ភស្តុតាងនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ករណីដែលមុខងារស្មុគ្រស្មាញអាស្រ័យទៅលើអថេរមួយ ឬពីរត្រូវបានពិចារណាយ៉ាងលម្អិត។ ការធ្វើទូទៅត្រូវបានធ្វើឡើងចំពោះករណីនៃចំនួនអថេរដែលបំពាន។
នៅទីនេះយើងបង្ហាញពីដេរីវេនៃរូបមន្តខាងក្រោមសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។
បើអញ្ចឹង
.
បើអញ្ចឹង
.
បើអញ្ចឹង
.
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរមួយ។
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍នៃអថេរ x ត្រូវបានតំណាងជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
,
កន្លែងណា និងមានមុខងារមួយចំនួន។ អនុគមន៍គឺអាចខុសគ្នាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ x ។ មុខងារគឺខុសគ្នាសម្រាប់តម្លៃនៃអថេរ។
បន្ទាប់មកអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ (សមាសធាតុ) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ហើយដេរីវេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
(1)
.
រូបមន្ត (១) ក៏អាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖
;
.
ភស្តុតាង
ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណខាងក្រោម។
;
.
នៅទីនេះមានមុខងារនៃអថេរ ហើយមានមុខងារនៃអថេរ និង . ប៉ុន្តែយើងនឹងលុបចោលអំណះអំណាងនៃមុខងារទាំងនេះ ដើម្បីកុំឱ្យមានការពង្រាយការគណនា។
ដោយសារអនុគមន៍ និងអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x និងរៀងៗខ្លួន នោះនៅចំណុចទាំងនេះមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ ដែលជាដែនកំណត់ខាងក្រោម៖
;
.
ពិចារណាមុខងារដូចខាងក្រោមៈ
.
សម្រាប់តម្លៃថេរនៃអថេរ u គឺជាមុខងារនៃ . វាច្បាស់ណាស់។
.
បន្ទាប់មក
.
ដោយសារមុខងារគឺជាមុខងារផ្សេងគ្នានៅចំណុច នោះវាបន្តនៅចំណុចនោះ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល
.
បន្ទាប់មក
.
ឥឡូវនេះយើងរកឃើញដេរីវេ។
.
រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។
ផលវិបាក
ប្រសិនបើអនុគមន៍នៃអថេរ x អាចត្រូវបានតំណាងថាជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។
,
បន្ទាប់មកដេរីវេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
.
នៅទីនេះ ហើយមានមុខងារផ្សេងគ្នាមួយចំនួន។
ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តនេះ យើងគណនានិស្សន្ទវត្ថុតាមលំដាប់លំដោយយោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។
ពិចារណាមុខងារស្មុគស្មាញ
.
ដេរីវេរបស់វា។
.
ពិចារណាមុខងារដើម
.
ដេរីវេរបស់វា។
.
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយនៅក្នុងអថេរពីរ
ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយអាស្រ័យលើអថេរជាច្រើន។ ដំបូងពិចារណា ករណីនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៃអថេរពីរ.
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍អាស្រ័យលើអថេរ x ត្រូវបានតំណាងជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរពីរក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
,
កន្លែងណា
ហើយមានមុខងារផ្សេងគ្នាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ x ;
គឺជាមុខងារនៃអថេរពីរ ដែលខុសគ្នាត្រង់ចំនុច , . បន្ទាប់មកអនុគមន៍ស្មុគស្មាញត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច ហើយមានដេរីវេដែលត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
(2)
.
ភស្តុតាង
ដោយសារមុខងារ និងមានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុច ពួកវាត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនេះ បន្តនៅចំណុច ហើយនិស្សន្ទវត្ថុរបស់ពួកគេនៅចំណុចមាន ដែលជាដែនកំណត់ខាងក្រោម៖
;
.
នៅទីនេះ
;
.
ដោយសារតែការបន្តនៃមុខងារទាំងនេះនៅចំណុចមួយ យើងមាន៖
;
.
ដោយសារមុខងារអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុច វាត្រូវបានគេកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនេះ បន្តនៅចំណុចនេះ ហើយការបង្កើនរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
(3)
.
នៅទីនេះ
- ការបង្កើនមុខងារនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់របស់វាត្រូវបានបង្កើនដោយតម្លៃ និង ;
;
- ដេរីវេដោយផ្នែកនៃអនុគមន៍ទាក់ទងនឹងអថេរ និង .
សម្រាប់តម្លៃថេរនៃ និង , និងមានមុខងារនៃអថេរ និង . ពួកគេមានទំនោរទៅសូន្យដូចជា និង៖
;
.
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក
;
.
ការបង្កើនមុខងារ៖
.
:
.
ជំនួស (3):
.
រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរជាច្រើន។
ដេរីវេខាងលើត្រូវបានទូទៅយ៉ាងងាយស្រួលចំពោះករណីនៅពេលដែលចំនួនអថេរនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមានច្រើនជាងពីរ។
ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ f គឺ មុខងារនៃអថេរបី, នោះ។
,
កន្លែងណា
ហើយមានមុខងារផ្សេងគ្នាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ x ;
គឺជាអនុគមន៍ខុសគ្នាក្នុងអថេរបីត្រង់ចំណុច , , .
បន្ទាប់មក ពីនិយមន័យនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ យើងមាន៖
(4)
.
ចាប់តាំងពីដោយសារតែការបន្ត,
;
;
,
នោះ។
;
;
.
ការបែងចែក (4) ដោយនិងឆ្លងកាត់ដែនកំណត់យើងទទួលបាន:
.
ហើយចុងក្រោយសូមពិចារណា ករណីទូទៅបំផុត។.
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍នៃអថេរ x ត្រូវបានតំណាងជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរ n ក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
,
កន្លែងណា
មានមុខងារផ្សេងគ្នាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ x ;
- មុខងារផ្សេងគ្នានៃអថេរ n នៅចំណុចមួយ។
,
,
... , .
បន្ទាប់មក
.
