VEKTORI
Vektori sauc par matemātiskiem objektiem ( a, b, c, …), kurām ir definētas divas algebriskas darbības:
divu vektoru pievienošana a+b=c
vektora reizināšana ar skaitli a a = b.
Šo darbību nozīmīgākā iezīme ir tā, ka tās vienmēr rada tāda paša veida vektoru kā sākotnējie vektori. Tāpēc, izmantojot kādu sākotnējo vektoru kopu, mēs varam to pakāpeniski paplašināt, t.i. iegūt arvien jaunus vektorus, piemērojot saskaitīšanas un reizināšanas ar skaitli operācijas jau esošajiem vektoriem. Beigās nonāksim pie tāda vektoru kopuma, kas vairs nepaplašināsies, t.i. izrādās slēgts attiecībā uz norādītajām operācijām. Tādu vektoru kopu sauc vektora telpa.
Ja, veicot šīs darbības, papildus linearitātes nosacījumi :
a( a+b)= a a + a b
(a + b) a = a a + b b
tad iegūto telpu sauc lineārs telpa (LP) vai lineārais vektors telpa (ABL). LCS kopā ar simetrijas grupām var kalpot kā vēl viens piemērs matemātiskām struktūrām, kas ir slēgtas viena veida objektu kopas un sakārtotas noteiktā veidā (ar algebrisko operāciju palīdzību).
Lineāras kombinācijas
Izmantojot vektoru saskaitīšanas un reizināšanas ar skaitļiem operācijas, ir iespējams izveidot sarežģītāku šāda veida konstrukciju:
a a + b b+ g c + ..... = x
ko sauc lineāra kombinācija (LC) vektori a, b, c, . . . ar koeficientiem a, b, g, . . . , attiecīgi.
LC koncepcija ļauj formulēt vairākus vispārīgus noteikumus:
· jebkura LP jebkura vektora LC ir arī tā paša LP vektors;
jebkuru kāda LP vektoru var attēlot kā vairāku viena un tā paša LP vektoru LC;
jebkurā LP ir tik atšķirīga vektoru kopa, ko sauc bāzes komplekts (vai vienkārši pamata ), ka visus bez izņēmuma šī LP vektorus var attēlot kā šo izvēlēto bāzes vektoru lineāras kombinācijas. Par pamatu izvēlētajiem vektoriem tiek izvirzīts viens svarīgs nosacījums: tiem jābūt lineāri neatkarīgs savā starpā (nedrīkst izpausties vienam caur otru, t.i.: x≠a × y).
Šie noteikumi ļauj ieviest īpašu veidu, kā aprakstīt jebkuru LP. Izvēlamies bāzes kopu un šajā bāzē izvēršam visus mūs interesējošos vektorus (t.i., attēlojam tos LK bāzes vektoru formā); tad katru vektoru var unikāli norādīt, izmantojot LC koeficientu kopu, kas atbilst dotajam vektoram. Tādus koeficientus sauc koordinātas vektors (attiecībā uz doto bāzi). Mēs uzsveram, ka vektora koordinātas ir parastie skaitļi, un vektora koordinātu attēlojums ļauj mums to aprakstīt, izmantojot tikai skaitļu kopu, neatkarīgi no konkrētās fiziskās nozīmes, ko mēs ievietojam vektora jēdzienā.
Apskatīsim konkrētu piemēru. Pieņemsim, ka mums ir dažādu divu tīru ķīmisku vielu maisījumi: ūdens un spirta. Starp visiem iespējamiem maisījumiem mēs izceļam divus īpašus:
1) maisījums S1 kas satur 100% ūdens un 0% spirta;
2) maisījums S2 kas satur 0% ūdens un 100% spirta.
Ir skaidrs, ka patvaļīgu maisījumu var attēlot kā šo divu pamata maisījumu LC:
S = n 1 * S1 + n 2 * S2
un pilnībā raksturojiet to tikai ar diviem skaitļiem-koordinātām: n 1 un n 2. Citiem vārdiem sakot, ņemot vērā bāzes kopu, mēs varam noteikt patvaļīga ķīmiskā maisījuma un skaitļu kopas līdzvērtību:
S~ {n 1 , n 2 }.
