Kā jūs zināt, ķermeni, kura kustības nav ierobežotas, sauc par brīvu, jo tas var pārvietoties jebkurā virzienā. Tādējādi katram brīvam, cietam ķermenim ir sešas kustības brīvības pakāpes. Tam ir iespēja radīt šādas kustības: trīs translācijas kustības, kas atbilst trim galvenajām koordinātu sistēmām, un trīs rotācijas kustības ap šīm trim koordinātu asīm.

Savienojumu uzlikšana (fiksēšana) samazina brīvības pakāpju skaitu. Tādējādi, ja ķermenis ir fiksēts vienā punktā, tas nevar pārvietoties pa koordinātu asīm, tā kustības aprobežojas tikai ar rotāciju ap šīm asīm, t.i. ķermenim ir trīs brīvības pakāpes. Gadījumā, ja divi punkti ir fiksēti, ķermenim ir tikai viena brīvības pakāpe, tas var griezties tikai ap līniju (asi), kas iet caur abiem šiem punktiem. Un visbeidzot, ar trim fiksētiem punktiem, kas neatrodas uz vienas līnijas, brīvības pakāpju skaits ir nulle, un ķermeņa kustības nevar notikt. Cilvēkiem pasīvais kustību aparāts sastāv no viņa ķermeņa daļām, ko sauc par saitēm. Tie visi ir saistīti viens ar otru, tāpēc zaudē spēju veikt trīs veidu kustības pa koordinātu asīm. Viņiem ir tikai iespēja griezties ap šīm asīm. Tādējādi maksimālais brīvības pakāpju skaits, kas var būt vienai ķermeņa saitei attiecībā pret citu tai blakus esošo saiti, ir trīs.

Tas attiecas uz cilvēka ķermeņa kustīgākajām locītavām, kurām ir sfēriska forma.

Ķermeņa daļu secīgi vai sazaroti savienojumi (saites) veido kinemātiskas ķēdes.

Cilvēkiem ir:

• - atvērtas kinemātiskās ķēdes ar brīvu kustīgu galu, kas fiksēts tikai vienā galā (piemēram, roka attiecībā pret ķermeni);
• - slēgtas kinemātiskās ķēdes, fiksēts abos galos (piemēram, skriemelis - riba - krūšu kauls - riba - skriemelis).

Jāatzīmē, ka tas attiecas uz iespējamo kustību diapazonu locītavās. Reāli dzīvam cilvēkam šie rādītāji vienmēr ir zemāki, ko pierādījuši neskaitāmi pašmāju pētnieku - P. F. Lesgafta, M. F. Ivanitska, M. G. Privesa, N. G. Ozoliņa uc darbi. Par kaulu locītavu kustīgumu dzīvā dzīvā. cilvēku, to ietekmē vairāki faktori, kas saistīti ar vecumu, dzimumu, individuālajām īpašībām, nervu sistēmas funkcionālo stāvokli, muskuļu stiepšanās pakāpi, apkārtējās vides temperatūru, diennakts laiku un, visbeidzot, sportistiem svarīgo, apmācības pakāpe. Tādējādi visos kaulu savienojumos (pārtrauktā un nepārtrauktā) jauniešu mobilitātes pakāpe ir lielāka nekā gados vecākiem cilvēkiem; Sievietēm vidēji ir vairāk nekā vīriešiem. Mobilitātes apjomu ietekmē to muskuļu stiepšanās pakāpe, kas atrodas kustībai pretējā pusē, kā arī muskuļu spēks, kas veic šo kustību. Jo elastīgāks ir pirmais no šiem muskuļiem un spēcīgāks otrais, jo lielāks ir kustību diapazons noteiktā kaula savienojumā un otrādi. Zināms, ka aukstā telpā kustībām ir mazāks vēriens nekā siltā, no rīta tās ir mazākas nekā vakarā. Dažādu vingrinājumu izmantošanai ir atšķirīga ietekme uz locītavu kustīgumu. Tādējādi sistemātiska apmācība ar “elastības” vingrinājumiem palielina locītavu kustību apjomu, savukārt “spēka” vingrinājumi, gluži pretēji, to samazina, izraisot locītavu “stīvumu”. Tomēr, veicot spēka vingrinājumus, kustību apjoma samazināšanās locītavās nav absolūti neizbēgama. To var novērst, pareizi kombinējot spēka treniņus un stiepšanās vingrinājumus tām pašām muskuļu grupām.

Cilvēka ķermeņa atvērtajās kinemātiskajās ķēdēs mobilitāte tiek aprēķināta desmitiem brīvības pakāpēs. Piemēram, plaukstas mobilitātei attiecībā pret lāpstiņu un tarsa ​​kustīgumam attiecībā pret iegurni ir septiņas brīvības pakāpes, un plaukstas pirkstu galiem attiecībā pret krūtīm ir 16 brīvības pakāpes. Ja mēs summējam visas ekstremitāšu un galvas brīvības pakāpes attiecībā pret ķermeni, tad tas tiks izteikts ar skaitli 105, kas sastāv no šādām pozīcijām:

• - galva - 3 brīvības pakāpes;
• - rokas - 14 brīvības pakāpes;
• - kājas - 12 brīvības pakāpes;
• - rokas un kājas - 76 brīvības grādi.

