Matemātikā viens no parametriem, kas raksturo taisnes pozīciju Dekarta koordinātu plaknē, ir šīs taisnes leņķiskais koeficients. Šis parametrs raksturo taisnās līnijas slīpumu pret abscisu asi. Lai saprastu, kā atrast slīpumu, vispirms atcerieties taisnās līnijas vienādojuma vispārējo formu XY koordinātu sistēmā.

Kopumā jebkuru līniju var attēlot ar izteiksmi ax+by=c, kur a, b un c ir patvaļīgi reāli skaitļi, bet a 2 + b 2 ≠ 0.

Izmantojot vienkāršas transformācijas, šādu vienādojumu var novest formā y=kx+d, kurā k un d ir reāli skaitļi. Skaitlis k ir slīpums, un šāda veida līnijas vienādojumu sauc par vienādojumu ar slīpumu. Izrādās, ka, lai atrastu slīpumu, jums vienkārši jāsamazina sākotnējais vienādojums līdz iepriekš norādītajai formai. Lai iegūtu pilnīgāku izpratni, apsveriet konkrētu piemēru:

Problēma: Atrodiet taisnes slīpumu, kas norādīts ar vienādojumu 36x - 18y = 108

Risinājums: pārveidosim sākotnējo vienādojumu.

Atbilde: šīs līnijas nepieciešamais slīpums ir 2.

Ja vienādojuma pārveidošanas laikā mēs saņēmām tādu izteiksmi kā x = const un rezultātā nevaram attēlot y kā funkciju no x, tad mums ir darīšana ar taisni, kas ir paralēla X asij. Tādas leņķiskais koeficients taisna līnija ir vienāda ar bezgalību.

Līnijām, kas izteiktas ar vienādojumu, piemēram, y = const, slīpums ir nulle. Tas ir raksturīgi taisnām līnijām, kas ir paralēlas abscisu asij. Piemēram:

Uzdevums: Atrodiet taisnes slīpumu, kas dots ar vienādojumu 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Risinājums: izveidosim sākotnējo vienādojumu tā vispārējā formā

24x + 12g - 12g + 28 = 4

No iegūtās izteiksmes nav iespējams izteikt y, tāpēc šīs taisnes leņķiskais koeficients ir vienāds ar bezgalību, un pati līnija būs paralēla Y asij.

Ģeometriskā nozīme

Lai labāk saprastu, apskatīsim attēlu:

Attēlā redzams tādas funkcijas grafiks kā y = kx. Vienkāršošanas labad pieņemsim koeficientu c = 0. Trijstūrī OAB malas BA attiecība pret AO būs vienāda ar leņķa koeficientu k. Tajā pašā laikā attiecība BA/AO ir akūtā leņķa α pieskare taisnleņķa trijstūrī OAB. Izrādās, ka taisnes leņķiskais koeficients ir vienāds ar leņķa tangensu, ko šī taisne veido ar koordinātu režģa abscisu asi.

Atrisinot uzdevumu, kā atrast taisnes leņķa koeficientu, mēs atrodam leņķa pieskari starp to un koordinātu režģa X asi. Robežgadījumi, kad attiecīgā līnija ir paralēla koordinātu asīm, apstiprina iepriekš minēto. Patiešām, taisnei, kas aprakstīta ar vienādojumu y=const, leņķis starp to un abscisu asi ir nulle. Nulles leņķa tangenss arī ir nulle, un slīpums arī ir nulle.

Taisnām līnijām, kas ir perpendikulāras x asij un aprakstītas ar vienādojumu x=const, leņķis starp tām un X asi ir 90 grādi. Taisnā leņķa tangenss ir vienāds ar bezgalību, un līdzīgu taisnu līniju leņķiskais koeficients arī ir vienāds ar bezgalību, kas apstiprina iepriekš rakstīto.

Pieskares slīpums

Praksē bieži sastopams uzdevums ir arī atrast funkcijas grafika pieskares slīpumu noteiktā punktā. Pieskares ir taisne, tāpēc arī tai piemērojams slīpuma jēdziens.

Lai noskaidrotu, kā atrast pieskares slīpumu, mums būs jāatgādina atvasinājuma jēdziens. Jebkuras funkcijas atvasinājums noteiktā punktā ir konstante, kas skaitliski vienāda ar leņķa tangensu, kas veidojas starp šīs funkcijas grafika norādītā punkta pieskari un abscisu asi. Izrādās, ka, lai noteiktu pieskares leņķisko koeficientu punktā x 0, ir jāaprēķina sākotnējās funkcijas atvasinājuma vērtība šajā punktā k = f"(x 0). Apskatīsim piemēru:

Uzdevums: Atrodiet funkcijas y = 12x 2 + 2xe x pieskares slīpumu pie x = 0,1.

