Viļņu vienādojums ir izteiksme, kas norāda oscilējošas daļiņas nobīdi atkarībā no tās koordinātām x, y, z un laika t:

(ar to saprotot daļiņas līdzsvara stāvokļa koordinātas). Šai funkcijai jābūt periodiskai gan attiecībā uz laiku t, gan attiecībā uz koordinātām x, y, z. Periodiskums laikā izriet no tā, ka tā apraksta daļiņas ar koordinātām x, y, z svārstības. Periodiskums koordinātās izriet no tā, ka punkti, kas viens no otra ir atdalīti ar attālumu K, vibrē vienādi.

Atradīsim funkcijas formu plaknes viļņa gadījumā, pieņemot, ka svārstībām ir harmonisks raksturs. Lai vienkāršotu, virzīsim koordinātu asis tā, lai ass sakristu ar viļņu izplatīšanās virzienu. Tad viļņu virsmas būs perpendikulāras asij un, tā kā visi viļņa virsmas punkti vibrē vienādi, tad nobīde būs atkarīga tikai no Lai plaknē esošo punktu svārstībām (94.1. att.) būtu forma.

Ļaujiet mums atrast punktu svārstību veidu plaknē, kas atbilst patvaļīgai x vērtībai. Lai pārvietotos no plaknes x = 0 uz šo plakni, vilnim nepieciešams laiks - viļņa izplatīšanās ātrums).

Līdz ar to x plaknē esošo daļiņu svārstības laikā atpaliks no daļiņu svārstībām plaknē, t.i., tām būs forma

Tātad plaknes viļņa (gan garenvirziena, gan šķērsvirziena) vienādojums, kas izplatās x-ass virzienā, ir šāds:

Lielums a apzīmē viļņa amplitūdu. Viļņa a sākuma fāzi nosaka pirmsākumu izvēle Apskatot vienu vilni, parasti laika un koordinātu sākumpunktus izvēlas tā, lai a būtu vienāda ar nulli. Apsverot vairākus viļņus kopā, parasti nav iespējams nodrošināt, ka sākotnējās fāzes visiem tiem ir vienādas ar nulli.

Fiksēsim jebkuru fāzes vērtību vienādojumā (94.2), liekot

(94.3)

Šī izteiksme nosaka saistību starp laiku t un vietu x, kurā fāzei ir fiksēta vērtība. Iegūtā vērtība norāda ātrumu, ar kādu noteiktā fāzes vērtība pārvietojas. Diferencējošo izteiksmi (94.3), iegūstam

Tādējādi viļņu izplatīšanās ātrums v vienādojumā (94.2) ir fāzes kustības ātrums, un tāpēc to sauc par fāzes ātrumu.

Saskaņā ar (94.4). Līdz ar to vienādojums (94.2) apraksta vilni, kas izplatās x pieauguma virzienā. Vilnis, kas izplatās pretējā virzienā, ir aprakstīts ar vienādojumu

Patiešām, pielīdzinot viļņa fāzi (94.5) konstantei un diferencējot iegūto vienādību, mēs nonākam pie attiecības

no kā izriet, ka vilnis (94.5) izplatās x samazināšanas virzienā.

Plaknes viļņa vienādojumam var dot formu, kas ir simetriska attiecībā pret x un t. Lai to izdarītu, mēs ieviešam daudzumu

ko sauc par viļņa skaitli. Samazinot izteiksmes skaitītāju un saucēju (94.6) līdz frekvencei v, mēs varam attēlot viļņa skaitli formā

(sk. formulu (93.2)). Atverot iekavas (94.2) un ņemot vērā (94.7), iegūstam šādu vienādojumu plaknes vilnim, kas izplatās pa x asi:

Viļņa vienādojums, kas izplatās samazināšanās x virzienā, atšķiras no (94.8) tikai ar termina zīmi

Atvasinot formulu (94.8), mēs pieņēmām, ka svārstību amplitūda nav atkarīga no x. Plaknes vilnim tas tiek novērots gadījumā, ja viļņa enerģija netiek absorbēta vidē. Izplatoties enerģiju absorbējošā vidē, viļņa intensitāte pakāpeniski samazinās līdz ar attālumu no svārstību avota - tiek novērota viļņu vājināšanās. Pieredze rāda, ka viendabīgā vidē šāda vājināšanās notiek pēc eksponenciāla likuma: ar amortizēto svārstību amplitūdas laika samazināšanos; skat. 1. sējuma formulu (58.7). Attiecīgi plaknes viļņu vienādojumam ir šāda forma:

Amplitūda plaknes punktos

Tagad atradīsim sfēriskā viļņa vienādojumu. Katram reālam viļņu avotam ir zināms apjoms. Tomēr, ja mēs aprobežojamies ar viļņiem attālumos no avota, kas ievērojami pārsniedz tā izmērus, tad avotu var uzskatīt par punktveida avotu. Izotropā un viendabīgā vidē punktveida avota radītais vilnis būs sfērisks. Pieņemsim, ka avota svārstību fāze ir vienāda, tad punkti, kas atrodas uz rādiusa viļņa virsmas, svārstīsies ar fāzi

Pirms viļņu procesa apskatīšanas, sniegsim svārstību kustības definīciju. Vilcināšanās - Tas ir periodiski atkārtojošs process. Svārstību kustību piemēri ir ļoti dažādi: gadalaiku maiņa, sirds vibrācijas, elpošana, lādiņš uz kondensatora plāksnēm un citi.

Svārstību vienādojums vispārējā formā ir uzrakstīts kā

Kur - svārstību amplitūda,
- cikliskā frekvence, - laiks, - sākuma fāze. Bieži sākuma fāzi var uzskatīt par nulli.

No svārstību kustības mēs varam pāriet uz viļņu kustību. Vilnis ir vibrāciju izplatīšanās process telpā laika gaitā. Tā kā svārstības izplatās telpā laika gaitā, viļņu vienādojumā jāņem vērā gan telpiskās koordinātas, gan laiks. Viļņu vienādojumam ir forma

kur A 0 – amplitūda,  – frekvence, t – laiks,  – viļņa skaitlis, z – koordināte.

Viļņu fiziskā būtība ir ļoti dažāda. Ir zināmi skaņas, elektromagnētiskie, gravitācijas un akustiskie viļņi.

Pamatojoties uz vibrācijas veidu, visus viļņus var iedalīt garenvirziena un šķērsvirziena. Garenvirziena viļņi - tie ir viļņi, kuros vides daļiņas svārstās pa viļņa izplatīšanās virzienu (3.1.a att.). Gareniskā viļņa piemērs ir skaņas vilnis.

Šķērsviļņi - tie ir viļņi, kuros vides daļiņas svārstās šķērsvirzienā attiecībā pret izplatīšanās virzienu (3.1.b att.).

Elektromagnētiskos viļņus klasificē kā šķērsviļņus. Jāņem vērā, ka elektromagnētiskajos viļņos lauks svārstās, un nenotiek vides daļiņu svārstības. Ja telpā izplatās vilnis ar vienu frekvenci , tad tāds vilnis sauca vienkrāsains .

Lai aprakstītu viļņu procesu izplatību, tiek ieviesti šādi raksturlielumi. Kosinusa arguments (skat. formulu (3.2)), t.i. izteiksme
, zvanīja viļņu fāze .

Shematiski viļņu izplatīšanās pa vienu koordinātu ir parādīta attēlā. 3.2, šajā gadījumā izplatīšanās notiek pa z asi.

Periods – vienas pilnīgas svārstības laiks. Periods tiek apzīmēts ar burtu T un tiek mērīts sekundēs (s). Perioda reciproku sauc lineārā frekvence un ir norādīts f, mēra hercos (=Hz). Lineārā frekvence ir saistīta ar apļveida frekvenci. Attiecības izsaka ar formulu

(3.3)

Ja fiksējam laiku t, tad no att. 3.2 ir skaidrs, ka ir punkti, piemēram, A un B, kas vibrē vienādi, t.i. fāzē (fāzē). Tiek saukts attālums starp tuvākajiem diviem punktiem, kas svārstās fāzē viļņa garums . Viļņa garums ir apzīmēts ar  un mērīts metros (m).

