Tā kā leņķa radiāna mēru raksturo leņķa lieluma atrašana caur loka garumu, ir iespējams grafiski attēlot attiecības starp radiāna mēru un pakāpes mēru. Lai to izdarītu, uz koordinātu plaknes uzzīmējiet apli ar rādiusu 1 tā, lai tā centrs būtu sākuma punktā. Pozitīvie leņķi tiks attēloti pretēji pulksteņrādītāja virzienam un negatīvie leņķi pulksteņrādītāja virzienā.
Leņķa pakāpes mēru apzīmējam kā parasti, bet radiāna mēru ar loku palīdzību, kas atrodas uz apļa. P 0 – leņķa sākums. Pārējie ir punktiņi 
leņķa malu krustojums ar apli.
Definīcija: Apli ar rādiusu 1, kura centrs ir sākuma punktā, sauc par vienības apli.
Papildus leņķu apzīmējumam šim aplim ir vēl viena iezīme: tas var attēlot jebkuru reālu skaitli ar vienu šī apļa punktu. To var izdarīt tieši tāpat kā skaitļu rindā. Tas ir tā, it kā mēs saliekam skaitļu līniju tā, lai tā atrodas uz apļa.
P 0 ir sākumpunkts, skaitļa 0 punkts. Pozitīvie skaitļi tiek atzīmēti pozitīvā virzienā (pretēji pulksteņrādītāja virzienam), bet negatīvie skaitļi negatīvā virzienā (pulksteņrādītāja virzienā). Nodalījums, kas vienāds ar α, ir loks P 0 P α.
Jebkuru skaitli var attēlot ar punktu P α uz apļa, un šis punkts ir unikāls katram skaitlim, taču var pamanīt, ka skaitļu kopa α + 2πn, kur n ir vesels skaitlis, atbilst tam pašam punktam P α .
Katram punktam ir savas koordinātes, kurām ir īpaši nosaukumi.
Definīcija:Skaitļa α kosinuss sauc par abscisu punktam, kas atbilst skaitlim α uz vienības apļa.
Definīcija:Skaitļa α sinuss ir tā punkta ordināta, kas atbilst skaitlim α uz vienības apļa.
Pα (cosα, sinα).
No ģeometrijas:
Leņķa kosinuss taisnstūrī trijstūris ir pretējā leņķa attiecība pret hipotenūzu. Šajā gadījumā hipotenūza ir vienāda ar 1, tas ir, leņķa kosinusu mēra ar segmenta OA garumu.
Leņķa sinuss taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu. Tas ir, sinusu mēra ar segmenta OB garumu.
Pierakstīsim skaitļa pieskares un kotangensa definīcijas.
Kur cos α≠0
Kur grēks α≠0
Uzdevums atrast patvaļīga skaitļa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības, izmantojot noteiktas formulas, tiek samazināts līdz sinα, cosα, tanα un ctgα vērtību atrašanai, kur 0≤α≤π/2.
Trigonometrisko funkciju pamatvērtību tabula
| α | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2π | |
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° | |
| grēks α | |||||||
| cos α | ½ | -1 | |||||
| iedegums α | - | ||||||
| ctg α | - | - | - |
Atrodi izteicienu nozīmi.
Viena no matemātikas jomām, ar ko skolēni cīnās visvairāk, ir trigonometrija. Tas nav pārsteidzoši: lai brīvi apgūtu šo zināšanu jomu, ir nepieciešama telpiskā domāšana, spēja atrast sinusus, kosinusus, pieskares, kotangences, izmantojot formulas, vienkāršot izteiksmes un prast izmantot skaitli pi aprēķinus. Turklāt, pierādot teorēmas, ir jāprot izmantot trigonometriju, un tam ir nepieciešama vai nu attīstīta matemātiskā atmiņa, vai spēja atvasināt sarežģītas loģiskās ķēdes.
Trigonometrijas izcelsme
Iepazīšanās ar šo zinātni jāsāk ar leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīciju, taču vispirms ir jāsaprot, ko trigonometrija dara kopumā.
Vēsturiski galvenais pētījuma objekts šajā matemātikas zinātnes nozarē bija taisnleņķa trīsstūri. 90 grādu leņķa klātbūtne ļauj veikt dažādas darbības, kas ļauj noteikt visu attiecīgā attēla parametru vērtības, izmantojot divas malas un vienu leņķi vai divus leņķus un vienu pusi. Agrāk cilvēki pamanīja šo modeli un sāka to aktīvi izmantot ēku celtniecībā, navigācijā, astronomijā un pat mākslā.
Pirmais posms
Sākotnēji cilvēki runāja par attiecībām starp leņķiem un malām, izmantojot tikai taisnleņķa trīsstūru piemēru. Tad tika atklātas īpašas formulas, kas ļāva paplašināt šīs matemātikas nozares izmantošanas robežas ikdienas dzīvē.
Trigonometrijas apguve skolā mūsdienās sākas ar taisnleņķa trijstūriem, pēc kuriem skolēni izmanto iegūtās zināšanas fizikā un abstraktu trigonometrisko vienādojumu risināšanā, kas sākas vidusskolā.
Sfēriskā trigonometrija
Vēlāk, kad zinātne sasniedza nākamo attīstības līmeni, formulas ar sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu sāka izmantot sfēriskajā ģeometrijā, kur darbojas dažādi noteikumi, un leņķu summa trijstūrī vienmēr ir lielāka par 180 grādiem. Skolā šī sadaļa netiek pētīta, taču par tās esamību ir jāzina kaut vai tāpēc, ka zemes virsma un jebkuras citas planētas virsma ir izliekta, kas nozīmē, ka jebkurš virsmas marķējums būs “loka formas” trīsdimensiju telpa.
