Da escola, todos conhecemos a regra da exponenciação: qualquer número com expoente N é igual ao resultado da multiplicação desse número por ele mesmo N número de vezes. Em outras palavras, 7 elevado a 3 é 7 multiplicado por ele mesmo três vezes, ou seja, 343. Outra regra é que elevar qualquer quantidade à potência de 0 dá um, e aumentar uma quantidade negativa é o resultado do aumento normal para a potência se for par e o mesmo resultado com um sinal de menos se for ímpar.

As regras também dão a resposta sobre como elevar um número a uma potência negativa. Para fazer isso, você precisa aumentar o valor desejado pelo módulo do indicador da maneira usual e depois dividir a unidade pelo resultado.

A partir destas regras torna-se claro que a execução de tarefas reais que envolvam grandes quantidades exigirá a disponibilidade de meios técnicos. Manualmente, você pode multiplicar por si mesmo um intervalo máximo de números de vinte a trinta e, a seguir, não mais do que três ou quatro vezes. Isso sem falar na divisão de um pelo resultado. Portanto, para quem não tem uma calculadora especial de engenharia em mãos, mostraremos como elevar um número a uma potência negativa no Excel.

Resolvendo problemas no Excel

Para resolver problemas que envolvem exponenciação, o Excel permite usar uma de duas opções.

A primeira é o uso de uma fórmula com um sinal padrão de “tampa”. Insira os seguintes dados nas células da planilha:

Da mesma forma, você pode elevar o valor desejado a qualquer potência - negativo, fracionário. Vamos realizar as etapas a seguir e responder à questão de como elevar um número a uma potência negativa. Exemplo:

Você pode corrigir =B2^-C2 diretamente na fórmula.

A segunda opção é usar a função “Grau” pronta, que aceita dois argumentos obrigatórios - um número e um expoente. Para começar a utilizá-lo, basta colocar o sinal de igual (=) em qualquer célula livre, indicando o início da fórmula, e digitar as palavras acima. Resta selecionar duas células que participarão da operação (ou especificar números específicos manualmente) e pressionar a tecla Enter. Vejamos alguns exemplos simples.

			Fórmula	Resultado
			GRAU(B2;C2)
			GRAU(B3;C3)	0,002915

Como você pode ver, não há nada complicado em como elevar um número a uma potência negativa e a uma potência regular usando o Excel. Afinal, para resolver esse problema, você pode usar tanto o conhecido símbolo da “tampa” quanto a função integrada do programa, que é fácil de lembrar. Esta é uma vantagem definitiva!

Vamos passar para exemplos mais complexos. Vamos lembrar a regra sobre como elevar um número a uma potência fracionária negativa e veremos que esse problema é facilmente resolvido no Excel.

Indicadores fracionários

Resumindo, o algoritmo para calcular um número com expoente fracionário é o seguinte.

1. Converta uma fração em uma fração própria ou imprópria.
2. Eleve nosso número ao numerador da fração convertida resultante.
3. A partir do número obtido no parágrafo anterior, calcule a raiz, com a condição de que o expoente da raiz seja o denominador da fração obtida na primeira etapa.

Concorde que mesmo operando com números pequenos e frações adequadas, esses cálculos podem levar muito tempo. É bom que o processador de planilhas do Excel não se importe com qual número é elevado a que potência. Tente resolver o seguinte exemplo em uma planilha do Excel:

Usando as regras acima, você pode verificar e ter certeza de que o cálculo foi feito corretamente.

Ao final do nosso artigo apresentaremos em forma de tabela com fórmulas e resultados vários exemplos de como elevar um número a uma potência negativa, bem como vários exemplos de operação com números fracionários e potências.

Tabela de exemplo

Confira os exemplos a seguir em sua planilha do Excel. Para que tudo funcione corretamente, é necessário utilizar uma referência mista na hora de copiar a fórmula. Fixe o número da coluna que contém o número que está sendo aumentado e o número da linha que contém o indicador. Sua fórmula deve ser semelhante a esta: “=$B4^C$3.”

Número/Grau

Observe que números positivos (mesmo não inteiros) podem ser calculados sem problemas para qualquer expoente. Não há problemas em elevar qualquer número a inteiros. Mas elevar um número negativo a uma potência fracionária acabará sendo um erro para você, pois é impossível seguir a regra indicada no início do nosso artigo sobre a elevação de números negativos, pois a paridade é uma característica exclusivamente de um número INTEIRO.

Primeiro nível

Grau e suas propriedades. O Guia Abrangente (2019)

Por que os diplomas são necessários? Onde você precisará deles? Por que você deveria reservar um tempo para estudá-los?

Para saber tudo sobre graduações, para que servem e como usar seus conhecimentos no dia a dia, leia este artigo.

E, claro, o conhecimento dos diplomas o deixará mais perto de passar com sucesso no Exame Estadual Unificado ou no Exame Estadual Unificado e de entrar na universidade dos seus sonhos.

Vamos vamos!)

Nota importante! Se você vir gobbledygook em vez de fórmulas, limpe o cache. Para fazer isso, pressione CTRL+F5 (no Windows) ou Cmd+R (no Mac).

PRIMEIRO NÍVEL

Exponenciação é uma operação matemática como adição, subtração, multiplicação ou divisão.

Agora vou explicar tudo em linguagem humana usando exemplos muito simples. Tome cuidado. Os exemplos são elementares, mas explicam coisas importantes.

Vamos começar com a adição.

