Lineārs vienādojums divos mainīgajos ir jebkurš vienādojums, kam ir šāda forma: a*x + b*y =с. Šeit x un y ir divi mainīgie, a, b, c ir daži skaitļi.

Lineārā vienādojuma a*x + b*y = c risinājums ir jebkurš skaitļu pāris (x,y), kas apmierina šo vienādojumu, tas ir, pārvērš vienādojumu ar mainīgajiem x un y par pareizu skaitlisko vienādību. Lineāram vienādojumam ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Ja katrs skaitļu pāris, kas ir lineāra vienādojuma atrisinājumi divos mainīgajos, ir attēlots koordinātu plaknē kā punkti, tad visi šie punkti veido lineārā vienādojuma grafiku divos mainīgajos. Punktu koordinātas būs mūsu x un y vērtības. Šajā gadījumā x vērtība būs abscisa, bet y vērtība būs ordināta.

Lineāra vienādojuma grafiks divos mainīgajos

Lineāra vienādojuma grafiks ar diviem mainīgajiem ir visu iespējamo punktu kopa koordinātu plaknē, kuru koordinātes būs šī lineārā vienādojuma atrisinājumi. Ir viegli uzminēt, ka grafiks būs taisna līnija. Tāpēc šādus vienādojumus sauc par lineāriem.

Konstrukcijas algoritms

Algoritms lineāra vienādojuma attēlošanai divos mainīgajos.

1. Uzzīmējiet koordinātu asis, iezīmējiet tās un atzīmējiet mērvienību mērogu.

2. Lineārā vienādojumā ielieciet x = 0 un atrisiniet iegūto vienādojumu y. Atzīmējiet iegūto punktu grafikā.

3. Lineārā vienādojumā ņemiet skaitli 0 kā y un atrisiniet iegūto vienādojumu x. Atzīmējiet iegūto punktu grafikā

4. Ja nepieciešams, ņemiet patvaļīgu x vērtību un atrisiniet iegūto vienādojumu y. Atzīmējiet iegūto punktu grafikā.

5. Savienojiet iegūtos punktus un turpiniet grafiku aiz tiem. Parakstiet iegūto taisno līniju.

Piemērs: Uzzīmējiet vienādojumu 3*x - 2*y =6;

Liksim x=0, tad - 2*y =6; y = -3;

Liksim y=0, tad 3*x = 6; x=2;

Iegūtos punktus atzīmējam grafikā, caur tiem novelkam taisnu līniju un apzīmējam. Apskatiet attēlu zemāk, diagrammai vajadzētu izskatīties tieši šādi.

Lai tas tiek dots vienādojums ar diviem mainīgajiem F(x; y). Jūs jau esat iepazinies ar veidiem, kā analītiski atrisināt šādus vienādojumus. Daudzus šādu vienādojumu risinājumus var attēlot grafiskā formā.

Vienādojuma grafiks F(x; y) ir koordinātu plaknes xOy punktu kopa, kuru koordinātas atbilst vienādojumam.

Lai attēlotu vienādojumus divos mainīgajos, vispirms vienādojumā izsakiet y mainīgo kā mainīgo x.

Jūs noteikti jau zināt, kā izveidot dažādus vienādojumu grafikus ar diviem mainīgajiem: ax + b = c – taisne, yx = k – hiperbola, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – aplis, kura rādiuss ir vienāds ar R, un centrs atrodas punktā O(a; b).

1. piemērs.

Uzzīmējiet vienādojumu x 2 – 9y 2 = 0.

Risinājums.

Faktorizēsim vienādojuma kreiso pusi.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, tas ir, y = x/3 vai y = -x/3.

Atbilde: 1. attēls.

Īpašu vietu ieņem skaitļu definēšana plaknē ar vienādojumiem, kas satur absolūtās vērtības zīmi, pie kuriem mēs sīkāk pakavēsimies. Apskatīsim |y| formas vienādojumu grafiku konstruēšanas posmus = f(x) un |y| = |f(x)|.

Pirmais vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) vai y = -f(x).

Tas ir, tā grafiks sastāv no divu funkciju grafikiem: y = f(x) un y = -f(x), kur f(x) ≥ 0.