Salīdzinājumam mēs norādām, ka lielākajai daļai mašīnu ir tikai viena kustības brīvības pakāpe.

Lodveida un uzmavas savienojumos ir iespējamas griešanās ap trim savstarpēji perpendikulārām asīm. Kopējais asu skaits, ap kurām iespējamas rotācijas šajos savienojumos, ir bezgala liels. Līdz ar to attiecībā uz sfēriskām locītavām var teikt, ka tajās šarnīrveida saitēm no iespējamām sešām kustības brīvības pakāpēm ir trīs brīvības pakāpes un trīs savienojuma pakāpes.

Savienojumiem ar divām kustības brīvības pakāpēm un četrām sakabes pakāpēm ir mazāka mobilitāte. Tie ietver olveida vai elipsveida un seglu formas locītavas, t.i. biaksiāls. Tie ļauj pārvietoties ap šīm divām asīm.

Ķermeņa saites tajās locītavās, kurām ir viena rotācijas ass, t.i., ir viena mobilitātes brīvības pakāpe un tajā pašā laikā piecas savienojamības pakāpes. ir divi fiksēti punkti.

Lielākajai daļai cilvēka ķermeņa locītavu ir divas vai trīs brīvības pakāpes. Ar vairākām pārvietošanās brīvības pakāpēm (divām vai vairākām) ir iespējams bezgalīgs skaits trajektoriju. Galvaskausa kaulu savienojumiem ir sešas savienojuma pakāpes un tie ir nekustīgi. Kaulu savienošanai ar skrimšļa un saišu palīdzību (sinhondroze un sindesmoze) dažos gadījumos var būt ievērojama mobilitāte, kas ir atkarīga no elastības un starp šiem kauliem esošo skrimšļa vai saistaudu veidojumu lieluma.

Sistēmas ar divām brīvības pakāpēm ir īpašs gadījums sistēmām ar vairākām brīvības pakāpēm. Taču šīs sistēmas ir visvienkāršākās, ļaujot iegūt galīgā aprēķinu formulas vibrāciju frekvenču, amplitūdu un dinamisko izliekumu noteikšanai.

ySijas novirzes inerces spēku dēļ:

P 2 =1 (1)

Zīmes (-) izteiksmēs (1) ir saistītas ar to, ka inerces spēki un vienības. kustības ir pretējā virzienā.

Mēs uzskatām, ka masas vibrācijas notiek saskaņā ar harmonikas likumu:

(2)

Atradīsim masas kustības paātrinājumu:

(3)

Aizvietojot izteiksmes (2) un (3) vienādojumā (1), mēs iegūstam:

(5)

Mēs uzskatām, ka svārstību A 1 un A 2 amplitūdas nav zināmas, un mēs pārveidojam vienādojumus:

(6)

Homogēno vienādojumu sistēmas A 1 = A 2 =0 risinājums mums neder, lai iegūtu atrisinājumu, kas nav nulle, sistēmas (6) determinantus pielīdzinām nullei:

(7)

Pārveidosim vienādojumu (8), ņemot vērā dabisko svārstību apļveida frekvenci  nezināms:

Vienādojumu (9) sauc par sistēmu ar divām brīvības pakāpēm brīvo svārstību biharmonisko vienādojumu.

Aizstājot mainīgo  2 =Z, iegūstam

no šejienes mēs nosakām Z 1 un Z 2.

Rezultātā var izdarīt šādus secinājumus:

1. Sistēmu ar divām brīvības pakāpēm brīvas vibrācijas notiek ar divām frekvencēm  1 un  2. Zemāko frekvenci 1 sauc par pamattoni, augstāko frekvenci 2 sauc par otro frekvenci jeb virstoni.

Sistēmu ar n-brīvības pakāpēm brīvās vibrācijas ir n-toņu, kas sastāv no n-brīvām vibrācijām.

2. Masu m 1 un m 2 kustības izsaka ar šādām formulām:

i., ja notiek svārstības ar frekvenci  1, tad jebkurā laika momentā masas kustībām ir vienādas zīmes.

Ja svārstības notiek tikai ar frekvenci  2, tad masas kustībām jebkurā brīdī ir pretējas zīmes.

Vienlaicīgi svārstoties masām ar frekvencēm  1 un  2, sistēma galvenokārt svārstās ar frekvenci  1 un šajās svārstībās iekļaujas virstonis ar frekvenci  2.

Ja sistēma ar divām brīvības pakāpēm ir pakļauta virzošajam spēkam ar frekvenci , tad nepieciešams, lai:

  0,7  1 .

9. lekcija

Sistēmu svārstības ar bezgalīgu brīvības pakāpju skaitu.