Paņemiet globusu un pavedienu. Pievienojiet pavedienu jebkuriem diviem zemeslodes punktiem tā, lai tas būtu nospriegots. Lūdzu, ņemiet vērā - tas ir ieguvis loka formu. Ar šādām formām nodarbojas sfēriskā ģeometrija, ko izmanto ģeodēzijā, astronomijā un citās teorētiskās un lietišķās jomās.
Taisns trīsstūris
Nedaudz uzzinājuši par trigonometrijas lietošanas veidiem, atgriezīsimies pie pamata trigonometrijas, lai tālāk saprastu, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss, kādus aprēķinus ar to palīdzību var veikt un kādas formulas izmantot.
Pirmais solis ir saprast jēdzienus, kas saistīti ar taisnleņķa trīsstūri. Pirmkārt, hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī 90 grādu leņķim. Tas ir garākais. Mēs atceramies, ka saskaņā ar Pitagora teorēmu tā skaitliskā vērtība ir vienāda ar sakni no pārējo divu malu kvadrātu summas.
Piemēram, ja abas malas ir attiecīgi 3 un 4 centimetri, hipotenūzas garums būs 5 centimetri. Starp citu, senie ēģiptieši par to zināja apmēram pirms četrarpus tūkstošiem gadu.
Abas atlikušās malas, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām. Turklāt mums jāatceras, ka trijstūra leņķu summa taisnstūra koordinātu sistēmā ir vienāda ar 180 grādiem.
Definīcija
Visbeidzot, ar stingru izpratni par ģeometrisko pamatu, var pievērsties leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīcijai.
Leņķa sinuss ir pretējās kājas (t.i., vēlamajam leņķim pretējās puses) attiecība pret hipotenūzu. Leņķa kosinuss ir blakus esošās malas attiecība pret hipotenūzu.
Atcerieties, ka ne sinuss, ne kosinuss nevar būt lielāks par vienu! Kāpēc? Jo hipotenūza pēc noklusējuma ir visgarākā.Neatkarīgi no tā, cik gara ir kāja, tā būs īsāka par hipotenūzu, kas nozīmē, ka to attiecība vienmēr būs mazāka par vienu. Tādējādi, ja atbildē uz problēmu jūs saņemat sinusu vai kosinusu, kura vērtība ir lielāka par 1, meklējiet kļūdu aprēķinos vai argumentācijā. Šī atbilde ir acīmredzami nepareiza.
Visbeidzot, leņķa tangenss ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi. Sadalot sinusu ar kosinusu, tiks iegūts tāds pats rezultāts. Paskaties: saskaņā ar formulu mēs dalām malas garumu ar hipotenūzu, pēc tam dalām ar otrās malas garumu un reizinām ar hipotenūzu. Tādējādi mēs iegūstam tādas pašas attiecības kā pieskares definīcijā.
Attiecīgi kotangenss ir stūrim blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi. To pašu rezultātu iegūstam, dalot vienu ar tangensu.
Tātad, mēs esam apskatījuši definīcijas, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, un mēs varam pāriet uz formulām.
Vienkāršākās formulas
Trigonometrijā nevar iztikt bez formulām - kā bez tām atrast sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu? Bet tieši tas ir nepieciešams, risinot problēmas.
Pirmā formula, kas jāzina, sākot mācīties trigonometriju, saka, ka leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir vienāda ar vienu. Šī formula ir tiešas Pitagora teorēmas sekas, taču tā ietaupa laiku, ja jums jāzina leņķa izmērs, nevis sānu mala.
Daudzi skolēni nevar atcerēties otro formulu, kas ir ļoti populāra arī skolas uzdevumu risināšanā: viena un leņķa pieskares kvadrāta summa ir vienāda ar vienu, kas dalīta ar leņķa kosinusa kvadrātu. Paskatieties tuvāk: tas ir tāds pats apgalvojums kā pirmajā formulā, tikai abas identitātes puses tika sadalītas ar kosinusa kvadrātu. Izrādās, ka vienkārša matemātiska darbība trigonometrisko formulu padara pavisam neatpazīstamu. Atcerieties: zinot, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, transformācijas noteikumus un vairākas pamatformulas, jūs jebkurā laikā varat iegūt vajadzīgās sarežģītākas formulas uz papīra lapas.
Dubultleņķu formulas un argumentu pievienošana
Vēl divas formulas, kas jums jāapgūst, ir saistītas ar sinusa un kosinusa vērtībām leņķu summai un starpībai. Tie ir parādīti zemāk esošajā attēlā. Lūdzu, ņemiet vērā, ka pirmajā gadījumā sinusus un kosinusu reizina abas reizes, bet otrajā tiek pievienots sinusa un kosinusa pāra reizinājums.
Ir arī formulas, kas saistītas ar dubultā leņķa argumentiem. Tie ir pilnībā atvasināti no iepriekšējiem - kā prakse, mēģiniet tos iegūt pats, ņemot alfa leņķi, kas vienāds ar beta leņķi.
Visbeidzot, ņemiet vērā, ka dubultā leņķa formulas var pārkārtot, lai samazinātu sinusa, kosinusa, pieskares alfa jaudu.
Teorēmas
Divas galvenās trigonometrijas teorēmas ir sinusa teorēma un kosinusa teorēma. Ar šo teorēmu palīdzību jūs varat viegli saprast, kā atrast sinusu, kosinusu un tangensu, un līdz ar to arī figūras laukumu, katras malas izmēru utt.
Sinus teorēma nosaka, ka, dalot katras trīsstūra malas garumu ar pretējo leņķi, tiek iegūts vienāds skaitlis. Turklāt šis skaitlis būs vienāds ar diviem ierobežotā apļa rādiusiem, tas ir, apli, kurā ir visi dotā trīsstūra punkti.
