Apsprieduši dažas svarīgas skaitļošanas problēmu iezīmes, pievērsīsim uzmanību tām metodēm, kuras izmanto skaitļošanas matemātikā, lai uzdevumus pārvērstu formā, kas ir ērta realizēšanai datorā un ļautu konstruēt skaitļošanas algoritmus. Šīs metodes sauksim par skaitļošanas metodēm. Ar zināmu vienošanos skaitļošanas metodes var iedalīt šādās klasēs: 1) ekvivalentu pārveidojumu metodes; 2)

tuvināšanas metodes; 3) tiešās (precīzās) metodes; 4) iteratīvās metodes; 5) statistiskās pārbaudes metodes (Monte Carlo metodes). Metodei, kas aprēķina konkrētas problēmas risinājumu, var būt diezgan sarežģīta struktūra, taču tās elementārie soļi parasti ir norādīto metožu ieviešana. Sniegsim vispārīgu priekšstatu par tiem.

1. Ekvivalentu pārveidojumu metodes.

Šīs metodes ļauj aizstāt sākotnējo problēmu ar citu, kurai ir tāds pats risinājums. Līdzvērtīgu transformāciju veikšana izrādās noderīga, ja jaunā problēma ir vienkāršāka par sākotnējo vai tai ir labākas īpašības, vai arī ir zināma tās risināšanas metode vai, iespējams, jau gatava programma.

Piemērs 3.13. Kvadrātvienādojuma līdzvērtīga transformācija formā (izvēloties pilnu kvadrātu) samazina problēmu līdz kvadrātsaknes aprēķināšanas problēmai un noved pie formulām (3.2), kas pazīstamas ar tās saknēm.

Līdzvērtīgas transformācijas dažkārt ļauj reducēt sākotnējās skaitļošanas problēmas risinājumu uz pilnīgi cita veida skaitļošanas problēmas risinājumu.

Piemērs 3.14. Nelineāra vienādojuma saknes atrašanas problēmu var reducēt līdz ekvivalentai funkcijas globālā minimālā punkta atrašanas problēmai. Patiešām, funkcija nav negatīva un sasniedz minimālo vērtību, kas vienāda ar nulli tiem un tikai tiem x, kuriem

2. Tuvināšanas metodes.

Šīs metodes dod iespēju tuvināt (tuvināt) sākotnējo problēmu ar citu, kuras risinājums zināmā mērā ir tuvs sākotnējās problēmas risinājumam. Kļūdu, kas rodas no šādas aizstāšanas, sauc par tuvināšanas kļūdu. Parasti aproksimācijas uzdevums satur dažus parametrus, kas ļauj pielāgot aproksimācijas kļūdas lielumu vai ietekmēt citas problēmas īpašības. Ir pieņemts teikt, ka tuvināšanas metode saplūst, ja aproksimācijas kļūdai ir tendence uz nulli, jo metodes parametriem ir tendence uz noteiktu ierobežojošo vērtību.

Piemērs 3.15. Viens no vienkāršākajiem integrāļa aprēķināšanas veidiem ir tuvināt integrāli, pamatojoties uz taisnstūru lieluma formulu

Solis šeit ir metodes parametrs. Tā kā tā ir īpaši konstruēta integrāļa summa, no noteikta integrāļa definīcijas izriet, ka taisnstūra metodei saplūstot,

Piemērs 3.16. Ņemot vērā funkcijas atvasinājuma definīciju, tās aptuvenam aprēķinam var izmantot formulu Šīs skaitliskās diferenciācijas formulas aptuvenā kļūda mēdz būt nulle, ja

Viena no izplatītākajām aproksimācijas metodēm ir diskretizācija – sākotnējās problēmas aptuvena aizstāšana ar ierobežotas dimensijas problēmu, t.i. problēma, kuras ievades datus un vēlamo risinājumu var unikāli norādīt ar ierobežotu skaitļu kopu. Problēmām, kas nav ierobežotas, šī darbība ir nepieciešama turpmākai ieviešanai datorā, jo dators spēj darboties tikai ar ierobežotu skaitu skaitļu. Iepriekš 3.15. un 3.16. piemērā tika izmantota paraugu ņemšana. Lai gan precīzs integrāļa aprēķins ietver bezgalīgi daudzu vērtību izmantošanu (visiem tā aptuveno vērtību var aprēķināt, izmantojot ierobežotu vērtību skaitu punktos a, tāpat arī atvasinājuma aprēķināšanas problēma). kuras precīzs risinājums ietver darbību, pārejot uz robežu pie (un līdz ar to bezgala daudzu funkcijas vērtību izmantošana tiek samazināta līdz aptuvenam atvasinājuma aprēķiniem attiecībā uz divām funkcijas vērtībām.