Mehānisko vibrāciju teorijai ir daudz un ļoti dažādi pielietojumi gandrīz visās tehnoloģiju jomās. Neatkarīgi no dažādu mehānisko sistēmu mērķa un konstrukcijas risinājuma, uz to vibrācijām attiecas tie paši fizikālie likumi, kuru izpēte ir elastīgo sistēmu vibrāciju teorijas priekšmets. Vispilnīgāk ir izstrādāta lineārā svārstību teorija. Sistēmu ar vairākām brīvības pakāpēm svārstību teoriju 18. gadsimtā sniedza Lagrenžs savā klasiskajā darbā “Analītiskā mehānika”.

Džozefs Luiss Lagranžs (1736 - 1813) - matemātikas profesors Turīnā no 19 gadu vecuma. Kopš 1759. gada - Berlīnes Zinātņu akadēmijas biedrs, kopš 1766. gada - prezidents; no 1787. gada dzīvoja Parīzē. 1776. gadā ievēlēts par Sanktpēterburgas Zinātņu akadēmijas ārzemju goda locekli.

19. gadsimta beigās Reilija ielika pamatus lineārajai teorijai par svārstībām sistēmām ar bezgalīgu brīvības pakāpi (t.i., ar nepārtrauktu masas sadalījumu visā deformējamās sistēmas tilpumā). 20. gadsimtā varēja teikt, ka lineārā teorija ir pabeigta (Bubnova-Galerkina metode, kas ļauj noteikt arī augstākas svārstību frekvences, izmantojot secīgus tuvinājumus).

Džons Viljams Strets (lords Reilijs) (1842-1919) - angļu fiziķis, vairāku darbu autors par svārstību teoriju.

Ivans Grigorjevičs Bubnovs (1872 - 1919) - viens no kuģu konstrukcijas mehānikas pamatlicējiem. Profesors Sanktpēterburgas Politehniskajā institūtā, kopš 1910. gada - Jūras akadēmijā.

Boriss Grigorjevičs Galerkins (1871-1945) - Ļeņingradas Politehniskā institūta profesors.

Reilija formula ir vispopulārākā elastīgo sistēmu vibrāciju un stabilitātes teorijā. Ideja, kas ir Rayleigh formulas atvasināšanas pamatā, ir šāda. Ar elastīgas sistēmas monoharmoniskām (viena toņa) brīvajām svārstībām ar frekvenci  tās punktu kustības notiek laikā saskaņā ar harmonikas likumu:

kur  1 (x,y,z),  2 (x,y,z),  3 (x,y,z) ir punkta telpisko koordinātu funkcijas, kas nosaka attiecīgo svārstību formu (amplitūdu).

Ja šīs funkcijas ir zināmas, tad brīvo vibrāciju frekvenci  var atrast no nosacījuma, ka ķermeņa kinētiskās un potenciālās enerģijas summa ir nemainīga. Šis nosacījums noved pie vienādojuma, kurā ir tikai viens nezināms lielums.

Tomēr šīs funkcijas nav iepriekš zināmas. Rayleigh metodes pamatideja ir norādīt šīs funkcijas, saskaņojot to izvēli ar robežnosacījumiem un paredzamo vibrāciju formu.

Sīkāk aplūkosim šīs idejas realizāciju stieņa plaknes lieces vibrācijām, vibrāciju formu raksturo funkcija =(x). Brīvās svārstības raksturo atkarība

saliekta stieņa potenciālā enerģija

(2)

kinētiskā enerģija

(3)

Kur l- stieņa garums, m=m(x) stieņa sadalītās masas intensitāte;

Stieņa izliektās ass izliekums; - šķērsenisko vibrāciju ātrums.

Dots (1)

.

(4)

(5)

Laika gaitā katrs no šiem lielumiem nepārtraukti mainās, bet, saskaņā ar enerģijas nezūdamības likumu, to summa paliek nemainīga, t.i.

vai aizvietojot šeit izteicienus (4), (5).

(7)

Tas noved pie Rayleigh formulas:

(8)

Ja koncentrētas slodzes ar masu M i ir saistītas ar stieni ar sadalītu masu m, tad Reilija formula ir šāda:

(9)

Visa atvasināšanas gaita parāda, ka pieņemto pieņēmumu ietvaros (stieņu lieces tehniskās teorijas pamatotība, neelastīgās pretestības neesamība) šī formula ir precīza, ja (x) ir patiesā vibrāciju forma. . Tomēr funkcija(x) iepriekš nav zināma. Reilija formulas praktiskā nozīme ir tāda, ka to var izmantot, lai atrastu dabisko frekvenci, ņemot vērā vibrācijas formu(x). Tajā pašā laikā lēmumā tiek ieviests vairāk vai mazāk nopietns tuvuma elements. Šī iemesla dēļ Rayleigh formulu dažreiz sauc par aptuvenu formulu.

m=cosnt Par vibrāciju ņemsim funkciju:(x)=ax 2, kas apmierina uzdevuma kinemātiskos robežnosacījumus.

