Teorema de Menelau e sua aplicação. Teorema de Cheva e Menelau

TEOREMAS DE CHEVA E MENELAU

Teorema de Ceva

A maioria dos pontos notáveis do triângulo pode ser obtida usando o procedimento a seguir. Que haja alguma regra segundo a qual possamos escolher um certo ponto A 1 , no lado BC (ou sua extensão) do triângulo ABC (por exemplo, escolha o ponto médio deste lado). Então construiremos pontos semelhantes B 1, C 1 nos outros dois lados do triângulo (no nosso exemplo existem mais dois pontos médios dos lados). Se a regra de seleção for bem-sucedida, então AA direto 1, BB 1, CC 1 irá se cruzar em algum ponto Z (a escolha dos pontos médios dos lados neste sentido é, obviamente, bem-sucedida, uma vez que as medianas do triângulo se cruzam em um ponto).

Eu gostaria de ter algum método geral que permitisse determinar, a partir da posição dos pontos nos lados de um triângulo, se o triplo de linhas correspondente se cruza em um ponto ou não.

Uma condição universal que “fechou” este problema foi encontrada em 1678 por um engenheiro italianoGiovanni Cheva .

Definição. Os segmentos que conectam os vértices de um triângulo com pontos em lados opostos (ou suas extensões) são chamados de cevianas se se cruzam em um ponto.

Existem duas localizações possíveis para as cevianas. Em uma versão, o ponto

as interseções são internas e as extremidades das cevianas ficam nos lados do triângulo. Na segunda opção, o ponto de intersecção é externo, a extremidade de uma ceviana fica na lateral e as extremidades das outras duas cevianas ficam nas extensões das laterais (ver desenhos).

Teorema 3. (Teorema direto de Ceva) Em um triângulo arbitrário ABC, os pontos A são tomados nos lados BC, CA, AB ou suas extensões, respectivamente 1 , EM 1 , COM 1 , tal que AA direto 1 , BB 1 , SS 1 se cruzam em algum ponto comum, então

Prova: Embora sejam conhecidas várias provas originais do teorema de Ceva, consideraremos uma prova baseada numa dupla aplicação do teorema de Menelau. Vamos escrever pela primeira vez a relação do teorema de Menelau para um triânguloABB 1 e secante CC 1 (denotamos o ponto de intersecção das cevianasZ):

e a segunda vez para um triânguloB 1 a.C. e secante A.A. 1 :

Multiplicando essas duas relações e fazendo as reduções necessárias, obtemos a razão contida no enunciado do teorema.

Teorema 4. (Teorema inverso de Ceva) . Se para aqueles selecionados nos lados do triângulo abc ou suas extensões de pontos A 1 , EM 1 E C 1 A condição de Cheva está satisfeita:

então direto A.A. 1 , BB 1 E CC 1 se cruzam em um ponto .

A prova deste teorema é realizada por contradição, tal como a prova do teorema de Menelau.

Consideremos exemplos de aplicação dos teoremas direto e inverso de Ceva.

Exemplo 3. Prove que as medianas de um triângulo se cruzam em um ponto.

Solução. Considere a relação

para os vértices de um triângulo e os pontos médios de seus lados. Obviamente, em cada fração o numerador e o denominador possuem segmentos iguais, portanto todas essas frações são iguais a um. Conseqüentemente, a relação de Cheva é satisfeita, portanto, pelo teorema inverso, as medianas se cruzam em um ponto.

Teorema (teorema de Ceva) . Deixe os pontos deitar de lado e triângulo respectivamente. Deixe os segmentos E se cruzam em um ponto. Então

(contornamos o triângulo no sentido horário).

Prova. Vamos denotar por ponto de intersecção de segmentos E . Vamos omitir dos pontos E perpendiculares a uma linhaantes de intersectá-lo em pontos E correspondentemente (ver figura).

Porque triângulos E tem um lado comum, então suas áreas estão relacionadas às alturas desenhadas para este lado, ou seja, E :

A última igualdade é verdadeira, pois os triângulos retângulos E semelhante em ângulo agudo.

Da mesma forma obtemos

Vamos multiplicar essas três igualdades:

Q.E.D.

Sobre medianas:

1. Coloque massas unitárias nos vértices do triângulo ABC.
2. O centro de massa dos pontos A e B está no meio de AB. O centro de massa de todo o sistema deve estar na mediana do lado AB, pois o centro de massa do triângulo ABC é o centro de massa do centro de massa dos pontos A e B e do ponto C.
(ficou confuso)
3. Da mesma forma - o CM deve ficar na mediana dos lados AC e BC
4. Como o CM é um ponto único, todas essas três medianas devem se cruzar nele.

A propósito, segue-se imediatamente que por intersecção eles são divididos na proporção de 2:1. Como a massa do centro de massa dos pontos A e B é 2, e a massa do ponto C é 1, portanto, o centro de massa comum, de acordo com o teorema da proporção, dividirá a mediana na razão de 2/1 .

