Outras propriedades estão relacionadas aos conceitos de complemento menor e algébrico
Menor elementoé chamado de determinante, composto pelos elementos restantes após riscar a linha e a coluna na intersecção das quais esse elemento está localizado. O elemento menor do determinante de ordem tem ordem. Iremos denotá-lo por .
Exemplo 1. Deixar 
, Então 
.
Este menor é obtido de A riscando a segunda linha e a terceira coluna.
Complemento algébrico elemento é chamado de menor correspondente multiplicado por, ou seja, 
, onde é o número da linha e coluna na intersecção da qual este elemento está localizado.
VIII.(Decomposição do determinante em elementos de uma determinada string). O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma determinada linha e seus complementos algébricos correspondentes.
Exemplo 2. Deixar 
, Então
Exemplo 3. Vamos encontrar o determinante da matriz , decompondo-o nos elementos da primeira linha.
Formalmente, este teorema e outras propriedades dos determinantes são aplicáveis apenas para determinantes de matrizes não superiores a terceira ordem, uma vez que não consideramos outros determinantes. A definição a seguir nos permitirá estender essas propriedades a determinantes de qualquer ordem.
Determinante da matriz ordemé um número calculado pela aplicação sequencial do teorema da expansão e outras propriedades dos determinantes.
Você pode verificar que o resultado dos cálculos não depende da ordem em que as propriedades acima são aplicadas e para quais linhas e colunas. Usando esta definição, o determinante é encontrado de forma única.
Embora esta definição não contenha uma fórmula explícita para encontrar o determinante, ela permite encontrá-lo reduzindo-o aos determinantes de matrizes de ordem inferior. Tais definições são chamadas recorrente.
Exemplo 4. Calcule o determinante: 
Embora o teorema da fatoração possa ser aplicado a qualquer linha ou coluna de uma determinada matriz, menos cálculos são obtidos pela fatoração ao longo da coluna que contém tantos zeros quanto possível.
Como a matriz não possui zero elementos, nós os obtemos usando a propriedade VII. Multiplique a primeira linha sequencialmente por números 
e adicione-o às linhas e obtenha:
Vamos expandir o determinante resultante ao longo da primeira coluna e obter:
já que o determinante contém duas colunas proporcionais.
Alguns tipos de matrizes e seus determinantes
Uma matriz quadrada que possui zero elementos abaixo ou acima da diagonal principal () é chamada triangular.
Sua estrutura esquemática se parece com: 
ou
.
Exercício. Calcule o determinante decompondo-o em elementos de alguma linha ou coluna.
Solução. Vamos primeiro realizar transformações elementares nas linhas do determinante, fazendo tantos zeros quanto possível na linha ou na coluna. Para fazer isso, primeiro subtraia nove terços da primeira linha, cinco terços da segunda e três terços da quarta, obtemos:
Vamos decompor o determinante resultante nos elementos da primeira coluna:
Também expandiremos o determinante de terceira ordem resultante nos elementos da linha e da coluna, tendo previamente obtido zeros, por exemplo, na primeira coluna. Para fazer isso, subtraia as duas segundas linhas da primeira linha e a segunda linha da terceira:
Responder. 
12. Slough 3ª ordem
1. Regra do triângulo
Esquematicamente, esta regra pode ser descrita da seguinte forma:
O produto dos elementos do primeiro determinante que estão conectados por linhas retas é obtido com um sinal de mais; da mesma forma, para o segundo determinante, os produtos correspondentes são considerados com um sinal negativo, ou seja,
2. Governo de Sarrus
À direita do determinante, some as duas primeiras colunas e pegue os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas a ela com sinal de mais; e os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas a ela, com sinal menos:
3. Expansão do determinante em linha ou coluna
O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos da linha do determinante e seus complementos algébricos. Normalmente a linha/coluna que contém zeros é selecionada. A linha ou coluna ao longo da qual a decomposição é realizada será indicada por uma seta.
Exercício. Expandindo ao longo da primeira linha, calcule o determinante
Solução.
Responder. 
