Muitas vezes, em problemas de maior complexidade, encontramos equações trigonométricas contendo módulo. A maioria deles exige uma abordagem heurística para solução, o que é completamente desconhecido para a maioria dos alunos.
Os problemas propostos a seguir têm como objetivo apresentar as técnicas mais típicas de resolução de equações trigonométricas contendo um módulo.
Problema 1. Encontre a diferença (em graus) entre as menores raízes positivas e as maiores raízes negativas da equação 1 + 2sen x |cos x| = 0.
Solução.
Vamos expandir o módulo:
1) Se cos x ≥ 0, então a equação original terá a forma 1 + 2sen x · cos x = 0.
Usando a fórmula do seno de ângulo duplo, obtemos:
1 + sen 2x = 0; pecado 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n€Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Como cos x ≥ 0, então x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Se cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sen 2x = 0; pecado 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n€Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Como cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) A maior raiz negativa da equação: -π/4; menor raiz positiva da equação: 5π/4.
A diferença necessária: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Resposta: 270°.
Problema 2. Encontre (em graus) a menor raiz positiva da equação |tg x| + 1/cos x = tan x.
Solução.
Vamos expandir o módulo:
1) Se tan x ≥ 0, então
tan x + 1/cos x = tan x;
A equação resultante não tem raízes.
2) Se tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sen x / cos x = 0;
(1 – 2sen x) / cos x = 0;
1 – 2sen x = 0 e cos x ≠ 0.
Usando a Figura 1 e a condição tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) A menor raiz positiva da equação é 5π/6. Vamos converter esse valor para graus:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Resposta: 150°.
Problema 3. Encontre o número de raízes diferentes da equação sen |2x| = cos 2x no intervalo [-π/2; π/2].
Solução.
Vamos escrever a equação na forma sin|2x| – cos 2x = 0 e considere a função y = sin |2x| – cos 2x. Como a função é par, encontraremos seus zeros para x ≥ 0.
sen 2x – cos 2x = 0; Vamos dividir ambos os lados da equação por cos 2x ≠ 0, obtemos:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n€Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Usando a paridade da função, descobrimos que as raízes da equação original são números da forma
± (π/8 + πn/2), onde n € Z.
Intervalo [-π/2; π/2] pertencem aos números: -π/8; π/8.
Portanto, duas raízes da equação pertencem ao intervalo dado.
Resposta: 2.
Esta equação também poderia ser resolvida abrindo o módulo.
Problema 4. Encontre o número de raízes da equação sen x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sen 2 x = sen 2 x no intervalo [-π; 2π].
Solução.
1) Considere o caso quando 2cos x – 1 > 0, ou seja, cos x > 1/2, então a equação assume a forma:
pecado x – pecado 2 x = pecado 2 x;
sen x – 2sen 2 x = 0;
sen x(1 – 2sen x) = 0;
sen x = 0 ou 1 – 2sen x = 0;
sen x = 0 ou sen x = 1/2.
Usando a Figura 2 e a condição cos x > 1/2, encontramos as raízes da equação:
x = π/6 + 2πn ou x = 2πn, n € Z.
2) Considere o caso quando 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
pecado x + pecado 2 x = pecado 2 x;
x = 2πn, n€Z.
Usando a Figura 2 e a condição cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Combinando os dois casos, obtemos:
x = π/6 + 2πn ou x = πn.
3) Intervalo [-π; 2π] pertencem às raízes: π/6; -π; 0; π; 2π.
Assim, o intervalo dado contém cinco raízes da equação.
Resposta: 5.
Problema 5. Encontre o número de raízes da equação (x – 0,7) 2 |sen x| + sin x = 0 no intervalo [-π; 2π].
Solução.
1) Se sen x ≥ 0, então a equação original assume a forma (x – 0,7) 2 sen x + sen x = 0. Depois de tirar o fator comum sen x dos colchetes, obtemos:
sen x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; já que (x – 0,7) 2 + 1 > 0 para todo x real, então sinx = 0, ou seja, x = πn, n€ Z.
