Diferenciālvienādojumi kopējos diferenciāļos. Vienādojums kopējos diferenciāļos Līklīnijas integrāļi kopējā diferenciāļa atjaunošana

Standarta forma $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, kurā kreisā puse ir kādas funkcijas $F kopējā diferenciāle. \left(x,y\right)$ sauc par kopējo diferenciālvienādojumu.

Kopējo diferenciāļu vienādojumu vienmēr var pārrakstīt kā $dF\left(x,y\right)=0$, kur $F\left(x,y\right)$ ir tāda funkcija, ka $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integrēsim abas vienādojuma puses $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; nulles labās puses integrālis ir vienāds ar patvaļīgu konstanti $C$. Tādējādi šī vienādojuma vispārējais risinājums netiešā veidā ir $F\left(x,y\right)=C$.

Lai dotais diferenciālvienādojums būtu vienādojums kopējos diferenciāļos, ir nepieciešams un pietiekami, lai nosacījums $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ esi apmierināts. Ja norādītais nosacījums ir izpildīts, tad ir funkcija $F\left(x,y\right)$, kurai varam ierakstīt: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, no kuras iegūstam divas relācijas : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ un $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.

Mēs integrējam pirmo relāciju $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ virs $x$ un iegūstam $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, kur $U\left(y\right)$ ir patvaļīga $y$ funkcija.

Atlasīsim to tā, lai būtu izpildīta otrā relācija $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$. Lai to izdarītu, mēs diferencējam iegūto relāciju $F\left(x,y\right)$ attiecībā pret $y$ un pielīdzinām rezultātu $Q\left(x,y\right)$. Mēs iegūstam: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\pa labi)$.

Tālākais risinājums ir:

no pēdējās vienādības atrodam $U"\left(y\right)$;
integrēt $U"\left(y\right)$ un atrast $U\left(y\right)$;
aizstājiet $U\left(y\right)$ vienādībā $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ un visbeidzot iegūstam funkciju $F\left(x,y\right)$.

Mēs atklājam atšķirību:

Mēs integrējam $U"\left(y\right)$ virs $y$ un atrodam $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Atrodiet rezultātu: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Mēs rakstām vispārīgo risinājumu formā $F\left(x,y\right)=C$, proti:

Atrodiet konkrētu risinājumu $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kur $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Daļējam risinājumam ir šāda forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

dažas funkcijas. Ja mēs atjaunosim funkciju no tās kopējā diferenciāļa, mēs atradīsim diferenciālvienādojuma vispārējo integrāli. Tālāk mēs runāsim par metode funkcijas atjaunošanai no tās kopējās atšķirības.

Diferenciālvienādojuma kreisā puse ir kādas funkcijas kopējā diferenciāle U(x, y) = 0, ja nosacījums ir izpildīts.

Jo pilna diferenciālā funkcija U(x, y) = 0Šis , kas nozīmē, ka tad, kad nosacījums ir izpildīts, tiek norādīts, ka .

Tad .

No sistēmas pirmā vienādojuma mēs iegūstam . Mēs atrodam funkciju, izmantojot sistēmas otro vienādojumu:

Tādā veidā mēs atradīsim nepieciešamo funkciju U(x, y) = 0.

Piemērs.

Atradīsim DE vispārīgo risinājumu .

Risinājums.

Mūsu piemērā. Nosacījums ir izpildīts, jo:

Tad sākotnējā diferenciālvienādojuma kreisā puse ir kādas funkcijas kopējā diferenciāle U(x, y) = 0. Mums ir jāatrod šī funkcija.

Jo ir funkcijas kopējā atšķirība U(x, y) = 0, Nozīmē:

Mēs integrējam ar x 1. sistēmas vienādojums un diferencēt attiecībā pret y rezultāts:

No sistēmas 2. vienādojuma iegūstam . Līdzekļi:

Kur AR- patvaļīga konstante.