Risinot nelineāras problēmas, plaši tiek izmantotas dažādas linearizācijas metodes, kas sastāv no sākotnējās problēmas aptuvenas aizstāšanas ar vienkāršākām lineārajām problēmām. Piemērs 3.17. Lai būtu nepieciešams aptuveni aprēķināt vērtību datorā, kas spēj veikt vienkāršas aritmētiskas darbības. Ņemiet vērā, ka pēc definīcijas x ir nelineāra vienādojuma pozitīva sakne. Ļaujiet mums parabolu aizstāt ar taisni, kas ir tai pievilkta pieskares punktā.

punkts ar abscisu. Šīs pieskares krustpunkts ar asi dod labāku tuvinājumu un tiek atrasts no lineāra vienādojuma, iegūstam aptuvenu formulu

Piemēram, ja jūs pieņemat par, jūs saņemat rafinētu vērtību

Risinot dažādu klašu skaitļošanas uzdevumus, var izmantot dažādas aproksimācijas metodes; Tie ietver metodes, kā noregulēt nepareizi izvirzītu problēmu risinājumu. Ņemiet vērā, ka regulēšanas metodes tiek plaši izmantotas slikti nosacītu problēmu risināšanai.

3. Tiešās metodes.

Problēmas risināšanas metodi sauc par tiešo, ja tā ļauj iegūt risinājumu pēc ierobežota skaita elementāru darbību veikšanas.

Piemērs 3.18. Kvadrātvienādojuma sakņu aprēķināšanas metode, izmantojot formulas, ir tiešā metode. Šeit tiek uzskatītas četras aritmētiskās darbības un kvadrātsaknes darbība.

Ņemiet vērā, ka tiešās metodes elementāra darbība var būt diezgan sarežģīta (elementāras vai speciālās funkcijas vērtību aprēķināšana, lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas atrisināšana, noteikta integrāļa aprēķināšana utt.). Fakts, ka tas tiek pieņemts kā elementārs, jebkurā gadījumā nozīmē, ka tā īstenošana ir ievērojami vienkāršāka nekā visas problēmas risinājuma aprēķināšana.

Konstruējot tiešās metodes, liela uzmanība tiek pievērsta elementāro operāciju skaita samazināšanai.

Piemērs 3.19 (Horner diagramma). Ļaujiet problēmai aprēķināt polinoma vērtību

atbilstoši dotajiem koeficientiem un argumenta x vērtībai. Ja polinomu aprēķina tieši, izmantojot formulu (3.12) un atrod to, secīgi reizinot ar x, tad jums būs jāveic reizināšanas un saskaitīšanas darbības.

Daudz ekonomiskāku aprēķina metodi sauc par Hornera shēmu. Tas ir balstīts uz polinoma rakstīšanu šādā līdzvērtīgā formā:

Iekavu izvietojums nosaka šādu aprēķinu secību: Šeit nepieciešams aprēķināt vērtību, veicot tikai reizināšanas un saskaitīšanas darbības.

Hornera shēma ir interesanta, jo tā sniedz piemēru par metodi, kas ir optimāla elementāro operāciju skaita ziņā. Parasti vērtību nevar iegūt ne ar vienu metodi, jo tiek veikts mazāk reizināšanas un saskaitīšanas darbību.

Dažkārt tiešās metodes sauc par precīzām, kas nozīmē, ka, ja ievaddatos nav kļūdu un elementāras darbības tiek veiktas precīzi, arī iegūtais rezultāts būs precīzs. Taču, ieviešot metodi datorā, neizbēgama ir skaitļošanas kļūdas parādīšanās, kuras lielums ir atkarīgs no metodes jutības pret noapaļošanas kļūdām. Daudzas tiešās (precīzās) metodes, kas izstrādātas pirmsmašīnas periodā, izrādījās nepiemērotas mašīnu aprēķiniem tieši pārmērīgas jutības dēļ pret noapaļošanas kļūdām. Ne visas precīzās metodes ir šādas, taču ir vērts atzīmēt, ka ne visai veiksmīgais termins “precīzi” raksturo metodes ideālas realizācijas īpašības, bet ne reālos aprēķinos iegūtā rezultāta kvalitāti.

4. Iteratīvās metodes.

Šīs ir īpašas metodes secīgu tuvinājumu konstruēšanai problēmas risināšanai. Metodes pielietošana sākas ar viena vai vairāku sākotnējo tuvinājumu izvēli. Lai iegūtu katru nākamo tuvinājumu, tiek veikta līdzīga darbību kopa, izmantojot iepriekš atrastos tuvinājumus - iterāciju. Šī iteratīvā procesa neierobežotais turpinājums teorētiski ļauj mums izveidot bezgalīgu tuvinājumu secību risinājumam

iterācijas secība. Ja šī secība saplūst līdz problēmas risinājumam, tad iteratīvā metode tiek uzskatīta par konverģētu. Sākotnējo tuvinājumu kopu, kurai metode konverģē, sauc par metodes konverģences reģionu.

Ņemiet vērā, ka iteratīvās metodes tiek plaši izmantotas dažādu problēmu risināšanā, izmantojot datorus.

