Propriedade 1 (preservação da retidão). Ao se mover, três pontos situados em uma linha reta se transformam em três pontos situados em uma linha reta, e um ponto situado entre dois outros entra em um ponto situado entre as imagens de dois outros pontos (a ordem de suas posições relativas é preservada).
Propriedade 2. A imagem de um segmento durante o movimento é um segmento.
Propriedade 3. A imagem de uma linha reta durante o movimento é uma linha reta e a imagem de um raio é um raio.
Propriedade 4. Ao mover-se, a imagem de um triângulo é um triângulo igual a ele, a imagem de um plano é um plano e os planos paralelos são mapeados em planos paralelos, e a imagem de um semiplano é um semiplano.
Propriedade 5. Ao mover-se, a imagem de um tetraedro é um tetraedro, a imagem do espaço é todo espaço, a imagem do meio espaço é meio espaço.
Propriedade 6. Ao mover, os ângulos são preservados, ou seja, Cada ângulo é mapeado em um ângulo do mesmo tipo e da mesma magnitude. O mesmo se aplica aos ângulos diédricos.
Definição. A translação paralela, ou, em suma, a translação de uma figura, é a sua exibição na qual todos os seus pontos são deslocados na mesma direção por distâncias iguais, ou seja, ao transferir cada dois pontos X e Y da figura, tais pontos X" e Y" são associados de modo que XX" = YY".
A principal propriedade da transferência:
A transferência paralela preserva distâncias e direções, ou seja, X"Y" = XY.
Disto segue-se que a transferência paralela é um movimento que preserva a direção e, inversamente, o movimento que preserva a direção é uma transferência paralela.
Resulta também destas afirmações que a composição das transferências paralelas é uma transferência paralela.
A translação paralela de uma figura é especificada especificando um par de pontos correspondentes. Por exemplo, se for especificado para qual ponto A" um determinado ponto A vai, então esta transferência é especificada pelo vetor AA", e isso significa que todos os pontos são deslocados pelo mesmo vetor, ou seja, XX" = AA" para todos os pontos X.
A simetria central de uma figura em relação a O é um mapeamento desta figura que associa cada um dos seus pontos a um ponto simétrico em relação a O.
Propriedade principal: A simetria central preserva a distância, mas inverte a direção. Em outras palavras, quaisquer dois pontos X e Y da figura F correspondem aos pontos X" e Y" tais que X"Y" = -XY.
Segue-se que a simetria central é um movimento que muda de direção para o oposto e vice-versa, um movimento que muda de direção para o oposto é a simetria central.
A simetria central de uma figura é especificada especificando um par de pontos existentes: se o ponto A for mapeado para A", então o centro de simetria é o ponto médio do segmento AA".
O mapeamento de uma figura, em que cada um de seus pontos corresponde a um ponto que lhe é simétrico em relação a um determinado plano, é denominado reflexão da figura neste plano (ou simetria espelhada).
Os pontos A e A" são considerados simétricos em relação a um plano se o segmento AA" for perpendicular a este plano e dividido ao meio por ele. Qualquer ponto no plano (é considerado simétrico a si mesmo em relação a este plano.
Teorema 1. A reflexão em um plano preserva distâncias e, portanto, é movimento.
Teorema 2. Um movimento no qual todos os pontos de um determinado plano estão imóveis é uma reflexão neste plano ou um mapeamento de identidade.
A simetria do espelho é especificada especificando um par de pontos correspondentes que não estão no plano de simetria: o plano de simetria passa pelo meio do segmento que conecta esses pontos, perpendicular a ele.
Uma figura é chamada de figura de rotação se existe uma linha tal que qualquer rotação em torno da qual combina a figura consigo mesma, em outras palavras, a mapeia sobre si mesma. Esta linha é chamada de eixo de rotação da figura. Os corpos de rotação mais simples: uma bola, um cilindro circular reto, um cone circular reto.
Um caso especial de rotação em torno de uma linha é uma rotação de 180(. Ao girar em torno de uma linha a em 180(cada ponto A vai para um ponto A" tal que a linha a é perpendicular ao segmento AA" e o cruza no meio. Diz-se que tais pontos A e A "são simétricos em relação ao eixo a. Portanto, uma rotação de 180 (em torno de uma linha reta é chamada de simetria axial no espaço.
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Mapeando o avião sobre si mesmo
Definição 1
Mapeando o avião sobre si mesmo- esta é uma correspondência entre cada ponto do plano e algum ponto do mesmo plano, em que cada ponto do plano estará associado a algum ponto.
Exemplos de mapeamento de um plano sobre si mesmo podem ser a simetria axial (Fig. 1, a) e a simetria central (Fig. 1, b).
Figura 1. a) simetria axial; b) simetria central
Conceito de movimento
Vamos agora apresentar a definição de movimento.
Definição 2
O movimento de um plano é um mapeamento do plano sobre si mesmo no qual as distâncias são preservadas (Fig. 2).
Figura 2. Exemplo de movimento
Teoremas relacionados ao conceito de movimento
Prova.
Seja-nos dado um segmento $MN$. Deixe, para um determinado movimento de um plano, o ponto $M$ ser mapeado para o ponto $M_1$ deste plano, e o ponto $N$ ser mapeado para o ponto $N_1$ deste plano. Tomemos um ponto arbitrário $P$ do segmento $MN$. Deixe-o ser mapeado para o ponto $\P_1$ deste plano (Fig. 3).
Figura 3. Mapeando segmento a segmento durante o movimento
Como o ponto $P$ pertence ao segmento $MN$, então a igualdade
Visto que, por definição de movimento, as distâncias são conservadas, então
Por isso
Isso significa que o ponto $P_1$ está no segmento $M_1N_1$. Devido à arbitrariedade da escolha do ponto $P_1$, obtemos que o segmento $MN$ durante o movimento será mapeado no segmento $M_1N_1$. A igualdade desses segmentos decorre imediatamente da definição de movimento.
O teorema foi provado.
Teorema 2
Ao se mover, o triângulo é mapeado para um triângulo igual.
Prova.
Seja-nos dado um triângulo $ABC$. Pelo Teorema 1, o segmento $AB$ vai para o segmento $A_1B_1$, o segmento $AC$ vai para o segmento $A_1C_1$, o segmento $BC$ vai para o segmento $B_1C_1$, e $(AB=A) _1B_1$, $(AC=A)_1C_1$, $(BC=B)_1C_1$. Consequentemente, de acordo com o terceiro critério de igualdade de triângulos, o triângulo $ABC$ entra no triângulo $A_1B_1C_1$ igual a ele.
O teorema foi provado.
Da mesma forma, pode-se provar que raio é mapeado para raio, o ângulo é mapeado para seu ângulo igual.
Para formular o próximo teorema, primeiro introduzimos a seguinte definição.
Definição 3
Sobreposiçãoé chamado de movimento do plano que possui os seguintes axiomas:
- Se durante o movimento as extremidades de dois segmentos coincidem, então os próprios segmentos coincidem.
- A partir do início de qualquer raio é possível traçar um segmento igual a um determinado segmento e, além disso, apenas um.
- Em qualquer semiplano de qualquer raio você pode colocar um ângulo igual a um determinado ângulo não desenvolvido, e apenas um.
- Qualquer figura é igual a si mesma.
- Se a figura 1 é igual à figura 2, então a figura 2 é igual à figura 1.
- Se a figura 1 é igual à figura 2 e a figura 2 é igual à figura 3, então a figura 1 é igual à figura 3.
Teorema 3
Qualquer movimento é uma imposição.
Prova.
Considere o movimento $g$ do triângulo $ABC$. De acordo com o Teorema 2, quando $g$ se move, o triângulo $ABC$ transita para o triângulo $A_1B_1C_1$ igual a ele. Pela definição de triângulos congruentes, descobrimos que há uma sobreposição $f$ mapeando os pontos $A,B\ e\C$ aos pontos $A_1,B_1\ e\C_1$, respectivamente. Vamos provar que $g$ coincide com $f$.
Vamos supor o contrário, que $g$ não coincide com $f$. Então há pelo menos um ponto $M$, que, quando $g$ se move, vai para o ponto $M_1$, e quando $f$ é imposto, vai para o ponto $M_2$. Como as distâncias são preservadas para $f$ e $g$, temos
Ou seja, o ponto $A_1$ é equidistante dos pontos $M_1$ e $M_2$. Da mesma forma, descobrimos que os pontos $B_1\ e\ C_1$ são equidistantes dos pontos $M_1$ e $M_2$. Isso significa que os pontos $A_1,B_1\ e\C_1$ estão em uma linha perpendicular ao segmento $M_1M_2$ e passando pelo seu centro. Isto não é possível, pois os pontos $A_1,B_1\ e\C_1$ não estão na mesma reta. Portanto, o movimento de $g$ coincide com a imposição de $f$.
O teorema foi provado.
Exemplo de problema sobre o conceito de movimento
Exemplo 1
Prove que, ao se mover, um ângulo é mapeado em um ângulo igual a ele.
Prova.
Seja-nos dado um ângulo $AOB$. Deixe, para um determinado movimento, os pontos $A,\ O\ e\ B$ serem mapeados nos pontos $A_1,\ O_1\ e\ B_1$. Pelo Teorema 2 descobrimos que o triângulo $AOB$ é mapeado no triângulo $A_1O_1B_1$, e esses triângulos são iguais entre si. Portanto, $\ângulo AOB=\ângulo A_1O_1B_1$.