Não há nada para explicar aqui. Você já sabe tudo: somos oito. Todo mundo tem duas garrafas de refrigerante. Quanto cola existe? Isso mesmo - 16 garrafas.

Agora multiplicação.

O mesmo exemplo com cola pode ser escrito de forma diferente: . Os matemáticos são pessoas astutas e preguiçosas. Eles primeiro percebem alguns padrões e depois descobrem uma maneira de “contá-los” mais rapidamente. No nosso caso, eles notaram que cada uma das oito pessoas tinha o mesmo número de garrafas de refrigerante e criaram uma técnica chamada multiplicação. Concordo, é considerado mais fácil e rápido do que.

Então, para contar de forma mais rápida, fácil e sem erros, basta lembrar tabela de multiplicação. Claro que você pode fazer tudo mais devagar, mais difícil e com erros! Mas…

Aqui está a tabuada de multiplicação. Repita.

E outro, mais lindo:

Que outros truques de contagem inteligentes os matemáticos preguiçosos inventaram? Certo - elevando um número a uma potência.

Elevando um número a uma potência

Se você precisar multiplicar um número por ele mesmo cinco vezes, os matemáticos dizem que você precisa elevar esse número à quinta potência. Por exemplo, . Os matemáticos lembram que dois elevado a cinco é... E eles resolvem esses problemas mentalmente - de forma mais rápida, fácil e sem erros.

Tudo que você precisa fazer é lembre-se do que está destacado em cores na tabela de potências dos números. Acredite, isso facilitará muito a sua vida.

Aliás, por que é chamado de segundo grau? quadrado números, e o terceiro - cubo? O que isso significa? Muito boa pergunta. Agora você terá quadrados e cubos.

Exemplo da vida real nº 1

Vamos começar com o quadrado ou a segunda potência do número.

Imagine uma piscina quadrada medindo um metro por um metro. A piscina fica na sua dacha. Está calor e eu realmente quero nadar. Mas... a piscina não tem fundo! Você precisa cobrir o fundo da piscina com azulejos. Quantas peças você precisa? Para determinar isso, você precisa conhecer a área do fundo da piscina.

Você pode simplesmente calcular apontando o dedo que o fundo da piscina consiste em cubos metro a metro. Se você tiver ladrilhos de um metro por um metro, precisará de peças. É fácil... Mas onde você viu esses azulejos? O ladrilho provavelmente terá cm por cm e então você será torturado por “contar com o dedo”. Então você tem que multiplicar. Assim, de um lado do fundo da piscina colocaremos ladrilhos (peças) e do outro também ladrilhos. Multiplique por e você obterá peças ().

Você notou que para determinar a área do fundo da piscina multiplicamos o mesmo número por ele mesmo? O que isso significa? Como estamos multiplicando o mesmo número, podemos usar a técnica de “exponencialização”. (Claro, quando você tem apenas dois números, você ainda precisa multiplicá-los ou elevá-los a uma potência. Mas se você tiver muitos deles, elevá-los a uma potência será muito mais fácil e também haverá menos erros nos cálculos (Para o Exame Estadual Unificado isso é muito importante).
Então, trinta elevado à segunda potência será (). Ou podemos dizer que trinta ao quadrado será. Em outras palavras, a segunda potência de um número sempre pode ser representada como um quadrado. E vice-versa, se você vir um quadrado, é SEMPRE a segunda potência de algum número. Um quadrado é uma imagem da segunda potência de um número.

Exemplo da vida real nº 2

Aqui vai uma tarefa para você: conte quantas casas existem no tabuleiro de xadrez usando o quadrado do número... De um lado das células e do outro também. Para calcular o número deles, você precisa multiplicar oito por oito ou... se você notar que um tabuleiro de xadrez é um quadrado com um lado, então você pode elevar oito ao quadrado. Você obterá células. () Então?

Exemplo da vida real nº 3

Agora o cubo ou a terceira potência de um número. A mesma piscina. Mas agora você precisa descobrir quanta água terá que ser despejada nesta piscina. Você precisa calcular o volume. (Volumes e líquidos, aliás, são medidos em metros cúbicos. Inesperado, né?) Desenhe uma piscina: o fundo tem um metro de tamanho e um metro de profundidade, e tente contar quantos cubos medindo metro por metro vão cabe na sua piscina.

Basta apontar o dedo e contar! Um, dois, três, quatro... vinte e dois, vinte e três... Quantos você conseguiu? Não está perdido? É difícil contar com o dedo? Para que! Veja um exemplo dos matemáticos. Eles são preguiçosos, então perceberam que para calcular o volume da piscina é preciso multiplicar seu comprimento, largura e altura entre si. No nosso caso, o volume da piscina será igual a cubos... Mais fácil, né?

Agora imagine como os matemáticos seriam preguiçosos e astutos se simplificassem isso também. Reduzimos tudo a uma ação. Eles notaram que o comprimento, a largura e a altura são iguais e que o mesmo número é multiplicado por ele mesmo... O que isso significa? Isso significa que você pode aproveitar o diploma. Então, o que você uma vez contou com o dedo, eles fazem em uma ação: três ao cubo é igual. Está escrito assim: .

Tudo o que resta é lembre-se da tabela de graus. A menos, é claro, que você seja tão preguiçoso e astuto quanto os matemáticos. Se você gosta de trabalhar duro e cometer erros, pode continuar contando com o dedo.