Muito obrigado, está apresentado de forma acessível, acho que não seria supérfluo apresentar a prova utilizando os métodos de geometria de massa, por exemplo:
As linhas AA1 e CC1 se cruzam no ponto O; AC1: C1B = p e BA1: A1C = q. Precisamos provar que a reta BB1 passa pelo ponto O se e somente se CB1: B1A = 1: pq.
Coloquemos as massas 1, p e pq nos pontos A, B e C, respectivamente. Então o ponto C1 é o centro de massa dos pontos A e B, e o ponto A1 é o centro de massa dos pontos B e C. Portanto, o centro de massa dos pontos A, B e C com essas massas é o ponto de intersecção O de linhas CC1 e AA1. Por outro lado, o ponto O encontra-se no segmento que liga o ponto B ao centro de massa dos pontos A e C. Se B1 é o centro de massa dos pontos A e C com massas 1 e pq, então AB1: B1C = pq: 1. Resta notar que no segmento AC existe um único ponto que o divide na dada razão AB1:B1C.

2. Teorema de Ceva

Um segmento que conecta um vértice de um triângulo a um ponto no lado oposto é chamadoceviana . Assim, se em um triânguloabc X , S e Z - pontos deitados nas lateraisa.C. , CA , AB consequentemente, então os segmentosMACHADO , POR , República Checa são Chevianos. O termo vem do matemático italiano Giovanni Ceva, que em 1678 publicou o seguinte teorema muito útil:

Teorema 1.21. Se três cevianas AX, BY, CZ (uma de cada vértice) do triângulo ABC são competitivas, então

|BX||XC|· |CY||Sim|· |AZ||ZB|=1 .

Arroz. 3.

Quando dizemos que três linhas (ou segmentos)competitivo , então queremos dizer que todos eles passam por um ponto, que denotamos porP . Para provar o teorema de Ceva, lembre-se que as áreas dos triângulos com alturas iguais são proporcionais às bases dos triângulos. Referindo-se à Figura 3, temos:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX-SPBXSAXC−SPXC= SABPSCAP.

Da mesma maneira,

|CY||Sim|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Agora, se os multiplicarmos, obtemos

|BX||XC|· |CY||Sim|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

A recíproca deste teorema também é verdadeira:

Teorema 1.22. Se três cevianas AX, BY, CZ satisfazem a relação

|BX||XC|· |CY||Sim|· |AZ||ZB|=1 ,

então eles são competitivos .

Para mostrar isso, suponha que as duas primeiras cevianas se cruzem no pontoP , como antes, e a terceira ceviana passando pelo pontoP , vaiCZ' . Então, pelo Teorema 1.21,

|BX||XC|· |CY||Sim|· |AZ′||Z'B|=1 .

Mas por suposição

|BX||XC|· |CY||Sim|· |AZ||ZB|=1 .

Por isso,

|AZ||ZB|= |AZ′||Z'B| ,

pontoZ' coincide com o pontoZ , e provamos que os segmentosMACHADO , POR ERepública Checa competitivo (, p. 54 e , pp. 48, 317).

Teorema de Menelau ou o teorema do quadrilátero completo é conhecido desde os tempos da Grécia Antiga. Recebeu esse nome em homenagem ao seu autor, um antigo matemático e astrônomo grego. Menelau de Alexandria(cerca de 100 DC). Este teorema é muito bonito e simples, mas, infelizmente, não recebe a devida atenção nos cursos escolares modernos. Entretanto, em muitos casos, ajuda a resolver problemas geométricos bastante complexos com muita facilidade e elegância.

Teorema 1 (teorema de Menelau). Seja ∆ABC interceptado por uma reta não paralela ao lado AB e que cruza seus dois lados AC e BC, respectivamente, nos pontos F e E, e a reta AB no ponto D (Figura 1),

então A F FC * CE EB * BD DA = 1

Observação. Para lembrar facilmente esta fórmula, você pode usar a seguinte regra: mover-se ao longo do contorno do triângulo do vértice ao ponto de intersecção com a linha e do ponto de intersecção ao próximo vértice.

Prova. Dos vértices A, B, C do triângulo traçamos, respectivamente, três retas paralelas até se cruzarem com a reta secante. Obtemos três pares de triângulos semelhantes (um sinal de semelhança em dois ângulos). As seguintes igualdades decorrem da semelhança de triângulos:

Agora vamos multiplicar essas igualdades resultantes:

O teorema foi provado.

Para sentir a beleza deste teorema, vamos tentar resolver o problema geométrico proposto a seguir de duas maneiras diferentes: usando construção auxiliar e com a ajuda Teorema de Menelau.

Tarefa 1.

Em ∆ABC, a bissetriz AD divide o lado BC na proporção de 2: 1. Em que proporção a mediana CE divide esta bissetriz?

Solução.

Usando construção auxiliar:

Seja S o ponto de intersecção da bissetriz AD e da mediana CE. Vamos construir ∆ASB para o paralelogramo ASBK. (Figura 2)

Obviamente, SE = EK, uma vez que o ponto de intersecção do paralelogramo divide as diagonais. Consideremos agora os triângulos ∆CBK e ∆CDS. É fácil ver que eles são semelhantes (um sinal de semelhança em dois ângulos: e como ângulos unilaterais internos com linhas paralelas AD e KB e uma secante CB). Da semelhança do triângulo segue-se o seguinte:

Usando a condição, obtemos:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3

Agora observe que KB = AS, como os lados opostos de um paralelogramo. Então

AS SD = KB SD = CB CD = 3

Usando o teorema de Menelau.

