Pievēršoties svārstību pamata diferenciālvienādojumiem, mēs pamanīsim, ka, reizinot tos ar – = k 2, tie saturēs vārdus, no kuriem dažiem ir ātruma kvadrāta koeficients. Unšķērseniskās vibrācijas, citi - ātruma kvadrāts gareniski vilcināšanās.
Pirmajiem terminiem garenisko vibrāciju gadījumā no vienādojumiem vajadzētu pazust, un mēs iegūstam pirmo grupu:
Tā kā virsma p pēc mūsu izvēles ir viļņa virsma, tad § 7 vienādojumos mums jāsaglabā viena svārstība R un pielīdzināt vibrācijas /?! Un R.2, kas notiek viļņa pieskares plaknē. Rezultātā mēs atrodam, pieņemot, ka // =1:
Tā kā A = 0, tad vienādojumi (1) būs šādā formā:
Reizinot pirmo (2) vienādojumu ar //i // 2, diferencējot attiecībā pret p un pievēršot uzmanību (4) vienādojumam, mēs atrodam:
Kas saskaņā ar (2) vienādojumu B nav atkarīgs ne no р x, ne [–]. Tāpēc nozīmē cauri &F funkcijas daļējs atvasinājums F pēc viena no mainīgajiem ^, R. 2, mēs iegūstam no vienādojuma (7):
Šajā izteiksmē aizstājot daudzumus H 1H 2, atrasts pp. 3, pielīdzinot koeficientus pie dažādām pakāpēm ar nulli, mēs atrodam šādus nosacījumus, kas jāizpilda vilnim F-i
Tas ir zināms ka šādas attiecības notiek tikai tādēļ sfēra, apaļš cilindrs un plakne.
No šejienes mums ir, Kas izotermisko viļņu virsmas var izplatīt garenvirziena vibrācijas.
Tātad, ja kratīšanas virsma vai sākotnējais vilnis nepieder pie izotermisko viļņu virsmām, tad to tuvumā rodas vibrācijas sajaukts , bet ievērojamos attālumos vilnis tuvojas viena izotermiskā viļņa formai, un parādībā tiek konstatētas svārstības gareniski. STOP!!!
Atliek integrēt dotos diferenciālvienādojumus sfērai, ar izmantojot harmoniskas funkcijas!!!
Teslas eksperimenti – harmoniskais oscilators ir nepieņemams!!!
Priekš sfēras jau izmantotajās koordinātēs mums ir:
Turpmākās pārvērtības ir nenozīmīgas un netiek dotas, jo tās noved pie sākotnējais vienādojums , kam nav fiziskas nozīmes solitonam līdzīgiem viļņiem.
Atrastie secinājumi ir vienlīdz attiecināmi uz gaismas parādībām viendabīgos ķermeņos un turklāt aproksimācijas robežās, kas sastopamas Boussinesq teorijā!?
No šejienes:"sāpīgs brīdis" identificēts.
N. Umova matemātikas krājums, 5. sēj., 1870. g.
Vēl viena "briesmīga" nenoteiktība
Līdzīgi spriežot, var viegli iegūt līdzīgu izteiksmi magnētiskajai enerģijai un līdz ar to arī strāvām. Mēs to redzam, pat uzstājot uz visvienkāršākajām formulām, enerģijas lokalizācijas problēmu joprojām nevar atrisināt.
Un mums ir tas pats par enerģijas plūsmu. Strāvas enerģijas kustību iespējams pārveidot patvaļīgā veidā, pievienojot Pointinga vektoram citu vektoru (u, v, w), kuram jāapmierina tikai nesaspiežamu šķidrumu vienādojums.
Tā kā tas ir vispārējo vienādojumu sekas, tas tiem neko nepievieno.
Tāpēc enerģijas lokalizācija ir loģiski bezjēdzīga(un dažreiz arī kaitīgi).
Bet ir aspekts, kurā ir svarīgi ņemt vērā Pointinga teorēmu.
Galvenais fakts, no kura izriet enerģijas nezūdamības likums, bija un paliek eksperimentāli konstatētais neiespējamības fakts mūžīgā kustība , fakts - neatkarīgi no mūsu idejām, un to var attiecināt uz enerģijas daļām, kurām ēteram vajadzētu būt materiālo ķermeņu trūkumam.
Enerģijas nezūdamības likums tā klasiskajā formā W = Konst, izskaidro šo neiespējamību.
Pointinga teorēma, kas prasa spēju pārveidot tilpuma integrālis(nedaudz patvaļīgi) iekšā virsma, izsaka daudz mazāk. Viņa viegli atzīstas mūžīgās kustības radīšanā, nespējot parādīt tās neiespējamību!
Faktiski, līdz mēs ieviesīsim hipotēzi aizkavētie potenciāli, nepārtraukta enerģijas izdalīšanās no saplūstošiem viļņiem, kas nāk no bezgalības, joprojām ir tikpat iespējama kā patiesībā novērotais enerģijas zudums.
Ja dzinējs varētu uz visiem laikiem atņemt tikai ētera enerģiju neatkarīgi no materiālo ķermeņu klātbūtnes, tad tas varētu pastāvēt mūžīgā kustība . Tādējādi kļūst skaidrs, ka pirms mēs pieņemam aizkavētu potenciālu formulu, mums jāpierāda, ka paātrinātā daļiņa zaudē enerģiju un rezultātā tiek pakļauta reakcijai, kas ir proporcionāla tās paātrinājuma atvasinājumam.
Vienkārši mainiet zīmi c lai nonāktu pie konverģējošā viļņa hipotēzes.
Tad mēs atklāsim kāda zīme starojuma vektors arī mainīsies, un jaunā hipotēze novedīs, teiksim, vibrējošu daļiņu gadījumā pie pakāpeniskas amplitūdas pieauguma laika gaitā un kopumā – palielināt sistēmas enerģiju?!
Dabā solitoni ir:
– uz šķidruma virsmas pirmie dabā atklātie solitoni dažkārt tiek uzskatīti par cunami viļņiem
– dažāda veida ūdens āmurs
- skaņas bungas - "virsskaņas" pārvarēšana
– jonozoniskie un magnetozoniskie solitoni plazmā
– solitoni īsu gaismas impulsu veidā lāzera aktīvajā vidē
- domājams, solitona piemērs ir milzu sešstūris uz Saturna
– nervu impulsus var uzskatīt solitonu formā.
Matemātiskais modelis, Korteweg-de Vries vienādojums.
Viens no vienkāršākajiem un pazīstamākajiem modeļiem, kas pieļauj solitonu esamību risinājumā, ir Korteweg-de Vries vienādojums:
u t + uu x + β u xxx = 0.
Viens no iespējamiem šī vienādojuma risinājumiem ir vientuļš solitons:
bet arī šeit oscilators ir harmoniskā funkcija, kur r, s,α, U- daži ir pastāvīgi.Nenoteiktības teorēmas harmoniku analīzē
Harmoniskais oscilators kvantu mehānikā – apraksta vienādojums Šrēdingers,
(217.5)Vienādojums (217.5) sauc par Šrēdingera vienādojumu stacionāriem stāvokļiem.
Kvantu oscilatora stacionāros stāvokļus nosaka vienādojums Šrēdingers laipns
(222.2)
Kur E – oscilatora kopējā enerģija.
Diferenciālvienādojumu teorijā ir pierādīts, ka vienādojums (222.2) atrisināts tikai attiecībā uz enerģijas īpatnējām vērtībām
(222.3)Formula (222.3) parāda, ka kvantu oscilatora enerģija kvantēts.
Enerģija ir ierobežota no apakšas, lai tā atšķirtos no nulles, tāpat kā taisnstūrim "bedres" ar bezgalīgi augstām “sienām” (sk. 220.§), minimālā enerģētiskā vērtība
E 0 = 1/2 ℏ w 0 . Minimālās enerģijas esamību sauc nulles punkta enerģija– ir raksturīgs kvantu sistēmām un ir tiešas sekas nenoteiktības attiecības.
IN harmoniku analīze Nenoteiktības princips nozīmē, ka nav iespējams precīzi iegūt funkcijas un tās Furjē kartes vērtības - un tāpēc veiciet precīzu aprēķinu.
Tas ir, modelēšana, ģenerēšana un analoģija saskaņā ar procesu un formu līdzības principiem dabā, izmantojot harmoniskais oscilators – nav iespējams.
Dažādi veidi matemātiskāsolitoni vēl ir maz zināms, un tie visi nav piemēroti objektu aprakstīšanai trīsdimensiju telpa, īpaši tajā notiekošie procesi Daba.