4. Reduzindo o determinante à forma triangular
Utilizando transformações elementares sobre linhas ou colunas, o determinante é reduzido a uma forma triangular e então seu valor, de acordo com as propriedades do determinante, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplo
Exercício. Determinante de cálculo 
trazendo-o para uma forma triangular.
Solução. Primeiro fazemos zeros na primeira coluna abaixo da diagonal principal. Todas as transformações serão mais fáceis de realizar se o elemento for igual a 1. Para isso, trocaremos a primeira e a segunda colunas do determinante, o que, de acordo com as propriedades do determinante, fará com que ele mude seu sinal para o oposto:
A seguir, obtemos zeros na segunda coluna no lugar dos elementos abaixo da diagonal principal. Novamente, se o elemento diagonal for igual a , os cálculos serão mais simples. Para fazer isso, troque a segunda e a terceira linhas (e ao mesmo tempo mude para o sinal oposto do determinante):
A seguir, fazemos zeros na segunda coluna sob a diagonal principal, para isso procedemos da seguinte forma: adicionamos três segundas linhas à terceira linha e duas segundas linhas à quarta, obtemos:
A seguir, da terceira linha tiramos (-10) do determinante e fazemos zeros na terceira coluna sob a diagonal principal, e para isso adicionamos a terceira à última linha:
Formulação do problema
A tarefa exige que o usuário se familiarize com os conceitos básicos dos métodos numéricos, como o determinante e a matriz inversa, e as diversas formas de calculá-los. Este relatório teórico introduz primeiro os conceitos e definições básicos em linguagem simples e acessível, com base nos quais são realizadas futuras pesquisas. O usuário pode não ter conhecimentos especiais na área de métodos numéricos e álgebra linear, mas pode facilmente utilizar os resultados deste trabalho. Para maior clareza, é fornecido um programa para calcular o determinante de uma matriz usando vários métodos, escrito na linguagem de programação C++. O programa é utilizado como suporte de laboratório para a criação de ilustrações para o relatório. Também está sendo realizado um estudo de métodos de resolução de sistemas de equações algébricas lineares. A inutilidade de calcular a matriz inversa está comprovada, então o trabalho fornece formas mais ótimas de resolver equações sem calculá-las. Explica por que existem tantos métodos diferentes para calcular determinantes e matrizes inversas e discute suas deficiências. Erros no cálculo do determinante também são considerados e a precisão alcançada é avaliada. Além dos termos russos, a obra também utiliza seus equivalentes em inglês para entender sob quais nomes procurar procedimentos numéricos em bibliotecas e o que significam seus parâmetros.
Definições básicas e propriedades mais simples
Determinante
Vamos apresentar a definição do determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem. Esta definição será recorrente, ou seja, para estabelecer qual é o determinante da matriz de ordem, você já precisa saber qual é o determinante da matriz de ordem. Observe também que o determinante existe apenas para matrizes quadradas.
Denotaremos o determinante de uma matriz quadrada por ou det.
Definição 1. Determinante matriz quadrada 
número de segunda ordem é chamado 
.
Determinante 
matriz quadrada de ordem, é chamada de número 
onde é o determinante da matriz de ordem obtida da matriz excluindo a primeira linha e coluna com número.
Para maior clareza, vamos escrever como você pode calcular o determinante de uma matriz de quarta ordem: 
Comente. O cálculo propriamente dito dos determinantes para matrizes acima de terceira ordem com base na definição é utilizado em casos excepcionais. Normalmente, o cálculo é realizado utilizando outros algoritmos, que serão discutidos posteriormente e que requerem menos trabalho computacional.
Comente. Na Definição 1, seria mais correto dizer que o determinante é uma função definida no conjunto de matrizes quadradas de ordem e assumindo valores no conjunto dos números.
Comente. Na literatura, ao invés do termo “determinante”, também é utilizado o termo “determinante”, que tem o mesmo significado. Da palavra “determinante” surgiu a designação det.
Consideremos algumas propriedades dos determinantes, que formularemos na forma de afirmações.