Kosinusa teorēma vispārina Pitagora teorēmu, projicējot to uz jebkuriem trijstūriem. Izrādās, ka no abu malu kvadrātu summas atņemiet to reizinājumu, kas reizināts ar blakus esošā leņķa dubultkosinusu - iegūtā vērtība būs vienāda ar trešās malas kvadrātu. Tādējādi Pitagora teorēma izrādās īpašs kosinusa teorēmas gadījums.
Neuzmanīgas kļūdas
Pat zinot, kas ir sinuss, kosinuss un tangenss, ir viegli kļūdīties izklaidības vai kļūdas dēļ vienkāršākajos aprēķinos. Lai izvairītos no šādām kļūdām, apskatīsim populārākās.
Pirmkārt, jums nevajadzētu konvertēt daļskaitļus decimāldaļās, kamēr nav iegūts gala rezultāts — varat atstāt atbildi kā daļskaitli, ja nosacījumos nav norādīts citādi. Šādu transformāciju nevar saukt par kļūdu, taču jāatceras, ka katrā problēmas stadijā var parādīties jaunas saknes, kuras, pēc autora idejas, būtu jāsamazina. Šajā gadījumā jūs tērēsit savu laiku nevajadzīgām matemātiskām darbībām. Tas jo īpaši attiecas uz tādām vērtībām kā trīs sakne vai divu sakne, jo tās ir atrodamas problēmās ik uz soļa. Tas pats attiecas uz “neglīto” skaitļu noapaļošanu.
Turklāt ņemiet vērā, ka kosinusa teorēma attiecas uz jebkuru trīsstūri, bet ne uz Pitagora teorēmu! Ja jūs kļūdaini aizmirstat atņemt divkāršu malu reizinājumu ar leņķa kosinusu starp tām, jūs ne tikai iegūsit pilnīgi nepareizu rezultātu, bet arī parādīsit pilnīgu priekšmeta izpratnes trūkumu. Tas ir sliktāk nekā neuzmanīga kļūda.
Treškārt, nejauciet 30 un 60 grādu leņķu vērtības sinusiem, kosinusiem, tangensiem, kotangensiem. Atcerieties šīs vērtības, jo 30 grādu sinuss ir vienāds ar 60 kosinusu un otrādi. Tos ir viegli sajaukt, kā rezultātā jūs neizbēgami iegūsit kļūdainu rezultātu.
Pieteikums
Daudzi studenti nesteidzas uzsākt trigonometrijas studijas, jo nesaprot tās praktisko nozīmi. Kas ir sinuss, kosinuss, tangenss inženierim vai astronomam? Tie ir jēdzieni, ar kuriem jūs varat aprēķināt attālumu līdz tālām zvaigznēm, paredzēt meteorīta krišanu vai nosūtīt izpētes zondi uz citu planētu. Bez tiem nav iespējams uzbūvēt ēku, projektēt automašīnu, aprēķināt slodzi uz virsmas vai objekta trajektoriju. Un šie ir tikai acīmredzamākie piemēri! Galu galā trigonometrija vienā vai otrā veidā tiek izmantota visur, sākot no mūzikas līdz medicīnai.
Beidzot
Tātad jūs esat sinuss, kosinuss, tangenss. Jūs varat tos izmantot aprēķinos un veiksmīgi atrisināt skolas problēmas.
Visa trigonometrijas būtība ir saistīta ar faktu, ka, izmantojot zināmos trīsstūra parametrus, jums ir jāaprēķina nezināmie. Kopumā ir seši parametri: trīs malu garums un trīs leņķu izmērs. Vienīgā atšķirība uzdevumos ir tajā, ka tiek sniegti dažādi ievades dati.
Tagad jūs zināt, kā atrast sinusu, kosinusu, tangensu, pamatojoties uz zināmajiem kāju vai hipotenūzas garumiem. Tā kā šie termini nenozīmē neko vairāk kā attiecību un attiecība ir daļa, trigonometrijas uzdevuma galvenais mērķis ir atrast parastā vienādojuma vai vienādojumu sistēmas saknes. Un šeit jums palīdzēs parastā skolas matemātika.
Jēdzieni sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometrijas, matemātikas nozares, galvenās kategorijas un ir nesaraujami saistīti ar leņķa definīciju. Šīs matemātiskās zinātnes apgūšanai nepieciešama formulu un teorēmu iegaumēšana un izpratne, kā arī attīstīta telpiskā domāšana. Tāpēc trigonometriskie aprēķini nereti sagādā grūtības skolēniem un studentiem. Lai tos pārvarētu, jums vajadzētu vairāk iepazīties ar trigonometriskajām funkcijām un formulām.
Jēdzieni trigonometrijā
Lai saprastu trigonometrijas pamatjēdzienus, vispirms ir jāsaprot, kas ir taisnleņķa trijstūris un leņķis aplī un kāpēc ar tiem ir saistīti visi pamata trigonometriskie aprēķini. Trijstūris, kurā viens no leņķiem ir 90 grādi, ir taisnstūrveida. Vēsturiski šo figūru bieži izmantoja cilvēki arhitektūrā, navigācijā, mākslā un astronomijā. Attiecīgi, pētot un analizējot šī skaitļa īpašības, cilvēki nāca aprēķināt atbilstošās tā parametru attiecības.
Galvenās kategorijas, kas saistītas ar taisnstūriem, ir hipotenūza un kājas. Hipotenūza ir trijstūra mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim. Kājas, attiecīgi, ir pārējās divas puses. Jebkura trijstūra leņķu summa vienmēr ir 180 grādi.