Piemēram, parastie solitoni, kas parādās Korteweg-de Vries vienādojumā, ir lokalizēti tikai vienā dimensijā, ja "skriet" trīsdimensiju pasaulē, tad tā izskatīsies bezgalīga plakana membrāna, kas lido uz priekšu, maigi sakot, gobbledygook!!!
Dabā šādas bezgalīgas membrānas netiek novērotas, kas nozīmē sākotnējais vienādojums nav piemērots trīsdimensiju objektu aprakstīšanai.
Šeit slēpjas harmonisko funkciju ieviešanas kļūda – oscilatori, savienojumi jauktu svārstību gadījumā.Saistītais līdzības likums, , bet tas ir cits stāsts, kas novedīs pie soliton teorija no sistemātiski nenoteiktība, .
Sistēmu ar sadalītiem parametriem brīvas svārstības
Sistēmu ar bezgalīgu skaitu brīvības pakāpju brīvo svārstību procesa galvenā iezīme ir izteikta dabisko frekvenču un režīmu formu skaita bezgalībā. Tas ir saistīts arī ar matemātiskām pazīmēm: parasto diferenciālvienādojumu vietā, kas apraksta sistēmu svārstības ar ierobežotu brīvības pakāpju skaitu, šeit ir jārisina daļējie diferenciālvienādojumi. Papildus sākotnējiem nosacījumiem, kas nosaka sākotnējos pārvietojumus un ātrumus, ir jāņem vērā arī robežnosacījumi, kas raksturo sistēmas fiksāciju.
6.1. Stieņu garenvirziena vibrācijas
Analizējot taisna stieņa garenvirziena vibrācijas (67. att., a), pieņemsim, ka šķērsgriezumi paliek plakani un stieņa daļiņas neveic šķērseniskas kustības, bet pārvietojas tikai garenvirzienā.
Ļaujiet u - stieņa pašreizējās sekcijas gareniskā kustība vibrāciju laikā; šī kustība ir atkarīga no posma atrašanās vietas (koordinātas x) un laika t. Tātad ir divu mainīgo funkcija; tā definīcija ir galvenais uzdevums. Bezgalīgi tuva posma nobīde ir vienāda ar , tāpēc bezgala maza elementa absolūtais pagarinājums ir vienāds (67. att., b), un tā relatīvais pagarinājums ir .
Attiecīgi gareniskais spēks griezumā ar koordinātu X var rakstīt kā
,(173)
kur ir stieņa stingrība stiepē (saspiešanā). Spēks N ir arī divu argumentu - koordinātu - funkcija X un laiks t.
Apskatīsim stieņa elementu, kas atrodas starp divām bezgalīgi tuvu sekcijām (67. att., c). Elementa kreisajai pusei tiek pielikts spēks N, bet labajā pusē. Ja apzīmējam stieņa materiāla blīvumu, tad attiecīgā elementa masa ir . Tāpēc kustības vienādojums projekcijā uz asi X
,
Apsverot(173)un pieņemot A= const, mēs saņemam
Pēc Furjē metodes mēs meklējam konkrētu risinājumu diferenciālvienādojumam (175) formā
,(177)
tie. pieņemsim, ka kustība u var attēlot kā divu funkciju reizinājumu, no kurām viena ir atkarīga tikai no argumenta X, un otrs tikai no argumenta t. Tad tā vietā, lai definētu divu mainīgo u (x, t) funkciju, ir jādefinē divas funkcijas X(x) un T(t), no kurām katra ir atkarīga tikai no viena mainīgā.
Aizstājot (177) ar (174), mēs iegūstam
kur pirmskaitļi norāda diferenciācijas darbību attiecībā uz x, un ar punktiem t. Pārrakstīsim šo vienādojumu šādi:
Šeit kreisā puse ir atkarīga tikai no x, bet labā puse tikai no t. Lai šī vienlīdzība būtu identiska (jebkurai x un t) ir nepieciešams, lai katra tā daļa būtu vienāda ar konstanti, ko mēs apzīmējam ar:
; .(178)
Tas noved pie diviem vienādojumiem:
;
.(179)
Pirmajam vienādojumam ir risinājums:
,(180)
kas norāda uz svārstību raksturu, un no (180) ir skaidrs, ka nezināmajam daudzumam ir brīvo svārstību frekvences nozīme.
Otrajam vienādojumam (179) ir risinājums:
,(181)
vibrāciju formas noteikšana.
Frekvences vienādojums, kas nosaka vērtību, tiek apkopots, izmantojot robežnosacījumus. Šis vienādojums vienmēr ir pārpasaulīgs, un tam ir bezgalīgs sakņu skaits. Tādējādi dabisko frekvenču skaits ir bezgalīgs, un katra frekvences vērtība atbilst savai funkcijai T n (t), ko nosaka atkarība (180), un savai funkcijai Xn (x), ko nosaka atkarība (181). Risinājums (177) ir tikai daļējs un nesniedz pilnīgu kustības aprakstu. Pilnīgo risinājumu iegūst, pārklājot visus daļējos risinājumus:
.
Tiek izsauktas funkcijas X n (x). savas funkcijas problēmas un apraksta savus vibrācijas veidus. Tie nav atkarīgi no sākotnējiem nosacījumiem un atbilst ortogonalitātes nosacījumam, kuram A = const ir forma
, Ja.
Apsvērsim dažas robežnosacījumu iespējas.
Fiksēts stieņa gals(68. att., a). Beigu daļā pārvietojumam u jābūt nullei; no tā izriet, ka šajā sadaļā
X=0(182)
Brīvais stieņa gals(68. att., b). Beigu posmā gareniskais spēks
(183)
jābūt identiski vienādam ar nulli, kas ir iespējams, ja beigās sadaļā X"=0.
Elastīgs stieņa gals(68. att., c).
Pārvietojoties u gala stieņa, notiek elastīga atbalsta reakcija 
, kur C o ir atbalsta stingrība. Ņemot vērā (183) gareniskajam spēkam, iegūstam robežnosacījumu
ja balsts atrodas stieņa kreisajā galā (68. att., c), un
ja balsts atrodas stieņa labajā galā (68. att., d).
Koncentrēta masa stieņa galā.
Inerces spēks, ko attīsta masa:
.
Tā kā saskaņā ar pirmo vienādojumu (179) , inerces spēku var ierakstīt formā . Mēs iegūstam robežnosacījumu
,
ja masa atrodas kreisajā galā (68. att., d), un
, (184)
ja masa ir savienota ar labo galu (68. att., e).
Noteiksim konsoles stieņa naturālās frekvences (68.att.,a").
Saskaņā ar (182) un (183) robežnosacījumiem
X = 0 pie x = 0;
X"=0 plkst x= .
Šos nosacījumus pa vienam aizstājot risinājumā (181), iegūstam
Nosacījums C0 noved pie frekvences vienādojuma:
Šī vienādojuma saknes
(n=1,2,…)
noteikt dabiskās frekvences:
(n=1,2,…).(185)
Pirmā (zemākā) frekvence pie n=1:
.
Otrā frekvence (pie n=2):
Noteiksim stieņa ar masu beigās naturālās frekvences (68. att., f).
Saskaņā ar (182) un (184) mums ir
X=0 pie x=0;
pie x= .
Aizvietojot šos nosacījumus risinājumā (181), mēs iegūstam:
D=0; 
.
Līdz ar to frekvences vienādojumam, ņemot vērā (176), ir forma
.
Šeit labā puse attēlo stieņa masas attiecību pret gala slodzes masu.
Lai atrisinātu iegūto transcendentālo vienādojumu, ir jāizmanto kāda aptuvena metode.
Pie un vissvarīgākās zemākās saknes vērtības būs attiecīgi 0,32 un 0,65.
Pie nelielas attiecības slodzei ir izšķiroša ietekme, un aptuvens risinājums dod labus rezultātus
.
Mainīga šķērsgriezuma stieņiem, t.i. Аconst no (173) un (174) kustības vienādojumu iegūst formā
.
Šo diferenciālvienādojumu nevar atrisināt slēgtā formā. Tāpēc šādos gadījumos ir jāizmanto aptuvenas dabiskās frekvences noteikšanas metodes.
6.2. Vārpstu griezes vibrācijas
Vārpstu vērpes vibrācijas ar nepārtraukti sadalītu masu (69. att., a) apraksta ar vienādojumiem, kas pēc struktūras pilnībā sakrīt ar iepriekš minētajiem stieņu garenvirzienu vienādojumiem.