Tagad pietiek aizstāt konkrēto ķīmisko vārdu "maisījums" ar abstraktu matemātisko terminu "vektors", lai iegūtu ABL modeli, kas apraksta divu vielu maisījumu kopu.
3.3. Vektoru lineārā neatkarība. Pamats.Lineārs kombinācija vektoru sistēmas
sauc par vektoru
kur a 1 , a 2 , ..., a n - patvaļīgi skaitļi.
Ja visi a i = 0, tad tiek izsaukta lineārā kombinācija triviāls . Šajā gadījumā acīmredzami
5. definīcija.
|
Ja vektoru sistēmai
pastāv netriviāla lineāra kombinācija (vismaz viena a i ¹ 0) vienāds ar nulles vektoru: tad sauc vektoru sistēmu lineāri atkarīgi. Ja vienlīdzība (1) ir iespējama tikai tad, ja visi a i =0, tad vektoru sistēmu sauc lineāri neatkarīgs . |
2. teorēma (Lineārās atkarības nosacījumi).
6. definīcija.
No 3. teorēmas no tā izriet, ka, ja telpā ir dots pamats, tad pievienojot tam patvaļīgu vektoru, iegūstam lineāri atkarīgu vektoru sistēmu. Saskaņā ar 2. teorēma (1) , vienu no tiem (var parādīt, ka vektoru ) var attēlot kā pārējo lineāru kombināciju:
.
7. definīcija.
|
Skaitļi sauca koordinātas vektori pamatā (apzīmēts
|
Ja vektorus aplūko plaknē, tad bāze būs sakārtots nekolineāru vektoru pāris
un vektora koordinātas šajā bāzē ir skaitļu pāris:
3. piezīme. To var parādīt dotajam pamatam vektora koordinātas ir unikāli noteiktas . No tā jo īpaši izriet, ka ja vektori ir vienādi, tad to atbilstošās koordinātas ir vienādas un otrādi .
Tātad, ja telpā ir dots bāze, tad sakārtots skaitļu trīskāršs (šajā bāzē vektora koordinātes) atbilst katram telpas vektoram un otrādi: katrs skaitļu trīskāršs atbilst vektoram.
Plaknē līdzīga atbilstība tiek noteikta starp vektoriem un skaitļu pāriem.
4. teorēma (Lineāras operācijas caur vektoru koordinātām).
|
Ja kādā pamatā Un a ir patvaļīgs skaitlis, tad šajā pamatā |
Citiem vārdiem sakot:
kad vektors tiek reizināts ar skaitli, tā koordinātas tiek reizinātas ar šo skaitli ;
pievienojot vektorus, tiek pievienotas to atbilstošās koordinātas .
1. piemērs . Dažos gadījumos vektoriir koordinātas
Parādiet, ka vektori veido bāzi, un atrodiet vektora koordinātas šajā bāzē.
Vektori veido pamatu, ja tie nav vienā plaknē, tāpēc (saskaņā ar Teorēma 3(2) ) ir lineāri neatkarīgi.
Pēc definīcijas 5 tas nozīmē, ka vienlīdzība
iespējams tikai tad, kadx = y = z = 0.
Lineāru vektoru kombināciju no sauc par vektoru st pie . Ir skaidrs, ka lineāra vektoru kombināciju lineāra kombinācija atkal ir šo vektoru lineāra kombinācija.
Vektoru kopu sauc par lineāri neatkarīgu, ja vienlīdzība ir iespējama tikai . Ja tomēr eksistē si, kas vienlaikus nav vienādi ar nulli un tādi, ka st - 0, tad vektoru kopu sauc par lineāri atkarīgu. Šīs definīcijas ir tādas pašas kā virkņu definīcijas, kas sniegtas 108. lpp.
1. priekšlikums. Vektoru kolekcija ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja viens no vektoriem ir citu vektoru lineāra kombinācija.
2. priekšlikums. Ja vektoru kolekcija ir lineāri neatkarīga un kolekcija ir lineāri atkarīga, tad vektors ir lineāra vektoru kombinācija
3. priekšlikums. Ja vektori ir lineāras vektoru kombinācijas, tad kopa ir lineāri atkarīga.
Šo teikumu pierādījumi neatšķiras no līdzīgu teikumu pierādījumiem virknēm (108.-110. lpp.).