Viļņa skaitlis  un viļņa garums  ir saistīti viens ar otru pēc formulas

(3.4)

Viļņa skaitli  citādi sauc par fāzes konstanti vai izplatīšanās konstanti. No formulas (3.4) ir skaidrs, ka izplatīšanās konstante tiek mērīta ar ( ). Fiziskā nozīme ir tāda, ka tas parāda, cik radiānu mainās viļņa fāze, šķērsojot vienu metru.

Lai aprakstītu viļņu procesu, tiek ieviests viļņu frontes jēdziens. Viļņu fronte – tā ir virsmas iedomāto punktu ģeometriskā atrašanās vieta, līdz kurai ir sasniegusi ierosme. Viļņu fronti sauc arī par viļņu fronti.

Vienādojumu, kas apraksta plaknes viļņa viļņa fronti, var iegūt no (3.2) vienādojuma formā

(3.5)

Formula (3.5) ir plaknes viļņa viļņu frontes vienādojums. Vienādojums (3.4) parāda, ka viļņu frontes ir bezgalīgas plaknes, kas pārvietojas telpā perpendikulāri z asij.

Fāzes frontes kustības ātrumu sauc fāzes ātrums . Fāzes ātrumu apzīmē ar V f un nosaka pēc formulas

(3.6)

Sākotnēji vienādojums (3.2) satur fāzi ar divām zīmēm – negatīvu un pozitīvu. Negatīvā zīme, t.i.
, norāda, ka viļņu fronte izplatās pa z-ass pozitīvo izplatīšanās virzienu. Šādu vilni sauc par ceļošanu vai krišanu.

Pozitīva viļņa fāzes zīme norāda uz viļņa frontes kustību pretējā virzienā, t.i. pretēji z-ass virzienam. Šādu vilni sauc par atstarotu.

Turpmāk aplūkosim ceļojošos viļņus.

Ja vilnis izplatās reālā vidē, tad siltuma zudumu dēļ neizbēgami notiek amplitūdas samazināšanās. Apskatīsim vienkāršu piemēru. Ļaujiet vilnim izplatīties pa z asi un viļņa amplitūdas sākotnējā vērtība atbilst 100%, t.i. A 0 = 100. Pieņemsim, ka, ejot garām vienam ceļa metram, viļņa amplitūda samazinās par 10%. Tad mums būs šādas viļņu amplitūdu vērtības

Vispārējam amplitūdas izmaiņu modelim ir forma

Eksponenciālajai funkcijai ir šādas īpašības. Grafiski procesu var parādīt att. 3.3.

Kopumā proporcionalitātes attiecību mēs rakstām kā

, (3.7)

kur  ir viļņu vājināšanās konstante.

Fāzes konstanti  un slāpēšanas konstanti  var apvienot, ieviešot kompleksu izplatīšanās konstanti , t.i.

, (3.8)

kur  ir fāzes konstante,  ir viļņu vājinājuma konstante.

Atkarībā no viļņu frontes veida izšķir plakanos, sfēriskos un cilindriskos viļņus.

Lidmašīnas vilnis ir vilnis, kam ir plaknes viļņu fronte. Plaknes vilnim var dot arī šādu definīciju. Vilni sauc par plakni homogēnu, ja vektora lauks Un jebkurā plaknes punktā ir perpendikulāri izplatīšanās virzienam un nemainās fāzē un amplitūdā.

Plaknes viļņu vienādojums

Ja avots, kas rada vilni, ir punktveida avots, tad viļņu fronte, kas izplatās neierobežotā viendabīgā telpā, ir sfēra. Sfērisks vilnis ir vilnis, kam ir sfēriska viļņu fronte. Sfēriskā viļņa vienādojumam ir forma

, (3.10)

kur r ir rādiusa vektors, kas novilkts no sākuma punkta, kas sakrīt ar punktveida avota pozīciju, līdz noteiktam telpas punktam, kas atrodas attālumā r.

Viļņus var ierosināt nebeidzama avotu virkne, kas atrodas gar z asi. Šajā gadījumā šāds pavediens radīs viļņus, kuru fāzes priekšpuse ir cilindriska virsma.

Cilindrisks vilnis ir vilnis, kam ir fāzes fronte cilindriskas virsmas formā. Cilindriskā viļņa vienādojums ir

, (3.11)

Formulas (3.2), (3.10, 3.11) norāda uz atšķirīgu amplitūdas atkarību no attāluma starp viļņa avotu un konkrēto telpas punktu, līdz kuram vilnis sasniedza.

Helmholca vienādojumi

Maksvels ieguva vienu no svarīgākajiem rezultātiem elektrodinamikā, pierādot, ka elektromagnētisko procesu izplatīšanās telpā laika gaitā notiek viļņa veidā. Apskatīsim šī priekšlikuma pierādījumu, t.i. Pierādīsim elektromagnētiskā lauka viļņu raksturu.

Uzrakstīsim pirmos divus Maksvela vienādojumus sarežģītā formā kā

(3.12)

Ņemsim sistēmas (3.12) otro vienādojumu un piemērosim tam rotora darbību kreisajā un labajā pusē. Rezultātā mēs iegūstam

Apzīmēsim
, kas apzīmē izplatīšanās konstanti. Tādējādi

(3.14)

No otras puses, pamatojoties uz vektoru analīzē labi zināmo identitāti, mēs varam rakstīt

, (3.15)

Kur
ir Laplasa operators, kas Dekarta koordinātu sistēmā tiek izteikts ar identitāti

(3.16)

Ņemot vērā Gausa likumu, t.i.
, vienādojums (3.15) tiks uzrakstīts vienkāršākā formā

, vai

(3.17)

Līdzīgi, izmantojot Maksvela vienādojumu simetriju, mēs varam iegūt vektora vienādojumu , t.i.

(3.18)

Formas (3.17, 3.18) vienādojumus sauc par Helmholca vienādojumiem. Matemātikā ir pierādīts, ka, ja kāds process ir aprakstīts Helmholca vienādojumu veidā, tas nozīmē, ka process ir viļņu process. Mūsu gadījumā mēs secinām: laikā mainīgie elektriskie un magnētiskie lauki neizbēgami noved pie elektromagnētisko viļņu izplatīšanās telpā.

Koordinātu formā Helmholca vienādojums (3.17) ir uzrakstīts kā

Kur ,,- vienību vektori pa attiecīgajām koordinātu asīm

,

,

.(3.20)

Plaknes viļņu īpašības, izplatoties neabsorbējošā vidē

Ļaujiet plaknes elektromagnētiskajam vilnim izplatīties pa z asi, tad viļņa izplatību apraksta ar diferenciālvienādojumu sistēmu

(3.21)

Kur Un - kompleksās lauka amplitūdas,

(3.22)

Sistēmas (3.21.) risinājumam ir forma

(3.23)

Ja vilnis izplatās tikai vienā virzienā pa z asi, un vektors ir vērsta pa x asi, tad vienādojumu sistēmas atrisinājumu vēlams rakstīt formā

(3.24)

Kur Un - vienību vektori pa x, y asīm.

Ja barotnē nav zudumu, t.i. vides parametri  a un  a, un
ir reāli daudzumi.

Uzskaitīsim plakanu elektromagnētisko viļņu īpašības

Videi tiek ieviests vides viļņu pretestības jēdziens

(3.25)

Kur ,
- lauka intensitātes amplitūdas vērtības. Raksturīgā pretestība nesējai bez zudumiem arī ir reāla vērtība.

Gaisam viļņu pretestība ir

(3.26)

No (3.24) vienādojuma ir skaidrs, ka magnētiskais un elektriskais lauks atrodas fāzē. Plaknes viļņu lauks ir ceļojošs vilnis, kas ir uzrakstīts formā

(3.27)

Attēlā 3.4 lauka vektori Un fāzes izmaiņas, kā izriet no formulas (3.27.).

Pointinga vektors jebkurā brīdī sakrīt ar viļņu izplatīšanās virzienu

(3.28)

Pointinga vektora modulis nosaka jaudas plūsmas blīvumu un tiek mērīts
.

Vidējo jaudas plūsmas blīvumu nosaka ar

(3.29)

, (3.30)

Kur
- lauka intensitātes efektīvās vērtības.