Griezes moments M sekcijā ar abscisu X ir saistīts ar griešanās leņķi ar diferenciālo atkarību, kas līdzīga (173):
Kur Jp-šķērsgriezuma polārais inerces moments.
Sadaļā, kas atrodas attālumā dx, griezes moments ir vienāds ar (69. att., b):
Apzīmējot caur (kur ir vārpstas materiāla blīvums) vārpstas masas inerces momenta intensitāti attiecībā pret tās asi (t.i., inerces momentu uz garuma vienību), vārpstas elementāras sekcijas kustības vienādojumu. var rakstīt šādi:
,
vai līdzīgi (174):
.
Aizvietojot izteiksmi (186) šeit, ar Jp=const mēs iegūstam, līdzīgi kā (175):
, (187)
(187) vienādojuma vispārīgajam risinājumam, tāpat kā (175) vienādojumam, ir forma
,
(188)
Dabiskās frekvences un īpašfunkcijas nosaka konkrēti robežnosacījumi.
Galvenajos galu nostiprināšanas gadījumos, līdzīgi kā garenvirzienu gadījumā, iegūstam
a) fiksētais gals (=0): X=0;
b) brīvais gals (M=0): X"=0;
V) izturīgs kreisais gals: CoХ=GJpX "(Ko-stinguma koeficients);
G) izturīgs labais gals: -CoX=GJpX ";
e) disks kreisajā galā: 
(Jo ir diska inerces moments attiecībā pret stieņa asi);
e) disks labajā galā: 
.
Ja vārpsta ir fiksēta kreisajā galā (x=0) un labais gals (x=) ir brīvs, tad X=0 pie x=0 un X"=0 pie x=; dabiskās frekvences nosaka līdzīgi kā ( 185):
(n=1,2,…).
Ja kreisais gals ir fiksēts un labajā galā ir disks, mēs iegūstam transcendentālo vienādojumu:
.
Ja abi vārpstas gali ir fiksēti, tad robežnosacījumi būs X=0 priekš x=0 un x=. Šajā gadījumā no (188) mēs iegūstam
tie.
(n=1,2,…),
no šejienes mēs atrodam dabiskās frekvences:
Ja vārpstas kreisais gals ir brīvs un labajā galā ir disks, tad X"=0 x=0;Jo X=GJpX "x=.
Izmantojot (188), mēs atrodam
C=0; 
,
vai transcendentālās frekvences vienādojums:
.
6.3.Siju lieces vibrācijas
6.3.1. Pamatvienādojums
No materiālu stiprības kursa ir zināmas lieces siju diferenciālās atkarības:
kur EJ ir lieces stingrība; y=y (x, t) - novirze; M=M(x, t) - lieces moments; q ir sadalītās slodzes intensitāte.
Apvienojot (189) un (190), mēs iegūstam
.(191)
Brīvo vibrāciju problēmā elastīgā skeleta slodze ir sadalītie inerces spēki:
kur m ir staru kūļa masas intensitāte (masa uz garuma vienību), un vienādojums (191) iegūst formu
.
Konstanta šķērsgriezuma īpašā gadījumā, kad EJ = const, m = const, mums ir:
.(192)
Lai atrisinātu vienādojumu (192), mēs pieņemam, kā minēts iepriekš,
y= X ( x)× T ( t ).(193)
Aizstājot (193) ar (192), mēs nonākam pie vienādojuma:
.
Lai šī vienlīdzība izpildītos identiski, ir nepieciešams, lai katra no vienādības daļām būtu nemainīga. Apzīmējot šo konstanti ar , mēs iegūstam divus vienādojumus:
.(195)
Pirmais vienādojums norāda, ka kustība ir svārstīga ar frekvenci.
Otrais vienādojums nosaka vibrāciju formu. (195) vienādojuma risinājums satur četras konstantes, un tam ir forma
Ir ērti izmantot A.N. Krilova piedāvāto vispārīgā risinājuma rakstīšanas variantu:
(198)
pārstāv A.N.Krilova funkcijas.
Pievērsīsim uzmanību tam, ka S=1, T=U=V=0 pie x=0. Funkcijas S,T,U,V ir savstarpēji savienotas šādi:
Tāpēc atvasinātās izteiksmes (197) tiek rakstītas formā
(200)
Aplūkojamās klases uzdevumos naturālo frekvenču skaits ir bezgala liels; katrai no tām ir sava laika funkcija T n un sava pamatfunkcija X n . Vispārējo risinājumu iegūst, uzliekot formas (193) daļējus risinājumus.
.(201)
Lai noteiktu dabiskās frekvences un formulas, ir jāņem vērā robežnosacījumi.
6.3.2. Pierobežas apstākļi
Katram joslas galam varat norādīt divus robežnosacījumus .
Brīvais stieņa gals(70. att., a). Šķērsspēks Q=EJX""T un lieces moments M=EJX""T ir vienāds ar nulli. Tāpēc robežnosacījumiem ir forma
X""=0; X"""=0 .(202)
Eņģes atbalstīts stieņa gals(70. att., b). Izliece y=XT un lieces moments M=EJX""T ir vienādi ar nulli. Tāpēc robežnosacījumi ir šādi:
X=0; X""=0 .(203)
Saspiests gals(70. att., c). Izliece y=XT un griešanās leņķis ir vienādi ar nulli. Robežnosacījumi:
X=0; X"=0. (204)
Stieņa galā ir punktveida masa(70. att., d). Viņa inerces spēks 
var uzrakstīt, izmantojot vienādojumu (194) šādi: ; tam ir jābūt vienādam ar bīdes spēku Q=EJX"""T, tāpēc robežnosacījumi iegūst formu
; X""=0 .(205)
Pirmajā stāvoklī plusa zīme tiek ņemta, kad punkta slodze ir savienota ar stieņa kreiso galu, un mīnusa zīme, kad tā ir savienota ar stieņa labo galu. Otrais nosacījums izriet no lieces momenta neesamības.
Elastīgi atbalstīts stieņa gals(70. att., d). Šeit lieces moments ir nulle, un šķērsspēks Q=EJX"""T ir vienāds ar atbalsta reakciju 
(C o - atbalsta stingrības koeficients).
Robežnosacījumi:
X""=0 ; (206)
(mīnusa zīme tiek ņemta, ja elastīgais balsts ir pa kreisi, un plus zīme, ja tas ir pa labi).
6.3.3. Frekvences vienādojums un īpašformas
Paplašināta robežnosacījumu reģistrēšana rada viendabīgus vienādojumus attiecībā uz konstantēm C 1, C 2, C 3, C 4.
Lai šīs konstantes nebūtu vienādas ar nulli, determinantam, ko veido sistēmas koeficienti, jābūt vienādam ar nulli; tas noved pie frekvences vienādojuma. Šo darbību laikā tiek noskaidrotas attiecības starp C 1, C 2, C 3, C 4, t.i. tiek noteikti dabiskās vibrācijas režīmi (līdz nemainīgam koeficientam).
Izsekosim frekvenču vienādojumu sastāvu, izmantojot piemērus.
Sijai ar šarnīru galiem saskaņā ar (203) mums ir šādi robežnosacījumi: X=0; X""=0, ja x=0 un x= . Izmantojot (197)-(200), iegūstam no pirmajiem diviem nosacījumiem: C 1 =C 3 =0. Divus atlikušos nosacījumus var uzrakstīt kā
Lai C 2 un C 4 nebūtu vienādi ar nulli, determinantam jābūt vienādam ar nulli:
.
Tādējādi frekvences vienādojumam ir forma
.
Aizvietojot izteiksmes T un U, mēs iegūstam
Tā kā galīgais frekvences vienādojums ir uzrakstīts šādi:
. (207)
Šī vienādojuma saknes ir:
,(n = 1,2,3,...).
Ņemot vērā (196), mēs iegūstam
.(208)
Pāriesim pie savu formu definēšanas. No iepriekš uzrakstītajiem viendabīgajiem vienādojumiem izriet šāda sakarība starp konstantēm C 2 un C 4:
.
Līdz ar to (197) iegūst formu
Saskaņā ar (207) mums ir
,(209)
kur ir jauna konstante, kuras vērtība paliek neskaidra, līdz tiek ņemti vērā sākotnējie nosacījumi.
6.3.4. Kustības noteikšana, pamatojoties uz sākotnējiem nosacījumiem
Ja nepieciešams noteikt kustību pēc sākotnējā traucējuma, tad visiem stara punktiem jānorāda gan sākotnējās nobīdes, gan sākuma ātrumi:
(210)
un izmantojiet īpašformu ortogonalitātes īpašību:
.