Bem, para finalmente convencê-lo de que os diplomas foram inventados por desistentes e pessoas astutas para resolver seus problemas de vida, e não para criar problemas para você, aqui estão mais alguns exemplos da vida.

Exemplo da vida real nº 4

Você tem um milhão de rublos. No início de cada ano, para cada milhão que você ganha, você ganha outro milhão. Ou seja, cada milhão que você tem dobra no início de cada ano. Quanto dinheiro você terá em anos? Se você está sentado agora e “contando com o dedo”, então você é uma pessoa muito trabalhadora e... estúpida. Mas provavelmente você dará uma resposta em alguns segundos, porque você é inteligente! Então, no primeiro ano - dois multiplicados por dois... no segundo ano - o que aconteceu, por mais dois, no terceiro ano... Pare! Você notou que o número é multiplicado por ele mesmo. Então dois elevado à quinta potência é um milhão! Agora imagine que você tem uma competição e quem conseguir contar mais rápido vai conseguir esses milhões... Vale lembrar das potências dos números, não acha?

Exemplo da vida real nº 5

Você tem um milhão. No início de cada ano, para cada milhão que você ganha, você ganha mais dois. Ótimo, não é? Cada milhão é triplicado. Quanto dinheiro você terá em um ano? Vamos contar. O primeiro ano - multiplique por, depois o resultado por outro... Já é chato, porque você já entendeu tudo: três é multiplicado por ele mesmo vezes. Então elevado à quarta potência é igual a um milhão. Você só precisa lembrar que três elevado a quatro é ou.

Agora você sabe que ao elevar um número a uma potência você tornará sua vida muito mais fácil. Vamos dar uma olhada no que você pode fazer com os diplomas e o que você precisa saber sobre eles.

Termos e conceitos... para não se confundir

Então, primeiro, vamos definir os conceitos. O que você acha, o que é um expoente? É muito simples - é o número que está “no topo” da potência do número. Não é científico, mas é claro e fácil de lembrar...

Bem, ao mesmo tempo, o que tal base de graduação? Ainda mais simples é o número que fica abaixo, na base.

Aqui está um desenho para garantir.

Bem, em termos gerais, para generalizar e lembrar melhor... Um grau com base “ ” e um expoente “ ” é lido como “até o grau” e é escrito da seguinte forma:

Potência de um número com expoente natural

Você provavelmente já adivinhou: porque o expoente é um número natural. Sim, mas o que é número natural? Elementar! Os números naturais são aqueles números usados ​​na contagem ao listar objetos: um, dois, três... Quando contamos objetos, não dizemos: “menos cinco”, “menos seis”, “menos sete”. Também não dizemos: “um terço” ou “zero vírgula cinco”. Estes não são números naturais. Que números você acha que são?

Números como “menos cinco”, “menos seis”, “menos sete” referem-se a números inteiros. Em geral, os inteiros incluem todos os números naturais, números opostos aos números naturais (ou seja, tomados com um sinal de menos) e números. Zero é fácil de entender – é quando não há nada. O que significam os números negativos (“menos”)? Mas eles foram inventados principalmente para indicar dívidas: se você tem saldo em rublos em seu telefone, isso significa que você deve rublos à operadora.

Todas as frações são números racionais. Como eles surgiram, você acha? Muito simples. Vários milhares de anos atrás, nossos ancestrais descobriram que não possuíam números naturais para medir comprimento, peso, área, etc. E eles inventaram números racionais... Interessante, não é?

Existem também números irracionais. Quais são esses números? Resumindo, é uma fração decimal infinita. Por exemplo, se você dividir a circunferência de um círculo pelo seu diâmetro, obterá um número irracional.

Resumo:

Vamos definir o conceito de grau cujo expoente é um número natural (ou seja, inteiro e positivo).

1. Qualquer número elevado à primeira potência é igual a si mesmo:
2. Elevar um número ao quadrado significa multiplicá-lo por ele mesmo:
3. Cubo um número significa multiplicá-lo por ele mesmo três vezes:

Definição. Elevar um número a uma potência natural significa multiplicar o número por ele mesmo vezes:
.

Propriedades dos graus

De onde vieram essas propriedades? Eu vou te mostrar agora.

Vamos ver: o que é E ?

A-prior:

Quantos multiplicadores existem no total?

É muito simples: adicionamos multiplicadores aos fatores e o resultado são multiplicadores.

Mas, por definição, esta é uma potência de um número com um expoente, ou seja: , que é o que precisava ser provado.

Exemplo: Simplifique a expressão.

Solução:

Exemplo: Simplifique a expressão.

Solução:É importante notar que em nossa regra Necessariamente deve haver as mesmas razões!
Portanto, combinamos as potências com a base, mas continua sendo um fator separado:

apenas para o produto de potências!

Sob nenhuma circunstância você pode escrever isso.

2. é isso a potência de um número

Assim como na propriedade anterior, passemos à definição de grau:

Acontece que a expressão é multiplicada por ela mesma vezes, ou seja, pela definição, esta é a décima potência do número:

Em essência, isso pode ser chamado de “tirar o indicador dos colchetes”. Mas você nunca pode fazer isso no total:

Vamos relembrar as fórmulas abreviadas de multiplicação: quantas vezes queríamos escrever?

Mas isso não é verdade, afinal.

Potência com base negativa

Até este ponto, discutimos apenas qual deveria ser o expoente.

Mas qual deveria ser a base?

