1. Ļaujiet apakštelpai L = L(A 1 , A 2 , …, un m) , tas ir L– sistēmas lineārais apvalks A 1 , A 2 , …, un m; vektori A 1 , A 2 , …, un m– šīs apakštelpas ģeneratoru sistēma. Tad pamats L ir vektoru sistēmas pamatā A 1 , A 2 , …, un m, tas ir, ģeneratoru sistēmas pamats. Izmērs L vienāds ar ģeneratoru sistēmas rangu.

2. Ļaujiet apakštelpai L ir apakštelpu summa L 1 un L 2. Apakštelpu ģenerēšanas sistēmu summai var iegūt, kombinējot apakštelpu ģenerēšanas sistēmas, pēc kurām tiek atrasts summas pamats. Summas lielumu nosaka pēc šādas formulas:

blāvs(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – blāvs(L 1 Ç L 2).

3. Ļaujiet apakštelpu summai L 1 un L 2 ir taisns, tas ir L = L 1 Å L 2. Kurā L 1 Ç L 2 = {O) Un blāvs(L 1 Ç L 2) = 0. Tiešās summas bāze ir vienāda ar terminu bāzu savienību. Tiešās summas dimensija ir vienāda ar terminu dimensiju summu.

4. Sniegsim svarīgu apakštelpas un lineārā kolektora piemēru.

Apsveriet viendabīgu sistēmu m lineāri vienādojumi ar n nezināms. Daudzi risinājumi MŠīs sistēmas 0 ir kopas apakškopa Rn un tiek slēgts, saskaitot vektorus un reizinot ar reālu skaitli. Tas nozīmē, ka tādu ir daudz M 0 – telpas apakštelpa Rn. Apakštelpas pamats ir viendabīgas sistēmas risinājumu pamatkopa, apakštelpas dimensija ir vienāda ar vektoru skaitu sistēmas pamatrisinājumu kopā.

ķekars M izplatīti sistēmu risinājumi m lineāri vienādojumi ar n nezināmie ir arī kopas apakškopa Rn un vienāds ar kopas summu M 0 un vektors A, Kur A ir kāds īpašs sākotnējās sistēmas un komplekta risinājums M 0 – šo sistēmu pavadošas viendabīgas lineāro vienādojumu sistēmas atrisinājumu kopa (no sākotnējās atšķiras tikai brīvos terminos),

M = A + M 0 = {A = m, m Î M 0 }.

Tas nozīmē, ka daudzi M ir lineārs telpas kolektors Rn ar nobīdes vektoru A un virziens M 0 .

Piemērs 8.6. Atrodiet apakštelpas pamatu un dimensiju, ko nosaka viendabīga lineāro vienādojumu sistēma:

Risinājums. Atradīsim vispārīgu risinājumu šai sistēmai un tās pamata risinājumu kopumam: Ar 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Ar 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Ar 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

Apakštelpas pamatu veido vektori Ar 1 , Ar 2 , Ar 3, tā izmērs ir trīs.

Darba beigas -

Šī tēma pieder sadaļai:

Lineārā algebra

N. Nekrasova vārdā nosauktā Kostromas Valsts universitāte..

Ja jums ir nepieciešams papildu materiāls par šo tēmu vai jūs neatradāt to, ko meklējāt, mēs iesakām izmantot meklēšanu mūsu darbu datubāzē:

Ko darīsim ar saņemto materiālu:

Ja šis materiāls jums bija noderīgs, varat to saglabāt savā lapā sociālajos tīklos:

Čivināt

Visas tēmas šajā sadaļā:

BBK 22.174ya73-5
M350 Publicēts ar KSU vārdā nosauktās redakcijas un izdevniecības padomes lēmumu. N. A. Nekrasova Recenzents A. V. Čeredņikovs

BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korževina 2013 ã KSU nosaukts. N. A. Ņekrasova, 2013. gads

Savienība (vai summa)
Definīcija 1.9. Kopu A un B savienība ir kopa A È B, kas sastāv no tiem un tikai tiem elementiem, kas pieder, lai gan

Krustojums (vai produkts)
Definīcija 1.10. Kopu A un B krustpunkts ir kopa A Ç B, kas sastāv no tiem un tikai tiem elementiem, kas pieder vienai un tai pašai

Atšķirība
Definīcija 1.11. Atšķirība starp kopām A un B ir kopa A B, kas sastāv no tiem un tikai tiem elementiem, kas pieder kopai A

Dekarta produkts (vai tiešais produkts)
Definīcija 1.14. Sakārtots pāris (vai pāris) (a, b) ir divi elementi a, b noteiktā secībā. Pāri (a1

Kopas operāciju īpašības
Savienojuma, krustojuma un komplementa darbību īpašības dažreiz sauc par kopas algebras likumiem. Uzskaitīsim galvenās kopu darbību īpašības. Dota universāla kopa U

Matemātiskās indukcijas metode
Matemātiskās indukcijas metode tiek izmantota, lai pierādītu apgalvojumus, kuru formulēšanā ir iesaistīts naturālais parametrs n. Matemātiskās indukcijas metode - matemātikas pierādīšanas metode

Kompleksie skaitļi
Skaitļa jēdziens ir viens no galvenajiem cilvēces kultūras sasniegumiem. Vispirms parādījās naturālie skaitļi N = (1, 2, 3, …, n, …), tad veseli skaitļi Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), racionālais Q

Komplekso skaitļu ģeometriskā interpretācija
Ir zināms, ka negatīvi skaitļi tika ieviesti saistībā ar lineāro vienādojumu atrisināšanu vienā mainīgajā. Konkrētos uzdevumos negatīva atbilde tika interpretēta kā virziena lieluma vērtība (

Kompleksa skaitļa trigonometriskā forma
Vektoru var norādīt ne tikai pēc koordinātām taisnstūra koordinātu sistēmā, bet arī pēc garuma un

Operācijas ar kompleksajiem skaitļiem trigonometriskā formā
Ērtāk ir veikt saskaitīšanu un atņemšanu ar kompleksajiem skaitļiem algebriskā formā un reizināšanu un dalīšanu trigonometriskā formā. 1. Reizināšana Doti divi k

Paaugstināšana
Ja z = r(cosj + i×sinj), tad zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), kur n Î