Mēs rakstām vispārīgo risinājumu (201) šādi:
.(211)
Ātrumu dod
.(212)
Aizvietojot sākotnējos pārvietojumus un ātrumus, par kuriem pieņemts zināms, vienādojumu (211) un (212) labajā pusē un kreisajā pusē, mēs iegūstam
.
Reizinot šīs izteiksmes ar un integrējot visā garumā, mēs iegūstam
(213)
Bezgalīgas summas labajā pusē ir pazudušas ortogonalitātes īpašības dēļ. No (213) izpildiet formulas konstantēm un
(214)
Tagad šie rezultāti ir jāaizstāj ar šķīdumu (211).
Vēlreiz uzsvērsim, ka īpašformu skalas izvēlei nav nozīmes. Ja, piemēram, īpašformas (209) izteiksmē ņemam tā vietā vērtību, kas ir reizes lielāka, tad (214) dos rezultātus, kas ir reizes mazāki; pēc aizstāšanas ar šķīdumu (211) šīs atšķirības kompensē viena otru. Tomēr viņi bieži izmanto normalizētas īpašfunkcijas, izvēloties to mērogu, lai izteiksmju (214) saucēji būtu vienādi ar vienu, kas vienkāršo izteiksmes un .
6.3.5. Pastāvīga gareniskā spēka ietekme
Aplūkosim gadījumu, kad svārstīgs stars iedarbojas uz garenvirziena spēku N, kura lielums svārstību procesā nemainās. Šajā gadījumā statiskās lieces vienādojums kļūst sarežģītāks un iegūst formu (ar nosacījumu, ka spiedes spēks tiek uzskatīts par pozitīvu)
.
Pieņemot un ņemot vērā stinguma konstanti, iegūstam brīvo vibrāciju vienādojumu
.(215)
Mēs turpinām pieņemt konkrētu risinājumu formā.
Tad vienādojums (215) sadalās divos vienādojumos:
Pirmais vienādojums izsaka risinājuma svārstīgo raksturu, otrais nosaka svārstību formu, kā arī ļauj atrast frekvences. Pārrakstīsim to šādi:
(216)
Kur K nosaka pēc formulas (196), un
(216) vienādojuma risinājumam ir forma
Apskatīsim gadījumu, kad abiem stieņa galiem ir eņģes balsti. Nosacījumi kreisajā galā 
dot . Izpildot tos pašus nosacījumus labajā pusē, mēs iegūstam
Pielīdzinot nullei determinantu, kas sastāv no koeficientiem daudzumiem un , mēs nonākam pie vienādojuma
Šī frekvences vienādojuma saknes ir:
Tāpēc dabiskā frekvence tiek noteikta no vienādojuma
.
No šejienes, ņemot vērā (217), mēs atrodam
.(219)
Izstiepjot, frekvence palielinās, saspiežot samazinās. Kad spiedes spēks N tuvojas kritiskajai vērtībai, saknei ir tendence uz nulli.
6.3.6. Ķēdes spēku ietekme
Iepriekš gareniskais spēks tika uzskatīts par noteiktu un neatkarīgu no sistēmas pārvietojumiem. Dažās praktiskās problēmās gareniskais spēks, kas pavada šķērsenisko vibrāciju procesu, rodas sijas lieces dēļ, un tam ir atbalsta reakcijas raksturs. Apsveriet, piemēram, siju uz diviem šarnīru un fiksētiem balstiem. Kad tas liecas, notiek balstu horizontālas reakcijas, izraisot staru stiepšanu; parasti sauc atbilstošo horizontālo spēku ķēdes spēks. Ja sija svārstās šķērsvirzienā, ķēdes spēks laika gaitā mainīsies.
Ja momentā t sijas novirzes nosaka funkcija, tad ass pagarinājumu var atrast, izmantojot formulu
.
Mēs atrodam atbilstošo ķēdes spēku, izmantojot Huka likumu
.
Aizstāsim šo rezultātu ar (215) gareniskā spēka N vietā (ņemot vērā zīmi)
.(220)
Iegūtais nelineārs integrodiferenciāls vienādojums ir vienkāršots, izmantojot aizstāšanu
,(221)
kur ir bezdimensiju laika funkcija, kuras maksimālo vērtību var iestatīt vienādu ar jebkuru skaitli, piemēram, vienību; svārstību amplitūda.
Aizstājot (221) ar (220), iegūstam parasto diferenciālvienādojumu
,(222)
kuru koeficientiem ir šādas vērtības:
;.
Diferenciālvienādojums (222) ir nelineārs, tāpēc brīvo svārstību biežums ir atkarīgs no to amplitūdas.
Precīzam šķērsenisko vibrāciju frekvences risinājumam ir forma
kur ir šķērsenisko vibrāciju frekvence, kas aprēķināta, neņemot vērā ķēdes spēkus; korekcijas koeficients atkarībā no svārstību amplitūdas attiecības pret šķērsgriezuma griešanās rādiusu; vērtība ir norādīta atsauces literatūrā.
Ja šķērsgriezuma griešanās amplitūda un rādiuss ir samērīgi, frekvences korekcija kļūst nozīmīga. Ja, piemēram, apaļā stieņa vibrācijas amplitūda ir vienāda ar tā diametru, tad , un frekvence ir gandrīz divas reizes lielāka nekā balstu brīvas nobīdes gadījumā.
Gadījums atbilst nulles inerces rādiusa vērtībai, kad sijas lieces stingrība ir izzūdoši maza - virkne. Tajā pašā laikā formula rada nenoteiktību. Atklājot šo nenoteiktību, iegūstam stīgas vibrācijas frekvences formulu
.
Šī formula attiecas uz gadījumu, kad līdzsvara stāvoklī spriegums ir nulle. Bieži vien stīgu svārstību problēma tiek izvirzīta, pamatojoties uz citiem pieņēmumiem: tiek uzskatīts, ka pārvietojumi ir mazi, un stiepes spēks ir dots un paliek nemainīgs svārstību procesa laikā.
Šajā gadījumā biežuma formulai ir forma
kur N ir nemainīgs stiepes spēks.
6.4. Viskozās berzes ietekme
Iepriekš tika pieņemts, ka stieņu materiāls ir ideāli elastīgs un nebija berzes. Apskatīsim iekšējās berzes ietekmi, pieņemot, ka tā ir viskoza; tad sakarību starp spriegumu un deformāciju apraksta ar attiecībām
;
.(223)
Ļaujiet stienim ar sadalītiem parametriem veikt brīvas gareniskās vibrācijas. Šajā gadījumā gareniskais spēks tiks ierakstīts formā
No stieņa elementa kustības vienādojuma tika iegūta sakarība (174).
Šeit aizstājot (224), mēs nonākam pie galvenā diferenciālvienādojuma
,(225)
kas atšķiras no (175) ar otro terminu, kas izsaka viskozās berzes spēku ietekmi.
Pēc Furjē metodes mēs meklējam vienādojuma (225) risinājumu formā
,(226)
kur funkcija ir tikai koordinātas x un funkcija ir tikai laiks t.
Šajā gadījumā katram sērijas dalībniekam ir jāizpilda uzdevuma robežnosacījumi, un arī visai summai ir jāatbilst sākuma nosacījumiem. Aizstājot (226) ar (225) un pieprasot, lai jebkura skaitļa vienādība būtu izpildīta r, saņemam
,(227)
kur pirmskaitļi norāda diferenciāciju attiecībā pret koordinātu x, un punkti ir diferenciācija attiecībā pret laiku t.
Dalot (227) ar preci 
, mēs nonākam pie vienlīdzības
,(228)
kreisā puse, kas var būt atkarīga tikai no koordinātas x, un pareizais - tikai no laika t. Lai vienādība (228) izpildītos identiski, ir nepieciešams, lai abas daļas būtu vienādas ar vienu un to pašu konstanti, ko apzīmējam ar .
No tā izpildiet vienādojumus
(229)
.(230)
Vienādojums (229) nav atkarīgs no viskozitātes koeficienta K un, jo īpaši, paliek nemainīgs perfekti elastīgas sistēmas gadījumā, kad . Tāpēc skaitļi pilnībā sakrīt ar iepriekš atrastajiem; tomēr, kā tiks parādīts zemāk, vērtība sniedz tikai aptuvenu dabiskās frekvences vērtību. Ņemiet vērā, ka īpatnējās formas ir pilnīgi neatkarīgas no stieņa viskozajām īpašībām, t.i. brīvo slāpēto svārstību formas sakrīt ar brīvo neslāpēto svārstību formām.