Em poderes de indicador natural a base pode ser qualquer número. Na verdade, podemos multiplicar quaisquer números entre si, sejam eles positivos, negativos ou pares.

Vamos pensar em quais sinais ("" ou "") terão graus de números positivos e negativos?

Por exemplo, o número é positivo ou negativo? A? ? Com o primeiro tudo fica claro: não importa quantos números positivos multipliquemos, o resultado será positivo.

Mas os negativos são um pouco mais interessantes. Lembramos a regra simples da 6ª série: “menos por menos dá mais”. Isso é, ou. Mas se multiplicarmos por, funciona.

Determine por si mesmo qual sinal as seguintes expressões terão:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Você conseguiu?

Aqui estão as respostas: Nos primeiros quatro exemplos, espero que tudo esteja claro? Simplesmente olhamos para a base e o expoente e aplicamos a regra apropriada.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

No exemplo 5) também não é tão assustador quanto parece: afinal, não importa a que a base seja igual - o grau é par, o que significa que o resultado será sempre positivo.

Bem, exceto quando a base é zero. A base não é igual, não é? Obviamente não, já que (porque).

Exemplo 6) não é mais tão simples!

6 exemplos para praticar

Análise da solução 6 exemplos

Se ignorarmos a oitava potência, o que vemos aqui? Vamos relembrar o programa da 7ª série. Então, você se lembra? Esta é a fórmula para multiplicação abreviada, ou seja, a diferença de quadrados! Nós temos:

Vejamos cuidadosamente o denominador. Parece muito com um dos fatores do numerador, mas o que há de errado? A ordem dos termos está errada. Se fossem invertidos, a regra poderia ser aplicada.

Mas como fazer isso? Acontece que é muito fácil: o grau par do denominador ajuda-nos aqui.

Magicamente, os termos mudaram de lugar. Este “fenómeno” aplica-se a qualquer expressão de forma uniforme: podemos facilmente mudar os sinais entre parênteses.

Mas é importante lembrar: todos os sinais mudam ao mesmo tempo!

Voltemos ao exemplo:

E novamente a fórmula:

Todo chamamos os números naturais, seus opostos (isto é, tomados com o sinal "") e o número.

número inteiro positivo, e não é diferente do natural, então tudo parece exatamente como na seção anterior.

Agora vamos examinar novos casos. Vamos começar com um indicador igual a.

Qualquer número elevado a zero é igual a um:

Como sempre, perguntemo-nos: por que isso acontece?

Vamos considerar algum grau com base. Tomemos, por exemplo, e multipliquemos por:

Então, multiplicamos o número por e obtivemos a mesma coisa que era - . Por qual número você deve multiplicar para que nada mude? Isso mesmo, vamos. Significa.

Podemos fazer o mesmo com um número arbitrário:

Vamos repetir a regra:

Qualquer número elevado a zero é igual a um.

Mas há exceções para muitas regras. E aqui está também - este é um número (como base).

Por um lado, deve ser igual a qualquer grau - não importa o quanto você multiplique zero por si mesmo, ainda assim obterá zero, isso é claro. Mas, por outro lado, como qualquer número elevado a zero, deve ser igual. Então, quanto disso é verdade? Os matemáticos decidiram não se envolver e recusaram-se a elevar zero à potência zero. Ou seja, agora não podemos apenas dividir por zero, mas também elevá-lo à potência zero.

Vamos continuar. Além dos números naturais e dos números, os inteiros também incluem números negativos. Para entender o que é uma potência negativa, vamos fazer como da última vez: multiplicar algum número normal pelo mesmo número até uma potência negativa:

A partir daqui é fácil expressar o que você procura:

Agora vamos estender a regra resultante a um grau arbitrário:

Então, vamos formular uma regra:

Um número com potência negativa é o inverso do mesmo número com potência positiva. mas ao mesmo tempo A base não pode ser nula:(porque você não pode dividir por).

Vamos resumir:

I. A expressão não está definida no caso. Se então.

II. Qualquer número elevado a zero é igual a um: .

III. Um número diferente de zero elevado a uma potência negativa é o inverso do mesmo número elevado a uma potência positiva: .

Tarefas para solução independente:

Bem, como sempre, exemplos de soluções independentes:

Análise de problemas para solução independente:

Eu sei, eu sei, os números assustam, mas no Exame Estadual Unificado você tem que estar preparado para tudo! Resolva estes exemplos ou analise suas soluções se não conseguiu resolvê-los e aprenderá a lidar com eles facilmente no exame!

Vamos continuar a expandir o intervalo de números “adequados” como expoente.

Agora vamos considerar números racionais. Quais números são chamados de racionais?

Resposta: tudo o que pode ser representado como uma fração, onde e são inteiros, e.

Para entender o que é "grau fracionário", considere a fração:

Vamos elevar ambos os lados da equação a uma potência:

Agora vamos lembrar a regra sobre "grau em grau":

Que número deve ser elevado a uma potência para obter?

Esta formulação é a definição da raiz do décimo grau.

Deixe-me lembrá-lo: a raiz da décima potência de um número () é um número que, quando elevado a uma potência, é igual a.

Ou seja, a raiz da décima potência é a operação inversa de elevar a uma potência: .

Acontece que. Obviamente, este caso especial pode ser expandido: .

Agora somamos o numerador: o que é? A resposta é fácil de obter usando a regra potência-potência:

Mas a base pode ser qualquer número? Afinal, a raiz não pode ser extraída de todos os números.

Nenhum!