Lai attēlotu otro vienādojumu, uzzīmējiet divas funkcijas: y = f(x) un y = -f(x).

2. piemērs.

Uzzīmējiet vienādojumu |y| = 2 + x.

Risinājums.

Dotais vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 vai y = -x - 2.

Mēs veidojam daudzus punktus.

Atbilde: 2. attēls.

3. piemērs.

Uzzīmējiet vienādojumu |y – x| = 1.

Risinājums.

Ja y ≥ x, tad y = x + 1, ja y ≤ x, tad y = x – 1.

Atbilde: 3. attēls.

Veidojot vienādojumu grafikus, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes, ir ērti un racionāli izmantot apgabala metode, pamatojoties uz koordinātu plaknes sadalīšanu daļās, kurās katra submodulāra izteiksme saglabā savu zīmi.

4. piemērs.

Uzzīmējiet vienādojumu x + |x| + y + |y| = 2.

Risinājums.

Šajā piemērā katras apakšmodulārās izteiksmes zīme ir atkarīga no koordinātu kvadranta.

1) Pirmajā koordinātu ceturksnī x ≥ 0 un y ≥ 0. Pēc moduļa paplašināšanas dotais vienādojums izskatīsies šādi:

2x + 2y = 2, un pēc vienkāršošanas x + y = 1.

2) Otrajā ceturksnī, kur x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Trešajā ceturksnī x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Ceturtajā ceturksnī, kad x ≥ 0, un y< 0 получим, что x = 1.

Mēs attēlosim šo vienādojumu pa ceturtdaļām.

Atbilde: 4. attēls.

5. piemērs.

Uzzīmējiet punktu kopu, kuru koordinātes apmierina vienādību |x – 1| + |y – 1| = 1.

Risinājums.

Submodulāro izteiksmju nulles x = 1 un y = 1 sadala koordinātu plakni četros apgabalos. Sadalīsim moduļus pa reģioniem. Sakārtosim to tabulas veidā.

Novads	Submodulāra izteiksmes zīme	Iegūtais vienādojums pēc moduļa paplašināšanas
es	x ≥ 1 un y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x + y = 1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 un y< 1	x – y = 1

Atbilde: 5. attēls.

Koordinātu plaknē var norādīt figūras un nevienlīdzības.

Nevienlīdzības grafiks ar diviem mainīgajiem ir visu koordinātu plaknes punktu kopa, kuru koordinātas ir šīs nevienādības atrisinājumi.

Apsvērsim algoritms modeļa konstruēšanai nevienādību risināšanai ar diviem mainīgajiem:

1. Pierakstiet vienādojumu, kas atbilst nevienādībai.
2. Grafiksējiet vienādojumu no 1. darbības.
3. Izvēlieties patvaļīgu punktu vienā no pusplaknēm. Pārbaudiet, vai izvēlētā punkta koordinātas atbilst šai nevienādībai.
4. Grafiski uzzīmējiet visu nevienādības atrisinājumu kopu.

Vispirms apskatīsim nevienādību ax + bx + c > 0. Vienādojums ax + bx + c = 0 definē taisni, kas sadala plakni divās pusplaknēs. Katrā no tiem funkcija f(x) = ax + bx + c saglabā savu zīmi. Lai noteiktu šo zīmi, pietiek ņemt jebkuru punktu, kas pieder pusplaknei, un aprēķināt funkcijas vērtību šajā punktā. Ja funkcijas zīme sakrīt ar nevienādības zīmi, tad šī pusplakne būs nevienādības atrisinājums.

Apskatīsim grafisko risinājumu piemērus visbiežāk sastopamajām nevienādībām ar diviem mainīgajiem.

1) ax + bx + c ≥ 0. 6. attēls.

2) |x| ≤ a, a > 0. 7. attēls.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. 8. attēls.

4) y ≥ x 2 . 9. attēls.

5) xy ≤ 1. 10. attēls.