Tādējādi dotā vienādojuma vispārējais integrālis būs .

Ir otrs metode funkcijas aprēķināšanai no tās kopējās starpības. Tas sastāv no fiksēta punkta līnijas integrāļa ņemšanas (x 0, y 0) uz punktu ar mainīgām koordinātām (x, y): . Šajā gadījumā integrāļa vērtība nav atkarīga no integrācijas ceļa. Par integrācijas ceļu ir ērti ņemt lauztu līniju, kuras saites ir paralēlas koordinātu asīm.

Piemērs.

Atradīsim DE vispārīgo risinājumu .

Risinājums.

Mēs pārbaudām nosacījuma izpildi:

Tādējādi diferenciālvienādojuma kreisā puse ir kādas funkcijas pilnīgs diferenciālis U(x, y) = 0. Atradīsim šo funkciju, aprēķinot punkta līklīnisko integrāli (1; 1) pirms tam (x, y). Kā integrācijas ceļu mēs ņemam lauztu līniju: pirmā lauztās līnijas daļa tiek laista pa taisnu līniju y = 1 no punkta (1, 1) pirms tam (x, 1), otrajā ceļa posmā no punkta tiek ņemts taisnas līnijas posms (x, 1) pirms tam (x, y):

Tātad tālvadības pults vispārējais risinājums izskatās šādi: .

Piemērs.

Noteiksim DE vispārējo risinājumu.

Risinājums.

Jo , kas nozīmē, ka nosacījums nav izpildīts, tad diferenciālvienādojuma kreisā puse nebūs pilnīgs funkcijas diferenciālis un ir jāizmanto otrā risinājuma metode (šis vienādojums ir diferenciālvienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem).

Šajā tēmā mēs apskatīsim metodi, kā rekonstruēt funkciju no tās kopējās diferenciāles, un sniegsim problēmu piemērus ar pilnīgu risinājuma analīzi.

Gadās, ka diferenciālvienādojumi (DE) formā P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 kreisajā pusē var saturēt pilnīgus dažu funkciju diferenciāļus. Tad mēs varam atrast diferenciālvienādojuma vispārējo integrāli, ja vispirms rekonstruējam funkciju no tās kopējā diferenciāļa.

1. piemērs

Apsveriet vienādojumu P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Kreisajā pusē ir noteiktas funkcijas diferenciālis U(x, y) = 0. Lai to izdarītu, ir jāizpilda nosacījums ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Funkcijas U (x, y) = 0 kopējā diferenciāļa forma ir d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Ņemot vērā nosacījumu ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x mēs iegūstam:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Pārveidojot pirmo vienādojumu no iegūtās vienādojumu sistēmas, mēs varam iegūt:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Funkciju φ (y) varam atrast no iepriekš iegūtās sistēmas otrā vienādojuma:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Tādā veidā mēs atradām vēlamo funkciju U (x, y) = 0.

2. piemērs

Atrodiet vispārīgo risinājumu diferenciālvienādojumam (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Risinājums

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Pārbaudīsim, vai nosacījums ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ir izpildīts:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Mūsu nosacījums ir izpildīts.

Pamatojoties uz aprēķiniem, varam secināt, ka sākotnējā diferenciālvienādojuma kreisā puse ir kādas funkcijas U (x, y) = 0 kopējā diferenciāle. Mums ir jāatrod šī funkcija.

Tā kā (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y ir funkcijas U (x, y) = 0 kopējā diferenciāle, tad

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integrēsim sistēmas pirmo vienādojumu attiecībā pret x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Tagad mēs diferencējam iegūto rezultātu attiecībā uz y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Pārveidojot sistēmas otro vienādojumu, iegūstam: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Tas nozīmē, ka
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

kur C ir patvaļīga konstante.

