Construção de seções poliedros

Estereometria 10º ano

Concluído por um professor de matemática

MBOU "Escola Secundária Molodkovskaya"

Stepchenko M.A.

O objetivo da lição:

Desenvolver competências na resolução de problemas que envolvam a construção de secções de um tetraedro e de um paralelepípedo

“Diga-me e eu esquecerei. Mostre-me e eu me lembrarei..."

Chinês antigo

provérbio

Isto é interessante!

Muitos artistas, distorcendo as leis da perspectiva, pintam quadros inusitados. Aliás, esses desenhos são muito populares entre os matemáticos. Na Internet você pode encontrar muitos sites onde esses objetos impossíveis são publicados.

Os artistas populares Maurice Escher, Oscar Reutersvard, Jos de Mey e outros surpreenderam os matemáticos com suas pinturas.

“Isso só pode ser desenhado por quem faz um desenho sem ver a perspectiva...”

José de Mey

As leis da geometria são frequentemente violadas em jogos de computador.

Subindo esta escada, permanecemos no mesmo andar.

A 2 . Se dois pontos estão em linha reta

estão no plano, então todos os pontos

linhas retas estão neste plano.

Geometria: livro didático. Para as séries 10-11. Educação geral instituições / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev e outros - 9ª ed., conforme alterada. – M.: Iluminismo, 2000. – 206 p.: Il. – ISBN 5-09-008612-5.

Não pode haver uma escada aqui!

A

“Quem se apaixona pela prática sem teoria é como um marinheiro que embarca num navio sem leme nem bússola e por isso nunca sabe para onde está navegando.”

Leonardo da Vinci

http://blogs.nnm.ru/page6/

AXIOMAS

planimetria

estereometria

Caracterizar a posição relativa de pontos e linhas

A1. Através de quaisquer três pontos que não estão na mesma linha, passa um plano, e apenas um

1. Cada linha contém pelo menos dois pontos

A2. Se dois pontos de uma reta estão em um plano, então todos os pontos da reta estão nesse plano

2. Existem pelo menos três pontos que não estão na mesma linha

3. Uma linha reta passa por dois pontos quaisquer e apenas por um.

A3. Se dois planos têm um ponto comum, então eles têm uma linha comum na qual se encontram todos os pontos comuns desses planos.

O conceito básico da geometria é “estar entre”

4. Dos três pontos de uma linha reta, um e apenas um está entre os outros dois.

Avião (incluindo secante) pode ser especificado próximo caminho

Um ponto de intersecção

Sem pontos de intersecção

Ao cruzar

é avião

Ao cruzar

é um segmento

Plano de corte paralelepípedo (tetraedro) é qualquer plano em ambos os lados do qual existem pontos de um determinado paralelepípedo (tetraedro).

Construir uma seção de um poliedro com um plano significa indicar os pontos de intersecção do plano de corte com as arestas do poliedro e conectar esses pontos com segmentos pertencentes às faces do poliedro.

Para construir uma seção de um poliedro com um plano, é necessário indicar no plano de cada face 2 pontos pertencentes à seção, conecte-os com uma reta e encontre os pontos de intersecção dessa reta com as arestas do poliedro.

Um guia de referência para métodos de resolução de problemas de matemática para o ensino médio. Tsypkin AG, Pinsky AI/Under. Editado por VI Blagodatskikh. – M.: Ciência. Redação principal de literatura física e matemática, 1983. – 416 p.

Plano de corte cruza as faces de um tetraedro (paralelepípedo) ao longo segmentos.

eu

Polígono cujos lados são esses segmentos é chamado corte transversal tetraedro ((paralelepípedo).

Plano de corte

O plano de corte cruza as faces do tetraedro ao longo dos segmentos.

O polígono cujos lados são esses segmentos é seção de tetraedro .

Para resolver muitos problemas geométricos é necessário construí-los Seções planos diferentes.

Para construir uma seção, você precisa construir os pontos de intersecção do plano de corte com as arestas e conectá-los com segmentos.