Kompleksa skaitļa eksponenciālā forma
No matemātiskās analīzes ir zināms, ka e = , e ir iracionāls skaitlis. Eile

Attiecību jēdziens
Definīcija 2.1. N-āra (vai n-āra) relācija P kopās A1, A2, …, An ir jebkura apakškopa

Bināro attiecību īpašības
Netukšā kopā A, t.i., P Í A2, tiks definēta bināra relācija P. Definīcija 2.9. Binārā relācija P uz kopas

Ekvivalences attiecība
Definīcija 2.15. Bināro relāciju kopā A sauc par ekvivalences relāciju, ja tā ir refleksīva, simetriska un pārejoša. Attiecības ekvivalents

Funkcijas
Definīcija 2.20. Bināro relāciju ƒ Í A ´ B sauc par funkciju no kopas A līdz kopai B, ja jebkuram x

Vispārīgi jēdzieni
Definīcija 3.1. Matrica ir taisnstūrveida skaitļu tabula, kurā ir m rindas un n kolonnas. Skaitļus m un n sauc par secību (vai

Tāda paša veida matricu pievienošana
Var pievienot tikai tāda paša veida matricas. Definīcija 3.12. Divu matricu summa A = (aij) un B = (bij), kur i = 1,

Matricas pievienošanas īpašības
1) komutativitāte: "A, B: A + B = B + A; 2) asociativitāte: "A, B, C: (A + B) + C = A

Matricas reizināšana ar skaitli
Definīcija 3.13. Matricas A = (aij) reizinājums ar reālu skaitli k ir matrica C = (сij), kurai

Matricas reizināšanas ar skaitli īpašības
1) "A: 1 × A = A; 2) " α, β О R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×

Matricas reizināšana
Definēsim divu matricu reizinājumu; Lai to izdarītu, ir jāievieš daži papildu jēdzieni. Definīcija 3.14. Matricas A un B sauc par konsekventām

Matricas reizināšanas īpašības
1) Matricas reizināšana nav komutatīva: A×B ≠ B×A. Šo īpašību var parādīt ar piemēriem. Piemērs 3.6. A)

Matricu transponēšana
Definīcija 3.16. Matrica At, kas iegūta no dotās, aizstājot katru tās rindu ar kolonnu ar tādu pašu numuru, tiek saukta par transponētu dotajā matricā A

Otrās un trešās kārtas matricu determinanti
Katra n kārtas kvadrātmatrica A ir saistīta ar skaitli, ko sauc par šīs matricas determinantu. Apzīmējums: D, |A|, det A,

Definīcija 4.6.
1. Ja n = 1, matrica A sastāv no viena skaitļa: |A| = a11. 2. Lai ir zināms (n – 1) kārtas matricas determinants. 3. Definējiet

Determinantu īpašības
Lai aprēķinātu determinantus, kas ir lielāki par 3, tiek izmantotas determinantu īpašības un Laplasa teorēma. Teorēma 4.1 (Laplass). Kvadrātveida matricas determinants

Determinantu praktiskais aprēķins
Viens no veidiem, kā aprēķināt secības noteicošos faktorus virs trim, ir to izvēršana kādā kolonnā vai rindā. 4.4. piemērs Aprēķiniet determinantu D =

Matricas ranga jēdziens
Apzīmēsim A matricu ar dimensiju m ´ n. Šajā matricā patvaļīgi atlasīsim k rindas un k kolonnas, kur 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Matricas ranga noteikšana, izmantojot nepilngadīgo robežu metodi
Viena no matricas ranga noteikšanas metodēm ir nepilngadīgo uzskaitīšanas metode. Šīs metodes pamatā ir matricas ranga noteikšana. Metodes būtība ir šāda. Ja ir vismaz viens elements ma

Matricas ranga atrašana, izmantojot elementāras transformācijas
Apskatīsim citu veidu, kā atrast matricas rangu. Definīcija 5.4. Par elementārām matricas transformācijām sauc šādas transformācijas: 1. reizina

Apgrieztās matricas jēdziens un metodes tās atrašanai
Dota kvadrātmatrica A. Definīcija 5.7. Matricu A–1 sauc par matricas A apgriezto, ja A×A–1

Algoritms apgrieztās matricas atrašanai
Apskatīsim vienu no veidiem, kā atrast dotās matricas apgriezto matricu, izmantojot algebriskos papildinājumus. Dota kvadrātveida matrica A. 1. Atrast matricas determinantu |A|. ES

Apgrieztās matricas atrašana, izmantojot elementārās transformācijas
Apskatīsim citu veidu, kā atrast apgriezto matricu, izmantojot elementāras transformācijas. Formulēsim nepieciešamos jēdzienus un teorēmas. Definīcija 5.11. Matrica Pēc nosaukuma

Krāmera metode
Apskatīsim lineāro vienādojumu sistēmu, kurā vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu, tas ir, m = n un sistēmai ir šāda forma:

Apgrieztās matricas metode
Apgrieztās matricas metode ir piemērojama lineāro vienādojumu sistēmām, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu un galvenās matricas determinants nav vienāds ar nulli. Sistēmas apzīmējuma matricas forma

Gausa metode
Lai aprakstītu šo metodi, kas piemērota patvaļīgu lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai, ir nepieciešami daži jauni jēdzieni. Definīcija 6.7. Formas vienādojums 0×

Gausa metodes apraksts
Gausa metode - nezināmo secīgas likvidēšanas metode - sastāv no tā, ka ar elementāru pārveidojumu palīdzību sākotnējā sistēma tiek reducēta uz līdzvērtīgu pakāpenisku vai t sistēmu.