Sfēriskā trigonometrija ir trigonometrijas sadaļa, kas netiek apgūta skolā, bet lietišķajās zinātnēs, piemēram, astronomijā un ģeodēzijā, zinātnieki to izmanto. Trīsstūra īpatnība sfēriskajā trigonometrijā ir tāda, ka tā leņķu summa vienmēr ir lielāka par 180 grādiem.
Trijstūra leņķi
Taisnleņķa trijstūrī leņķa sinuss ir vēlamajam leņķim pretējās kājas attiecība pret trijstūra hipotenūzu. Attiecīgi kosinuss ir blakus esošās kājas un hipotenūzas attiecība. Abām šīm vērtībām vienmēr ir mazāka vērtība par vienu, jo hipotenūza vienmēr ir garāka par kāju.
Leņķa tangenss ir vērtība, kas vienāda ar pretējās kājas attiecību pret vajadzīgā leņķa blakus posmu jeb sinusu pret kosinusu. Savukārt kotangenss ir vēlamā leņķa blakus malas attiecība pret pretējo pusi. Leņķa kotangensu var iegūt arī, dalot vienu ar pieskares vērtību.
Vienības aplis
Vienības aplis ģeometrijā ir aplis, kura rādiuss ir vienāds ar vienu. Šāds aplis tiek konstruēts Dekarta koordinātu sistēmā, apļa centram sakrītot ar sākuma punktu, un rādiusa vektora sākuma pozīciju nosaka pa X ass pozitīvo virzienu (abscisu ass). Katram apļa punktam ir divas koordinātas: XX un YY, tas ir, abscisu un ordinātu koordinātas. Izvēloties jebkuru apļa punktu XX plaknē un nometot no tā perpendikulu abscisu asij, iegūstam taisnleņķa trīsstūri, ko veido rādiuss līdz izvēlētajam punktam (apzīmē ar burtu C), perpendikulu novelk X asij. (krustošanās punkts ir apzīmēts ar burtu G), un segments ir abscisu asi starp sākumpunktu (punktu apzīmē ar burtu A) un krustošanās punktu G. Iegūtais trīsstūris ACG ir taisnleņķa trijstūris, kas ierakstīts aplī, kur AG ir hipotenūza, un AC un GC ir kājas. Leņķis starp apļa rādiusu AC un abscisu ass segmentu ar apzīmējumu AG ir definēts kā α (alfa). Tātad, cos α = AG/AC. Ņemot vērā, ka AC ir vienības apļa rādiuss, un tas ir vienāds ar vienu, izrādās, ka cos α=AG. Tāpat sin α=CG.
Turklāt, zinot šos datus, var noteikt apļa punkta C koordinātas, jo cos α=AG un sin α=CG, kas nozīmē, ka punktam C ir dotās koordinātes (cos α;sin α). Zinot, ka tangenss ir vienāds ar sinusa un kosinusa attiecību, varam noteikt, ka tan α = y/x un cot α = x/y. Apsverot leņķus negatīvā koordinātu sistēmā, jūs varat aprēķināt, ka dažu leņķu sinusa un kosinusa vērtības var būt negatīvas.
Aprēķini un pamatformulas
Trigonometriskās funkcijas vērtības
Apsverot trigonometrisko funkciju būtību caur vienības apli, mēs varam iegūt šo funkciju vērtības dažiem leņķiem. Vērtības ir norādītas zemāk esošajā tabulā.
Vienkāršākās trigonometriskās identitātes
Vienādojumus, kuros zem trigonometriskās funkcijas zīmes ir nezināma vērtība, sauc par trigonometriskiem. Identitātes ar vērtību sin x = α, k - jebkurš vesels skaitlis:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Identitātes ar vērtību cos x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
Identitātes ar vērtību tg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:
- iedegums x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Identitātes ar vērtību ctg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:
- bērnu gultiņa x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Samazināšanas formulas
Šī konstantu formulu kategorija apzīmē metodes, ar kurām jūs varat pāriet no formas trigonometriskām funkcijām uz argumenta funkcijām, tas ir, konvertēt jebkuras vērtības leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu uz attiecīgajiem leņķa rādītājiem. intervāls no 0 līdz 90 grādiem lielākai aprēķinu ērtībai.
Leņķa sinusa funkciju samazināšanas formulas izskatās šādi:
- sin(900 — α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = grēks α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = grēks α.
Leņķa kosinusam:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Iepriekš minēto formulu izmantošana ir iespējama, ievērojot divus noteikumus. Pirmkārt, ja leņķi var attēlot kā vērtību (π/2 ± a) vai (3π/2 ± a), funkcijas vērtība mainās:
- no grēka uz cos;
- no cos uz grēku;
- no tg līdz ctg;
- no ctg uz tg.
Funkcijas vērtība paliek nemainīga, ja leņķi var attēlot kā (π ± a) vai (2π ± a).
Otrkārt, samazinātās funkcijas zīme nemainās: ja tā sākotnēji bija pozitīva, tā arī paliek. Tas pats attiecas uz negatīvajām funkcijām.
Papildināšanas formulas
Šīs formulas izsaka divu griešanās leņķu summas un starpības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības to trigonometrisko funkciju izteiksmē. Leņķus parasti apzīmē kā α un β.
Formulas izskatās šādi:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- iedegums(α ± β) = (tan α ± iedegums β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem α un β.