O seguinte deve ser levado em consideração:

1. Você só pode conectar dois pontos deitados

no plano de uma face.

2. Um plano de corte cruza faces paralelas ao longo de segmentos paralelos.

3. Se for marcado apenas um ponto no plano frontal, pertencente ao plano de corte, então um ponto adicional deverá ser construído. Para isso, é necessário encontrar os pontos de intersecção das retas já construídas com outras retas situadas nas mesmas faces.

Quais polígonos podem ser obtidos em uma seção?

Um tetraedro tem 4 faces

As seções podem ser semelhantes a:

• Quadriláteros

• Triângulos

O paralelepípedo tem 6 faces

• Pentágonos

• Triângulos

Em suas seções

pode acontecer:

• Hexágonos

• Quadriláteros

Blitz - pesquisa

• A tarefa da pesquisa blitz é responder perguntas e justificar a resposta usando axiomas, teoremas e propriedades de planos paralelos.

Pesquisa relâmpago.

D 1

COM 1

Você acredita que as linhas retas NK e BB 1 se cruzam?

A 1

B 1

Pesquisa relâmpago.

D 1

COM 1

A 1

Você acredita nisso

NK direto e BB 1

cruzar?

B 1

Pesquisa relâmpago.

D 1

COM 1

Você acredita que NK e MR diretos se sobrepõem?

A 1

B 1

O desenho tem

outro erro!

Você acredita que as linhas retas H R e NK

cruzar?

Pesquisa relâmpago.

COM 1

D 1

A 1

B 1

O desenho tem

outro erro!

As linhas H R e A 1 B 1 se cruzam?

Pesquisa relâmpago.

As linhas H R e C 1 D 1 se cruzam?

D 1

COM 1

A 1

B 1

Eles se cruzam?

NK e DC diretos?

Eles se cruzam?

linhas retas NK e A D?

Você acredita

que direcionam MO e AC

cruzar?

Pesquisa relâmpago.

MO direto e AB se cruzam, porque estão no mesmo plano (A D C). MO direto e AB não se cruzam, porque estão em planos diferentes (A D C) e (A D B) - esses planos se cruzam ao longo da linha reta A D, na qual se encontram todos os pontos comuns desses planos.

Você acredita

que direcionam MO e AB

cruzar?

A capacidade de resolver problemas é uma arte prática, como nadar ou esquiar...: você só pode aprender isso imitando modelos selecionados e praticando constantemente...

D. Polia

Propriedade

planos paralelos.

Se dois planos paralelos

atravessado pelo terceiro,

então as linhas de sua intersecção

paralelo.

A

b

Esta propriedade nos ajudará

ao construir seções.

As tarefas mais simples.

D 1

COM 1

B 1

A 1

Conectamos 2 pontos pertencentes à mesma face do poliedro com segmentos. Se você cortar o topo de uma pirâmide, obterá uma pirâmide truncada.

As tarefas mais simples.

Seções diagonais.

D 1

COM 1

D 1

COM 1

A 1

B 1

A 1

B 1

Conectamos 2 pontos pertencentes à mesma face do poliedro com segmentos. Seções diagonais.

D 1

COM 1

A 1

B 1

Método axiomático

Método de rastreamento

• Método de rastreamento

A essência do método é construir uma linha auxiliar, que é uma imagem da linha de intersecção do plano de corte com o plano de qualquer face da figura. É mais conveniente construir uma imagem da linha de intersecção do plano de corte com o plano da base inferior. Esta linha é chamada de traço do plano de corte. Usando o traço, é fácil construir imagens dos pontos do plano de corte localizados nas bordas laterais ou bordas de uma figura.

1. Construa seções de um paralelepípedo com um plano passando pelos pontos B 1, M, N

7. Continuemos com MN e BD.

2.Continuar MN,BA

5. B 1 O ∩ A 1 A=K

10. B 1 E ∩ D 1 D=P, PN

Construa uma seção de um poliedro com um plano passando pelos pontos M, R, K, se K pertence ao plano a.