Lauka enerģiju, kas atrodas tilpuma vienībā, sauc par enerģijas blīvumu. Elektromagnētiskais lauks laika gaitā mainās, t.i. ir mainīgs. Enerģijas blīvuma vērtību noteiktā laikā sauc par momentāno enerģijas blīvumu. Elektromagnētiskā lauka elektriskajām un magnētiskajām sastāvdaļām momentānās enerģijas blīvums ir attiecīgi vienāds

Ņemot vērā, ka
, no attiecībām (3.31) un (3.32) ir skaidrs, ka
.

Kopējais elektromagnētiskās enerģijas blīvums ir norādīts ar

(3.33)

Elektromagnētiskā viļņa izplatīšanās fāzes ātrumu nosaka pēc formulas

(3.34)

Tiek noteikts viļņa garums

(3.35)

Kur - viļņa garums vakuumā (gaisā), s - gaismas ātrums gaisā,  - relatīvā dielektriskā konstante,  - relatīvā magnētiskā caurlaidība, f– lineārā frekvence,  – cikliskā frekvence, V f – fāzes ātrums,  – izplatīšanās konstante.

Enerģijas kustības ātrumu (grupas ātrumu) var noteikt pēc formulas

(3.36)

Kur - Pointing vektors, - enerģijas blīvums.

Ja jūs krāsojat un saskaņā ar formulām (3.28), (3.33), iegūstam

(3.37)

Tādējādi mēs iegūstam

(3.38)

Kad elektromagnētiskais monohromatiskais vilnis izplatās vidē bez zudumiem, fāzes un grupas ātrumi ir vienādi.

Pastāv sakarība starp fāzes un grupas ātrumu, kas izteikta ar formulu

(3.39)

Apskatīsim piemēru elektromagnētiskā viļņa izplatībai fluoroplastā ar parametriem  =2, =1. Ļaujiet elektriskā lauka stiprumam atbilst

(3.40)

Viļņu izplatīšanās ātrums šādā vidē būs vienāds ar

Fluoroplastikas raksturīgā pretestība atbilst vērtībai

omi (3,42)

Magnētiskā lauka intensitātes amplitūdas vērtības pārņem vērtības

, (3.43)

Enerģijas plūsmas blīvums attiecīgi ir vienāds ar

Viļņa garums frekvencē
ir nozīme

(3.45)

Umova – Pointinga teorēma

Elektromagnētisko lauku raksturo sava lauka enerģija, un kopējo enerģiju nosaka elektriskā un magnētiskā lauka enerģiju summa. Ļaujiet elektromagnētiskajam laukam aizņemt slēgtu tilpumu V, tad mēs varam rakstīt

(3.46)

Elektromagnētiskā lauka enerģija principā nevar palikt nemainīga. Rodas jautājums: kādi faktori ietekmē enerģijas izmaiņas? Ir konstatēts, ka enerģijas izmaiņas slēgtā tilpumā ietekmē šādi faktori:

daļu no elektromagnētiskā lauka enerģijas var pārvērst cita veida enerģijā, piemēram, mehāniskā;

slēgta tilpuma iekšpusē var darboties ārēji spēki, kas var palielināt vai samazināt aplūkojamajā tilpumā esošā elektromagnētiskā lauka enerģiju;

aplūkojamais slēgtais tilpums V var apmainīties ar enerģiju ar apkārtējiem ķermeņiem enerģijas starojuma procesā.

Starojuma intensitāti raksturo Pointinga vektors . Apjoms V ir ar slēgtu virsmu S. Elektromagnētiskā lauka enerģijas izmaiņas var uzskatīt par Pointinga vektora plūsmu caur slēgto virsmu S (3.5. att.), t.i.
, un ir iespējamas iespējas
>0 ,
<0 ,
=0 . Ņemiet vērā, ka normāli novilkta uz virsmas
, vienmēr ir ārējs.

Atgādināsim jums to
, Kur
ir momentānās lauka intensitātes vērtības.

Pāreja no virsmas integrāļa
uz integrāli virs tilpuma V tiek veikta, pamatojoties uz Ostrogradska-Gausa teorēmu.

To zinot

Aizstāsim šīs izteiksmes formulā (3.47). Pēc transformācijas mēs iegūstam izteiksmi šādā formā:

No formulas (3.48) ir skaidrs, ka kreiso pusi izsaka ar summu, kas sastāv no trim vārdiem, no kuriem katru aplūkosim atsevišķi.

Jēdziens
izsaka momentāns jaudas zudums , ko izraisa vadītspējas strāvas aplūkotajā slēgtajā tilpumā. Citiem vārdiem sakot, termins izsaka siltumenerģijas zudumus laukā, kas atrodas slēgtā tilpumā.

Otrais termiņš
izsaka ārējo spēku darbu, kas veikts laika vienībā, t.i. ārējo spēku spēks. Šādai jaudai iespējamās vērtības ir
>0,
<0.

Ja
>0, tie. V tilpumam pievieno enerģiju, tad ārējos spēkus var uzskatīt par ģeneratoru. Ja
<0 , t.i. tilpumā V ir enerģijas samazināšanās, tad ārējie spēki spēlē slodzes lomu.

Pēdējo lineārās vides terminu var attēlot šādi:

(3.49)

Formula (3.49) izsaka tilpuma V iekšpusē esošā elektromagnētiskā lauka enerģijas izmaiņu ātrumu.

Pēc visu terminu izskatīšanas formulu (3.48) var uzrakstīt šādi:

Formula (3.50) izsaka Pointinga teorēmu. Pointinga teorēma izsaka enerģijas līdzsvaru patvaļīgā reģionā, kurā pastāv elektromagnētiskais lauks.

Aizkavēti potenciāli

Maksvela vienādojumiem sarežģītā formā, kā zināms, ir šāda forma:

(3.51)

Lai viendabīgā vidē ir ārējās strāvas. Mēģināsim pārveidot Maksvela vienādojumus šādai videi un iegūt vienkāršāku vienādojumu, kas apraksta elektromagnētisko lauku šādā vidē.

Ņemsim vienādojumu
.Zinot, ka īpašības Un savstarpēji saistīti
, tad varam rakstīt
Ņemsim vērā, ka magnētiskā lauka intensitāti var izteikt, izmantojot vektora elektrodinamiskais potenciāls , ko ievada relācija
, Tad

(3.52)

Ņemsim Maksvela sistēmas otro vienādojumu (3.51) un veiksim transformācijas:

(3.53)

Formula (3.53) izsaka Maksvela otro vienādojumu vektora potenciāla izteiksmē . Formulu (3.53) var uzrakstīt kā

(3.54)

Elektrostatikā, kā zināms, pastāv šāda sakarība:

(3.55)

Kur - lauka intensitātes vektors,
- skalārais elektrostatiskais potenciāls. Mīnusa zīme norāda, ka vektors vērsta no augstāka potenciāla punkta uz zemāka potenciāla punktu.

Izteiksmi iekavās (3.54) pēc analoģijas ar formulu (3.55) var uzrakstīt formā

(3.56)

Kur
- skalārais elektrodinamiskais potenciāls.

Ņemsim Maksvela pirmo vienādojumu un uzrakstīsim to, izmantojot elektrodinamiskos potenciālus

Vektoru algebrā ir pierādīta šāda identitāte:

Izmantojot identitāti (3.58), mēs varam attēlot Maksvela pirmo vienādojumu, kas uzrakstīts formā (3.57), kā

Dosim līdzīgu

Reiziniet kreiso un labo pusi ar koeficientu (-1):

var norādīt patvaļīgi, tāpēc mēs varam pieņemt, ka

Izteiksme (3.60) tiek izsaukta Lorenca mērinstruments .

Ja w=0 , tad mēs saņemam Kulona kalibrēšana
=0.

Ņemot vērā mērinstrumentus, var uzrakstīt vienādojumu (3.59).

(3.61)

Vienādojums (3.61) izsaka nehomogēna viļņa vienādojums vektora elektrodinamiskajam potenciālam.

Līdzīgā veidā, pamatojoties uz Maksvela trešo vienādojumu
, mēs varam iegūt nehomogēnu vienādojumu skalārais elektrodinamiskais potenciāls kā:

(3.62)

Iegūtajiem elektrodinamisko potenciālu nehomogēniem vienādojumiem ir savi risinājumi

, (3.63)

Kur M- patvaļīgs punkts M, - tilpuma lādiņa blīvums, γ - izplatīšanās konstante, r

(3.64)

Kur V- ārējo strāvu aizņemtais tilpums, r– pašreizējais attālums no katra avota tilpuma elementa līdz punktam M.