Mēs iegūstam: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Sākotnējā vienādojuma vispārējais integrālis ir x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Apskatīsim citu metodi funkcijas atrašanai, izmantojot zināmu kopējo diferenciāli. Tas ietver līklīnijas integrāļa izmantošanu no fiksēta punkta (x 0, y 0) līdz punktam ar mainīgām koordinātām (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

Šādos gadījumos integrāļa vērtība nekādā veidā nav atkarīga no integrācijas ceļa. Par integrācijas ceļu varam ņemt lauztu līniju, kuras saites atrodas paralēli koordinātu asīm.

3. piemērs

Atrodiet vispārīgo atrisinājumu diferenciālvienādojumam (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Risinājums

Pārbaudīsim, vai nosacījums ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ir izpildīts:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Izrādās, ka diferenciālvienādojuma kreiso pusi attēlo kādas funkcijas kopējā diferenciāle U (x, y) = 0. Lai atrastu šo funkciju, ir jāaprēķina punkta taisnes integrālis (1 ; 1) pirms tam (x, y). Ņemsim par integrācijas ceļu lauztu līniju, kuras posmi iet pa taisnu līniju y = 1 no punkta (1, 1) uz (x, 1) un pēc tam no punkta (x, 1) uz (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Mēs esam ieguvuši vispārīgu risinājumu diferenciālvienādojumam formā x y - x y 2 + C = 0.

4. piemērs

Nosakiet diferenciālvienādojuma y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 vispārīgo risinājumu.

Risinājums

Pārbaudīsim, vai nosacījums ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ir izpildīts.

Tā kā ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, tad nosacījums netiks izpildīts. Tas nozīmē, ka diferenciālvienādojuma kreisā puse nav pilnīgs funkcijas diferenciālis. Šis ir diferenciālvienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem, un tā risināšanai ir piemēroti citi risinājumi.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Diferenciāls sauc par formas vienādojumu

P(x,y)dx + J(x,y)dy = 0 ,

kur kreisā puse ir divu mainīgo jebkuras funkcijas kopējā diferenciāle.

Apzīmēsim divu mainīgo nezināmo funkciju (tas ir jāatrod, risinot vienādojumus kopējos diferenciāļos) F un mēs pie tā drīz atgriezīsimies.

Pirmā lieta, kas jums jāpievērš uzmanība, ir tāda, ka vienādojuma labajā pusē ir jābūt nullei, un zīmei, kas savieno divus vārdus kreisajā pusē, jābūt plusam.

Otrkārt, ir jāievēro zināma vienlīdzība, kas apstiprina, ka šis diferenciālvienādojums ir vienādojums kopējos diferenciālos. Šī pārbaude ir obligāta algoritma sastāvdaļa vienādojumu risināšanai kopējos diferenciāļos (tas ir šīs nodarbības otrajā rindkopā), tāpēc funkcijas atrašanas process F diezgan darbietilpīgs, un ir svarīgi sākotnējā posmā pārliecināties, ka mēs netērējam laiku.

Tātad nezināmā funkcija, kas jāatrod, tiek apzīmēta ar F. Visu neatkarīgo mainīgo daļējo diferenciāļu summa dod kopējo diferenciāli. Tāpēc, ja vienādojums ir kopējais diferenciālvienādojums, vienādojuma kreisā puse ir daļējo diferenciāļu summa. Tad pēc definīcijas

dF = P(x,y)dx + J(x,y)dy .

Atcerēsimies formulu divu mainīgo funkcijas kopējās diferenciālas aprēķināšanai:

Atrisinot pēdējās divas vienādības, varam rakstīt

Mēs atšķiram pirmo vienādību attiecībā uz mainīgo “y”, otro - attiecībā uz mainīgo “x”:

kas ir nosacījums, lai dotais diferenciālvienādojums patiešām būtu pilnīgs diferenciālvienādojums.