Lembremos a regra: qualquer número elevado a uma potência par é um número positivo. Ou seja, é impossível extrair raízes pares de números negativos!

Isso significa que tais números não podem ser elevados a uma potência fracionária com denominador par, ou seja, a expressão não faz sentido.

E a expressão?

Mas aqui surge um problema.

O número pode ser representado na forma de outras frações redutíveis, por exemplo, ou.

E acontece que existe, mas não existe, mas são apenas dois registros diferentes do mesmo número.

Ou outro exemplo: uma vez, então você pode anotar. Mas se escrevermos o indicador de forma diferente, teremos problemas novamente: (ou seja, obtivemos um resultado completamente diferente!).

Para evitar tais paradoxos, consideramos apenas expoente de base positivo com expoente fracionário.

Então se:

• - número natural;
• - inteiro;

Exemplos:

Os expoentes racionais são muito úteis para transformar expressões com raízes, por exemplo:

5 exemplos para praticar

Análise de 5 exemplos para treinamento

Bem, agora vem a parte mais difícil. Agora vamos descobrir grau com expoente irracional.

Todas as regras e propriedades dos graus aqui são exatamente as mesmas que para um grau com um expoente racional, com exceção

Afinal, por definição, números irracionais são números que não podem ser representados como uma fração, onde e são inteiros (ou seja, números irracionais são todos números reais, exceto os racionais).

Ao estudar graus com expoentes naturais, inteiros e racionais, cada vez criamos uma certa “imagem”, “analogia” ou descrição em termos mais familiares.

Por exemplo, um grau com expoente natural é um número multiplicado por ele mesmo várias vezes;

...número elevado à potência zero- este é, por assim dizer, um número multiplicado por si mesmo uma vez, ou seja, ainda não começaram a multiplicá-lo, o que significa que o número em si ainda nem apareceu - portanto, o resultado é apenas um certo “número em branco” , nomeadamente um número;

...grau inteiro negativo- é como se tivesse ocorrido algum “processo inverso”, ou seja, o número não foi multiplicado por si mesmo, mas sim dividido.

Aliás, em ciências costuma-se usar um grau com expoente complexo, ou seja, o expoente nem é um número real.

Mas na escola não pensamos nessas dificuldades, você terá a oportunidade de compreender esses novos conceitos no instituto.

ONDE TEMOS CERTEZA QUE VOCÊ IRÁ! (se você aprender a resolver esses exemplos :))

Por exemplo:

Decida por si mesmo:

Análise de soluções:

1. Vamos começar com a regra usual para elevar uma potência a uma potência:

Agora olhe para o indicador. Ele não te lembra nada? Vamos relembrar a fórmula para multiplicação abreviada da diferença de quadrados:

Nesse caso,

Acontece que:

Responder: .

2. Reduzimos as frações em expoentes à mesma forma: ambas as casas decimais ou ambas as ordinárias. Obtemos, por exemplo:

Resposta: 16

3. Nada de especial, usamos as propriedades usuais dos graus:

NÍVEL AVANÇADO

Determinação do grau

Um diploma é uma expressão da forma: , onde:

• — base de graduação;
• - expoente.

Grau com indicador natural (n = 1, 2, 3,...)

Elevar um número à potência natural n significa multiplicar o número por ele mesmo vezes:

Grau com um expoente inteiro (0, ±1, ±2,...)

Se o expoente for número inteiro positivo número:

Construção ao grau zero:

A expressão é indefinida, porque, por um lado, em qualquer grau é isto, e por outro lado, qualquer número elevado à décima potência é isto.

Se o expoente for número inteiro negativo número:

(porque você não pode dividir por).

Mais uma vez sobre zeros: a expressão não está definida no caso. Se então.

Exemplos:

Potência com expoente racional

• - número natural;
• - inteiro;

Exemplos:

Propriedades dos graus

Para facilitar a resolução dos problemas, vamos tentar entender: de onde vieram essas propriedades? Vamos prová-los.

Vamos ver: o que é e?

A-prior:

Assim, no lado direito desta expressão obtemos o seguinte produto:

Mas por definição é uma potência de um número com um expoente, ou seja:

Q.E.D.

Exemplo : Simplifique a expressão.

Solução : .

Exemplo : Simplifique a expressão.

Solução : É importante notar que em nossa regra Necessariamente deve haver as mesmas razões. Portanto, combinamos as potências com a base, mas continua sendo um fator separado:

Outra observação importante: esta regra - apenas para produto de potências!

Sob nenhuma circunstância você pode escrever isso.

Assim como na propriedade anterior, passemos à definição de grau:

Vamos reagrupar esse trabalho assim:

Acontece que a expressão é multiplicada por ela mesma vezes, ou seja, pela definição, esta é a décima potência do número:

Em essência, isso pode ser chamado de “tirar o indicador dos colchetes”. Mas você nunca pode fazer isso no total: !

Vamos relembrar as fórmulas abreviadas de multiplicação: quantas vezes queríamos escrever? Mas isso não é verdade, afinal.

Potência com base negativa.

Até agora discutimos apenas como deveria ser índice graus. Mas qual deveria ser a base? Em poderes de natural indicador a base pode ser qualquer número .

Na verdade, podemos multiplicar quaisquer números entre si, sejam eles positivos, negativos ou pares. Vamos pensar em quais sinais ("" ou "") terão graus de números positivos e negativos?

Por exemplo, o número é positivo ou negativo? A? ?