Tiek izsaukts vektora elektrodinamiskā potenciāla (3.63), (3.64) risinājums Kirhhofa integrālis aizkavētiem potenciāliem .

Faktors
var izteikt, ņemot vērā
kā

Šis faktors atbilst viļņa izplatīšanās ierobežotajam ātrumam no avota, un
Jo viļņu izplatīšanās ātrums ir ierobežots lielums, tad viļņus ģenerējošā avota ietekme sasniedz patvaļīgu punktu M ar laika aizkavi. Aizkaves laika vērtību nosaka:
Attēlā 3.6 parāda punktveida avotu U, kas apkārtējā viendabīgā telpā izstaro sfēriskus viļņus, kas izplatās ar ātrumu v, kā arī patvaļīgu punktu M, kas atrodas attālumā r, kuru vilnis sasniedz.

Laika momentā t vektora potenciāls
punktā M ir avotā plūstošo strāvu funkcija U agrākā laikā
Citiem vārdiem sakot,
ir atkarīgs no avota strāvām, kas tajā plūda agrākā brīdī

No formulas (3.64) ir skaidrs, ka vektora elektrodinamiskais potenciāls ir paralēls (līdzvirziena) ar ārējo spēku strāvas blīvumu; tā amplitūda samazinās saskaņā ar likumu; lielos attālumos, salīdzinot ar emitētāja izmēru, vilnim ir sfēriska viļņa fronte.

Ņemot vērā
un Maksvela pirmo vienādojumu, elektriskā lauka intensitāti var noteikt:

Iegūtās attiecības nosaka elektromagnētisko lauku telpā, ko rada noteikts ārējo strāvu sadalījums

Plakano elektromagnētisko viļņu izplatīšanās augsti vadošos vidēs

Apskatīsim elektromagnētiskā viļņa izplatīšanos vadošā vidē. Šādus nesējus sauc arī par metāliem līdzīgiem nesējiem. Reāla vide ir vadoša, ja vadīšanas strāvu blīvums ievērojami pārsniedz nobīdes strāvu blīvumu, t.i.
Un
, un
, vai

(3.66)

Formula (3.66) izsaka nosacījumu, saskaņā ar kuru reālu vidi var uzskatīt par vadošu. Citiem vārdiem sakot, kompleksās dielektriskās konstantes iedomātajai daļai ir jāpārsniedz reālā daļa. Formula (3.66) arī parāda atkarību uz frekvenci, un jo zemāka ir frekvence, jo izteiktākas ir vadītāja īpašības vidē. Apskatīsim šo situāciju ar piemēru.

Jā, ar frekvenci f = 1 MHz = 10 6 Hz sausai augsnei ir parametri =4, =0,01 ,. Salīdzināsim viens ar otru Un , t.i.
. No iegūtajām vērtībām ir skaidrs, ka 1,610 -19 >> 3,5610 -11, tāpēc sausa augsne jāuzskata par vadošu, kad izplatās vilnis ar frekvenci 1 MHz.

Reālai videi mēs pierakstām sarežģīto dielektrisko konstanti

(3.67)

jo mūsu gadījumā
, tad par vadošu mediju mēs varam rakstīt

, (3.68)

kur  ir īpatnējā vadītspēja,  ir cikliskā frekvence.

Izplatīšanās konstante , kā zināms, tiek noteikta no Helmholca vienādojumiem

Tādējādi mēs iegūstam izplatīšanās konstantes formulu

(3.69)

Ir zināms, ka

(3.70)

Ņemot vērā identitāti (3.49), formulu (3.50) var ierakstīt formā

(3.71)

Izplatīšanās konstante tiek izteikta kā

(3.72)

Reālās un iedomātās daļas salīdzinājums formulās (3.71), (3.72) noved pie fāzes konstantes  un slāpēšanas konstantes  vērtību vienādības, t.i.

(3.73)

No formulas (3.73) mēs izrakstām viļņa garumu, ko lauks iegūst, izplatoties labi vadošā vidē

(3.74)

Kur - viļņa garums metālā.

No iegūtās formulas (3.74) ir skaidrs, ka elektromagnētiskā viļņa garums, kas izplatās metālā, ir ievērojami samazināts salīdzinājumā ar viļņa garumu telpā.

Iepriekš tika teikts, ka viļņa amplitūda, izplatoties vidē ar zudumiem, samazinās saskaņā ar likumu
. Lai raksturotu viļņu izplatīšanās procesu vadošā vidē, tiek ieviests jēdziens virsmas slāņa dziļums vai iespiešanās dziļums .

Virsmas slāņa dziļums - tas ir attālums d, pie kura virsmas viļņa amplitūda samazinās par koeficientu e, salīdzinot ar tā sākotnējo līmeni.

(3.75)

Kur - viļņa garums metālā.

Virsmas slāņa dziļumu var noteikt arī pēc formulas

, (3.76)

kur  ir cikliskā frekvence,  a ir vides absolūtā magnētiskā caurlaidība,  ir vides īpatnējā vadītspēja.

No formulas (3.76) ir skaidrs, ka, palielinoties frekvencei un īpatnējai vadītspējai, virsmas slāņa dziļums samazinās.

Sniegsim piemēru. Vadītspējas vara
frekvencē f = 10 GHz ( = 3cm) ir virsmas slāņa dziļums d =
. No tā mēs varam izdarīt svarīgu secinājumu praksei: augstas vadītspējas vielas slāņa uzklāšana uz nevadoša pārklājuma ļaus izgatavot ierīces elementus ar zemiem siltuma zudumiem.

Plaknes viļņa atstarošana un laušana saskarnē

Plakanam elektromagnētiskajam vilnim izplatoties telpā, kas sastāv no reģioniem ar dažādām parametru vērtībām
un saskarne plaknes formā, rodas atspoguļoti un lauzti viļņi. Šo viļņu intensitāti nosaka, izmantojot atstarošanas un laušanas koeficientus.

Viļņu atstarošanas koeficients ir atstaroto un krītošo viļņu elektriskā lauka intensitātes komplekso vērtību attiecība saskarnē, un to nosaka pēc formulas:

(3.77)

Nokārtošanas rādītājs viļņi Otrajā vidē no pirmās sauc par lūzuma elektriskā lauka intensitātes komplekso vērtību attiecību uz krišanu viļņi un tiek noteikts pēc formulas

(3.78)

Ja krītošā viļņa Pointinga vektors ir perpendikulārs saskarnei, tad

(3.79)

kur Z 1 ,Z 2 – atbilstošā vidē raksturīgā pretestība.

Raksturīgo pretestību nosaka pēc formulas:

Kur
(3.80)

.

Ar slīpu krišanu viļņu izplatīšanās virzienu attiecībā pret saskarni nosaka krišanas leņķis. Krituma leņķis – leņķis starp normālu pret virsmu un staru kūļa izplatīšanās virzienu.

Saslimstības plakne ir plakne, kas satur krītošo staru un normālu, kas atjaunota līdz krišanas punktam.

No robežnosacījumiem izriet, ka krišanas leņķi un refrakcija saistīts ar Snella likumu:

(3.81)

kur n 1, n 2 ir atbilstošās vides refrakcijas rādītāji.

Elektromagnētiskajiem viļņiem ir raksturīga polarizācija. Ir eliptiskas, apļveida un lineāras polarizācijas. Lineārajā polarizācijā izšķir horizontālo un vertikālo polarizāciju.

Horizontālā polarizācija – polarizācija, pie kuras vektors svārstās plaknē, kas ir perpendikulāra krišanas plaknei.

Ļaujiet plakanam elektromagnētiskajam vilnim ar horizontālu polarizāciju nokrist uz divu datu nesēju saskarnes, kā parādīts attēlā. 3.7. Krītošā viļņa Pointinga vektors ir norādīts ar . Jo vilnim ir horizontāla polarizācija, t.i. elektriskā lauka intensitātes vektors svārstās plaknē, kas ir perpendikulāra krišanas plaknei, tad to apzīmē un attēlā. 3.7 ir attēlots kā aplis ar krustu (novērsts no mums). Attiecīgi magnētiskā lauka intensitātes vektors atrodas viļņa krišanas plaknē un ir norādīts . Vektori ,,veido vektoru labās puses tripletu.

