Trigonometrisks. Kompleksa skaitļa modulis un arguments

Sarežģīti skaitļi

Iedomāts Un kompleksie skaitļi. Abscisa un ordināta

kompleksais skaitlis. Konjugēt kompleksos skaitļus.

Darbības ar kompleksajiem skaitļiem. Ģeometriski

komplekso skaitļu attēlojums. Sarežģīta plakne.

Kompleksa skaitļa modulis un arguments. Trigonometrisks

kompleksā skaitļa forma. Operācijas ar kompleksu

cipari trigonometriskā formā. Moivre formula.

Pamatinformācija par iedomāts Un kompleksie skaitļi ir doti sadaļā “Iedomātie un kompleksie skaitļi”. Nepieciešamība pēc šiem jauna veida skaitļiem radās, risinot gadījuma kvadrātvienādojumusD< 0 (здесь D– kvadrātvienādojuma diskriminants). Ilgu laiku šie skaitļi neatrada fizisku pielietojumu, tāpēc tos sauca par “iedomātajiem” skaitļiem. Tomēr tagad tos ļoti plaši izmanto dažādās fizikas jomās.

un tehnoloģija: elektrotehnika, hidro- un aerodinamika, elastības teorija utt.

Sarežģīti skaitļi ir rakstīti šādā formā:a+bi. Šeit a Un b – reāli skaitļi , A i – iedomātā vienība, t.i. e. i 2 = –1. Numurs a sauca abscisa, a b – ordinātakompleksais skaitlisa + bi.Divi kompleksie skaitļia+bi Un a–bi tiek saukti konjugāts kompleksie skaitļi.

Galvenie līgumi:

1. Reālais skaitlisAvar rakstīt arī formākompleksais skaitlis:a+ 0 i vai a – 0 i. Piemēram, ieraksti 5 + 0i un 5-0 inozīmē to pašu skaitli 5 .

2. Komplekss skaitlis 0 + bisauca tīri izdomāts numuru. Ierakstsbinozīmē to pašu, ko 0 + bi.

3. Divi kompleksie skaitļia+bi Unc+ditiek uzskatīti par vienādiem, jaa = c Un b = d. Citādi kompleksie skaitļi nav vienādi.

Papildinājums. Komplekso skaitļu summaa+bi Un c+disauc par komplekso skaitli (a+c ) + (b+d ) i.Tādējādi pievienojot kompleksos skaitļus, to abscises un ordinātas pievieno atsevišķi.

Šī definīcija atbilst noteikumiem par darbībām ar parastajiem polinomiem.

Atņemšana. Divu komplekso skaitļu atšķirībaa+bi(samazināts) un c+di(apakšdaļu) sauc par komplekso skaitli (a–c ) + (b–d ) i.

Tādējādi Atņemot divus kompleksos skaitļus, to abscises un ordinātas tiek atņemtas atsevišķi.

Reizināšana. Komplekso skaitļu reizinājumsa+bi Un c+di sauc par komplekso skaitli:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Šī definīcija izriet no divām prasībām:

1) cipari a+bi Un c+dijāreizina kā algebriskais binomi,

2) numurs iir galvenais īpašums:i 2 = – 1.

PIEMĒRS ( a+ bi )(a–bi) =a 2 +b 2 . Tāpēc strādāt

divi konjugēti kompleksie skaitļi ir vienādi ar reālo

pozitīvs skaitlis.

Divīzija. Sadaliet komplekso skaitlia+bi (dalāms) ar cituc+di(dalītājs) - nozīmē atrast trešo numurue + f i(čats), ko reizinot ar dalītājuc+di, rada dividendesa + bi.

Ja dalītājs nav nulle, dalīšana vienmēr ir iespējama.

PIEMĒRS Atrast (8+i ) : (2 – 3 i) .