Com o primeiro tudo fica claro: não importa quantos números positivos multipliquemos, o resultado será positivo.

Mas os negativos são um pouco mais interessantes. Lembramos a regra simples da 6ª série: “menos por menos dá mais”. Isso é, ou. Mas se multiplicarmos por (), obtemos - .

E assim por diante, ad infinitum: a cada multiplicação subsequente, o sinal mudará. As seguintes regras simples podem ser formuladas:

1. até grau, - número positivo.
2. Número negativo elevado para chance grau, - número negativo.
3. Um número positivo em qualquer grau é um número positivo.
4. Zero elevado a qualquer potência é igual a zero.

Determine por si mesmo qual sinal as seguintes expressões terão:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Você conseguiu? Aqui estão as respostas:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nos primeiros quatro exemplos, espero que tudo esteja claro. Simplesmente olhamos para a base e o expoente e aplicamos a regra apropriada.

No exemplo 5) também não é tão assustador quanto parece: afinal, não importa a que a base seja igual - o grau é par, o que significa que o resultado será sempre positivo. Bem, exceto quando a base é zero. A base não é igual, não é? Obviamente não, já que (porque).

Exemplo 6) não é mais tão simples. Aqui você precisa descobrir o que é menos: ou? Se lembrarmos disso, fica claro que, o que significa que a base é menor que zero. Ou seja, aplicamos a regra 2: o resultado será negativo.

E novamente usamos a definição de grau:

Tudo está como sempre - anotamos a definição dos graus e os dividimos entre si, dividimos em pares e obtemos:

Antes de examinarmos a última regra, vamos resolver alguns exemplos.

Calcule as expressões:

Soluções :

Se ignorarmos a oitava potência, o que vemos aqui? Vamos relembrar o programa da 7ª série. Então, você se lembra? Esta é a fórmula para multiplicação abreviada, ou seja, a diferença de quadrados!

Nós temos:

Vejamos cuidadosamente o denominador. Parece muito com um dos fatores do numerador, mas o que há de errado? A ordem dos termos está errada. Se fossem invertidas, poderia aplicar-se a regra 3. Mas como? Acontece que é muito fácil: o grau par do denominador ajuda-nos aqui.

Se você multiplicar por, nada muda, certo? Mas agora acontece assim:

Magicamente, os termos mudaram de lugar. Este “fenómeno” aplica-se a qualquer expressão de forma uniforme: podemos facilmente mudar os sinais entre parênteses. Mas é importante lembrar: Todos os sinais mudam ao mesmo tempo! Você não pode substituí-lo alterando apenas uma desvantagem da qual não gostamos!

Voltemos ao exemplo:

E novamente a fórmula:

Então agora a última regra:

Como vamos provar isso? Claro, como sempre: vamos expandir o conceito de diploma e simplificá-lo:

Bem, agora vamos abrir os colchetes. Quantas letras existem no total? vezes por multiplicadores - o que isso lembra você? Isso nada mais é do que uma definição de uma operação multiplicação: Havia apenas multiplicadores lá. Ou seja, isto, por definição, é uma potência de um número com um expoente:

Exemplo:

Grau com expoente irracional

Além de informações sobre graus para o nível médio, analisaremos o grau com expoente irracional. Todas as regras e propriedades dos graus aqui são exatamente as mesmas que para um grau com um expoente racional, com exceção - afinal, por definição, números irracionais são números que não podem ser representados como uma fração, onde e são inteiros (isto é , os números irracionais são todos números reais, exceto os números racionais).

Ao estudar graus com expoentes naturais, inteiros e racionais, cada vez criamos uma certa “imagem”, “analogia” ou descrição em termos mais familiares. Por exemplo, um grau com expoente natural é um número multiplicado por ele mesmo várias vezes; um número elevado a zero é, por assim dizer, um número multiplicado por si mesmo uma vez, ou seja, ainda não começaram a multiplicá-lo, o que significa que o próprio número ainda nem apareceu - portanto, o resultado é apenas um certo “número em branco”, nomeadamente um número; um grau com expoente inteiro negativo - é como se tivesse ocorrido algum “processo inverso”, ou seja, o número não foi multiplicado por si mesmo, mas sim dividido.

É extremamente difícil imaginar um grau com um expoente irracional (assim como é difícil imaginar um espaço quadridimensional). É antes um objeto puramente matemático que os matemáticos criaram para estender o conceito de grau a todo o espaço dos números.

Aliás, em ciências costuma-se usar um grau com expoente complexo, ou seja, o expoente nem é um número real. Mas na escola não pensamos nessas dificuldades, você terá a oportunidade de compreender esses novos conceitos no instituto.

Então, o que faremos se virmos um expoente irracional? Estamos tentando o nosso melhor para nos livrarmos disso! :)

Por exemplo:

Decida por si mesmo:

1)

2)

3)

Respostas:

1. Vamos lembrar a fórmula da diferença de quadrados. Responder: .
2. Reduzimos as frações à mesma forma: ambas as casas decimais ou ambas as ordinárias. Obtemos, por exemplo: .
3. Nada de especial, usamos as propriedades usuais dos graus:

RESUMO DA SEÇÃO E FÓRMULAS BÁSICAS

Grau chamada de expressão da forma: , onde:

Grau com um expoente inteiro

um grau cujo expoente é um número natural (ou seja, inteiro e positivo).

Potência com expoente racional

grau, cujo expoente são números negativos e fracionários.