Mēs definējam:

Pēc formulas (8)

Šis rezultāts būtiski atšķiras no precīzā

Precīzāka ir Grammel formula, kas vēl nav kļuvusi tik populāra kā Rayleigh formula (iespējams, tās relatīvās "jaunības" dēļ - tā tika ierosināta 1939.

Atkal pakavēsimies pie tās pašas stieņa brīvās lieces vibrācijas problēmas.

Pieņemsim, ka (x) ir norādītā stieņa brīvo svārstību forma. Tad maksimālo inerciālo spēku intensitāti nosaka izteiksme m 2 , kur, tāpat kā iepriekš, m=m(x) ir stieņa sadalītās masas intensitāte,  2 ir naturālās frekvences kvadrāts. Šie spēki sasniedz norādīto vērtību brīdī, kad izlieces ir maksimālās, t.i. tiek noteiktas ar funkciju(x).

Uzrakstīsim izteiksmi lielākajai potenciālajai lieces enerģijai maksimālo inerciālo spēku radīto lieces momentu izteiksmē:

. (10)

Šeit - slodzes radītie lieces momenti m 2 . Apzīmēsim nosacītās slodzes radīto lieces momentu m, t.i.  2 reizes mazāks par inerces spēku.

, (11)

un izteiksmi (10) var uzrakstīt šādi:

. (12)

Augstākā kinētiskā enerģija, tāda pati kā iepriekš

. (13)

Pielīdzinot izteiksmes (12) un (13), mēs nonākam pie Grammela formulas:

(14)

Lai aprēķinātu, izmantojot šo formulu, vispirms jānorāda piemērota funkcija (x). Pēc tam nosaka nosacīto slodzi m=m(x)(x) un uzraksta nosacītās slodzes m radītās lieces izteiksmes. Izmantojot formulu (14), nosaka sistēmas dabisko svārstību frekvenci.

Piemērs: (apsveriet iepriekšējo)

y

m(x)·(x) = max 2

Apskatīsim nelielas svārstības sistēmā ar divām brīvības pakāpēm, kas ir pakļautas potenciālā lauka spēkiem un spēkiem, kas periodiski mainās laikā. Rezultātā radušās sistēmas kustības sauc par piespiedu svārstībām.

Ļaujiet traucējošiem vispārinātiem spēkiem mainīties atbilstoši harmoniskam likumam ar laiku ar vienādiem periodiem un sākuma fāzi. Tad aplūkojamās sistēmas kustības vienādojumi būs šādā formā:

Aplūkojamajā gadījumā kustības vienādojumi ir lineāru otrās kārtas diferenciālvienādojumu sistēma ar nemainīgiem koeficientiem un labo pusi.

Dodieties uz galvenajām koordinātām

Kustības vienādojumu izpētes ērtībai pāriesim pie sistēmas galvenajām koordinātām.Sakarību starp koordinātām nosaka veidlapas iepriekšējā rindkopas formulas:

Attiecīgi apzīmēsim ar normālām koordinātām atbilstošos vispārinātos spēkus Tā kā vispārinātie spēki attēlo koeficientus atbilstošām vispārināto koordinātu variācijām uz sistēmu iedarbojošo spēku elementārā darba izteiksmē, tad

Tātad:

Tādējādi kustības vienādojumi galvenajās koordinātēs ir šādi:

Sistēmas ar divām brīvības pakāpēm normālās koordinātēs piespiedu svārstību vienādojumi ir neatkarīgi viens no otra un var tikt integrēti atsevišķi.

Traucējošā spēka kritiskās frekvences

Vienādojums vai nosaka normālo koordinātu izmaiņu svārstīgo raksturu, kas ir detalizēti izpētīts, apsverot punkta piespiedu svārstības pa taisnu līniju, jo kustības diferenciālvienādojumi abos gadījumos ir vienādi. Jo īpaši, ja traucējošā spēka biežums ir vienāds ar vienas no sistēmas dabisku svārstību frekvenci, vai tad risinājumā kā koeficients tiks iekļauts laiks t. Līdz ar to viena no normālajām vispārinātajām koordinātām pietiekami lielam t būs patvaļīgi liela, vai arī mums ir rezonanses fenomens.

Svārstības ar vairākām brīvības pakāpēm.

Īsa informācija no teorijas.

Sistēmas ar n jaudāmbrīvība dinamikā ir pieņemts saukt tādas sistēmas, kuru ģeometriskā stāvokļa pilnīgai fiksēšanai jebkurā laika brīdī ir jāiestata P parametri, piemēram, pozīcija (izlieces) P punktus. Citu punktu novietojums tiek noteikts ar parastajiem statiskajiem paņēmieniem.

Sistēmas piemērs ar P brīvības pakāpes var būt sija vai plakans rāmis, ja tā atsevišķu daļu vai elementu masas nosacīti (lai atvieglotu dinamiskos aprēķinus) tiek uzskatītas par koncentrētām P punktus, vai ja tas nes n lielas masas (dzinējus, motorus), salīdzinājumā ar kurām var neņemt vērā elementu pašu svaru. Ja atsevišķas koncentrētas (“punktu”) masas, svārstoties, var kustēties divos virzienos, tad sistēmas brīvības pakāpju skaits būs vienāds ar savienojumu skaitu, kas sistēmai jāuzliek, lai novērstu nobīdes. no visām masām.