Lineāro vienādojumu sistēmas izpēte
Pētīt lineāro vienādojumu sistēmu nozīmē, neatrisinot sistēmu, atbildēt uz jautājumu: vai sistēma ir vai nav konsekventa, un, ja tā ir konsekventa, cik risinājumu tai ir? Atbildiet uz šo

Homogēnas lineāro vienādojumu sistēmas
Definīcija 6.11.Lineāro vienādojumu sistēmu sauc par homogēnu, ja tās brīvie vārdi ir vienādi ar nulli. Homogēna m lineāro vienādojumu sistēma

Homogēnas lineāro vienādojumu sistēmas atrisinājumu īpašības
1. Ja vektors a = (a1, a2, …, an) ir homogēnas sistēmas risinājums, tad vektors k×a = (k×a1, k&t

Homogēnas lineāro vienādojumu sistēmas atrisinājumu pamatkopa
Lai M0 ir lineāro vienādojumu homogēnās sistēmas (4) atrisinājumu kopa. Definīcija 6.12. Vektori c1, c2, ..., c

Vektoru sistēmas lineārā atkarība un neatkarība
Lai a1, a2, …, аm ir m n-dimensiju vektoru kopa, ko parasti sauc par vektoru sistēmu, un k1

Vektoru sistēmas lineārās atkarības īpašības
1) Vektoru sistēma, kas satur nulles vektoru, ir lineāri atkarīga. 2) Vektoru sistēma ir lineāri atkarīga, ja kāda no tās apakšsistēmām ir lineāri atkarīga. Sekas. Ja si

Vienību vektoru sistēma
Definīcija 7.13. Vienību vektoru sistēma telpā Rn ir vektoru sistēma e1, e2, …, en

Divas teorēmas par lineāro atkarību
Teorēma 7.1. Ja lielāka vektoru sistēma ir lineāri izteikta caur mazāku, tad lielākā sistēma ir lineāri atkarīga. Formulēsim šo teorēmu sīkāk: pieņemsim a1

Vektoru sistēmas pamats un rangs
Pieņemsim, ka S ir vektoru sistēma telpā Rn; tas var būt gan ierobežots, gan bezgalīgs. S" ir sistēmas S apakšsistēma, S" Ì S. Dosim divus

Vektoru sistēmas rangs
Sniegsim divas līdzvērtīgas vektoru sistēmas ranga definīcijas. Definīcija 7.16. Vektoru sistēmas rangs ir vektoru skaits jebkurā šīs sistēmas bāzē.

Vektoru sistēmas ranga un pamata praktiskā noteikšana
No šīs vektoru sistēmas mēs veidojam matricu, sakārtojot vektorus kā šīs matricas rindas. Mēs reducējam matricu līdz ešelona formai, izmantojot elementāras transformācijas pa šīs matricas rindām. Plkst

Vektoru telpas definīcija virs patvaļīga lauka
Lai P ir patvaļīgs lauks. Mums zināmo lauku piemēri ir racionālo, reālo un komplekso skaitļu lauks. Definīcija 8.1. Tiek izsaukta kopa V

Vienkāršākās vektoru telpu īpašības
1) o – nulles vektors (elements), unikāli definēts patvaļīgā vektoru telpā virs lauka. 2) Jebkuram vektoram a О V ir unikāls

Apakštelpas. Lineārie kolektori
Lai V ir vektora telpa, L М V (L ir V apakškopa). Definīcija 8.2. Vektora pro apakškopa L

Apakštelpu krustpunkts un summa
Lai V ir vektora telpa virs lauka P, L1 un L2 tā apakštelpām. Definīcija 8.3. Šķērsojot apakškvestu

Lineārie kolektori
Lai V ir vektora telpa, L ir apakštelpa, a patvaļīgs vektors no telpas V. Definīcija 8.6. Lineārais kolektors

Galīgo dimensiju vektoru telpas
Definīcija 8.7. Vektoru telpu V sauc par n-dimensiju, ja tā satur lineāri neatkarīgu vektoru sistēmu, kas sastāv no n vektoriem, un

Galīgo dimensiju vektoru telpas pamats
V ir ierobežotas dimensijas vektoru telpa virs lauka P, S ir vektoru sistēma (galīga vai bezgalīga). Definīcija 8.10. Sistēmas pamats S

Vektoru koordinātas attiecībā pret doto bāzi
Aplūkosim ierobežotu dimensiju vektortelpu V ar dimensiju n, kuras pamatu veido vektori e1, e2, …, en. Lai tas ir produkts

Vektoru koordinātas dažādās bāzēs
Lai V ir n-dimensiju vektortelpa, kurā dotas divas bāzes: e1, e2, …, en – vecā bāze, e"1, e

Eiklīda vektoru telpas
Dota vektora telpa V virs reālo skaitļu lauka. Šī telpa var būt vai nu galīgas dimensijas vektortelpa ar dimensiju n vai bezgalīgas dimensijas

Punktu produkts koordinātēs
Dimensijas n Eiklīda vektortelpā V ir dota bāze e1, e2, …, en. Vektori x un y tiek sadalīti vektoros

Metrikas jēdzieni
Eiklīda vektortelpās no ieviestā skalārā reizinājuma varam pāriet uz vektora normas un leņķa starp vektoriem jēdzieniem. Definīcija 8.16. Norma (

Normas īpašības
1) ||a|| = 0 Û a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, jo ||la|| =

Eiklīda vektortelpas ortonormālais pamats
Definīcija 8.21. Eiklīda vektoru telpas bāzi sauc par ortogonālu, ja bāzes vektori ir pa pāriem ortogonāli, tas ir, ja a1, a

Ortogonalizācijas process
Teorēma 8.12. Katrā n-dimensiju Eiklīda telpā ir ortonormāls pamats. Pierādījums. Ļaujiet a1, a2

Punktu produkts ortonormālā veidā
Dota Eiklīda telpas V ortonormālā bāze e1, e2, …, en. Tā kā (ei, ej) = 0 i

Apakštelpas ortogonālais papildinājums
V ir Eiklīda vektortelpa, L ir tās apakštelpa. Definīcija 8.23. Tiek uzskatīts, ka vektors a ir ortogonāls apakštelpai L, ja vektors

Attiecība starp vektora koordinātām un tā attēla koordinātām
Lineārais operators j ir dots telpā V, un tā matrica M(j) ir atrodama kādā bāzē e1, e2, …, en. Lai tas ir pamats

Līdzīgas matricas
Apskatīsim n kārtas kvadrātveida matricu kopu Рn´n ar elementiem no patvaļīga lauka P. Šajā kopā mēs ieviešam sakarību

Matricu līdzības attiecību īpašības
1. Refleksivitāte. Jebkura matrica ir līdzīga pati sev, t.i., A ~ A. 2. Simetrija. Ja matrica A ir līdzīga B, tad B ir līdzīga A, t.i.