Piemērs 3.20. Apskatīsim labi zināmo iteratīvo metodi, kas paredzēta aprēķināšanai (kur Ņūtona metode. Uzstādām patvaļīgu sākotnējo tuvinājumu. Nākamo tuvinājumu aprēķinām, izmantojot formulu, kas iegūta, izmantojot linearizācijas metodi 3.17. piemērā (sk. formulu (3.11)). Turpinot šo procesu tālāk mēs iegūstam iteratīvu secību, kurā nākamo tuvinājumu aprēķina, izmantojot atkārtotu formulu

Ir zināms, ka šī metode konverģē pie jebkuras sākotnējās tuvināšanas, tāpēc tās konverģences apgabals ir visu pozitīvo skaitļu kopa.

Izmantosim to, lai aprēķinātu vērtību -bitu decimālajā datorā. Iestatīsim (kā 3.17. piemērā). Tad turpmākie aprēķini ir bezjēdzīgi, jo bitu režģa ierobežotā rakstura dēļ visi turpmākie uzlabojumi dos tādu pašu rezultātu. Taču salīdzinājums ar precīzu vērtību liecina, ka jau trešajā iterācijā tika iegūti 6 pareizi zīmīgie skaitļi.

Izmantojot Ņūtona metodi kā piemēru, mēs apspriedīsim dažas tipiskas problēmas iteratīvajām metodēm (un ne tikai tām). Iteratīvās metodes pēc būtības ir aptuvenas; neviena no iegūtajām tuvinājumiem nav precīza risinājuma vērtība. Taču konverģences iterācijas metode principā dod iespēju atrast risinājumu ar jebkuru doto precizitāti. Tāpēc, izmantojot iteratīvo metodi, vajadzīgā precizitāte vienmēr tiek norādīta un iteratīvais process tiek pārtraukts, tiklīdz tā tiek sasniegta.

Lai gan tas, ka metode saplūst, noteikti ir svarīgs, nepietiek tikai ar metodes ieteikšanu lietošanai praksē. Ja metode konverģē ļoti lēni (piemēram, lai iegūtu risinājumu ar precizitāti 1%, jāveic iterācijas), tad tā nav piemērota datora aprēķiniem. Ātri konverģentām metodēm, kas ietver Ņūtona metodi, ir praktiska vērtība (atgādiniet, ka aprēķina precizitāte tika sasniegta tikai trīs iterācijās). Lai teorētiski izpētītu iteratīvo metožu konverģences ātrumu un pielietojamības nosacījumus, tiek atvasināti tā sauktie a priori kļūdu novērtējumi, kas ļauj jau pirms aprēķiniem sniegt kādu secinājumu par metodes kvalitāti.

Iesniegsim divus šādus a priori aprēķinus Ņūtona metodei. Ir zināms, ka tad visiem un divu secīgu tuvinājumu kļūdas ir saistītas ar šādu nevienādību:

Šeit ir vērtība, kas raksturo tuvinājuma relatīvo kļūdu. Šī nevienlīdzība norāda uz ļoti augstu metodes konverģences kvadrātisko ātrumu: katrā iterācijā “kļūda” tiek kvadrātā. Ja izsakām to ar sākotnējās aproksimācijas kļūdu, iegūstam nevienādību

no kā loma ir laba sākotnējās tuvināšanas izvēle. Jo mazāka vērtība, jo ātrāk metode saplūst.

Iteratīvo metožu praktiskā īstenošana vienmēr ir saistīta ar nepieciešamību izvēlēties iteratīvā procesa beigu kritēriju. Aprēķini nevar turpināties bezgalīgi, un tie ir jāpārtrauc saskaņā ar kādu kritēriju, kas saistīts, piemēram, ar noteiktās precizitātes sasniegšanu. A priori aplēšu izmantošana šim nolūkam visbiežāk izrādās neiespējama vai neefektīva. Lai gan kvalitatīvi pareizi apraksta metodes darbību, šādas aplēses ir pārvērtētas un sniedz ļoti neuzticamu kvantitatīvu informāciju. Bieži vien a priori aplēses satur nezināmus

daudzumi (piemēram, aplēses (3.14), (3.15) satur daudzumu a) vai norāda uz kādas papildu informācijas esamību un nopietnu izmantošanu par risinājumu. Visbiežāk šāda informācija nav pieejama, un tās iegūšana ir saistīta ar nepieciešamību risināt papildu problēmas, bieži vien sarežģītākas nekā sākotnējā.

Lai izveidotu beigu kritēriju, sasniedzot noteiktu precizitāti, parasti tiek izmantoti tā sauktie a posteriori kļūdu aprēķini - nevienādības, kurās kļūdas lielums tiek novērtēts, izmantojot zināmas vērtības vai vērtības, kas iegūtas skaitļošanas procesā. Lai gan šādas aplēses nevar izmantot pirms aprēķinu sākšanas, tās sniedz konkrētu nenoteiktības kvantitatīvu aprēķina procesa laikā.