Risinājums: atrodiet sākotnējās funkcijas atvasinājumu vispārīgā formā

y"(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Atbilde: Nepieciešamais slīpums punktā x = 0,1 ir 4,831

Tēmai “Pieskares leņķiskais koeficients kā slīpuma leņķa pieskare” sertifikācijas eksāmenā tiek doti vairāki uzdevumi. Atkarībā no viņu stāvokļa absolventam var būt jāsniedz pilnīga atbilde vai īsa atbilde. Gatavojoties kārtot vienoto valsts eksāmenu matemātikā, skolēnam noteikti jāatkārto uzdevumi, kuros nepieciešams aprēķināt pieskares slīpumu.

Shkolkovo izglītības portāls jums palīdzēs to izdarīt. Mūsu speciālisti sagatavoja un prezentēja teorētisko un praktisko materiālu pēc iespējas pieejamākā veidā. Iepazīstoties ar to, jebkura līmeņa apmācības absolventi varēs veiksmīgi atrisināt ar atvasinājumiem saistītas problēmas, kurās nepieciešams atrast pieskares leņķa pieskares.

Pamata momenti

Lai atrastu pareizu un racionālu risinājumu šādiem uzdevumiem vienotajā valsts eksāmenā, jāatceras pamatdefinīcija: atvasinājums attēlo funkcijas izmaiņu ātrumu; tas ir vienāds ar pieskares leņķa tangensu, kas pievilkts funkcijas grafikam noteiktā punktā. Tikpat svarīgi ir pabeigt zīmējumu. Tas ļaus jums atrast pareizo atvasinājuma USE problēmu risinājumu, kurā jums jāaprēķina pieskares leņķa tangenss. Skaidrības labad vislabāk ir attēlot grafiku OXY plaknē.

Ja esat jau iepazinies ar pamatmateriālu par atvasinājumu tēmu un esat gatavs sākt risināt pieskares leņķa pieskares aprēķināšanas uzdevumus, līdzīgi kā vienotā valsts eksāmena uzdevumos, varat to izdarīt tiešsaistē. Katram uzdevumam, piemēram, uzdevumiem par tēmu “Atvasinājuma saistība ar ķermeņa ātrumu un paātrinājumu” pierakstījām pareizo atbildi un risinājuma algoritmu. Tajā pašā laikā studenti var vingrināties dažādas sarežģītības pakāpes uzdevumu veikšanā. Ja nepieciešams, uzdevumu var saglabāt sadaļā “Izlase”, lai vēlāk varētu apspriest risinājumu ar skolotāju.

Iemācieties ņemt funkciju atvasinājumus. Atvasinājums raksturo funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā punktā, kas atrodas šīs funkcijas grafikā. Šajā gadījumā grafiks var būt taisna vai izliekta līnija. Tas ir, atvasinājums raksturo funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā laika brīdī. Atcerieties vispārīgos noteikumus, saskaņā ar kuriem tiek ņemti atvasinājumi, un tikai pēc tam pārejiet pie nākamās darbības.

• Izlasi rakstu.
• Aprakstīts, kā ņemt vienkāršākos atvasinājumus, piemēram, eksponenciālā vienādojuma atvasinājumu. Turpmākajās darbībās sniegtie aprēķini tiks balstīti uz tajās aprakstītajām metodēm.

Iemācieties atšķirt problēmas, kurās slīpums jāaprēķina, izmantojot funkcijas atvasinājumu. Problēmas ne vienmēr liek jums atrast funkcijas slīpumu vai atvasinājumu. Piemēram, jums var lūgt atrast funkcijas izmaiņu ātrumu punktā A(x,y). Jums var arī lūgt atrast pieskares slīpumu punktā A(x,y). Abos gadījumos ir jāņem funkcijas atvasinājums.