Ja jums ir jautājumi vai vēlaties vingrināties zīmēt uz plaknes modeļa visu nevienādību atrisinājumu kopas divos mainīgajos, izmantojot matemātisko modelēšanu, varat veikt bezmaksas 25 minūšu nodarbība ar tiešsaistes pasniedzēju pēc reģistrācijas. Lai turpinātu darbu ar skolotāju, būs iespēja izvēlēties sev piemērotu tarifu plānu.

Vai joprojām ir jautājumi? Nezināt, kā uzzīmēt figūru koordinātu plaknē?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Šajā nodarbībā mēs tuvāk aplūkosim vienādojumu grafiku zīmēšanu. Vispirms atcerēsimies, kas ir racionālais vienādojums un tā atrisinājumu kopu, kas veido vienādojuma grafiku. Sīkāk apskatīsim lineārā vienādojuma grafiku un lineāras funkcijas īpašības, kā arī iemācīsimies lasīt grafikus. Tālāk apsveriet kvadrātvienādojuma grafiku un kvadrātiskās funkcijas īpašības. Apsveriet hiperbolisko funkciju un tās grafiku un apļa vienādojuma grafiku. Tālāk pāriesim pie grafiku kopas konstruēšanas un izpētes.

Tēma: Vienādojumu sistēmas

Nodarbība: Vienādojumu grafēšana

Mēs uzskatām formas racionālu vienādojumu un formas racionālo vienādojumu sistēmu

Mēs teicām, ka katram vienādojumam šajā sistēmā ir savs grafiks, ja, protams, vienādojumiem ir risinājumi. Mēs apskatījām vairākus dažādu vienādojumu grafikus.

Tagad mēs sistemātiski apsvērsim katru no mums zināmajiem vienādojumiem, t.i. pārskatīsim vienādojumu grafiki.

1. Lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem

x, y - līdz pirmajai pakāpei; a,b,c - konkrēti skaitļi.

Piemērs:

Šī vienādojuma grafiks ir taisna līnija.

Rīkojāmies ar līdzvērtīgām pārvērtībām - atstājām y vietā, viss pārējais tika pārcelts uz otru pusi ar pretējām zīmēm. Sākotnējais un iegūtais vienādojums ir līdzvērtīgs, t.i. ir vienāds risinājumu kopums. Mēs zinām, kā izveidot šī vienādojuma grafiku, un tā konstruēšanas metode ir šāda: atrodam krustošanās punktus ar koordinātu asīm un, izmantojot tos, izveidojam taisni.

Šajā gadījumā

Zinot vienādojuma grafiku, mēs varam daudz pateikt par sākotnējā vienādojuma risinājumiem, proti: ja ja

Šī funkcija palielinās, t.i. x palielinās, y palielinās. Mēs saņēmām divus konkrētus risinājumus, bet kā mēs varam pierakstīt visu risinājumu kopu?

Ja punktam ir abscisa x, tad šī punkta ordināta ir

Tātad cipari

Mums bija vienādojums, mēs izveidojām grafiku, mēs atradām risinājumus. Visu pāru komplekts – cik ir? Neskaitāmi.

Šis ir racionāls vienādojums

Atradīsim y un ar līdzvērtīgām transformācijām iegūstam

Lieksim un iegūstam kvadrātfunkciju, tās grafiks mums ir zināms.

Piemērs: grafiski izveidojiet racionālu vienādojumu.

Grafiks ir parabola, zari ir vērsti uz augšu.

Atradīsim vienādojuma saknes:

Shematiski attēlosim grafiku ( Rīsi. 2).

Izmantojot grafiku, mēs iegūstam visa veida informāciju gan par funkciju, gan par racionālā vienādojuma risinājumiem. Esam noteikuši konstantes zīmes intervālus, tagad atradīsim parabolas virsotnes koordinātas.

Vienādojumam ir neskaitāmi atrisinājumi, t.i. ir neskaitāmi pāri, kas apmierina vienādojumu, bet visi Un kas varētu būt x? Jebkurš!

Ja mēs iestatām jebkuru x, mēs iegūstam punktu

Sākotnējā vienādojuma risinājums ir pāru kopa

3. Grafiksējiet vienādojumu

Ir nepieciešams izteikt y. Apsvērsim divus variantus.