Risinājums. Pārrakstīsim šo attiecību kā daļskaitli:

Reizinot tā skaitītāju un saucēju ar 2 + 3i

UN Veicot visas pārvērtības, mēs iegūstam:

Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums. Reālos skaitļus attēlo punkti uz skaitļu līnijas:

Šeit ir runa Anozīmē skaitli –3, punktsB– 2. numurs un O- nulle. Turpretim kompleksos skaitļus attēlo punkti koordinātu plaknē. Šim nolūkam mēs izvēlamies taisnstūra (Dekarta) koordinātas ar vienādām skalām uz abām asīm. Tad kompleksais skaitlisa+bi tiks attēlots ar punktu P ar abscisu a un ordinātas b (skat. attēlu). Šo koordinātu sistēmu sauc sarežģīta plakne .

Modulis kompleksais skaitlis ir vektora garumsOP, kas attēlo kompleksu skaitli uz koordinātas ( aptverošs) lidmašīna. Kompleksā skaitļa modulisa+bi apzīmēts | a+bi| vai vēstuli r

Komplekss skaitlis ir skaitlis formā z =x + i * y, kur x un y ir reāli cipariem, un i = imagināra vienība (t.i., skaitlis, kura kvadrāts ir -1). Lai definētu jēdzienu arguments aptverošs cipariem, ir jāņem vērā kompleksais skaitlis kompleksajā plaknē polāro koordinātu sistēmā.

Instrukcijas

Plakne, uz kuras attēloti kompleksie kompleksi cipariem, sauc par kompleksu. Šajā plaknē horizontālo asi aizņem reālā cipariem(x), un vertikālā ass ir iedomāta cipariem(y). Šādā plaknē skaitlis ir dots ar divām koordinātām z = (x, y). Polārajā koordinātu sistēmā punkta koordinātas ir modulis un arguments. Modulis ir attālums |z| no punkta uz izcelsmi. Arguments ir leņķis starp vektoru, kas savieno punktu un sākumpunktu, un koordinātu sistēmas horizontālo asi (skat. attēlu).

Attēlā redzams, ka kompleksais modulis cipariem z = x + i * y tiek atrasts, izmantojot Pitagora teorēmu: |z| = ? (x^2 + y^2). Nākamais arguments cipariem z tiek atrasts kā trijstūra akūts leņķis - caur trigonometrisko funkciju vērtībām sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

Piemēram, dosim skaitli z = 5 * (1 + ?3 * i). Vispirms atlasiet reālo un iedomāto daļu: z = 5 +5 * ?3 * i. Izrādās, ka reālā daļa ir x = 5, bet iedomātā daļa ir y = 5 * ?3. Aprēķināt moduli cipariem: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Pēc tam atrodiet leņķa sinusu: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Tas dod argumentu cipariem z ir vienāds ar 30°.

Piemērs 2. Dots skaitlis z = 5 * i. Attēlā redzams, ka leņķis = 90°. Pārbaudiet šo vērtību, izmantojot iepriekš norādīto formulu. Pierakstiet tā koordinātas cipariem kompleksajā plaknē: z = (0, 5). Modulis cipariem|z| = 5. Leņķa pieskare tg = 5 / 5 = 1. No tā izriet, ka = 90°.

3. piemērs. Jāatrod divu komplekso skaitļu summas arguments z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Saskaņā ar pievienošanas noteikumiem jūs pievienojat šos divus kompleksus cipariem: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Pēc tam, izmantojot iepriekš minēto diagrammu, aprēķiniet argumentu: tg = 9 / 3 = 3.

Kuru attēlo doto komplekso skaitli $z=a+bi$ sauc par dotā kompleksā skaitļa moduli.

Dotā kompleksā skaitļa moduli aprēķina, izmantojot šādu formulu:

1. piemērs

Aprēķināt moduli dotajiem kompleksajiem skaitļiem $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Mēs aprēķinām kompleksa skaitļa $z=a+bi$ moduli, izmantojot formulu: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Sākotnējam kompleksajam skaitlim $z_(1) =13$ iegūstam $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) = 13 $

Sākotnējam kompleksajam skaitlim $\, z_(2) =4i$ iegūstam $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Sākotnējam kompleksajam skaitlim $\, z_(3) =4+3i$ iegūstam $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

2. definīcija

Leņķi $\varphi $ veido reālās ass pozitīvais virziens un rādiusa vektors $\overrightarrow(OM) $, kas atbilst dotam kompleksajam skaitlim $z=a+bi$, sauc par šī skaitļa argumentu un ir apzīmēts ar $\arg z$.