Ja sistēma ar n brīvības pakāpēm tiek izvadīta no līdzsvara, tā tiks veikta brīvas vibrācijas, un katrs “punkts” (masa) veiks sarežģītas šāda veida poliharmoniskas svārstības:

Konstantes A i un B i atkarīgi no sākotnējiem kustības apstākļiem (masu novirzēm no statiskā līmeņa un ātrumiem laika momentā t=0). Tikai atsevišķos īpašos svārstību ierosināšanas gadījumos poliharmoniskā kustība atsevišķām masām var pārvērsties harmoniskā, t.i. kā sistēmā ar vienu brīvības pakāpi:

Sistēmas dabisko frekvenču skaits ir vienāds ar tās brīvības pakāpju skaitu.

Lai aprēķinātu dabiskās frekvences, ir jāatrisina tā sauktais frekvences determinants, kas uzrakstīts šādā formā:

Šis nosacījums izvērstā veidā sniedz vienādojumu P th grādu, lai noteiktu P vērtības ω 2, ko sauc par frekvences vienādojumu.

Caur δ 11, δ 12, δ 22 utt. ir norādītas iespējamās kustības. Tādējādi δ 12 ir pārvietojums pirmās masas atrašanās vietas punkta pirmajā virzienā no spēka vienības, kas pielikts otrajā virzienā, uz otrās masas atrašanās vietu utt.

Ar divām brīvības pakāpēm frekvences vienādojums iegūst šādu formu:

Kur mums ir divas frekvences:

Gadījumā, ja atsevišķas masas M i var veikt arī rotācijas vai tikai rotācijas kustības kombinācijā ar lineārām kustībām, tad i- šī koordināte būs griešanās leņķis, bet frekvences determinantā - masa

M i jāaizstāj ar masas inerces momentu J i; attiecīgi iespējamās kustības virzienā i- koordinātas ( δ i 2 , δ i 2 utt.) būs leņķiskas kustības.

Ja kāda masa svārstās vairākos virzienos - i-mu un k-th (piemēram, vertikālā un horizontālā), tad šāda masa vairākas reizes piedalās determinantā zem skaitļiem M i viņiem k un tas atbilst vairākām iespējamām kustībām ( δ ii, δ labi labi, δ ik utt.).

Ņemiet vērā, ka katrai dabiskajai frekvencei ir sava īpaša svārstību forma (izliektas ass raksturs, novirzes līnija, nobīde utt.), kas atsevišķos īpašos gadījumos var izrādīties derīga svārstību forma, ja tikai brīva. svārstības ir pareizi ierosinātas (pareizi atlases impulsi, to pielietojuma punkti utt.). Šajā gadījumā sistēma svārstīsies saskaņā ar sistēmas kustības likumiem ar vienu brīvības pakāpi.

Vispārīgā gadījumā, kā izriet no izteiksmes (9.1.), sistēma veic poliharmoniskas svārstības, taču ir acīmredzams, ka jebkura sarežģīta elastīga līnija, kas atspoguļo visu naturālo frekvenču ietekmi, var tikt sadalīta atsevišķos formas komponentos, katrs no kas atbilst savai frekvencei Šādu patiesā vibrācijas režīma sadalīšanās procesu komponentos (kas ir nepieciešams, risinot sarežģītas struktūras dinamikas problēmas) sauc par sadalīšanos dabisko vibrāciju režīmos.

Ja katrā masā, precīzāk - katras brīvības pakāpes virzienā, tiek pielietots traucējošs spēks, kas mainās laikā pēc harmonikas likuma

vai, kas ir vienaldzīgs tālākiem mērķiem un spēku amplitūdas katrai masai ir atšķirīgas, un frekvence un fāzes ir vienādas, tad ar šādu traucējošo spēku ilgstošu darbību sistēma veiks līdzsvara stāvokļa piespiedu svārstības ar frekvenci no dzinējspēka. Kustību amplitūdas jebkurā virzienā i-šajā gadījumā šis grāds būs:

kur determinants D ir uzrakstīts saskaņā ar (9.2) ar ω aizstātu ar θ un līdz ar to D≠0; D i tiek noteikts ar izteiksmi:

tie. i Determinanta D kolonnu aizstāj ar kolonnu, kas sastāv no šādas formas terminiem: Divu brīvības pakāpju gadījumā: (9.6.)

Un attiecīgi

Aprēķinot piespiedu vibrācijas nemainīga šķērsgriezuma sijām, kas nes koncentrētas masas (9.1. att.).

Tomēr vieglāk ir izmantot šādas formulas novirzes amplitūdām, griešanās leņķim, lieces momentam un bīdes spēkam jebkurā sijas posmā:

(9.7)

Kur y 0 , φ 0 , M 0 , J 0 – sākuma sekcijas novirzes, griešanās, momenta un bīdes spēka amplitūdas (sākotnējie parametri); M i Un J i- masa un tās inerces moments (koncentrētas masas); zīme ∑ attiecas uz visiem spēkiem un koncentrētām masām, kas atrodas no sākotnējās sadaļas līdz objektam.