Vamos considerar ∆ABD e aplicar a ele o teorema de Menelau (a reta que passa pelos pontos C, S, E é uma reta secante):

SER EA * AS SD * DC CB = 1

Pelas condições do teorema, temos BE/EA = 1, pois CE é a mediana, e DC/CB = 1/3, como já calculamos anteriormente.

1 * COMO SD * 1 3 = 1

A partir daqui obtemos AS/SD = 3 À primeira vista, ambas as soluções são bastante compactas e aproximadamente equivalentes. No entanto, a ideia de uma construção adicional para os alunos muitas vezes revela-se muito complexa e nada óbvia, ao passo que, conhecendo o teorema de Menelau, basta aplicá-lo corretamente.

Consideremos outro problema no qual o teorema de Menelau funciona de maneira muito elegante.

Tarefa 2.

Nos lados AB e BC ∆ABC os pontos M e N são dados, respectivamente, de modo que as seguintes igualdades sejam válidas:

SOU MB = CN NA = 1 2

Em que proporção o ponto de intersecção S dos segmentos BN e CM divide cada um desses segmentos (Fig. 3)?

Solução.

Vamos considerar ∆ABN. Vamos aplicar o teorema de Menelau para este triângulo (a reta que passa pelos pontos M, S, C é uma reta secante)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

Das condições do problema temos: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

Vamos substituir esses resultados e obter:

1 2 *BS SN * 1 3 = 1

Portanto BS/SN = 6. E, portanto, o ponto S de intersecção dos segmentos BN e CM divide o segmento BN na proporção de 6: 1.

Vamos considerar ∆ACM. Vamos aplicar o teorema de Menelau para este triângulo (a reta que passa pelos pontos N, S, B é uma reta secante):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

Das condições do problema temos: AN NC = 2

MB BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2MB 3MA = 2 3

Vamos substituir esses resultados e obter:

2 * CS SM * 2 3 = 1

Portanto CS/SM = 3/4

E, portanto, o ponto S de intersecção dos segmentos BN e CM divide o segmento CM na proporção 3:4.

O teorema inverso ao teorema de Menelau também é verdadeiro. Muitas vezes acaba sendo ainda mais útil. Funciona especialmente bem em problemas de prova. Freqüentemente, com sua ajuda, até mesmo os problemas das Olimpíadas são resolvidos de maneira bonita, fácil e rápida.

Teorema 2(Teorema inverso de Menelau). Seja dado um triângulo ABC e os pontos D, E, F pertençam às retas BC, AC, AB, respectivamente (observe que eles podem estar tanto nos lados do triângulo ABC quanto em suas extensões) (Fig. 4).

Então, se AF FC * CE EB * BD DA = 1

então os pontos D, E, F estão na mesma linha.

Prova. Vamos provar o teorema por contradição. Suponhamos que a relação das condições do teorema seja satisfeita, mas o ponto F não esteja na reta DE (Fig. 5).

Vamos denotar o ponto de intersecção das retas DE e AB com a letra O. Agora aplicamos o teorema de Menelau e obtemos: AE EC * CD DB * BO OA = 1

Mas, por outro lado, a igualdade BF FA = BO OA

não pode ser executado.

Portanto, a relação das condições do teorema não pode ser satisfeita. Temos uma contradição.

O teorema foi provado.

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Aula: 9

Lições objetivas:

generalizar, ampliar e sistematizar conhecimentos e habilidades dos alunos; ensinar como usar o conhecimento na resolução de problemas complexos;
promover o desenvolvimento de competências para aplicação independente de conhecimentos na resolução de problemas;
desenvolver o pensamento lógico e o discurso matemático dos alunos, a capacidade de analisar, comparar e generalizar;
incutir nos alunos autoconfiança e trabalho árduo; capacidade de trabalhar em equipe.

Lições objetivas:

Educacional: repita os teoremas de Menelau e Cheva; aplicá-los ao resolver problemas.
Desenvolvimento: aprenda a apresentar uma hipótese e a defender habilmente sua opinião com evidências; teste sua capacidade de generalizar e sistematizar seu conhecimento.
Educacional: aumentar o interesse pelo assunto e preparar-se para resolver problemas mais complexos.

Tipo de aula: aula de generalização e sistematização do conhecimento.

Equipamento: fichas para trabalho coletivo em aula sobre o tema, fichas individuais para trabalho independente, computador, projetor multimídia, tela.

Durante as aulas

Estágio I. Momento organizacional (1 min.)

O professor anuncia o tema e o objetivo da aula.

Estágio II. Atualizando conhecimentos e habilidades básicas (10 min.)

Professor: Durante a aula, relembraremos os teoremas de Menelau e Cheva para podermos prosseguir com sucesso na resolução de problemas. Vamos dar uma olhada na tela onde ele é apresentado. Para qual teorema esse valor é dado? (teorema de Menelau). Tente formular claramente o teorema.

