Тема Комплексные числа и многочлены

Лекция 22

§1. Комплексные числа: основные определения

Символ вводят соотношением
и называют мнимой единицей. Другими словами,
.

Определение. Выражение вида
, где
, называется комплексным числом, при этом числоназывают вещественной частью комплексного числаи обозначают
, число– мнимой частьюи обозначают
.

Из такого определения следует, что действительные числа – это те комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю.

Комплексные числа удобно изображать точками плоскости, на которой задана декартова прямоугольная система координат, а именно: комплексному числу
соответствует точка
и наоборот. На оси
изображаются вещественные числа и её называют вещественной осью. Комплексные числа вида

называют чисто мнимыми. Они изображаются точками на оси
, которую называют мнимой осью. Эту плоскость, служащую для изображения комплексных чисел, называют комплексной плоскостью. Комплексное число, не являющееся действительным, т.е. такое, что
, иногда называют мнимым.

Два комплексных числа называют равными тогда и только тогда, когда у них совпадают как вещественные, так и мнимые части.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производится по обычным правилам алгебры многочленов с учётом того, что

. Операцию деления можно определить как обратную к операции умножения и доказать единственность результата (если делитель отличен от нуля). Однако на практике используется другой подход.

Комплексные числа
и
называют сопряжёнными, на комплексной плоскости они изображаются точками, симметричными относительно вещественной оси. Очевидно, что:

1)

;

2)
;

3)
.

Теперь разделить наможно следующим образом:

.

Не трудно показать, что

,

где символ обозначает любую арифметическую операцию.

Пусть
некоторое мнимое число, а – вещественная переменная. Произведение двух биномов

есть квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами.

Теперь, имея в распоряжении комплексные числа, мы сможем решить любое квадратное уравнение
.Если , то

и уравнение имеет два комплексных сопряжённых корня

.

Если
, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если
, то уравнение имеет два одинаковых корня.

§2. Тригонометрическая форма комплексного числа

Как говорилось выше, комплексное число
удобно изображать точкой
. Можно также такое число отождествлять с радиус-вектором этой точки
. При такой интерпретации сложение и вычитание комплексных чисел производится по правилам сложения и вычитания векторов. Для умножения и деления комплексных чисел более удобной оказывается другая форма.

Введём на комплексной плоскости
полярную систему координат. Тогда, где
,
и комплексное число
можно записать в виде:

Эту форму записи называют тригонометрической (в отличие от алгебраической формы
). В этой форме числоназывают модулем, а– аргументом комплексного числа. Они обозначаются:
,

. Для модуля имеем формулу

Аргумент числа определён неоднозначно, а с точностью до слагаемого
,
. Значение аргумента, удовлетворяющего неравенствам
, называется главным и обозначается
. Тогда,
. Для главного значения аргумента можно получить такие выражения:

,

аргумент числа
считается неопределённым.

Условие равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме имеет вид: модули чисел равны, а аргументы отличаются на число кратное
.

Найдём произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме:

Итак, при умножении чисел их модули умножаются, а аргументы складываются.

Аналогичным образом можно установить, что при делении модули чисел делятся, а аргументы вычитаются.

Понимая возведение в степень как многократное умножение, можно получить формулу возведения комплексного числа в степень:

Выведем формулу для
– корня-ой степени из комплексного числа(не путать с арифметическим корнем из действительного числа!). Операция извлечения корня является обратной по отношению к операции возведения в степень. Поэтому
– это комплексное числотакое, что
.

Пусть
известно, а
требуется найти. Тогда

Из равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует, что

,
,
.

Отсюда
(это арифметический корень!),

,
.

Нетрудно убедиться, что может принимать лишьразличных по существу значений, например, при
. Окончательно имеем формулу:

,
.

Итак, корень -ой степени из комплексного числа имеетразличных значений. На комплексной плоскости эти значения располагаются в вершинах правильно-угольника, вписанного в окружность радиуса
с центром в начале координат. “Первый” корень имеет аргумент
, аргументы двух “соседних” корней отличаются на
.

Пример. Извлечём корень кубический из мнимой единицы:
,
,
. Тогда:

,

Тема «Комплексные числа» зачастую вызывает затруднения у учащихся, а ведь на самом деле в них нет ничего страшного, как может показаться на первый взгляд.

Итак, сейчас мы разберем и рассмотрим на простых примерах, что такое комплексное число, как обозначается и из чего состоит. Выражение z = a + bi называется комплексным числом. Это единое число, а не сложение.

Пример 1 : z = 6 + 4i

Из чего состоит комплексное число?

Комплексное число имеет действительную и мнимую часть в своем составе.

Число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается a = Re (z) . А вот то, что стоит вместе с буквой i - т.е. число b называется коэффициентом мнимой части комплексного числа и обозначается b = Im (z) . Вместе bi образуют мнимую часть комплексного числа.

Нетрудно догадаться и легко запомнить, что сокращение «Re» происходит от слова «Real» - реальная, действительная часть. Соответственно, «Im» является сокращением слова «Imaginary» - мнимая, воображаемая часть.

Пример 2 : z = 0,5 + 9i . Здесь действительная часть a = Re (z) = 0,5 , а мнимая часть b = Im (z) = 9i

Пример 3 : z = -5 + 19i . Здесь действительная часть a = Re (z) = -5 , а мнимая часть b = Im (z) = 19 .

Чисто мнимое комплексное число

Комплексное число, в котором нет действительной части, т.е. Re (z) = 0 , называется чисто мнимым.

Пример 4 : z = 2i . Действительная часть отсутствует, a = Re (z) = 0 , а мнимая часть b = Im (z) = 2 .

Пример 5 . z = -8i . Здесь мнимая часть b = Im (z) = -8 , действительная часть a = Re (z) = 0 .

Сопряженные комплексные числа

Комплексно-сопряженное число обозначается «зэт» с чертой и используется, к примеру, для нахождения частного двух комплексных чисел, проще говоря - для реализации деления чисел. Те, кто сейчас задумался, вам сюда - читать про деление комплексных чисел .

Числа называются комплексно-сопряженными, имеют одинаковые действительные части и различаются лишь знаком мнимых частей. Рассмотрим пример:

Пример 6 . Комплексно сопряженным к числу z = 7 + 13i является число.

Мнимая единица комплексного числа

И наконец поговорим про букву i . Та самая буква, которая образует в комплексном числе мнимую составляющую. Даже если перед нами выражение z = 5 , это просто значит, что мнимая часть данного числа равна нулю, а действительная равна пяти.

Величина i называется мнимой единицей .

Мнимая единица пригодится при решении квадратных уравнений в случае, когда дискриминант меньше нуля. Мы привыкли считать, что если он отрицательный, решения нет, корней нет. Это не совсем корректно. Корни существуют, просто они комплексные. Но об этом позже. А теперь, переходим к следующей статье по изучению комплексных чисел, узнаем же, как посчитать

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).