Norādītās formulas (9.7) var izmantot arī, aprēķinot naturālās frekvences, kurām jāņem vērā traucējošie spēki ∑ Ri un mirkļi ∑ Mi vienāds ar nulli, aizstāt piespiedu svārstību frekvenci θ ar dabisko svārstību frekvenci ω un, pieņemot, ka pastāv svārstības (brīvās svārstības), rakstīt izteiksmes (9.7) attiecībā uz sadaļām, kurās atrodas koncentrētas masas un jau ir zināmas amplitūdas ( atskaites sekcijas, simetrijas ass utt.). Iegūstam viendabīgu lineāru vienādojumu sistēmu. Pielīdzinot šīs sistēmas determinantu nullei, varēsim aprēķināt dabiskās frekvences.

Izrādās, ka ir ieteicams izmantot izteiksmes (9.4) un (9.5), lai noteiktu amplitūdas ( y 0 , φ 0 , utt.) plkst X=0, un pēc tam, izmantojot (9.7) aprēķina visus pārējos novirzes elementus.

Sarežģītāka ir sistēma ar vairākām brīvības pakāpēm kustību aprēķināšanas problēma patvaļīgas slodzes iedarbībā, kas laika gaitā mainās un tiek pielietota dažādām masām.

Risinot šādu problēmu, jums jārīkojas šādi:

a) nosaka dabisko vibrāciju dabiskās frekvences un veidus;

b) pārgrupēt doto slodzi starp masām vai, kā saka, sadalīt to atbilstoši dabisko vibrāciju režīmiem. Slodzes grupu skaits ir vienāds ar sistēmas dabisko frekvenču skaitu;

c) pēc iepriekšminēto divu palīgoperāciju veikšanas veic aprēķinu katrai slodžu grupai, izmantojot zināmas formulas no sistēmas ar vienu brīvības pakāpi svārstību teorijas, un dabisku svārstību biežumu šajās formulās pieņem par vienu. kam atbilst šī slodzes grupa;

d) tiek summēti daļējie risinājumi no katras slodžu kategorijas, kas nosaka problēmas gala risinājumu.

Dabisko frekvenču noteikšanu veic saskaņā ar (9.2.). Runājot par dabisko vibrāciju formu noteikšanu, šeit ir jāvadās pēc jebkuras dabiskās vibrācijas formas pamatīpašības, ka tā atspoguļo spēku novirzes ietekmes līniju (kuru skaits ir vienāds ar vibrāciju skaitu). brīvības pakāpes) proporcionāli masu un masu stiprinājuma punktu novirzes ordinātu reizinājumam. Vienādām masām dabisko vibrāciju forma attēlo novirzes līniju no spēkiem, kas ir proporcionāli novirzes ordinātām; slodzes diagramma ir līdzīga novirzes diagrammai.

Zemākā frekvence atbilst visvienkāršākajai vibrācijas formai. Sijām visbiežāk šī forma cieši atbilst sistēmas izliektajai asij sava svara ietekmē. Ja šī konstrukcija izrādās mazāk stingra jebkurā virzienā, piemēram, horizontāli, tad, lai noteiktu vēlamās izliektās ass raksturu, nosacīti jāpieliek savs svars šajā virzienā.

TEORĒTISKĀ MEHĀNIKA

UDK 531,8:621,8

D.M. Kobiļjanskis, V.F. Gorbunovs, V.A. Gogoļins

ĶERMEŅU ROCIJAS UN VIBRĀCIJAS SADERĪBA AR VIENU BRĪVĪBAS PAKĀDI

Apskatīsim plakanu ķermeni T, kuram ir uzlikti trīs ideāli ierobežojumi, kas neļauj tikai ķermenim kustēties visos virzienos, kā parādīts 1.a attēlā. Savienojumi ir punkti A, B, C, kas atrodas vienādmalu trijstūra virsotnēs. Izvēloties koordinātu sistēmu tā, lai tās centrs sakristu ar trijstūra centru un būtu saskaņots ar to (1.a att.), iegūstam savienojumu koordinātas: A(0;R), B(^l/3 /2 -R/2), C^-Ld/e/2; -I/2), kur I ir attālums no trijstūra centra līdz tā virsotnēm, tas ir, apļa rādiuss, kas iet caur punktiem A, B, C. Šajā stāvoklī ķermenim būs viena brīvības pakāpe. tikai tad, ja tās robežas normālie punktos A, B, C krustojas vienā punktā, kas būs momentānais ātrumu centrs. Pretējā gadījumā ķermeņa brīvības pakāpju skaits ir nulle un tas nevar ne tikai kustēties translācijas, bet arī veikt rotācijas kustību. Kad ķermenim ir viena brīvības pakāpe, tas var sākt griezties ar momentāno rotācijas centru iepriekšminēto normālu krustpunktā. Lai šis punkts ir koordinātu sākumpunkts, punkts O. Ja momentānais griešanās centrs nemaina savu pozīciju, tad vienīgā iespējamā ķermeņa T forma ir aplis ar rādiusu R, kura centrs atrodas punktā O.