Atstarotajam viļņam attiecīgie lauka vektori ir aprīkoti ar indeksu “neg”, refrakcijas vilnim indekss ir “pr”.

Ar horizontālu (perpendikulāru) polarizāciju atstarošanas un caurlaidības koeficientus nosaka šādi (3.7. att.).

Divu datu nesēju saskarnē ir izpildīti robežnosacījumi, t.i.

Mūsu gadījumā mums ir jāidentificē vektoru tangenciālās projekcijas, t.i. var pierakstīt

Magnētiskā lauka intensitātes līnijas krītošajiem, atstarotajiem un lauztajiem viļņiem ir vērstas perpendikulāri krišanas plaknei. Tāpēc mums vajadzētu rakstīt

Pamatojoties uz to, mēs varam izveidot sistēmu, kuras pamatā ir robežnosacījumi

Ir arī zināms, ka elektriskā un magnētiskā lauka stiprumi ir savstarpēji saistīti caur vides raksturīgo pretestību Z

Tad sistēmas otro vienādojumu var uzrakstīt kā

Tātad vienādojumu sistēma ieguva formu

Sadalīsim abus šīs sistēmas vienādojumus ar krītošā viļņa amplitūdu
un, ņemot vērā laušanas koeficienta (3.77) un transmisijas (3.78) definīcijas, sistēmu varam uzrakstīt formā

Sistēmai ir divi risinājumi un divi nezināmi lielumi. Ir zināms, ka šāda sistēma ir atrisināma.

Vertikālā polarizācija – polarizācija, pie kuras vektors svārstās krišanas plaknē.

Ar vertikālo (paralēlo) polarizāciju atstarošanas un caurlaidības koeficienti tiek izteikti šādi (3.8. att.).

Vertikālajai polarizācijai tiek uzrakstīta līdzīga vienādojumu sistēma kā horizontālajai polarizācijai, bet ņemot vērā elektromagnētiskā lauka vektoru virzienu

Šādu vienādojumu sistēmu var līdzīgi reducēt līdz formai

Sistēmas risinājums ir atstarošanas un pārraides koeficientu izteiksmes

Ja plakni elektromagnētiskie viļņi ar paralēlu polarizāciju krīt uz saskarnes starp diviem medijiem, atstarošanas koeficients var kļūt par nulli. Krituma leņķi, pie kura krītošais vilnis pilnīgi bez atstarošanas iekļūst no vienas vides citā, sauc par Brūstera leņķi un apzīmē kā
.

(3.84)

(3.85)

Mēs uzsveram, ka Brewster leņķis, kad plaknes elektromagnētiskais vilnis krīt uz nemagnētisku dielektriķi, var pastāvēt tikai ar paralēlu polarizāciju.

Ja plaknes elektromagnētiskais vilnis krīt patvaļīgā leņķī uz saskarnes starp diviem medijiem ar zudumiem, tad atstarotie un lauztie viļņi jāuzskata par neviendabīgiem, jo ​​vienādu amplitūdu plaknei jāsakrīt ar saskarni. Īstiem metāliem leņķis starp fāzes fronti un vienādu amplitūdu plakni ir mazs, tāpēc varam pieņemt, ka laušanas leņķis ir 0.

Ščukina-Leontoviča aptuvenie robežnosacījumi

Šie robežnosacījumi ir piemērojami, ja viens no medijiem ir labs vadītājs. Pieņemsim, ka plaknes elektromagnētiskais vilnis krīt no gaisa leņķī  uz plaknes saskarni ar labi vadošu vidi, ko raksturo kompleksais laušanas koeficients

(3.86)

No labi vadoša medija jēdziena definīcijas izriet, ka
. Piemērojot Snela likumu, var atzīmēt, ka laušanas leņķis  būs ļoti mazs. No tā mēs varam pieņemt, ka lauztais vilnis iekļūst labi vadošā vidē gandrīz pa normālu virzienu pie jebkuras krišanas leņķa vērtības.

Izmantojot Leontoviča robežnosacījumus, jums jāzina magnētiskā vektora pieskares komponents . Parasti tiek aptuveni pieņemts, ka šī vērtība sakrīt ar līdzīgu komponentu, kas aprēķināts ideāla vadītāja virsmai. Kļūda, kas rodas no šādas tuvināšanas, būs ļoti maza, jo atstarošanas koeficients no metālu virsmas parasti ir tuvu nullei.

Elektromagnētisko viļņu emisija brīvā telpā

Noskaidrosim, kādi ir nosacījumi elektromagnētiskās enerģijas starojumam brīvā telpā. Lai to izdarītu, apsveriet punktveida monohromatisko elektromagnētisko viļņu emitētāju, kas atrodas sfēriskas koordinātu sistēmas sākumā. Kā zināms, sfērisku koordinātu sistēmu nosaka (r, Θ, φ), kur r ir rādiusa vektors, kas novilkts no sistēmas sākuma līdz novērošanas punktam; Θ – meridionālais leņķis, mērot no Z ass (zenīta) līdz rādiusa vektoram, kas novilkts uz punktu M; φ – azimutālais leņķis, mērot no X ass līdz rādiusa vektora projekcijai, kas novilkta no sākuma līdz punktam M′ (M′ ir punkta M projekcija uz XOY plakni). (3.9. att.).

Punkta emitētājs atrodas viendabīgā vidē ar parametriem

Punkta emitētājs izstaro elektromagnētiskos viļņus visos virzienos, un jebkura elektromagnētiskā lauka sastāvdaļa pakļaujas Helmholca vienādojumam, izņemot punktu r=0 . Mēs varam ieviest sarežģītu skalāro funkciju Ψ, kas tiek saprasta kā jebkura patvaļīga lauka sastāvdaļa. Tad Helmholca vienādojumam funkcijai Ψ ir šāda forma:

(3.87)

Kur
- viļņu skaits (izplatīšanās konstante).

(3.88)

Pieņemsim, ka funkcijai Ψ ir sfēriska simetrija, tad Helmholca vienādojumu var uzrakstīt šādi:

(3.89)

Vienādojumu (3.89) var uzrakstīt arī šādi:

(3.90)

Vienādojumi (3.89) un (3.90) ir viens otram identiski. Vienādojums (3.90) fizikā ir zināms kā svārstību vienādojums. Šim vienādojumam ir divi risinājumi, kuriem, ja amplitūdas ir vienādas, ir šāda forma:

(3.91)

(3.92)

Kā redzams no (3.91), (3.92), vienādojuma atrisinājums atšķiras tikai ar zīmēm. Turklāt, norāda uz ienākošu vilni no avota, t.i. vilnis izplatās no avota līdz bezgalībai. Otrais vilnis norāda, ka vilnis nāk pie avota no bezgalības. Fiziski viens un tas pats avots nevar vienlaikus radīt divus viļņus: ceļojošus un nākamus no bezgalības. Tāpēc ir jāņem vērā, ka vilnis fiziski nepastāv.

Attiecīgais piemērs ir pavisam vienkāršs. Bet enerģijas emisijas gadījumā no avotu sistēmas ir ļoti grūti izvēlēties pareizo risinājumu. Tāpēc ir nepieciešama analītiskā izteiksme, kas ir pareiza risinājuma izvēles kritērijs. Nepieciešams vispārējs kritērijs analītiskā formā, kas ļauj izvēlēties nepārprotamu fiziski noteiktu risinājumu.

Citiem vārdiem sakot, mums ir vajadzīgs kritērijs, kas atšķir funkciju, kas izsaka ceļojošu vilni no avota līdz bezgalībai, no funkcijas, kas apraksta vilni, kas nāk no bezgalības uz starojuma avotu.

Šo problēmu atrisināja A. Zomerfelds. Viņš parādīja, ka ceļojošam vilnim, ko raksturo funkcija , pastāv šāda sakarība:

(3.93)

Šo formulu sauc radiācijas stāvoklis vai Zommerfelda stāvoklis .