2) Se pecado x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sen x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
senx = 0 ou (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Já que sen x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0,7 = 1 ou x – 0,7 = -1, o que significa x = 1,7 ou x = -0,3.
Levando em consideração a condição sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, o que significa que apenas o número -0,3 é a raiz da equação original.
3) Intervalo [-π; 2π] pertencem aos números: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Assim, a equação tem cinco raízes em um determinado intervalo.
Resposta: 5.
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Tarefa nº 1
A lógica é simples: faremos como fizemos antes, independentemente do fato de agora as funções trigonométricas terem um argumento mais complexo!
Se resolvermos uma equação da forma:
Então escreveríamos a seguinte resposta:
Ou (desde)
Mas agora o nosso papel é desempenhado por esta expressão:
Então podemos escrever:
Nosso objetivo com você é garantir que o lado esquerdo fique simples, sem quaisquer “impurezas”!
Vamos nos livrar deles gradualmente!
Primeiro, vamos remover o denominador em: para fazer isso, multiplique nossa igualdade por:
Agora vamos nos livrar disso dividindo as duas partes:
Agora vamos nos livrar dos oito:
A expressão resultante pode ser escrita como 2 séries de soluções (por analogia com uma equação quadrática, onde adicionamos ou subtraímos o discriminante)
Precisamos encontrar a maior raiz negativa! É claro que precisamos resolver.
Vejamos primeiro o primeiro episódio:
É claro que se tomarmos, obteremos números positivos, mas eles não nos interessam.
Então você precisa considerar isso negativo. Deixe ser.
Quando a raiz será mais estreita:
E precisamos encontrar o maior negativo!! Isto significa que ir na direção negativa não faz mais sentido aqui. E a maior raiz negativa desta série será igual a.
Agora vamos dar uma olhada na segunda série:
E novamente substituímos: , então:
Não interessado!
Então não faz sentido aumentar mais! Vamos reduzir! Vamos então:
Encaixa!
Deixe ser. Então
Então - a maior raiz negativa!
Responder:
Tarefa nº 2
Resolvemos novamente, independentemente do argumento do cosseno complexo:
Agora expressamos novamente à esquerda:
Multiplique ambos os lados por
Divida ambos os lados por
Resta apenas movê-lo para a direita, mudando seu sinal de menos para mais.
Obtemos novamente 2 séries de raízes, uma com e outra com.
Precisamos encontrar a maior raiz negativa. Vejamos o primeiro episódio:
É claro que obteremos a primeira raiz negativa em, será igual e será a maior raiz negativa em 1 série.
Para a segunda série
A primeira raiz negativa também será obtida em e será igual a. Desde então é a maior raiz negativa da equação.
Responder: .
Tarefa nº 3
Resolvemos, independentemente do argumento da tangente complexa.
Agora, não parece complicado, certo?
Como antes, expressamos no lado esquerdo:
Bem, isso é ótimo, há apenas uma série de raízes aqui! Vamos encontrar o maior negativo novamente.
É claro que isso acontece se você colocá-lo de lado. E esta raiz é igual.
Responder:
Agora tente resolver você mesmo os seguintes problemas.
Lição de casa ou 3 tarefas para resolver de forma independente.
- Resolva a equação.
- Resolva a equação.
Na resposta à raiz pi-shi-th-the-menor-possível. - Resolva a equação.
Na resposta à raiz pi-shi-th-the-menor-possível.
Preparar? Vamos checar. Não vou descrever em detalhes todo o algoritmo de solução, parece-me que já recebeu atenção suficiente acima.
Bem, está tudo bem? Ah, esses seios nojentos, sempre há algum tipo de problema com eles!
Bem, agora você pode resolver equações trigonométricas simples!
Confira as soluções e respostas:
Tarefa nº 1
Vamos expressar
A menor raiz positiva é obtida se colocarmos, desde então
Responder:
Tarefa nº 2
A menor raiz positiva é obtida em.
Será igual.
