Processo de onda. Equação de onda

Uma onda é o processo de propagação de uma oscilação (ou algum outro sinal) no espaço.

Imaginemos, por exemplo, que em todos os pontos do plano YOZ alguns parâmetros físicos mudam no tempo de acordo com uma lei harmônica

Deixe as oscilações deste parâmetro abstrato se propagarem ao longo do eixo BOI com velocidade v(Fig. 13.1.). Então no plano com coordenada x as vibrações iniciais se repetirão novamente, mas com um atraso de segundos:

Arroz. 13.1.

A função (13.1) é chamada de equação de onda plana. Esta importante função é frequentemente escrita nesta forma

Aqui: E 0 e w - amplitude e frequência das oscilações na onda,

(c t – kx+ - fase de onda,

a - fase inicial,

Número da onda,

v- velocidade de propagação das ondas.

O conjunto de todos os pontos no espaço nos quais ocorrem oscilações na mesma fase determina superfície de fase. No nosso exemplo, este é um avião.

(c t – kx+ = F = const - equação de movimento da superfície da fase durante a propagação da onda. Vamos calcular a derivada desta equação em relação ao tempo:

c - k= 0.

Aqui = v f - velocidade de movimento da superfície da fase - velocidade de fase.

= v f = .

Assim, a velocidade da fase é igual à velocidade de propagação da onda.

A superfície de fase que separa o espaço coberto pelo processo ondulatório da parte onde a onda ainda não atingiu é chamada de frente de onda. A frente de onda, como uma das superfícies de fase, também se move com velocidade de fase. Esta velocidade, por exemplo, de uma onda acústica no ar é 330 m/s, e de uma onda leve (eletromagnética) no vácuo é 3×10 8 m/s.

Equação de onda E = E 0 ×cos(w t – kx+ j) representa a solução equação de onda diferencial. Para encontrar esta equação diferencial, diferenciamos a equação de onda (13.2) duas vezes em relação ao tempo e depois duas vezes em relação à coordenada:

Comparando essas duas expressões, descobrimos que

Mas o número da onda k= , portanto

. (13.3)

Esta é a equação diferencial do processo ondulatório - equação de onda.

Notemos mais uma vez que equação de onda(13.2) existe uma solução equação de onda (13.3).

A equação de onda pode, é claro, ser escrita assim:

Agora é óbvio que na equação da onda o coeficiente da segunda derivada em relação à coordenada é igual ao quadrado da velocidade de fase da onda.

Se, resolvendo o problema do movimento, obtivermos uma equação diferencial do tipo

então isso significa que o movimento em estudo é oscilações amortecidas naturais…

Se, ao resolver um problema regular, surgir uma equação diferencial

então isso significa que está sendo investigado processo de onda, e a velocidade de propagação desta onda.

Instruções de segurança

Ao realizar trabalho de laboratório

No interior dos instrumentos de medição elétrica utilizados na obra existe uma tensão alternada de rede de 220 V, 50 Hz, o que representa perigo de vida.

Os locais mais perigosos são o interruptor de alimentação, os soquetes dos fusíveis, o cabo de alimentação dos dispositivos e os fios de conexão energizados.

Os alunos que tenham recebido formação sobre medidas de segurança na realização de trabalhos laboratoriais estão autorizados a realizar trabalhos laboratoriais em laboratório de formação com registo obrigatório no diário de protocolos para teste de conhecimentos sobre medidas de segurança na realização de trabalhos laboratoriais.

Antes dos alunos realizarem o trabalho de laboratório
necessário:

Conhecer a metodologia de realização dos trabalhos laboratoriais, as regras para a sua execução segura;

Familiarize-se com a configuração experimental; conhecer métodos e técnicas seguras de manuseio de instrumentos e equipamentos na execução deste trabalho laboratorial;

Verifique a qualidade dos cabos de alimentação; certifique-se de que todas as partes energizadas dos dispositivos estejam fechadas e inacessíveis ao toque;

Verifique a confiabilidade da conexão dos terminais do corpo do dispositivo com o barramento de aterramento;

Caso seja detectada alguma avaria, comunicar imediatamente ao professor ou engenheiro;

Obtenha autorização do professor para realizá-lo, confirmando assim que você domina o material teórico. Não é permitido o aluno que não tenha recebido autorização para realizar trabalhos laboratoriais.

Os dispositivos são ligados por um professor ou engenheiro. Somente depois de estar convencido da facilidade de manutenção dos instrumentos e da exatidão de sua montagem é que ele poderá começar a realizar trabalhos de laboratório.

Na realização de trabalhos laboratoriais os alunos deverão:

Não deixe dispositivos ligados sem supervisão;

Não se aproxime deles, não passe nenhum objeto por eles nem se apoie neles;

Ao trabalhar com pesos, fixe-os firmemente nos eixos com parafusos de montagem.

a substituição de qualquer elemento da instalação, conexão ou desconexão de conexões destacáveis deve ser realizada somente com a alimentação desligada e sob estrita supervisão de um professor ou engenheiro.

Relate quaisquer deficiências descobertas durante o trabalho de laboratório ao professor ou engenheiro.

Ao final da obra, os equipamentos e aparelhos são desconectados da rede elétrica por um professor ou engenheiro.

Trabalho de laboratório nº 5

DETERMINANDO A VELOCIDADE DO SOM NO AR PELO MÉTODO DE ONDA ESTÁTICA

Objetivo do trabalho:

familiarizar-se com as principais características dos processos ondulatórios;

estudar as condições de formação e características de uma onda estacionária.

Objetivos do Trabalho

determinar a velocidade do som no ar usando o método das ondas estacionárias;

Determine a razão entre a capacidade térmica isobárica e isocórica do ar.

O conceito de ondas.

Um corpo que realiza vibrações mecânicas transfere calor para o meio ambiente devido a forças de atrito ou resistência, o que potencializa o movimento aleatório das partículas do meio ambiente. Porém, em muitos casos, devido à energia do sistema oscilatório, ocorre um movimento ordenado das partículas vizinhas do ambiente - elas passam a realizar oscilações forçadas em relação à sua posição inicial sob a influência de forças elásticas que conectam as partículas entre si. O volume do espaço em que essas vibrações ocorrem aumenta com o tempo. Tal o processo de propagação de vibrações em um meio é denominado movimento ondulatório ou simplesmente onda.
No caso geral, a presença de propriedades elásticas em um meio não é necessária para que as ondas se propaguem nele. Por exemplo, as ondas eletromagnéticas e gravitacionais também se propagam no vácuo. Portanto, em física, ondas são chamadas de quaisquer perturbações no estado da matéria ou campo que se propagam no espaço. A perturbação é entendida como o desvio das quantidades físicas de seus estados de equilíbrio.