Funkcijas grafiks ir hiperbola, funkcija nav definēta, kad

Funkcija samazinās.

Ja ņemam punktu ar abscisu, tad tā ordināta būs vienāda ar

Sākotnējā vienādojuma risinājums ir pāru kopa

Konstruēto hiperbolu var nobīdīt attiecībā pret koordinātu asīm.

Piemēram, funkcijas grafiks - arī hiperbola - tiks nobīdīts par vienu uz augšu pa y asi.

4. Apļa vienādojums

Šis ir racionāls vienādojums ar diviem mainīgajiem. Risinājumu kopa ir apļa punkti. Centrs rādiusa punktā ir vienāds ar R (4. att.).

Apskatīsim konkrētus piemērus.

a.

Reducēsim vienādojumu līdz apļa vienādojuma standarta formai; šim mēs izvēlamies pilnu summas kvadrātu:

- iegūts apļa vienādojums ar centru pie .

Uzzīmēsim vienādojumu (5. att.).

b. Grafiksējiet vienādojumu

Atgādiniet, ka reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja viens no faktoriem ir vienāds ar nulli un otrs pastāv.

Dotā vienādojuma grafiks sastāv no pirmā un otrā vienādojuma grafiku kopas, t.i. divas taisnas līnijas.

Uzbūvēsim to (6. att.).

Izveidosim funkcijas grafiku Taisne iet caur punktu (0; -1). Bet kā tas ies – palielināsies vai samazināsies? Leņķiskais koeficients, koeficients x, palīdzēs mums to noteikt; tas ir negatīvs, kas nozīmē, ka funkcija samazinās. Atradīsim krustpunktu ar vērša asi, tas ir punkts (-1; 0).

Līdzīgi mēs uzzīmējam otrā vienādojuma grafiku. Taisne iet caur punktu (0; 1), bet palielinās, jo slīpums ir pozitīvs.

Abu konstruēto līniju visu punktu koordinātas ir vienādojuma risinājums.

Tātad esam izanalizējuši svarīgāko racionālo vienādojumu grafikus, kas tiks izmantoti gan grafiskajā metodē, gan ilustrējot citas vienādojumu sistēmu risināšanas metodes.

1. Mordkovičs A.G. un citi.Algebra 9. klase: Mācību grāmata. Vispārējai izglītībai Iestādes.- 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 lpp.: ill.

2. Mordkovičs A.G. u.c.. Algebra 9. klase: Problēmu grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, T. N. Mišustina u.c.- 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 lpp.: ill.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. klase: izglītojoša. vispārējās izglītības skolēniem. institūcijas / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. izd., rev. un papildu - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. klase. 16. izd. - M., 2011. - 287 lpp.

5. Mordkovičs A. G. Algebra. 9. klase. 2 stundās.1.daļa.Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. — 12. izd., dzēsts. - M.: 2010. - 224 lpp.: ill.

6. Algebra. 9. klase. 2 daļās.2.daļa Problēmu grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovič, L. A. Aleksandrova, T. N. Mišustina un citi; Ed. A. G. Mordkovičs. — 12. izd., rev. - M.: 2010.-223 lpp.: ill.

1. College.ru sadaļa par matemātiku ().

2. Interneta projekts “Uzdevumi” ().

3. Izglītības portāls “ATRISINĀŠU Vienoto valsts eksāmenu” ().

1. Mordkovičs A.G. u.c.. Algebra 9. klase: Problēmu grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, T. N. Mišustina u.c.- 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 lpp.: ill. Nr.95-102.

MĒRĶIS:1) Iepazīstināt studentus ar jēdzienu “vienādojums ar diviem mainīgajiem”;

2) Iemācīties noteikt vienādojuma pakāpi ar diviem mainīgajiem;

3) Iemācieties pēc dotās funkcijas noteikt, kura figūra ir grafiks

dots vienādojums;

4) Aplūkosim grafu transformācijas ar diviem mainīgajiem;

dots vienādojums ar diviem mainīgajiem, izmantojot programmu Agrapher;

6) Attīstīt skolēnu loģisko domāšanu.