និយមន័យ។អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x) \) ត្រូវបានកំណត់ក្នុងចន្លោះពេលខ្លះដែលមានចំណុច \(x_0 \) នៅខាងក្នុង។ ចូរបង្កើន \(\Delta x \) ទៅអាគុយម៉ង់ ដើម្បីកុំឱ្យចាកចេញពីចន្លោះពេលនេះ។ ស្វែងរកការបង្កើនដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ \(\Delta y \) (នៅពេលឆ្លងកាត់ពីចំណុច \(x_0 \) ដល់ចំណុច \(x_0 + \Delta x \)) ហើយសរសេរទំនាក់ទំនង \(\frac(\Delta y ) (\\ ដីសណ្ត x) \\) ។ ប្រសិនបើមានដែនកំណត់នៃទំនាក់ទំនងនេះនៅ \(\Delta x \rightarrow 0 \) នោះដែនកំណត់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញត្រូវបានគេហៅថា មុខងារដេរីវេ\(y=f(x) \\) ត្រង់ចំណុច \(x_0 \\) ហើយបញ្ជាក់ \(f"(x_0) \\) ។
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
និមិត្តសញ្ញា y ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីសម្គាល់និស្សន្ទវត្ថុ។ ចំណាំថា y" = f(x) គឺជាមុខងារថ្មី ប៉ុន្តែត្រូវបានភ្ជាប់ដោយធម្មជាតិជាមួយនឹងអនុគមន៍ y = f(x) ដែលកំណត់នៅគ្រប់ចំនុច x ដែលមានដែនកំណត់ខាងលើ។ មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា៖ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x).
អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេរួមមានដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើតង់សង់ដែលមិនស្របនឹងអ័ក្ស y អាចត្រូវបានគូរទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) នៅចំណុចមួយជាមួយ abscissa x \u003d a នោះ f (a) បង្ហាញពីជម្រាលនៃតង់សង់៖
\(k = f"(a)\)
ដោយសារ \(k = tg(a) \) សមភាព \(f"(a) = tg(a) \) គឺពិត។
ហើយឥឡូវនេះយើងបកស្រាយនិយមន័យនៃដេរីវេនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែល។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x) \) មានដេរីវេនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
នេះមានន័យថានៅជិតចំនុច x សមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), i.e. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \ Deltax\) ។ អត្ថន័យនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែលដែលទទួលបានមានដូចខាងក្រោម៖ ការកើនឡើងនៃអនុគមន៍គឺ "ស្ទើរតែសមាមាត្រ" ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ ហើយមេគុណនៃសមាមាត្រគឺជាតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំណុច x ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍ \(y = x^2 \) សមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) មានសុពលភាព។ ប្រសិនបើយើងវិភាគដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុនោះ យើងនឹងឃើញថាវាមានក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកវា។
ចូរយើងបង្កើតវា។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) ?
1. ជួសជុលតម្លៃ \\(x \\) ស្វែងរក \\(f(x) \\)
2. បង្កើន \(x \) អាគុយម៉ង់ \(\Delta x \) ផ្លាស់ទីទៅចំណុចថ្មី \(x+ \Delta x \) ស្វែងរក \(f(x+ \Delta x) \)
3. ស្វែងរកការបង្កើនមុខងារ៖ \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. ចងក្រងទំនាក់ទំនង \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. គណនា $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ដែនកំណត់នេះគឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅ x ។
ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) មានដេរីវេនៅចំនុច x នោះវាត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ។ នីតិវិធីសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) ត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នាមុខងារ y = f (x) ។
ចូរយើងពិភាក្សាសំណួរខាងក្រោម៖ តើការបន្ត និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារនៅចំណុចមួយទាក់ទងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?
សូមអោយអនុគមន៍ y = f(x) ខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ។ បន្ទាប់មកតង់ហ្សង់មួយអាចត្រូវបានគូរទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច M (x; f (x)) ហើយសូមចាំថា ជម្រាលនៃតង់ហ្សង់គឺស្មើនឹង f "(x) ។ ក្រាហ្វបែបនេះមិនអាច "បំបែក" នៅឡើយ។ ចំណុច M, ឧ. មុខងារត្រូវតែបន្តនៅ x ។
វាត្រូវបានវែកញែក "នៅលើម្រាមដៃ" ។ ចូរយើងបង្ហាញអំណះអំណាងដ៏តឹងរ៉ឹងជាងនេះ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះសមភាពប្រហាក់ប្រហែល \\(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) រក្សា។សូន្យ បន្ទាប់មក \(\Delta y \ ) ក៏នឹងមានទំនោរទៅសូន្យ ហើយនេះគឺជាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបន្តនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។
ដូច្នេះ ប្រសិនបើមុខងារអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះវាក៏បន្តនៅចំណុចនោះ។.
ការសន្ទនាមិនពិតទេ។ ឧទាហរណ៍៖ មុខងារ y = |x| គឺបន្តនៅគ្រប់ទីកន្លែង ជាពិសេសនៅចំណុច x = 0 ប៉ុន្តែតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅ “ចំណុចរួម” (0; 0) មិនមានទេ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វមុខងារ នោះមិនមានដេរីវេនៅចំណុចនេះទេ។
ឧទាហរណ៍មួយទៀត។ អនុគមន៍ \(y=\sqrt(x) \) គឺបន្តនៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល រួមទាំងនៅចំណុច x = 0។ ហើយតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មាននៅចំណុចណាមួយ រួមទាំងនៅចំណុច x = 0 ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះតង់សង់ត្រូវគ្នានឹងអ័ក្ស y ពោលគឺវាកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស abscissa សមីការរបស់វាមានទម្រង់ x \u003d 0 ។ មិនមានជម្រាលសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់នោះទេ ដែលមានន័យថា \ ( f "(0) \) ក៏មិនមានដែរ។
ដូច្នេះ យើងបានស្គាល់លក្ខណៈសម្បត្តិថ្មីនៃមុខងារ - ភាពខុសគ្នា។ តើអ្នកអាចដឹងថាមុខងារមួយអាចខុសពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដោយរបៀបណា?