Rodas problēma: vai ir citas ķermeņa formas, kas ļauj tam griezties attiecībā pret kādu kustīgu centru tā, lai

vai ķermeņa ķermenis nepārtraukti gāja cauri trim punktiem A, B, C, nepārtraucot šos savienojumus? Mums zināmajā literatūrā šāda problēma nav izskatīta un, acīmredzot, tiek risināta pirmo reizi.

Lai atrisinātu šo problēmu, vispirms aplūkojam trīsstūra ABC kustību kā stingru ķermeni attiecībā pret X1O1Y1 koordinātu sistēmu, kas saistīta ar ķermeni T (1.b att.). Tad, ja trijstūra kustība notiek tā, ka tā virsotnes nepārtraukti paliek uz ķermeņa robežas pilnīgas trīsstūra pagriešanas laikā par 360°, tad ķermenis veiks arī nepieciešamo kustību apgrieztā virzienā attiecībā pret fiksēto. trīsstūris ABC un ar to saistītā koordinātu sistēma XOU.

Trijstūra ABC kustību definējam kā rotāciju attiecībā pret centru O un centra O kustību pa ОіХі asi ar /(g), pa ОіУі asi par g(t). Tad punkta A trajektorijas parametriskais vienādojums būs šādā formā: x = ryaSh +/(r); уі=г-єо,?ґ +g(t), ґє (1)

Tā kā pie g=0 punktam O jāsakrīt ar punktu O1, tad ir jāizpilda nosacījums /(0)= g(0)=0. Mēs pieprasām, lai, pagriežot leņķi r = 2n/3, punkts A sakrīt ar punktu B1, punkts B sakrīt ar punktu C un punkts C

Ar punktu A1. Pagriežot leņķi r = 4n/3, punktam A jāiet uz punktu C1, punktam B uz punktu A1 un punktam C uz punktu B1. Apvienojot šīs prasības trijstūra virsotņu kustībai, rodas nosacījumi rotācijas centra pārvietošanas funkciju vērtībām /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0 . (2) Nosacījumi (2) atbilst plašai funkciju klasei, jo īpaši sin(3mt/2) formas funkcijām, kur m ir vesels skaitlis, un to lineārās kombinācijas ar parasti mainīgiem formas koeficientiem:

H (g) = ^ bt (g) 8Іп(3тґ / 2)

Turklāt kā

1. att. Aprēķina shēma: a) - stacionāra ķermeņa un tā savienojumu novietojums XOU sistēmā; b) - fiksētās sistēmas X1O1U1 pozīcija, kas saistīta ar ķermeni, un kustīgās sistēmas XOU, kas saistītas ar trīsstūri ABC

Teorētiskā mehānika

2. att. Ķermeņu formas un to rotācijas centru kustības trajektorijas

Rīsi. 3. Ķermeņa stāvoklis pagriežoties leņķī un atbilstošā tā griešanās centra kustības trajektorija

var ņemt pārvietošanas funkcijas, funkcijas, kas nosaka slēgtas līknes, piemēram, cikloīdus, trohoīdus, lemniskātus, ar parametriem, kas ir piemēroti saskaņā ar nosacījumu (2). Šajā gadījumā visām iespējamām funkcijām jābūt periodiskām ar periodu 2n/3.

Tādējādi parametru vienādojumu sistēma (1) ar nosacījumiem uz funkciju vērtībām /(^, g(t) (2) vai to formā (3) dod vēlamo vienādojumu ķermeņa T robežai. 2. attēlā parādīti iespējamo ķermeņa formu piemēri, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem. Katra attēla centrā ir parādīta rotācijas centra trajektorija O1, un punktu savienojumi A, B, C ir palielināti, lai tos labāk vizualizētu. Šie piemēri parādīt, ka pat vienkārši funkciju veidi no klases, ko definē izteiksme (3) ar nemainīgiem koeficientiem, dod mums diezgan plašu līkņu kopu, kas apraksta ķermeņu robežas, kas tiek rotētas un

svārstības vienlaicīgi tikai ar vienu brīvības pakāpi. Robežlīknes a), c) 2. attēlā atbilst rotācijas centra kustībai tikai pa horizontālo asi

ОіХі saskaņā ar harmonikas likumu, un, kā redzams, ir divas simetrijas asis un var būt vai nu tīri izliekta, ovāla (2.a att.), vai apvienot izliekumu ar ieliekumu (2.b att.). Ar vertikālu un horizontālu harmonikas likumu ar vienādu rotācijas centra kustības amplitūdu robežlīknes zaudē savu simetriju (2. att. c, d). Harmonisko vibrāciju frekvences būtiskā ietekme uz ķermeņa robežlīknes formu parādīta 2. d, f attēlā. Neveicot pilnīgu amplitūdas un frekvences ietekmes uz robežas formu un ģeometriskajām īpašībām analīzi. līknes šajā darbā, vēlos atzīmēt, ka 2. attēlā parādītie piemēri jau parāda spēju risināt tehniskas problēmas vēlamās formas izvēlē.