Tagad pāriesim pie vienādojuma (230), kas apraksta slāpēto svārstību procesu; tā risinājumam ir forma
.(233)
Izteiksme (232) nosaka samazināšanās ātrumu un (233) nosaka svārstību frekvenci.
Tādējādi pilnīgs problēmas vienādojuma risinājums
.(234)
Pastāvīgs un vienmēr var atrast, pamatojoties uz dotajiem sākotnējiem nosacījumiem. Visu stieņa sekciju sākotnējos pārvietojumus un sākotnējos ātrumus norāda šādi:
;
,(235)
kur un ir zināmas funkcijas.
Tad , saskaņā ar (211) un (212), mums ir
reizinot abas šo vienādību puses ar un integrējot visā stieņa garumā, iegūstam
(236)
Atbilstoši īpašformu ortogonalitātes nosacījumam visi pārējie termini, kas iekļauti šo vienādību labajā pusē, kļūst par nulli. Tagad no vienādībām (236) ir viegli atrast jebkuram skaitlim r.
Ņemot vērā (232) un (234), mēs atzīmējam, ka jo lielāks ir vibrācijas režīma skaitlis, jo ātrāka ir tā slāpēšana. Turklāt (234) ietvertie termini apraksta slāpētās svārstības, ja ir reāls skaitlis. No (233) ir skaidrs, ka tas notiek tikai dažām r sākotnējām vērtībām, kamēr vien nevienlīdzība ir izpildīta
Pietiekami lielām vērtībām r tiek pārkāpta nevienlīdzība (237), un kvantitāte kļūst iedomāta. Šajā gadījumā atbilstošie vispārīgā risinājuma (234) termini vairs neaprakstīs slāpētās svārstības, bet attēlos aperiodisku slāpētu kustību. Citiem vārdiem sakot, vibrācijas vārda parastajā nozīmē izsaka tikai noteikta galīga summas daļa (234).
Visi šie kvalitatīvie secinājumi attiecas ne tikai uz garenvirziena vibrāciju, bet arī uz vērpes un lieces vibrāciju gadījumiem.
6.5. Mainīga šķērsgriezuma stieņu vibrācijas
Gadījumos, kad stieņa sadalītā masa un šķērsgriezums ir mainīgs visā tā garumā, garenvirziena vienādojuma (175) vietā ir jāvadās no vienādojuma
.(238)
Vērpes vibrācijas vienādojums (187) jāaizstāj ar vienādojumu
,(239)
un šķērsenisko vibrāciju vienādojums (192) ir vienādojums
.(240)
Vienādojumus (238)-(240) ar līdzīgu aizvietojumu palīdzību var reducēt līdz funkcijas parastajiem diferenciālvienādojumiem
MEHĀNIKAS
UDK 531.01/534.112
STIEŅU PAKTA GARNITĒRĀS VIBRĀCIJAS
A.M. Pavlovs, A.N. Temnovs
MSTU im. N.E. Bauman, Maskava, Krievijas Federācija e-pasts: [aizsargāts ar e-pastu]; [aizsargāts ar e-pastu]
Šķidrās degvielas raķešu dinamikas jautājumos svarīga loma ir raķešu kustības stabilitātes problēmai, kad notiek gareniskās elastīgās svārstības. Šādu svārstību parādīšanās var izraisīt pašsvārstību izveidošanos, kas, ja raķete ir nestabila garenvirzienā, var izraisīt tās strauju iznīcināšanu. Formulēta paketes raķetes garenvirziena svārstību problēma, par aprēķina modeli izmantota stieņu pakete. Ir pieņemts, ka šķidrums raķešu tvertnēs ir “sasaldēts”, t.i. paša šķidruma kustības netiek ņemtas vērā. Tiek formulēts kopējās enerģijas bilances likums apskatāmajai problēmai un dots tā operatora formulējums. Dots skaitlisks piemērs, kuram nosaka frekvences, konstruē un analizē dabisko svārstību formas.
Atslēgas vārdi: garenvirziena vibrācijas, vibrāciju biežums un forma, stieņu pakete, kopējā enerģijas bilances likums, pašsavienojuma operators, vibrāciju spektrs, POGO.
STIEŅU SISTĒMA GARNITUDINĀLĀS VIBRĀCIJAS A.M. Pavlovs, AL. Temnovs
Bauman Maskavas Valsts tehniskā universitāte, Maskava, Krievijas Federācija e-pasts: [aizsargāts ar e-pastu]; [aizsargāts ar e-pastu]
Šķidrās degvielas raķešu dinamikas jautājumos svarīga loma ir šīs raķetes kustības stabilitātes problēmai ar garenvirziena elastīgo vibrāciju parādīšanos. Šāda veida vibrācijas var izraisīt pašvibrācijas, kas var izraisīt ātru raķetes iznīcināšanu raķetes nestabilitātes gadījumā garenvirzienā. Šķidrās degvielas raķetes garenvirzienu problēma, pamatojoties uz pakešu shēmu, ir formulēta, izmantojot iepakojuma stieņus kā skaitļošanas modeli. Tiek pieņemts, ka šķidrums raķešu tvertnēs ir "sasalis", t.i. pareizas šķidruma kustības nav iekļautas. Šai problēmai tika formulēts enerģijas taupīšanas princips un dots tā operatora inscenējums. Ir skaitlisks piemērs, kuram noteiktas frekvences, uzbūvētas un analizētas Eigen vibrācijas formas.
Atslēgas vārdi: garenvirziena vibrācijas, īpatnējie režīmi un frekvences, stieņu modelis, enerģijas saglabāšanas princips, pašsavienojuma operators, vibrāciju spektrs, POGO.
Ievads. Pašlaik Krievijā un ārzemēs kravas palaišanai vajadzīgajā orbītā bieži tiek izmantotas nesējraķetes ar iepakojuma izkārtojumu ar identiskiem sānu blokiem, kas vienmērīgi sadalīti ap centrālo bloku.
Iepakojuma konstrukciju vibrāciju pētījumi sastopas ar zināmām grūtībām, kas saistītas ar sānu un centrālo bloku dinamisko efektu. Nesējraķetes izkārtojuma simetrijas gadījumā pakas konstrukcijas bloku komplekso, telpisko mijiedarbību var iedalīt ierobežotā skaitā vibrāciju veidu, no kuriem viens ir centrālā un sānu bloku garenvirziena vibrācijas. Darbā detalizēti apskatīts šādas konstrukcijas garenvirziena vibrāciju matemātiskais modelis plānsienu stieņu iepakojuma veidā. Rīsi. 1. Centrālā shēma - Šajā rakstā ir sniegti garengriezuma teorētiskie stieņa un skaitļošanas rezultāti.
stieņu iepakojuma vibrācijas, papildinot A.A. Žēl.
Problēmas formulēšana. Apskatīsim citas garenvirziena vibrācijas stieņu paketei, kas sastāv no centrālā stieņa ar garumu l0 un N sānu stieņiem vienāda garuma j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, piestiprināts punktā A (xA = l) (1. att.) ar centrālajiem atsperes elementiem ar stingrību k.