Soluções para a opção 1.

Soluções para a opção 2.

Regras para autocontrole:

• Os vértices da seção estão localizados apenas nas arestas.

• Os lados da seção estão apenas na borda do poliedro.

• Um plano de corte intercepta uma face ou um plano de face apenas uma vez.

Se você quer aprender a nadar, sinta-se à vontade para entrar na água, e se quiser aprender a resolver problemas, resolva-os

(D. Polia)

• Atanasyan LS, e outros Geometria 10-11. – M.: Educação, 2008.
• Litvinenko V.N., Poliedros. Problemas e soluções. – M.: Vita-Press, 1995.
• Smirnov V.A., Smirnova I.M., Exame de Estado Unificado 100 pontos. Geometria. Seção de poliedros. – M.: Exame, 2011.
• Suplemento educativo e metodológico do jornal “Primeiro de Setembro” “Matemática”. Fedotova O., Kabakova T. Aula integrada "Construção de seções de um prisma", 9/2010.

• Ziv B.G. Materiais didáticos sobre geometria para o 10º ano. – M., Educação, 1997.
• Edição eletrônica "1C: Escola. Matemática, 5ª a 11ª série. Oficina"

7. http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html

Chudaeva Elena Vladimirovna, professora de matemática,

Instituição educacional municipal "Escola secundária Insarskaya nº 1",

Insar, República da Mordóvia

Construção de seções de poliedros

Apoio pedagógico e metodológico: Atanasyan L.S. e outros.Geometria do 10º ao 11º ano.

Equipamentos e materiais para a aula: computador, projetor, tela, apresentação para acompanhar a aula, apostilas dos alunos.

O objetivo da lição: aprofundamento, generalização, sistematização, consolidação dos conhecimentos adquiridos e seu desenvolvimento no futuro (estudar o método trace)

Lições objetivas:

1. Criar motivação entre os alunos para estudar este tema.

2. Desenvolver nos alunos a capacidade de utilizar conhecimentos básicos para adquirir novos conhecimentos.

3. Desenvolver o pensamento dos alunos (a capacidade de identificar características essenciais e fazer generalizações).

4. Desenvolver nos alunos as competências de abordagem criativa para a resolução de problemas e as competências de trabalho de investigação sobre um problema.

Conhecimentos, habilidades, competências e qualidades que os alunos irão consolidar durante a aula:

a capacidade de utilizar conhecimentos básicos para obter novos conhecimentos;

a capacidade de identificar características essenciais e fazer generalizações;

habilidades de abordagem criativa para resolver problemas envolvendo a construção de seções

Plano de aula:

1. Formação da motivação dos escolares para o estudo deste tema.

2. Verificando o dever de casa. Informação histórica.

3. Repetição de conhecimentos básicos (axiomática, métodos de definição de plano).

4. Aplicação de conhecimentos numa situação padrão.

5. Estudo e consolidação de novo material: método trace.

6. Trabalho independente.

7. Resumindo a lição.

8. Lição de casa.

Durante as aulas: EU estágio – Conversa introdutória.

Verificando o dever de casa. (6-7 minutos)

Formas e métodos de trabalho

Atividades

estudantes

1.Motivação

Conversa introdutória (1 min)

Professores ouvem

2. Verificando o dever de casa

Comentários sobre mini-discursos de estudantes

Ouça os discursos de seus companheiros, faça perguntas

II estágio– Atualizando conhecimentos (10 min)

(repetição de material teórico)

Formas e métodos de trabalho

Atividades

estudantes

1. Repetição dos axiomas da estereometria

2. Repetição: posição relativa no espaço de linhas e planos

3. Generalização da teoria

Conclusão sobre métodos para definir um plano

Gravando a saída em um notebook

4. Repetição do conceito de poliedro e seção de um poliedro por um plano

Pesquisa estudantil

Respostas orais às perguntas do professor

III estágio– Aplicação do conhecimento numa situação padrão (6-7 min)

(trabalhar de acordo com desenhos prontos)

Formas e métodos de trabalho

Atividades

estudantes

Resolução de problemas típicos através de desenhos prontos (cada aluno recebe uma ficha com as condições do problema e um desenho para construção de um troço).