I. Jauns materiāls - skaidrojoša lekcija ar sarunas elementiem.

(lekcija tiek vadīta, izmantojot autora slaidus; grafiki zīmēti programmā Agrapher)

T: Studējot līnijas, rodas divas problēmas:

Izmantojot dotās taisnes ģeometriskās īpašības, atrodiet tās vienādojumu;

Apgrieztā problēma: ņemot vērā līnijas vienādojumu, izpētiet tās ģeometriskās īpašības.

Mēs izskatījām pirmo problēmu ģeometrijas kursā saistībā ar apļiem un taisnēm.

Šodien mēs apsvērsim apgriezto problēmu.

Apsveriet formas vienādojumus:

A) x(x-y)=4; b) 2u-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.

ir vienādojumu piemēri ar diviem mainīgajiem.

Vienādojumi ar diviem mainīgajiem X Un plkst izskatās kā f(x,y)=(x,y), Kur f Un – izteiksmes ar mainīgajiem X Un u.

Ja vienād. x(x-y)=4 aizstājējs mainīgā vietā X tā vērtība ir -1, un tā vietā plkst– vērtība 3, tad tiks iegūta pareizā vienādība: 1*(-1-3)=4,

Pāris (-1; 3) mainīgās vērtības X Un plkst ir vienādojuma risinājums x(x-y)=4.

Tas ir vienādojuma atrisināšana ar diviem mainīgajiem tiek saukts mainīgo vērtību sakārtotu pāru kopa, kas veido šo vienādojumu patiesā vienādībā.

Vienādojumiem ar diviem mainīgajiem parasti ir bezgalīgi daudz risinājumu. Izņēmumi veido, piemēram, vienādojumus, piemēram, X 2 +(y 2 - 4) 2 = 0 vai

2x2 + plkst 2 = 0 .

Pirmajā no tiem ir divi atrisinājumi (0; -2) un (0; 2), otrajā ir viens risinājums (0; 0).

Vienādojumam x 4 + y 4 +3 = 0 atrisinājumu vispār nav. Tas ir interesanti, ja vienādojuma mainīgo vērtības ir veseli skaitļi. Atrisinot šādus vienādojumus ar diviem mainīgajiem, tiek atrasti veselu skaitļu pāri. Šādos gadījumos tiek uzskatīts, ka vienādojums ir atrisināts veselos skaitļos.

Tiek saukti divi vienādojumi ar vienādu risinājumu kopu līdzvērtīgi vienādojumi. Piemēram, vienādojums x(x + y 2) = x + 1 ir trešās pakāpes vienādojums, jo to var pārveidot par vienādojumu xy 2 + x 2 - x-1 = 0, kura labā puse ir trešās pakāpes standarta formas polinoms.

Vienādojuma pakāpi ar diviem mainīgajiem, kas attēlota formā F(x, y) = 0, kur F(x, y) ir standarta formas polinoms, sauc par polinoma F(x, y) pakāpi.

Ja visi vienādojuma ar diviem mainīgajiem risinājumi ir attēloti kā punkti koordinātu plaknē, jūs iegūsit vienādojuma grafiku ar diviem mainīgajiem.

Grafiks vienādojums ar diviem mainīgajiem ir punktu kopa, kuru koordinātas kalpo kā šī vienādojuma atrisinājumi.

Tātad, vienādojuma grafiks ax + by + c = 0 ir taisna līnija, ja vismaz viens no koeficientiem a vai b nav vienāds ar nulli (1. att.). Ja a = b = c = 0, tad šī vienādojuma grafiks ir koordinātu plakne (2. att.), ja a = b = 0, A c0, tad grafiks ir tukšs komplekts (3. att.).

Vienādojuma grafiks y = a x 2 + ar + c ir parabola (4. att.), vienādojuma grafiks xy=k (k0) – hiperbola (5. att.). Vienādojuma grafiks X 2 + y 2 = r, kur x un y ir mainīgie, r ir pozitīvs skaitlis, ir aplis ar centru sākuma punktā un rādiusu, kas vienāds ar r(6. att.). Vienādojuma grafiks ir elipse, Kur a Un b– elipses lielās un mazās pusass (7. att.).