ចម្លើយគឺពិតជាបានផ្តល់ជូនខាងលើ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះតង់ហ្សង់អាចត្រូវបានទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមិនកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x នោះនៅចំណុចនេះមុខងារគឺខុសគ្នា។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានទេ ឬវាកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x នោះនៅចំណុចនេះ មុខងារមិនអាចខុសគ្នាបានទេ។
ច្បាប់នៃការបែងចែក
ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា. នៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការនេះ ជារឿយៗអ្នកត្រូវធ្វើការជាមួយ កូតា ផលបូក ផលិតផលនៃមុខងារ ក៏ដូចជាជាមួយ "មុខងារនៃមុខងារ" ពោលគឺ មុខងារស្មុគស្មាញ។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងអាចទាញយកច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាដែលជួយសម្រួលដល់ការងារនេះ។ ប្រសិនបើ C ជាចំនួនថេរ ហើយ f=f(x) g=g(x) គឺជាមុខងារផ្សេងគ្នាមួយចំនួន នោះខាងក្រោមគឺពិត ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
តារាងដេរីវេនៃមុខងារមួយចំនួន
$$ \left(\frac(1)(x)\right) " = -\frac(1)(x^2) $$$$(\sqrt(x))" = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$$$ \left(a^x \right)" = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$$$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$$$(\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$$$$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$$$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$$$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$$$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $និស្សន្ទវត្ថុស្មុគស្មាញ។ ដេរីវេលោការីត។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
យើងបន្តកែលម្អបច្ចេកទេសនៃភាពខុសគ្នារបស់យើង។ នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលគ្របដណ្ដប់ ពិចារណាអំពីនិស្សន្ទវត្ថុដ៏ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត ហើយក៏បានស្គាល់ផងដែរនូវល្បិច និងល្បិចថ្មីៗសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេវ ជាពិសេសជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុលោការីត។
អ្នកអានទាំងនោះដែលមានកម្រិតនៃការរៀបចំទាបគួរតែសំដៅទៅលើអត្ថបទ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ? ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើនជំនាញរបស់អ្នកស្ទើរតែពីដំបូង។ បន្ទាប់អ្នកត្រូវសិក្សាដោយប្រុងប្រយ័ត្នទំព័រ ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញយល់និងដោះស្រាយ ទាំងអស់។ឧទាហរណ៍ដែលខ្ញុំបានផ្តល់ឱ្យ។ មេរៀននេះគឺជាតក្កវិជ្ជាទីបីជាប់ៗគ្នា ហើយបន្ទាប់ពីធ្វើជាម្ចាស់វា អ្នកនឹងបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញដោយភាពជឿជាក់។ វាមិនគួរឱ្យចង់នៅជាប់នឹងទីតាំង "កន្លែងណាទៀត? បាទ ហើយវាគ្រប់គ្រាន់ហើយ!” ចាប់តាំងពីឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយទាំងអស់ត្រូវបានយកចេញពីការធ្វើតេស្តពិតប្រាកដ ហើយជាញឹកញាប់ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការអនុវត្ត។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយពាក្យដដែលៗ។ នៅមេរៀន ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញយើងបានពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនជាមួយនឹងមតិយោបល់លម្អិត។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការសិក្សាការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា អ្នកនឹងត្រូវបែងចែកភាពខុសគ្នាជាញឹកញាប់ ហើយវាមិនតែងតែងាយស្រួល (និងមិនតែងតែចាំបាច់) ដើម្បីគូរឧទាហរណ៍ឱ្យបានលម្អិតនោះទេ។ ដូច្នេះ យើងនឹងអនុវត្តក្នុងការស្វែងរកផ្ទាល់មាត់នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ "បេក្ខជន" ដែលសមរម្យបំផុតសម្រាប់ការនេះគឺជាដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញបំផុត ឧទាហរណ៍៖
យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ 
:
នៅពេលសិក្សាប្រធានបទ matan ផ្សេងទៀតនៅពេលអនាគត កំណត់ត្រាលម្អិតបែបនេះច្រើនតែមិនត្រូវបានទាមទារទេ វាត្រូវបានសន្មត់ថាសិស្សអាចស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុស្រដៀងគ្នានៅលើ autopilot ។ សូមស្រមៃថានៅម៉ោង 3 ទៀបភ្លឺ ទូរសព្ទបានបន្លឺឡើង ហើយសំឡេងដ៏រីករាយមួយបានសួរថា "តើអ្វីទៅជាដេរីវេនៃតង់សង់នៃពីរ x?"។ នេះគួរតែត្រូវបានធ្វើតាមដោយការឆ្លើយតបស្ទើរតែភ្លាមៗ និងគួរសម៖ 
.
ឧទាហរណ៍ទីមួយនឹងត្រូវបានបម្រុងទុកភ្លាមៗសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។
ឧទាហរណ៍ ១
ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុខាងក្រោមដោយផ្ទាល់មាត់ ក្នុងជំហានមួយ ឧទាហរណ៍៖ . ដើម្បីបញ្ចប់កិច្ចការ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រើ តារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម(ប្រសិនបើនាងមិនទាន់ចងចាំ)។ ប្រសិនបើអ្នកមានការលំបាកណាមួយ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអានមេរៀនឡើងវិញ ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន
និស្សន្ទវត្ថុស្មុគស្មាញ
បន្ទាប់ពីការរៀបចំកាំភ្លើងធំបឋមឧទាហរណ៍ជាមួយឯកសារភ្ជាប់ 3-4-5 នៃមុខងារនឹងមិនសូវគួរឱ្យខ្លាចទេ។ ប្រហែលជាឧទាហរណ៍ពីរខាងក្រោមនឹងហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញសម្រាប់អ្នកខ្លះ ប៉ុន្តែប្រសិនបើពួកគេត្រូវបានគេយល់ (មាននរណាម្នាក់ទទួលរង) នោះស្ទើរតែអ្វីៗផ្សេងទៀតនៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងហាក់ដូចជារឿងកំប្លែងរបស់កុមារ។
ឧទាហរណ៍ ២
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាដំបូងវាចាំបាច់ ត្រូវហើយ។ស្វែងយល់ពីការវិនិយោគ។ ក្នុងករណីមានការសង្ស័យ ខ្ញុំរំលឹកអ្នកអំពីល្បិចដ៏មានប្រយោជន៍មួយ៖ យើងយកតម្លៃពិសោធន៍ "x" ជាឧទាហរណ៍ ហើយព្យាយាម (ផ្លូវចិត្ត ឬលើសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីជំនួសតម្លៃនេះទៅជា "កន្សោមដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ។
1) ដំបូងយើងត្រូវគណនាកន្សោម ដូច្នេះផលបូកគឺជាសំបុកជ្រៅបំផុត។
២) បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវគណនាលោការីត៖
4) បន្ទាប់មកគូបកូស៊ីនុស:
5) នៅជំហានទី 5 ភាពខុសគ្នា:
៦) ហើយចុងក្រោយ មុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺឫសការ៉េ៖ 
រូបមន្តភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ 
ត្រូវបានអនុវត្តតាមលំដាប់បញ្ច្រាស ពីមុខងារខាងក្រៅបំផុតទៅខាងក្នុងបំផុត។ យើងសម្រេចចិត្ត៖
ហាក់ដូចជាគ្មានកំហុស...
(1) យើងយកដេរីវេនៃឫសការ៉េ។
(2) យើងយកដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាដោយប្រើក្បួន 
(3) ដេរីវេនៃបីគឺស្មើនឹងសូន្យ។ នៅក្នុងពាក្យទីពីរយើងយកដេរីវេនៃដឺក្រេ (គូប) ។
(4) យើងយកដេរីវេនៃកូស៊ីនុស។
(5) យើងយកដេរីវេនៃលោការីត។
(6) ជាចុងក្រោយ យើងយកដេរីវេនៃសំបុកជ្រៅបំផុត។
វាហាក់ដូចជាពិបាកពេក ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាឧទាហរណ៍ដ៏ឃោរឃៅបំផុតនោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍សូមយកការប្រមូលរបស់ Kuznetsov ហើយអ្នកនឹងពេញចិត្តក្នុងការស្តាប់នូវភាពទាក់ទាញនិងភាពសាមញ្ញនៃដេរីវេដែលបានវិភាគ។ ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ឃើញថា ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់រឿងស្រដៀងគ្នានៅពេលប្រឡង ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើសិស្សយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ ឬមិនយល់។
ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមគឺសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។
ឧទាហរណ៍ ៣
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ព័ត៌មានជំនួយ: ដំបូងយើងអនុវត្តច្បាប់នៃលីនេអ៊ែរនិងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល
ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
វាដល់ពេលដែលត្រូវបន្តទៅអ្វីដែលកាន់តែតូច និងស្អាតជាងមុន។
វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេសម្រាប់ស្ថានភាពដែលផលិតផលមិនមែនពីរ ប៉ុន្តែមុខងារបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងឧទាហរណ៍មួយ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃផលនៃកត្តាបី?
ឧទាហរណ៍ 4
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
ដំបូងយើងមើល ប៉ុន្តែតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្វែរផលិតផលនៃមុខងារបីទៅជាផលិតផលនៃមុខងារពីរ? ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងមានពហុនាមពីរនៅក្នុងផលិតផល នោះយើងអាចបើកតង្កៀប។ ប៉ុន្តែក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មុខងារទាំងអស់គឺខុសគ្នា៖ ដឺក្រេ និទស្សន្ត និងលោការីត។
ក្នុងករណីបែបនេះវាចាំបាច់ ជាបន្តបន្ទាប់អនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល 
ពីរដង
ល្បិចគឺថាសម្រាប់ "y" យើងបង្ហាញពីផលិតផលនៃមុខងារពីរ: និងសម្រាប់ "ve" - លោការីត: ។ ហេតុអ្វីបានជានេះអាចត្រូវបានធ្វើ? តើមែនទេ? 
- នេះមិនមែនជាផលនៃកត្តាពីរ ហើយច្បាប់មិនដំណើរការ?! មិនមានអ្វីស្មុគស្មាញទេ៖
ឥឡូវនេះវានៅតែត្រូវអនុវត្តច្បាប់ជាលើកទីពីរ 
តង្កៀប៖
អ្នកនៅតែអាចបង្ខូច និងយកអ្វីមួយចេញពីតង្កៀប ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការទុកចម្លើយក្នុងទម្រង់នេះ - វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យ។
ឧទាហរណ៍ខាងលើអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីទីពីរ៖ 
ដំណោះស្រាយទាំងពីរគឺពិតជាសមមូល។
ឧទាហរណ៍ 5
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ ក្នុងគំរូវាត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីដំបូង។
ពិចារណាឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាជាមួយប្រភាគ។
ឧទាហរណ៍ ៦
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
នៅទីនេះអ្នកអាចទៅតាមវិធីជាច្រើន៖
ឬដូចនេះ៖
ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានសរសេរកាន់តែបង្រួមប្រសិនបើដំបូងយើងប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃកូតា 
យកសម្រាប់ភាគយកទាំងមូល៖
ជាគោលការណ៍ឧទាហរណ៍ត្រូវបានដោះស្រាយហើយប្រសិនបើវាត្រូវបានទុកចោលក្នុងទម្រង់នេះវានឹងមិនមានកំហុសទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកមានពេល គួរតែពិនិត្យមើលសេចក្តីព្រាងជានិច្ច ប៉ុន្តែតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការសម្រួលចម្លើយ? យើងនាំយកកន្សោមនៃភាគយកទៅជាភាគបែងរួម និង កម្ចាត់ប្រភាគបីជាន់:
គុណវិបត្តិនៃភាពសាមញ្ញបន្ថែមគឺថាមានហានិភ័យនៃការធ្វើឱ្យមានកំហុសមិនមែននៅពេលរកឃើញដេរីវេទេ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលការផ្លាស់ប្តូរសាលា banal ។ ម៉្យាងវិញទៀត គ្រូបង្រៀនជារឿយៗបដិសេធកិច្ចការនេះ ហើយសុំឱ្យ "យកវាមកគិត" ពីដេរីវេ។
ឧទាហរណ៍សាមញ្ញសម្រាប់ដំណោះស្រាយធ្វើវាដោយខ្លួនឯង៖
ឧទាហរណ៍ ៧
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
យើងបន្តធ្វើជាម្ចាស់នៃបច្ចេកទេសសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាករណីធម្មតានៅពេលដែលលោការីត "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា
ឧទាហរណ៍ ៨
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នៅទីនេះអ្នកអាចទៅឆ្ងាយដោយប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ៖