Algoritms diferenciālvienādojumu risināšanai kopējos diferenciāļos

1. darbība. Pārliecinieties, vai vienādojums ir kopējais diferenciālvienādojums. Lai izteiksme bija kādas funkcijas kopējā atšķirība F(x, y) ir nepieciešams un pietiekams, lai . Citiem vārdiem sakot, jums ir jāņem daļējs atvasinājums attiecībā uz x un daļējais atvasinājums attiecībā uz y cits termins un, ja šie atvasinājumi ir vienādi, tad vienādojums ir kopējais diferenciālvienādojums.

2. darbība. Pierakstiet daļēju diferenciālvienādojumu sistēmu, kas veido funkciju F:

3. darbība. Integrējiet sistēmas pirmo vienādojumu - ar x (y F:

,
y.

Alternatīva iespēja (ja šādā veidā ir vieglāk atrast integrāli) ir integrēt sistēmas otro vienādojumu - ar y (x paliek konstante un tiek izņemta no integrāļa zīmes). Tādā veidā tiek atjaunota arī funkcija F:

,
kur ir vēl nezināma funkcija X.

4. darbība. 3. darbības rezultāts (atrasts vispārējais integrālis) tiek diferencēts ar y(alternatīvi - saskaņā ar x) un pielīdzina sistēmas otrajam vienādojumam:

un alternatīvā versijā - uz pirmo sistēmas vienādojumu:

No iegūtā vienādojuma mēs nosakām (alternatīvi)

5. darbība. 4. darbības rezultāts ir integrācija un atrašana (vai arī atrast).

6. darbība. Aizstāt 5. darbības rezultātu ar 3. darbības rezultātu — ar daļējas integrācijas atjaunoto funkciju F. Patvaļīga konstante C bieži rakstīts aiz vienādības zīmes - vienādojuma labajā pusē. Tādējādi mēs iegūstam vispārīgu diferenciālvienādojuma risinājumu kopējos diferenciāļos. Tam, kā jau minēts, ir forma F(x, y) = C.

Diferenciālvienādojumu atrisinājumu piemēri kopējos diferenciāļos

1. piemērs.

1. darbība. vienādojums kopējos diferenciāļos x viens termins izteiksmes kreisajā pusē

un daļējais atvasinājums attiecībā uz y cits termins
vienādojums kopējos diferenciāļos .

2. darbība. F:

3. darbība. Autors x (y paliek konstante un tiek izņemta no integrāļa zīmes). Tādējādi mēs atjaunojam funkciju F:

kur ir vēl nezināma funkcija y.

4. darbība. y

5. darbība.

6. darbība. F. Patvaļīga konstante C :
.

Kāda kļūda šeit, visticamāk, var rasties? Visizplatītākās kļūdas ir ņemt daļēju integrāli pār vienu no mainīgajiem funkciju reizinājuma parastajam integrālam un mēģināt integrēt pa daļām vai aizvietošanas mainīgo, kā arī ņemt divu faktoru daļējo atvasinājumu kā atvasinājumu funkciju reizinājumu un meklējiet atvasinājumu, izmantojot atbilstošo formulu.

Tas ir jāatceras: aprēķinot daļēju integrāli attiecībā pret vienu no mainīgajiem, otrs ir konstante un tiek izņemts no integrāļa zīmes, un, aprēķinot daļējo atvasinājumu attiecībā pret vienu no mainīgajiem, otrs ir arī konstante, un izteiksmes atvasinājums tiek atrasts kā “darbojošā” mainīgā atvasinājums, kas reizināts ar konstanti.

Starp vienādojumi kopējos diferenciāļos Nereti var atrast piemērus ar eksponenciālu funkciju. Šis ir nākamais piemērs. Tas ir ievērojams arī ar to, ka tā risinājumā tiek izmantota alternatīva iespēja.