Apskatīsim elementāru elektrisko emitētāju dipola formā. Elektriskais dipols ir īss stieples gabals l salīdzinot ar viļņa garumu  ( l<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия l<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток

Nav grūti parādīt, ka elektriskā lauka izmaiņām telpā ap vadu ir viļņveida raksturs. Skaidrības labad aplūkosim ārkārtīgi vienkāršotu elektromagnētiskā lauka elektriskās sastāvdaļas veidošanās un izmaiņu modeli, ko izstaro vads. Attēlā 3.11. attēlā parādīts elektromagnētiskā viļņa elektriskā lauka izstarošanas procesa modelis laika periodā, kas vienāds ar vienu periodu

Kā zināms, elektrisko strāvu izraisa elektrisko lādiņu kustība, proti

vai

Nākotnē mēs ņemsim vērā tikai izmaiņas pozitīvo un negatīvo lādiņu stāvoklī uz vada. Elektriskā lauka līnija sākas ar pozitīvu lādiņu un beidzas ar negatīvu lādiņu. Attēlā 3.11. elektropārvades līnija ir parādīta ar punktētu līniju. Ir vērts atcerēties, ka elektriskais lauks tiek radīts visā telpā, kas ieskauj vadītāju, lai gan att. 3.11. attēlā parādīta viena elektropārvades līnija.

Lai maiņstrāva plūst caur vadītāju, ir nepieciešams maiņstrāvas avots. Šāds avots ir iekļauts stieples vidū. Elektriskā lauka emisijas procesa stāvokli parāda skaitļi no 1 līdz 13. Katrs skaitlis atbilst noteiktam laika punktam, kas saistīts ar procesa stāvokli. Moments t=1 atbilst procesa sākumam, t.i. EMF = 0. Brīdī t=2 parādās mainīgs EML, kas izraisa lādiņu kustību, kā parādīts att. 3.11. līdz ar kustīgu lādiņu parādīšanos vadā, telpā rodas elektriskais lauks. laika gaitā (t = 3÷5) lādiņi virzās uz vadītāja galiem un elektrolīnija pārklāj arvien lielāku telpas daļu. spēka līnija izplešas ar gaismas ātrumu virzienā, kas ir perpendikulārs stieplei. Laikā t = 6 – 8, emf, šķērsojot maksimālo vērtību, samazinās. Uzlādes virzās uz vada vidu.

Laikā t = 9, EML izmaiņu pusperiods beidzas un tas samazinās līdz nullei. Šajā gadījumā maksas saplūst un kompensē viena otru. Šajā gadījumā nav elektriskā lauka. Izstarotā elektriskā lauka stipruma līnija aizveras un turpina attālināties no stieples.

Tālāk seko otrais EML izmaiņu puscikls, procesi tiek atkārtoti, ņemot vērā polaritātes izmaiņas. Attēlā Attēlā 3.11 momentos t = 10÷13 parādīts procesa attēls, ņemot vērā elektriskā lauka intensitātes līniju.

Mēs pārbaudījām virpuļveida elektriskā lauka slēgto spēka līniju veidošanās procesu. Bet ir vērts atcerēties, ka elektromagnētisko viļņu emisija ir viens process. Elektriskais un magnētiskais lauks ir nesaraujami savstarpēji atkarīgi elektromagnētiskā lauka komponenti.

Attēlā parādītais starojuma process. 3.11 ir līdzīgs simetriska elektriskā vibratora elektromagnētiskā lauka starojumam un tiek plaši izmantots radiosakaru tehnoloģijā. Jāatceras, ka elektriskā lauka intensitātes vektora svārstību plakne ir savstarpēji perpendikulāra magnētiskā lauka intensitātes vektora svārstību plaknei .

Elektromagnētisko viļņu emisija ir saistīta ar mainīgu procesu. Tāpēc lādiņa formulā mēs varam ievietot konstanti C = 0. Par komplekso lādiņa vērtību var uzrakstīt.

(3.94)

Pēc analoģijas ar elektrostatiku, mēs varam ieviest elektriskā dipola momenta jēdzienu ar maiņstrāvu

(3.95)

No formulas (3.95) izriet, ka elektriskā dipola un virzītā stieples gabala momenta vektori ir līdzvirziena.

Jāatzīmē, ka īstām antenām vadu garums parasti ir salīdzināms ar viļņa garumu. Lai noteiktu šādu antenu starojuma raksturlielumus, vads parasti tiek garīgi sadalīts atsevišķās mazās daļās, no kurām katra tiek uzskatīta par elementāru elektrisko dipolu. iegūtais antenas lauks tiek atrasts, summējot atsevišķo dipolu ģenerētos emitētos vektoru laukus.

Viļņu procesi

Pamatjēdzieni un definīcijas

Apskatīsim kādu elastīgu vidi - cietu, šķidru vai gāzveida. Ja tās daļiņu vibrācijas tiek ierosinātas jebkurā šīs vides vietā, tad daļiņu mijiedarbības dēļ vibrācijas, pārnestas no vienas vides daļiņas uz otru, izplatīsies pa vidi ar noteiktu ātrumu. Process sauc par vibrāciju izplatīšanos telpā vilnis .

Ja daļiņas vidē svārstās viļņa izplatīšanās virzienā, tad to sauc gareniski Ja daļiņu svārstības notiek plaknē, kas ir perpendikulāra viļņa izplatīšanās virzienam, tad vilni sauc šķērsvirziena . Šķērsvirziena mehāniskie viļņi var rasties tikai vidē ar bīdes moduli, kas nav nulle. Tāpēc tie var izplatīties šķidrā un gāzveida vidē tikai gareniskie viļņi . Atšķirība starp garenvirziena un šķērsviļņiem visskaidrāk ir redzama piemērā par vibrāciju izplatīšanos atsperē - skatīt attēlu.

Lai raksturotu šķērseniskās vibrācijas, ir jāiestata pozīcija telpā plakne, kas iet cauri svārstību virzienam un viļņu izplatīšanās virzienam - polarizācijas plakne .

Tiek saukts telpas apgabals, kurā vibrē visas vides daļiņas viļņu lauks . Robežu starp viļņu lauku un pārējo vidi sauc viļņu fronte . Citiem vārdiem sakot, viļņu fronte - to punktu ģeometriskā atrašanās vieta, līdz kuriem svārstības ir sasniegušas noteiktā laika momentā. Viendabīgā un izotropā vidē viļņu izplatīšanās virziens ir perpendikulāri uz viļņu fronti.

Kamēr vidē pastāv vilnis, vides daļiņas svārstās ap to līdzsvara pozīcijām. Lai šīs svārstības ir harmoniskas, un šo svārstību periods ir T. Daļiņas, kas atdalītas ar attālumu

pa viļņu izplatīšanās virzienu, svārstās tāpat, t.i. jebkurā laika brīdī to pārvietojumi ir vienādi. Attālums tiek saukts viļņa garums . Citiem vārdiem sakot, viļņa garums ir attālums, ko vilnis veic vienā svārstību periodā .

Tiek saukta to punktu ģeometriskā atrašanās vieta, kas svārstās vienā un tajā pašā fāzē viļņu virsma . Viļņu fronte ir īpašs viļņu virsmas gadījums. Viļņa garums - minimums attālums starp divām viļņu virsmām, kurās punkti vibrē vienādi, vai mēs varam teikt tā to svārstību fāzes atšķiras ar .

Ja viļņu virsmas ir plaknes, tad vilni sauc plakans , un ja pa sfērām, tad sfērisks. Plaknes vilnis tiek ierosināts nepārtrauktā viendabīgā un izotropā vidē, kad svārstās bezgalīga plakne. Sfēriskas virsmas ierosmi var attēlot sfēriskas virsmas radiālo pulsāciju rezultātā, kā arī darbības rezultātā punktveida avots, kura izmērus var neņemt vērā, salīdzinot ar attālumu līdz novērošanas punktam. Tā kā jebkuram reālam avotam ir ierobežoti izmēri, pietiekami lielā attālumā no tā vilnis būs tuvu sfēriskam. Tajā pašā laikā sfēriskā viļņa viļņa virsmas posms, tā izmēram samazinoties, patvaļīgi tuvojas plakanā viļņa viļņa virsmas griezumam.