Nos sólidos, uma perturbação é entendida como uma deformação que muda periodicamente, gerada pela ação de uma força periódica e que faz com que as partículas do meio se desviem da posição de equilíbrio - suas oscilações forçadas. Ao considerar os processos de propagação de ondas em corpos, geralmente abstraímos da estrutura molecular desses corpos e consideramos os corpos como um meio contínuo, continuamente distribuído no espaço. Uma partícula de um meio que realiza vibrações forçadas é entendida como um pequeno elemento do volume do meio, cujas dimensões são muitas vezes maiores que as distâncias intermoleculares. Devido à ação de forças elásticas, a deformação se propagará no meio a uma determinada velocidade, chamada velocidade da onda.

É importante notar que as partículas do meio não são levadas pela onda em movimento. A velocidade de seu movimento oscilatório difere da velocidade da onda. A trajetória das partículas é uma curva fechada e seu desvio total ao longo do período é zero. Portanto, a propagação das ondas não provoca a transferência de matéria, embora a energia seja transferida da fonte de vibrações para o espaço circundante.

Dependendo da direção em que as partículas oscilam, falam de ondas de polarização longitudinal ou transversal.

As ondas são chamadas longitudinais se o deslocamento das partículas do meio ocorre ao longo da direção de propagação da onda (por exemplo, durante a compressão elástica periódica ou alongamento de uma haste fina ao longo de seu eixo). As ondas longitudinais se propagam em meios nos quais surgem forças elásticas durante a compressão ou tensão (isto é, sólido, líquido e gasoso).

Se as partículas oscilam em uma direção perpendicular à direção de propagação da onda, então as ondas são chamadas transversais. Eles se propagam apenas em ambientes onde a deformação por cisalhamento é possível (somente sólidos). Além disso, as ondas de cisalhamento se propagam na superfície livre de um líquido (por exemplo, ondas na superfície da água) ou na interface entre dois líquidos imiscíveis (por exemplo, na interface de água doce e salgada).

Em um ambiente gasoso, as ondas são regiões alternadas de maior e menor pressão e densidade. Eles surgem como resultado de oscilações forçadas de partículas de gás que ocorrem com diferentes fases em diferentes pontos. Sob a influência da mudança de pressão, o tímpano do ouvido emite vibrações forçadas, que, por meio do sistema complexo único do aparelho auditivo, fazem com que biocorrentes fluam para o cérebro.

Equação de onda plana. Velocidade de fase

Superfície da ondaé o lugar geométrico dos pontos oscilando na mesma fase. Nos casos mais simples, eles têm a forma de um plano ou esfera, e a onda correspondente é chamada de plana ou esférica. Frente de ondaé o lugar geométrico dos pontos aos quais as vibrações atingem em um determinado momento. A frente de onda separa as regiões do espaço já envolvidas no processo de onda e aquelas que ainda não estão envolvidas. Há um número infinito de superfícies de onda e elas são imóveis, mas há apenas uma frente de onda e ela se move ao longo do tempo.

Consideremos uma onda plana que se propaga ao longo do eixo x. Deixe as partículas do meio que estão no plano x= 0 , comece no momento t=0 para oscilar de acordo com a lei harmônica relativa à posição de equilíbrio inicial. Isto significa que o deslocamento das partículas da sua posição original f muda ao longo do tempo de acordo com a lei do seno ou cosseno, por exemplo:

Onde f- deslocamento dessas partículas de sua posição inicial de equilíbrio no momento t, A-valor máximo de deslocamento (amplitude); ω - frequência cíclica.

Desprezando o amortecimento no meio, obtemos a equação de vibração das partículas localizadas em um plano correspondente a um valor arbitrário x>0). Deixe a onda se propagar na direção da coordenada crescente X. Para pegar um caminho do avião x=0 para o plano especificado, a onda leva tempo

Onde v-velocidade de movimento da superfície de fase constante (velocidade de fase).

Portanto, as vibrações das partículas situadas no plano X, começará no momento t = τ e ocorrerá de acordo com a mesma lei que no plano x=0, mas com um atraso de tempo da quantidade τ , a saber:

(3)

Em outras palavras, o deslocamento das partículas que estavam no momento t=0 no plano x, no momento t será o mesmo que no avião X=0, mas em um momento anterior

t 1= (4)

Levando em consideração (4), a expressão (3) é transformada:

(5)

A equação (5) é a equação de uma onda viajante plana que se propaga ao longo da direção positiva do eixo X. A partir dele você pode determinar o desvio das partículas do meio do equilíbrio em qualquer ponto do espaço com a coordenada X e a qualquer momento t quando a onda especificada se propaga. A equação (5) corresponde ao caso em que as partículas receberam uma velocidade inicial no momento inicial. Se, no momento inicial, as partículas se desviam da posição de equilíbrio sem transmitir velocidade, em (5) em vez do seno deve-se colocar um cosseno. O argumento do cosseno ou seno é chamado de fase da oscilação. A fase determina o estado do processo oscilatório em um determinado momento (o sinal e o valor absoluto do desvio relativo das partículas de sua posição de equilíbrio). De (5) fica claro que a fase de oscilações das partículas localizadas no plano X, menor que o valor correspondente para partículas localizadas no plano X=0, por um valor igual a .

Se uma onda plana se propaga em uma direção decrescente X(para a esquerda), então a equação (5) é transformada na forma:

(6)

Considerando que

Vamos escrever (6) na forma:

(8)

Onde T- período de oscilação, ν - frequência.

A distância λ sobre a qual a onda se propaga durante um período T, é chamado de comprimento de onda.

Você também pode definir o comprimento de onda como a distância entre dois pontos mais próximos, cujas fases de oscilação diferem em 2π (Fig. 1).

Conforme observado acima, as ondas elásticas nos gases são regiões alternadas de pressão e densidade mais altas e mais baixas. Isto é ilustrado na Figura 1, que mostra, durante um determinado momento, o deslocamento das partículas (a), sua velocidade (b), pressão ou densidade (c) em vários pontos do espaço. Partículas do meio se movem em velocidade (não deve ser confundido com velocidade de fase v). À esquerda e à direita dos pontos Um 1, Um 3, Um 5 e outras velocidades de partículas são direcionadas para esses pontos. Portanto, os máximos de densidade (pressão) são formados nesses pontos. À direita e à esquerda dos pontos Um 2, Um 4, Um 6 e outras velocidades de partículas são direcionadas a partir desses pontos e mínimos de densidade (pressão) são formados neles.

O deslocamento de partículas de um meio durante a propagação de uma onda viajante nele em vários momentos é mostrado na Fig. 2. Como você pode ver, existe uma analogia com as ondas na superfície de um líquido. Os máximos e mínimos dos desvios da posição de equilíbrio se movem no espaço ao longo do tempo com velocidade de fase v. Os máximos e mínimos de densidade (pressão) movem-se na mesma velocidade.