Vektoru kopu sauc par ģenerēšanu, ja visi telpas vektori ir to lineārās kombinācijas. Ja telpai S ir ierobežota ģenerējošā sistēma, tad telpu sauc par galīgo dimensiju, pretējā gadījumā to sauc par bezgalīgu dimensiju. Ierobežotu dimensiju telpā nevar pastāvēt patvaļīgi lielas (pēc vektoru skaita) lineāri neatkarīgas vektoru kolekcijas, jo saskaņā ar 3.priekšlikumu jebkura vektoru kolekcija, kas vektoru skaitā pārsniedz ģenerējošo kolekciju, ir lineāri atkarīga.
Fiksēta izmēra matricu telpa un jo īpaši fiksēta garuma rindu telpa ir ierobežota izmēra, kā ģenerēšanas sistēmu var ņemt matricas ar vienu vienā pozīcijā un ar nullēm pārējā.
Visu polinomu telpa no jau ir bezgalīga, jo polinomu kopa ir lineāri neatkarīga jebkuram .
Tālāk mēs aplūkosim ierobežotas dimensijas telpas.
4. priekšlikums. Jebkura minimāla (pēc vektoru skaita) ģenerējošā vektoru kopa ir lineāri neatkarīga.
Patiešām, pieņemsim, ka tā ir minimālā ģenerējošā vektoru kopa. Ja tas ir lineāri atkarīgs, tad viens no vektoriem, teiksim, ir citu lineāra kombinācija, un jebkura lineāra kombinācija ir mazākas vektoru kopas lineāra kombinācija, kas tādējādi izrādās ģenerējoša.
5.priekšlikums. Ģenerē jebkura maksimālā (pēc vektoru skaita) lineāri neatkarīga vektoru kopa.
Patiešām, ļaujiet ir maksimālā lineāri neatkarīgā kolekcija un u jebkurš telpas vektors. Tad kopa un nebūs lineāri neatkarīga, un, pamatojoties uz 2. priekšlikumu, vektors ir lineāra kombinācija
6. priekšlikums. Jebkura lineāri neatkarīga ģeneratoru kopa ir minimāla starp ģeneratoriem un maksimāla starp lineāri neatkarīgiem.
Patiešām, pieņemsim, ka tā ir lineāri neatkarīga vektoru ģenerēšanas kopa. Ja - kāda cita ģenerējošā kopa, tad tās ir lineāras kombinācijas, un tāpēc mēs to secinām, jo, ja tas būtu tad, priekšlikuma dēļ tā būtu lineāri atkarīga kopa. Ļaujiet tagad būt jebkura lineāri neatkarīga kopa. Vektori ir vektoru lineāras kombinācijas, un tāpēc, pamatojoties uz vienu un to pašu ierosinājumu, tie veidotu lineāri atkarīgu kopu.
Tādējādi 4., 5., 6. priekšlikumā ir noteikta trīs jēdzienu identitāte - minimālā vektoru ģenerējošā kopa, maksimālā lineāri neatkarīgā vektoru kopa un lineāri neatkarīgā ģenerējošā kopa.
Vektoru kopu, kas atbilst šiem nosacījumiem, sauc par telpas bāzi, un vektoru skaitu, kas veido pamatu, sauc par telpas dimensiju. Telpas S izmēru apzīmē ar . Tādējādi dimensija ir vienāda ar maksimālo lineāri neatkarīgo vektoru skaitu (mēs bieži vien turpmāk sakām vārdus "lineāri neatkarīgi" un "lineāri atkarīgi vektori", nevis sakām "vektori, kas veido lineāri atkarīgu populāciju" un - attiecīgi lineāri neatkarīgai populācijai) un minimālo ģenerējošo vektoru skaitu.
7. priekšlikums. Ļaut ir lineāri neatkarīga vektoru kopa, un to skaits ir mazāks par telpas izmēru. Tad tiem var pievienot vektoru tā, lai kolekcija paliktu lineāri neatkarīga.
Pierādījums. Apsveriet lineāru kombināciju kopu. Tas neizsmeļ visu telpu, jo tie neveido ģenerējošu vektoru kopu. Paņemiet vektoru, kas nav lineāra kombinācija
Tad ir lineāri neatkarīga kolekcija, jo pretējā gadījumā tā būtu lineāra vektoru kombinācija saskaņā ar 2. priekšlikumu.