Piemēram, Ņūtona metodei (3.13.) ir spēkā šāds posteriori novērtējums:

S. Ulams izmantoja nejaušus skaitļus, lai simulētu neitronu uzvedību kodolreaktorā, izmantojot datoru. Šīs metodes var būt neaizstājamas, modelējot lielas sistēmas, taču to detalizētais izklāsts ietver būtisku varbūtību teorijas un matemātiskās statistikas aparāta izmantošanu un ir ārpus šīs grāmatas darbības jomas.

Noteicošie faktori

Determinanta jēdziens

Jebkuru n-tās kārtas kvadrātveida matricu var saistīt ar izsaukto skaitli determinants (determinants) matricu A un apzīmē šādi: , vai , vai det A.

Pirmās kārtas matricas determinants, vai pirmās kārtas determinants, ir elements

Otrās kārtas noteicējs(otrās kārtas matricas determinants) aprēķina šādi:

Rīsi. Otrās kārtas determinanta aprēķināšanas shēma

Tādējādi otrās kārtas determinants ir summa 2=2! termini, no kuriem katrs ir 2 faktoru reizinājums - matricas A elementi, pa vienam no katras rindas un katras kolonnas. Viens no terminiem tiek pieņemts ar zīmi “+”, otrs ar “-”.

Atrodi noteicēju

Trešās kārtas determinantu (kvadrātveida matricas trešās kārtas determinantu) nosaka:

Tādējādi trešās kārtas determinants ir summa 6=3! termini, no kuriem katrs ir 3 faktoru reizinājums - matricas A elementi, pa vienam no katras rindas un katras kolonnas. Viena puse terminu ir ņemta ar zīmi “+”, otra puse ar “-” zīmi.

Galvenā trešās kārtas determinanta aprēķināšanas metode ir tā sauktā trīsstūra noteikums (Sarrusa noteikums): pirmais no trim vārdiem, kas iekļauti summā ar “+” zīmi, ir galvenās diagonāles elementu reizinājums, otrais un trešais ir to elementu reizinājums, kas atrodas divu trīsstūru virsotnēs ar pamatnes paralēli galvenajai diagonālei; trīs termini, kas iekļauti summā ar “-” zīmi, ir definēti līdzīgi, bet attiecībā pret otro (sānu) diagonāli. Zemāk ir 2 shēmas trešās kārtas determinantu aprēķināšanai

b)

Rīsi. Shēmas 3. kārtas determinantu aprēķināšanai

Atrodiet noteicēju:

N-tās kārtas kvadrātmatricas determinants (n 4) tiek aprēķināts, izmantojot determinantu īpašības.

Determinantu pamatīpašības. Determinantu aprēķināšanas metodes

Matricas determinantiem ir šādas pamatīpašības:

1. Determinants nemainās, kad matrica tiek transponēta.

2. Ja determinantā tiek apmainītas divas rindas (vai kolonnas), determinants mainīs zīmi.

3. Determinants ar divām proporcionālām (it īpaši vienādām) rindām (kolonnām) ir vienāds ar nulli.

4. Ja determinanta rinda (kolonna) sastāv no nullēm, tad determinants ir vienāds ar nulli.

5. No noteicošās zīmes var izņemt jebkuras rindas (vai kolonnas) elementu kopējo koeficientu.

6. Determinants nemainīsies, ja visiem vienas rindas (vai kolonnas) elementiem pievienosim citas rindas (vai kolonnas) atbilstošos elementus, kas reizināti ar to pašu skaitli.

7. Diagonālo un trīsstūrveida (augšējo un apakšējo) matricu determinants ir vienāds ar diagonālo elementu reizinājumu.

8. Kvadrātveida matricu reizinājuma determinants ir vienāds ar to determinantu reizinājumu.

Vadlīnijas 1. kursa studentiem

Bazejs Aleksandrs Anatoļjevičs

Odesa 2008

LITERATŪRA

1 Hemmings R.V. Skaitliskās metodes zinātniekiem un inženieriem. – M.: Nauka, 1968. – 400 lpp.

2 Blazhko S.N. Sfēriskās astronomijas kurss. – Maskava, Ļeņingrada, OGIZ, 1948. – 416 lpp.

3 Shchigolev B.M. Novērojumu matemātiskā apstrāde. – M.: Nauka, 1969. – 344 lpp.

4 Krilovs V.I., Bobkovs V.V., Monastyrny P.I. Skaitļošanas metodes. – M.: Nauka, 1977. I sējums, II sējums – 400 lpp.

5 Hadsons D. Statistika fiziķiem. – M.: Mir, 1967. – 244 lpp.

6.Bermans G.N. Grāmatvedības tehnikas. – Maskava, 1953. – 88 lpp.

7.Rumšinskis L.Z. Eksperimentālo rezultātu matemātiskā apstrāde. – Maskava, Nauka 1971. – 192 lpp.