1. piezīme

Dotā kompleksā skaitļa modulis un arguments tiek izmantoti tieši, attēlojot kompleksu skaitli trigonometriskā vai eksponenciālā formā:

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometriskā forma;
$z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - eksponenciāla forma.

2. piemērs

Uzrakstiet kompleksu skaitli trigonometriskā un eksponenciālā formā, ko dod šādi dati: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Aizstājiet datus $r=3;\varphi =\pi $ attiecīgajās formulās un iegūstiet:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ — trigonometriskā forma

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - eksponenciāla forma.

2) Aizstājiet datus $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ attiecīgajās formulās un iegūstiet:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometriskā forma

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - eksponenciāla forma.

3. piemērs

Nosakiet doto komplekso skaitļu moduli un argumentu:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Mēs atradīsim moduli un argumentu, izmantojot formulas dotā kompleksā skaitļa rakstīšanai attiecīgi trigonometriskā un eksponenciālā formā

\ \

1) Sākotnējam kompleksajam skaitlim $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ iegūstam $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Sākotnējam kompleksajam skaitlim $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ mēs iegūt $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Sākotnējam kompleksajam skaitlim $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ iegūstam $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Sākotnējam kompleksajam skaitlim $z=13\cdot e^(i\pi ) $ iegūstam $r=13;\varphi =\pi $.

Dotā kompleksā skaitļa $z=a+bi$ argumentu $\varphi $ var aprēķināt, izmantojot šādas formulas:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

Praksē, lai aprēķinātu dotā kompleksā skaitļa argumenta vērtību $z=a+bi$, parasti izmanto formulu:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(masīvs)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a

vai atrisināt vienādojumu sistēmu

$\left\(\begin(masīvs)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(masīvs)\right. $. (**)

4. piemērs

Aprēķināt doto komplekso skaitļu argumentu: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Tā kā $z=3$, tad $a=3,b=0$. Aprēķināsim sākotnējā kompleksā skaitļa argumentu, izmantojot formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Tā kā $z=4i$, tad $a=0,b=4$. Aprēķināsim sākotnējā kompleksā skaitļa argumentu, izmantojot formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Tā kā $z=1+i$, tad $a=1,b=1$. Aprēķināsim sākotnējā kompleksā skaitļa argumentu, atrisinot sistēmu (**):

\[\left\(\begin(masīvs)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(masīvs)\right. .\]

No trigonometrijas kursa ir zināms, ka $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ leņķim, kas atbilst pirmajai koordinātu ceturtdaļai un vienāds ar $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Tā kā $z=-5$, tad $a=-5,b=0$. Aprēķināsim sākotnējā kompleksā skaitļa argumentu, izmantojot formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Tā kā $z=-2i$, tad $a=0,b=-2$. Aprēķināsim sākotnējā kompleksā skaitļa argumentu, izmantojot formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

2. piezīme

Skaitlis $z_(3)$ ir attēlots ar punktu $(0;1)$, tāpēc atbilstošā rādiusa vektora garums ir vienāds ar 1, t.i. $r=1$, un arguments $\varphi =\frac(\pi )(2) $ saskaņā ar 3. piezīmi.

Skaitlis $z_(4)$ ir attēlots ar punktu $(0;-1)$, tāpēc atbilstošā rādiusa vektora garums ir 1, t.i. $r=1$ un argumentu $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ saskaņā ar 3. piezīmi.

Skaitlis $z_(5) $ tiek attēlots ar punktu $(2;2)$, tāpēc atbilstošā rādiusa vektora garums ir vienāds ar $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, t.i. $r=2\sqrt(2) $ un argumentu $\varphi =\frac(\pi )(4) $ ar taisnleņķa trijstūra īpašību.