Plaknes un sfērisko viļņu vienādojumi

Viļņu vienādojums ir izteiksme, kas nosaka svārstību punkta nobīdi atkarībā no punkta un laika līdzsvara stāvokļa koordinātām:

Ja avots apņemas periodiski svārstības, tad funkcijai (22.2) jābūt gan koordinātu, gan laika periodiskai funkcijai. Periodiskums laikā izriet no tā, ka funkcija apraksta punkta periodiskās svārstības ar koordinātām; periodiskums koordinātēs - no tā, ka punkti, kas atrodas attālumā gar viļņu izplatīšanās virzienu, svārstās Tāpat

Apskatīsim harmoniskos viļņus, kad vides punkti veic harmoniskas svārstības. Jāņem vērā, ka jebkuru neharmonisku funkciju var attēlot kā harmonisko viļņu superpozīcijas rezultātu. Tāpēc, ņemot vērā tikai harmoniskos viļņus, iegūto rezultātu vispārīgums būtiski nepasliktinās.

Apskatīsim plaknes vilni. Izvēlēsimies koordinātu sistēmu tā, lai ass Ak sakrita ar viļņu izplatīšanās virzienu. Tad viļņu virsmas būs perpendikulāras asij Ak un, tā kā visi viļņa virsmas punkti vibrē vienādi, vides punktu nobīde no līdzsvara pozīcijām būs atkarīgs tikai no x un t:

Ļaujiet plaknē esošo punktu vibrācijām būt šādā formā:

(22.4)

Svārstības plaknē, kas atrodas attālumā X no sākuma, laika nobīde no svārstībām laika periodā, kas nepieciešams, lai vilnis pārvarētu attālumu X, un tos apraksta vienādojums

kurš ir vienādojums plaknes viļņam, kas izplatās Ox ass virzienā.

Atvasinot vienādojumu (22.5), mēs pieņēmām, ka svārstību amplitūda ir vienāda visos punktos. Plakana viļņa gadījumā tas ir taisnība, ja vide neuzsūc viļņa enerģiju.

Apskatīsim kādu fāzes vērtību vienādojumā (22.5):

(22.6)

Vienādojums (22.6) sniedz laika attiecību t un vieta - X, kurā pašlaik tiek ieviesta norādītā fāzes vērtība. Pēc (22.6) vienādojuma noteikšanas mēs atrodam ātrumu, ar kādu pārvietojas dotā fāzes vērtība. Diferencējot (22.6), iegūstam:

Kur tālāk (22.7)

PLĀŠU VILNIS

PLĀŠU VILNIS

Vilnis, kura izplatīšanās virziens ir vienāds visos telpas punktos. Vienkāršākais piemērs ir viendabīgs monohromatisks. neslāpēts P.v.:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

kur A ir amplitūda, j= wt±kz - , w=2p/T - apļveida frekvence, T - svārstību periods, k - . Pastāvīgās fāzes virsmas (fāžu frontes) j=konst. P.v. ir lidmašīnas.

Ja nav dispersijas, kad vph un vgr ir identiski un nemainīgi (vgr = vph = v), pastāv stacionāras (t.i., kustīgas kopumā) lineāras kustības, kas ļauj vispārīgi attēlot formu:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

kur f ir patvaļīga funkcija. Nelineārā vidē ar dispersiju ir iespējami arī stacionāri strādājoši PV. tips (2), taču to forma vairs nav patvaļīga, bet gan atkarīga gan no sistēmas parametriem, gan no kustības rakstura. Absorbējošā (izkliedējošā) vidē P. v. samazināt to amplitūdu, kad tie izplatās; ar lineāro slāpēšanu, to var ņemt vērā, aizstājot k in (1) ar komplekso viļņu skaitli kd ± ikм, kur km ir koeficients. vājināšanās P. v.

Viendabīgs PV, kas aizņem visu bezgalīgo, ir idealizācija, bet jebkurš vilnis, kas koncentrēts ierobežotā reģionā (piemēram, virzīts ar pārvades līnijām vai viļņvadiem), var tikt attēlots kā PV superpozīcija. ar vienu vai otru atstarpi. spektrs k. Šajā gadījumā vilnim joprojām var būt plakana fāzes fronte, bet nevienmērīga amplitūda. Tāds P. v. sauca plaknes nehomogēni viļņi. Daži apgabali ir sfēriski. un cilindrisks viļņi, kas ir mazi salīdzinājumā ar fāzes frontes izliekuma rādiusu, uzvedas aptuveni kā fāzes vilnis.

Fiziskā enciklopēdiskā vārdnīca. - M.: Padomju enciklopēdija. . 1983 .

PLĀŠU VILNIS

- vilnis, izplatīšanās virziens ir vienāds visos telpas punktos.

Kur A - amplitūda, - fāze, - apļveida frekvence, T - svārstību periods k- viļņa numurs. = const P.v. ir lidmašīnas.
Ja nav dispersijas, kad fāzes ātrums v f un grupa v gr ir identiski un nemainīgi ( v gr = v f = v) ir stacionāri (t.i., kustīgi kopumā) darbojas P. c., ko var attēlot vispārīgā formā

Kur f- patvaļīga funkcija. Nelineārā vidē ar dispersiju ir iespējami arī stacionāri strādājoši PV. tips (2), taču to forma vairs nav patvaļīga, bet gan atkarīga gan no sistēmas parametriem, gan no viļņu kustības rakstura. Absorbējošā (izkliedējošā) vidē P. k uz kompleksā viļņa skaitļa k d ik m, kur k m - koeficients vājināšanās P. v. Viendabīgs viļņu lauks, kas aizņem visu bezgalību, ir idealizācija, bet jebkurš viļņu lauks, kas koncentrēts ierobežotā apgabalā (piemēram, virzīts pārvades līnijas vai viļņvadi), var attēlot kā superpozīciju P. V. ar vienu vai otru telpisko spektru k.Šajā gadījumā vilnim joprojām var būt plakana fāzes fronte ar nevienmērīgu amplitūdas sadalījumu. Tāds P. v. sauca plaknes nehomogēni viļņi. Dziļums. zonas sfēriskas vai cilindrisks viļņi, kas ir mazi salīdzinājumā ar fāzes frontes izliekuma rādiusu, uzvedas aptuveni kā PT.

Lit. skatīt sadaļā art. Viļņi.

M. A. Millers, L. A. Ostrovskis.

Fiziskā enciklopēdija. 5 sējumos. - M.: Padomju enciklopēdija. Galvenais redaktors A. M. Prohorovs. 1988 .

Lielākajai daļai problēmu, kas saistītas ar viļņiem, ir svarīgi zināt dažādu vides punktu svārstību stāvokli vienā vai otrā laikā. Punktu stāvokļi vidē tiks noteikti, ja būs zināmas to svārstību amplitūdas un fāzes. Šķērsviļņiem ir jāzina arī polarizācijas būtība. Plaknes lineāri polarizētam vilnim pietiek ar izteiksmi, kas ļauj noteikt pārvietojumu c(x, t) no jebkura vides punkta līdzsvara stāvokļa ar koordinātu X, jebkurā laikā t.Šo izteiksmi sauc viļņu vienādojums.

Rīsi. 2.21.

Apskatīsim t.s skriešanas vilnis, tie. vilnis ar plakanu viļņu fronti, kas izplatās vienā noteiktā virzienā (piemēram, pa x asi). Ļaujiet barotnes daļiņām, kas atrodas tieši blakus plaknes viļņu avotam, svārstīties saskaņā ar harmonikas likumu; %(0, /) = = LsobsoG (2.21. att.). 2.21. attēlā, A līdz ^(0, t) norāda vides daļiņu pārvietošanos, kas atrodas plaknē, kas ir perpendikulāra zīmējumam un kurai ir koordinātas izvēlētajā koordinātu sistēmā X= 0 laikā t. Laika sākums ir izvēlēts tā, lai svārstību sākotnējā fāze, kas definēta ar kosinusa funkciju, būtu vienāda ar nulli. Ass X saderīgs ar staru, t.i. ar vibrācijas izplatīšanās virzienu. Šajā gadījumā viļņu fronte ir perpendikulāra asij X, lai daļiņas, kas atrodas šajā plaknē, svārstītos vienā fāzē. Pati viļņu fronte noteiktā vidē pārvietojas pa asi X ar ātrumu Un viļņu izplatīšanās noteiktā vidē.