ប៉ុន្តែជំហានដំបូងបំផុតធ្វើឱ្យអ្នកធ្លាក់ចូលទៅក្នុងភាពអស់សង្ឃឹមភ្លាមៗ - អ្នកត្រូវតែទទួលយកដេរីវេមិនរីករាយនៃសញ្ញាបត្រប្រភាគ ហើយបន្ទាប់មកក៏មកពីប្រភាគផងដែរ។
នោះហើយជាមូលហេតុដែល ពីមុនតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយកដេរីវេនៃលោការីត "ពុម្ពអក្សរក្បូរក្បាច់", វាត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញពីមុនដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិសាលាល្បី:
! ប្រសិនបើអ្នកមានសៀវភៅកត់ត្រាលំហាត់ដែលងាយស្រួល សូមចម្លងរូបមន្តទាំងនេះនៅទីនោះ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនមានសៀវភៅកត់ត្រាទេ សូមគូរវានៅលើក្រដាសមួយ ព្រោះឧទាហរណ៍ដែលនៅសល់នៃមេរៀននឹងវិលជុំវិញរូបមន្តទាំងនេះ។
ដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានបង្កើតដូចនេះ៖
តោះផ្លាស់ប្តូរមុខងារ៖
យើងរកឃើញដេរីវេ៖ 
ការបំប្លែងបឋមនៃមុខងារខ្លួនវាបានធ្វើឱ្យដំណោះស្រាយកាន់តែងាយស្រួល។ ដូច្នេះ នៅពេលដែលលោការីតស្រដៀងគ្នាត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា វាត្រូវបានណែនាំឱ្យ "បំបែកវាចុះ" ជានិច្ច។
ហើយឥឡូវនេះឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយចំនួនសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖
ឧទាហរណ៍ ៩
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
ឧទាហរណ៍ 10
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ការបំប្លែង និងចម្លើយទាំងអស់នៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
ដេរីវេលោការីត
ប្រសិនបើដេរីវេនៃលោការីតគឺជាតន្ត្រីដ៏ផ្អែមល្ហែម នោះសំណួរកើតឡើង តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងករណីខ្លះដើម្បីរៀបចំលោការីតសិប្បនិម្មិត? អាច! និងសូម្បីតែចាំបាច់។
ឧទាហរណ៍ 11
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
ឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាដែលយើងបានពិចារណានាពេលថ្មីៗនេះ។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើ? មនុស្សម្នាក់អាចអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់នូវច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃកូតានិក ហើយបន្ទាប់មកច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល។ គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថាអ្នកទទួលបានប្រភាគបីជាន់ដ៏ធំ ដែលអ្នកមិនចង់ដោះស្រាយទាល់តែសោះ។
ប៉ុន្តែតាមទ្រឹស្តី និងការអនុវត្តមានរឿងអស្ចារ្យដូចជាដេរីវេលោការីត។ លោការីតអាចត្រូវបានរៀបចំដោយសិប្បនិម្មិតដោយ "ព្យួរ" វានៅលើភាគីទាំងពីរ៖
ឥឡូវនេះអ្នកត្រូវ "បំបែក" លោការីតនៃផ្នែកខាងស្តាំឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន (រូបមន្តនៅពីមុខភ្នែករបស់អ្នក?) ខ្ញុំនឹងរៀបរាប់អំពីដំណើរការនេះយ៉ាងលម្អិត៖
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា។
យើងបញ្ចប់ផ្នែកទាំងពីរដោយជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល៖
ដេរីវេនៃផ្នែកខាងស្តាំគឺសាមញ្ញណាស់ខ្ញុំនឹងមិនធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើវាទេព្រោះប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានអត្ថបទនេះអ្នកគួរតែអាចដោះស្រាយវាដោយទំនុកចិត្ត។
ចុះផ្នែកខាងឆ្វេងវិញ?
នៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងមាន មុខងារស្មុគស្មាញ. ខ្ញុំបានទាយសំណួរថា "ហេតុអ្វីបានជាមានអក្សរ "y" នៅក្រោមលោការីត?"
ការពិតគឺថា "អក្សរមួយ y" - គឺជាមុខងារមួយនៅក្នុងខ្លួន(ប្រសិនបើវាមិនច្បាស់ទេ សូមមើលអត្ថបទដេរីវេនៃមុខងារដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រយោល)។ ដូច្នេះលោការីតគឺជាមុខងារខាងក្រៅ ហើយ "y" គឺជាមុខងារខាងក្នុង។ ហើយយើងប្រើច្បាប់បែងចែកមុខងារផ្សំ 
:
នៅផ្នែកខាងឆ្វេង ដូចជាដោយវេទមន្ត យើងមានដេរីវេ។ លើសពីនេះទៀតយោងទៅតាមក្បួនសមាមាត្រយើងបោះ "y" ពីភាគបែងនៃផ្នែកខាងឆ្វេងទៅផ្នែកខាងលើនៃផ្នែកខាងស្តាំ:
ហើយឥឡូវនេះយើងចាំថាប្រភេទនៃ "ហ្គេម" - មុខងារដែលយើងបាននិយាយនៅពេលខុសគ្នា? តោះមើលលក្ខខណ្ឌ៖ 
ចម្លើយចុងក្រោយ៖ 
ឧទាហរណ៍ 12
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនអ្នក។ ការរចនាគំរូនៃឧទាហរណ៍នៃប្រភេទនេះនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
ដោយមានជំនួយពីដេរីវេលោការីត វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍លេខ 4-7 ណាមួយ ចំណុចមួយទៀតគឺថាមុខងារនៅទីនោះគឺសាមញ្ញជាង ហើយប្រហែលជាការប្រើប្រាស់ដេរីវេលោការីតគឺមិនសមហេតុផលខ្លាំងណាស់។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
យើងមិនទាន់បានពិចារណាមុខងារនេះនៅឡើយទេ។ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល គឺជាអនុគមន៍ដែលមាន ហើយកម្រិតនិងមូលដ្ឋានអាស្រ័យលើ "x". ឧទាហរណ៍បុរាណដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យអ្នកនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាណាមួយឬការបង្រៀនណាមួយ:
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល?