Solução conjunta do primeiro problema (comentário detalhado dos passos da solução e registro do projeto em planilha).

Estudar as condições do problema, trabalhar em desenhos prontos, seguido de análise da solução nos slides.

4 estágio–COMpropriedades de planos paralelos (6 min)

Formas e métodos de trabalho do professor

Tipos de atividades estudantis

1. Repetição do tema “Paralelismo de planos”.

2. Resolução de problemas

Trabalhando em slides prontos (pesquisa frontal dos alunos)

Verificando a exatidão da tarefa

Respostas orais às perguntas do professor

Construindo seções em uma planilha.

As respostas estão no quadro.

Etapa V - Acesso a novos conhecimentos: “Método dos vestígios” (6 min)

Formas e métodos de trabalho

Atividades

estudantes

1. Aprendendo novo material

2. Consolidação de novo material

Explicação do novo material. Exibição de um fragmento educativo do filme educativo “Como construir a seção transversal de um cubo?”

Trabalhe a partir de desenhos prontos no quadro (com posterior comentário sobre as etapas de construção de um trecho em um slide)

Ouça a explicação do professor. Assistindo a um filme educativo.Análise de fragmentos de vídeo, registrando uma solução de amostra.

Dois alunos resolvem no quadro, o restante na planilha

VI estágio - Trabalho independente (4-5 min)

Formas e métodos de trabalho

Atividades

estudantes

Trabalho educacional independente

Explicação do trabalho a ser realizado.

Verificando a conclusão da tarefa.

Realização de trabalhos independentes (através de desenhos prontos).

Autoteste usando slides prontos.

VII estágio– resumindo a lição (4 min)

Formas e métodos de trabalho

Atividades

estudantes

1. Resumindo

2. Lição de casa criativa

Discussão pós-aula usando slides

Projetado na tela

Respostas orais às perguntas do professor

Entrada em diários

DURANTE AS AULAS

Conversa introdutória. Informação histórica.

Professor: Olá, pessoal! O tema da nossa lição é “Construção de seções de poliedros com base na axiomática”. Durante a aula iremos resumir e sistematizar o material teórico abordado e aplicá-lo a problemas práticos de construção de seções, atingindo um novo e mais complexo nível de dificuldade da tarefa.

o objetivo principal nossa lição de aprofundar, sistematizar, consolidar os conhecimentos adquiridos e seu desenvolvimento no futuro.

Como dever de casa, você foi solicitado a escrever ensaios ou pequenos discursos sobre a história do desenvolvimento da geometria, sobre a vida de grandes matemáticos, sobre suas famosas descobertas e teoremas. Os relatórios e resumos revelaram-se muito interessantes, mas durante a aula ouviremos apenas três mini-discursos respondendo à pergunta: o que estuda a estereometria, como surgiu e se desenvolveu e onde é utilizada?

1 aluno. O conceito de estereometria, que é estudado. (2 minutos)

2 aluno. Euclides - o fundador da geometria, arquitetura grega. (2 minutos)

3 aluno. Teoria matemática da pintura. A “Proporção Áurea” é a fórmula para o corpo humano perfeito segundo Leonardo da Vinci. (2 – 3 minutos)

EM estereometria belos objetos matemáticos são estudados. Suas formas encontram aplicação na arte, arquitetura e construção. “Não é por acaso que dizem que a pirâmide de Quéops é um tratado silencioso de geometria e que a arquitetura grega é a expressão externa da geometria de Euclides”, escreveu o arquiteto Corbusier.

Séculos se passaram, mas o papel da geometria não mudou. Continua sendo a “gramática do arquiteto”. As formas geométricas encontram sua aplicação na arte, arquitetura e construção.