Īpašvektoru īpašības
1. Katrs īpašvektors pieder tikai vienai īpašvērtībai. Pierādījums. Pieņemsim, ka x ir īpašvektors ar divām īpašvērtībām

Matricas raksturīgs polinoms
Dota matrica A О Рn´n (vai A О Rn´n). Definējiet

Nosacījumi, kādos matrica ir līdzīga diagonālajai matricai
Lai A ir kvadrātveida matrica. Mēs varam pieņemt, ka šī ir kāda lineāra operatora matrica, kas definēta kādā bāzē. Ir zināms, ka citā bāzē lineārā operatora matrica

Jordānija normālā formā
Definīcija 10.5. Jordānas šūna k secībā, kas saistīta ar skaitli l0, ir k kārtas matrica, 1 ≤ k ≤ n,

Matricas reducēšana uz Jordan (parasto) formu
Teorēma 10.3. Jordānas normālo formu matricai nosaka unikāli līdz Jordan šūnu izvietojuma secībai galvenajā diagonālē. utt

Bilineāras formas
Definīcija 11.1. Bilineāra forma ir funkcija (kartēšana) f: V ´ V ® R (vai C), kur V ir patvaļīgs vektors

Bilineāro formu īpašības
Jebkuru bilineāru formu var attēlot kā simetrisku un šķībi simetrisku formu summu. Ar izvēlēto bāzi e1, e2, …, en vektorā

Bilineāras formas matricas transformācija, pārejot uz jaunu bāzi. Bilineārās formas rangs
Divas bāzes e = (e1, e2, …, en) un f = (f1, f2,

Kvadrātiskās formas
Lai A(x, y) ir simetriska bilineāra forma, kas definēta vektoru telpā V. Definīcija 11.6. Kvadrātforma

Kvadrātiskās formas reducēšana uz kanonisko formu
Dota kvadrātiskā forma (2) A(x, x) = , kur x = (x1

Kvadrātisko formu inerces likums
Konstatēts, ka kvadrātiskās formas kanonisko koeficientu skaits, kas nav nulle

Nepieciešams un pietiekams nosacījums kvadrātveida formas zīmei
Izziņas 11.1. Lai kvadrātiskā forma A(x, x), kas definēta n-dimensiju vektortelpā V, būtu ar zīmi noteikta, ir nepieciešams

Nepieciešams un pietiekams nosacījums kvazi-mainīgai kvadrātveida formai
Izziņa 11.3. Lai kvadrātiskā forma A(x, x), kas definēta n-dimensiju vektortelpā V, būtu kvazi-zīmju maiņa (tas ir,

Silvestra kritērijs kvadrātveida formas noteiktai zīmei
Formu A(x, x) bāzē e = (e1, e2, …, en) nosaka matrica A(e) = (aij)

Secinājums
Lineārā algebra ir jebkuras augstākās matemātikas programmas obligāta sastāvdaļa. Jebkura cita sadaļa paredz šīs disciplīnas mācīšanas laikā iegūto zināšanu, prasmju un iemaņu klātbūtni

Bibliogrāfija
Burmistrova E.B., Lobanovs S.G. Lineārā algebra ar analītiskās ģeometrijas elementiem. – M.: HSE Izdevniecība, 2007. Beklemiševs D.V. Analītiskās ģeometrijas un lineārās algebras kurss.

Lineārā algebra
Mācību un metodiskā rokasgrāmata Redaktore un korektore G. D. Ņeganova Datorrakstīšana T. N. Maticina, E. K. Korževina

Lineārās telpas apakškopa veido apakštelpu, ja tā ir slēgta, saskaitot vektorus un reizinot ar skalāriem.

Piemērs 6.1. Vai apakštelpa plaknē veido vektoru kopu, kuras gali atrodas: a) pirmajā ceturksnī; b) uz taisnes, kas iet caur izcelsmi? (vektoru pirmsākumi atrodas koordinātu sākumā)

Risinājums.

a) nē, jo kopa nav slēgta, reizinot ar skalāru: reizinot ar negatīvu skaitli, vektora beigas iekrīt trešajā ceturksnī.

b) jā, jo, saskaitot vektorus un reizinot tos ar jebkuru skaitli, to gali paliek uz vienas taisnes.

6.1. uzdevums. Vai šādas atbilstošo lineāro telpu apakškopas veido apakštelpu:

a) plakņu vektoru kopa, kuras gali atrodas pirmajā vai trešajā ceturksnī;

b) plakņu vektoru kopa, kuras gali atrodas uz taisnes, kas neiet cauri sākuma punktam;

c) koordinātu līniju kopa ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);

d) koordinātu līniju kopa ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);

e) koordinātu līniju kopa ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2).

Lineārās telpas L izmērs ir vektoru skaits dim L, kas iekļauti jebkurā tās bāzē.

Summas un apakštelpu krustpunkta izmēri ir saistīti ar relāciju

dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U Ç V).

Piemērs 6.2. Atrodiet apakštelpu summas un krustpunkta pamatu un dimensiju, ko aptver šādas vektoru sistēmas:

Risinājums Katra no vektoru sistēmām, kas ģenerē apakštelpas U un V, ir lineāri neatkarīga, kas nozīmē, ka tā ir attiecīgās apakštelpas pamats. Izveidosim matricu no šo vektoru koordinātām, sakārtojot tās kolonnās un atdalot vienu sistēmu no citas ar taisni. Samazināsim iegūto matricu līdz pakāpeniskajai formai.

~ ~ ~ .

Pamatu U + V veido vektori , , , kuriem atbilst vadošie elementi soļu matricā. Tāpēc dim (U + V) = 3. Tad

dim (UÇV) = dim U + dim V – dim (U + V) = 2 + 2 - 3 = 1.

Apakštelpu krustpunkts veido vektoru kopu, kas apmierina vienādojumu (kas atrodas šī vienādojuma kreisajā un labajā pusē). Krustojuma bāzi iegūstam, izmantojot šim vektora vienādojumam atbilstošo lineāro vienādojumu sistēmas atrisinājumu fundamentālo sistēmu. Šīs sistēmas matrica jau ir samazināta līdz pakāpeniskajai formai. Pamatojoties uz to, mēs secinām, ka y 2 ir brīvs mainīgais, un mēs uzstādām y 2 = c. Tad 0 = y 1 – y 2, y 1 = c,. un apakštelpu krustpunkts veido formas vektoru kopu = c (3, 6, 3, 4). Līdz ar to bāze UÇV veido vektoru (3, 6, 3, 4).

Piezīmes. 1. Turpinot risināt sistēmu, atrodot mainīgo x vērtības, iegūstam x 2 = c, x 1 = c, un vektora vienādojuma kreisajā pusē iegūstam vektoru, kas vienāds ar iepriekš iegūto. .

2. Izmantojot norādīto metodi, var iegūt summas bāzi neatkarīgi no tā, vai vektoru ģenerējošās sistēmas ir lineāri neatkarīgas. Bet krustojuma bāze tiks iegūta pareizi tikai tad, ja vismaz otro apakštelpu ģenerējošā sistēma būs lineāri neatkarīga.

3. Ja ir noteikts, ka krustojuma izmērs ir 0, tad krustojumam nav pamata un tas nav jāmeklē.

6.2. uzdevums. Atrodiet apakštelpu summas un krustpunkta pamatu un dimensiju, ko aptver šādas vektoru sistēmas:

A)

b)

Eiklīda telpa

Eiklīda telpa ir lineāra telpa virs lauka R, kurā ir definēts skalārs reizinājums, kas piešķir katram vektoru pārim , skalāru un ir izpildīti šādi nosacījumi:

2) (a + b) = a() + b();

3) ¹Þ > 0.

Standarta skalārais reizinājums tiek aprēķināts, izmantojot formulas

(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n.

Vektorus un sauc par ortogonāliem, raksta ^, ja to skalārais reizinājums ir vienāds ar 0.

Vektoru sistēmu sauc par ortogonālu, ja tajā esošie vektori ir pa pāriem ortogonāli.

Ortogonāla vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

Vektoru sistēmas ortogonalizācijas process , ... , sastāv no pārejas uz līdzvērtīgu ortogonālu sistēmu , ... , ko veic pēc formulām:

, kur , k = 2, … , n.

Piemērs 7.1. Ortogonalizēt vektoru sistēmu

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

Risinājums Mums ir = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

7.1. uzdevums. Ortogonalizēt vektoru sistēmas:

a) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

b) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

Piemērs 7.2. Pilna vektoru sistēma = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), uz telpas ortogonālo pamatu.

Risinājums: sākotnējā sistēma ir ortogonāla, tāpēc problēmai ir jēga. Tā kā vektori ir doti četrdimensiju telpā, mums jāatrod vēl divi vektori. Trešo vektoru = (x 1, x 2, x 3, x 4) nosaka no nosacījumiem = 0, = 0. Šie nosacījumi dod vienādojumu sistēmu, kuras matricu veido no vektoru koordinātu līnijām un . Mēs atrisinām sistēmu:

~ ~ .

Brīvajiem mainīgajiem x 3 un x 4 var piešķirt jebkuru vērtību kopu, kas nav nulles. Mēs pieņemam, piemēram, x 3 = 0, x 4 = 1. Tad x 2 = 0, x 1 = 1 un = (1, 0, 0, 1).

Līdzīgi mēs atrodam = (y 1, y 2, y 3, y 4). Lai to izdarītu, iepriekš iegūtajai pakāpeniskajai matricai pievienojam jaunu koordinātu līniju un samazinām to pakāpeniskā formā:

~ ~ .

Brīvajam mainīgajam y 3 iestatām y 3 = 1. Tad y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0 un = (0, 1, 1, 0).

Vektora norma Eiklīda telpā ir nenegatīvs reālais skaitlis.

Vektoru sauc par normalizētu, ja tā norma ir 1.

Lai normalizētu vektoru, tas jāsadala ar tā normu.

Normalizētu vektoru ortogonālu sistēmu sauc par ortonormālo.

7.2. uzdevums. Aizpildiet vektoru sistēmu līdz telpas ortonormālajam pamatam:

a) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

b) = (1/3, -2/3, 2/3).

Lineārie kartējumi

Lai U un V ir lineāras telpas virs lauka F. Kartējums f: U ® V tiek saukts par lineāru, ja un .

Piemērs 8.1. Vai trīsdimensiju telpas transformācijas ir lineāras:

a) f(x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 – x 3, 0);

b) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).

Risinājums.

a) Mums ir f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =

= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) – (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 - x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3 , 0) =

F((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3));

f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1, lx 2, lx 3) = (2lx 1, lx 1 – lx 3, 0) = l(2x 1, x 1 - x 3 , 0) =

L f(x 1, x 2, x 3).

Tāpēc transformācija ir lineāra.

b) Mums ir f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);

f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2, y 3 ) =

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).

Tāpēc transformācija nav lineāra.

Lineārās kartēšanas f attēls: U ® V ir vektoru attēlu kopa no U, tas ir

Im (f) = (f() ï О U). + … + a m1

8.1. uzdevums. Atrodiet matricas dotās lineārās kartēšanas f rangu, defektu, attēla pamatus un kodolu:

a) A = ; b) A = ; c) A = .

Lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmas

Problēmas formulēšana. Atrodiet kādu pamatu un nosakiet sistēmas lineārās risinājuma telpas izmēru

Risinājuma plāns.

1. Pierakstiet sistēmas matricu:

un izmantojot elementāras transformācijas pārveidojam matricu trīsstūrveida formā, t.i. uz šādu formu, kad visi elementi zem galvenās diagonāles ir vienādi ar nulli. Sistēmas matricas rangs ir vienāds ar lineāri neatkarīgu rindu skaitu, t.i., mūsu gadījumā, to rindu skaitu, kurās paliek elementi, kas nav nulle:

Risinājuma telpas izmērs ir . Ja , tad viendabīgai sistēmai ir viens nulles risinājums, ja , tad sistēmai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

2. Izvēlieties pamata un brīvos mainīgos. Brīvie mainīgie ir apzīmēti ar . Tad pamatmainīgos izsakām ar brīvajiem, tādējādi iegūstot vispārīgu risinājumu viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai.

3. Sistēmas risinājuma telpas bāzi rakstām, secīgi iestatot vienu no brīvajiem mainīgajiem vienādu ar vienu un pārējos ar nulli. Sistēmas lineārās atrisinājuma telpas dimensija ir vienāda ar bāzes vektoru skaitu.

Piezīme. Elementārās matricas transformācijas ietver:

1. virknes reizināšana (dalīšana) ar koeficientu, kas nav nulle;

2. jebkurai rindai pievienojot citu rindu, reizinot ar jebkuru skaitli;

3. līniju pārkārtošana;

4. 1.–3. transformācijas kolonnām (lineāru vienādojumu sistēmu risināšanas gadījumā netiek izmantotas kolonnu elementārās pārvērtības).

3. uzdevums. Atrodiet kādu pamatu un nosakiet sistēmas lineārās risinājuma telpas izmēru.

Mēs izrakstām sistēmas matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, samazinām to trīsstūrveida formā:

Mēs domājam, ka tad

Izpētot n-dimensiju vektora jēdzienus un ieviešot darbības ar vektoriem, mēs noskaidrojām, ka visu n-dimensiju vektoru kopa ģenerē lineāru telpu. Šajā rakstā mēs runāsim par svarīgākajiem saistītajiem jēdzieniem - vektoru telpas dimensiju un pamatu. Apskatīsim arī teorēmu par patvaļīga vektora paplašināšanu bāzē un saikni starp dažādām n-dimensiju telpas bāzēm. Ļaujiet mums sīkāk izpētīt tipisku piemēru risinājumus.

Lapas navigācija.

Vektortelpas un bāzes dimensijas jēdziens.

Vektoru telpas dimensijas un bāzes jēdzieni ir tieši saistīti ar lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas jēdzienu, tāpēc, ja nepieciešams, iesakām atsaukties uz rakstu vektoru sistēmas lineārā atkarība, lineārās atkarības un neatkarības īpašības. .

Definīcija.

Vektoru telpas izmērs ir skaitlis, kas vienāds ar maksimālo lineāri neatkarīgo vektoru skaitu šajā telpā.

Definīcija.

Vektoru telpas pamats ir sakārtota šīs telpas lineāri neatkarīgu vektoru kopa, kuru skaits ir vienāds ar telpas izmēru.

Sniegsim dažus argumentus, pamatojoties uz šīm definīcijām.

Apsveriet n-dimensiju vektoru telpu.

Parādīsim, ka šīs telpas dimensija ir n.

Ņemsim n formas formas vienību vektoru sistēmu

Ņemsim šos vektorus kā matricas A rindas. Šajā gadījumā matrica A būs identitātes matrica ar dimensiju n un n. Šīs matricas rangs ir n (ja nepieciešams, skatiet rakstu). Tāpēc vektoru sistēma ir lineāri neatkarīgs, un šai sistēmai nevar pievienot nevienu vektoru, nepārkāpjot tās lineāro neatkarību. Tā kā vektoru skaits sistēmā vienāds ar n, tad n-dimensiju vektoru telpas dimensija ir n, un vienības vektori ir šīs telpas pamatā.

No pēdējā apgalvojuma un pamata definīcijas mēs varam secināt, ka jebkura n-dimensiju vektoru sistēma, kurā vektoru skaits ir mazāks par n, nav pamats.

Tagad apmainīsim pirmo un otro sistēmas vektoru . Ir viegli parādīt, ka iegūtā vektoru sistēma ir arī n-dimensiju vektoru telpas pamats. Izveidosim matricu, par rindas ņemot šīs sistēmas vektorus. Šo matricu var iegūt no identitātes matricas, apmainot pirmo un otro rindu, tāpēc tās rangs būs n. Tādējādi n vektoru sistēma ir lineāri neatkarīgs un ir n-dimensiju vektoru telpas pamats.

Ja pārkārtosim citus sistēmas vektorus , tad iegūstam citu pamatu.

Ja ņemam lineāri neatkarīgu nevienības vektoru sistēmu, tad tā ir arī n-dimensiju vektoru telpas pamats.

Tādējādi vektoru telpai ar dimensiju n ir tik daudz bāzu, cik ir lineāri neatkarīgu n n-dimensiju vektoru sistēmu.

Ja mēs runājam par divdimensiju vektoru telpu (tas ir, par plakni), tad tās pamatā ir jebkuri divi nekolineāri vektori. Trīsdimensiju telpas pamats ir jebkuri trīs nekopplanāri vektori.

Apskatīsim dažus piemērus.

Piemērs.

Vai vektori ir trīsdimensiju vektoru telpas pamatā?

Risinājums.

Apskatīsim šo vektoru sistēmu lineārai atkarībai. Lai to izdarītu, izveidosim matricu, kuras rindas būs vektoru koordinātas, un atradīsim tās rangu:


Tādējādi vektori a, b un c ir lineāri neatkarīgi un to skaits ir vienāds ar vektoru telpas dimensiju, tāpēc tie ir šīs telpas pamats.

Atbilde:

Jā viņi ir.

Piemērs.

Vai vektoru sistēma var būt vektoru telpas pamatā?

Risinājums.

Šī vektoru sistēma ir lineāri atkarīga, jo maksimālais lineāri neatkarīgo trīsdimensiju vektoru skaits ir trīs. Līdz ar to šī vektoru sistēma nevar būt par pamatu trīsdimensiju vektoru telpai (lai gan pamats ir sākotnējās vektoru sistēmas apakšsistēma).

Atbilde:

Nē viņš nevar.

Piemērs.

Pārliecinieties, ka vektori

var būt četrdimensiju vektoru telpas pamats.

Risinājums.

Izveidosim matricu, par tās rindām ņemot sākotnējos vektorus:

Atradīsim:

Tātad vektoru sistēma a, b, c, d ir lineāri neatkarīga un to skaits ir vienāds ar vektoru telpas izmēru, tāpēc a, b, c, d ir tās pamats.

Atbilde:

Sākotnējie vektori patiešām ir četrdimensiju telpas pamats.

Piemērs.

Vai vektori veido 4. dimensijas vektoru telpas pamatu?

Risinājums.

Pat ja sākotnējā vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, tajā esošo vektoru skaits nav pietiekams, lai būtu četrdimensiju telpas pamats (šādas telpas pamats sastāv no 4 vektoriem).

Atbilde:

Nē, tā nav.

Vektora dekompozīcija pēc vektoru telpas bāzes.