Declaração 1. Ao transpor uma matriz, o determinante não muda, ou seja, .
Declaração 2. O determinante do produto das matrizes quadradas é igual ao produto dos determinantes dos fatores, ou seja.
Declaração 3. Se duas linhas de uma matriz forem trocadas, seu determinante mudará de sinal.
Declaração 4. Se uma matriz possui duas linhas idênticas, então seu determinante é zero.
No futuro, precisaremos adicionar strings e multiplicar uma string por um número. Realizaremos essas ações em linhas (colunas) da mesma forma que ações em matrizes linha (matrizes coluna), ou seja, elemento por elemento. O resultado será uma linha (coluna) que, via de regra, não coincide com as linhas da matriz original. Se houver operações de somar linhas (colunas) e multiplicá-las por um número, também podemos falar de combinações lineares de linhas (colunas), ou seja, somas com coeficientes numéricos.
Declaração 5. Se uma linha de uma matriz for multiplicada por um número, seu determinante será multiplicado por esse número.
Declaração 6. Se uma matriz contém uma linha zero, então seu determinante é zero.
Declaração 7. Se uma das linhas da matriz for igual a outra, multiplicada por um número (as linhas são proporcionais), então o determinante da matriz é igual a zero.
Declaração 8. Deixe a i-ésima linha da matriz ter a forma. Então , onde a matriz é obtida a partir da matriz substituindo a i-ésima linha pela linha , e a matriz é obtida substituindo a i-ésima linha pela linha .
Declaração 9. Se você adicionar outra linha a uma das linhas da matriz, multiplicada por um número, o determinante da matriz não mudará.
Declaração 10. Se uma das linhas de uma matriz é uma combinação linear de suas outras linhas, então o determinante da matriz é igual a zero.
Definição 2. Complemento algébrico para um elemento da matriz é um número igual a , onde é o determinante da matriz obtido a partir da matriz excluindo a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O complemento algébrico de um elemento da matriz é denotado por.
Exemplo. Deixar 
. Então 
Comente. Usando adições algébricas, a definição de 1 determinante pode ser escrita da seguinte forma: 
Declaração 11. Expansão do determinante em uma string arbitrária.
A fórmula para o determinante da matriz é 
Exemplo. Calcular 
.
Solução. Vamos usar a expansão ao longo da terceira linha, isso é mais lucrativo, pois na terceira linha dois dos três números são zeros. Nós temos 
Declaração 12. Para uma matriz quadrada de ordem em, a relação é válida: 
.
Declaração 13. Todas as propriedades do determinante formuladas para linhas (afirmações 1 - 11) também são válidas para colunas, em particular, a decomposição do determinante na j-ésima coluna é válida 
e igualdade 
no .
Declaração 14. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal.
Consequência. O determinante da matriz identidade é igual a um, .
Conclusão. As propriedades listadas acima permitem encontrar determinantes de matrizes de ordens suficientemente elevadas com uma quantidade relativamente pequena de cálculos. O algoritmo de cálculo é o seguinte.
Algoritmo para criação de zeros em uma coluna. Suponha que precisemos calcular o determinante da ordem. Se , troque a primeira linha e qualquer outra linha em que o primeiro elemento não seja zero. Como resultado, o determinante , será igual ao determinante da nova matriz com sinal oposto. Se o primeiro elemento de cada linha for igual a zero, então a matriz tem coluna zero e, conforme as afirmações 1, 13, seu determinante é igual a zero.
Então, acreditamos que já está na matriz original. Deixamos a primeira linha inalterada. Adicione à segunda linha a primeira linha multiplicada pelo número. Então o primeiro elemento da segunda linha será igual a 
.
Denotamos os elementos restantes da nova segunda linha por,. O determinante da nova matriz de acordo com a afirmação 9 é igual a . Multiplique a primeira linha por um número e adicione-a à terceira. O primeiro elemento da nova terceira linha será igual a 
Denotamos os elementos restantes da nova terceira linha por,. O determinante da nova matriz de acordo com a afirmação 9 é igual a .