8. Kaļitkins N.N. Skaitliskās metodes. – Maskava, Nauka 1978. – 512 lpp.

9. Fiļčakovs P.F. Lietišķās matemātikas skaitliskās un grafiskās metodes. – Kijeva, “Naukova Dumka”, 1970. – 800 lpp.

10. Fikhtengolts G.M. Diferenciālrēķina un integrāļa aprēķina kurss, 1.-3.sēj. – Maskava, Nauka 1966.

Aptuvenie aprēķini 2

Par plānošanu

Izlīdzināšana 10

Tuvināšana 12

Iztaisnošana (linearizācija) 13

Mazākā kvadrāta metode 15

Interpolācija 24

Lagranža interpolācijas polinoms 26

Lagranža formulas 29 atlikuma termiņš

Ņūtona interpolācijas polinoms tabulai ar mainīgu soli 30

Interpolācija no tabulas ar nemainīgu soli 34

Stērlinga, Besela, Ņūtona interpolācijas polinomi 37

Interpolācija no divu argumentu funkciju tabulas 42

Atšķirība pēc tabulas 44

Vienādojumu skaitlisks risinājums 46

Dihotomija (šķelšanās metode) 46

Vienkārša iterācijas metode 47

Ņūtona metode 50

Viena mainīgā funkcijas minimuma atrašana 51

Zelta proporcijas metode 51

Parabolas metode 54

Noteiktā integrāļa aprēķins 56

Trapecveida formula 59

Vidējo vērtību formula vai taisnstūru formula 61

Simpsona formula 62

Parasto diferenciālvienādojumu risināšana. Cauchy problēma 64

Klasiskā Eilera metode 66

Rafinētā Eilera metode 67

Prognozēšanas un korekcijas metode 69

Runge-Kutta metodes 71

Harmoniskā analīze 74

Ortogonālo funkciju sistēmas 78

12. metode 79. ordinātas

APTUVENI APRĒĶINI

Atrisināsim vienkāršu problēmu. Pieņemsim, ka students dzīvo 1247 m attālumā no stacijas. Vilciens atiet 17:38. Cik ilgi pirms vilciena atiešanas skolēnam jāiziet no mājām, ja viņa vidējais ātrums ir 6 km/h?

Mēs nekavējoties saņemam risinājumu:

.

Tomēr maz ticams, ka kāds patiešām izmantotu šo matemātiski precīzo risinājumu, un lūk, kāpēc. Aprēķini tika veikti pilnīgi precīzi, bet vai attālums līdz stacijai tika izmērīts precīzi? Vai vispār ir iespējams izmērīt gājēja ceļu, nepieļaujot nekādas kļūdas? Vai gājējs var iet pa stingri noteiktu līniju pilsētā, kas pilna ar cilvēkiem un automašīnām, kas kustas visdažādākajos virzienos? Un ātrums 6 km/h - vai tas ir noteikts absolūti precīzi? Un tā tālāk.

Pilnīgi skaidrs, ka visi šajā gadījumā dos priekšroku nevis “matemātiski precīzam”, bet gan “praktiskam” šīs problēmas risinājumam, proti, lēš, ka pastaiga aizņems 12-15 minūtes un pievienos vēl dažas minūtes, lai pārliecinātos.

Kāpēc tad jārēķina sekundes un to daļas un jātiecas pēc tādas precizitātes pakāpes, ko praktiski nevar izmantot?

Matemātika ir precīza zinātne, bet pats “precizitātes” jēdziens prasa skaidrojumu. Lai to izdarītu, mums jāsāk ar skaitļa jēdzienu, jo aprēķinu rezultātu precizitāte lielā mērā ir atkarīga no skaitļu precizitātes un sākotnējo datu ticamības.

Ciparu iegūšanai ir trīs avoti: skaitīšana, mērīšana un dažādu matemātisku darbību veikšana

Ja saskaitāmo vienību skaits ir neliels un ja tas ir nemainīgs laika gaitā, tad mēs saņemsim absolūti precīzi rezultātus. Piemēram, uz rokas ir 5 pirksti, un kastē ir 300 gultņi. Situācija ir citāda, ja saka: Odesā 1979. gadā bija 1 000 000 iedzīvotāju. Galu galā cilvēki dzimst un mirst, nāk un iet; to skaits mainās visu laiku, pat laika periodā, kurā skaitīšana ir pabeigta. Tātad patiesībā mēs domājam, ka bija apmēram 1 000 000 iedzīvotāju, varbūt 999 125 vai 1 001 263, vai kāds cits skaitlis, kas ir tuvu 1 000 000. Šajā gadījumā 1 000 000 aptuvens pilsētas iedzīvotāju skaits.

Nevienu mērījumu nevar veikt absolūti precīzi. Katra ierīce rada sava veida kļūdu. Turklāt divi novērotāji, kas mēra vienādu daudzumu ar vienu un to pašu instrumentu, parasti iegūst nedaudz atšķirīgus rezultātus, ir rets izņēmums.

Pat tik vienkāršai mērierīcei kā lineālam ir “ierīces kļūda” - lineāla malas un plaknes nedaudz atšķiras no ideālām taisnēm un plaknēm, lineāla sitienus nevar pielietot absolūti vienādos attālumos, un paši gājieni ir noteikts biezums; tāpēc, veicot mērījumus, mēs nevaram iegūt precīzākus rezultātus par sitienu biezumu.

Ja izmērījāt galda garumu un saņēmāt vērtību 1360,5 mm, tas nebūt nenozīmē, ka galda garums ir tieši 1360,5 mm - ja šī tabula mēra citu vai atkārtojat mērījumu, tad varat iegūt vērtība gan 1360,4 mm, gan 1360,6 mm. Skaitlis 1360,5 mm izsaka galda garumu aptuveni.

Ne visas matemātiskās darbības var veikt bez kļūdām. Ne vienmēr ir iespējams iegūt sakni, atrast sinusu vai logaritmu, pat dalīt ar absolūtu precizitāti.

Visi mērījumi bez izņēmuma rada aptuvenas izmērīto daudzumu vērtības. Dažos gadījumos mērījumi tiek veikti aptuveni, tad ar rūpīgiem mērījumiem tiek iegūtas lielas kļūdas, kļūdas ir mazākas. Absolūta mērījumu precizitāte nekad netiek sasniegta.

Tagad aplūkosim jautājuma otro pusi. Vai praksē ir nepieciešama absolūta precizitāte un kāda vērtība ir aptuvens rezultāts?

Aprēķinot elektrolīniju vai gāzes vadu, neviens nenoteiks attālumu starp balstiem ar milimetra precizitāti vai caurules diametru ar mikronu precizitāti. Tehnoloģijā un būvniecībā katru detaļu vai konstrukciju var izgatavot tikai noteiktā precizitātē, ko nosaka tā sauktās pielaides. Šīs pielaides svārstās no mikrona daļām līdz milimetriem un centimetriem atkarībā no daļas vai konstrukcijas materiāla, izmēra un mērķa. Tāpēc, lai noteiktu detaļas izmērus, nav jēgas veikt aprēķinus ar precizitāti, kas ir lielāka par nepieciešamo.

1) Aprēķinu sākotnējiem datiem parasti ir kļūdas, tas ir, tie ir aptuveni;

2) Šīs kļūdas, kas bieži tiek palielinātas, tiek iekļautas aprēķinu rezultātos. Bet prakse neprasa precīzus datus, bet ir apmierināta ar rezultātiem ar dažām pieņemamām kļūdām, kuru lielums ir iepriekš jānosaka.

3) Nodrošināt nepieciešamo rezultāta precizitāti iespējams tikai tad, ja avota dati ir pietiekami precīzi un kad ir ņemtas vērā visas kļūdas, ko rada paši aprēķini.

4) Aprēķini ar aptuveniem skaitļiem jāveic aptuveni, cenšoties problēmas risināšanā panākt minimālus darbaspēka un laika izdevumus.

Parasti tehniskajos aprēķinos pieļaujamās kļūdas svārstās no 0,1 līdz 5%, bet zinātniskos jautājumos tās var samazināt līdz procenta tūkstošdaļām. Piemēram, palaižot pirmo mākslīgo Mēness pavadoni (1966. gada 31. martā), bija jānodrošina palaišanas ātrums aptuveni 11 200 m/sek ar precizitāti līdz vairākiem centimetriem sekundē, lai satelīts varētu iekļūt mēness apļveida sistēmā. nekā apļveida orbīta.

Turklāt ņemiet vērā, ka aritmētikas noteikumi ir iegūti, pieņemot, ka visi skaitļi ir precīzi. Tāpēc, ja aprēķinus ar aptuveniem skaitļiem veic kā ar precīziem, tad rodas bīstams un kaitīgs precizitātes iespaids tur, kur patiesībā tādas nav. Patiesa zinātniska un jo īpaši matemātiskā precizitāte ir tieši norādīt uz gandrīz vienmēr neizbēgamu kļūdu klātbūtni un noteikt to robežas.

Balstoties uz otrās un trešās kārtas determinantu jēdzieniem, mēs varam līdzīgi ieviest secības determinanta jēdzienu. n. Kārtības determinanti, kas ir augstāki par trešo, parasti tiek aprēķināti, izmantojot 1.3. punktā formulēto determinantu īpašības, kas ir derīgas jebkuras kārtas determinantiem.

Izmantojot determinantu īpašību numuru 9 0, mēs ieviešam 4. kārtas determinanta definīciju:

2. piemērs. Aprēķiniet, izmantojot piemērotu paplašinājumu.

Līdzīgi tiek ieviests determinanta jēdziens 5., 6. utt. pasūtījums. Tātad kārtas n noteicējs:

.

Visas iepriekš apskatītās 2. un 3. kārtas determinantu īpašības ir spēkā arī n-tās kārtas determinantiem.