វាចាំបាច់ក្នុងការប្រើបច្ចេកទេសដែលបានពិចារណា - ដេរីវេលោការីត។ យើងព្យួរលោការីតទាំងសងខាង៖
តាមក្បួនមួយដឺក្រេត្រូវបានយកចេញពីក្រោមលោការីតនៅខាងស្តាំ៖
ជាលទ្ធផល នៅផ្នែកខាងស្តាំយើងមានផលិតផលនៃមុខងារពីរ ដែលនឹងត្រូវបែងចែកទៅតាមរូបមន្តស្តង់ដារ។ 
.
យើងរកឃើញដេរីវេ សម្រាប់ការនេះ យើងភ្ជាប់ផ្នែកទាំងពីរនៅក្រោមជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល៖
ជំហានបន្ទាប់គឺងាយស្រួល៖
ទីបំផុត៖ 
ប្រសិនបើការផ្លាស់ប្តូរមួយចំនួនមិនច្បាស់ទាំងស្រុង សូមអានឡើងវិញដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវការពន្យល់នៃឧទាហរណ៍ #11។
នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនឹងតែងតែមានភាពស្មុគស្មាញជាងឧទាហរណ៍ការបង្រៀនដែលបានពិចារណា។
ឧទាហរណ៍ 13
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
យើងប្រើដេរីវេលោការីត។ 
នៅជ្រុងខាងស្តាំយើងមានថេរនិងផលគុណនៃកត្តាពីរ - "x" និង "លោការីតលោការីត x" (លោការីតមួយទៀតត្រូវបានដាក់នៅក្រោមលោការីត) ។ នៅពេលដែលបែងចែកថេរមួយ ដូចដែលយើងចងចាំ វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីយកវាចេញពីសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុភ្លាមៗ ដើម្បីកុំឱ្យវាចូលទៅក្នុងផ្លូវ។ ហើយជាការពិតណាស់ អនុវត្តច្បាប់ដែលធ្លាប់ស្គាល់ 
:
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់អនុវត្តនិស្សន្ទវត្ថុលោការីត មិនមានល្បិច ឬល្បិចពិសេសណាមួយឡើយ ហើយការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ជាធម្មតាមិនត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹង "ការធ្វើទារុណកម្ម" នោះទេ។
ប្រសិនបើយើងធ្វើតាមនិយមន័យ នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ គឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រកើនឡើងនៃអនុគមន៍Δ yដល់ការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ Δ x:
អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាច្បាស់។ ប៉ុន្តែព្យាយាមគណនាដោយរូបមន្តនេះ និយាយថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) = x 2 + (2x+ 3) · អ៊ី xអំពើបាប x. ប្រសិនបើអ្នកធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងតាមនិយមន័យ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីការគណនាពីរបីទំព័រ អ្នកនឹងងងុយគេង។ ដូច្នេះមានវិធីសាមញ្ញ និងមានប្រសិទ្ធភាពជាង។
ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងកត់សំគាល់ថា អ្វីដែលគេហៅថា អនុគមន៍បឋម អាចត្រូវបានសម្គាល់ពីភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងមូល។ ទាំងនេះគឺជាកន្សោមសាមញ្ញៗ ដែលជានិស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវបានគណនា និងបញ្ចូលក្នុងតារាងជាយូរមកហើយ។ មុខងារបែបនេះមានភាពងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ រួមជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម
អនុគមន៍បឋមគឺជាអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលបានរាយខាងក្រោម។ ដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។ លើសពីនេះទៅទៀតវាមិនពិបាកក្នុងការទន្ទេញចាំពួកគេទេ - នោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកគេជាបឋម។
ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម៖
| ឈ្មោះ | មុខងារ | ដេរីវេ |
| ថេរ | f(x) = គ, គ ∈ រ | 0 (បាទ/ចាស៎ សូន្យ!) |
| សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល | f(x) = x ន | ន · x ន − 1 |
| ស៊ីនុស | f(x) = បាប x | cos x |
| កូស៊ីនុស | f(x) = ខូស x | - អំពើបាប x(ដកស៊ីនុស) |
| តង់សង់ | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| កូតង់សង់ | f(x) = ctg x | - ១/ បាប ២ x |
| លោការីតធម្មជាតិ | f(x) = កំណត់ហេតុ x | 1/x |
| លោការីតតាមអំពើចិត្ត | f(x) = កំណត់ហេតុ ក x | 1/(x ln ក) |
| អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល | f(x) = អ៊ី x | អ៊ី x(គ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរ) |
ប្រសិនបើអនុគមន៍បឋមត្រូវបានគុណដោយអថេរដែលបំពាន នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍ថ្មីក៏ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ៖
(គ · f)’ = គ · f ’.
ជាទូទៅ ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍:
(2x 3)' = 2 ( x៣)' = ២ ៣ x 2 = 6x 2 .
ជាក់ស្តែង មុខងារបឋមអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្នាទៅវិញទៅមក គុណ បែងចែក និងច្រើនទៀត។ នេះជារបៀបដែលមុខងារថ្មីនឹងលេចឡើង លែងជាបឋម ប៉ុន្តែក៏អាចខុសគ្នាតាមច្បាប់ជាក់លាក់ផងដែរ។ ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវបានពិភាក្សាដូចខាងក្រោម។
ដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f(x) និង g(x) ដែលនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះយើង។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចយកមុខងារបឋមដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងនេះ៖
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
ដូច្នេះ ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ អាចមានលក្ខខណ្ឌច្រើនទៀត។ ឧទាហរណ៍, ( f + g + ម៉ោង)’ = f ’ + g ’ + ម៉ោង ’.