Dažu vienādojumu grafiku konstruēšanu atvieglo to transformāciju izmantošana. Apsvērsim vienādojumu grafiku pārveidošana divos mainīgajos un formulēt noteikumus, pēc kuriem tiek veiktas vienkāršākās vienādojumu grafiku transformācijas

1) Vienādojuma F (-x, y) = 0 grafiku iegūst no vienādojuma grafika F (x, y) = 0, izmantojot simetriju ap asi u.

2) Vienādojuma F (x, -y) = 0 grafiku iegūst no vienādojuma grafika F (x, y) = 0, izmantojot simetriju ap asi. X.

3) Vienādojuma F (-x, -y) = 0 grafiku iegūst no vienādojuma grafika F (x, y) = 0, izmantojot centrālo simetriju ap izcelsmi.

4) Vienādojuma F (x-a, y) = 0 grafiku iegūst no vienādojuma grafika F (x, y) = 0, pārvietojoties paralēli x asij par |a| vienības (pa labi, ja a> 0, un pa kreisi, ja A < 0).

5) Vienādojuma F (x, y-b) = 0 grafiku iegūst no vienādojuma grafika F (x, y) = 0, pārejot uz |b| vienībām, kas ir paralēlas asij plkst(uz augšu, ja b> 0 un uz leju, ja b < 0).

6) Vienādojuma F (ax, y) = 0 grafiku iegūst no vienādojuma grafika F (x, y) = 0, saspiežot uz y asi un a reizes, ja A> 1, un izstiepjot no y ass pa reizēm, ja 0< A < 1.

7) Vienādojuma F (x, by) = 0 grafiku iegūst no vienādojuma grafika F (x, y) = 0, izmantojot saspiešanu uz x asi b reizes, ja b> 1, un, izstiepjot no x ass reizes, ja 0 < b < 1.

Ja kāda vienādojuma grafiks tiek pagriezts par noteiktu leņķi tuvu sākuma punktam, tad jaunais grafiks būs cita vienādojuma grafiks. Svarīgi ir īpašie rotācijas gadījumi 90 0 un 45 0 leņķos.

8) Vienādojuma grafiks F (x, y) = 0, griežot pulksteņrādītāja virzienā tuvu koordinātu sākuma vietai par 90 0 leņķi, pārvēršas vienādojuma grafikā F (-y, x) = 0, un pretēji pulksteņrādītāja virzienam vienādojuma grafikā F (y , -x) = 0.

9) Vienādojuma grafiks F (x, y) = 0, griežot pulksteņrādītāja virzienā tuvu koordinātu sākuma vietai ar leņķi 45 0, pārvēršas vienādojuma grafikā F = 0, bet pretēji pulksteņrādītāja virzienam - grafikā vienādojums F = 0.

No noteikumiem, kurus esam apsvēruši vienādojumu grafiku pārveidošanai ar diviem mainīgajiem, ir viegli iegūt noteikumus funkciju grafiku pārveidošanai.

Piemērs 1. Parādīsim, ka, grafiski attēlojot vienādojumu X 2 + y 2 + 2x – 8 g + 8 = 0 ir aplis (17. att.).

Pārveidosim vienādojumu šādi:

1) grupējiet terminus, kas satur mainīgo X un satur mainīgo plkst, un iedomājieties katru terminu grupu pilna kvadrātveida trinoma formā: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) ierakstiet iegūtos trinomālus kā divu izteiksmju summas (starpības) kvadrātu: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 - 9 = 0;

3) analizēsim, saskaņā ar noteikumiem par vienādojumu grafiku pārveidošanu ar diviem mainīgajiem, vienādojumu (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 3 2: šī vienādojuma grafiks ir aplis, kura centrs atrodas punkts (-1; 4) un rādiuss 3 vienības .

2. piemērs. Grafikosim vienādojumu X 2 + 4у 2 = 9 .

Iedomāsimies 4y 2 formā (2y) 2, iegūstam vienādojumu x 2 + (2y) 2 = 9, kura grafiku var iegūt no apļa x 2 + y 2 = 9, saspiežot x asi par a. koeficients 2.