No 7. priekšlikuma izriet, ka jebkuru lineāri neatkarīgu vektoru kolekciju var pabeigt līdz bāzei.
Tas pats priekšlikums un tā pierādījums norāda uz patvaļas raksturu pamata izvēlē. Patiešām, ja mēs ņemam patvaļīgu nulles vektoru, tad to var pabeigt līdz bāzei, ņemot otro vektoru, kā vēlaties, bet ne lineāru kombināciju no pirmā, trešo, kā vēlaties, bet ne lineāru kombināciju pirmie divi utt.
Var "nolaisties" uz bāzi, izejot no patvaļīgas ģenerēšanas kopas.
8. priekšlikums. Jebkura ģenerējošā vektoru kopa satur bāzi.
Patiešām, pieņemsim, ka tā ir ģenerējoša vektoru kopa. Ja tas ir lineāri atkarīgs, tad viens no tā vektoriem ir pārējo lineāra kombinācija, un to var izslēgt no ģenerējošās kopas. Ja atlikušie vektori ir lineāri atkarīgi, tad var likvidēt vēl vienu vektoru un tā tālāk, līdz paliek lineāri neatkarīga ģenerējošā kopa, t.i., bāze.
Saskaņā ar šo kompromisa kritēriju katram risinājumam tiek noteikta lineāra minimālās un maksimālās peļņas kombinācija
Otrā iespēja ietver koncentrēšanos uz vienu kritēriju. To var vai nu izvēlēties kā vienu no standarta rādītājiem, kam ir pilnīgi saprotama ekonomiskā interpretācija (piemēram, kāds no likviditātes rādītājiem, procentu seguma koeficients u.c.), vai arī šis kritērijs ir izstrādāts kāda mākslīga rādītāja veidā, kas vispārina. īpaši kritēriji. Šim vispārinātajam kritērijam tiek noteikta sliekšņa vērtība, ar kuru tiek salīdzināta potenciālajam aizņēmējam aprēķinātā kritērija faktiskā vērtība. Galvenās grūtības šīs pieejas īstenošanā ir vispārināta rādītāja konstruēšanas metode. Visbiežāk tā ir lineāra daļēju kritēriju kombinācija, no kuriem katrs ir iekļauts vispārējā rādītājā ar noteiktu svara koeficientu. Tieši šādu pieeju izmantoja E. Altmanis, izstrādājot Z-kritēriju bankrota prognozēšanai.
E rindu sauc par matricas rindu e, e-..., em lineāru kombināciju, ja
Lineārās kombinācijas, lineārās atkarības un vektoru e, e2 neatkarības jēdziens. f em ir līdzīgi atbilstošajiem jēdzieniem matricas e, e2,..., em (11.5) rindām.
Kā parādīts , ierobežotām un izliektām pieļaujamām kopām (2.14.), vektoru x% 0, kas apmierina ierobežojumu A xk bk, var attēlot kā izliektu lineāru kombināciju no ierobežotas galējo punktu kopas.
Optimizācijas procedūrai elementu a un to lineāro kombināciju robežvērtību aprēķināšanai lielākoties nav šo trūkumu.
Acīmredzami, ka punkts (X1, q), kas iegūts ar (A/, q) un (L., q") lineāro kombināciju, ir arī sistēmas (4.43), (4.44) risinājums.
Šajā sadaļā mēs apskatīsim noteikumus daudzfaktoru gadījuma lieluma matemātisko gaidu un dispersijas aprēķināšanai, kas ir korelētu gadījuma mainīgo lineāra kombinācija.
Tāpēc patvaļīga skaita nejaušu lielumu lineārai kombinācijai mēs iegūstam
Apsveriet gadījumu, kad investīcijas tiek veiktas vairākos aktīvos (portfelī). Portfelis ir lineāra aktīvu kombinācija, no kurām katram ir sava paredzamā atdeve un ienesīguma izkliede.