Continuaremos o processo de obtenção de zeros em vez dos primeiros elementos das linhas. Por fim, multiplique a primeira linha por um número e adicione-o à última linha. O resultado é uma matriz, vamos denota-la, que tem a forma 
e . Para calcular o determinante da matriz, usamos a expansão na primeira coluna
Desde então 
No lado direito está o determinante da matriz de ordem. Aplicamos o mesmo algoritmo a ele, e o cálculo do determinante da matriz se reduzirá ao cálculo do determinante da matriz de ordem. Repetimos o processo até chegarmos ao determinante de segunda ordem, que é calculado por definição.
Se a matriz não possuir propriedades específicas, não será possível reduzir significativamente a quantidade de cálculos em comparação com o algoritmo proposto. Outro bom aspecto deste algoritmo é que é fácil utilizá-lo para criar um programa de computador para cálculo de determinantes de matrizes de grandes ordens. Programas padrão para cálculo de determinantes usam este algoritmo com pequenas alterações relacionadas à minimização da influência de erros de arredondamento e erros de dados de entrada em cálculos de computador.
Exemplo. Calcular determinante da matriz 
.
Solução. Deixamos a primeira linha inalterada. À segunda linha adicionamos a primeira, multiplicada pelo número:
O determinante não muda. À terceira linha adicionamos a primeira, multiplicada pelo número:
O determinante não muda. À quarta linha adicionamos a primeira, multiplicada pelo número:
O determinante não muda. Como resultado obtemos 
Utilizando o mesmo algoritmo, calculamos o determinante da matriz de ordem 3, localizada à direita. Deixamos a primeira linha inalterada, adicionamos a primeira linha multiplicada pelo número à segunda linha 
:
À terceira linha adicionamos a primeira, multiplicada pelo número 
:
Como resultado obtemos 
Responder. .
Comente. Embora tenham sido utilizadas frações nos cálculos, o resultado acabou sendo um número inteiro. Na verdade, usando as propriedades dos determinantes e o fato de os números originais serem inteiros, as operações com frações poderiam ser evitadas. Mas na prática da engenharia, os números raramente são inteiros. Portanto, via de regra, os elementos do determinante serão frações decimais e não é apropriado usar truques para simplificar os cálculos.
matriz inversa
Definição 3. A matriz é chamada matriz inversa para uma matriz quadrada, se .
Da definição segue-se que a matriz inversa será uma matriz quadrada da mesma ordem da matriz (caso contrário, um dos produtos não seria definido).
O inverso de uma matriz é denotado por. Assim, se existir, então .
Da definição de matriz inversa segue-se que a matriz é a inversa da matriz, ou seja, . Podemos dizer sobre matrizes que elas são inversas entre si ou mutuamente inversas.
Se o determinante de uma matriz for zero, então sua inversa não existe.
Como para encontrar a matriz inversa é importante se o determinante da matriz é igual a zero ou não, introduzimos as seguintes definições.
Definição 4. Vamos chamar a matriz quadrada degenerar ou matriz especial, se não degenerado ou matriz não singular, Se .
Declaração. Se a matriz inversa existir, então ela é única.
Declaração. Se uma matriz quadrada for não singular, então sua inversa existe e 
(1) onde estão os complementos algébricos dos elementos.
Teorema. Uma matriz inversa para uma matriz quadrada existe se e somente se a matriz for não singular, a matriz inversa for única e a fórmula (1) for válida.
Comente. Atenção especial deve ser dada aos lugares ocupados pelas adições algébricas na fórmula da matriz inversa: o primeiro índice mostra o número coluna, e o segundo é o número linhas, no qual você precisa escrever a adição algébrica calculada.
Exemplo. 
.
Solução. Encontrando o determinante
Desde então, a matriz é não degenerada e sua inversa existe. Encontrando complementos algébricos: 
Compomos a matriz inversa, colocando as adições algébricas encontradas de forma que o primeiro índice corresponda à coluna e o segundo à linha: 
(2)
A matriz resultante (2) serve como resposta ao problema.