Atradīsim izteiksmi? (x, t) vides daļiņu pārvietošanās, kas atrodas tālu no avota attālumā x. Tas ir attālums, ko veic viļņu fronte

laikā Līdz ar to daļiņu svārstības, kas atrodas plaknē, kas atrodas tālu no avota attālumā X, atpaliks laikā par daudzumu m no daļiņu svārstībām, kas atrodas tieši blakus avotam. Šīs daļiņas (ar koordinātu x) veiks arī harmoniskas vibrācijas. Ja nav amortizācijas, amplitūda A svārstības (plaknes viļņa gadījumā) nebūs atkarīgas no x koordinātas, t.i.

Šis ir nepieciešamais vienādojums skriešanas viļņa melanholija(nejaukt ar zemāk aplūkoto viļņu vienādojumu!). Kā jau minēts, vienādojums ļauj noteikt pārvietojumu % vides daļiņas ar koordinātu x laika momentā t. Svārstību fāze ir atkarīga

uz diviem mainīgajiem: uz daļiņas x koordinātu un laiku t. Noteiktā fiksētā laika momentā dažādu daļiņu svārstību fāzes, vispārīgi runājot, būs atšķirīgas, taču ir iespējams identificēt daļiņas, kuru svārstības notiks vienā un tajā pašā fāzē (fāzē). Varam arī pieņemt, ka fāzu starpība starp šo daļiņu svārstībām ir vienāda ar 2pt(Kur t = 1, 2, 3,...). Tiek saukts īsākais attālums starp divām kustīga viļņa daļiņām, kas svārstās vienā fāzē viļņa garums X.

Atradīsim viļņa garuma attiecības X ar citiem lielumiem, kas raksturo svārstību izplatīšanos vidē. Saskaņā ar ieviesto viļņa garuma definīciju mēs varam rakstīt

vai pēc saīsinājumiem Kopš , tad

Šī izteiksme ļauj mums sniegt atšķirīgu viļņa garuma definīciju: Viļņa garums ir attālums, kurā vides daļiņu vibrācijām ir laiks izplatīties laikā, kas vienāds ar vibrāciju periodu.

Viļņu vienādojums atklāj dubultu periodiskumu: koordinātēs un laikā: ^(x, t) = Z,(x + nk, t) = l, (x, t + mT) = ​​Tx + pX, ml), Kur Pīts - jebkuri veseli skaitļi. Varat, piemēram, fiksēt daļiņu koordinātas (put x = const) un uzskata to pārvietojumu kā laika funkciju. Vai, gluži pretēji, fiksējiet brīdi laikā (pieņemiet t = const) un aplūkot daļiņu pārvietošanos kā koordinātu funkciju (momentānais pārvietojumu stāvoklis ir momentāna viļņa fotogrāfija). Tātad, atrodoties piestātnē, jebkurā brīdī varat izmantot kameru t nofotografēt jūras virsmu, bet var, iemetot čipu jūrā (t.i. nofiksējot koordinātu X), uzraudzīt tās svārstības laika gaitā. Abi šie gadījumi ir parādīti diagrammu veidā attēlā. 2.21, a-c.

Viļņu vienādojumu (2.125) var pārrakstīt dažādi

Attiecības ir apzīmētas Uz un tiek saukts viļņa numurs

Jo , Tas

Tādējādi viļņa skaitlis parāda, cik viļņu garumu iekļaujas 2l garuma vienību segmentā. Ievadot viļņa skaitli viļņa vienādojumā, mēs iegūstam viļņa vienādojumu, kas virzās pozitīvā virzienā Ak viļņi visbiežāk izmantotajā formā

Atradīsim izteiksmi, kas attiecas uz divu dažādām viļņu virsmām piederošu daļiņu vibrāciju fāzu starpību Der X un x 2. Izmantojot viļņu vienādojumu (2.131), mēs rakstām:

Ja mēs apzīmējam vai saskaņā ar (2.130)

Plaknes kustīgu vilni, kas izplatās patvaļīgā virzienā, vispārīgā gadījumā apraksta ar vienādojumu

Kur G-rādiusa vektors, kas novilkts no sākuma līdz daļiņai, kas atrodas uz viļņa virsmas; uz - viļņu vektors, kas pēc lieluma vienāds ar viļņa skaitli (2,130) un sakrīt ar viļņa virsmas normālu viļņa izplatīšanās virzienā.

Ir iespējama arī sarežģīta viļņu vienādojuma rakstīšanas forma. Tā, piemēram, plaknes viļņa gadījumā, kas izplatās pa asi X

un vispārējā patvaļīga virziena plaknes viļņa gadījumā

Viļņu vienādojumu jebkurā no uzskaitītajām formām var iegūt kā risinājumu diferenciālvienādojumam, ko sauc viļņu vienādojums. Ja mēs zinām šī vienādojuma atrisinājumu formā (2.128) vai (2.135) - ceļojošā viļņa vienādojums, tad paša viļņa vienādojuma atrašana nav grūta. Atšķirsim 4(x, t) = % no (2.135) divreiz koordinātēs un divreiz laikā un iegūstam

izsakot?, caur iegūtajiem atvasinājumiem un salīdzinot rezultātus, iegūstam

Paturot prātā attiecību (2.129), mēs rakstām

Šis ir viļņu vienādojums viendimensijas gadījumā.

Vispārīgi runājot par?, = c(x, y, z,/) viļņu vienādojums Dekarta koordinātēs izskatās šādi

vai kompaktākā formā:

kur D ir Laplasa diferenciāļa operators

Fāzes ātrums ir viļņu punktu izplatīšanās ātrums, kas svārstās vienā un tajā pašā fāzē. Citiem vārdiem sakot, tas ir “virsmas”, “siles” vai jebkura cita viļņa punkta kustības ātrums, kura fāze ir fiksēta. Kā minēts iepriekš, viļņu fronte (un līdz ar to jebkura viļņa virsma) pārvietojas pa asi Ak ar ātrumu Un. Līdz ar to svārstību izplatīšanās ātrums vidē sakrīt ar noteiktās svārstību fāzes kustības ātrumu. Tāpēc ātrums Un, nosaka attiecība (2.129), t.i.

parasti sauc fāzes ātrums.

To pašu rezultātu var iegūt, atrodot vidē esošo punktu ātrumu, kas apmierina konstantas fāzes nosacījumu co/ - fee = const. No šejienes mēs atrodam koordinātas atkarību no laika (co/ - const) un šīs fāzes kustības ātruma

kas sakrīt ar (2.142).

Plaknes kustīgais vilnis, kas izplatās negatīvās ass virzienā Ak, apraksta vienādojums

Patiešām, šajā gadījumā fāzes ātrums ir negatīvs

Fāzes ātrums noteiktā vidē var būt atkarīgs no avota svārstību frekvences. Tiek saukta fāzes ātruma atkarība no frekvences dispersija, un vides, kurās šī atkarība rodas, sauc izkliedējošie līdzekļi. Tomēr nevajadzētu domāt, ka izteiksme (2.142) ir norādītā atkarība. Lieta tāda, ka, ja nav dispersijas, viļņa skaitlis Uz tiešā proporcijā

ar un tāpēc . Izkliede notiek tikai tad, ja ω ir atkarīgs no Uz nelineārs).

Tiek saukts ceļojošs plaknes vilnis vienkrāsains (ar vienu frekvenci), ja vibrācijas avotā ir harmoniskas. Monohromatiskie viļņi atbilst formas (2.131) vienādojumam.

Monohromatiskajam viļņam leņķiskā frekvence co un amplitūda A nav atkarīgi no laika. Tas nozīmē, ka monohromatiskais vilnis ir neierobežots telpā un bezgalīgs laikā, t.i. ir idealizēts modelis. Jebkurš reāls vilnis, neatkarīgi no tā, cik rūpīgi tiek uzturēta frekvences un amplitūdas noturība, nav monohromatisks. Reāls vilnis neturpinās bezgalīgi, bet sākas un beidzas noteiktā laikā noteiktā vietā, un tāpēc šāda viļņa amplitūda ir laika un šīs vietas koordinātu funkcija. Tomēr, jo ilgāks laika intervāls, kurā svārstību amplitūda un frekvence tiek uzturēta nemainīga, jo tuvāk monohromatiskajam šis vilnis ir. Bieži vien praksē par monohromatisko vilni sauc pietiekami lielu viļņa segmentu, kura ietvaros frekvence un amplitūda nemainās, tāpat kā attēlā ir attēlots sinusoidālā viļņa segments, un to sauc par sinusoidālo vilni.