និយាយយ៉ាងតឹងរឹងមិនមានគំនិតនៃ "ដក" នៅក្នុងពិជគណិតទេ។ មានគំនិតនៃ "ធាតុអវិជ្ជមាន" ។ ដូច្នេះភាពខុសគ្នា f − gអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាផលបូក f+ (−1) gហើយបន្ទាប់មកមានតែរូបមន្តមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសល់ - ដេរីវេនៃផលបូក។
f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
មុខងារ f(x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍បឋមពីរ ដូច្នេះ៖
f ’(x) = (x 2+ អំពើបាប x)’ = (x២)' + (បាប x)’ = 2x+ cosx;
យើងប្រកែកដូចគ្នាចំពោះមុខងារ g(x) មានតែពាក្យបីរួចទៅហើយ (តាមទស្សនៈនៃពិជគណិត)៖
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
ចម្លើយ៖
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
ដេរីវេនៃផលិតផល
គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រឡូជីខល ដូច្នេះមនុស្សជាច្រើនជឿថាប្រសិនបើដេរីវេនៃផលបូកស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេទីវ័រ នោះដេរីវេនៃផល។ កូដកម្ម"\u003e ស្មើនឹងផលនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ ប៉ុន្តែឧទុម្ពរចំពោះអ្នក! ដេរីវេនៃផលិតផលត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខុសគ្នាទាំងស្រុង។ ពោលគឺ៖
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
រូបមន្តគឺសាមញ្ញ ប៉ុន្តែជារឿយៗត្រូវបានបំភ្លេចចោល។ ហើយមិនត្រឹមតែសិស្សសាលាប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងសិស្សទៀតផង។ លទ្ធផលគឺដោះស្រាយបញ្ហាមិនត្រឹមត្រូវ។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x .
មុខងារ f(x) គឺជាផលិតផលនៃមុខងារបឋមពីរ ដូច្នេះអ្វីៗគឺសាមញ្ញ៖
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) ខូស x + x៣ (កូស x)’ = 3x 2 cos x + x៣ (-បាប x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x)
មុខងារ g(x) មេគុណទីមួយមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែគ្រោងការណ៍ទូទៅមិនផ្លាស់ប្តូរពីនេះទេ។ ជាក់ស្តែងមេគុណទីមួយនៃអនុគមន៍ g(x) គឺជាពហុនាម ហើយដេរីវេរបស់វាគឺជាដេរីវេនៃផលបូក។ យើងមាន:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x)’ = (x 2 + 7x− ៧)' · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) ( អ៊ី x)’ = (2x+ 7) · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x = អ៊ី x(២ x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · អ៊ី x = x(x+ 9) · អ៊ី x .
ចម្លើយ៖
f ’(x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x);
g ’(x) = x(x+ 9) · អ៊ី
x
.
ចំណាំថានៅជំហានចុងក្រោយ ដេរីវេត្រូវបានបែងចែកជាកត្តា។ ជាផ្លូវការ នេះមិនចាំបាច់ទេ ប៉ុន្តែនិស្សន្ទវត្ថុភាគច្រើនមិនត្រូវបានគណនាដោយខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែដើម្បីស្វែងយល់ពីមុខងារ។ នេះមានន័យថា និស្សន្ទវត្ថុនឹងស្មើនឹងសូន្យ សញ្ញារបស់វានឹងត្រូវបានរកឃើញ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ចំពោះករណីបែបនេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការបញ្ចេញមតិដែលត្រូវបានបំបែកជាកត្តា។
ប្រសិនបើមានមុខងារពីរ f(x) និង g(x) និង g(x) ≠ 0 លើសំណុំចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង យើងអាចកំណត់មុខងារថ្មីមួយ ម៉ោង(x) = f(x)/g(x) សម្រាប់មុខងារបែបនេះ អ្នកក៏អាចរកឃើញដេរីវេ៖
មិនទន់ខ្សោយមែនទេ? តើដកបានមកពីណា? ហេតុអ្វី? g 2? ហើយបែបនេះ! នេះគឺជារូបមន្តដ៏ស្មុគស្មាញបំផុតមួយ - អ្នកមិនអាចដោះស្រាយវាដោយគ្មានដបបានទេ។ ដូច្នេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការសិក្សាវាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
មានអនុគមន៍បឋមនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗ ដូច្នេះអ្វីដែលយើងត្រូវការគឺរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូតានិក៖
តាមទំនៀមទម្លាប់ យើងដាក់លេខភាគទៅជាកត្តា - នេះនឹងធ្វើឱ្យចំលើយកាន់តែងាយស្រួល៖
មុខងារស្មុគ្រស្មាញមិនចាំបាច់ជារូបមន្តប្រវែងកន្លះគីឡូម៉ែត្រទេ។ ឧទាហរណ៍វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការទទួលយកមុខងារ f(x) = បាប xនិងជំនួសអថេរ xនិយាយថានៅលើ x 2+ ln x. វាប្រែចេញ f(x) = បាប ( x 2+ ln x) គឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ នាងក៏មានដេរីវេផងដែរ ប៉ុន្តែវានឹងមិនដំណើរការទេក្នុងការស្វែងរកវាយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។
តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច? ក្នុងករណីបែបនេះ ការជំនួសអថេរ និងរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជួយ៖
f ’(x) = f ’(t) · t', ប្រសិនបើ xត្រូវបានជំនួសដោយ t(x).
តាមក្បួនមួយស្ថានភាពជាមួយនឹងការយល់ដឹងនៃរូបមន្តនេះគឺកាន់តែសោកសៅជាងជាមួយនឹងដេរីវេនៃកូតា។ ដូច្នេះ វាក៏ជាការប្រសើរផងដែរក្នុងការពន្យល់វាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ ជាមួយនឹងការពិពណ៌នាលម្អិតនៃជំហាននីមួយៗ។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = អ៊ី 2x + 3 ; g(x) = បាប ( x 2+ ln x)
ចំណាំថាប្រសិនបើនៅក្នុងមុខងារ f(x) ជំនួសឱ្យការបញ្ចេញមតិ 2 x+ 3 នឹងមានភាពងាយស្រួល xបន្ទាប់មកយើងទទួលបានមុខងារបឋម f(x) = អ៊ី x. ដូច្នេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាត ២ x + 3 = t, f(x) = f(t) = អ៊ី t. យើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដោយរូបមន្ត៖
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (អ៊ី t)’ · t ’ = អ៊ី t · t ’
ហើយឥឡូវនេះ - យកចិត្តទុកដាក់! អនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = 2x+ 3. យើងទទួលបាន៖
f ’(x) = អ៊ី t · t ’ = អ៊ី 2x+ ៣ (២ x + 3)’ = អ៊ី 2x+ 3 2 = 2 អ៊ី 2x + 3
ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលមុខងារ g(x) ជាក់ស្តែងត្រូវការជំនួស។ x 2+ ln x = t. យើងមាន:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (អំពើបាប t)’ · t' = ខូស t · t ’
ការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2+ ln x. បន្ទាប់មក៖
g ’(x) = cos ( x 2+ ln x) · ( x 2+ ln x)' = cos ( x 2+ ln x) · (២ x + 1/x).