Ieviesīsim fiksētu atskaites rāmi OX un pieņemsim, ka stieņu stingrība EFj (x), sadalītā masa mj (x) un traucējums q (x,t) ir koordinātes x ierobežotās funkcijas:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Ļaujiet, lai garenvirzienu laikā rodas pārvietojumi Uj (x, t) stieņu sekcijās ar koordinātu x, ko nosaka vienādojumi mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x, t), j = 0,1, 2,..., N, (2) robežnosacījumi normālu spēku neesamībai stieņu galos 3 = 0, x = 0, ^ = 1, 2, 0, x = 0, x = l0; stieņos radušos normālo spēku vienlīdzības nosacījumi, EF-3 = F x = l atsperu elementu elastības spēki FпPJ = к (ш (ха) - у (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; nobīdes vienādības nosacījums centrālā stieņa xa punktā Shch (ha-o) = Shch (xa+o) un sākotnējie nosacījumi Shch y (x, 0) - Shch (x); ,_ u(x, 0) = u(x), kur u(x, 0) = "d^1(x, 0). Kopējās enerģijas bilances likums. Reizināsim vienādojumu (2) ar u(x,ξ), integrēsim katra stieņa garumā un saskaitīsim rezultātus, izmantojot robežnosacījumus (3) un saskaņošanas nosacījumu (4). Rezultātā mēs iegūstam (( 1 ^ [ (diL 2 TZ (x) "BT" (x+ dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ i. 1 ^ Г „„ , f dп3\ , 1 ^ Гj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Уо И (x - -) (nē - Uj) 2 dx = / ^ (x, £) tie y (x, £) (x, (6) kur 8 (x - ¡y) ir Diraka delta funkcija. (6) vienādojumā pirmais vārds cirtainajās iekavās apzīmē sistēmas kinētisko enerģiju T (¿), otrais ir potenciālā enerģija Pr (£), ko izraisa stieņu deformācija, un trešais ir potenciālā enerģija. Pk (£) atsperu elementiem, kurus elastīgo deformāciju klātbūtnē var ierakstīt formā Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu. (6) vienādojums parāda, ka aplūkojamās mehāniskās sistēmas kopējās enerģijas izmaiņas laika vienībā ir vienādas ar jaudu ārējā ietekme. Ja nav ārēju traucējumu q (x,t), mēs iegūstam kopējās enerģijas nezūdamības likumu: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Kinematogrāfija. Enerģijas bilances likums parāda, ka jebkurā laikā t funkcijas Uj (x, t) var uzskatīt par Hilberta telpas L2j(; m3 (x)) elementiem, kas definēti uz garuma ¡i ar skalāro reizinājumu. (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 un atbilstošā norma. Ieviesīsim Hilberta telpu H, kas vienāda ar ortogonālo summu L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, vektora funkciju U = (uo, Ui,..., uN)т un operatoru A, kas darbojas telpa H atbilstoši sakarībai AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun). mj(x)dx\jdx" operatori, kas definēti funkciju komplekts B (A33) С Н, kas atbilst (3) un (4) nosacījumiem. Sākotnējais uzdevums (1)-(5) kopā ar sākotnējiem nosacījumiem tiks ierakstīts formā Au = f (*), u (0) = u0, 17 (0) = u1, (7) kur f (*) = (līdz (*),51 (*),..., Jams (¿))t. Lemma. 1. Ja ir izpildīti pirmie divi nosacījumi (1), tad operators A evolūcijas uzdevumā (7) ir neierobežots, pašsavienots, pozitīvs noteikts operators telpā H. (Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i. 2. Operators A ģenerē enerģijas telpu NA ar normu, kas vienāda ar divkāršu stieņu paketes svārstību potenciālo enerģiju 3\^I h)2 = 2П > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?" o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx + S/EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H No iepriekšminētajiem rezultātiem izriet, ka operatora A enerģijas norma tiek izteikta ar formulu (8). Evolūcijas problēmas atrisināmība. Formulēsim šādu teorēmu. Teorēma 1. Ļaujiet nosacījumiem izpildīt U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H), tad uzdevumam (7) ir unikāls vājais risinājums U (t) intervālā, kas definēts ar formulu U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5, ja nav ārēju traucējumu f (£), enerģijas nezūdamības likums ir izpildīts 1 II A 1/2UИ2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Stieņu iepakojuma dabiskās vibrācijas. Pieņemsim, ka stieņu sistēmu neietekmē ārējo spēku lauks: f (t) = 0. Šajā gadījumā stieņu kustības tiks sauktas par brīvām. Stieņu brīvas kustības atkarībā no laika t saskaņā ar likumu exp (iwt) tiks sauktas par dabiskajām vibrācijām. Ņemot U (x, t) = U (x) eiWÍ vienādojumā (7), iegūstam operatora A spektrālo uzdevumu: AU — AEU = 0, L = w2. (9) Operatora A īpašības ļauj formulēt teorēmu par īpašfunkciju spektru un īpašībām. 2. teorēma. Spektra uzdevums (9) par stieņu paketes dabiskajām vibrācijām ir diskrēts pozitīvs spektrs 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то un īpašfunkciju sistēma (Uk (x))^=0, pilnīga un ortogonāla telpās H un HA, un tiek izpildītas šādas ortogonalitātes formulas: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk= £/T^) d*+ K (“feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i Spektrālās problēmas izpēte viendabīgas stieņu paketes gadījumā. Uzrādot pārvietojuma funkciju m- (x, £) formā m- (x, £) = m- (x), pēc mainīgo atdalīšanas iegūstam spektrālās problēmas katram stieņam: ^Oi + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) ko rakstām matricas formā 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t « u = (u0, u1, u2,..., u«)t. Iegūto rezultātu risinājums un analīze. Apzīmēsim centrālā stieņa nobīdes funkcijas sadaļā u01 un griezumā kā u02 (g). Šajā gadījumā funkcijai u02 mēs pārvietojam koordinātu sākumpunktu uz punktu ar koordinātu /. Katram stienim mēs piedāvājam vienādojuma (10) risinājumu formā Lai atrastu nezināmās konstantes (11), mēs izmantojam iepriekš formulētos robežnosacījumus. No viendabīgiem robežnosacījumiem ir iespējams noteikt dažas konstantes, proti: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0. Rezultātā atliek atrast N + 3 konstantes: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Lai to izdarītu, mēs atrisinām N + 3 vienādojumus N + 3 nezināmajiem. Iegūto sistēmu ierakstīsim matricas formā: (A) (C) = (0) . Šeit (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t ir nezināmo vektors; (A) - raksturīgā matrica, cos (A1) EF0 A sin (A1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 g 00 00 0 000 g a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -k co8((.40-01L)1/2 ^ ; 7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; A--: 3 = 0. Lai atrastu netriviālu risinājumu, kā mainīgo ņemam konstanti C01 € M. Mums ir divas iespējas: C01 = 0; C01 = 0. Pieņemsim, ka C01 = 0, tad C03 = C04 = 0. Šajā gadījumā netriviālu risinājumu var iegūt, ja 7 = 0 no (12), kad ir izpildīts papildu nosacījums £ s-1 = 0, (13) ko var iegūt no sistēmas (12) trešā vienādojuma. Rezultātā mēs iegūstam vienkāršu frekvences vienādojumu EP (A"1 L)1/2 W ((A"1^1/2 P + zz \V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , kas sakrīt ar frekvenču vienādojumu vienā galā elastīgi fiksētam stieņam, ko var uzskatīt par pirmo daļējo sistēmu. Šajā gadījumā visas iespējamās sānu stieņu kustību kombinācijas, kas apmierina nosacījumu (13), var nosacīti sadalīt grupās, kas atbilst dažādām fāžu kombinācijām (aplūkojamajā gadījumā fāzi nosaka zīme C.d). Ja pieņemam, ka sānu stieņi ir identiski, mums ir divas iespējas: 1) Сд = 0, tad šādu kombināciju skaitu n dažādiem N var aprēķināt, izmantojot formulu n = N 2, kur ir dalīšanas funkcija bez atlikuma; 2) jebkura (vai jebkura) no konstantēm C- ir vienāda ar 0, tad iespējamo kombināciju skaits palielinās un to var noteikt pēc formulas £ [(N - m) 2. div.]