A velocidade de fase da onda depende das propriedades elásticas e da densidade do meio. Suponhamos que exista uma longa haste elástica (Fig. 3) com área de seção transversal igual a S, em que uma perturbação longitudinal se propaga ao longo do eixo X com uma frente de onda plana Deixe por um período de tempo de t 0 antes t 0+Δt a frente se moverá do ponto A ao ponto EMà distância AB = vΔt, Onde v– velocidade de fase da onda elástica. Duração da lacuna Δt Vamos considerá-lo tão pequeno que a velocidade do movimento das partículas ao longo de todo o volume (ou seja, entre seções perpendiculares ao eixo X através de pontos A E EM) será o mesmo e igual você. Partículas de um ponto A em um período de tempo especificado irá percorrer uma distância você não. Partículas localizadas em um ponto EM, no momento t 0+Δt apenas começarão a se mover e seu movimento neste momento será igual a zero. Deixe o comprimento inicial da seção AB igual a eu. Até o momento t 0+Δt vai mudar pela quantidade você não, que será a magnitude da deformação Δl. Massa da seção da haste entre os pontos A E EM igual a Δm =ρSvΔt. A mudança no momento desta massa durante um período de tempo de t 0 antes t 0+Δté igual a

Δр = ρSvuΔt(10).

Força agindo sobre a massa Δm, pode ser determinado pela lei de Hooke:

De acordo com a segunda lei de Newton, ou. Igualar

Tomando os lados direitos da última expressão e da expressão (10), obtemos:

do qual segue:

Velocidade da onda de cisalhamento

Onde G- módulo de cisalhamento.

As ondas sonoras no ar são longitudinais. Para líquidos e gases, em vez do módulo de Young, a fórmula (1) inclui a razão de desvio de pressão ΔΡ para mudança relativa de volume

(13)

O sinal negativo significa que um aumento de pressão (processo de compressão do meio) corresponde a uma diminuição de volume e vice-versa. Supondo que as mudanças no volume e na pressão sejam infinitesimais, podemos escrever

(14)

Quando as ondas se propagam em gases, a pressão e a densidade aumentam e diminuem periodicamente (com compressão e rarefação, respectivamente), resultando em uma mudança na temperatura de diferentes partes do meio. A compressão e a rarefação ocorrem tão rapidamente que as áreas adjacentes não têm tempo para trocar energia. Os processos que ocorrem em um sistema sem troca de calor com o meio ambiente são chamados de adiabáticos. Num processo adiabático, a mudança no estado do gás é descrita pela equação de Poisson

(15)

O parâmetro γ é chamado de expoente adiabático. É igual à razão entre as capacidades térmicas molares do gás a pressão constante C p e volume constante C v:

Tomando o diferencial de ambos os lados da igualdade (15), obtemos

do qual segue:

Substituindo (6) em (4), obtemos para o módulo de elasticidade do gás

Substituindo (7) em (1), encontramos a velocidade das ondas elásticas nos gases:

Da equação de Mendeleev-Clapeyron podemos expressar a densidade de um gás

, (19)

Onde - massa molar.

Substituindo (9) em (8), obtemos a fórmula final para encontrar a velocidade do som em um gás:

Onde R- constante universal do gás, T- temperatura do gás.

Medir a velocidade do som é um dos métodos mais precisos para determinar o índice adiabático.

Transformando a fórmula (10), obtemos:

Assim, para determinar o índice adiabático, basta medir a temperatura do gás e a velocidade do som.

No futuro, será mais conveniente usar o cosseno na equação de onda. Levando em consideração (19 e 20), a equação da onda viajante pode ser representada como:

(22)

onde está o número da onda, mostrando quantos comprimentos de onda cabem a uma distância de 2π metros.

Para uma onda viajante que se propaga contra a direção positiva do eixo x, obtemos:

(23)

As ondas harmônicas desempenham um papel especial (ver, por exemplo, as equações (5, 6, 22, 23)). Isto se deve ao fato de que qualquer oscilação de propagação, qualquer que seja sua forma, pode sempre ser considerada como o resultado de uma superposição (adição) de ondas harmônicas com frequências, amplitudes e fases correspondentemente selecionadas.

Ondas estacionárias.

De particular interesse é o resultado da interferência de duas ondas com a mesma amplitude e frequência propagando-se uma em direção à outra. Isso pode ser feito experimentalmente se uma barreira bem refletiva for colocada no caminho da onda viajante perpendicular à direção de propagação. Como resultado da adição (interferência) das ondas incidentes e refletidas, surgirá a chamada onda estacionária.

Deixe a onda incidente ser descrita pela equação (22), e a onda refletida – pela equação (23). De acordo com o princípio da superposição, o deslocamento total é igual à soma dos deslocamentos criados por ambas as ondas. Adicionar as expressões (22) e (23) dá

Esta equação, chamada equação da onda estacionária, pode ser convenientemente analisada na forma:

, (25)

onde está o multiplicador

(26)

é a amplitude da onda estacionária. Como pode ser visto na expressão (26), a amplitude de uma onda estacionária depende da coordenada do ponto, mas não depende do tempo. Para uma onda plana viajante, a amplitude não depende nem da coordenada nem do tempo (na ausência de atenuação).

De (27) e (28) segue-se que a distância entre nós vizinhos, bem como a distância entre antinodos vizinhos, é igual a, e a distância entre nós vizinhos e um antinodo é igual a.

Da equação (25) segue-se que todos os pontos do meio localizados entre dois nós vizinhos oscilam na mesma fase, e o valor da fase é determinado apenas pelo tempo. Em particular, atingem o desvio máximo no mesmo momento. Para uma onda viajante, como segue em (16), a fase é determinada pelas coordenadas espaciais e temporais. Esta é outra diferença entre ondas estacionárias e ondas viajantes. Ao passar por um nó, a fase da onda estacionária muda abruptamente em 180 o.

O deslocamento da posição de equilíbrio durante vários momentos de tempo em uma onda estacionária é mostrado na Fig. 4. O momento inicial é considerado o momento em que as partículas do meio são desviadas ao máximo da posição de equilíbrio inicial (curva 1).

E , representado pelas curvas 6, 7, 8 e 9, coincidem com os desvios nos momentos correspondentes do primeiro semiciclo (ou seja, a curva 6 coincide com a curva 4, etc.). Como pode ser visto, a partir do momento em que o deslocamento da partícula muda novamente de sinal.

Quando as ondas são refletidas na fronteira de dois meios, aparece um nó ou um antinodo (dependendo da chamada resistência acústica do meio). A resistência acústica de um meio é a quantidade onde. – densidade do meio, – velocidade das ondas elásticas no meio. Se o meio a partir do qual a onda é refletida tiver uma resistência acústica maior do que aquele em que esta onda é excitada, então um nó é formado na interface (Fig. 5). Neste caso, a fase da onda após a reflexão muda para o oposto (em 180°). Quando uma onda é refletida em um meio com menor resistência acústica, a fase das oscilações não muda.

Ao contrário de uma onda progressiva, que transfere energia, não há transferência de energia numa onda estacionária. Uma onda progressiva pode se mover para a direita ou para a esquerda, mas uma onda estacionária não tem direção de propagação. O termo "onda estacionária" deve ser entendido como um estado oscilatório especial do meio formado por ondas interferentes.