Atšķirībā no patvaļīgas lineāras nejaušu mainīgo kombinācijas, aktīvu svari ievēro normalizācijas likumu
Iepriekšējā rindkopā tika parādīts, ka gadījumos, kad korelācijas koeficients starp aktīviem ir mazāks par 1, portfeļa diversifikācija var uzlabot sagaidāmās peļņas un paredzamā riska attiecību. Tas ir saistīts ar faktu, ka portfeļa sagaidāmā atdeve ir lineāra kombinācija no portfelī iekļautajiem aktīviem sagaidāmās atdeves, un portfeļa dispersija ir kvadrātiskā funkcija no s.d. iekļauts aktīvu portfelī.
Tā kā diskriminējošā funkcija ir atkarīga tikai no lineāras ievades kombinācijas, neirons ir lineārs diskriminators. Dažās vienkāršākajās situācijās lineārais diskriminators ir labākais iespējamais, proti, gadījumā, ja ieejas vektoru piederības k klasei varbūtības ir noteiktas ar Gausa sadalījumiem
Precīzāk sakot, Oya tīkla izejas ir pirmo W galveno komponentu lineāras kombinācijas. Lai precīzi iegūtu pašus galvenos komponentus, Oya noteikumā pietiek aizstāt visu izvadu summēšanu ar
Vektori b veido arī tā saukto minimālo bāzi. Proti, tas ir minimālais vektoru skaits, ar kuru lineāras kombinācijas palīdzību var attēlot visus iegaumētos vektorus
Sekojošā sistemātiskā procedūra spēj iteratīvi iegūt nozīmīgākās pazīmes, kas ir ievades mainīgo lineāras kombinācijas X = W X (ievades apakškopa ir īpašs lineāras kombinācijas gadījums, t.i., formāli var atrast labāku risinājumu, nekā tas ir pieejams izvēloties nozīmīgākās ievades kombinācijas).
Analīzes gaitā, lai raksturotu dažādus finansiālā stāvokļa aspektus, tie tiek izmantoti kā. absolūtie rādītāji un finanšu rādītāji, kas ir relatīvi finansiālā stāvokļa rādītāji. Pēdējos aprēķina kā finansiālā stāvokļa absolūto rādītāju vai to lineāro kombināciju attiecības. Saskaņā ar viena no bilances zinātnes pamatlicēja N. A. Blatova klasifikāciju finansiālā stāvokļa relatīvie rādītāji tiek iedalīti sadalījuma koeficientos un tiek izmantoti gadījumos, kad nepieciešams noteikt, kura daļa no viena vai otra.
Vektora koncepcija
1. definīcija.Vektors sauc par virzītu segmentu (vai, kas ir tas pats, sakārtotu punktu pāri).
Apzīmējiet: (punkts A ir vektora sākums), punkts B ir vektora beigas) vai ar vienu burtu -.
2. definīcija.Vektora garums (modulo) ir attālums starp vektora sākumu un beigām. Vektora garumu apzīmē ar vai.
3. definīcija.Nulles vektors Tiek saukts vektors, kura sākums un beigas ir vienādi. Norādīt:
4. definīcija.vienības vektors ir vektors, kura garums ir vienāds ar vienu.
Vienības vektoru, kuram ir tāds pats virziens kā dotajam vektoram, sauc par vektora vektoru un apzīmē ar simbolu.
5. definīcija. Vektorus sauc kolineārs, ja tie atrodas uz vienas līnijas vai uz paralēlām līnijām. Nulles vektors tiek uzskatīts par kolineāru jebkuram vektoram.
6. definīcija. Vektorus sauc vienāds ja tie ir kolineāri, tiem ir vienāds garums un vienāds virziens.
Lineāras operācijas ar vektoriem
7. definīcija.Lineāras operācijas ar vektoriem sauc par vektoru saskaitīšanu un vektora reizināšanu ar skaitli.
8. definīcija.Divu vektoru summa sauc par vektoru, kas iet no vektora sākuma līdz vektora beigām, ar nosacījumu, ka vektors ir pievienots vektora galam (trijstūra noteikums). Nekolineāru vektoru gadījumā trijstūra noteikuma vietā var izmantot paralelograma likumu: ja vektori un ir attēloti no kopīga sākuma un uz tiem ir uzbūvēts paralelograms, tad summa ir vektors, kas sakrīt ar diagonāli. šī paralelograma nāk no kopīgas izcelsmes.