Teoria matemática da pintura – Esta é a teoria da perspectiva, que representa, nas palavras de Leonardo da Vinci, “um estudo e uma invenção muito subtil, baseado no estudo da matemática, que, pelo poder das linhas, fez com que o que estava próximo parecesse distante, e o que estava perto parecia distante, e o que estava próximo parecia distante. era pequeno, grande. A construção de estruturas de engenharia que se desenrolou durante o Renascimento reviveu e ampliou as técnicas de projeção de imagens utilizadas no mundo antigo. Arquitetos e escultores enfrentaram a necessidade de criar uma doutrina de perspectiva pictórica em bases geométricas. Numerosos exemplos de construção de imagens em perspectiva estão disponíveis nas obras do brilhante artista italiano e notável cientista Leonardo da Vinci. Pela primeira vez, ele fala sobre a redução da escala de diferentes segmentos que recuam nas profundezas da imagem, lança as bases para a perspectiva panorâmica, indica as regras para a distribuição das sombras e expressa confiança na existência de uma certa fórmula matemática para a beleza da proporção dos tamanhos do corpo humano - a fórmula da “proporção áurea”.

Assim, abordamos suavemente o tema da nossa lição, e a ponte para a próxima etapa serão as palavras de Leonardo da Vinci:

“Quem se apaixona pela prática sem teoria é como um marinheiro que embarca num navio sem leme nem bússola e por isso nunca sabe para onde está navegando.”

Esta afirmação define a próxima etapa da nossa aula: repetição do material teórico.

II. Atualização de conhecimentos (repetição de material teórico)

2.1. Axiomas da estereometria (deixam-se tabelas para os alunos trabalharem).

a) explicar o conteúdo dos axiomas e ilustrá-los com um modelo;

b) leitura do texto dos axiomas pelos alunos;

c) execução do desenho;

2.2. Corolários dos axiomas da estereometria.

2.3. A posição relativa no espaço de linhas retas e planos.

a) duas linhas (as linhas são paralelas, se cruzam, se cruzam)

b) linha reta e plano (a linha reta está no plano, cruza o plano, é paralela ao plano)

c) dois planos (os planos se cruzam ou são paralelos).

Durante a conversa, são destacados os pontos essenciais da teoria:

a) Sinal de paralelismo entre uma reta e um plano: Se uma linha que não está em um determinado plano é paralela a alguma linha que está neste plano, então ela é paralela a esse plano.

b) Sinal de planos paralelos: Se duas linhas que se cruzam de um plano são respectivamente paralelas a duas linhas que se cruzam de outro plano, então esses planos são paralelos.

Professor: Resumindo tudo o que foi dito, chegamos à conclusão sobre os métodos de definição de um plano.

2.5. O conceito de poliedros. Seção.

Poliedro é um corpo limitado por um número finito de planos. A superfície de um poliedro consiste em um número finito de polígonos.

M
o poliedro obtido pela interseção de um poliedro e um plano é chamado corte transversal poliedro pelo plano indicado .

III. Aplicação do conhecimento em uma situação padrão.

Utilizando os conhecimentos adquiridos, iremos aplicá-los à construção de secções de poliedros com base na axiomática.

Os exemplos e respetivas soluções são dados pelos alunos (sob orientação do docente).

4. Construindo seções usando as propriedades de planos paralelos.

Professor: Para resolver o próximo grupo de problemas, precisamos repetir as propriedades dos planos paralelos.

V. Uma forma de adquirir novos conhecimentos: “Método Trace”.

Assistindo a um filme educativo.

Edição eletrônica

Aplicação dos conhecimentos adquiridos (alunos resolvem dois problemas no quadro e depois visualizam a solução correta e registam o desenho).

VI- Trabalho independente

seguida de verificação mútua (usando um slide com solução pronta).