Ņemiet jums dotās funkcijas atvasinājumu.Šeit nav jāveido grafiks - jums ir nepieciešams tikai funkcijas vienādojums. Mūsu piemērā ņemam funkcijas atvasinājumu f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Paņemiet atvasinājumu saskaņā ar metodēm, kas aprakstītas iepriekš minētajā rakstā:

Aizvietojiet jums dotā punkta koordinātas atrastajā atvasinājumā, lai aprēķinātu slīpumu. Funkcijas atvasinājums ir vienāds ar slīpumu noteiktā punktā. Citiem vārdiem sakot, f"(x) ir funkcijas slīpums jebkurā punktā (x, f(x)). Mūsu piemērā:

Ja iespējams, pārbaudiet savu atbildi grafikā. Atcerieties, ka slīpumu nevar aprēķināt katrā punktā. Diferenciālrēķini nodarbojas ar sarežģītām funkcijām un sarežģītiem grafikiem, kur slīpumu nevar aprēķināt katrā punktā, un dažos gadījumos punkti uz grafikiem nemaz neatrodas. Ja iespējams, izmantojiet grafisko kalkulatoru, lai pārbaudītu, vai norādītās funkcijas slīpums ir pareizs. Pretējā gadījumā uzzīmējiet diagrammas tangensu norādītajā punktā un padomājiet, vai atrastā slīpuma vērtība atbilst grafikā redzamajam.

• Pieskarei noteiktā punktā būs tāds pats slīpums kā funkcijas grafikam. Lai uzzīmētu pieskari noteiktā punktā, pārvietojiet pa kreisi/pa labi pa X asi (mūsu piemērā 22 vērtības pa labi) un pēc tam pa Y ass vienu uz augšu. Atzīmējiet punktu un pēc tam pievienojiet to jums piešķirts punkts. Mūsu piemērā savienojiet punktus ar koordinātām (4,2) un (26,3).

Skaitliski vienāds ar leņķa tangensu (kas veido mazāko rotāciju no Ox ass uz Oy asi) starp abscisu ass pozitīvo virzienu un doto taisni.

Leņķa tangensu var aprēķināt kā pretējās malas attiecību pret blakus malu. k vienmēr ir vienāds ar , Tas ir, taisnas līnijas vienādojuma atvasinājums attiecībā pret x.

Pozitīvām slīpuma vērtībām k un nulles nobīdes koeficients b taisne atradīsies pirmajā un trešajā kvadrantā (kurā x Un y gan pozitīvi, gan negatīvi). Tajā pašā laikā lielas leņķa koeficienta vērtības k atbilstos stāvāka taisne, bet mazākām – plakanāka.

Taisni un perpendikulāri, ja , un paralēli, ja .

Piezīmes

Wikimedia fonds. 2010. gads.

Skatiet, kas ir “taisnes leņķiskais koeficients” citās vārdnīcās:

slīpums (tiešs)- - Tēmas naftas un gāzes rūpniecība LV slīpums... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

- (matemātiskais) skaitlis k taisnes vienādojumā uz plaknes y = kx+b (sk. Analītiskā ģeometrija), kas raksturo taisnes slīpumu attiecībā pret x asi. Apvienotās Karalistes taisnstūra koordinātu sistēmā k = tan φ, kur φ ir leņķis starp ... Lielā padomju enciklopēdija

Ģeometrijas nozare, kas pēta vienkāršākos ģeometriskos objektus, izmantojot elementāro algebru, pamatojoties uz koordinātu metodi. Analītiskās ģeometrijas radīšanu parasti piedēvē R. Dekartam, kurš tās pamatus izklāstīja sava... ... Koljēra enciklopēdija

Reakcijas laika (RT) mērīšana, iespējams, ir viscienījamākais priekšmets empīriskajā psiholoģijā. Tas radās astronomijas jomā 1823. gadā, mērot individuālās atšķirības uztveres ātrumā, kad zvaigzne šķērso teleskopa līniju. Šīs… Psiholoģiskā enciklopēdija

Matemātikas nozare, kas nodrošina dažādu pārmaiņu procesu kvantitatīvās izpētes metodes; nodarbojas ar izmaiņu ātruma izpēti (diferenciālrēķins) un ar izliektām kontūrām ierobežoto līkņu garumu, laukumu un figūru tilpumu noteikšanu un ... Koljēra enciklopēdija

Šim terminam ir arī citas nozīmes, skatiet Tiešās (nozīmes). Taisnā līnija ir viens no ģeometrijas pamatjēdzieniem, tas ir, tai nav precīzas universālas definīcijas. Sistemātiskā ģeometrijas izklāstā taisna līnija parasti tiek uzskatīta par vienu... ... Wikipedia

Taisnu līniju attēls taisnstūra koordinātu sistēmā Taisnā līnija ir viens no ģeometrijas pamatjēdzieniem. Sistemātiskā ģeometrijas izklāstā par vienu no sākotnējiem jēdzieniem parasti tiek ņemta taisne, kas ir tikai netieši definēta... ... Wikipedia