9. definīcija.Divu vektoru atšķirība un tiek izsaukts vektors, kas, summējot ar vektoru, veido vektoru. Ja divi vektori un tiek atlikti no kopīga sākuma, tad to atšķirība ir vektors, kas nāk no vektora gala ("atņemts") līdz vektora beigām ("samazināts").
10. definīcija. Tiek izsaukti divi vienāda garuma kolineāri vektori, kas vērsti pretējos virzienos pretī. Vektoram pretējs vektors ir apzīmēts.
Vektora un skaitļa reizinājumu apzīmē ar α.
Dažas lineāro darbību īpašības
7)
;
1. teorēma.(Uz kolineārajiem vektoriem). Ja un ir divi kolineāri vektori, un vektors nav nulle, tad ir unikāls skaitlis x, kas = x
Jo īpaši vektors, kas nav nulle, un tā orto ir saistīti ar vienādību:=·.
Lineāro darbību formulētās īpašības ļauj pārveidot no vektoriem veidotas izteiksmes saskaņā ar parastajiem algebras likumiem: var atvērt iekavas, ienest līdzīgus terminus, pārnest dažus terminus uz citu vienādības daļu ar pretēju zīmi utt.
1. piemērs
Pierādīt vienādības:
un uzziniet, kāda ir to ģeometriskā nozīme.
Risinājums. a) Vienādības kreisajā pusē atveram iekavas, dodam līdzīgus terminus, labajā pusē iegūstam vektoru. Izskaidrosim šo vienādību ģeometriski. Doti divi vektori, noliekam tos malā no kopējā sākuma un apskatām paralelogramu un tā diagonāles, iegūstam:
§2 Lineāra vektoru kombinācija
Vektoru bāze plaknē un telpā.
1. definīcija.Lineāra vektoru kombinācija,, ir šo vektoru reizinājumu summa ar dažiem skaitļiem,,:++.
2. definīcija.vektora bāze jebkurš nekolineāru vektoru pāris šajā plaknē tiek izsaukts dotajā plaknē.
Vektoru sauc par pirmo bāzes vektoru, otro vektoru.
Sekojošā teorēma ir patiesa.
1. teorēma. Ja pamats ,– vektora bāzi plaknē, tad jebkuru šīs plaknes vektoru var attēlot, turklāt unikālā veidā, kā bāzes vektoru lineāru kombināciju: = x + y. (*)
3. definīcija. Tiek izsaukta vienlīdzība (*). , un skaitļi x un y ir vektora koordinātas bāzē,(vai attiecībā uz pamatu,). Ja iepriekš ir skaidrs, par kuru pamatu tiek runāts, tad viņi īsi raksta: = (x, y). No vektora koordinātu definīcijas attiecībā pret bāzi izriet, ka vienādiem vektoriem ir attiecīgi vienādas koordinātas.
Tiek saukti divi vai vairāki vektori telpā koplanārs, ja tie ir paralēli tai pašai plaknei vai atrodas šajā plaknē.
4. definīcija.vektora bāze telpā tiek izsaukti jebkuri trīs vektori , ,.
Šajā gadījumā vektoru sauc par pirmo bāzes vektoru, otro un trešo.
komentēt. 1. Trīs vektori = (),= () un = () veido telpas pamatu, ja determinants, kas sastāv no to koordinātām, nav nulle:
.
2. Determinantu teorijas galvenie nosacījumi un to aprēķināšana ir aplūkoti 1. modulī "lineārā algebra".
2. teorēma.Ļaujiet , , ir vektora bāze telpā. Tad jebkuru vektoru telpā var attēlot, turklāt unikālā veidā, kā lineāru bāzes vektoru kombināciju , Un:
X+y+z. (**)
5. definīcija. Tiek saukta vienlīdzība (**). vektora paplašināšana bāzes izteiksmē,,, un skaitļi x, y, z ir bāzes vektora koordinātas (sastāvdaļas). , ,.
Ja iepriekš ir skaidrs, par kādu pamatu tiek runāts, tad viņi raksta īsi: = (x, y, z).
6. definīcija. Pamats , , tiek saukts ortonormāls, ja vektori , , ir pa pāriem perpendikulāri un ir garuma vienība. Šajā gadījumā tiek pieņemts apzīmējums ,,.