No momento em que as partículas do meio passam pela posição de equilíbrio, a energia total das partículas capturadas pela vibração é igual à energia cinética. Está concentrado nas proximidades dos antinodos. Pelo contrário, no momento em que o desvio das partículas da posição de equilíbrio é máximo, a sua energia total já é potencial. Está concentrado perto dos nós. Assim, duas vezes por período, a energia é transferida dos antinodos para os nós vizinhos e vice-versa. Como resultado, o fluxo de energia médio no tempo em qualquer seção de uma onda estacionária é zero.

Como um manuscrito

Física

Notas de aula

(Parte 5. Ondas, óptica de ondas)

Para estudantes direção 230400

"Sistemas e tecnologias de informação"

Recurso educacional eletrônico

Compilado por: Ph.D., Professor Associado V.V. Konovalenko

Protocolo nº 1 de 04/09/2013

Processos de onda

Conceitos e definições básicas

Consideremos algum meio elástico - sólido, líquido ou gasoso. Se as vibrações de suas partículas forem excitadas em qualquer local deste meio, então devido à interação entre as partículas, as vibrações, transmitidas de uma partícula do meio para outra, se propagarão através do meio a uma determinada velocidade. Processo propagação de vibrações no espaço é chamada aceno .

Se as partículas em um meio oscilam na direção de propagação da onda, então isso é chamado longitudinal Se as oscilações das partículas ocorrem em um plano perpendicular à direção de propagação da onda, então a onda é chamada transversal . Ondas mecânicas transversais só podem surgir em um meio com módulo de cisalhamento diferente de zero. Portanto, eles podem se espalhar em meios líquidos e gasosos apenas ondas longitudinais . A diferença entre ondas longitudinais e transversais é vista mais claramente no exemplo da propagação de vibrações em uma mola - veja a figura.

Para caracterizar as vibrações transversais, é necessário definir a posição no espaço plano que passa pela direção de oscilação e pela direção de propagação da onda - plano de polarização .

A região do espaço em que todas as partículas do meio vibram é chamada campo de onda . A fronteira entre o campo de onda e o resto do meio é chamada frente de onda . Em outras palavras, frente de onda - a localização geométrica dos pontos aos quais as oscilações atingiram em um determinado momento. Em um meio homogêneo e isotrópico, a direção de propagação das ondas é perpendicular para a frente de onda.

Enquanto existe uma onda no meio, as partículas do meio oscilam em torno de suas posições de equilíbrio. Sejam essas oscilações harmônicas, e o período dessas oscilações é T. Partículas separadas por uma distância

ao longo da direção de propagação das ondas, oscilam da mesma maneira, ou seja, em qualquer momento, seus deslocamentos são os mesmos. A distância é chamada Comprimento de onda . Em outras palavras, Comprimento de onda é a distância que uma onda percorre em um período de oscilação .

A localização geométrica dos pontos que oscilam na mesma fase é chamada superfície da onda . Uma frente de onda é um caso especial de superfície de onda. Comprimento de onda - mínimo a distância entre duas superfícies de onda nas quais os pontos vibram da mesma maneira, ou podemos dizer que as fases de suas oscilações diferem por .

Se as superfícies das ondas são planas, então a onda é chamada plano , e se por esferas, então esférico. Uma onda plana é excitada em um meio contínuo homogêneo e isotrópico quando um plano infinito oscila. A excitação de uma superfície esférica pode ser representada como resultado das pulsações radiais de uma superfície esférica, bem como como resultado da ação ponto de origem, cujas dimensões podem ser desprezadas em comparação com a distância ao ponto de observação. Como qualquer fonte real tem dimensões finitas, a uma distância suficientemente grande dela a onda será quase esférica. Ao mesmo tempo, a seção da superfície da onda de uma onda esférica, à medida que seu tamanho diminui, torna-se arbitrariamente próxima da seção da superfície da onda de uma onda plana.

Equação de uma propagação de onda plana

Em qualquer direção

Nós vamos conseguir. Deixe as oscilações em um plano paralelo às superfícies das ondas e passando pela origem das coordenadas terem a forma:

Num plano espaçado da origem por uma distância eu, as oscilações terão um atraso de tempo de . Portanto, a equação das oscilações neste plano tem a forma:

Da geometria analítica sabe-se que a distância da origem a um determinado plano é igual ao produto escalar do vetor raio de um determinado ponto do plano e do vetor unitário normal ao plano: . A figura ilustra esta situação para um caso bidimensional. Vamos substituir o valor eu na equação (22.13):

(22.14)

Um vetor igual em magnitude ao número da onda e direcionado normal à superfície da onda é chamado vetor de onda . A equação da onda plana agora pode ser escrita como:

A função (22.15) fornece o desvio da posição de equilíbrio de um ponto com um vetor raio no momento t. Para representar explicitamente a dependência das coordenadas e do tempo, é necessário levar em conta que

. (22.16)

Agora a equação da onda plana assume a forma:

Muitas vezes considerado útil representar a equação da onda na forma exponencial . Para fazer isso, usamos a fórmula de Euler:

onde , escrevemos a equação (22.15) na forma:

. (22.19)

Equação de onda

A equação de qualquer onda é uma solução para uma equação diferencial de segunda ordem chamada aceno . Para estabelecer a forma desta equação, encontramos as segundas derivadas em relação a cada um dos argumentos da equação de onda plana (22.17):

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

Vamos adicionar as três primeiras equações com derivadas em relação às coordenadas:

. (22.24)

Vamos expressar a partir da equação (22.23): , e leve em consideração que:

(22.25)

Apresentamos a soma das segundas derivadas do lado esquerdo de (22.25) como resultado da ação do operador Laplace sobre , e na forma final apresentamos equação de onda como:

(22.26)

Vale ressaltar que na equação da onda, a raiz quadrada do inverso do coeficiente da derivada do tempo dá a velocidade de propagação da onda.

Pode-se mostrar que a equação de onda (22.26) é satisfeita por qualquer função da forma:

E cada um deles é equação de onda e descreve uma certa onda.

Energia das ondas elásticas

Consideremos, em um meio no qual uma onda elástica (22.10) se propaga, um volume elementar pequeno o suficiente para que a deformação e a velocidade das partículas nele contidas possam ser consideradas constantes e iguais:

Devido à propagação das ondas no meio, o volume possui energia de deformação elástica

(22.38)

De acordo com (22.35), o módulo de Young pode ser representado como. É por isso:

. (22.39)

O volume em consideração também possui energia cinética:

. (22.40)

Energia volumétrica total:

E a densidade de energia:

, A (22.43)

Vamos substituir essas expressões em (22.42) e levar em conta que:

Por isso, a densidade de energia é diferente em diferentes pontos do espaço e muda ao longo do tempo de acordo com a lei do quadrado do seno.

O valor médio do quadrado do seno é 1/2, o que significa média ao longo do tempo, o valor da densidade de energia em cada ponto do meio , em que a onda se propaga:

. (22.45)

A expressão (22.45) é válida para todos os tipos de ondas.