ķermeni, lai tā rotācijas kustību apvienotu ar svārstībām rotācijas plaknē.

Tagad, ņemot vērā ķermeņa kustību attiecībā pret fiksēto koordinātu sistēmu XOU, kas saistīta ar trīsstūri ABC, tas ir, pārejot no X1O1U1 koordinātu sistēmas uz XOU koordinātu sistēmu, mēs iegūstam šādus ķermeņa robežlīknes parametriskos vienādojumus pie a. dots griešanās leņķis p x = cosp-

Cosp (4)

vai, ņemot vērā vienādojumus (1), vienādojumi (4) ir formā x = cosp-

- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +

Cos p.

Vienādojumi (5) ļauj aprakstīt jebkura ķermeņa punkta trajektoriju atbilstoši tam dotajām polaritātēm.

t-g.i m*4<. п-і

t-ÍLÍtWM. d-0

Rīsi. 4. Ķermeņa formu varianti ar dažādu savienojumu skaitu, nodrošinot ķermeņu rotācijas un vibrācijas savietojamību

gala koordinātas R,t. Konkrēti, pie R=0, t=0 mums ir punkts, kas sakrīt ar koordinātu Ob sākumpunktu, tas ir, griešanās centru, kura trajektorija aplūkojamajā shēmā ir aprakstīta ar vienādojumiem, kas izriet no (5) :

*0 = -f (ph) cos ph + g (ph) sin ph, y0 = - f (ph) sin ph- g (ph) cos r.

3. attēlā parādīts ķermeņa pozīciju piemērs (2.b attēls), kad tas tiek pagriezts leņķī φ, un katra attēla centrā ir parādīta rotācijas centra trajektorija.

Oi, kas atbilst ķermeņa rotācijai caur šo leņķi. Tehniski nav grūti izveidot animāciju

3. attēlā redzamās ķermeņa kustības, nevis fiziskā modeļa, tomēr žurnāla raksta ietvars to var atļaut tikai elektroniskā versijā. Parādītais piemērs joprojām bija

Aplūkojamās problēmas vispārinājums ir n ideālu savienojumu sistēma punktu veidā, kas atrodas regulāra trīsstūra virsotnēs, novēršot tikai ķermeņa translācijas kustības. Tāpēc, tāpat kā trijstūra gadījumā, ķermenis var sākt griezties attiecībā pret rotācijas centru, kas ir normālu krustpunkts ar ķermeņa robežu savienojuma punktos. Šajā gadījumā ķermeņa A punkta trajektorijas vienādojumam, kas atrodas uz ass OU un atrodas attālumā H no rotācijas centra, būs tāda pati forma kā (1). Šajā gadījumā būs nepieciešami griešanās centra (2) pārvietošanas funkciju vērtību nosacījumi

Kobiļjanskis Gorbunovs

Dmitrijs Mihailovičs Valērijs Fedorovičs

Katedras aspirants. stacionārais un - doc. tech. zinātnes, prof. nodaļa simts

transportlīdzekļi, stacionāri un transporta līdzekļi

f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)

Nosacījums (7) atbilst periodiskām funkcijām ar periodu 2n/n, piemēram, 8m(n-m4/2), kā arī to formas (3) lineārām kombinācijām un citām slēgtām līknēm aprakstošām funkcijām. Iepriekš minētajam līdzīga spriešana noved pie tiem pašiem vienādojumiem (4-6), kas ļauj aprēķināt ķermeņa formu, stāvokli griešanās laikā un rotācijas centra trajektoriju ar ķermeņa svārstībām, kas atbilst rotācijai. . Šādu aprēķinu piemērs ir 4. att., kurā punktētā līnija parāda ķermeņu sākotnējo stāvokli, nepārtrauktā līnija parāda ķermeņu stāvokli, pagriežot leņķi l/3, un katras figūras centrā ir pilnīga rotācijas centra trajektorija ķermeņa pilnas rotācijas laikā. Un, lai gan šajā piemērā ir aplūkota tikai rotācijas centra O horizontālā kustība kā n-stūra centrs, iegūtie rezultāti parāda plašu iespējamo ķermeņa formu klāstu ar vienu brīvības pakāpi, apvienojot rotācijas kustību. ar svārstībām četru, piecu un sešu savienojumu klātbūtnē.

Iegūto metodi ķermeņu ar vienu brīvības pakāpi rotācijas un svārstību kustību saderības aprēķināšanai var izmantot arī bez papildinājumiem telpiskajiem ķermeņiem, kuriem kustības pa trešo koordinātu un rotācijas citās koordinātu plaknēs ir aizliegtas.

Gogoļins Vjačeslavs Anatoļjevičs

Dr. tech. zinātnes, prof. nodaļa lietišķais matemātiķis un