Taisnu līniju attēls taisnstūra koordinātu sistēmā Taisnā līnija ir viens no ģeometrijas pamatjēdzieniem. Sistemātiskā ģeometrijas izklāstā par vienu no sākotnējiem jēdzieniem parasti tiek ņemta taisne, kas ir tikai netieši definēta... ... Wikipedia

Nejaukt ar terminu "Elipse". Elipse un tās perēkļi Elipse (sengrieķu ἔλλειψις deficīts, ekscentricitātes trūkuma nozīmē līdz 1) Eiklīda plaknes punktu M lokuss, kuram attālumu summa no diviem dotajiem punktiem ir F1... ... Wikipedia

Tēmas turpinājums, taisnes vienādojums plaknē ir balstīts uz taisnes izpēti no algebras stundām. Šajā rakstā ir sniegta vispārīga informācija par taisnas līnijas un slīpuma vienādojumu tēmu. Apskatīsim definīcijas, iegūsim pašu vienādojumu un identificēsim saistību ar cita veida vienādojumiem. Viss tiks apspriests, izmantojot problēmu risināšanas piemērus.

Pirms šāda vienādojuma rakstīšanas ir jādefinē taisnes slīpuma leņķis pret O x asi ar to leņķa koeficientu. Pieņemsim, ka plaknē ir dota Dekarta koordinātu sistēma O x.

1. definīcija

Taisnas līnijas slīpuma leņķis pret O x asi, kas atrodas Dekarta koordinātu sistēmā O x y uz plaknes, tas ir leņķis, ko mēra no pozitīvā virziena O x līdz taisnei pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Kad līnija ir paralēla O x vai tajā sakrīt, slīpuma leņķis ir 0. Tad uz intervāla [0, π) tiek noteikts dotās taisnes slīpuma leņķis α.

2. definīcija

Tiešs slīpums ir noteiktas taisnes slīpuma leņķa tangenss.

Standarta apzīmējums ir k. No definīcijas mēs atklājam, ka k = t g α . Kad līnija ir paralēla Vērsim, viņi saka, ka slīpums neeksistē, jo tas iet līdz bezgalībai.

Slīpums ir pozitīvs, kad funkcijas grafiks palielinās un otrādi. Attēlā parādītas dažādas pareizā leņķa atrašanās vietas variācijas attiecībā pret koordinātu sistēmu ar koeficienta vērtību.

Lai atrastu šo leņķi, jāpiemēro leņķa koeficienta definīcija un jāaprēķina slīpuma leņķa pieskare plaknē.

Risinājums

No nosacījuma mēs iegūstam, ka α = 120°. Pēc definīcijas ir jāaprēķina slīpums. Atradīsim to pēc formulas k = t g α = 120 = - 3.

Atbilde: k = - 3 .

Ja ir zināms leņķa koeficients un ir jāatrod slīpuma leņķis pret abscisu asi, tad jāņem vērā leņķa koeficienta vērtība. Ja k > 0, tad taisnais leņķis ir akūts un atrodams pēc formulas α = a r c t g k. Ja k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

2. piemērs

Nosakiet dotās taisnes slīpuma leņķi pret O x ar leņķa koeficientu 3.

Risinājums

No nosacījuma, ka leņķiskais koeficients ir pozitīvs, kas nozīmē, ka slīpuma leņķis pret O x ir mazāks par 90 grādiem. Aprēķini tiek veikti, izmantojot formulu α = a r c t g k = a r c t g 3.

Atbilde: α = a r c t g 3 .

3. piemērs

Atrodiet taisnes slīpuma leņķi pret O x asi, ja slīpums = - 1 3.

Risinājums

Ja par leņķa koeficienta apzīmējumu ņemam burtu k, tad α ir slīpuma leņķis pret doto taisni pozitīvā virzienā O x. Tādējādi k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Atbilde: 5 π 6 .

Formas y = k x + b vienādojumu, kur k ir slīpums un b ir kāds reāls skaitlis, sauc par taisnes ar slīpumu vienādojumu. Vienādojums ir tipisks jebkurai taisnei, kas nav paralēla O y asij.

Ja detalizēti aplūkojam taisnu līniju plaknē fiksētā koordinātu sistēmā, kuru nosaka vienādojums ar leņķisko koeficientu, kam ir forma y = k x + b. Šajā gadījumā tas nozīmē, ka vienādojums atbilst jebkura līnijas punkta koordinātām. Ja punkta M, M 1 (x 1, y 1) koordinātas aizstājam vienādojumā y = k x + b, tad šajā gadījumā taisne ies caur šo punktu, pretējā gadījumā punkts nepieder pie taisnes.