Então, o meio no qual a onda se propaga possui um suprimento adicional de energia. Por isso, a onda carrega energia com ela .

X.6 Radiação dipolo

Dipolo elétrico oscilante, ou seja um dipolo, cujo momento elétrico muda periodicamente, por exemplo, de acordo com uma lei harmônica, é o sistema mais simples que emite ondas eletromagnéticas. Um exemplo importante de dipolo oscilante é um sistema que consiste em uma carga negativa que oscila perto de uma carga positiva. Esta é exatamente a situação que ocorre quando uma onda eletromagnética atua sobre um átomo de uma substância, quando, sob a influência do campo da onda, os elétrons oscilam nas proximidades do núcleo atômico.

Suponhamos que o momento dipolar mude de acordo com uma lei harmônica:

onde está o vetor raio da carga negativa, eu- amplitude de oscilação, - vetor unitário direcionado ao longo do eixo dipolo.

Limitemo-nos a considerar dipolo elementar , cujas dimensões são pequenas em comparação com o comprimento de onda emitido e considere zona de onda dipolos, ou seja, região do espaço para a qual o módulo do vetor raio de um ponto é . Na zona de onda de um meio homogêneo e isotrópico, a frente de onda será esférica – Figura 22.4.

O cálculo eletrodinâmico mostra que o vetor de onda está em um plano que passa pelo eixo dipolo e pelo vetor raio do ponto em consideração. Amplitudes e dependem da distância R e o ângulo entre e o eixo do dipolo. No vácuo

Como o vetor de Poynting é

, (22.33)

e pode-se argumentar que o dipolo irradia mais fortemente nas direções correspondentes a, e padrão de radiação dipolo tem a forma mostrada na Figura 22.5. Padrão direcional é uma representação gráfica da distribuição da intensidade da radiação em várias direções na forma de uma curva construída de modo que o comprimento de um segmento de raio traçado de um dipolo em uma determinada direção até um ponto da curva seja proporcional à intensidade da radiação.

Os cálculos também mostram que poder R a radiação dipolo é proporcional ao quadrado da segunda derivada temporal do momento dipolar :

Porque o

, (22.35)

Que potencia média

Acontece proporcional ao quadrado da amplitude do momento dipolar e quarta potência da frequência.

Por outro lado, considerando que , nós entendemos isso a potência da radiação é proporcional ao quadrado da aceleração:

Esta afirmação é verdadeira não apenas para oscilações de carga, mas também para movimentos arbitrários de carga.

Óptica de ondas

Nesta seção, consideraremos os fenômenos luminosos nos quais a natureza ondulatória da luz se manifesta. Lembremos que a luz é caracterizada pela dualidade onda-partícula e há fenômenos que só podem ser explicados com base na ideia da luz como um fluxo de partículas. Mas consideraremos esses fenômenos na óptica quântica.

Informações gerais sobre luz

Portanto, consideramos a luz uma onda eletromagnética. Em uma onda eletromagnética, e oscila. Foi estabelecido experimentalmente que os efeitos fisiológicos, fotoquímicos, fotoelétricos e outros da luz são determinados pelo vetor da onda de luz, por isso é chamada de luz. Assim, assumiremos que a onda de luz é descrita pela equação:

onde está a amplitude,

- número de onda (vetor de onda),

Distância ao longo da direção de propagação.

O plano em que ele oscila é chamado plano de oscilação. Uma onda de luz viaja com velocidade

, (2)

chamado índice de refração e caracteriza a diferença entre a velocidade da luz em um determinado meio e a velocidade da luz no vácuo (vazio).

Na maioria dos casos, as substâncias transparentes têm permeabilidade magnética, e o índice de refração quase sempre pode ser considerado determinado pela constante dielétrica do meio:

Significado n usado para caracterizar densidade óptica do meio: quanto maior n, mais opticamente denso o meio é chamado .

A luz visível tem comprimentos de onda na faixa e frequências

Os receptores de luz reais não são capazes de acompanhar esses processos fugazes e registrar fluxo de energia médio no tempo . Priorado A , intensidade da luz é o módulo do valor médio do tempo da densidade do fluxo de energia transferido por uma onda de luz :

(4)

Já que em uma onda eletromagnética

, (6)

Ι ~ ~ ~ (7)

Eu ~ A 2(8)

Raios chamaremos as linhas ao longo das quais a energia luminosa se propaga.

O vetor do fluxo médio de energia é sempre direcionado tangencialmente ao feixe. Em meio isotrópico coincide na direção com a normal às superfícies das ondas.

Na luz natural existem ondas com orientações muito diferentes do plano de vibração. Portanto, apesar da natureza transversal das ondas de luz, a radiação das fontes de luz convencionais não apresenta assimetria em relação à direção de propagação. Esta característica da luz (natural) é explicada pelo seguinte: a onda de luz resultante da fonte é composta por ondas emitidas por vários átomos. Cada átomo emite uma onda em segundos. Durante este tempo, o espaço é formado trem de ondas (uma sequência de “corcovas e vales”) com aproximadamente 3 metros de comprimento.

O plano de oscilação de cada trem é bastante definido. Mas, ao mesmo tempo, um grande número de átomos emite seus trens, e o plano de vibração de cada trem é orientado independentemente dos demais, de forma aleatória. É por isso na onda resultante do corpo oscilações em diferentes direções são representadas com igual probabilidade. Significa que, se você usar algum dispositivo para estudar a intensidade da luz com diferentes orientações vetoriais, então na luz natural a intensidade não depende da orientação .

Medir a intensidade é um processo longo comparado ao período da onda, e as ideias consideradas sobre a natureza da luz natural são convenientes ao descrever processos bastante longos.

Porém, em um determinado momento, em um ponto específico do espaço, como resultado da adição de vetores de trens individuais, forma-se um determinado vetor específico. Devido à “ligação” e “desligamento” aleatório de átomos individuais uma onda de luz excita em um determinado ponto uma oscilação próxima a uma harmônica, mas a amplitude, frequência e fase das oscilações dependem do tempo e mudam caoticamente. A orientação do plano de oscilação também muda caoticamente aaa. Assim, as oscilações do vetor de luz em um determinado ponto do meio podem ser descritas pela equação:

(9)

Além disso, e existem funções variando caoticamente no tempo ii. Esta ideia de luz natural é conveniente se forem considerados períodos de tempo comparáveis ao período de uma onda de luz.

A luz na qual as direções das oscilações dos vetores são ordenadas de alguma forma é chamada polarizado.

Se ocorrerem oscilações do vetor de luz apenas em um avião passando pelo feixe, então a luz é chamada plano - ou polarizado linearmente. Em outras palavras, na luz polarizada plana, o plano de vibração tem uma posição estritamente fixa. Outros tipos de ordenação também são possíveis, ou seja, tipos de polarização da luz.

Princípio de Huygens

Na aproximação óptica geométrica, a luz não deve penetrar na região geométrica da sombra. Na verdade, a luz penetra nesta área, e este fenómeno torna-se mais significativo quanto menores forem os obstáculos. Se as dimensões dos furos ou fendas forem comparáveis ao comprimento de onda, então a óptica geométrica não é aplicável.

Qualitativamente, o comportamento da luz atrás de um obstáculo é explicado pelo princípio de Huygens, que permite construir a frente de onda num instante a partir de uma posição conhecida num instante.

De acordo com o princípio de Huygens, cada ponto atingido pelo movimento das ondas torna-se uma fonte pontual de ondas secundárias. O envelope ao longo das frentes das ondas secundárias dá a posição da frente de onda.

Interferência de luz

Deixe em algum ponto do meio duas ondas (plano polarizado) excitar duas oscilações mesma frequência e mesma direção:

E . (24.14)

A amplitude da oscilação resultante é determinada pela expressão:

Para ondas incoerentes, muda aleatoriamente e todos os valores são igualmente prováveis. Portanto, de (24.15) segue:

6 Se as ondas são coerentes e , então

Mas isso depende: - do comprimento do caminho das fontes das ondas até um determinado ponto e diferente para diferentes pontos do ambiente. Por isso, quando ondas coerentes se sobrepõem, ocorre uma redistribuição do fluxo luminoso no espaço, como resultado a intensidade da luz aumenta em alguns pontos do meio, , e diminui em outros - . Este fenômeno é chamado interferência.

A ausência de interferências no dia a dia ao utilizar diversas fontes de luz é explicada pela sua incoerência. Átomos individuais emitem pulsos para c e o comprimento do trem é ≈ 3 metros. Para o novo trem, não apenas a orientação do plano de polarização é aleatória, mas a fase também é imprevisível.

Na realidade, ondas coerentes são obtidas dividindo a radiação de uma fonte em duas partes. Quando as peças são sobrepostas, pode-se observar interferência. Mas neste caso, a separação dos comprimentos ópticos não deve ser da ordem do comprimento do trem. Caso contrário não haverá interferência, porque vários trens são sobrepostos.

Deixe a separação ocorrer no ponto O e a superposição no ponto P. As oscilações são excitadas em P.

E (24.17)

Velocidade de propagação das ondas em meios relevantes.

Fases separadas em um ponto R:

onde está o comprimento de onda da luz no vácuo.

O valor, ou seja igual à diferença nos comprimentos do caminho óptico entre os pontos em consideração é chamado diferença de caminho óptico.

então, em (24.16) é igual à unidade, e a intensidade da luz em será máxima.

(24.20)

Que , as oscilações em um ponto ocorrem em antifase, o que significa que a intensidade da luz é mínima.

COERÊNCIA

Coerência – ocorrência coordenada de dois ou mais processos de onda. Nunca existe consistência absoluta, por isso podemos falar de vários graus de coerência.

Há coerência temporal e espacial.

Coerência temporal

Equação de Onda Real

Consideramos a interferência de ondas descritas por equações da forma:

(1)

Contudo, tais ondas são uma abstração matemática, uma vez que a onda descrita por (1) deve ser infinita no tempo e no espaço. Somente neste caso as quantidades podem ser constantes definidas.

Uma onda real, resultante da superposição de trens de vários átomos, contém componentes cujas frequências estão em uma faixa de frequência finita (respectivamente, vetores de onda em ), e A e experimentam mudanças caóticas contínuas. Oscilações excitadas em algum ponto pela sobreposição real ondas, pode ser descrita pela expressão:

E (2)

Além disso, as mudanças caóticas nas funções ao longo do tempo em (2) são independentes.

Para simplicidade de análise, assumimos que as amplitudes das ondas são constantes e idênticas (esta condição é implementada experimentalmente de forma bastante simples):

As alterações na frequência e na fase podem ser reduzidas a alterações apenas na frequência ou apenas na fase. Na verdade, vamos supor que a inarmonicidade das funções (2) se deva a saltos de fase. Mas, de acordo com o que pode ser comprovado em matemática Teorema de Fourier, qualquer função não harmônica pode ser representada como uma soma de componentes harmônicos, cujas frequências estão contidas em alguns . No caso limite, a soma se transforma em integral: qualquer função finita e integrável pode ser representada pela integral de Fourier:

, (3)

Onde é a amplitude do componente harmônico da frequência, determinado analiticamente pela relação:

(4)

Assim, uma função não harmônica devido a uma mudança de fase pode ser representada como uma superposição de componentes harmônicos com frequências em alguns.

Por outro lado, uma função com frequência e fase variáveis pode ser reduzida a uma função apenas com fase variável:

Portanto, para domar uma análise mais aprofundada, assumiremos:

ou seja, implementamos abordagem de fase ao conceito de “coerência temporal”.

Faixas de declive igual

Deixe uma placa fina paralela plana ser iluminada por luz difusa monocromático luz. Coloque uma lente coletora paralela à placa, em seu plano focal - tela. A luz espalhada contém raios de uma ampla variedade de direções. Os raios incidentes em um ângulo produzem 2 raios refletidos, que convergirão no ponto . Isto é verdade para todos os raios incidentes na superfície da placa em um determinado ângulo, em todos os pontos da placa. A lente garante que todos esses raios convirjam para um ponto, uma vez que os raios paralelos incidentes na lente em um determinado ângulo são coletados por ela em um ponto do plano focal, ou seja, na tela. No ponto O, o eixo óptico da lente cruza a tela. Neste ponto, os raios paralelos ao eixo óptico são coletados.

Os raios incidentes em um ângulo , mas não no plano do desenho, mas em outros planos, convergirão em pontos localizados à mesma distância do ponto que o ponto . Como resultado da interferência desses raios, forma-se um círculo com certa intensidade de luz incidente a uma certa distância do ponto. Os raios incidentes em um ângulo diferente formam um círculo na tela com uma iluminação diferente, que depende da diferença do caminho óptico. Como resultado, listras escuras e claras alternadas em forma de círculos são formadas na tela. Cada um dos círculos é formado por raios incidentes em um determinado ângulo e são chamados listras de inclinação igual. Essas bandas estão localizadas no infinito.

O papel da lente pode ser desempenhado pela lente, e o papel da tela pode ser desempenhado pela retina. Neste caso, o olho deve ser acomodado ao infinito. Na luz branca, são obtidas listras multicoloridas.

Listras de igual espessura

Vamos pegar um prato em forma de cunha. Deixe cair sobre ela feixe de luz paralelo. Consideremos os raios refletidos nas faces superior e inferior da placa. Se esses raios forem reunidos por uma lente em um ponto, eles interferirão. Com um pequeno ângulo entre as faces da placa, a diferença na trajetória dos raios pode ser calculada usando o formulário
le para uma placa plana paralela. Os raios formados a partir da incidência do feixe em algum outro ponto da placa serão captados pela lente naquele ponto. A diferença no curso é determinada pela espessura da placa no local correspondente. Pode-se provar que todos os pontos do tipo P estão no mesmo plano que passa pelo vértice da cunha.