Responder: .
Tarefa nº 3
Quando conseguirmos, quando tivermos.
Responder: .
Esse conhecimento o ajudará a resolver muitos problemas que encontrará no exame.
Se você está se candidatando para uma classificação “5”, então você só precisa ler o artigo para nível médio que será dedicado à resolução de equações trigonométricas mais complexas (tarefa C1).
NÍVEL MÉDIO
Neste artigo vou descrever resolvendo equações trigonométricas mais complexas e como selecionar suas raízes. Aqui vou me basear nos seguintes tópicos:
- Equações trigonométricas para nível iniciante (veja acima).
Equações trigonométricas mais complexas são a base para problemas avançados. Eles exigem resolver a própria equação de forma geral e encontrar as raízes dessa equação pertencentes a um determinado intervalo.
Resolver equações trigonométricas se resume a duas subtarefas:
- Resolvendo a equação
- Seleção de raiz
Deve-se notar que o segundo nem sempre é obrigatório, mas na maioria dos exemplos a seleção ainda é necessária. Mas se não for necessário, podemos simpatizar com você - isso significa que a equação em si é bastante complexa.
Minha experiência na análise de problemas C1 mostra que eles geralmente são divididos nas seguintes categorias.
Quatro categorias de tarefas de maior complexidade (anteriormente C1)
- Equações que se reduzem à fatoração.
- Equações reduzidas à forma.
- Equações resolvidas alterando uma variável.
- Equações que requerem seleção adicional de raízes devido à irracionalidade ou denominador.
Simplificando: se você for pego uma das equações dos três primeiros tipos, então considere-se com sorte. Para eles, via de regra, é necessário selecionar adicionalmente raízes pertencentes a um determinado intervalo.
Se você encontrar uma equação do tipo 4, terá menos sorte: precisará mexer nela por mais tempo e com mais cuidado, mas muitas vezes isso não requer seleção adicional de raízes. No entanto, analisarei este tipo de equações no próximo artigo, e este dedicarei à resolução de equações dos três primeiros tipos.
Equações que se reduzem à fatoração
A coisa mais importante que você precisa lembrar para resolver esse tipo de equação é
Como mostra a prática, via de regra, esse conhecimento é suficiente. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1. Equação reduzida à fatoração usando as fórmulas de redução e seno de ângulo duplo
- Resolva a equação
- Encontre todas as raízes desta equação que estão acima do corte
Aqui, como prometi, as fórmulas de redução funcionam:
Então minha equação ficará assim:
Então minha equação assumirá a seguinte forma:
Um aluno míope poderia dizer: agora vou reduzir os dois lados, pegar a equação mais simples e aproveitar a vida! E ele estará redondamente enganado!
| LEMBRE-SE: VOCÊ NUNCA PODE REDUZIR AMBOS OS LADOS DE UMA EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA POR UMA FUNÇÃO QUE CONTENHA UM DESCONHECIDO! ENTÃO VOCÊ PERDE SUAS RAÍZES! |
Então o que fazer? Sim, é simples, coloque tudo de lado e retire o fator comum:
Bem, nós consideramos isso em fatores, viva! Agora vamos decidir:
A primeira equação tem raízes:
E o segundo:
Isso completa a primeira parte do problema. Agora você precisa selecionar as raízes:
A lacuna é assim:
Ou também pode ser escrito assim:
Bem, vamos às raízes:
Primeiro, vamos trabalhar com o primeiro episódio (e é mais simples, para dizer o mínimo!)
Como nosso intervalo é totalmente negativo, não há necessidade de usar intervalos não negativos, eles ainda darão raízes não negativas.
Vamos pegar então - é demais, não bate.
Deixe estar, então - eu não acertei de novo.
Mais uma tentativa - então - sim, consegui! A primeira raiz foi encontrada!
Atiro de novo: depois bato de novo!
Bom, mais uma vez: : - isso já é um vôo.
Portanto, da primeira série existem 2 raízes pertencentes ao intervalo: .
Estamos trabalhando com a segunda série (estamos construindo ao poder de acordo com a regra):
Subestimar!
Saudades de novo!
Saudades de novo!
Entendi!
Voo!
Assim, meu intervalo tem as seguintes raízes:
Este é o algoritmo que usaremos para resolver todos os outros exemplos. Vamos praticar juntos com mais um exemplo.
Exemplo 2. Equação reduzida para fatoração usando fórmulas de redução
- Resolva a equação
Solução:
Novamente as notórias fórmulas de redução:
Não tente cortar novamente!
A primeira equação tem raízes:
E o segundo:
Agora novamente a busca pelas raízes.
Vou começar pelo segundo episódio, já sei tudo sobre ele pelo exemplo anterior! Observe e certifique-se de que as raízes pertencentes ao intervalo são as seguintes:
Agora o primeiro episódio e é mais simples:
Se - adequado
Se estiver tudo bem também
Se já for um voo.
Então as raízes serão as seguintes:
Trabalho independente. 3 equações.
Bem, a técnica está clara para você? Resolver equações trigonométricas não parece mais tão difícil? Em seguida, resolva você mesmo rapidamente os seguintes problemas e depois resolveremos outros exemplos:
- Resolva a equação
Encontre todas as raízes desta equação que estão acima do intervalo. - Resolva a equação
Indique as raízes da equação que estão acima do corte - Resolva a equação
Encontre todas as raízes desta equação que estão entre elas.
Equação 1.
E novamente a fórmula de redução:
Primeira série de raízes:
Segunda série de raízes:
Começamos a seleção para a lacuna
Responder: , .
Equação 2. Verificando o trabalho independente.
Um agrupamento bastante complicado em fatores (usarei a fórmula do seno de ângulo duplo):
então ou
Esta é uma solução geral. Agora precisamos selecionar as raízes. O problema é que não podemos determinar o valor exato de um ângulo cujo cosseno é igual a um quarto. Portanto, não posso simplesmente me livrar do arco cosseno - que pena!
O que posso fazer é descobrir isso, então, então.
Vamos criar uma tabela: intervalo:
Bem, através de pesquisas dolorosas chegamos à decepcionante conclusão de que nossa equação tem uma raiz no intervalo indicado: \displaystyle arcos\frac(1)(4)-5\pi
Equação 3: Teste de trabalho independente.
Uma equação de aparência assustadora. No entanto, pode ser resolvido simplesmente aplicando a fórmula do seno de ângulo duplo:
Vamos reduzir em 2:
Vamos agrupar o primeiro termo com o segundo e o terceiro com o quarto e retirar os fatores comuns:
É claro que a primeira equação não tem raízes, e agora vamos considerar a segunda:
Em geral eu ia me alongar um pouco mais tarde na resolução dessas equações, mas como apareceu não tem o que fazer, tenho que resolver...
Equações da forma:
Esta equação é resolvida dividindo ambos os lados por:
Assim, nossa equação tem uma única série de raízes:
Precisamos encontrar aqueles que pertencem ao intervalo: .
Vamos construir uma tabela novamente, como fiz anteriormente:
Responder: .
Equações reduzidas à forma:
Bem, agora é hora de passar para a segunda parte das equações, especialmente porque já falei sobre em que consiste a solução para equações trigonométricas de um novo tipo. Mas vale repetir que a equação tem a forma
Resolvido dividindo ambos os lados pelo cosseno:
- Resolva a equação
Indique as raízes da equação que estão acima do corte. - Resolva a equação
Indique as raízes da equação que estão entre eles.
Exemplo 1.
O primeiro é bastante simples. Mova para a direita e aplique a fórmula do cosseno de ângulo duplo:
Sim! Equação da forma: . Eu divido ambas as partes por
Fazemos triagem de raiz:
Brecha:
Responder:
Exemplo 2.
Tudo também é bastante trivial: vamos abrir os colchetes à direita:
Identidade trigonométrica básica:
Seno de ângulo duplo:
Finalmente obtemos:
Triagem de raiz: intervalo.
Responder: .
Bom, você gostou da técnica, não é muito complicada? Espero que não. Podemos fazer uma ressalva imediatamente: em sua forma pura, equações que se reduzem imediatamente a uma equação para a tangente são bastante raras. Normalmente, esta transição (divisão por cosseno) é apenas parte de um problema mais complexo. Aqui está um exemplo para você praticar:
- Resolva a equação
- Encontre todas as raízes desta equação que estão acima do corte.
Vamos checar:
A equação pode ser resolvida imediatamente; basta dividir ambos os lados por:
Triagem de raiz:
Responder: .
De uma forma ou de outra, ainda não encontramos equações do tipo que acabamos de examinar. No entanto, é muito cedo para encerrarmos o dia: ainda há mais uma “camada” de equações que não analisamos. Então:
Resolvendo equações trigonométricas alterando variáveis
Tudo é transparente aqui: olhamos atentamente a equação, simplificamos ao máximo, fazemos uma substituição, resolvemos, fazemos uma substituição inversa! Em palavras, tudo é muito fácil. Vamos ver em ação:
Exemplo.
- Resolva a equação: .
- Encontre todas as raízes desta equação que estão acima do corte.
Bem, aqui a própria substituição se sugere para nós!
Então nossa equação ficará assim:
A primeira equação tem raízes:
E o segundo é assim:
Agora vamos encontrar as raízes pertencentes ao intervalo
Responder: .
Vejamos juntos um exemplo um pouco mais complexo:
- Resolva a equação
- Indique as raízes da equação dada, situadas acima e entre elas.
Aqui a substituição não é imediatamente visível e, além disso, não é muito óbvia. Vamos primeiro pensar: o que podemos fazer?
Podemos, por exemplo, imaginar
E ao mesmo tempo
Então minha equação assumirá a forma:
E agora atenção, foco:
Vamos dividir ambos os lados da equação por:
De repente, você e eu temos uma equação quadrática relativa! Vamos fazer uma substituição, então obtemos:
A equação tem as seguintes raízes:
Segunda série de raízes desagradável, mas nada pode ser feito! Selecionamos raízes no intervalo.
Também precisamos considerar que
Desde e, então
Responder:
Para reforçar isso antes de resolver os problemas sozinho, aqui está outro exercício para você:
- Resolva a equação
- Encontre todas as raízes desta equação que estão entre elas.
Aqui é preciso ficar de olhos abertos: agora temos denominadores que podem ser zero! Portanto, é preciso estar especialmente atento às raízes!
Primeiro de tudo, preciso reorganizar a equação para poder fazer uma substituição adequada. Não consigo pensar em nada melhor agora do que reescrever a tangente em termos de seno e cosseno:
Agora passarei de cosseno para seno usando a identidade trigonométrica básica:
E, finalmente, vou trazer tudo para um denominador comum:
Agora posso passar para a equação:
Mas em (isto é, em).
Agora tudo está pronto para substituição:
Então ou
No entanto, observe que se, então ao mesmo tempo!
Quem sofre com isso? O problema da tangente é que ela não é definida quando o cosseno é igual a zero (ocorre divisão por zero).
Assim, as raízes da equação são:
Agora peneiramos as raízes no intervalo:
| - encaixa | |
| - exagero |
Assim, nossa equação tem uma única raiz no intervalo e é igual.
Veja bem: o aparecimento de um denominador (assim como a tangente, leva a certas dificuldades com as raízes! Aqui é preciso ter mais cuidado!).
Bem, você e eu quase terminamos de analisar as equações trigonométricas, resta muito pouco - para resolver dois problemas sozinhos. Aqui estão eles.
- Resolva a equação
Encontre todas as raízes desta equação que estão acima do corte. - Resolva a equação
Indique as raízes desta equação, localizadas acima do corte.
Decidido? Não é muito difícil? Vamos checar:
- Trabalhamos de acordo com as fórmulas de redução:
Substitua na equação:
Vamos reescrever tudo através de cossenos para facilitar a substituição:
Agora é fácil fazer uma substituição:
É claro que se trata de uma raiz estranha, pois a equação não tem solução. Então:
Estamos procurando as raízes que precisamos no intervalo
Responder: .
Aqui a substituição é imediatamente visível:Então ou
- encaixa! - encaixa! - encaixa! - encaixa! - um monte de! - também muito! Responder:
Bem, é isso agora! Mas a resolução de equações trigonométricas não termina aí; ficamos para trás nos casos mais difíceis: quando as equações contêm irracionalidade ou vários tipos de “denominadores complexos”. Veremos como resolver essas tarefas em um artigo de nível avançado.
NÍVEL AVANÇADO
Além das equações trigonométricas discutidas nos dois artigos anteriores, consideraremos outra classe de equações que requerem uma análise ainda mais cuidadosa. Esses exemplos trigonométricos contêm irracionalidade ou um denominador, o que torna sua análise mais difícil. No entanto, você pode encontrar essas equações na Parte C da prova. No entanto, toda nuvem tem uma fresta de esperança: para tais equações, via de regra, a questão de qual de suas raízes pertence a um determinado intervalo não é mais levantada. Não vamos fazer rodeios, mas vamos direto aos exemplos trigonométricos.
Exemplo 1.
Resolva a equação e encontre as raízes que pertencem ao segmento.
Solução:
Temos um denominador que não deve ser igual a zero! Então resolver esta equação é o mesmo que resolver o sistema
Vamos resolver cada uma das equações:
E agora o segundo:
Agora vamos dar uma olhada na série:
É claro que esta opção não nos convém, pois neste caso nosso denominador é zerado (veja a fórmula das raízes da segunda equação)
Se, então tudo está em ordem e o denominador não é zero! Então as raízes da equação são as seguintes: , .
Agora selecionamos as raízes pertencentes ao intervalo.
| - não apropriado | - encaixa | |
| - encaixa | - encaixa | |
| exagero | exagero |
Então as raízes são as seguintes:
Veja, mesmo o aparecimento de uma pequena perturbação na forma do denominador afetou significativamente a solução da equação: descartamos uma série de raízes que anulavam o denominador. As coisas podem ficar ainda mais complicadas se você encontrar exemplos trigonométricos irracionais.
Exemplo 2.
Resolva a equação:
Solução:
Bem, pelo menos você não precisa tirar as raízes, e isso é bom! Vamos primeiro resolver a equação, independentemente da irracionalidade:
Então, isso é tudo? Não, infelizmente, seria muito fácil! Devemos lembrar que apenas números não negativos podem aparecer na raiz. Então:
A solução para esta desigualdade é:
Agora resta descobrir se parte das raízes da primeira equação acabou inadvertidamente onde a desigualdade não é válida.
Para fazer isso, você pode usar novamente a tabela:
| : , Mas | Não! | |
| Sim! | ||
| Sim! |
Assim, uma das minhas raízes “caiu”! Acontece que se você colocá-lo de lado. Então a resposta pode ser escrita da seguinte forma:
Responder:
Veja bem, a raiz requer ainda mais atenção! Vamos complicar ainda mais: vamos agora ter uma função trigonométrica na minha raiz.
Exemplo 3.
Como antes: primeiro resolveremos cada um separadamente e depois pensaremos no que fizemos.
Agora a segunda equação:
Agora o mais difícil é descobrir se valores negativos são obtidos na raiz aritmética se substituirmos ali as raízes da primeira equação:
O número deve ser entendido como radianos. Como um radiano tem aproximadamente graus, então os radianos são da ordem de graus. Este é o canto do segundo quarto. Qual é o sinal do cosseno do segundo trimestre? Menos. E quanto ao seno? Mais. Então, o que podemos dizer sobre a expressão:
É menos que zero!
Isso significa que não é a raiz da equação.
Agora é a hora.
Vamos comparar esse número com zero.
