកសម្រាប់ចំណុចដែលត្រូវគ្នា នោះសមាមាត្រអាម៉ូនិក (PC1)(QC2)/(PC2)(QC1) នៅតែស្មើនឹង -1។ ចំនុច P ត្រូវបានគេហៅថាប៉ូលនៃបន្ទាត់ p ទាក់ទងទៅនឹងផ្នែករាងសាជី ហើយបន្ទាត់ p ត្រូវបានគេហៅថាប៉ូលនៃចំនុច P ទាក់ទងទៅនឹងផ្នែកសាជី។



នៅពេលដែលចំនុច P ចូលទៅជិតរាងសាជី ប៉ូលមានទំនោរទៅរកទីតាំងតង់សង់។ ប្រសិនបើចំនុច P ស្ថិតនៅលើផ្នែករាងសាជី នោះប៉ូលរបស់វាស្របគ្នានឹងតង់សង់ទៅផ្នែកសាជីនៅចំណុច P។ ប្រសិនបើចំនុច P ស្ថិតនៅខាងក្នុងផ្នែករាងសាជី នោះប៉ូលរបស់វាអាចត្រូវបានសាងសង់ដូចខាងក្រោម។ គូរតាមចំនុច P បន្ទាត់ណាមួយដែលប្រសព្វផ្នែកសាជីនៅចំនុចពីរ។ គូរតង់សង់ទៅផ្នែកសាជីនៅចំណុចប្រសព្វ; ឧបមាថាតង់សង់ទាំងនេះប្រសព្វគ្នានៅចំណុច P1 ។ ចូរយើងគូសបន្ទាត់មួយទៀតតាមចំនុច P ដែលប្រសព្វផ្នែកសាជីនៅចំណុចពីរផ្សេងទៀត; អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាតង់សង់ទៅកោណនៅចំណុចថ្មីទាំងនេះប្រសព្វគ្នានៅចំណុច P2 (រូបភាព 10) ។ បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច P1 និង P2 គឺជាបន្ទាត់រាងប៉ូលដែលចង់បាន។ ប្រសិនបើចំនុច P ចូលទៅជិតចំណុចកណ្តាល O នៃផ្នែករាងសាជីកណ្តាល នោះប៉ូល p ផ្លាស់ទីឆ្ងាយពី O។ នៅពេលដែលចំនុច P ស្របគ្នានឹង O នោះប៉ូលរបស់វាក្លាយជាគ្មានដែនកំណត់ ឬល្អត្រង់ត្រង់យន្តហោះ។ សូម​មើល​ផង​ដែរធរណីមាត្រគម្រោង។



អគារពិសេស
ការចាប់អារម្មណ៍ជាពិសេសចំពោះតារាវិទូគឺការស្ថាបនាដ៏សាមញ្ញខាងក្រោមនៃចំណុចនៃពងក្រពើដោយប្រើត្រីវិស័យ និងត្រង់។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ត្រង់តាមអំពើចិត្តឆ្លងកាត់ចំណុច O (រូបភាពទី 11a) ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច Q និង R រង្វង់ផ្ចិតពីរដែលដាក់នៅកណ្តាលចំណុច O និង radii b និង a ដែល b