. Pieņemsim, ka Coi = 0, tad Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), kur in un y ir kompleksi, kas iekļauti (12). No sistēmas (12) mums ir arī: C03 = C01 cos (А/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), t.i. visas konstantes ir izteiktas ar C01. Frekvences vienādojums iegūst formu EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) - K2 cos | í a!-,1 L Piemēram, apsveriet sistēmu ar četriem sānu stieņiem. Papildus iepriekš aprakstītajai metodei šajā piemērā varat pierakstīt frekvences vienādojumu visai sistēmai, aprēķinot matricas A determinantu un pielīdzinot to nullei. Apskatīsim to Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+ L cos (L (/o - /)) (EFoЛ sin (L/) + 4v)) - 4av3L cos (L(/0 - /)) = 0. Transcendentālo frekvenču vienādojumu grafiki iepriekš apskatītajiem gadījumiem ir parādīti attēlā. 2. Par sākotnējiem datiem tika ņemti: EF = 2,109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; / = 23; /о = 33 m. Aplūkojamās ķēdes pirmo trīs svārstību frekvenču vērtības ir norādītas zemāk: n................................................ un, prieks/-i.................................. 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Rīsi. 2. Transcendentālo frekvenču vienādojumu grafiki Coi = 0 (i) un Coi = 0 (2) Iesniegsim iegūtajiem risinājumiem atbilstošos vibrācijas režīmus (vispārējā gadījumā vibrācijas režīmi netiek normalizēti). Vibrācijas formas, kas atbilst pirmajai, otrajai, trešajai, ceturtajai, 13 un 14 frekvencei, ir parādītas attēlā. 3. Pie pirmās vibrācijas frekvences sānu stieņi vibrē ar tādu pašu formu, bet pa pāriem pretfāzē 3. att. Sānu (1) un centrālo (2) stieņu vibrācijas formas, kas atbilst pirmajam V = 3,20 Hz (a), otrajam V = 5,02 Hz (b), trešajam V = 10,11 Hz (c), ceturtajam V = 13,60 Hz (d), 13. V = 45,90 Hz (d) un 14. V = 50,88 Hz (f) frekvences (3. att., a), ar otro svārstās centrālais stienis, un sānu stienīši svārstās tādā pašā formā fāzē (3. att., b). Jāņem vērā, ka aplūkojamās stieņu sistēmas pirmā un otrā vibrācijas frekvence atbilst tādas sistēmas vibrācijām, kas sastāv no cietiem ķermeņiem. Kad sistēma svārstās ar trešo dabisko frekvenci, mezgli parādās pirmo reizi (3.c att.). Trešā un nākamās frekvences (3.d att.) atbilst sistēmas elastīgajām vibrācijām. Palielinoties vibrāciju biežumam, kas saistīts ar elastīgo elementu ietekmes samazināšanos, vibrāciju frekvences un formas mēdz būt daļējas (3. att., e, f). Funkciju līknes, kuru krustošanās punkti ar abscisu asi ir transcendentālo vienādojumu atrisinājumi, ir parādītas attēlā. 4. Saskaņā ar attēlu sistēmas svārstību dabiskās frekvences atrodas tuvu parciālajām frekvencēm. Kā minēts iepriekš, palielinoties frekvencei, palielinās dabisko frekvenču konverģence ar daļējām frekvencēm. Rezultātā frekvences, kurās svārstās visa sistēma, parasti tiek iedalītas divās grupās: tās, kas ir tuvu sānu stieņa daļējām frekvencēm, un frekvences, kas ir tuvu centrālā stieņa daļējām frekvencēm. Secinājumi. Tiek apskatīta stieņu iepakojuma garenvirziena vibrāciju problēma. Aprakstītas izvirzītās robežvērtības problēmas īpašības un tās īpašvērtību spektrs. Piedāvāts spektrālās problēmas risinājums patvaļīgam skaitam viendabīgu sānu stieņu. Skaitliskam piemēram tiek atrastas pirmo svārstību frekvenču vērtības un konstruētas atbilstošās formas. Tika noteiktas arī dažas konstruēto vibrācijas režīmu raksturīgās īpašības. Rīsi. 4. Funkciju līknes, kuru krustošanās punkti ar abscisu asi ir transcendentālo vienādojumu atrisinājumi, ja CoX = 0 (1), Cox = 0 (2), sakrīt ar pirmo daļējo sistēmu (sānu stienis piestiprināts pie elastīgās elements punktā x = I) un otrā daļējā sistēma (5) (centrālais stienis, kas punktā A piestiprināts pie četriem elastīgiem elementiem) LITERATŪRA 1. Koļesņikovs K.S. Raķešu dinamika. M.: Mašīnbūve, 2003. 520 lpp. 2. Ballistiskās raķetes un nesējraķetes / O.M. Alifanovs, A.N. Andrejevs, V.N. Gushchin et al., M.: Bustard, 2004. 511 lpp. 3. Rabinovičs B.I. Ievads kosmosa kuģu nesējraķešu dinamikā. M.: Mašīnbūve, 1974. 396 lpp. 4. Parameter study on POGO stability of liquid rockets / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. sēj. 48.Is. 3. P. 537-541. 5. Balakirev Yu.G. Šķidruma dzinēju nesējraķešu garenisko vibrāciju analīzes metodes // Kosmonautika un raķešu zinātne. 1995. Nr.5. 50.-58.lpp. 6. Balakirev Yu.G. Partijas izkārtojuma šķidrās raķetes kā vadības objekta matemātiskā modeļa iezīmes // Mūsdienu mašīnbūves stiprības izvēlētās problēmas. 2008. 43.-55.lpp. 7. Dokučajevs L.V. Metožu pilnveidošana pakas nesējraķetes dinamikas pētīšanai, ņemot vērā to simetriju // Kosmonautika un raķešu zinātne. 2005. Nr.2. P. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Aptuveno analītisko metožu izstrāde elastīgo čaulu ar šķidrumu dabisko un piespiedu vibrāciju aprēķināšanai: dis. ... Dr. Teh. Sci. M., 2005. 220 lpp. 9. Celtnis S.G. Lineārie diferenciālvienādojumi Banaha telpās. M.: Nauka, 1967. 464 lpp. 10. Kopačevskis I.D. Matemātiskās fizikas operatoru metodes. Simferopole: LLC "Forma", 2008. 140 lpp. Koļesņikovs K.S. Dinamika rakets. Maskava, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 lpp. Alifanovs O.N., Andrejevs A.N., Guščins V.N., red. Ballisticheskie rakety i rakety-nositeli. Maskava, Drofa Publ., 2003. 511 lpp. Rabinovičs B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov. Maskava, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 lpp. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Parametru pētījums par šķidrās degvielas raķetes POGO stabilitāti. J. Spacecraft and Rockets, 2011, sēj. 48, iss. 3, lpp. 537-541. Balakirevs Yu.G. Nesējraķešu ar šķidrās degvielas dzinēju garenisko vibrāciju analīzes metodes. Kosm. i raketostr. , 1995, Nr. 5, lpp. 50-58 (krievu valodā). Balakirevs Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modelis zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob"ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Maskava, Fizmatlit Publ., 2008. 204 lpp. (citēts 4355. lpp.). Dokučajevs L.V. Metožu pilnveidošana klasterizētu nesējraķešu dinamikas izpētei, ņemot vērā to simetriju. Kosm. i raketostr. , 2005, Nr. 2, lpp. 112-121 (krievu valodā). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. tekhn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye differentsial"nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 lpp. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 lpp. Raksts redaktorā saņemts 2014. gada 28. aprīlī Pavlovs Arsēnijs Mihailovičs - MSTU Kosmosa kuģu un nesējraķešu katedras students. N.E. Baumanis. Specializējas raķešu un kosmosa tehnoloģiju jomā. MSTU im. N.E. Baumash, Krievijas Federācija, 105005, Maskava, 2. Baumanskaya st., 5. Pavlovs A.M. - Maskavas Valsts tehniskās universitātes Baumaņas nodaļas "Kosmosa aparāti un nesējraķetes" students. Speciālists raķešu un kosmosa tehnoloģiju jomā. Bauman Maskavas Valsts tehniskā universitāte, 2-ya Baumanskaya st. 5, Maskava, 105005 Krievijas Federācija. Temnovs Aleksandrs Nikolajevičs - Ph.D. fizika un matemātika Zinātnes, Maskavas Valsts tehniskās universitātes Kosmosa kuģu un nesējraķešu katedras asociētais profesors. N.E. Baumanis. Vairāk nekā 20 zinātnisku rakstu autors šķidrumu un gāzu mehānikas un raķešu un kosmosa tehnoloģiju jomā. MSTU im. N.E. Baumash, Krievijas Federācija, 105005, Maskava, 2. Baumanskaya st., 5. Temnovs A.N. - Cand. Sci. (fiz.