Uzzīmējiet apli, kura centrs ir sākuma punktā un rādiuss ir 3 vienības.

Samazināsim katra punkta attālumu no X ass 2 reizes un iegūsim vienādojuma grafiku

x 2 + (2y) 2 = 9.

Mēs ieguvām skaitli, saspiežot apli līdz vienam no tā diametriem (līdz diametram, kas atrodas uz X ass). Šo figūru sauc par elipsi (18. att.).

Piemērs 3. Noskaidrosim, kāds ir vienādojuma x 2 - y 2 = 8 grafiks.

Izmantosim formulu F=0.

Aizstājot šajā vienādojumā X un Y vietā, mēs iegūstam:

T: Kāds ir vienādojuma y = grafiks?

D: vienādojuma y = grafiks ir hiperbola.

U: Formas x 2 - y 2 = 8 vienādojumu mēs pārveidojām vienādībā y =.

Kura līnija būs šī vienādojuma grafiks?

D: Tātad vienādojuma x 2 - y 2 = 8 grafiks ir hiperbola.

U: kuras līnijas ir hiperbolas y = asimptotes.

D: Hiperbolas y = asimptoti ir taisnes y = 0 un x = 0.

U: Kad rotācija ir pabeigta, šīs taisnes pārvēršas taisnās līnijās = 0 un = 0, tas ir, taisnās līnijās y = x un y = - x. (19. att.).

4. piemērs. Noskaidrosim, kādu formu veidos parabolas vienādojums y = x 2, pagriežot to ap sākuma punktu par 90 0 pulksteņrādītāja virzienā.

Izmantojot formulu F (-y; x) = 0, vienādojumā y = x 2 mainīgo x aizstājam ar – y, bet mainīgo y ar x. Iegūstam vienādojumu x = (-y) 2, t.i., x = y 2 (20. att.).

Mēs apskatījām otrās pakāpes vienādojumu grafiku piemērus ar diviem mainīgajiem un noskaidrojām, ka šādu vienādojumu grafiki var būt parabola, hiperbola, elipse (jo īpaši aplis). Turklāt otrās pakāpes vienādojuma grafiks var būt līniju pāris (krustojoties vai paralēli) Tas ir tā sauktais deģenerētais gadījums. Tātad vienādojuma x 2 - y 2 = 0 grafiks ir krustojošu līniju pāris (21.a att.), un vienādojuma grafiks x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 ir paralēlas taisnes.

II Konsolidācija.

(skolēniem tiek izsniegtas “Instrukciju kartītes” vienādojumu grafiku konstruēšanai ar diviem mainīgajiem programmā Agrapher (2.pielikums) un “Praktiskā uzdevuma” kartītes (3.pielikums) ar 1.-8.uzdevumu formulējumu. Skolotājs demonstrē vienādojumu grafikus 4.-5. uzdevumi slaidos).

1. vingrinājums. Kuri no pāriem (5;4), (1;0), (-5;-4) un (-1; -) ir vienādojuma atrisinājumi:

a) x 2 - y 2 = 0, b) x 3 - 1 = x 2 y + 6y?

Risinājums:

Ievietojot šo punktu koordinātas dotajā vienādojumā, mēs esam pārliecināti, ka neviens dotais pāris nav vienādojuma x 2 - y 2 = 0 atrisinājums, bet vienādojuma x 3 - 1 = x 2 y + 6y atrisinājumi. ir pāri (5;4), (1;0) un (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1-1 = 0 + 0 (I)

125–1 = –100–24 (l)

1–1 = – – (I)

Atbilde: A); b) (5;4), (1; 0), (-1; -).

2. uzdevums. Atrodiet vienādojuma xy 2 - x 2 y = 12 risinājumus, kuros vērtība X vienāds ar 3.

Risinājums: 1) Dotajā vienādojumā X vietā aizstājiet vērtību 3.

2) Mēs iegūstam kvadrātvienādojumu mainīgajam Y, kura forma ir:

3 g 2 - 9 g = 12.

4) Atrisināsim šo vienādojumu:

3 g 2 - 9 g - 12 = 0

D = 81 + 144 = 225

Atbilde: pāri (3;4) un (3;-1) ir vienādojuma xy 2 - x 2 y = 12 atrisinājumi.