Darbības uz vektoriem, ko nosaka to koordinātas.
3. teorēma.Ļaujiet plaknē izvēlēties vektora bāzi , un attiecībā pret tā vektoriem un ir dotas ar to koordinātām: = (),= ().
Tad =(),=( 
), t.i. saskaitot vai atņemot vektorus, tiek pievienotas vai atņemtas to vienāda nosaukuma koordinātas; = ( ;), t.i. kad vektors tiek reizināts ar skaitli, tā koordinātas tiek reizinātas ar šo skaitli.
Kolinearitātes nosacījums diviem vektoriem
4. teorēma. Vektors ir kolineārs pret nulles vektoru tad un tikai tad, ja vektora koordinātas ir proporcionālas atbilstošajām vektora koordinātām.e.
Līdzīgi tiek veiktas lineāras darbības ar vektoriem, kas norādīti pēc to koordinātām telpā.
1. piemērs Lai vektori = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) ir doti kādā vektoru bāzē , ,. Atrodiet lineārās kombinācijas 2+3-4 koordinātas.
Risinājums. Ieviesīsim apzīmējumu lineārajai kombinācijai=2+3+(-4).
Lineārās kombinācijas koeficienti =2,=3,=-4. Mēs rakstām šo vektoru vienādību koordinātu formā = (x, y, z) =:
2
Acīmredzot katra lineāras vektoru kombinācijas koordināte ir vienāda ar to pašu viena un tā paša nosaukuma lineāro koordinātu kombināciju, t.i.
x \u003d 2 1 + 3 3 + (-4) 1 \u003d 7,
y = 2 2 + 3 2 + (-4) 0 = 10,
z = 2 (-1) + 3 1 + (-4) 0 = -3.
Vektoru koordinātas pamatā , , būs:
Atbilde:= {7,10,-3}.
Vispārējā (afīnā) Dekarta koordinātu sistēma
7. definīcija. Lai O ir kāds fiksēts punkts, ko mēs sauksim sākums.
Ja M ir patvaļīgs punkts, tad vektoru izsauc rādiusa vektors punkts M attiecībā pret izcelsmi, īsi sakot, punkta M rādiusa vektoru.
Dekarta (afīna) koordinātas uz taisnes
Lai telpā ir dota kāda taisna līnija l. Izvēlēsimies izcelsmi O, kas atrodas uz šīs līnijas. Turklāt mēs izvēlamies uz līnijas l nulles vektors, ko sauksim par bāzes vektoru.
8. definīcija.Ļaujiet, lai punkts M atrodas uz taisnes l. Tā kā vektori ir kolineāri, tad = x, kur x ir kāds skaitlis. Mēs piezvanīsim uz šo numuru koordinēt punktu M uz līnijas.
Izcelsmei O ir pozitīvas vai negatīvas koordinātas atkarībā no tā, vai vektoru virzieni ir vienādi vai pretēji. Taisnā līnija, uz kuras koordinātas tiek sauktas par koordinātu asi vai OX asi.
Koordinātu ievadīšana uz līnijas atbilst vienam skaitlim x, un otrādi, ir unikāls punkts M, kuram šis skaitlis ir koordināte.
Dekarta (afīna) koordinātas plaknē.
Plaknē O izvēlamies divus nekolineārus vektorus u, veidojot kādu pamatu. Acīmredzot vektoru garumi var būt dažādi.
9. definīcija. Punkta O kopa (0;;) un vektora bāze , sauca Dekarta (afīna) sistēma uz virsmas.
Divas taisnes, kas iet cauri O un attiecīgi paralēlas vektoriem , sauc par koordinātu asīm. Pirmo no tiem parasti sauc par abscisu asi un apzīmē Ox, otro ir ordinātu asi un apzīmē ar Oy.
Mēs vienmēr attēlosim un guļam uz attiecīgajām koordinātu asīm.
10. definīcija.punktu koordinātas M plaknē attiecībā pret Dekarta (afīna) koordinātu sistēmu (0;;) sauc par tās rādiusa vektora koordinātām atbilstoši pamatam:
X + y, tad skaitļi x un y būs M koordinātas attiecībā pret Dekarta (afīna) koordinātu sistēmu (0;;). Tiek izsaukta x koordināta abscisa punkts M, koordināte y- ordinātas punkti M.