Imagem 1

Deixe o ponto A 1 estar no lado BC do triângulo ABC, o ponto C 1 no lado AB, o ponto B 1 na continuação do lado AC além do ponto C. Os pontos A 1 , B 1 e C 1 estão na mesma linha reta se e somente se a igualdade se mantiver

Professor: Vejamos a imagem a seguir juntos. Enuncie um teorema para este desenho.

Figura 2

A linha AD cruza dois lados e a extensão do terceiro lado do triângulo do DIU.

De acordo com o teorema de Menelau

A linha reta MB cruza dois lados e a extensão do terceiro lado do triângulo ADC.

De acordo com o teorema de Menelau

Professor: A que teorema corresponde a imagem? (Teorema de Ceva). Enuncie o teorema.

Figura 3

Deixe o ponto A 1 no triângulo ABC estar no lado BC, o ponto B 1 no lado AC, o ponto C 1 no lado AB. Os segmentos AA 1, BB 1 e CC 1 se cruzam em um ponto se e somente se a igualdade for válida

Estágio III. Solução de problemas. (22 minutos)

A turma é dividida em 3 equipes, cada uma recebendo um cartão com duas tarefas diferentes. É dado tempo para decidir e então aparece o seguinte na tela:<Рисунки 4-9>. Com base nos desenhos concluídos das tarefas, os representantes da equipe se revezam explicando suas soluções. Cada explicação é seguida de discussão, esclarecimento de dúvidas e verificação da correção da solução na tela. Todos os membros da equipe participam da discussão. Quanto mais ativa a equipe, mais alta ela é avaliada na soma dos resultados.

Cartão 1.

1. No triângulo ABC, o ponto N é tomado no lado BC de modo que NC = 3BN; na continuação do lado AC, o ponto M é tomado como ponto A de modo que MA = AC. A linha MN cruza o lado AB no ponto F. Encontre a razão

2. Prove que as medianas de um triângulo se cruzam em um ponto.

Solução 1

Figura 4

De acordo com as condições do problema, MA = AC, NC = 3BN. Seja MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. A linha MN cruza dois lados do triângulo ABC e a continuação do terceiro.

De acordo com o teorema de Menelau

Responder:

Evidência 2

Figura 5

Sejam AM 1, BM 2, CM 3 as medianas do triângulo ABC. Para provar que esses segmentos se cruzam em um ponto, basta mostrar que

Então, pelo teorema de Ceva (inverso), os segmentos AM 1, BM 2 e CM 3 se cruzam em um ponto.

Nós temos:

Assim, está provado que as medianas de um triângulo se cruzam em um ponto.

Cartão 2.

1. O ponto N é obtido no lado PQ do triângulo PQR, e o ponto L é obtido no lado PR, e NQ = LR. O ponto de intersecção dos segmentos QL e NR divide QL na razão m:n, contando a partir do ponto Q. Encontre

2. Prove que as bissetoras de um triângulo se cruzam em um ponto.

Solução 1

Figura 6

Por condição, NQ = LR, seja NA = LR =a, QF = km, LF = kn. A linha NR cruza dois lados do triângulo PQL e a continuação do terceiro.

De acordo com o teorema de Menelau

Responder:

Evidência 2

Figura 7

Vamos mostrar isso

Então, pelo teorema (inverso) de Ceva, AL 1, BL 2, CL 3 se cruzam em um ponto. Pela propriedade das bissetrizes do triângulo

Multiplicando as igualdades obtidas termo a termo, obtemos

Para as bissetoras de um triângulo, a igualdade de Cheva é satisfeita, portanto, elas se cruzam em um ponto.

Cartão 3.

1. No triângulo ABC, AD é a mediana, o ponto O é o meio da mediana. A linha reta BO cruza o lado AC no ponto K. Em que proporção o ponto K divide AC, contando a partir do ponto A?

2. Prove que se um círculo está inscrito em um triângulo, então os segmentos que conectam os vértices do triângulo com os pontos de contato dos lados opostos se cruzam em um ponto.

Solução 1

Figura 8

Seja BD = DC = a, AO = OD = m. A linha reta BK cruza dois lados e a extensão do terceiro lado do triângulo ADC.

De acordo com o teorema de Menelau

Responder:

Evidência 2

Figura 9

Sejam A 1, B 1 e C 1 os pontos tangentes do círculo inscrito do triângulo ABC. Para provar que os segmentos AA 1, BB 1 e CC 1 se cruzam num ponto, basta mostrar que a igualdade de Cheva é válida:

Usando a propriedade das tangentes traçadas a um círculo a partir de um ponto, introduzimos a seguinte notação: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

A igualdade de Cheva é satisfeita, o que significa que as bissetoras do triângulo se cruzam em um ponto.

Estágio IV. Resolução de problemas (trabalho independente) (8 min.)

Professor: O trabalho das equipes está finalizado e agora iniciaremos o trabalho independente nos cartões individuais para 2 opções.