អស់ហើយ! ដូចដែលអាចមើលឃើញពីកន្សោមចុងក្រោយបញ្ហាទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាដេរីវេនៃផលបូក។
ចម្លើយ៖
f ’(x) = ២ អ៊ី
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ ln x).
ជាញឹកញាប់ណាស់នៅក្នុងមេរៀនរបស់ខ្ញុំជំនួសឱ្យពាក្យ "ដេរីវេ" ខ្ញុំប្រើពាក្យ "ដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល" ។ ឧទាហរណ៍ ការដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល។ ច្បាស់ជាងនេះទេ? ជាការប្រសើរណាស់។
ដូច្នេះការគណនានៃដេរីវេបានចុះមកដើម្បីកម្ចាត់ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលយ៉ាងខ្លាំងទាំងនេះយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ ជាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ ចូរយើងត្រលប់ទៅអំណាចដេរីវេជាមួយនឹងនិទស្សន្តនិទស្សន្ត៖
(x ន)’ = ន · x ន − 1
មានមនុស្សតិចណាស់ដែលដឹងថានៅក្នុងតួនាទីនេះ។ នប្រហែលជាលេខប្រភាគ។ ឧទាហរណ៍ឫសគឺ x 0.5 ប៉ុន្ដែចុះយ៉ាងណាបើមានអ្វីពិបាកនៅក្រោមឫស? ជាថ្មីម្តងទៀតមុខងារស្មុគ្រស្មាញនឹងប្រែជា - ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់សំណង់បែបនេះនៅក្នុងការធ្វើតេស្តនិងការប្រឡង។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរឫសឡើងវិញជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល៖
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
ឥឡូវនេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 + 8x − 7 = t. យើងរកឃើញដេរីវេដោយរូបមន្ត៖
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−០.៥ t ’.
យើងធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2 + 8x 7. យើងមាន៖
f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− ៧)' = ០.៥ (២ x+ ៨) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
ទីបំផុតត្រលប់ទៅឫស៖
នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា "ចាស់" វាក៏ត្រូវបានគេហៅថាក្បួន "ច្រវ៉ាក់" ផងដែរ។ អញ្ចឹងបើ y \u003d f (u) និង u \u003d φ (x), នោះគឺ
y \u003d f (φ (x))
ស្មុគស្មាញ - មុខងារផ្សំ (សមាសភាពមុខងារ) បន្ទាប់មក
កន្លែងណា 
, បន្ទាប់ពីការគណនាត្រូវបានពិចារណានៅ u = φ (x) ។
ចំណាំថានៅទីនេះយើងបានយកសមាសភាព "ផ្សេងគ្នា" ពីមុខងារដូចគ្នាហើយលទ្ធផលនៃការខុសគ្នាពីធម្មជាតិបានប្រែទៅជាអាស្រ័យលើលំដាប់នៃ "លាយ" ។
ច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ធម្មជាតិបានពង្រីកទៅសមាសភាពនៃមុខងារបី ឬច្រើន។ ក្នុងករណីនេះវានឹងមាន "តំណភ្ជាប់" បីឬច្រើននៅក្នុង "ខ្សែសង្វាក់" ដែលបង្កើតជានិស្សន្ទវត្ថុរៀងៗខ្លួន។ នេះគឺជាការប្រៀបធៀបជាមួយគុណ: "យើងមាន" - តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ; "នៅទីនោះ" - តារាងគុណ; "ជាមួយយើង" គឺជាក្បួនខ្សែសង្វាក់ ហើយ "នៅទីនោះ" គឺជាក្បួនគុណជាមួយ "ជួរឈរ" ។ នៅពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុ "ស្មុគស្មាញ" បែបនេះ ពិតណាស់ គ្មានអាគុយម៉ង់ជំនួយ (u¸v ។ លំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។
. នៅទីនេះ ប្រតិបត្តិការចំនួនប្រាំត្រូវបានអនុវត្តជាមួយ "x" ដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃ "y" នោះគឺសមាសភាពនៃមុខងារចំនួនប្រាំកើតឡើង: "ខាងក្រៅ" (ចុងក្រោយនៃពួកវា) - អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល - អ៊ី ; បន្ទាប់មកនៅក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាសគឺជាច្បាប់អំណាច។ (♦) ២ ; បាបកម្មត្រីកោណមាត្រ (); អំណាច។ () 3 និងចុងក្រោយលោការីត ln.()។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល
ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមនឹង "សម្លាប់សត្វស្លាបមួយគូដោយថ្មតែមួយ"៖ យើងនឹងអនុវត្តការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ និងបន្ថែមតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម។ ដូច្នេះ៖
4. សម្រាប់មុខងារថាមពល - y \u003d x α - សរសេរវាឡើងវិញដោយប្រើ "អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន" ដ៏ល្បីល្បាញ - b \u003d e ln b - ក្នុងទម្រង់ x α \u003d x α ln x យើងទទួលបាន
5. សម្រាប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលបំពាន ដោយប្រើបច្ចេកទេសដូចគ្នា យើងនឹងមាន
6. សម្រាប់អនុគមន៍លោការីតតាមអំពើចិត្ត ដោយប្រើរូបមន្តល្បីសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី យើងទទួលបានជាបន្តបន្ទាប់
.
7. ដើម្បីបែងចែកតង់ហ្សង់ (កូតង់សង់) យើងប្រើក្បួនសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃកូតង់សង់៖
ដើម្បីទទួលបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស យើងប្រើទំនាក់ទំនងដែលពេញចិត្តដោយដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាសមកវិញពីរ នោះគឺជាអនុគមន៍φ (x) និង f (x) ដែលតភ្ជាប់ដោយទំនាក់ទំនង៖
នេះគឺជាសមាមាត្រ
វាមកពីរូបមន្តនេះសម្រាប់មុខងារច្រាសទៅវិញទៅមក
និង 
,
នៅទីបញ្ចប់ យើងសង្ខេបទាំងនេះ និងមួយចំនួនផ្សេងទៀត គ្រាន់តែជាដេរីវេទីវ័រដែលទទួលបានយ៉ាងងាយស្រួល ក្នុងតារាងខាងក្រោម។
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