សម្រាប់អ៊ីពែបូឡា សំណង់គឺស្រដៀងគ្នា។ បន្ទាត់ត្រង់ដែលបំពានឆ្លងកាត់ចំណុច O កាត់រង្វង់មួយក្នុងចំណោមរង្វង់ទាំងពីរនៅចំណុច R (រូបភាព 11b) ។ ដល់ចំនុច R នៃរង្វង់មួយ និងដល់ចុងចំនុច S នៃអង្កត់ផ្ចិតផ្តេកនៃរង្វង់មួយទៀត យើងគូរតង់សង់ដែលប្រសព្វ OS ត្រង់ចំនុច T និង OR ត្រង់ចំនុច Q. អោយបន្ទាត់បញ្ឈរឆ្លងកាត់ចំនុច T និង បន្ទាត់ផ្តេកឆ្លងកាត់ចំនុច Q ប្រសព្វត្រង់ចំនុច P. បន្ទាប់មកទីតាំងនៃចំនុច P កំឡុងពេលបង្វិលផ្នែក ឬជុំវិញ O នឹងជាអ៊ីពែបូឡាដែលផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = a sec f, y = b tg f, ដែលជាកន្លែងដែល f គឺជាមុំ eccentric ។ សមីការទាំងនេះត្រូវបានទទួលដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង A. Legendre (1752-1833)។ ការលុបបំបាត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ f យើងទទួលបានសមីការ (4a) ។ រាងពងក្រពើ ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ដោយ N. Copernicus (1473-1543) អាចត្រូវបានសាងសង់ដោយប្រើចលនាអេពីស៊ីក។ ប្រសិនបើរង្វង់មួយវិលដោយមិនរអិលតាមផ្នែកខាងក្នុងនៃរង្វង់មួយទៀតដែលមានអង្កត់ផ្ចិតពីរដងនោះ ចំនុច P នីមួយៗដែលមិនស្ថិតនៅលើរង្វង់តូចជាង ប៉ុន្តែនៅជាប់នឹងវា នឹងពណ៌នាអំពីពងក្រពើ។ ប្រសិនបើចំនុច P ស្ថិតនៅលើរង្វង់តូចជាង នោះគន្លងនៃចំនុចនេះគឺជាករណីដែលខូចនៃរាងពងក្រពើ - អង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ធំជាង។ ការសាងសង់រាងពងក្រពើកាន់តែសាមញ្ញត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Proclus នៅសតវត្សទី 5 ។ ប្រសិនបើចុងបញ្ចប់ A និង B នៃផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ AB នៃស្លាយប្រវែងដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វគ្នាថេរពីរ (ឧទាហរណ៍ តាមអ័ក្សកូអរដោនេ) នោះចំនុចខាងក្នុងនីមួយៗ P នៃផ្នែកនឹងពណ៌នាពងក្រពើ។ គណិតវិទូជនជាតិហូឡង់ F. van Schoten (1615-1660) បានបង្ហាញថាចំណុចណាមួយនៅក្នុងប្លង់នៃបន្ទាត់ប្រសព្វ ដែលថេរទាក់ទងទៅនឹងផ្នែករអិល ក៏នឹងពណ៌នាអំពីពងក្រពើផងដែរ។ B. Pascal (1623-1662) នៅអាយុ 16 ឆ្នាំបានបង្កើតទ្រឹស្តីបទ Pascal ដ៏ល្បីល្បាញដែលនិយាយថា: ចំនុចប្រសព្វបីនៃជ្រុងទល់មុខនៃឆកោនដែលចារឹកនៅក្នុងផ្នែកសាជីណាមួយស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ Pascal ទទួលបានច្រើនជាង 400 corollaries ពីទ្រឹស្តីបទនេះ។
អក្សរសាស្ត្រ
Van der Waerden B.L. វិទ្យាសាស្ត្រភ្ញាក់។ M. , 1959 Aleksanrov P.S. ការបង្រៀនអំពីធរណីមាត្រវិភាគ។ M. , ឆ្នាំ 1968

សព្វវចនាធិប្បាយ Collier ។ - សង្គមបើកចំហ. 2000 .

សូមមើលអ្វីដែល "ផ្នែក CONIC" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

    ផ្នែករាងសាជី៖ រង្វង់ រាងពងក្រពើ ប៉ារ៉ាបូឡា (យន្តហោះផ្នែកគឺស្របទៅនឹង generatrix នៃកោណ) អ៊ីពែបូឡា។ ផ្នែករាងសាជី ឬរាងសាជី គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះដែលមានកោណរាងជារង្វង់។ ផ្នែកសាជីមានបីប្រភេទធំៗគឺ៖ ពងក្រពើ, ... ... វិគីភីឌា

    ខ្សែកោងដែលបណ្តាលមកពីចំនុចប្រសព្វនៃកោណដោយយន្តហោះក្នុងទិសដៅផ្សេងៗគ្នា; ប្រភេទរបស់ពួកគេ៖ ពងក្រពើ, អ៊ីពែបូឡា, ប៉ារ៉ាបូឡា។ វចនានុក្រមពេញលេញនៃពាក្យបរទេសដែលបានចូលប្រើជាភាសារុស្សី។ Popov M. , 1907. ផ្នែក CONIC, អ្វីដែលគេហៅថា។ ខ្សែកោង ...... វចនានុក្រមនៃពាក្យបរទេសនៃភាសារុស្ស៊ី

    បន្ទាត់ប្រសព្វនៃកោណមូលមួយ (មើលផ្ទៃរាងសាជី) ជាមួយនឹងយន្តហោះដែលមិនឆ្លងកាត់ផ្នែកខាងលើរបស់វា។ ដោយអាស្រ័យលើទីតាំងដែលទាក់ទងនៃកោណ និងយន្តហោះ secant ផ្នែកសាជីត្រូវបានទទួល 3 ប្រភេទ៖ ពងក្រពើ ប៉ារ៉ាបូឡា អ៊ីពែបូឡា ... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយធំ

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង