Videokursā “Saņem A” iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.
Visa nepieciešamā teorija. Vienotā valsts eksāmena ātrie risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.
Pierādījums:
- Dots trijstūris ABC.
- Caur virsotni B novelkam taisni DK paralēli pamatnei AC.
- \angle CBK= \angle C kā iekšējais šķērsvirziena guļus ar paralēlu DK un AC, un nogrieznis BC.
- \angle DBA = \angle A iekšējais šķērsvirzis atrodas ar DK \paralēlo AC un secant AB. Leņķis DBK ir apgriezts un vienāds ar
- \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
- Tā kā nesalocītais leņķis ir vienāds ar 180 ^\circ un \angle CBK = \angle C un \angle DBA = \angle A , mēs iegūstam 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.
Teorēma ir pierādīta
Secinājumi no teorēmas par trijstūra leņķu summu:
- Taisnleņķa trijstūra akūto leņķu summa ir vienāda ar 90°.
- Vienādsānu taisnstūrī katrs asais leņķis ir vienāds ar 45°.
- Vienādmalu trīsstūrī katrs leņķis ir vienāds 60°.
- Jebkurā trīsstūrī vai nu visi leņķi ir asi, vai arī divi leņķi ir asi, bet trešais ir strups vai taisns.
- Trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu iekšējo leņķu summu, kas nav tam blakus.
Trīsstūra ārējā leņķa teorēma
Trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu atlikušo trīsstūra leņķu summu, kas nav blakus šim ārējam leņķim
Pierādījums:
- Dots trīsstūris ABC, kur BCD ir ārējais leņķis.
- \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
- No vienādībām leņķis \angle BCD + \angle BCA = 180^0
- Mēs saņemam \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.
Iepriekšēja informācija
Vispirms apskatīsim tieši trīsstūra jēdzienu.
1. definīcija
Par trijstūri sauksim ģeometrisku figūru, kuru veido trīs punkti, kas savienoti viens ar otru ar segmentiem (1. att.).
2. definīcija
1. definīcijas ietvaros punktus sauksim par trijstūra virsotnēm.
3. definīcija
1. definīcijas ietvaros segmenti tiks saukti par trijstūra malām.
Acīmredzot jebkuram trīsstūrim būs 3 virsotnes, kā arī trīs malas.
Teorēma par leņķu summu trijstūrī
Ieviesīsim un pierādīsim vienu no galvenajām ar trijstūriem saistītām teorēmām, proti, teorēmu par leņķu summu trijstūrī.
1. teorēma
Leņķu summa jebkurā patvaļīgā trīsstūrī ir $180^\circ$.
Pierādījums.
Apsveriet trīsstūri $EGF$. Pierādīsim, ka šī trijstūra leņķu summa ir vienāda ar $180^\circ$. Izveidosim papildu konstrukciju: novelkam taisni $XY||EG$ (2. att.)
Tā kā līnijas $XY$ un $EG$ ir paralēlas, tad $∠E=∠XFE$ atrodas šķērsām pie sekanta $FE$, un $∠G=∠YFG$ atrodas šķērsām pie sekanta $FG$.
Leņķis $XFY$ tiks apgriezts un tādējādi vienāds ar $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Līdz ar to
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Teorēma ir pierādīta.
Trīsstūra ārējā leņķa teorēma
Vēl vienu teorēmu par trijstūra leņķu summu var uzskatīt par teorēmu par ārējo leņķi. Vispirms iepazīstināsim ar šo jēdzienu.
4. definīcija
Par trijstūra ārējo leņķi sauksim leņķi, kas būs blakus jebkuram trijstūra leņķim (3. att.).
Tagad aplūkosim teorēmu tieši.
2. teorēma
Trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu trijstūra leņķu summu, kas nav tam blakus.
Pierādījums.
Apsveriet patvaļīgu trīsstūri $EFG$. Lai tam ir trijstūra $FGQ$ ārējais leņķis (3. att.).
Saskaņā ar 1. teorēmu mums būs $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, tāpēc
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Tā kā leņķis $FGQ$ ir ārējs, tad tas ir blakus leņķim $∠G$
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Teorēma ir pierādīta.
Uzdevumu paraugi
1. piemērs
Atrodiet visus trijstūra leņķus, ja tas ir vienādmalu.
Tā kā vienādmalu trijstūra visas malas ir vienādas, tad arī visi tajā esošie leņķi ir vienādi. Apzīmēsim viņu pakāpes mērus ar $ α $.
Tad ar 1. teorēmu iegūstam
$α+α+α=180^\circ$
Atbilde: visi leņķi ir vienādi ar $60^\circ$.
2. piemērs
Atrodiet visus vienādsānu trīsstūra leņķus, ja viens no tā leņķiem ir vienāds ar $100^\circ$.
Ieviesīsim šādu apzīmējumu leņķiem vienādsānu trīsstūrī:
Tā kā nosacījumā mums nav precīzi norādīts, ar kādu leņķi $100^\circ$ ir vienāds, tad ir iespējami divi gadījumi:
Leņķis, kas vienāds ar $100^\circ$, ir leņķis trijstūra pamatnē.
Izmantojot teorēmu par leņķiem vienādsānu trijstūra pamatnē, iegūstam
$∠2=∠3=100^\circ$
Bet tad tikai to summa būs lielāka par $180^\circ$, kas ir pretrunā ar 1. teorēmas nosacījumiem. Tas nozīmē, ka šis gadījums nenotiek.
Leņķis, kas vienāds ar $100^\circ$, ir leņķis starp vienādām malām, tas ir
Turpinājums no vakardienas:
Spēlēsim ar mozaīku pēc ģeometrijas pasakas:
Reiz bija trīsstūri. Tik līdzīgi, ka tās ir tikai viena otras kopijas.
Viņi kaut kā stāvēja blakus taisnā līnijā. Un tā kā viņi visi bija vienāda auguma -
tad viņu galotnes atradās vienā līmenī zem lineāla:
Trijstūriem patika gāzties un stāvēt uz galvas. Viņi uzkāpa uz augšējo rindu un stāvēja uz stūra kā akrobāti.
Un mēs jau zinām - kad viņi stāv ar galotnēm precīzi vienā rindā,
tad viņiem zoles arī seko lineālam - jo ja kāds ir vienāds augums, tad arī ir vienāds augums otrādi!
Viņi visā bija vienādi - vienāds augums un vienādas zoles,
un sānu slīdkalniņi - viens stāvāks, otrs plakanāks - ir vienāda garuma
un tiem ir vienāds slīpums. Nu, tikai dvīņi! (tikai dažādās drēbēs, katrai ar savu puzles gabalu).
- Kur trijstūriem ir identiskas malas? Kur stūri ir vienādi?
Trijstūri nostājās uz galvas, stāvēja tur un nolēma noslīdēt un apgulties apakšējā rindā.
Viņi slīdēja un slīdēja lejā no kalna; bet viņu slaidi ir vienādi!
Tātad tie precīzi iederējās starp apakšējiem trīsstūriem, bez atstarpēm, un neviens nevienu nepagrūda malā.
Apskatījām trīsstūrus un pamanījām interesantu iezīmi.
Visur, kur to leņķi saplūst, visi trīs leņķi noteikti sastapsies:
lielākais ir “galvas leņķis”, asākais leņķis un trešais, vidēji lielākais leņķis.
Sasēja pat krāsainas lentītes, lai uzreiz būtu skaidrs, kurš ir kurš.
Un izrādījās, ka trīs trijstūra leņķi, ja tos apvienojat -
veido vienu lielu leņķi, “atvērtu stūri” - kā atvērtas grāmatas vāku,
___________________________ O ___________________________
to sauc par pagrieztu leņķi.
Jebkurš trīsstūris ir kā pase: trīs leņķi kopā ir vienādi ar nesalocītu leņķi.
Kāds klauvē pie tavām durvīm: - knock-nock, es esmu trīsstūris, ļauj man pārnakšņot!
Un tu viņam saki - Parādiet man leņķu summu izvērstā veidā!
Un uzreiz ir skaidrs, vai tas ir īsts trīsstūris vai viltnieks.
Neizdevās verifikācija — Apgrieziet simt astoņdesmit grādus un dodieties mājās!
Kad viņi saka "pagriezieties par 180°", tas nozīmē apgriezties atpakaļ un
iet pretējā virzienā.
Tas pats pazīstamākos izteicienos, bez “reiz bija”:
Veiksim trijstūra ABC paralēlu tulkojumu pa OX asi
uz vektoru AB vienāds ar pamatnes AB garumu.
Taisne DF, kas iet caur trijstūra virsotnēm C un C 1
paralēli OX asij, sakarā ar to, ka perpendikulāri OX asij
segmenti h un h 1 (vienādu trīsstūru augstumi) ir vienādi.
Tādējādi trijstūra A 2 B 2 C 2 pamatne ir paralēla pamatnei AB
un vienāds ar to garumā (jo virsotne C 1 ir nobīdīta attiecībā pret C par summu AB).
Trijstūri A 2 B 2 C 2 un ABC ir vienādi no trim malām.
Tāpēc leņķi ∠A 1 ∠B ∠C 2, kas veido taisnu leņķi, ir vienādi ar trijstūra ABC leņķiem.
=> Trijstūra leņķu summa ir 180°
Ar kustībām - "tulkojumiem" tā sauktais pierādījums ir īsāks un skaidrāks,
pat bērns var saprast mozaīkas gabalus.
Bet tradicionālā skola:
pamatojoties uz iekšējo šķērsenisko leņķu vienādību, kas nogriezti uz paralēlām līnijām
vērtīgs, jo sniedz priekšstatu par to, kāpēc tas tā ir,
Kāpēc trijstūra leņķu summa ir vienāda ar apgriezto leņķi?
Jo pretējā gadījumā paralēlām līnijām nebūtu mūsu pasaulei pazīstamo īpašību.
Teorēmas darbojas abos virzienos. No paralēlo līniju aksiomas izriet
šķērsām guļus un vertikālo leņķu vienādība, un no tiem - trijstūra leņķu summa.
Bet ir arī pretējais: kamēr trijstūra leņķi ir 180°, pastāv paralēlas līnijas
(tā, lai caur punktu, kas neatrodas uz taisnes, var novilkt unikālu || no dotās līnijas).
Ja kādu dienu pasaulē parādās trīsstūris, kura leņķu summa nav vienāda ar izvērsto leņķi -
tad paralēlie pārstās būt paralēli, visa pasaule būs saliekta un šķība.
Ja svītras ar trīsstūra rakstiem ir novietotas viena virs otras -
jūs varat pārklāt visu lauku ar atkārtotu rakstu, piemēram, grīdu ar flīzēm:
uz šāda režģa var izsekot dažādas formas - sešstūrus, rombus,
zvaigžņu daudzstūri un iegūt dažādus parketus
Lidmašīnas flīzēšana ar parketu ir ne tikai izklaidējoša spēle, bet arī aktuāla matemātiska problēma:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
Tā kā katrs četrstūris ir taisnstūris, kvadrāts, rombs utt.,
var sastāvēt no diviem trijstūriem,
attiecīgi četrstūra leņķu summa: 180° + 180° = 360°
Identiski vienādsānu trīsstūri dažādos veidos ir salocīti kvadrātos.
Neliels kvadrāts no 2 daļām. Vidēji 4. Un lielākais no 8.
Cik figūru ir zīmējumā, kas sastāv no 6 trijstūriem?