Divkāršā un trīskāršā leņķa formulas
Divkāršā un trīskāršā leņķa trigonometriskās formulas ir formulas, kas saista leņķu 2α un 3α funkcijas attiecīgi ar leņķa α trigonometriskajām funkcijām. Atvasināts no pievienošanas formulām:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Pāreja no summas uz produktu
Ņemot vērā, ka 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), vienkāršojot šo formulu, iegūstam identitāti sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Līdzīgi sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Pāreja no produkta uz summu
Šīs formulas izriet no summas pārejas uz reizinājumu identitātēm:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Pakāpju samazināšanas formulas
Šajās identitātēs sinusa un kosinusa kvadrātveida un kubisko pakāpju var izteikt kā vairāku leņķu pirmā pakāpju sinusu un kosinusu:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universāla aizstāšana
Universālās trigonometriskās aizstāšanas formulas izsaka trigonometriskās funkcijas pusleņķa pieskares izteiksmē.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), ar x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kur x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), savukārt x \u003d π + 2πn.
Īpaši gadījumi
Tālāk ir doti īpaši vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu gadījumi (k ir jebkurš vesels skaitlis).
Sinusa koeficienti:
| Sin x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk vai 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk vai -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk vai 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk vai -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk vai 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk vai -2π/3 + 2πk |
Kosinusa koeficienti:
| cos x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Pieskares koeficienti:
| tg x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangensa koeficienti:
| ctg x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teorēmas
Sinusu teorēma
Teorēmai ir divas versijas – vienkārša un paplašināta. Vienkāršā sinusa teorēma: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šajā gadījumā a, b, c ir trijstūra malas, un α, β, γ ir attiecīgi pretējie leņķi.
Paplašināta sinusa teorēma patvaļīgam trīsstūrim: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šajā identitātē R apzīmē apļa rādiusu, kurā ir ierakstīts dotais trīsstūris.
Kosinusa teorēma
Identitāte tiek parādīta šādi: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulā a, b, c ir trijstūra malas, un α ir leņķis, kas ir pretējs malai a.
Pieskares teorēma
Formula izsaka attiecību starp divu leņķu pieskarēm un tiem pretējo malu garumu. Malas ir apzīmētas ar a, b, c, un attiecīgie pretējie leņķi ir α, β, γ. Pieskares teorēmas formula: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Kotangentes teorēma
Savieno trīsstūrī ierakstīta riņķa rādiusu ar tā malu garumu. Ja a, b, c ir trijstūra malas un attiecīgi A, B, C ir leņķi pret tiem, r ir ierakstītā apļa rādiuss un p ir trijstūra pusperimetrs, identitātes ir derīgas:
- bērnu gultiņa A/2 = (p-a)/r;
- bērnu gultiņa B/2 = (p-b)/r;
- bērnu gultiņa C/2 = (p-c)/r.
Pieteikums
Trigonometrija ir ne tikai teorētiska zinātne, kas saistīta ar matemātiskām formulām. Tās īpašības, teorēmas un noteikumus praksē izmanto dažādas cilvēka darbības nozares – astronomija, gaisa un jūras navigācija, mūzikas teorija, ģeodēzija, ķīmija, akustika, optika, elektronika, arhitektūra, ekonomika, mašīnbūve, mērīšanas darbi, datorgrafika, kartogrāfija, okeanogrāfija un daudzas citas.
Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometrijas pamatjēdzieni, ar kuru palīdzību var matemātiski izteikt attiecības starp leņķiem un malu garumiem trijstūrī, un atrast nepieciešamos lielumus caur identitātēm, teorēmām un noteikumiem.
Es domāju, ka esat pelnījis vairāk par šo. Šeit ir mana trigonometrijas atslēga:
- Uzzīmējiet kupolu, sienu un griestus
- Trigonometriskās funkcijas nav nekas cits kā šo trīs formu procentuālā daļa.
Metafora sinusam un kosinusam: kupols
Tā vietā, lai tikai aplūkotu pašus trīsstūrus, iedomājieties tos darbībā, atrodot konkrētu piemēru no reālās dzīves.
Iedomājieties, ka atrodaties kupola vidū un vēlaties piekārt filmas projektora ekrānu. Jūs rādāt ar pirkstu uz kupolu noteiktā leņķī “x”, un ekrānam jābūt apturētam no šī punkta.
Leņķis, uz kuru norādāt, nosaka:
- sinusa(x) = sin(x) = ekrāna augstums (no grīdas līdz kupola montāžas punktam)
- kosinuss(x) = cos(x) = attālums no jums līdz ekrānam (stāvā)
- hipotenūza, attālums no jums līdz ekrāna augšdaļai, vienmēr vienāds, vienāds ar kupola rādiusu
Vai vēlaties, lai ekrāns būtu pēc iespējas lielāks? Pakariet to tieši virs jums.
Vai vēlaties, lai ekrāns karātos pēc iespējas tālāk no jums? Pakariet to taisni perpendikulāri. Ekrāna augstums šajā pozīcijā būs nulle, un tas karājās vistālāk, kā jūs jautājāt.
Augstums un attālums no ekrāna ir apgriezti proporcionāli: jo tuvāk ekrāns karājas, jo lielāks ir tā augstums.
Sinuss un kosinuss ir procenti
Diemžēl manu studiju gadu laikā neviens man nepaskaidroja, ka trigonometriskās funkcijas sinuss un kosinuss nav nekas vairāk kā procenti. To vērtības svārstās no +100% līdz 0 līdz -100% vai no pozitīva maksimuma līdz nullei līdz negatīvam maksimumam.
Teiksim, es samaksāju 14 rubļu nodokli. Jūs nezināt, cik tas ir. Bet, ja jūs sakāt, ka es samaksāju 95% nodoklī, jūs sapratīsit, ka mani vienkārši izvilka.
Absolūtais augstums neko nenozīmē. Bet, ja sinusa vērtība ir 0,95, tad es saprotu, ka televizors karājas gandrīz uz jūsu kupola augšdaļas. Ļoti drīz tas sasniegs maksimālo augstumu kupola centrā un pēc tam atkal sāks kristies.