Ļaujiet patvaļīgiem vektoriem ir n-dimensiju vektoru telpas pamats. Ja pievienosim tiem kādu n-dimensiju vektoru x, tad iegūtā vektoru sistēma būs lineāri atkarīga. No lineārās atkarības īpašībām mēs zinām, ka vismaz viens lineāri atkarīgās sistēmas vektors ir lineāri izteikts caur pārējiem. Citiem vārdiem sakot, vismaz viens no lineāri atkarīgas sistēmas vektoriem tiek izvērsts atlikušajos vektoros.

Tas mūs noved pie ļoti svarīgas teorēmas.

Teorēma.

Jebkuru n-dimensiju vektoru telpas vektoru var unikāli sadalīt bāzē.

Pierādījums.

Ļaujiet - n-dimensiju vektortelpas bāze. Pievienosim šiem vektoriem n-dimensiju vektoru x. Tad iegūtā vektoru sistēma būs lineāri atkarīga un vektoru x var lineāri izteikt vektoros : , kur daži skaitļi. Tādā veidā mēs ieguvām vektora x izvērsumu attiecībā pret bāzi. Atliek pierādīt, ka šī sadalīšanās ir unikāla.

Pieņemsim, ka ir vēl viens sadalījums, kur - daži skaitļi. No pēdējās vienādības kreisās un labās puses atņemsim attiecīgi vienādības kreiso un labo pusi:

Tā kā bāzes vektoru sistēma ir lineāri neatkarīgs, tad pēc vektoru sistēmas lineārās neatkarības definīcijas iegūtā vienādība ir iespējama tikai tad, ja visi koeficienti ir vienādi ar nulli. Tāpēc , kas pierāda vektora dekompozīcijas unikalitāti attiecībā pret bāzi.

Definīcija.

Koeficientus sauc vektora x koordinātas bāzē .

Pēc iepazīšanās ar teorēmu par vektora sadalīšanos bāzē, mēs sākam saprast izteikuma “mums ir dots n-dimensiju vektors” būtību. " Šī izteiksme nozīmē, ka mēs aplūkojam x n -dimensiju vektortelpas vektoru, kura koordinātas ir norādītas kādā bāzē. Tajā pašā laikā mēs saprotam, ka tam pašam vektoram x citā n-dimensiju vektoru telpas bāzē būs koordinātas, kas atšķiras no .

Apskatīsim šādu problēmu.

Dosim mums n lineāri neatkarīgu vektoru sistēmu kādā n-dimensiju vektoru telpas bāzē

un vektors . Tad vektori ir arī šīs vektortelpas pamatā.

Ļaujiet mums bāzē atrast vektora x koordinātas . Apzīmēsim šīs koordinātas kā .

Vektors x bāzē ir ideja. Rakstīsim šo vienādību koordinātu formā:

Šī vienādība ir ekvivalenta n lineāru algebrisko vienādojumu sistēmai ar n nezināmiem mainīgajiem :

Šīs sistēmas galvenajai matricai ir forma

Apzīmēsim to ar burtu A. Matricas A kolonnas attēlo lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas vektorus , tāpēc šīs matricas rangs ir n, tāpēc tās determinants nav nulle. Šis fakts norāda, ka vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums, ko var atrast ar jebkuru metodi, piemēram, vai.

Tādā veidā tiks atrastas nepieciešamās koordinātas vektors x bāzē .

Apskatīsim teoriju, izmantojot piemērus.

Piemērs.

Dažos trīsdimensiju vektoru telpas pamatos vektori

Pārliecinieties, ka vektoru sistēma ir arī šīs telpas pamats, un atrodiet vektora x koordinātas šajā bāzē.

Risinājums.

Lai vektoru sistēma būtu trīsdimensiju vektoru telpas pamatā, tai jābūt lineāri neatkarīgai. Noskaidrosim to, nosakot matricas A rangu, kuras rindas ir vektori. Atradīsim rangu, izmantojot Gausa metodi


tāpēc Rank(A) = 3, kas parāda vektoru sistēmas lineāro neatkarību.

Tātad, vektori ir pamats. Ļaujiet vektoram x šajā bāzē būt koordinātas. Tad, kā mēs parādījām iepriekš, attiecības starp šī vektora koordinātām nosaka vienādojumu sistēma

Aizvietojot tajā no nosacījuma zināmās vērtības, mēs iegūstam

Atrisināsim to, izmantojot Krāmera metodi:

Tādējādi vektoram x bāzē ir koordinātas .

Atbilde:

Piemērs.

Uz kāda pamata no četrdimensiju vektoru telpas, ir dota lineāri neatkarīga vektoru sistēma

Ir zināms, ka . Atrodiet vektora x koordinātas bāzē .

Risinājums.

Tā kā vektoru sistēma lineāri neatkarīgs pēc nosacījuma, tad tas ir četrdimensiju telpas pamats. Tad vienlīdzība nozīmē, ka vektors x bāzē ir koordinātas. Apzīmēsim vektora x koordinātas bāzē Kā .

Vienādojumu sistēma, kas nosaka attiecības starp vektora x koordinātām bāzēs Un izskatās kā

Mēs tajā aizstājam zināmās vērtības un atrodam vajadzīgās koordinātas:

Atbilde:

.

Attiecības starp bāzēm.

Dotas divas lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas kādā n-dimensiju vektoru telpas bāzē

Un

tas ir, tie ir arī šīs telpas pamati.

Ja - vektora koordinātas bāzē , tad koordinātu savienojums Un tiek dota ar lineāru vienādojumu sistēmu (par to mēs runājām iepriekšējā punktā):

, ko matricas formā var uzrakstīt kā

Līdzīgi var uzrakstīt vektoram

Iepriekšējās matricas vienādības var apvienot vienā, kas būtībā nosaka attiecības starp divu dažādu bāzu vektoriem

Līdzīgi mēs varam izteikt visus bāzes vektorus caur pamatu :

Definīcija.

Matrica sauca pārejas matrica no bāzes uz bāzi , tad vienlīdzība ir patiesa

Reizinot abas šīs vienādības puses no labās puses ar

mēs saņemam

Atradīsim pārejas matricu, bet sīkāk nepakavēsimies pie apgrieztās matricas atrašanas un matricu reizināšanas (skat. rakstus un, ja nepieciešams):

Atliek noskaidrot sakarību starp vektora x koordinātām dotajās bāzēs.