4. piemērs

Ir dota taisne ar slīpumu y = 1 3 x - 1. Aprēķināt, vai punkti M 1 (3, 0) un M 2 (2, - 2) pieder dotajai taisnei.

Risinājums

Dotajā vienādojumā ir jāievieto punkta M 1 (3, 0) koordinātas, tad iegūstam 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Vienādība ir patiesa, kas nozīmē, ka punkts pieder līnijai.

Ja aizvietojam punkta M 2 koordinātas (2, - 2), tad iegūstam nepareizu formas vienādību - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Varam secināt, ka punkts M 2 nepieder pie taisnes.

Atbilde: M 1 pieder līnijai, bet M 2 nepieder.

Ir zināms, ka taisne tiek definēta ar vienādojumu y = k · x + b, ejot cauri M 1 (0, b), aizvietojot mēs iegūstam vienādojumu formā b = k · 0 + b ⇔ b = b. No tā varam secināt, ka taisnes vienādojums ar leņķa koeficientu y = k x + b uz plaknes definē taisni, kas iet caur punktu 0, b. Tas veido leņķi α ar O x ass pozitīvo virzienu, kur k = t g α.

Kā piemēru aplūkosim taisni, kas definēta, izmantojot leņķa koeficientu, kas norādīts formā y = 3 x - 1. Iegūstam, ka taisne iet caur punktu ar koordinātu 0, - 1 ar slīpumu α = a r c t g 3 = π 3 radiāni O x ass pozitīvajā virzienā. Tas parāda, ka koeficients ir 3.

Taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu, kas iet caur noteiktu punktu

Nepieciešams atrisināt uzdevumu, kur nepieciešams iegūt taisnes vienādojumu ar noteiktu slīpumu, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1).

Vienādību y 1 = k · x + b var uzskatīt par derīgu, jo taisne iet caur punktu M 1 (x 1, y 1). Lai noņemtu skaitli b, ir jāatņem vienādojums ar slīpumu no kreisās un labās puses. No tā izriet, ka y - y 1 = k · (x - x 1) . Šo vienādību sauc par taisnes vienādojumu ar noteiktu slīpumu k, kas iet caur punkta M 1 (x 1, y 1) koordinātām.

5. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu M 1 ar koordinātām (4, - 1), kuras leņķiskais koeficients ir vienāds ar - 2.

Risinājums

Pēc nosacījuma mums ir, ka x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. No šejienes līnijas vienādojums tiks uzrakstīts šādi: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Atbilde: y = - 2 x + 7 .

6. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei ar leņķa koeficientu, kas iet caur punktu M 1 ar koordinātām (3, 5), paralēli taisnei y = 2 x - 2.

Risinājums

Pēc nosacījuma mums ir tāds, ka paralēlām līnijām ir identiski slīpuma leņķi, kas nozīmē, ka leņķiskie koeficienti ir vienādi. Lai no šī vienādojuma atrastu slīpumu, jums jāatceras tā pamatformula y = 2 x - 2, no tā izriet, ka k = 2. Mēs izveidojam vienādojumu ar slīpuma koeficientu un iegūstam:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Atbilde: y = 2 x - 1 .

Pāreja no taisnās līnijas vienādojuma ar slīpumu uz cita veida taisnās līnijas vienādojumiem un atpakaļ

Šis vienādojums ne vienmēr ir piemērojams problēmu risināšanai, jo tas nav īpaši ērti uzrakstīts. Lai to izdarītu, jums tas ir jāiesniedz citā formā. Piemēram, vienādojums formā y = k x + b neļauj pierakstīt taisnes virziena vektora koordinātas vai normālvektora koordinātas. Lai to izdarītu, jums jāiemācās attēlot ar cita veida vienādojumiem.

Mēs varam iegūt taisnes kanonisko vienādojumu plaknē, izmantojot taisnes vienādojumu ar leņķa koeficientu. Mēs iegūstam x - x 1 a x = y - y 1 a y . Nepieciešams pārvietot terminu b uz kreiso pusi un dalīt ar iegūtās nevienādības izteiksmi. Tad iegūstam vienādojumu formā y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Taisnes ar slīpumu vienādojums ir kļuvis par šīs taisnes kanonisko vienādojumu.