A cotangente é uma função decrescente em 1 quarto (quanto menor o argumento, maior a cotangente). radianos são aproximadamente graus. Ao mesmo tempo
desde então e portanto
,
Responder: .
Poderia ficar mais complicado? Por favor! Será mais difícil se a raiz ainda for uma função trigonométrica e a segunda parte da equação for novamente uma função trigonométrica.
Quanto mais exemplos trigonométricos melhor, veja abaixo:
Exemplo 4.
A raiz não é adequada devido ao cosseno limitado
Agora o segundo:
Ao mesmo tempo, por definição de raiz:
Precisamos de nos lembrar do círculo unitário: nomeadamente, aqueles trimestres onde o seno é menor que zero. O que são esses trimestres? Terceiro e quarto. Então estaremos interessados nas soluções da primeira equação que estão no terceiro ou quarto trimestre.
A primeira série dá raízes situadas na intersecção do terceiro e quarto trimestres. A segunda série - diametralmente oposta a ela - dá origem a raízes situadas na fronteira do primeiro e do segundo trimestres. Portanto, esta série não é adequada para nós.
Responder: ,
E de novo exemplos trigonométricos com "irracionalidade difícil". Não só temos a função trigonométrica novamente sob a raiz, mas agora ela também está no denominador!
Exemplo 5.
Bem, nada pode ser feito - fazemos como antes.
Agora trabalhamos com o denominador:
Não quero resolver a desigualdade trigonométrica, então farei algo astuto: pegarei e substituirei minha série de raízes na desigualdade:
Se - for par, então temos:
já que todos os ângulos de visão estão no quarto quarto. E novamente a sagrada questão: qual é o sinal do seno no quarto trimestre? Negativo. Então a desigualdade
Se -ímpar, então:
Em que quarto está o ângulo? Este é o canto do segundo quarto. Então todos os cantos são novamente os cantos do segundo quarto. O seno ali é positivo. Exatamente o que você precisa! Então a série:
Encaixa!
Lidamos com a segunda série de raízes da mesma maneira:
Substituímos em nossa desigualdade:
Se - mesmo, então
Cantos do primeiro quarto. O seno é positivo, o que significa que a série é adequada. Agora, se - estranho, então:
cabe também!
Bem, agora anotamos a resposta!
Responder:
Bem, este foi talvez o caso mais trabalhoso. Agora ofereço problemas para você resolver sozinho.
Treinamento
- Resolva e encontre todas as raízes da equação que pertencem ao segmento.
Soluções:
Primeira equação:
ou
ODZ da raiz:Segunda equação:
Seleção de raízes que pertencem ao intervalo
Responder:
Ou
ou
Mas
Vamos considerar: . Se - mesmo, então
- não cabe!
Se - estranho, : - adequado!
Isso significa que nossa equação tem a seguinte série de raízes:
ou
Seleção de raízes no intervalo:
| - não apropriado | - encaixa | |
| - encaixa | - um monte de | |
| - encaixa | um monte de |
Responder: , .
Ou
Desde então a tangente não está definida. Descartamos imediatamente esta série de raízes!
Segunda parte:
Ao mesmo tempo, de acordo com DZ, é necessário que
Verificamos as raízes encontradas na primeira equação:
Se o sinal:
Ângulos do primeiro quarto onde a tangente é positiva. Não cabe!
Se o sinal:
Canto do quarto quarto. Aí a tangente é negativa. Encaixa. Anotamos a resposta:
Responder: , .
Vimos exemplos trigonométricos complexos juntos neste artigo, mas você mesmo deve resolver as equações.
RESUMO E FÓRMULAS BÁSICAS
Uma equação trigonométrica é uma equação em que a incógnita está estritamente sob o sinal da função trigonométrica.
Existem duas maneiras de resolver equações trigonométricas:
A primeira maneira é usando fórmulas.
A segunda maneira é através do círculo trigonométrico.
Permite medir ângulos, encontrar seus senos, cossenos, etc.