VII. Resumindo a lição

1. Que novidades você aprendeu na lição?

2. Como é construída a seção transversal de um tetraedro?

3. Quais polígonos podem ser uma seção de um tetraedro?

4. Que polígonos podem ser obtidos na seção de um paralelepípedo?

5. O que você pode dizer sobre o método trace?

Lição de casa criativa. Componha dois problemas de construção de seções de poliedros utilizando os conhecimentos adquiridos.

Fontes usadas

O protótipo desta lição foi a lição do autor Legkoshur Irina Mikhailovna , alterações adicionais e apresentação da lição foram feitas com sua permissão em 2008. Link:

Atanasyan L.S. e outros.Geometria do 10º ao 11º ano. Tutorial.

Edição eletrônica "1C: Escola. Matemática, 5ª a 11ª série. Oficina"

Edição eletrônica " Caderno de geometria. Guia para candidatos. Curso completo para séries 7 a 11"

Tarefas para construir seções

Definições. 1. O plano secante de um tetraedro (paralelepípedo) é qualquer plano em ambos os lados do qual existem pontos de um determinado tetraedro (paralelepípedo). 2. Um polígono cujos lados são segmentos que cruzam as faces de um tetraedro (paralelepípedo) é chamado de seção de um tetraedro (paralelepípedo).

Seções de um tetraedro e paralelepípedo

A B C S Tarefa 1. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos dados D, E, K. D E K M F Construção: 2. EK 3. EK ∩ AC = F 4 . FD 5. FD ∩ B C = M 6. Km 1. DE D E K M – seção obrigatória

Explicações para a construção: 1. Conecte os pontos K e F pertencentes ao mesmo plano A 1 B 1 C 1 D 1. A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 2. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos dados E, F, K. K L M Construção: 1. KF 2. FE 3. FE ∩ A B = L EFKNM – a seção necessária F E N 4 . LN ║ FK 6. EM 5. LN ∩ AD = M 7 . KN Explicações para construção: 2. Conecte os pontos F e E, pertencentes ao mesmo plano AA 1 B 1 B. Explicações para construção: 3. As linhas FE e AB, situadas no mesmo plano AA 1 B 1 B, se cruzam no ponto L . Explicações para a construção: 4. Desenhamos uma linha reta LN paralela a FK (se o plano de corte intercepta faces opostas, então ele as intercepta ao longo de segmentos paralelos). Explicações para a construção: 5. A linha LN cruza a aresta AD no ponto M. Explicações para a construção: 6. Conectamos os pontos E e M pertencentes ao mesmo plano AA 1 D 1 D. Explicações para a construção: 7. Conectamos os pontos K e N, pertencentes ao mesmo plano ВСС 1 × 1.

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 3. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos K, L, M. K L M Construção: 1. ML 2. ML ∩ D 1 A 1 = E 3. EK M LFKPG – seção necessária F E N P G T 4 . EK ∩ A 1 B 1 = F 6 . LM ∩ D 1 D = N 5 . LF 7. E K ∩ D 1 C 1 = T 8 . TE 9. NT ∩ DC = G NT ∩ CC 1 = P 10 . MG 11. PC

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos T, H, M, M∈AB. N T M Construção: 1. NM 1. MT 1. N T Escolha a opção correta:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos T, H, M, M∈AB. N T M Construção: 1. NM Comentários: Esses pontos pertencem a faces diferentes! Voltar

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos T, H, M, M∈AB. N T M Construção: 1. M T Comentários: Esses pontos pertencem a faces diferentes! Voltar

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E 2. NT ∩ B C = E Escolha o correto opção:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tarefa 4. Construir uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ BC = E Voltar Comentários: Essas retas estão se cruzando! Eles não podem se cruzar!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3. ME ∩ AA 1 = F 3 . ME ∩ B C = F 3 . ME ∩ CC 1 = F Escolha a opção correta:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tarefa 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 3. ME ∩ AA 1 = F 2. NT ∩ D C = E E Voltar Comentários: Essas retas estão cruzadas! Eles não podem se cruzar!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tarefa 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 3. ME ∩ CC 1 = F 2. NT ∩ D C = E E Voltar Comentários: Essas retas estão cruzadas! Eles não podem se cruzar!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. N F 4. T F 4. MT Escolha a opção correta:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F Comentários: Esses pontos pertencem a faces diferentes! Voltar