Se você posicionar a tela de forma que ela fique conjugada com a superfície onde estão os pontos P, P 1 P 2, então um sistema de listras claras e escuras aparecerá nela, cada uma das quais é formada devido aos reflexos da placa em locais de uma certa espessura. Portanto, neste caso as listras são chamadas listras de igual espessura.

Quando observadas sob luz branca, as listras ficarão coloridas. Bandas de igual espessura estão localizadas próximas à superfície da placa. Com incidência normal de luz - na superfície.

Em condições reais, ao observar a coloração dos filmes de sabão e óleo, observam-se listras mistas.

Difração da luz.

27.1. Difração de luz

Difraçãochamado um conjunto de fenômenos observados em um meio com acentuadas heterogeneidades ópticas e associados a desvios na propagação da luz das leis da óptica geométrica .

Para observar a difração, uma barreira opaca é colocada ao longo do caminho de uma onda de luz de uma determinada fonte, cobrindo parte da superfície da onda emitida pela fonte. O padrão de difração resultante é observado em uma tela localizada ao longo da continuação dos raios.

Existem dois tipos de difração. Se os raios vindos da fonte e do obstáculo até o ponto de observação podem ser considerados quase paralelos, então dizem queDifração de Fraunhofer ou difração em feixes paralelos. Se as condições de difração de Fraunhofer não forem atendidas,fale sobre difração de Fresnel.

É necessário compreender claramente que não existe diferença física fundamental entre interferência e difração. Ambos os fenômenos são causados pela redistribuição de energia de ondas de luz coerentes sobrepostas. Normalmente, ao considerar um número finito fontes discretas luz, então eles falam sobre interferência . Se a superposição de ondas de fontes coerentes continuamente distribuídas no espaço então eles falam sobre difração .

27.2. Princípio Huygens-Fresnel

O princípio de Huygens permite, em princípio, explicar a penetração da luz na região de uma sombra geométrica, mas nada diz sobre a intensidade das ondas que se propagam em diferentes direções. Fresnel complementou o princípio de Huygens com uma indicação de como a intensidade da radiação de um elemento de superfície de onda em diferentes direções deveria ser calculada, bem como com uma indicação de que as ondas secundárias são coerentes, e ao calcular a intensidade da luz em um determinado ponto, é necessário levar em consideração a interferência das ondas secundárias. .

Processos de onda

Conceitos e definições básicas

Equações de ondas planas e esféricas

Equação de ondaé uma expressão que determina o deslocamento de um ponto oscilante em função das coordenadas da posição de equilíbrio do ponto e do tempo:

Se a fonte cometer periódico oscilações, então a função (22.2) deve ser uma função periódica de coordenadas e de tempo. A periodicidade no tempo decorre do fato de que a função descreve oscilações periódicas de um ponto com coordenadas; periodicidade nas coordenadas - do fato de que pontos localizados distantes ao longo da direção de propagação das ondas oscilam do mesmo jeito

Limitemo-nos a considerar ondas harmônicas, quando pontos do meio realizam oscilações harmônicas. Deve-se notar que qualquer função não harmônica pode ser representada como resultado da superposição de ondas harmônicas. Portanto, considerar apenas as ondas harmônicas não leva a uma deterioração fundamental na generalidade dos resultados obtidos.

Vamos considerar uma onda plana. Vamos escolher um sistema de coordenadas tal que o eixo Oh coincidiu com a direção de propagação das ondas. Então as superfícies das ondas serão perpendiculares ao eixo Oh e, como todos os pontos da superfície da onda vibram igualmente, o deslocamento dos pontos do meio das posições de equilíbrio dependerá apenas de x e t:

Deixe as vibrações dos pontos situados no plano terem a forma:

(22.4)

Oscilações em um plano localizado à distância X da origem, atraso das oscilações no período de tempo necessário para a onda cobrir a distância X, e são descritos pela equação

qual é equação de uma onda plana que se propaga na direção do eixo do Boi.

Ao derivar a equação (22.5), assumimos que a amplitude das oscilações é a mesma em todos os pontos. No caso de uma onda plana, isto é verdade se a energia da onda não for absorvida pelo meio.

Vamos considerar algum valor da fase na equação (22.5):

(22.6)

A equação (22.6) fornece a relação entre o tempo t e lugar - X, no qual o valor de fase especificado está sendo implementado atualmente. Tendo determinado a partir da equação (22.6), encontramos a velocidade com que um determinado valor de fase se move. Diferenciando (22.6), obtemos:

Onde segue (22.7)

Equação de ondaé uma equação que expressa a dependência do deslocamento de uma partícula oscilante que participa de um processo de onda na coordenada de sua posição de equilíbrio e tempo:

Esta função deve ser periódica tanto em relação ao tempo quanto em relação às coordenadas. Além disso, pontos localizados a uma distância eu um do outro, oscilam da mesma maneira.

Vamos encontrar o tipo de função x no caso de uma onda plana.

Consideremos uma onda harmônica plana que se propaga ao longo da direção positiva do eixo em um meio que não absorve energia. Neste caso, as superfícies das ondas serão perpendiculares ao eixo. Todas as grandezas que caracterizam o movimento oscilatório das partículas do meio dependem apenas do tempo e das coordenadas. A compensação dependerá apenas de e: . Deixe a oscilação de um ponto com uma coordenada (a fonte de oscilação) ser dada pela função. Tarefa: encontre o tipo de vibração dos pontos do plano correspondente a um valor arbitrário. Para viajar de um avião para este plano, uma onda requer tempo. Conseqüentemente, as oscilações das partículas situadas no plano ficarão um tempo atrasadas em fase em relação às oscilações das partículas no plano. Então a equação das oscilações das partículas no plano terá a forma:

Como resultado, obtivemos a equação de uma onda plana que se propaga na direção crescente:

. (3)

Nesta equação, é a amplitude da onda; – frequência cíclica; – fase inicial, que é determinada pela escolha do ponto de referência e ; – fase de onda plana.

Seja a fase da onda um valor constante (fixamos o valor da fase na equação da onda):

Vamos reduzir esta expressão e diferenciá-la. Como resultado obtemos:

ou .

Assim, a velocidade de propagação de uma onda na equação da onda plana nada mais é do que a velocidade de propagação de uma fase fixa da onda. Essa velocidade é chamada velocidade de fase .

Para uma onda senoidal, a velocidade de transferência de energia é igual à velocidade de fase. Mas uma onda senoidal não carrega nenhuma informação, e qualquer sinal é uma onda modulada, ou seja, não senoidal (não harmônico). Ao resolver alguns problemas, verifica-se que a velocidade da fase é maior que a velocidade da luz. Não há paradoxo aqui, porque... a velocidade do movimento da fase não é a velocidade de transmissão (propagação) da energia. Energia e massa não podem se mover a uma velocidade maior que a velocidade da luz c .

Normalmente, a equação de onda plana recebe uma forma relativamente simétrica. Para fazer isso, insira o valor , que é chamado número de onda . Vamos transformar a expressão para o número de onda. Vamos escrever na forma (). Vamos substituir esta expressão na equação da onda plana:

Finalmente conseguimos

Esta é a equação de uma onda plana que se propaga na direção crescente. A direção oposta da propagação da onda será caracterizada por uma equação na qual o sinal na frente do termo mudará.

É conveniente escrever a equação da onda plana da seguinte forma.

Geralmente um sinal Ré são omitidos, implicando que apenas a parte real da expressão correspondente é tomada. Além disso, é introduzido um número complexo.

Este número é chamado de amplitude complexa. O módulo deste número fornece a amplitude e o argumento fornece a fase inicial da onda.

Assim, a equação de uma onda plana contínua pode ser representada da seguinte forma.

Tudo o que foi discutido acima referia-se a um meio onde não havia atenuação de onda. No caso da atenuação das ondas, de acordo com a lei de Bouguer (Pierre Bouguer, cientista francês (1698 - 1758)), a amplitude da onda diminuirá à medida que se propaga. Então a equação da onda plana terá a seguinte forma.

a– coeficiente de atenuação das ondas. Um 0 – amplitude das oscilações em um ponto com coordenadas . Este é o inverso da distância na qual a amplitude da onda diminui em e uma vez.

Vamos encontrar a equação de uma onda esférica. Consideraremos que a fonte das oscilações é pontual. Isto é possível se nos limitarmos a considerar a onda a uma distância muito maior que o tamanho da fonte. Uma onda proveniente de tal fonte em um meio isotrópico e homogêneo será esférico . Os pontos situados na superfície da onda de raio oscilarão com a fase

A amplitude das oscilações neste caso, mesmo que a energia das ondas não seja absorvida pelo meio, não permanecerá constante. Diminui com a distância da fonte de acordo com a lei. Portanto, a equação da onda esférica tem a forma:

Devido às suposições feitas, a equação é válida apenas para , excedendo significativamente o tamanho da fonte da onda. A equação (6) não é aplicável para valores pequenos, porque a amplitude tenderia ao infinito, e isso é absurdo.

Na presença de atenuação no meio, a equação de uma onda esférica será escrita da seguinte forma.

Velocidade do grupo

Uma onda estritamente monocromática é uma sequência infinita de “corcovas” e “vales” no tempo e no espaço.

A velocidade de fase desta onda ou (2)

É impossível transmitir um sinal usando tal onda, porque em qualquer ponto da onda todas as “corcovas” são iguais. O sinal deve ser diferente. Ser um sinal (marca) na onda. Mas então a onda não será mais harmônica e não será descrita pela equação (1). Um sinal (pulso) pode ser representado segundo o teorema de Fourier como uma superposição de ondas harmônicas com frequências contidas em um determinado intervalo Dw . Superposição de ondas que pouco diferem entre si em frequência,

chamado pacote de ondas ou grupo de ondas .

A expressão para um grupo de ondas pode ser escrita da seguinte forma.

(3)

Ícone c enfatiza que essas quantidades dependem da frequência.

Este pacote de ondas pode ser uma soma de ondas com frequências ligeiramente diferentes. Onde as fases das ondas coincidem, observa-se um aumento na amplitude, e onde as fases são opostas, observa-se um amortecimento da amplitude (resultado da interferência). Esta imagem é mostrada na figura. Para que uma superposição de ondas seja considerada um grupo de ondas, a seguinte condição deve ser atendida: Dw<< w 0 .

Em um meio não dispersivo, todas as ondas planas que formam um pacote de ondas se propagam com a mesma velocidade de fase. v . A dispersão é a dependência da velocidade de fase de uma onda senoidal em um meio com a frequência. Consideraremos o fenômeno da dispersão posteriormente na seção “Óptica das Ondas”. Na ausência de dispersão, a velocidade de movimento do pacote de ondas coincide com a velocidade da fase v . Num meio dispersivo, cada onda se dispersa na sua própria velocidade. Portanto, o pacote de ondas se espalha ao longo do tempo e sua largura aumenta.

Se a dispersão for pequena, o pacote de ondas não se espalha muito rapidamente. Portanto, uma certa velocidade pode ser atribuída à movimentação de todo o pacote você .

A velocidade na qual o centro do pacote de ondas (o ponto com amplitude máxima) se move é chamada de velocidade de grupo.

Em um ambiente dispersivo v¹U . Junto com o movimento do próprio pacote de ondas, as “corcovas” dentro do próprio pacote se movem. "Humps" movem-se no espaço em alta velocidade v , e o pacote como um todo com velocidade você .

Consideremos com mais detalhes o movimento de um pacote de ondas usando o exemplo de uma superposição de duas ondas com a mesma amplitude e frequências diferentes c (diferentes comprimentos de onda eu ).

Vamos escrever as equações de duas ondas. Para simplificar, vamos assumir as fases iniciais j 0 = 0.

Aqui

Deixar Dw<< w , respectivamente Dk<< k .

Vamos somar as vibrações e realizar as transformações usando a fórmula trigonométrica da soma dos cossenos:

No primeiro cosseno desprezaremos Dwt E Dkx , que são muito menores que outras quantidades. Vamos levar em conta isso cos(–a) = cosa . Vamos anotá-lo finalmente.

(4)

O multiplicador entre colchetes muda com o tempo e as coordenadas são muito mais lentas do que o segundo multiplicador. Consequentemente, a expressão (4) pode ser considerada como uma equação de uma onda plana com amplitude descrita pelo primeiro fator. Graficamente, a onda descrita pela expressão (4) é apresentada na figura acima.

A amplitude resultante é obtida como resultado da adição de ondas, portanto, serão observados máximos e mínimos da amplitude.

A amplitude máxima será determinada pela seguinte condição.

(5)

eu = 0, 1, 2…

xmáx– coordenada da amplitude máxima.

O cosseno assume seu valor máximo de módulo através p .

Cada um desses máximos pode ser considerado como o centro do grupo de ondas correspondente.

Resolvendo (5) relativamente xmáx nós vamos conseguir.

Como a velocidade da fase é chamada velocidade de grupo. A amplitude máxima do pacote de ondas se move nessa velocidade. No limite, a expressão para a velocidade de grupo terá a seguinte forma.

(6)

Esta expressão é válida para o centro de um grupo de um número arbitrário de ondas.

Deve-se notar que quando todos os termos da expansão são levados em consideração com precisão (para um número arbitrário de ondas), a expressão para a amplitude é obtida de tal forma que o pacote de ondas se espalha ao longo do tempo.
A expressão para velocidade de grupo pode ter uma forma diferente.

Na ausência de variação

A intensidade máxima ocorre no centro do grupo de ondas. Portanto, a velocidade de transferência de energia é igual à velocidade do grupo.

O conceito de velocidade de grupo é aplicável apenas sob a condição de que a absorção das ondas no meio seja baixa. Com uma atenuação significativa das ondas, o conceito de velocidade de grupo perde seu significado. Este caso é observado na região de dispersão anômala. Consideraremos isso na seção “Óptica de Onda”.

Portal para escolares. Autopreparação

ARTIGOS RELACIONADOS