Materiais de aula para o trabalho independente dos alunos

Opção 1. Em um triângulo ABC cuja área é 6, no lado AB há um ponto K, dividindo este lado na proporção AK:BK = 2:3, e no lado AC há um ponto L, dividindo AC na proporção AL:LC = 5:3. O ponto Q de intersecção das retas СК e BL é afastado da reta AB a uma distância . Encontre o comprimento do lado AB. (Resposta: 4.)

Opção 2. No lado AC do triângulo ABC toma-se o ponto K. AK = 1, KS = 3. No lado AB toma-se o ponto L. AL:LB = 2:3, Q é o ponto de intersecção das retas BK e CL. Encontre o comprimento da altitude do triângulo ABC retirado do vértice B. (Resposta: 1.5.)

O trabalho é submetido ao professor para verificação.

Estágio V. Resumo da lição (2 min.)

Os erros cometidos são analisados, as respostas originais e os comentários são anotados. Os resultados do trabalho de cada equipe são somados e as notas são atribuídas.

Estágio VI. Lição de casa (1 min.)

O dever de casa é composto pelos problemas nº 11, 12 pp. 289-290, nº 10 p. 301.

Palavras finais do professor (1 min).

Hoje vocês ouviram o discurso matemático um do outro de fora e avaliaram suas capacidades. Futuramente, utilizaremos tais discussões para uma maior compreensão do assunto. Os argumentos da lição eram amigos dos fatos e a teoria da prática. Obrigado a todos.

Literatura:

Tkachuk V.V. Matemática para candidatos. – M.: MTsNMO, 2005.

O curso de geometria contém teoremas que não são estudados com detalhes suficientes na escola, mas que podem ser úteis para resolver os problemas mais complexos do Exame Estadual Unificado e do Exame Estadual Unificado. Estes incluem, por exemplo, o teorema de Menelau. Tradicionalmente, é estudado em aulas com estudo aprofundado de matemática na 8ª série, e no programa regular (de acordo com o livro didático de Atanasyan), o teorema de Menelau está incluído no livro didático das séries 10-11.
Entretanto, o resultado do estudo de recursos da Internet que mencionam o teorema de Menelau mostra que este é normalmente formulado de forma incompleta e, portanto, imprecisa, e todos os casos da sua utilização, bem como a prova do teorema inverso, não são apresentados. O objetivo deste artigo é entender o que é o teorema de Menelau, como e por que ele é utilizado, e também compartilhar com os alunos a metodologia de ensino desse teorema em aulas particulares de tutoria.
Consideremos um problema típico (Tarefa nº 26, OGE), que aparece nos exames em diversas variantes, diferindo apenas nos números da condição.

A solução para o problema em si é simples - você pode encontrá-la abaixo. Neste artigo, estamos principalmente interessados num ponto ligeiramente diferente, que muitas vezes é omitido e dado como certo, como óbvio. Mas o óbvio é o que pode ser comprovado. E isso pode ser provado de várias maneiras - geralmente elas são provadas exclusivamente por similaridade - mas também pode ser feito usando o teorema de Menelau.
Segue-se da condição de que, como os ângulos na base inferior do trapézio somam 90°, se você estender os lados, obterá um triângulo retângulo. A seguir, a partir do ponto de intersecção resultante das extensões dos lados laterais, desenhe um segmento que passa pelo meio das bases. Por que esse segmento passa por todos esses três pontos? Normalmente, as soluções para o problema encontradas na Internet não dizem uma palavra sobre isso. Não há sequer uma referência ao teorema do trapézio de quatro pontos, muito menos uma prova desta afirmação. Entretanto, pode ser provado utilizando o teorema de Menelau, que é a condição para que três pontos pertençam a uma reta.

Formulações do teorema de Menelau
É hora de formular o teorema. Deve-se notar que em vários livros e manuais existem formulações bastante diferentes, embora a essência permaneça inalterada. No livro de Atanasyan e outros para as séries 10-11, é dada a seguinte formulação do teorema de Menelau, vamos chamá-lo de “vetor”:

No livro didático “Geometria 10-11 anos” de Aleksandrov et al., bem como no livro didático dos mesmos autores “Geometria. 8ª série” fornece uma formulação ligeiramente diferente do teorema de Menelau, e é a mesma para as séries 10-11 e 8:
Três notas precisam ser feitas aqui.
Nota 1. Não há problemas em exames que precisem ser resolvidos apenas por meio de vetores, para os quais se utiliza “menos um”. Portanto, para uso prático, a formulação mais conveniente é aquela que é essencialmente um corolário do teorema dos segmentos (esta é a segunda formulação, destacada em negrito). Limitar-nos-emos a isto para um estudo mais aprofundado do teorema de Menelau, uma vez que o nosso objectivo é aprender como aplicá-lo na resolução de problemas.
Nota 2. Apesar de todos os livros didáticos estipularem claramente o caso em que todos os três pontos A 1, B 1 e C 1 podem estar nas extensões dos lados do triângulo (ou nas linhas retas contendo os lados do triângulo), em Em vários sites de tutoria na Internet, apenas o caso é formulado quando dois pontos estão em dois lados e o terceiro está na continuação do terceiro lado. Isto dificilmente pode ser justificado pelo fato de que nos exames apenas são encontrados problemas do primeiro tipo e os problemas não podem ser encontrados quando todos esses pontos estão em extensões de três lados.
Nota 3. O teorema inverso, ou seja, a condição de três pontos estarem na mesma reta geralmente não é considerada, e alguns tutores até aconselham (???) estudar apenas o teorema direto e não considerar o teorema inverso. Enquanto isso, a prova da afirmação inversa é bastante instrutiva e permite provar afirmações semelhantes às dadas na solução do Problema 1. A experiência de provar o teorema inverso sem dúvida proporcionará benefícios tangíveis ao aluno na resolução de problemas.