Apskatīsim galvenās determinantu aprēķināšanas metodes n-tais pasūtījums.

komentēt: Pirms šīs metodes izmantošanas ir lietderīgi, izmantojot determinantu pamatīpašības, uz nulli visus noteiktas rindas vai kolonnas elementus, izņemot vienu. (Efektīva pasūtījumu samazināšanas metode)

Reducēšanas metode līdz trīsstūrveida formai sastāv no šādas determinanta transformācijas, kad visi tā elementi, kas atrodas vienā pusē galvenajai diagonālei, kļūst vienādi ar nulli. Šajā gadījumā determinants ir vienāds ar tā galvenās diagonāles elementu reizinājumu.

3. piemērs. Aprēķināt, samazinot līdz trīsstūrveida formai.

4. piemērs. Aprēķiniet, izmantojot efektīvo pasūtījumu samazināšanas metodi

.

Risinājums: atbilstoši 4 0 determinantu īpašībai no pirmās rindas izņemsim koeficientu 10, pēc tam otro rindu secīgi reizinim ar 2, ar 2, ar 1 un saskaitīsim ar pirmo, trešo un ceturto. rindas, attiecīgi (īpašums 8 0).

.

Iegūto determinantu var izvērst pirmās kolonnas elementos. Tas tiks samazināts līdz trešās kārtas determinantam, kas tiek aprēķināts, izmantojot Sarrus (trijstūra) noteikumu.

5. piemērs. Aprēķiniet determinantu, reducējot to līdz trīsstūrveida formai.

.

3. piemērs. Aprēķināt, izmantojot atkārtošanās attiecības.

.

.

Lekcija 4. Apgrieztā matrica. Matricas rangs.

1. Inversās matricas jēdziens

1. definīcija. Kvadrāts tiek izsaukta n kārtas matrica A nedeģenerēts, ja tā noteicošais | A| ≠ 0. Gadījumā, ja | A| = 0, tiek izsaukta matrica A deģenerēts.

Tikai kvadrātveida nevienskaitlī matricām A tiek ieviests apgrieztās matricas A -1 jēdziens.

2. definīcija . Tiek izsaukta matrica A -1 otrādi kvadrātveida nevienskaitļa matricai A, ja A -1 A = AA -1 = E, kur E ir kārtas matrica n.

3. definīcija . Matrica sauca pielikumā tā elementi ir algebriskie papildinājumi transponētā matrica
.

Algoritms apgrieztās matricas aprēķināšanai, izmantojot adjoint matricas metodi.

, Kur
.

Pārbaudām aprēķina pareizību A -1 A = AA -1 = E. (E ir identitātes matrica)

Matricas A un A -1 abpusēji. Ja | A| = 0, tad apgrieztā matrica nepastāv.

1. piemērs. Dota matrica A. Pārliecinieties, ka tā nav vienskaitlī, un atrodiet apgriezto matricu
.

Risinājums:
. Tāpēc matrica nav vienskaitlī.

Atradīsim apgriezto matricu. Sastādīsim matricas A elementu algebriskos papildinājumus.

Mēs saņemam

.

Problēmas sākuma datu un tās risinājuma uzrādīšana - kā skaitlis vai skaitļu kopa

Tā ir svarīga sastāvdaļa tehnisko specialitāšu inženieru apmācības sistēmā.

Aprēķinu metožu pamatprincipi ir:

• lineāro vienādojumu sistēmu risināšana
• interpolācija un aptuvens funkcijas aprēķins
• parasto diferenciālvienādojumu skaitlisks risinājums
• daļēju diferenciālvienādojumu (matemātiskās fizikas vienādojumu) skaitlisks risinājums
• optimizācijas problēmu risināšana

Skatīt arī

Piezīmes

Literatūra

• Kaļitkins N. N. Skaitliskās metodes. M., Nauka, 1978. gads
• Amosovs A. A., Dubinskis A., Kopčenova N. V. “Inženieru skaitļošanas metodes”, 1994
• Fletcher K, Computational Methods in Fluid Dynamics, ed. Pasaule, 1991, 504 lpp.
• E. Aleksejevs “Datormatemātikas uzdevumu risināšana Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9” pakotnēs, 2006, 496 lpp.
• Tihonovs A. N., Gončarskis A. V., Stepanovs V. V., Yagola A. G. “Ciparu metodes nepareizi izvirzītu problēmu risināšanai” (1990)
• Bakušinskis A. B., Gončarskis A. V. Sliktas problēmas. Skaitliskās metodes un pielietojumi, ed. Maskavas universitātes izdevniecība, 1989
• N. N. Kaļitkins, A. B. Alšins, E. A. Alšina, V. B. Rogovs. Aprēķini uz kvazi vienveidīgiem režģiem. Maskava, Nauka, Fizmatlit, 2005, 224 lpp.
• Yu Ryzhikov “Aprēķinu metodes” izd. BHV, 2007, 400 lpp., ISBN 978-5-9775-0137-8
• Computational Methods in Applied Mathematics, International Journal, ISSN 1609-4840

Saites

• Zinātniskais žurnāls “Datortehnikas metodes un programmēšana. Jaunas skaitļošanas tehnoloģijas"

Wikimedia fonds. 2010. gads.