Grau com expoente irracional

um grau cujo expoente é uma fração decimal infinita ou raiz.

Propriedades dos graus

Características dos graus.

• Número negativo elevado para até grau, - número positivo.
• Número negativo elevado para chance grau, - número negativo.
• Um número positivo em qualquer grau é um número positivo.
• Zero é igual a qualquer potência.
• Qualquer número elevado a zero é igual.

AGORA VOCÊ TEM A PALAVRA...

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E boa sorte nos seus exames!

pode ser encontrado usando multiplicação. Por exemplo: 5+5+5+5+5+5=5x6. Diz-se que tal expressão significa que a soma de termos iguais é transformada em um produto. E vice-versa, se lermos esta igualdade da direita para a esquerda, descobrimos que expandimos a soma dos termos iguais. Da mesma forma, você pode recolher o produto de vários fatores iguais 5x5x5x5x5x5=5 6.

Ou seja, em vez de multiplicar seis fatores idênticos 5x5x5x5x5x5, eles escrevem 5 6 e dizem “cinco elevado à sexta potência”.

A expressão 5 6 é uma potência de um número, onde:

5 - base de graduação;

6 - expoente.

As ações pelas quais o produto de fatores iguais é reduzido a uma potência são chamadas elevando-se a uma potência.

Em geral, um grau com base “a” e expoente “n” é escrito da seguinte forma

Elevar o número a à potência n significa encontrar o produto de n fatores, cada um dos quais é igual a a

Se a base do grau “a” for igual a 1, então o valor do grau para qualquer número natural n será igual a 1. Por exemplo, 1 5 =1, 1 256 =1

Se você aumentar o número “a” para primeiro grau, então obtemos o próprio número a: uma 1 = uma

Se você aumentar qualquer número para grau zero, então, como resultado dos cálculos, obtemos um. um 0 = 1

A segunda e terceira potências de um número são consideradas especiais. Eles inventaram nomes para eles: o segundo grau é chamado eleve o número ao quadrado, terceiro - cubo este número.

Qualquer número pode ser elevado a uma potência - positivo, negativo ou zero. Neste caso, as seguintes regras não se aplicam:

Ao encontrar a potência de um número positivo, o resultado é um número positivo.

Ao calcular zero elevado à potência natural, obtemos zero.

x m ·x n = x m + n

por exemplo: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Para dividir poderes com as mesmas bases Não alteramos a base, mas subtraímos os expoentes:

x m /xn = x m - n , Onde, m > n,

por exemplo: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Ao calcular elevando uma potência a uma potência Não alteramos a base, mas multiplicamos os expoentes entre si.

(em m ) n = e m n

por exemplo: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · s) n =x n · e eu ,

por exemplo:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Ao realizar cálculos de acordo com elevando uma fração a uma potência elevamos o numerador e o denominador da fração a uma determinada potência

(x/y)n =x n / S n

por exemplo: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

A sequência de cálculos ao trabalhar com expressões contendo um grau.

Ao realizar cálculos de expressões sem parênteses, mas contendo potências, realizam-se primeiro a exponenciação, depois a multiplicação e a divisão, e só depois as operações de adição e subtração.

Se você precisar calcular uma expressão contendo colchetes, primeiro faça os cálculos entre colchetes na ordem indicada acima e, em seguida, as demais ações na mesma ordem, da esquerda para a direita.

Muito amplamente em cálculos práticos, tabelas de potências prontas são usadas para simplificar os cálculos.

É óbvio que números com potências podem ser somados como outras quantidades , adicionando-os um após o outro com seus sinais.

Portanto, a soma de a 3 e b 2 é a 3 + b 2.
A soma de a 3 - b n e h 5 -d 4 é a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chances potências iguais de variáveis ​​​​idênticas pode ser adicionado ou subtraído.

Portanto, a soma de 2a 2 e 3a 2 é igual a 5a 2.

Também é óbvio que se você pegar dois quadrados a, ou três quadrados a, ou cinco quadrados a.

Mas graus diversas variáveis E vários graus variáveis ​​idênticas, devem ser compostos somando-os com seus sinais.

Portanto, a soma de 2 e 3 é a soma de 2 + a 3.

É óbvio que o quadrado de a e o cubo de a não são iguais ao dobro do quadrado de a, mas ao dobro do cubo de a.

A soma de a 3 b n e 3a 5 b 6 é a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtração as potências são realizadas da mesma forma que a adição, exceto que os sinais dos subtraendos devem ser alterados de acordo.

Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplicando poderes

Os números com potências podem ser multiplicados, como outras quantidades, escrevendo-os um após o outro, com ou sem sinal de multiplicação entre eles.

Assim, o resultado da multiplicação de a 3 por b 2 é a 3 b 2 ou aaabb.

Ou:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

O resultado no último exemplo pode ser ordenado adicionando variáveis ​​idênticas.
A expressão terá a forma: a 5 b 5 y 3.

Ao comparar vários números (variáveis) com potências, podemos ver que se dois deles forem multiplicados, o resultado será um número (variável) com uma potência igual a quantia graus de termos.

Então, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aqui 5 é a potência do resultado da multiplicação, igual a 2 + 3, a soma das potências dos termos.

Então, a n .a m = a m+n .

Para a n , a é considerado um fator tantas vezes quanto a potência de n;

E a m é tomado como fator tantas vezes quanto o grau m for igual;

É por isso, potências com as mesmas bases podem ser multiplicadas somando os expoentes das potências.