Desenhos e padrões

Para ensinar um aluno a ver o teorema de Menelau em problemas e utilizá-lo na tomada de decisões, é importante prestar atenção às imagens e padrões na escrita do teorema para um caso específico. E como o teorema em si está em sua forma “pura”, ou seja, sem circundá-los por outros segmentos, os lados de várias figuras geralmente não são encontrados em problemas, então é mais apropriado mostrar o teorema em problemas específicos. E se você mostrar desenhos como explicação, torne-os multivariados. Neste caso, destaque em uma cor (por exemplo, vermelho) a reta que é formada por três pontos, e em azul - os segmentos do triângulo envolvidos na escrita do teorema de Menelau. Neste caso, os elementos que não participam permanecem pretos:

À primeira vista pode parecer que a formulação do teorema é bastante complexa e nem sempre compreensível; afinal, envolve três frações. Na verdade, se o aluno não tiver experiência suficiente, ele poderá facilmente cometer um erro ao escrever e, como resultado, resolver o problema incorretamente. E é aqui que às vezes começam os problemas. O problema é que os livros didáticos geralmente não se concentram em como "contornar" ao escrever um teorema. Nada é dito sobre as leis de registro do teorema em si. É por isso que alguns tutores chegam a desenhar setas diferentes para indicar a ordem em que a fórmula deve ser escrita. E pedem aos alunos que sigam rigorosamente essas orientações. Isso está parcialmente correto, mas é muito mais importante compreender a essência do teorema do que escrevê-lo de forma puramente mecânica, usando a “regra de desvio” e as setas.
Na verdade, só é importante entender a lógica do “bypass”, e ela é tão precisa que é impossível errar na escrita da fórmula. Em ambos os casos a) eb) escrevemos a fórmula do triângulo AMC.
Primeiro, definimos três pontos para nós mesmos - os vértices do triângulo. Para nós estes são os pontos A, M, C. Então determinamos os pontos situados na linha que se cruza (linha vermelha), estes são B, P, K. Iniciamos o “movimento” a partir do vértice do triângulo, por exemplo, do ponto C. Deste ponto “vamos” para o ponto que é formado pela intersecção, por exemplo, do lado AC e da linha que se cruza - para nós este é o ponto K. Escrevemos no numerador da primeira fração - SK . Então, do ponto K, “vamos” para o ponto restante da linha AC - para o ponto A. Escrevemos KA no denominador da primeira fração. Como o ponto A também pertence à linha AM, fazemos o mesmo com os segmentos da linha AM. E aqui novamente partimos do vértice, então “vamos” para um ponto na linha que se cruza, após o qual passamos para o vértice M. “Tendo nos encontrado” na linha BC, fazemos o mesmo com os segmentos em está linha. De M “vamos”, claro, para B, depois voltamos para C. Este “desvio” pode ser feito no sentido horário ou anti-horário. Só é importante compreender a regra de travessia - de um vértice a um ponto em uma linha e de um ponto em uma linha a outro vértice. É mais ou menos assim que a regra para escrever o produto de frações geralmente é explicada. O resultado é:
Observe que todo o “desvio” é refletido na gravação e, por conveniência, é mostrado com setas.
Porém, o registro resultante pode ser obtido sem realizar qualquer “travessia”. Depois que os pontos forem escritos - os vértices do triângulo (A, M, C) e os pontos - situados na linha de intersecção (B, P, K), anote também trigêmeos de letras denotando pontos situados em cada um dos três linhas. Em nossos casos, são I) B, M, C; II) A, P, M e III) A, C, K. Depois disso, o lado esquerdo correto da fórmula pode ser escrito sem sequer olhar o desenho e em qualquer ordem. Basta escrevermos frações verdadeiras de cada três letras que obedecem à regra - convencionalmente, as letras “do meio” são os pontos da linha que se cruza (vermelha). Convencionalmente, as letras “externas” são as pontas dos vértices do triângulo (azul). Ao escrever uma fórmula desta forma, você só precisa ter certeza de que qualquer letra “azul” (o vértice do triângulo) aparece uma vez tanto no numerador quanto no denominador.
Este método é especialmente útil para casos do tipo b), bem como para autoteste.