• Skaitļošanas matemātika un matemātiskā fizika
• Skaitļošanas cauruļvads

Skatiet, kas ir “skaitļošanas metodes” citās vārdnīcās:

Elektroanalītiskās ķīmijas metodes- Saturs 1 Elektroanalītiskās ķīmijas metodes 2 Ievads 3 Teorētiskā daļa ... Wikipedia

Digitālo signālu kodēšanas metodes- Šajā rakstā trūkst saišu uz informācijas avotiem. Informācijai jābūt pārbaudāmai, pretējā gadījumā tā var tikt apšaubīta un dzēsta. Jūs varat... Wikipedia

GĀZES DINAMIKA SKAITLISKĀS METODES- uz skaitļošanas algoritmiem balstītas gāzes dinamikas uzdevumu risināšanas metodes. Apskatīsim gāzu dinamikas uzdevumu risināšanas skaitlisko metožu teorijas galvenos aspektus, rakstot gāzes dinamikas vienādojumus saglabāšanas likumu veidā inerciāli... ... Matemātiskā enciklopēdija

DIFFŪZIJAS METODES- kinētikas risināšanas metodes. neitronu (vai citu daļiņu) transporta vienādojumi, kas modificē difūzijas aproksimācijas vienādojumus. Tā kā difūzijas aproksimācija dod pareizo asimptotiskā vienādojuma formu. transporta vienādojuma atrisināšana (tālu no avotiem un... ... Matemātiskā enciklopēdija

GULĪŠA FUNKCIJU MINIMIZĒŠANAS METODES- skaitliskās metodes daudzu mainīgo funkciju minimumu atrašanai. Dota no apakšas ierobežota funkcija, kas divreiz nepārtraukti diferencējama attiecībā uz tās argumentiem, kurai zināms, ka noteiktam vektoram (transponēšanas zīmei) ir nepieciešams... ... Matemātiskā enciklopēdija

GOST R 53622-2009: Informācijas tehnoloģijas. Informācijas un skaitļošanas sistēmas. Dzīves cikla posmi un posmi, dokumentu veidi un pilnība- Terminoloģija GOST R 53622 2009: Informācijas tehnoloģijas. Informācijas un skaitļošanas sistēmas. Dzīves cikla posmi un posmi, dokumentu veidi un pilnība oriģinālā dokumenta: 3.1 aparatūras programmatūras platforma: Vienots rīku komplekts... ...

Lietojumprogrammas skaitļošanas sistēmas- Lietojumprogrammu skaitļošanas sistēmas jeb ABC ietver objektu aprēķinu sistēmas, kuru pamatā ir kombinatoriskā loģika un lambda aprēķini. Vienīgais, kas šajās sistēmās ir būtiski attīstīts, ir objekta ideja. In... ... Wikipedia

GOST 24402-88: Tālapstrāde un datortīkli. Termini un definīcijas- Terminoloģija GOST 24402 88: Tālapstrāde un datortīkli. Termini un definīcijas oriģināldokuments: SISTĒMU UN TĪKLU VEIDI 90. Abonentu datu apstrādes sistēma Abonentu sistēma Abonentu sistēma Datu apstrādes sistēma,… … Normatīvās un tehniskās dokumentācijas terminu vārdnīca-uzziņu grāmata

ST SEV 4291-83: skaitļošanas mašīnas un datu apstrādes sistēmas. Magnētisko disku paketes ar ietilpību 100 un 200 MB. Tehniskās prasības un pārbaudes metodes- Terminoloģija ST SEV 4291 83: skaitļošanas mašīnas un datu apstrādes sistēmas. Magnētisko disku paketes ar ietilpību 100 un 200 MB. Tehniskās prasības un pārbaudes metodes: 8. Signāla amplitūda no VTAA informācijas virsmas Vidēji visā ... Normatīvās un tehniskās dokumentācijas terminu vārdnīca-uzziņu grāmata

Ģeofiziskās izpētes metodes- zemes garozas uzbūves izpēte, izmantojot fizikālās metodes derīgo izrakteņu meklēšanas un izpētes nolūkos; izpētes ģeofizika ir neatņemama ģeofizikas sastāvdaļa (sk. Ģeofiziku). G.m.r. pamatojoties uz fizisko lauku izpēti...... Lielā padomju enciklopēdija

Grāmatas

• Skaitļošanas metodes. Mācību grāmata, Andrejs Avenirovičs Amosovs, Jūlijs Andrejevičs Dubininskis, Natālija Vasiļjevna Kopčenova. Grāmatā aplūkotas lietišķo un zinātniski tehnisko aprēķinu praksē visbiežāk izmantotās skaitļošanas metodes: lineārās algebras uzdevumu risināšanas metodes, nelineārie vienādojumi,...