Kā mēs varam aprēķināt šo procentuālo daļu? Tas ir ļoti vienkārši: sadaliet pašreizējo ekrāna augstumu ar maksimālo iespējamo (kupola rādiusu, ko sauc arī par hipotenūzu).
Tāpēc mums saka, ka "kosinuss = pretējā puse / hipotenūza". Tas viss ir saistīts ar interesi! Vislabāk ir definēt sinusu kā “pašreizējā augstuma procentuālo daļu no maksimālā iespējamā”. (Sinuss kļūst negatīvs, ja jūsu leņķis ir “pazemē”. Kosinuss kļūst negatīvs, ja leņķis ir vērsts uz kupola punktu aiz jums.)
Vienkāršosim aprēķinus, pieņemot, ka esam vienības apļa centrā (rādiuss = 1). Mēs varam izlaist dalījumu un vienkārši ņemt sinusu, kas vienāds ar augstumu.
Katrs aplis būtībā ir viens aplis, kas palielināts vai samazināts līdz vajadzīgajam izmēram. Tāpēc nosakiet vienības apļa savienojumus un izmantojiet rezultātus savam konkrētajam apļa izmēram.
Eksperiments: paņemiet jebkuru stūri un skatiet, cik procentu no augstuma pret platumu tas parāda:
Sinusa vērtības pieauguma grafiks nav tikai taisna līnija. Pirmie 45 grādi aizņem 70% no augstuma, bet pēdējie 10 grādi (no 80° līdz 90°) tikai 2%.
Tas jums padarīs skaidrāku: ja ejat pa apli, 0° paceļaties gandrīz vertikāli, bet, tuvojoties kupola augšai, augstums mainās arvien mazāk.
Pieskares un sekants. Siena
Kādu dienu kaimiņš uzcēla sienu tieši viens otram blakus uz savu kupolu. Raudāja jūsu skats pa logu un laba cena tālākpārdošanai!
Bet vai šajā situācijā ir iespējams kaut kā uzvarēt?
Protams, jā. Kā būtu, ja mēs piekārtu filmas ekrānu tieši pie kaimiņa sienas? Jūs mērķējat uz leņķi (x) un iegūstat:
- iedegums (x) = iedegums (x) = ekrāna augstums uz sienas
- attālums no jums līdz sienai: 1 (tas ir jūsu kupola rādiuss, siena nekur no jums nepārvietojas, vai ne?)
- secant(x) = sec(x) = “kāpņu garums” no jums, kas stāv kupola centrā līdz piekārtā ekrāna augšdaļai
Noskaidrosim dažus punktus par pieskares jeb ekrāna augstumu.
- tas sākas ar 0 un var būt bezgalīgi augsts. Varat izstiept ekrānu arvien augstāk pie sienas, lai izveidotu nebeidzamu audeklu savas iecienītākās filmas skatīšanai! (Par tik milzīgu, protams, jums būs jātērē daudz naudas).
- tangenss ir tikai lielāka sinusa versija! Un, kamēr sinusa pieaugums palēninās, virzoties uz kupola augšdaļu, tangenss turpina augt!
Sekansu ir arī ar ko lepoties:
- Sekants sākas no 1 (kāpnes atrodas uz grīdas, no jums līdz sienai) un sāk celties no turienes
- Sekants vienmēr ir garāks par tangensu. Slīpajām kāpnēm, kuras izmantojat ekrāna pakarināšanai, vajadzētu būt garākām par pašu ekrānu, vai ne? (Ar nereāliem izmēriem, kad ekrāns ir ļoooti garš un kāpnes jāliek gandrīz vertikāli, to izmēri ir gandrīz vienādi. Bet arī tad sekants būs nedaudz garāks).
Atcerieties, ka vērtības ir procentiem. Ja nolemjat pakārt ekrānu 50 grādu leņķī, iedegums(50)=1,19. Jūsu ekrāns ir par 19% lielāks nekā attālums līdz sienai (kupola rādiuss).
(Ievadiet x=0 un pārbaudiet savu intuīciju — tan(0) = 0 un sec(0) = 1.)
Kotangente un kosekante. Griesti
Neticami, jūsu kaimiņš tagad ir nolēmis uzcelt jumtu virs jūsu kupola. (Kas viņam vainas? Acīmredzot viņš negrib, lai tu viņu izspiego, kamēr viņš kails staigā pa pagalmu...)
Nu laiks būvēt izeju uz jumtu un aprunāties ar kaimiņu. Jūs izvēlaties slīpuma leņķi un sākat būvniecību:
- vertikālais attālums starp jumta izeju un grīdu vienmēr ir 1 (kupola rādiuss)
- kotangenta (x) = cot (x) = attālums starp kupola augšdaļu un izejas punktu
- kosekants(x) = csc(x) = jūsu ceļa garums uz jumtu
Pieskares un sekants raksturo sienu, un COtangence un COsekants raksturo griestus.
Mūsu intuitīvie secinājumi šoreiz ir līdzīgi iepriekšējiem:
- Ja ņemat leņķi, kas vienāds ar 0°, jūsu izeja uz jumtu ilgs mūžīgi, jo tā nekad nesasniegs griestus. Problēma.
- Īsākās “kāpnes” uz jumtu tiks iegūtas, ja tās uzbūvēsit 90 grādu leņķī pret grīdu. Kotangenss būs vienāds ar 0 (mēs vispār nepārvietojamies pa jumtu, izejam stingri perpendikulāri), un kosekants būs vienāds ar 1 (“kāpņu garums” būs minimāls).