Teorema de Menelau. Prova
Existem várias maneiras diferentes de provar o teorema de Menelau. Às vezes eles provam isso usando a semelhança de triângulos, para os quais um segmento paralelo a AC é traçado a partir do ponto M (como neste desenho). Outros desenham uma linha adicional que não é paralela à linha que se cruza e, então, usando linhas retas paralelas à linha que se cruza, parecem “projetar” todos os segmentos necessários nesta linha e, usando uma generalização do teorema de Tales (isto é, o teorema dos segmentos proporcionais), deriva a fórmula. No entanto, talvez o método mais simples de prova seja obtido traçando uma linha reta do ponto M paralela ao ponto que se cruza. Vamos provar o teorema de Menelau desta forma.
Dado: Triângulo ABC. A linha PK cruza os lados do triângulo e a continuação do lado MC no ponto B.
Prove que a igualdade é válida:
Prova. Vamos desenhar o raio MM 1 paralelo a BK. Escrevamos as relações em que participam os segmentos incluídos na fórmula do teorema de Menelau. Num caso, considere linhas que se cruzam no ponto A e, no outro caso, que se cruzam no ponto C. Vamos multiplicar os lados esquerdo e direito dessas equações:

O teorema foi provado.
O teorema é provado de forma semelhante para o caso b).

Do ponto C traçamos um segmento CC 1 paralelo à reta BK. Escrevamos as relações em que participam os segmentos incluídos na fórmula do teorema de Menelau. Em um caso, consideremos linhas que se cruzam no ponto A e, no outro caso, que se cruzam no ponto M. Como o teorema de Tales não diz nada sobre a localização dos segmentos em duas linhas que se cruzam, os segmentos podem estar localizados em lados opostos do ponto M. . Portanto,

O teorema foi provado.

Agora vamos provar o teorema inverso.
Dado:
Prove que os pontos B, P, K estão na mesma linha.
Prova. Deixe a linha reta BP cruzar AC em algum ponto K 2 que não coincide com o ponto K. Como BP é uma linha reta contendo o ponto K 2 , então o teorema de Menelau recém-provado é válido para ela. Então, vamos escrever para ela
No entanto, acabamos de provar que
Segue-se que os pontos K e K 2 coincidem, pois dividem o lado AC na mesma proporção.
Para o caso b) o teorema é provado de maneira semelhante.

Resolvendo problemas usando o teorema de Menelau

Primeiro, vamos voltar ao Problema 1 e resolvê-lo. Vamos ler novamente. Vamos fazer um desenho:

Dado um trapézio ABCD. ST - linha média do trapézio, ou seja, uma das distâncias fornecidas. Os ângulos A e D somam 90°. Estendemos os lados AB e CD e na sua intersecção obtemos o ponto K. Conectamos o ponto K com o ponto N - o meio de BC. Agora provamos que o ponto P, que é o ponto médio da base AD, também pertence à reta KN. Consideremos os triângulos ABD e ACD sequencialmente. Dois lados de cada triângulo são interceptados pela linha KP. Suponha que a linha reta KN cruze a base AD em algum ponto X. Pelo teorema de Menelau:
Como o triângulo AKD é retângulo, o ponto P, que é o ponto médio da hipotenusa AD, é equidistante de A, D e K. Da mesma forma, o ponto N é equidistante dos pontos B, C e K. Onde uma base é igual a 36 e a outra é igual a 2.
Solução. Considere o triângulo BCD. É atravessado pelo raio AX, onde X é o ponto de intersecção deste raio com a extensão do lado BC. De acordo com o teorema de Menelau:
Substituindo (1) em (2) obtemos:

Solução. Denotemos pelas letras S 1 , S 2 , S 3 e S 4 as áreas dos triângulos AOB, AOM, BOK e do quadrilátero MOKC, respectivamente.

Como BM é a mediana, então S ABM = S BMC.
Isso significa S 1 + S 2 = S 3 + S 4.
Como precisamos encontrar a razão entre as áreas S 1 e S 4, dividimos ambos os lados da equação por S 4:
Vamos substituir esses valores na fórmula (1): Do triângulo BMC com secante AK, segundo o teorema de Menelau, temos: Do triângulo AKC com secante BM, pelo teorema de Menelau temos: Todas as relações necessárias são expressas através de k e agora você pode substituí-las na expressão (2):
A solução deste problema usando o teorema de Menelau é discutida na página.

Nota do professor de matemática. A aplicação do teorema de Menelau neste problema é o caso quando este método permite economizar significativamente tempo no exame. Esta tarefa é oferecida na versão demo do vestibular para o Liceu da Escola Superior de Economia do 9º ano (2019).

Decida por si mesmo

1) A tarefa é mais simples. Na mediana BD do triângulo ABC um ponto M é marcado de modo que BM: MD = m: n. A linha AM cruza o lado BC no ponto K.
Encontre a proporção BK:KC.
2) A tarefa é mais difícil. A bissetriz do ângulo A do paralelogramo ABCD cruza o lado BC no ponto P e a diagonal BD no ponto T. Sabe-se que AB: AD = k (0 3) Tarefa nº 26 OGE. No triângulo ABC, a bissetriz BE e a mediana AD são perpendiculares e têm o mesmo comprimento igual a 36. Encontre os lados do triângulo ABC.
Dica do professor de matemática. Na Internet pode-se encontrar uma solução para tal problema usando construção adicional e depois similaridade ou encontrando as áreas, e só depois os lados do triângulo. Aqueles. ambos os métodos requerem construção adicional. No entanto, resolver tal problema utilizando a propriedade da bissetriz e o teorema de Menelau não requer quaisquer construções adicionais. É muito mais simples e racional.