Comente. No exemplo anterior, seria mais preciso escrever a resposta assim: 
(3)
Contudo, a notação (2) é mais compacta e é mais conveniente realizar cálculos adicionais com ela, se necessário. Portanto, escrever a resposta na forma (2) é preferível se os elementos da matriz forem inteiros. E vice-versa, se os elementos da matriz forem frações decimais, então é melhor escrever a matriz inversa sem fator na frente.
Comente. Ao encontrar a matriz inversa, você precisa realizar muitos cálculos e a regra para organizar adições algébricas na matriz final é incomum. Portanto, há uma grande probabilidade de erro. Para evitar erros, você deve verificar: calcule o produto da matriz original e da matriz final em uma ordem ou outra. Se o resultado for uma matriz identidade, então a matriz inversa foi encontrada corretamente. Caso contrário, você precisará procurar um erro.
Exemplo. Encontre o inverso de uma matriz 
.
Solução.
- existe.
Responder: 
.
Conclusão. Encontrar a matriz inversa usando a fórmula (1) requer muitos cálculos. Para matrizes de quarta ordem e superiores, isto é inaceitável. O algoritmo real para encontrar a matriz inversa será fornecido mais tarde.
Cálculo do determinante e da matriz inversa usando o método gaussiano
O método gaussiano pode ser usado para encontrar o determinante e a matriz inversa.
Ou seja, o determinante da matriz é igual a det.
A matriz inversa é encontrada resolvendo sistemas de equações lineares usando o método de eliminação gaussiana:
Onde está a j-ésima coluna da matriz identidade, é o vetor desejado.
Os vetores de solução resultantes obviamente formam colunas da matriz, uma vez que.
Fórmulas para o determinante
1. Se a matriz não for singular, então e (produto dos elementos líderes).
Recordemos o teorema de Laplace:
Teorema de Laplace:
Sejam k linhas (ou k colunas) escolhidas arbitrariamente no determinante d de ordem n, . Então a soma dos produtos de todos os menores de ordem k contidos nas linhas selecionadas e seus complementos algébricos é igual ao determinante d.
Para calcular determinantes, no caso geral, k é considerado igual a 1. Ou seja, no determinante d de ordem n, uma linha (ou coluna) é escolhida arbitrariamente. Então a soma dos produtos de todos os elementos contidos na linha (ou coluna) selecionada e seus complementos algébricos é igual ao determinante d.
Exemplo:
Determinante de cálculo 
Solução:
Vamos selecionar uma linha ou coluna arbitrária. Por uma razão que se tornará óbvia um pouco mais tarde, limitaremos a nossa escolha à terceira linha ou à quarta coluna. E vamos parar na terceira linha.
Vamos usar o teorema de Laplace.
O primeiro elemento da linha selecionada é 10, aparece na terceira linha e na primeira coluna. Vamos calcular o complemento algébrico para ele, ou seja, Vamos encontrar o determinante obtido riscando a coluna e a linha em que se encontra este elemento (10) e descobrir o sinal.
“mais se a soma dos números de todas as linhas e colunas em que o menor M está localizado for par, e menos se esta soma for ímpar.”
E pegamos o menor, composto por um único elemento 10, que está na primeira coluna da terceira linha.
Então: 
O quarto termo dessa soma é 0, por isso vale a pena escolher linhas ou colunas com o número máximo de elementos zero.
Responder: -1228
Exemplo:
Calcule o determinante: 
Solução:
Vamos selecionar a primeira coluna, porque... dois elementos nele são iguais a 0. Vamos expandir o determinante ao longo da primeira coluna. 
Expandimos cada um dos determinantes de terceira ordem ao longo da primeira segunda linha 
Expandimos cada um dos determinantes de segunda ordem ao longo da primeira coluna 
Responder: 48
Comente: na resolução deste problema não foram utilizadas fórmulas de cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordens. Apenas decomposição em linha ou coluna foi usada. O que leva a uma diminuição na ordem dos determinantes.