Tātad, ja ir izvēlēta koordinātu sistēma, (0;;) uz plaknes, tad katrs plaknes punkts M atbilst vienam punktam M plaknē: šis punkts ir vektora beigas.
Koordinātu sistēmas ieviešana ir analītiskās ģeometrijas metodes pamatā, kuras būtība ir spēja jebkuru ģeometrisku uzdevumu reducēt uz aritmētikas vai algebras uzdevumiem.
11. definīcija.Vektoru koordinātas plaknē attiecībā pret Dekarta koordinātu sistēmu (0;;) sauc par šī vektora koordinātām bāzē,.
Lai atrastu vektora koordinātas, tas ir jāpaplašina bāzes izteiksmē:
X + y, kur koeficienti x, y un būs vektora koordinātas attiecībā pret Dekarta sistēmu (0;;).
Dekarta (afīna) koordinātu sistēma telpā.
Lai telpā tiktu fiksēts kāds punkts O(sākums) un izvēlēta vektora bāze
12. definīcija. Tiek izsaukta kolekcija (0;;;). Dekarta koordinātu sistēma kosmosā.
13. definīcija. Trīs taisnes, kas iet caur O un paralēli vektoriem , ,, zvanīja koordinātu asis un apzīmē attiecīgi Oz, Oy, Oz. Mēs vienmēr attēlosim vektorus , guļ uz attiecīgajām asīm.
14. definīcija.punktu koordinātas M telpā attiecībā pret Dekarta koordinātu sistēmu (0;;;) šajā sistēmā sauc par tās rādiusa vektora koordinātām.
Citiem vārdiem sakot, punkta M koordinātas ir attiecīgi trīs skaitļi x, y, z, punkta M abscisa un ordināta; trešo koordinātu z sauc par punkta M aplikāciju.
Dekarta koordinātu sistēmas ieviešana telpā ļauj izveidot vienlīdzīgu atbilstību starp telpas punktiem M un sakārtotiem skaitļu x, y, z trīskāršiem.
15. definīcija.Vektoru koordinātas telpā attiecībā pret Dekarta koordinātu sistēmu (0;;;) ir šī vektora koordinātas bāzē;;.
2. piemērs
Dotas trīs secīgas paralelograma virsotnes A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Atrodiet tās ceturto koordinātu D. Koordinātu sistēma ir afīna.
Risinājums.
Vektori ir vienādi, kas nozīmē, ka to koordinātas ir vienādas (lineāras kombinācijas koeficienti):
= (3;2), =(4-x;-y); 
. Tātad D(1;-2).
Atbilde: D(1;-2).
Lineārā atkarība. Pamata jēdziens
16. definīcija. Vektori, saukti lineāri atkarīgi, ja ir cipari
Šī vektoru lineārās atkarības definīcija ir līdzvērtīga šim: vektori ir lineāri atkarīgi, ja vienu no tiem var attēlot kā citu lineāru kombināciju (vai paplašināt pār citiem).
Vektorus sauc par lineāri atkarīgiem, ja vienlīdzība (***) ir iespējama vienīgajā gadījumā, kad
Lineārajā algebrā lielu lomu spēlē lineārās atkarības jēdziens. Vektoru algebrā lineārajai atkarībai ir vienkārša ģeometriska nozīme.
Jebkuri divi kolineārie vektori ir lineāri atkarīgi, un otrādi, divi nekolineārie vektori ir lineāri neatkarīgi.
Trīs koplanāri vektori ir lineāri atkarīgi, un otrādi, trīs ne-kopplanāri vektori ir lineāri neatkarīgi.
Katrs četri vektori ir lineāri atkarīgi.
17. definīcija. Tiek izsaukti trīs lineāri neatkarīgi vektori telpas pamats tie. jebkuru vektoru var attēlot kā dažus.
18. definīcija. Tiek saukti divi lineāri neatkarīgi vektori, kas atrodas plaknē lidmašīnas bāze, tie. jebkuru vektoru, kas atrodas šajā plaknē, var attēlot kā lineāru vektoru kombināciju.
Uzdevumi patstāvīgam lēmumam.
vektorus, lai atrastu koordinātas šajā bāzē.