Vizualizējiet savienojumus
Ja visi trīs korpusi tiek uzzīmēti kupola-sienas-griestu kombinācijā, rezultāts būs šāds:
Nu, tas joprojām ir tas pats trīsstūris, palielināts, lai sasniegtu sienu un griestus. Mums ir vertikālās puses (sinuss, tangenss), horizontālās puses (kosinuss, kotangenss) un “hipotenūzas” (sekants, kosekants). (Pēc bultiņām var redzēt, kur katrs elements sasniedz. Kosekants ir kopējais attālums no jums līdz jumtam).
Mazliet maģijas. Visiem trijstūriem ir vienādas vienādības:
No Pitagora teorēmas (a 2 + b 2 = c 2) redzam, kā ir savienotas katra trijstūra malas. Turklāt “augstuma un platuma” attiecībām jābūt vienādām visiem trijstūriem. (Vienkārši pārejiet no lielākā trīsstūra uz mazāko. Jā, izmērs ir mainījies, bet malu proporcijas paliks nemainīgas).
Zinot, kura mala katrā trīsstūrī ir vienāda ar 1 (kupola rādiuss), mēs varam viegli aprēķināt, ka “sin/cos = tan/1”.
Es vienmēr esmu centies atcerēties šos faktus, izmantojot vienkāršu vizualizāciju. Attēlā jūs skaidri redzat šīs atkarības un saprotat, no kurienes tās nāk. Šis paņēmiens ir daudz labāks nekā sauso formulu iegaumēšana.
Neaizmirstiet par citiem leņķiem
Psst... Neiespringsti pie viena grafika, domājot, ka tangenss vienmēr ir mazāks par 1. Palielinot leņķi, var sasniegt griestus, nesasniedzot sienu:
Pitagora savienojumi vienmēr darbojas, taču relatīvie izmēri var atšķirties.
(Iespējams, jūs pamanījāt, ka sinusa un kosinusa attiecības vienmēr ir mazākās, jo tās atrodas kupolā).
Rezumējot: kas mums jāatceras?
Lielākajai daļai no mums es teiktu, ka ar to pietiks:
- trigonometrija izskaidro matemātisko objektu, piemēram, apļu un atkārtojošos intervālu, anatomiju
- Kupola/sienu/jumta analoģija parāda saistību starp dažādām trigonometriskajām funkcijām
- Trigonometriskās funkcijas rada procentus, ko mēs izmantojam savam scenārijam.
Jums nav jāiegaumē tādas formulas kā 1 2 + gultiņa 2 = csc 2 . Tie ir piemēroti tikai muļķīgiem pārbaudījumiem, kuros zināšanas par faktu tiek nodotas kā tā izpratne. Veltiet minūti, lai uzzīmētu pusloku kupola, sienas un jumta formā, marķējiet elementus, un visas formulas nonāks pie jums uz papīra.
Pielietojums: apgrieztās funkcijas
Jebkura trigonometriskā funkcija izmanto leņķi kā ievades parametru un atgriež rezultātu procentos. grēks(30) = 0,5. Tas nozīmē, ka 30 grādu leņķis aizņem 50% no maksimālā augstuma.
Apgrieztā trigonometriskā funkcija tiek rakstīta kā sin -1 vai arcsin. Arī Asin bieži tiek rakstīts dažādās programmēšanas valodās.
Ja mūsu augstums ir 25% no kupola augstuma, kāds ir mūsu leņķis?
Mūsu proporciju tabulā varat atrast attiecību, kurā sekants tiek dalīts ar 1. Piemēram, sekants ar 1 (hipotenūza pret horizontāli) būs vienāds ar 1, dalīts ar kosinusu:
Pieņemsim, ka mūsu secants ir 3,5, t.i. 350% no vienības apļa rādiusa. Kādam slīpuma leņķim pret sienu šī vērtība atbilst?
Pielikums: Daži piemēri
Piemērs: atrodiet leņķa x sinusu.
Garlaicīgs uzdevums. Sarežģīsim banālo “atrast sinusu” līdz “Kāds ir augstums procentos no maksimuma (hipotenūza)?”
Pirmkārt, ievērojiet, ka trīsstūris ir pagriezts. Tur nav nekā slikta. Trīsstūrim ir arī augstums, attēlā tas ir norādīts zaļā krāsā.
Ar ko ir vienāda hipotenūza? Saskaņā ar Pitagora teorēmu mēs zinām, ka:
3 2 + 4 2 = hipotenūza 2 25 = hipotenūza 2 5 = hipotenūza
Labi! Sinuss ir procentos no trijstūra garākās malas jeb hipotenūzas augstuma. Mūsu piemērā sinuss ir 3/5 vai 0,60.
Protams, mēs varam iet vairākos veidos. Tagad mēs zinām, ka sinuss ir 0,60, mēs varam vienkārši atrast arcsinusu:
Asin(0,6)=36,9
Šeit ir cita pieeja. Ņemiet vērā, ka trijstūris ir “vērsts pret sienu”, tāpēc sinusa vietā varam izmantot tangensu. Augstums ir 3, attālums līdz sienai ir 4, tātad tangenss ir ¾ jeb 75%. Mēs varam izmantot arktangensu, lai pārietu no procentuālās vērtības atpakaļ uz leņķi:
Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Piemērs: vai tu peldēsi uz krastu?
Jūs esat laivā un jums ir pietiekami daudz degvielas, lai nobrauktu 2 km. Tagad jūs esat 0,25 km attālumā no krasta. Kādā maksimālā leņķī pret krastu var piepeldēt līdz tai, lai pietiktu degvielas? Papildinājums problēmas izklāstam: mums ir tikai loka kosinusu vērtību tabula.