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. MT Comentários: Esses pontos pertencem a faces diferentes! Voltar

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. V F 5. V F ∩ A 1 A = K 5. V F ∩ B 1 B = K Escolha a opção correta:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. V F 5. V F ∩ A 1 A = K Comentários: Essas retas estão se cruzando! Eles não podem se cruzar! Voltar

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. V F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L 6. N K ∩ A D = L 6. T K ∩ A D = L Escolha a opção correta:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. V F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. N K ∩ A D = L Comentários: Estas linhas retas estão cruzadas! Eles não podem se cruzar! Voltar

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. T K ∩ A D = L Comentários: Essas linhas retas estão cruzadas! Eles não podem se cruzar! Voltar

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. LT 7. LF 7. LH Escolha a opção correta:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. L T Comentários: Esses pontos pertencem a faces diferentes! Voltar

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. LF Comentários: Esses pontos pertencem a faces diferentes! Voltar

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos H, M, T. N T M Construção: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. L N NT F M L – a seção necessária

Problema A B C S 5. Construa uma seção com um plano passando pelos pontos dados K, M, P, P∈ABC K M P Construção:

Problema A B C S 5. Construa uma seção por um plano que passa pelos pontos dados K, M, P, P∈ABC K M R E N F Construção: 1. KM 2. KM ∩ CA = E 3. E P 4 . EP ∩ AB = F EP ∩ B C = N 5 . M F 6. N K KM FN – seção obrigatória

Obrigado pela sua atenção!

Muitos artistas, distorcendo as leis da perspectiva, pintam quadros inusitados. Aliás, esses desenhos são muito populares entre os matemáticos. Na Internet você pode encontrar muitos sites onde esses objetos impossíveis são publicados. Os artistas populares Maurice Escher, Oscar Reutersvard, Jos de Mey e outros surpreenderam os matemáticos com suas pinturas. Isto é interessante!

Jos de Mey “Isso só pode ser desenhado por quem faz um desenho sem conhecer a perspectiva...”

“Quem se apaixona pela prática sem teoria é como um marinheiro que embarca num navio sem leme nem bússola e por isso nunca sabe para onde está navegando.” Leonardo da Vinci

Construir uma seção de um poliedro com um plano significa indicar os pontos de intersecção do plano de corte com as arestas do poliedro e conectar esses pontos com segmentos pertencentes às faces do poliedro. Para construir uma seção de um poliedro com um plano, é necessário indicar no plano de cada face 2 pontos pertencentes à seção, conectá-los com uma reta e encontrar os pontos de intersecção desta reta com as arestas do poliedro .

AXIOMS ​​​​estereometria planimétrica 1. Cada linha contém pelo menos dois pontos 2. Existem pelo menos três pontos que não estão na mesma linha 3. Uma linha passa por quaisquer dois pontos, e apenas um. Caracterizar a posição relativa dos pontos e das retas O conceito básico da geometria é “estar entre” 4. Dos três pontos de uma reta, um e apenas um fica entre os outros dois. A1. Por quaisquer três pontos que não estejam na mesma reta, passa um plano e, além disso, apenas um A2. Se dois pontos de uma reta estão em um plano, então todos os pontos da reta estão nesse plano A3. Se dois planos têm um ponto comum, então eles têm uma linha reta comum na qual se encontram todos os pontos comuns desses planos.

Neste caso, é necessário levar em consideração o seguinte: 1. Só é possível conectar dois pontos situados no plano de uma face. Para construir uma seção, você precisa construir os pontos de intersecção do plano de corte com as arestas e conectá-los com segmentos. 2. Um plano de corte cruza faces paralelas ao longo de segmentos paralelos. 3. Se for marcado apenas um ponto no plano frontal, pertencente ao plano de corte, então um ponto adicional deverá ser construído. Para isso, é necessário encontrar os pontos de intersecção das retas já construídas com outras retas situadas nas mesmas faces.