Aula: 9

Lições objetivas:

generalizar, ampliar e sistematizar conhecimentos e habilidades dos alunos; ensinar como usar o conhecimento na resolução de problemas complexos;
promover o desenvolvimento de competências para aplicação independente de conhecimentos na resolução de problemas;
desenvolver o pensamento lógico e o discurso matemático dos alunos, a capacidade de analisar, comparar e generalizar;
incutir nos alunos autoconfiança e trabalho árduo; capacidade de trabalhar em equipe.

Lições objetivas:

Educacional: repita os teoremas de Menelau e Cheva; aplicá-los ao resolver problemas.
Desenvolvimento: aprenda a apresentar uma hipótese e a defender habilmente sua opinião com evidências; teste sua capacidade de generalizar e sistematizar seu conhecimento.
Educacional: aumentar o interesse pelo assunto e preparar-se para resolver problemas mais complexos.

Tipo de aula: aula de generalização e sistematização do conhecimento.

Equipamento: fichas para trabalho coletivo em aula sobre o tema, fichas individuais para trabalho independente, computador, projetor multimídia, tela.

Durante as aulas

Estágio I. Momento organizacional (1 min.)

O professor anuncia o tema e o objetivo da aula.

Estágio II. Atualizando conhecimentos e habilidades básicas (10 min.)

Imagem 1

Professor: Vejamos a imagem a seguir juntos. Enuncie um teorema para este desenho.

Figura 2

A linha AD cruza dois lados e a extensão do terceiro lado do triângulo do DIU.

De acordo com o teorema de Menelau

A linha reta MB cruza dois lados e a extensão do terceiro lado do triângulo ADC.

De acordo com o teorema de Menelau

Professor: A que teorema corresponde a imagem? (Teorema de Ceva). Enuncie o teorema.

Figura 3

Deixe o ponto A 1 no triângulo ABC estar no lado BC, o ponto B 1 no lado AC, o ponto C 1 no lado AB. Os segmentos AA 1, BB 1 e CC 1 se cruzam em um ponto se e somente se a igualdade for válida

Estágio III. Solução de problemas. (22 minutos)

Cartão 1.

2. Prove que as medianas de um triângulo se cruzam em um ponto.

Solução 1

Figura 4

De acordo com as condições do problema, MA = AC, NC = 3BN. Seja MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. A linha MN cruza dois lados do triângulo ABC e a continuação do terceiro.

De acordo com o teorema de Menelau

Responder:

Evidência 2

Figura 5

Sejam AM 1, BM 2, CM 3 as medianas do triângulo ABC. Para provar que esses segmentos se cruzam em um ponto, basta mostrar que

Então, pelo teorema de Ceva (inverso), os segmentos AM 1, BM 2 e CM 3 se cruzam em um ponto.

Nós temos:

Assim, está provado que as medianas de um triângulo se cruzam em um ponto.

Cartão 2.

2. Prove que as bissetoras de um triângulo se cruzam em um ponto.

Solução 1

Figura 6

Por condição, NQ = LR, seja NA = LR =a, QF = km, LF = kn. A linha NR cruza dois lados do triângulo PQL e a continuação do terceiro.

De acordo com o teorema de Menelau

Responder:

Evidência 2

Figura 7

Vamos mostrar isso

Então, pelo teorema (inverso) de Ceva, AL 1, BL 2, CL 3 se cruzam em um ponto. Pela propriedade das bissetrizes do triângulo

Multiplicando as igualdades obtidas termo a termo, obtemos

Para as bissetoras de um triângulo, a igualdade de Cheva é satisfeita, portanto, elas se cruzam em um ponto.

Cartão 3.

1. No triângulo ABC, AD é a mediana, o ponto O é o meio da mediana. A linha reta BO cruza o lado AC no ponto K. Em que proporção o ponto K divide AC, contando a partir do ponto A?

2. Prove que se um círculo está inscrito em um triângulo, então os segmentos que conectam os vértices do triângulo com os pontos de contato dos lados opostos se cruzam em um ponto.

Solução 1

Figura 8

Seja BD = DC = a, AO = OD = m. A linha reta BK cruza dois lados e a extensão do terceiro lado do triângulo ADC.

De acordo com o teorema de Menelau

Responder:

Evidência 2

Figura 9

Sejam A 1, B 1 e C 1 os pontos tangentes do círculo inscrito do triângulo ABC. Para provar que os segmentos AA 1, BB 1 e CC 1 se cruzam num ponto, basta mostrar que a igualdade de Cheva é válida:

Usando a propriedade das tangentes traçadas a um círculo a partir de um ponto, introduzimos a seguinte notação: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

A igualdade de Cheva é satisfeita, o que significa que as bissetoras do triângulo se cruzam em um ponto.