2. piemērs. Atrisiniet diferenciālvienādojumu

1. darbība. Pārliecināsimies, ka vienādojums ir vienādojums kopējos diferenciāļos . Lai to izdarītu, mēs atrodam daļēju atvasinājumu attiecībā uz x viens termins izteiksmes kreisajā pusē

un daļējais atvasinājums attiecībā uz y cits termins
. Šie atvasinājumi ir vienādi, kas nozīmē, ka vienādojums ir vienādojums kopējos diferenciāļos .

2. darbība. Uzrakstīsim daļēju diferenciālvienādojumu sistēmu, kas veido funkciju F:

3. darbība. Integrēsim otro sistēmas vienādojumu - by y (x paliek konstante un tiek izņemta no integrāļa zīmes). Tādējādi mēs atjaunojam funkciju F:

kur ir vēl nezināma funkcija X.

4. darbība. Mēs atšķiram 3. darbības rezultātu (atrasts vispārīgais integrālis) attiecībā uz X

un pielīdzina sistēmas pirmajam vienādojumam:

No iegūtā vienādojuma mēs nosakām:
.

5. darbība. Mēs integrējam 4. darbības rezultātu un atrodam:
.

6. darbība. Mēs aizstājam 5. darbības rezultātu ar 3. darbības rezultātu - funkciju, kas atjaunota ar daļēju integrāciju F. Patvaļīga konstante C rakstiet aiz vienādības zīmes. Tādējādi mēs iegūstam kopējo summu diferenciālvienādojuma atrisināšana kopējos diferenciāļos :
.

Nākamajā piemērā mēs atgriežamies no alternatīvas opcijas pie galvenās.

3. piemērs. Atrisiniet diferenciālvienādojumu

1. darbība. Pārliecināsimies, ka vienādojums ir vienādojums kopējos diferenciāļos . Lai to izdarītu, mēs atrodam daļēju atvasinājumu attiecībā uz y viens termins izteiksmes kreisajā pusē

un daļējais atvasinājums attiecībā uz x cits termins
. Šie atvasinājumi ir vienādi, kas nozīmē, ka vienādojums ir vienādojums kopējos diferenciāļos .

2. darbība. Uzrakstīsim daļēju diferenciālvienādojumu sistēmu, kas veido funkciju F:

3. darbība. Integrēsim pirmo sistēmas vienādojumu - Autors x (y paliek konstante un tiek izņemta no integrāļa zīmes). Tādējādi mēs atjaunojam funkciju F:

kur ir vēl nezināma funkcija y.

4. darbība. Mēs atšķiram 3. darbības rezultātu (atrasts vispārīgais integrālis) attiecībā uz y

un pielīdzina sistēmas otrajam vienādojumam:

No iegūtā vienādojuma mēs nosakām:
.

5. darbība. Mēs integrējam 4. darbības rezultātu un atrodam:

4. piemērs. Atrisiniet diferenciālvienādojumu

2. darbība. Uzrakstīsim daļēju diferenciālvienādojumu sistēmu, kas veido funkciju F:

3. darbība. Integrēsim pirmo sistēmas vienādojumu - Autors x (y paliek konstante un tiek izņemta no integrāļa zīmes). Tādējādi mēs atjaunojam funkciju F:

kur ir vēl nezināma funkcija y.

4. darbība. Mēs atšķiram 3. darbības rezultātu (atrasts vispārīgais integrālis) attiecībā uz y

un pielīdzina sistēmas otrajam vienādojumam:

No iegūtā vienādojuma mēs nosakām:
.

5. darbība. Mēs integrējam 4. darbības rezultātu un atrodam:

5. piemērs. Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Definīcija 8.4. Formas diferenciālvienādojums

Kur
sauc par kopējo diferenciālvienādojumu.

Ņemiet vērā, ka šāda vienādojuma kreisā puse ir kādas funkcijas kopējā diferenciāle
.