3. uzdevums. Nosakiet vienādojuma pakāpi:

a) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; c) (3 x 2 + x) (4x - y 2) = x;

b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 = 0; d) (2y - x 2) 2 = x(x 2 + 4xy + 1).

Atbilde: a) 3; b) 5; pulksten 4; d) 4.

4. uzdevums. Kurš skaitlis ir vienādojuma grafiks:

a) 2x = 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x = y - 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;

d) (x - 1,5) (x - 4) = 0; e) xy – 1,2 = 0; e) x 2 + y 2 = 9.

5. uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu, kura grafiks ir simetrisks vienādojuma grafikam x 2 - xy + 3 = 0 (24. att.) attiecībā pret: a) asi X; b) asis plkst; c) taisne y = x; d) taisne y = -x.

6. uzdevums. Sastādiet vienādojumu, kura grafiku iegūst, izstiepjot vienādojuma grafiku y = x 2 -3 (25. att.):

a) no x ass 2 reizes; b) no y ass 3 reizes.

Pārbaudiet ar programmu Agrapher, vai uzdevums ir izpildīts pareizi.

Atbilde: a)y - x 2 + 3 = 0 (25.a att.); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (25.b att.).

b) līnijas ir paralēlas, virzoties paralēli x asij 1 vienība pa labi un paralēli y asij 3 vienības uz leju (26.b att.);

c) taisnes krustojas, simetrisks attēlojums attiecībā pret x asi (26.c att.);

d) taisnas līnijas krustojas, simetrisks attēlojums attiecībā pret y asi (26.d att.);

e) līnijas ir paralēlas, simetrisks attēlojums attiecībā pret izcelsmi (26.e att.);

e) taisnas līnijas krustojas, griešanās ap sākumpunktu par 90 pulksteņrādītāja virzienā un simetrisks attēlojums attiecībā pret x asi (26.f att.).

III. Patstāvīgs izglītojošs darbs.

(skolēniem tiek izsniegtas kartītes “Patstāvīgais darbs” un “Patstāvīgā darba rezultātu atskaites tabula”, kurā studenti ieraksta savas atbildes un pēc pašpārbaudes novērtē darbu pēc piedāvātās shēmas) 4. pielikums ..

I. variants.

a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 = 2 (x + y).

a) x 3 + y 3 -5x 2 = 0; b) x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.

x 4 + y 4 -8 x 2 + 16 = 0.

a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

b) x2-y2 = 1;

c) x - y 2 = 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.

Norādiet apļa centra koordinātas un tā rādiusu.

6. Kā jāpārvieto hiperbola y = pa koordinātu plakni, lai tās vienādojums iegūtu formu x 2 - y 2 = 16?

Pārbaudiet savu atbildi, izveidojot grafiku, izmantojot Agrapher.

7. Kā koordinātu plaknē jāpārvieto parabola y = x 2, lai tās vienādojums iegūtu formu x = y 2 - 1

II variants.

1. Nosakiet vienādojuma pakāpi:

a)3xy = (y-x 3) (x 2 +y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0.

2. Vai skaitļu pāris (-2;3) ir vienādojuma atrisinājums:

a) x2-y2-3x = 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 = -1.

3. Atrodiet vienādojuma atrisinājumu kopu:

x 2 + y 2 -2x - 8 g + 17 = 0.

4. Kāda veida līkne (hiperbola, aplis, parabola) ir punktu kopa, ja šīs līknes vienādojumam ir šāda forma:

a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9

b) y 2 — x 2 =1

c) x = y 2 - 1.

(pārbaudiet ar programmu Agrapher, vai uzdevums ir izpildīts pareizi)

5. Izmantojot programmu Agrapher, uzzīmējiet vienādojumu:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Kā jāpārvieto hiperbola y = pa koordinātu plakni, lai tās vienādojums iegūtu formu x 2 - y 2 = 28?

7. Kā koordinātu plaknē jāpārvieto parabola y = x 2, lai tās vienādojums iegūtu formu x = y 2 + 9.