Kas mums ir? Piekrastes līniju var attēlot kā “sienu” mūsu slavenajā trijstūrī, un pie sienas piestiprinātais “kāpņu garums” ir maksimālais iespējamais attālums, kas jāveic ar laivu līdz krastam (2 km). Parādās sekants.
Pirmkārt, jums jāiet uz procentiem. Mums ir 2 / 0,25 = 8, tas ir, mēs varam peldēt attālumu, kas ir 8 reizes lielāks par taisno attālumu līdz krastam (vai līdz sienai).
Rodas jautājums: "Kas ir 8 sekants?" Bet mēs uz to nevaram atbildēt, jo mums ir tikai loka kosinusi.
Mēs izmantojam mūsu iepriekš atvasinātās atkarības, lai saistītu sekantu ar kosinusu: “sec/1 = 1/cos”
8 sekants ir vienāds ar ⅛ kosinusu. Leņķis, kura kosinuss ir ⅛, ir vienāds ar acos(1/8) = 82,8. Un tas ir lielākais leņķis, ko varam atļauties laivā ar norādīto degvielas daudzumu.
Nav slikti, vai ne? Bez kupola-sienu-griestu analoģijas es būtu apmaldījies formulu un aprēķinu gūzmā. Problēmas vizualizēšana ievērojami vienkāršo risinājuma meklēšanu, un ir arī interesanti redzēt, kura trigonometriskā funkcija galu galā palīdzēs.
Katrai problēmai padomājiet šādi: Vai mani interesē kupols (sin/cos), siena (tan/sec) vai griesti (gultiņa/csc)?
Un trigonometrija kļūs daudz patīkamāka. Viegli aprēķini jums!
Ja tika izskatītas taisnleņķa trijstūra risināšanas problēmas, es apsolīju iepazīstināt ar paņēmienu, kā iegaumēt sinusa un kosinusa definīcijas. Izmantojot to, jūs vienmēr ātri atcerēsities, kura puse pieder hipotenūzai (blakus vai pretējai). Nolēmu uz ilgu laiku neatlikt, nepieciešamais materiāls zemāk, lūdzu izlasi 😉
Fakts ir tāds, ka esmu vairākkārt novērojis, kā 10.-11. klases skolēniem ir grūtības atcerēties šīs definīcijas. Viņi ļoti labi atceras, ka kāja attiecas uz hipotenūzu, bet kura- viņi aizmirst un apjucis. Kļūdas cena, kā jūs zināt eksāmenā, ir zaudēts punkts.
Informācijai, ko es sniegšu tieši, nav nekāda sakara ar matemātiku. Tas ir saistīts ar tēlaino domāšanu un verbāli-loģiskās komunikācijas metodēm. Tieši tā es to atceros, reizi par visām reizēmdefinīcijas dati. Ja tos aizmirstat, vienmēr varat tos viegli atcerēties, izmantojot piedāvātās metodes.
Ļaujiet man atgādināt sinusa un kosinusa definīcijas taisnleņķa trijstūrī:
Kosinuss Akūtais leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Sinus Akūtais leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu:
Tātad, kādas asociācijas jums ir ar vārdu kosinuss?
Droši vien katram ir savs 😉Atcerieties saiti:
Tādējādi izteiciens nekavējoties parādīsies jūsu atmiņā -
«… PLAŠĀS kājas attiecība pret hipotenūzu».
Problēma ar kosinusa noteikšanu ir atrisināta.
Ja jums ir jāatceras sinusa definīcija taisnleņķa trijstūrī, tad, atceroties kosinusa definīciju, jūs varat viegli noteikt, ka akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu. Galu galā ir tikai divas kājas; ja blakus esošo kāju “aizņem” kosinuss, tad ar sinusu paliek tikai pretējā kāja.
Kā ar tangensu un kotangensu? Apjukums ir tāds pats. Skolēni zina, ka tās ir kāju attiecības, bet problēma ir atcerēties, kura uz kuru attiecas – vai nu pretēja blakus esošajai, vai otrādi.
Definīcijas:
Pieskares Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo malu:
Kotangenss Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo:
Kā atcerēties? Ir divi veidi. Viens izmanto arī verbāli loģisko savienojumu, otrs izmanto matemātisko.
MATEMĀTISKĀ METODE
Pastāv šāda definīcija - akūta leņķa pieskare ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:
*Iegaumējot formulu, jūs vienmēr varat noteikt, ka akūtā leņķa pieskare taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus malu.
Tāpat.Akūtā leņķa kotangenss ir leņķa kosinusa attiecība pret tā sinusu:
Tātad! Atceroties šīs formulas, jūs vienmēr varat noteikt, ka:
- asa leņķa tangenss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo
— asa leņķa kotangenss taisnleņķa trijstūrī ir blakus malas attiecība pret pretējo malu.
VĀRDU-LOĢISKĀ METODE
Par tangensu. Atcerieties saiti:
Tas ir, ja jums ir jāatceras pieskares definīcija, izmantojot šo loģisko savienojumu, varat viegli atcerēties, kas tas ir
“...pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi”
Ja mēs runājam par kotangensu, tad, atceroties pieskares definīciju, jūs varat viegli izteikt kotangensa definīciju -
"... blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi"
Tīmekļa vietnē ir interesants triks, kā atcerēties tangensu un kotangentu " Matemātiskais tandēms " , Skaties.
UNIVERSĀLĀ METODE
Jūs varat to vienkārši iegaumēt.Bet, kā rāda prakse, pateicoties verbāli-loģiskiem sakariem, cilvēks ilgu laiku atceras informāciju, nevis tikai matemātisko.
Es ceru, ka materiāls jums bija noderīgs.
Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs
P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.