7. piemērs

Iestatiet taisnas līnijas vienādojumu ar leņķa koeficientu y = - 3 x + 12 kanoniskā formā.

Risinājums

Aprēķināsim un uzrādīsim to taisnas līnijas kanoniskā vienādojuma veidā. Mēs iegūstam formas vienādojumu:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Atbilde: x 1 = y - 12 - 3.

Taisnes vispārīgo vienādojumu visvieglāk iegūt no y = k · x + b, bet tam nepieciešams veikt pārveidojumus: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Tiek veikta pāreja no vispārējā līnijas vienādojuma uz cita veida vienādojumiem.

8. piemērs

Dots taisnes vienādojums formā y = 1 7 x - 2 . Uzziniet, vai vektors ar koordinātām a → = (- 1, 7) ir normāls taisnes vektors?

Risinājums

Lai atrisinātu, ir jāpāriet uz citu šī vienādojuma formu, šim nolūkam mēs rakstām:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Koeficienti mainīgo lielumu priekšā ir taisnes normālā vektora koordinātas. Rakstīsim šādi: n → = 1 7, - 1, tātad 1 7 x - y - 2 = 0. Ir skaidrs, ka vektors a → = (- 1, 7) ir kolineārs vektoram n → = 1 7, - 1, jo mums ir godīga sakarība a → = - 7 · n →. No tā izriet, ka sākotnējais vektors a → = - 1, 7 ir taisnes 1 7 x - y - 2 = 0 normāls vektors, kas nozīmē, ka tas tiek uzskatīts par taisnes y = 1 7 x - 2 normālu vektoru.

Atbilde: Ir

Atrisināsim šīs problēmas apgriezto problēmu.

Ir jāpāriet no vienādojuma A x + B y + C = 0 vispārīgās formas, kur B ≠ 0, uz vienādojumu ar leņķa koeficientu. Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu y. Iegūstam A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Rezultātā tiek iegūts vienādojums ar slīpumu, kas vienāds ar - A B .

9. piemērs

Ir dots taisnes vienādojums formā 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Iegūstiet dotās līnijas vienādojumu ar leņķa koeficientu.

Risinājums

Pamatojoties uz nosacījumu, ir jāatrisina y, tad iegūstam formas vienādojumu:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Atbilde: y = 1 6 x + 1 4 .

Līdzīgā veidā tiek atrisināts arī vienādojums ar formu x a + y b = 1, ko sauc par taisnes vienādojumu segmentos jeb kanonisko formu x - x 1 a x = y - y 1 a y. Mums tas jāatrisina y, tikai tad mēs iegūstam vienādojumu ar slīpumu:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Kanonisko vienādojumu var reducēt līdz formai ar leņķa koeficientu. Priekš šī:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

10. piemērs

Ir taisna līnija, kas dota ar vienādojumu x 2 + y - 3 = 1. Reducēt līdz vienādojuma formai ar leņķisko koeficientu.

Risinājums.

Pamatojoties uz nosacījumu, ir nepieciešams pārveidot, tad iegūstam vienādojumu formā _formula_. Lai iegūtu vajadzīgo slīpuma vienādojumu, abas vienādojuma puses jāreizina ar -3. Pārveidojot, mēs iegūstam:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Atbilde: y = 3 2 x - 3 .

11. piemērs

Reducēt taisnās līnijas vienādojumu formā x - 2 2 = y + 1 5 līdz formai ar leņķa koeficientu.

Risinājums

Nepieciešams aprēķināt izteiksmi x - 2 2 = y + 1 5 kā proporciju. Mēs iegūstam, ka 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Tagad jums tas ir pilnībā jāiespējo, lai to izdarītu:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Atbilde: y = 5 2 x - 6 .

Lai atrisinātu šādas problēmas, taisnes formas parametriskie vienādojumi x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ jāreducē uz taisnes kanonisko vienādojumu, tikai pēc tam var pāriet uz vienādojumu ar slīpuma koeficients.

12. piemērs

Atrodiet taisnes slīpumu, ja to nosaka parametru vienādojumi x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Risinājums

Ir nepieciešams pāriet no parametriskā skata uz slīpumu. Lai to izdarītu, no dotā parametriskā vienādojuma atrodam kanonisko vienādojumu:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Tagad ir jāatrisina šī vienādība attiecībā pret y, lai iegūtu taisnes vienādojumu ar leņķa koeficientu. Lai to izdarītu, rakstīsim šādi:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

No tā izriet, ka līnijas slīpums ir 2. Tas ir uzrakstīts kā k = 2.

Atbilde: k = 2.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter