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Consideremos um certo plano π e um ponto arbitrário M 0 no espaço. Vamos escolher o avião vetor normal unitário n com o início em algum ponto M 1 ∈ π, e seja p(M 0 ,π) a distância do ponto M 0 ao plano π. Então (Fig. 5.5)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5,8)

desde |n| = 1.

Se o plano π for dado em sistema de coordenadas retangulares com sua equação geral Ax + By + Cz + D = 0, então seu vetor normal é o vetor com coordenadas (A; B; C) e podemos escolher

Sejam (x 0 ; y 0 ; z 0) e (x 1 ; y 1 ; z 1) as coordenadas dos pontos M 0 e M 1 . Então a igualdade Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 é válida, pois o ponto M 1 pertence ao plano, e as coordenadas do vetor M 1 M 0 podem ser encontradas: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ). Gravação produto escalar nM 1 M 0 na forma de coordenadas e transformando (5.8), obtemos

já que Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Portanto, para calcular a distância de um ponto a um plano, você precisa substituir as coordenadas do ponto na equação geral do plano e depois dividir o valor absoluto de o resultado por um fator de normalização igual ao comprimento do vetor normal correspondente.

, Concurso "Apresentação para a aula"

Aula: 11

Apresentação para a aula

Para trás para a frente

Atenção! As visualizações de slides são apenas para fins informativos e podem não representar todos os recursos da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, baixe a versão completa.

Metas:

• generalização e sistematização dos conhecimentos e competências dos alunos;
• desenvolvimento de competências para analisar, comparar, tirar conclusões.

Equipamento:

• projetor multimídia;
• computador;
• folhas com textos problemáticos

PROGRESSO DA CLASSE

I. Momento organizacional

II. Etapa de atualização de conhecimento(slide 2)

Repetimos como a distância de um ponto a um plano é determinada

III. Palestra(slides 3-15)

Nesta lição, veremos várias maneiras de determinar a distância de um ponto a um plano.

Primeiro método: computacional passo a passo

Distância do ponto M ao plano α:
– igual à distância ao plano α de um ponto arbitrário P situado em uma linha reta a, que passa pelo ponto M e é paralelo ao plano α;
– é igual à distância ao plano α de um ponto arbitrário P situado no plano β, que passa pelo ponto M e é paralelo ao plano α.

Resolveremos os seguintes problemas:

№1. No cubo A...D 1, encontre a distância do ponto C 1 ao plano AB 1 C.

Resta calcular o valor do comprimento do segmento O 1 N.

№2. Em um prisma hexagonal regular A...F 1, cujas arestas são iguais a 1, encontre a distância do ponto A ao plano DEA 1.

Próximo método: método de volume.

Se o volume da pirâmide ABCM for igual a V, então a distância do ponto M ao plano α contendo ∆ABC é calculada pela fórmula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Na resolução de problemas, utilizamos a igualdade dos volumes de uma figura, expressa de duas maneiras diferentes.

Vamos resolver o seguinte problema:

№3. A aresta AD da pirâmide DABC é perpendicular ao plano base ABC. Encontre a distância de A ao plano que passa pelos pontos médios das arestas AB, AC e AD, se.

Ao resolver problemas método de coordenadas a distância do ponto M ao plano α pode ser calculada usando a fórmula ρ(M; α) = , onde M(x 0; y 0; z 0), e o plano é dado pela equação ax + by + cz + d = 0

Vamos resolver o seguinte problema:

№4. Em um cubo unitário A...D 1, encontre a distância do ponto A 1 ao plano BDC 1.

Vamos introduzir um sistema de coordenadas com origem no ponto A, o eixo y correrá ao longo da aresta AB, o eixo x ao longo da aresta AD e o eixo z ao longo da aresta AA 1. Então as coordenadas dos pontos B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Vamos criar uma equação para um plano passando pelos pontos B, D, C 1.

Então – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Portanto, ρ =

O seguinte método que pode ser usado para resolver problemas deste tipo é método de problemas de suporte.

A aplicação deste método consiste na utilização de problemas de referência conhecidos, que são formulados como teoremas.

Vamos resolver o seguinte problema:

№5. Em um cubo unitário A...D 1, encontre a distância do ponto D 1 ao plano AB 1 C.

Vamos considerar a aplicação método vetorial.

№6. Em um cubo unitário A...D 1, encontre a distância do ponto A 1 ao plano BDC 1.

Então, examinamos vários métodos que podem ser usados ​​para resolver esse tipo de problema. A escolha de um método ou outro depende da tarefa específica e de suas preferências.

4. Trabalho em equipe

Tente resolver o problema de maneiras diferentes.

№1. A aresta do cubo A...D 1 é igual a . Encontre a distância do vértice C ao plano BDC 1.

№2. Em um tetraedro regular ABCD com aresta, encontre a distância do ponto A ao plano BDC

№3. Em um prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1 cujas arestas são iguais a 1, encontre a distância de A ao plano BCA 1.

№4. Em uma pirâmide quadrilátera regular SABCD, cujas arestas são iguais a 1, encontre a distância de A ao plano SCD.

V. Resumo da lição, lição de casa, reflexão

PROBLEMAS C2 DO EXAME DE ESTADO UNIFORME DE MATEMÁTICA PARA ENCONTRAR A DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO

Kulikova Anastasia Yuryevna

Aluno do 5º ano do Departamento de Matemática. análise, álgebra e geometria EI KFU, Federação Russa, República do Tartaristão, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

supervisor científico, Ph.D. ped. Ciências, Professor Associado EI KFU, Federação Russa, República do Tartaristão, Elabuga

Nos últimos anos, tarefas de cálculo da distância de um ponto a um plano surgiram nas tarefas do Exame de Estado Unificado em matemática. Neste artigo, usando o exemplo de um problema, são considerados vários métodos para encontrar a distância de um ponto a um plano. O método mais adequado pode ser usado para resolver vários problemas. Tendo resolvido um problema usando um método, você pode verificar a exatidão do resultado usando outro método.

Definição. A distância de um ponto a um plano que não contém este ponto é o comprimento do segmento perpendicular traçado deste ponto ao plano dado.

Tarefa. Dado um paralelepípedo retangular ABCOMDA. 1 B 1 C 1 D 1 com lados AB=2, a.C.=4, A.A. 1 =6. Encontre a distância do ponto D avião ACD 1 .

1 maneira. Usando definição. Encontre a distância r( D, ACD 1) do ponto D avião ACD 1 (Fig. 1).

Figura 1. Primeiro método

Vamos realizar D. H.⊥AC, portanto, pelo teorema das três perpendiculares D 1 H⊥AC E (DD 1 H)⊥AC. Vamos realizar direto D. T. perpendicular D 1 H. Direto D. T. está em um avião DD 1 H, por isso D. T.⊥A.C.. Por isso, D. T.⊥ACD 1.

ACC vamos encontrar a hipotenusa AC e altura D. H.

De um triângulo retângulo D 1 D. H. vamos encontrar a hipotenusa D 1 H e altura D. T.

Responder: .

Método 2.Método de volume (uso de uma pirâmide auxiliar). Um problema deste tipo pode ser reduzido ao problema de cálculo da altura de uma pirâmide, onde a altura da pirâmide é a distância necessária de um ponto a um plano. Prove que esta altura é a distância necessária; encontre o volume desta pirâmide de duas maneiras e expresse essa altura.

Observe que com este método não há necessidade de construir uma perpendicular de um determinado ponto a um determinado plano.

Um cubóide é um paralelepípedo cujas faces são retângulos.

AB=CD=2, a.C.=DE ANÚNCIOS=4, A.A. 1 =6.

A distância necessária será a altura h pirâmides DAC 1 D, baixado do topo D na base DAC 1 (fig. 2).

Vamos calcular o volume da pirâmide DAC 1 D dois caminhos.

Ao calcular, na primeira forma tomamos ∆ como base DAC 1 então

Ao calcular da segunda forma, tomamos ∆ como base DAC, Então

Vamos igualar os lados direitos das duas últimas igualdades e obter

Figura 2. Segundo método

De triângulos retângulos ACD, ADICIONAR 1 , CDD 1 encontre a hipotenusa usando o teorema de Pitágoras

DAC

Calcule a área do triângulo ACD 1 usando a fórmula de Heron

Responder: .

3 vias. Método de coordenadas.

Deixe um ponto ser dado M(x 0 ,sim 0 ,z 0) e avião α , dado pela equação machado+por+cz+d=0 em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Distância do ponto M ao plano α pode ser calculado usando a fórmula:

Vamos apresentar um sistema de coordenadas (Fig. 3). Origem das coordenadas em um ponto EM;

Direto AB- eixo X, direto Sol- eixo sim, direto BB 1 - eixo z.

Figura 3. Terceiro método

B(0,0,0), A(2,0,0), COM(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Deixar ax+por+ cz+ d=0 – equação plana DAC 1. Substituindo as coordenadas dos pontos nele A, C, D 1 obtemos:

Equação plana DAC 1 assumirei o formulário

Responder: .

4 vias. Método vetorial.

Vamos apresentar a base (Fig. 4) , .

Figura 4. Quarto método