-matemāt.), asoc. Maskavas Valsts tehniskās universitātes Baumaņas katedras "Kosmosa kuģi un nesējraķetes" profesors. Vairāk nekā 20 publikāciju autors šķidrumu un gāzu mehānikas un raķešu un kosmosa tehnoloģiju jomā. Bauman Maskavas Valsts tehniskā universitāte, 2-ya Baumanskaya st. 5, Maskava, 105005 Krievijas Federācija. Apskatīsim viendabīgu garuma stieni, t.i., cilindrisku vai citas formas ķermeni, kura stiepšanai vai saliekšanai jāpieliek noteikts spēks. Pēdējais apstāklis atšķir pat visplānāko stieni no auklas, kas, kā zināms, brīvi liecas. Šajā nodaļā stieņa garenvirzienu izpētē izmantosim raksturlielumu metodi un aprobežosimies ar tādu vibrāciju izpēti, kurās šķērsgriezumi, virzoties pa stieņa asi, paliek plakani un paralēli viens otru (6. att.). Šāds pieņēmums ir pamatots, ja stieņa šķērseniskie izmēri ir mazi, salīdzinot ar tā garumu. Ja stienis ir nedaudz izstiepts vai saspiests gar garenisko asi un pēc tam atstāts pie sevis, tad tajā radīsies gareniskās vibrācijas. Novirzīsim asi pa stieņa asi un pieņemsim, ka miera stāvoklī stieņa gali atrodas punktos. Ļaujiet noteiktas stieņa sekcijas abscisai, kad pēdējais atrodas miera stāvoklī. Apzīmēsim ar šī posma pārvietojumu laika momentā, tad posma nobīde ar abscisu būs vienāda ar No šejienes ir skaidrs, ka stieņa relatīvo pagarinājumu griezumā ar abscisu x izsaka ar atvasinājumu Tagad, pieņemot, ka stienim ir nelielas svārstības, mēs varam aprēķināt spriegumu šajā sadaļā. Patiešām, piemērojot Huka likumu, mēs atklājam, ka kur ir stieņa materiāla elastības modulis, tā šķērsgriezuma laukums. Ņemsim slēgtu stieņa elementu starp divām sekcijām, kuru abscises miera stāvoklī ir attiecīgi vienādas. Uz šo elementu iedarbojas spriedzes spēki, kas pielikti šajās sekcijās un ir vērsti pa asi. Šo spēku rezultantam ir lielums un arī ir vērsta gar . No otras puses, elementa paātrinājums ir vienāds, kā rezultātā mēs varam uzrakstīt vienādību kur ir stieņa tilpuma blīvums. Liekot un reducējot ar iegūstam homogēna stieņa garenvirziena vibrāciju diferenciālvienādojumu Šī vienādojuma forma parāda, ka stieņa garenvirziena vibrācijām ir viļņveida raksturs, un garenviļņu izplatīšanās ātrumu a nosaka pēc formulas (4). Ja uz stieni iedarbojas arī ārējs spēks, kas aprēķināts uz tā tilpuma vienību, tad (3) vietā iegūstam Šis ir stieņa piespiedu garenvirziena vibrāciju vienādojums. Tāpat kā dinamikā kopumā, ar kustības vienādojumu (6) vien nepietiek, lai pilnībā noteiktu stieņa kustību. Nepieciešams iestatīt sākotnējos nosacījumus, t.i., iestatīt stieņa sekciju nobīdes un to ātrumus sākotnējā laika momentā kur un ir dotas funkcijas intervālā ( Turklāt ir jānorāda robežnosacījumi stieņa galos. Piemēram. Šajā sadaļā aplūkosim viendabīga stieņa garenvirziena vibrāciju problēmu. Stienis ir cilindrisks (īpaši prizmatisks) korpuss, kura izstiepšanai vai saspiešanai jāpieliek noteikts spēks. Pieņemsim, ka visi spēki darbojas pa stieņa asi un katrs no stieņa šķērsgriezumiem (23. att.) pārvietojas translatīvi tikai pa stieņa asi. Parasti šis pieņēmums ir pamatots, ja stieņa šķērseniskie izmēri ir mazi, salīdzinot ar tā garumu, un spēki, kas darbojas gar stieņa asi, ir salīdzinoši nelieli. Praksē garenvirziena vibrācijas visbiežāk rodas, kad stieni vispirms nedaudz izstiepj vai, gluži otrādi, saspiež un pēc tam atstāj pašplūsmā. Šajā gadījumā tajā rodas brīvas gareniskās vibrācijas. Atvasināsim šo svārstību vienādojumus. Virzīsim abscisu asi pa stieņa asi (23. att.); miera stāvoklī stieņa galos ir attiecīgi abscises Aplūkosim šķērsgriezumu; - tā abscisa ir miera stāvoklī. Šīs sadaļas pārvietojumu jebkurā brīdī t raksturos funkcija, kuras atrašanai mums ir jāizveido diferenciālvienādojums. Vispirms noskaidrosim sekciju ierobežotā stieņa sekcijas relatīvo pagarinājumu Ja posma abscisa atrodas miera stāvoklī, tad šī posma pārvietojums laikā t, precīzs ar augstākas kārtas bezgalīgi maziem skaitļiem, ir vienāds ar Tāpēc stieņa relatīvais pagarinājums posmā ar abscisu laikā t ir vienāds ar Pieņemot, ka spēki, kas izraisa šo pagarinājumu, atbilst Huka likumam, mēs atradīsim spriegojuma spēka T lielumu, kas iedarbojas uz posmu: kur ir stieņa šķērsgriezuma laukums un ir stieņa materiāla elastības modulis (Young's modulis). Formulai (5.2) jābūt labi zināmai lasītājam no kursa par materiālu stiprību. Attiecīgi spēks, kas iedarbojas uz sekciju, ir vienāds ar Tā kā spēki aizstāj izmesto stieņa daļu darbību, to radītais spēks ir vienāds ar starpību Uzskatot, ka izvēlētais stieņa posms ir materiāls punkts ar masu , kur ir stieņa tilpuma blīvums, un piemērojot tam otro Ņūtona likumu, mēs izveidojam vienādojumu Saīsinot un ievadot apzīmējumu, iegūstam stieņa brīvo garenvirziena vibrāciju diferenciālvienādojumu Ja papildus pieņemsim, ka stienim tiek pielikts ārējais spēks, kas aprēķināts uz tilpuma vienību un darbojas gar stieņa asi, tad attiecības (5 3) labajā pusē tiks pievienots termins un vienādojums (5.4) pieņems formā kas precīzi sakrīt ar virknes piespiedu svārstību vienādojumu. Tagad pāriesim pie problēmas sākuma un robežnosacījumu noteikšanas un apskatīsim praktiski interesantāko gadījumu, kad viens stieņa gals ir fiksēts, bet otrs ir brīvs. Brīvajā galā robežnosacījumam būs cita forma. Tā kā šajā galā nav ārēju spēku, tad arī spēkam T, kas iedarbojas posmā, jābūt vienādam ar nulli, t.i. Svārstības rodas tāpēc, ka sākotnējā brīdī stienis bija deformēts (izstiepts vai saspiests) un stieņa punktiem tika piešķirti noteikti sākuma ātrumi. Tāpēc mums šobrīd ir jāzina stieņa šķērsgriezumu nobīde kā arī stieņa punktu sākuma ātrumi Tātad vienā galā fiksēta stieņa brīvo garenisko vibrāciju problēma, kas rodas sākotnējās saspiešanas vai spriedzes dēļ, noveda mūs pie vienādojuma ar sākotnējiem nosacījumiem un robežnosacījumi Tas ir pēdējais nosacījums, kas no matemātiskā viedokļa atšķir aplūkojamo problēmu no abos galos fiksētas virknes svārstību problēmas. Atrisināsim Furjē metodes radīto uzdevumu, t.i., vienādojuma daļējos atrisinājumus, kas apmierina robežnosacījumus (5.8) formā Tā kā turpmākā risinājuma gaita ir līdzīga tai, kas jau ir izklāstīta 3.§, mēs aprobežosimies ar tikai īsiem norādījumiem. Diferencējot funkciju , aizstājot iegūtās izteiksmes ar (5.6) un atdalot mainīgos, iegūstam (Mēs ļaujam lasītājam patstāvīgi noteikt, ka robežnosacījumu dēļ konstante labajā pusē nevar būt pozitīvs skaitlis vai nulle.) Vienādojuma vispārīgajam risinājumam ir forma Sakarā ar nosacījumiem, kas uzlikti mūsu funkcijai Risinājumi, kas nav identiski vienādi ar nulli, tiks iegūti tikai tad, ja ir izpildīts nosacījums, t.i., priekš , kur k var iegūt vērtības Tātad problēmas īpatnējās vērtības ir skaitļi Katram ir sava funkcija Kā jau zināms, reizinot jebkuru no īpašfunkcijām ar patvaļīgu konstanti, mēs iegūsim vienādojuma atrisinājumu ar uzstādītajiem robežnosacījumiem. Ir viegli pārbaudīt, vai, dodot skaitlim k negatīvas vērtības, mēs neiegūsim jaunas īpašfunkcijas (piemēram, at būs funkcija, kas atšķiras no īpašfunkcijas ) tikai zīmē), Vispirms pierādīsim, ka īpašfunkcijas (5.11) ir ortogonālas intervālā . Patiešām, kad Ja tad Īpašfunkciju ortogonalitāti ir iespējams pierādīt citā veidā, nepaļaujoties uz to eksplicītajām izteiksmēm, bet izmantojot tikai diferenciālvienādojumu un robežnosacījumus. Ļaujiet un ir divas atšķirīgas īpašvērtības un ir atbilstošās īpašfunkcijas. Pēc definīcijas šīs funkcijas atbilst vienādojumiem un robežnosacījumi. Reizināsim pirmo vienādojumu ar otro un atņemsim vienu no otra.
(5.2)