A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 N H K Os problemas mais simples D R O M A B C

O A B C D O A B C D

A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 Seções diagonais A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1

Método axiomático Método dos traços A essência do método é construir uma linha auxiliar, que é uma imagem da linha de intersecção do plano de corte com o plano de qualquer face da figura. É mais conveniente construir uma imagem da linha de intersecção do plano de corte com o plano da base inferior. Esta linha é chamada de traço do plano de corte. Usando um traço, é fácil construir imagens de pontos do plano de corte localizados nas arestas laterais ou faces da figura.

A B C D K L M N F G Desenhe uma linha reta FO passando pelos pontos F e O. O O segmento FO é um corte da face KLBA por um plano de corte. Da mesma forma, o segmento FG é um corte da face LMCB. Axioma Se dois planos diferentes têm um ponto comum, então eles se cruzam ao longo de uma linha reta que passa por esse ponto (e temos até 2 pontos). Teorema Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence a esse plano. Por que temos certeza de que fizemos cortes nas bordas? Construa uma seção do prisma passando pelos pontos O, F, G Passo 1: corte as faces KLBA e LMCB

A B C D K L M N F G Passo 2: procure o traço do plano de corte no plano base, desenhe a reta AB até cruzar com a reta FO. O Obtemos o ponto H, que pertence tanto ao plano de corte quanto ao plano base. De forma semelhante obtemos o ponto R. Axioma Se dois planos diferentes têm um ponto comum, então eles se cruzam ao longo de uma linha reta que passa por este ponto (e ainda temos 2 pontos). Teorema Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence a esse plano. H R Através dos pontos H e R traçamos uma reta HR - o traço do plano de corte.Por que temos certeza de que a reta HR é o traço do plano de corte no plano base?

E S A B C D K L M N F G Passo 3: fazer cortes nas outras faces Como a reta HR cruza a face inferior do poliedro, obtemos o ponto E na entrada e o ponto S na saída. O Assim, o segmento ES é um corte da face ABCD. Axioma Se dois planos diferentes têm um ponto comum, então eles se cruzam ao longo de uma linha reta que passa por esse ponto (e temos até 2 pontos). Teorema Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence a esse plano. H R Desenhamos os segmentos OE (corte da face KNDA) e GS (corte da face MNDC). Por que temos certeza de que estamos fazendo tudo certo?

A1A1 A B B1B1 C C1C1 D D1D1 M N 1. Construa seções de um paralelepípedo com um plano passando pelos pontos B 1, M, N O K E P Regras 1. MN 2. Continue MN, BA 4. B 1 O 6. KM 7. Continue MN e BD. 9. B 1 E 5. B 1 O A 1 A=K 8. MN BD=E 10. B 1 E D 1 D=P, PN 3.MN BA=O

Regras para autocontrole: Os vértices da seção estão localizados apenas nas arestas. Os lados da seção estão apenas na borda do poliedro. Um plano de corte intercepta uma face ou um plano de face apenas uma vez.

44 1. Atanasyan L.S., e outros Geometria - M.: Iluminismo, Litvinenko V.N., Poliedros. Problemas e soluções. – M.: Vita-Press, Smirnov V.A., Smirnova I.M., Exame de Estado Unificado 100 pontos. Geometria. Seção de poliedros. – M.: Exame, Suplemento pedagógico e metodológico do jornal “Primeiro de Setembro” “Matemática”. Fedotova O., Kabakova T. Lição integrada "Construção de seções de um prisma", 9/ Ziv B.G. Materiais didáticos sobre geometria para o 10º ano. – M., Educação, Publicação Eletrônica “1C: Escola. Matemática, 5ª a 11ª série. Oficina" 7.ml