Kopumā vienādojumu (8.4) var attēlot kā

Vienādojuma (8.5) vietā mēs varam uzskatīt vienādojumu

kura atrisinājums ir (8.4) vienādojuma vispārējais integrālis. Tādējādi, lai atrisinātu (8.4) vienādojumu, ir jāatrod funkcija
. Saskaņā ar (8.4) vienādojuma definīciju mums ir

(8.6)

Funkcija
mēs meklēsim funkciju, kas atbilst vienam no šiem nosacījumiem (8.6):

Kur - patvaļīga funkcija, kas nav atkarīga no .

Funkcija
ir definēts tā, lai būtu izpildīts otrais izteiksmes nosacījums (8.6).

(8.7)

No izteiksmes (8.7) tiek noteikta funkcija
. Aizstājot to izteiksmē for
un iegūstiet sākotnējā vienādojuma vispārējo integrāli.

Problēma 8.3. Integrēt vienādojumu

Šeit
.

Tāpēc šis vienādojums pieder pie diferenciālvienādojumu veida kopējās diferenciālēs. Funkcija
mēs to meklēsim formā

Citā pusē,

Dažos gadījumos stāvoklis
var netikt izpildīts.

Tad šādus vienādojumus reducē līdz apskatāmajam veidam, reizinot ar tā saukto integrējošo koeficientu, kas vispārīgā gadījumā ir tikai funkcija vai .

Ja kādam vienādojumam ir integrējošs faktors, kas ir atkarīgs tikai no , tad to nosaka pēc formulas

kur ir attiecības jābūt tikai funkcijai .

Tāpat integrējošais faktors ir atkarīgs tikai no , nosaka pēc formulas

kur ir attiecības
jābūt tikai funkcijai .

Mainīgā lieluma trūkums dotajās attiecībās, pirmajā gadījumā , bet otrajā - mainīgais , ir zīme, ka konkrētajam vienādojumam ir integrējošais faktors.

Problēma 8.4. Samaziniet šo vienādojumu līdz vienādojumam kopējās diferenciālēs.

Apsveriet attiecības:

Tēma 8.2. Lineārie diferenciālvienādojumi

Definīcija 8.5. Diferenciālvienādojums
tiek saukts par lineāru, ja tas ir lineārs attiecībā pret vēlamo funkciju , tā atvasinājums un nesatur vajadzīgās funkcijas un tās atvasinājuma reizinājumu.

Lineārā diferenciālvienādojuma vispārējo formu attēlo šāda sakarība:

(8.8)

Ja attiecībā (8.8) labā puse
, tad šādu vienādojumu sauc par lineāri viendabīgu. Gadījumā, ja labā puse
, tad šādu vienādojumu sauc par lineāri nehomogēnu.

Parādīsim, ka vienādojumu (8.8) var integrēt kvadrātā.

Pirmajā posmā mēs uzskatām lineāru viendabīgu vienādojumu.

Šāds vienādojums ir vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem. Tiešām,

;

Pēdējā sakarība nosaka lineāra viendabīga vienādojuma vispārējo atrisinājumu.

Lai atrastu vispārīgu risinājumu lineāram nehomogēna vienādojumam, tiek izmantota konstantes atvasinājuma variācijas metode. Metodes ideja ir tāda, ka lineāra nehomogēna vienādojuma vispārējais risinājums ir tādā pašā formā kā atbilstošā homogēnā vienādojuma risinājums, bet patvaļīga konstante aizstāts ar kādu funkciju
tiks noteikts. Tātad mums ir:

(8.9)

Aizvietojot relācijā (8.8) atbilstošās izteiksmes
Un
, saņemam

Aizvietojot pēdējo izteiksmi attiecībā (8.9), iegūstam lineārā nehomogēnā vienādojuma vispārējo integrāli.

Tādējādi lineāra nehomogēna vienādojuma vispārējo atrisinājumu nosaka divas kvadratūras: lineāra viendabīga vienādojuma vispārīgais risinājums un lineāra nehomogēna vienādojuma konkrētais risinājums.

Problēma 8.5. Integrēt vienādojumu