Lai vektora x pamatā ir koordinātas

un bāzē vektoram x ir koordinātes , tad

Tā kā pēdējo divu vienādību kreisās puses ir vienādas, mēs varam pielīdzināt labās puses:

Ja mēs reizinām abas labās puses ar

tad saņemam


Citā pusē

(pats atrodiet apgriezto matricu).
Pēdējās divas vienādības dod mums nepieciešamo attiecību starp vektora x koordinātām bāzēs un .

Atbilde:

Pārejas matricai no bāzes uz bāzi ir forma
;
vektora x koordinātes bāzēs un ir saistītas ar relācijām

vai
.

Mēs pārbaudījām vektoru telpas dimensijas un bāzes jēdzienus, iemācījāmies sadalīt vektoru bāzē un atklājām saikni starp dažādām n-dimensiju vektortelpas bāzēm, izmantojot pārejas matricu.

P Un A– apakškopa L. Ja A pati par sevi veido lineāru telpu virs lauka P par tām pašām operācijām kā L, Tas A sauc par telpas apakštelpu L.

Saskaņā ar lineārās telpas definīciju, lai A bija apakštelpa, kurā jāpārbauda iespējamība A operācijas:

1) :
;

2)
:
;

un pārbaudiet, vai operācijas ir veiktas A ir pakļauti astoņām aksiomām. Tomēr pēdējais būs lieks (sakarā ar to, ka šīs aksiomas saglabājas L), t.i. sekojošais ir taisnība

Teorēma. Lai L ir lineāra telpa virs lauka P un
. Kopa A ir L apakštelpa tad un tikai tad, ja ir izpildītas šādas prasības:

Paziņojums, apgalvojums. Ja L – n-dimensiju lineārā telpa un A tā apakštelpa A ir arī ierobežotas dimensijas lineāra telpa un tās izmērs nepārsniedz n.

P piemērs 1. Vai segmentu vektoru V 2 telpas apakštelpa ir visu plakņu vektoru kopa S, no kuriem katrs atrodas uz vienas no koordinātu asīm 0x vai 0y?

Risinājums: Ļaujiet
,
Un
,
. Tad
. Tāpēc S nav apakštelpa .

2. piemērs. Ir lineāras telpas lineāra apakštelpa V 2 ir daudz plaknes segmentu vektoru S visi plaknes vektori, kuru sākums un beigas atrodas uz noteiktas taisnes lšī lidmašīna?

Risinājums.

E sli vektors
reizināt ar reālo skaitli k, tad mēs iegūstam vektoru
, kas pieder arī S. If Un ir divi vektori no S, tad
(saskaņā ar vektoru pievienošanas likumu uz taisnas līnijas). Tāpēc S ir apakštelpa .

3. piemērs. Ir lineāras telpas lineāra apakštelpa V 2 ķekars A visi plaknes vektori, kuru gali atrodas uz noteiktas taisnes l, (pieņemsim, ka jebkura vektora izcelsme sakrīt ar koordinātu sākumu)?

R lēmumu.

Gadījumā, ja taisnā līnija l komplekts neiet cauri oriģinālam A telpas lineārā apakštelpa V 2 nav, jo
.

Gadījumā, ja taisnā līnija l iet caur izcelsmi, komplektu A ir telpas lineāra apakštelpa V 2 , jo
un reizinot jebkuru vektoru
uz reālu skaitli α no lauka R mēs saņemam
. Tādējādi lineārās telpas prasības komplektam A pabeigts.

4. piemērs. Dota vektoru sistēma
no lineārās telpas L virs lauka P. Pierādīt, ka visu iespējamo lineāro kombināciju kopa
ar izredzēm
no P ir apakštelpa L(šī ir apakštelpa A sauc par apakštelpu, ko ģenerē vektoru sistēma vai lineārais apvalks šī vektoru sistēma, un apzīmēti šādi:
vai
).

Risinājums. Patiešām, kopš , tad visiem elementiem x, yA mums ir:
,
, Kur
,
. Tad

Kopš tā laika
, Tāpēc
.

Pārbaudīsim, vai ir izpildīts teorēmas otrais nosacījums. Ja x– jebkurš vektors no A Un t– jebkurš numurs no P, Tas. Tāpēc ka
Un
,, Tas
, , Tāpēc
. Tādējādi saskaņā ar teorēmu kopa A– lineārās telpas apakštelpa L.

Attiecībā uz ierobežotām dimensiju lineārajām telpām ir taisnība arī otrādi.

Teorēma. Jebkura apakštelpa A lineārā telpa L virs lauka ir kādas vektoru sistēmas lineārais laidums.

Risinot lineārā apvalka pamata un dimensijas atrašanas problēmu, tiek izmantota šāda teorēma.

Teorēma. Lineārā apvalka bāze
sakrīt ar vektoru sistēmas pamatu. Lineārā apvalka izmērs sakrīt ar vektoru sistēmas rangu.

4. piemērs. Atrodiet apakštelpas pamatu un dimensiju
lineārā telpa R 3 [ x] , Ja
,
,
,
.

Risinājums. Ir zināms, ka vektoriem un to koordinātu rindām (kolonnām) ir vienādas īpašības (attiecībā uz lineāro atkarību). Matricas veidošana A=
no vektoru koordinātu kolonnām
pamatnē
.

Atradīsim matricas rangu A.

. M 3 =
.
.

Tāpēc rangs r(A)= 3. Tātad vektoru sistēmas rangs ir 3. Tas nozīmē, ka apakštelpas S dimensija ir 3, un tās bāze sastāv no trim vektoriem.
(kopš pamata minorā
ir iekļautas tikai šo vektoru koordinātas).

5. piemērs. Pierādīt, ka komplekts H aritmētiskie telpas vektori
, kuras pirmā un pēdējā koordinātas ir 0, veido lineāru apakštelpu. Atrodi tā pamatu un dimensiju.

Risinājums. Ļaujiet
.

Tad un . Tāpēc
jebkuram . Ja
,
, Tas. Tādējādi saskaņā ar lineāro apakštelpas teorēmu kopa H ir telpas lineāra apakštelpa. Atradīsim pamatu H. Apsveriet šādus vektorus no H:
,
, . Šī vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga. Patiešām, lai tā būtu.