Então, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ou:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplique (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Resposta: x 4 - y 4.
Multiplique (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Esta regra também é verdadeira para números cujos expoentes são negativo.

1. Então, a -2 .a -3 = a -5 . Isso pode ser escrito como (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Se a + b forem multiplicados por a - b, o resultado será a 2 - b 2: isto é

O resultado da multiplicação da soma ou diferença de dois números é igual à soma ou diferença de seus quadrados.

Se você multiplicar a soma e a diferença de dois números elevados a quadrado, o resultado será igual à soma ou diferença desses números em quarto graus.

Então, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Divisão de graus

Os números com potências podem ser divididos como outros números, subtraindo-os do dividendo ou colocando-os na forma de fração.

Assim, a 3 b 2 dividido por b 2 é igual a 3.

Ou:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Escrever um 5 dividido por 3 parece $\frac(a^5)(a^3)$. Mas isso é igual a 2 . Em uma série de números
uma +4 , uma +3 , uma +2 , uma +1 , uma 0 , uma -1 , uma -2 , uma -3 , uma -4 .
qualquer número pode ser dividido por outro, e o expoente será igual a diferença indicadores de números divisíveis.

Ao dividir graus com a mesma base, seus expoentes são subtraídos..

Então, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Ou seja, $\frac(yyy)(yy) = y$.

E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ou seja, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ou:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

A regra também é verdadeira para números com negativo valores de graus.
O resultado da divisão de -5 por -3 é -2.
Além disso, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ou $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

É necessário dominar muito bem a multiplicação e divisão de potências, pois tais operações são muito utilizadas em álgebra.

Exemplos de resolução de exemplos com frações contendo números com potências

1. Reduza os expoentes em $\frac(5a^4)(3a^2)$ Resposta: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Diminua os expoentes em $\frac(6x^6)(3x^5)$. Resposta: $\frac(2x)(1)$ ou 2x.

3. Reduza os expoentes a 2 /a 3 e a -3 /a -4 e traga para um denominador comum.
a 2 .a -4 é a -2 o primeiro numerador.
a 3 .a -3 é a 0 = 1, o segundo numerador.
a 3 .a -4 é a -1 , o numerador comum.
Após simplificação: a -2 /a -1 e 1/a -1 .

4. Reduza os expoentes 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e traga para um denominador comum.
Resposta: 2a 3 /5a 7 e 5a 5 /5a 7 ou 2a 3 /5a 2 e 5/5a 2.

5. Multiplique (a 3 + b)/b 4 por (a - b)/3.

6. Multiplique (a 5 + 1)/x 2 por (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplique b 4 /a -2 por h -3 /x e a n /y -3 .

8. Divida a 4 /y 3 por a 3 /y 2 . Resposta: a/s.

9. Divida (h 3 - 1)/d 4 por (d n + 1)/h.

Descobrimos o que realmente é uma potência de um número. Agora precisamos entender como calculá-lo corretamente, ou seja, elevar números a potências. Neste material analisaremos as regras básicas para cálculo de graus no caso de expoentes inteiros, naturais, fracionários, racionais e irracionais. Todas as definições serão ilustradas com exemplos.

Yandex.RTB RA-339285-1

O conceito de exponenciação

Vamos começar formulando definições básicas.

Definição 1

Exponenciação- este é o cálculo do valor da potência de um determinado número.

Ou seja, as palavras “calcular o valor de uma potência” e “elevar a uma potência” significam a mesma coisa. Portanto, se o problema diz “Eleve o número 0, 5 à quinta potência”, isso deve ser entendido como “calcular o valor da potência (0, 5) 5.

Apresentamos agora as regras básicas que devem ser seguidas ao fazer tais cálculos.

Vamos lembrar o que é uma potência de um número com um expoente natural. Para uma potência com base a e expoente n, este será o produto do enésimo número de fatores, cada um dos quais é igual a a. Isso pode ser escrito assim:

Para calcular o valor de um grau, é necessário realizar uma ação de multiplicação, ou seja, multiplicar as bases do grau o número especificado de vezes. O próprio conceito de grau com expoente natural é baseado na capacidade de multiplicação rápida. Vamos dar exemplos.

Exemplo 1

Condição: aumentar - 2 elevado à potência 4.

Solução

Usando a definição acima, escrevemos: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Em seguida, só precisamos seguir estes passos e obter 16.

Vamos dar um exemplo mais complicado.

Exemplo 2

Calcule o valor 3 2 7 2

Solução

Esta entrada pode ser reescrita como 3 2 7 · 3 2 7 . Anteriormente, vimos como multiplicar corretamente os números mistos mencionados na condição.

Vamos realizar estas etapas e obter a resposta: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Se o problema indicar a necessidade de elevar os números irracionais a uma potência natural, precisaremos primeiro arredondar suas bases para o dígito que nos permitirá obter uma resposta com a precisão necessária. Vejamos um exemplo.

Exemplo 3

Execute o quadrado de π.

Solução

Primeiro, vamos arredondar para centésimos. Então π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Se π ≈ 3. 14159, então obtemos um resultado mais preciso: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Observe que a necessidade de calcular potências de números irracionais surge relativamente raramente na prática. Podemos então escrever a resposta como a própria potência (ln 6) 3 ou convertê-la, se possível: 5 7 = 125 5 .

Separadamente, deve ser indicado qual é a primeira potência de um número. Aqui você pode simplesmente lembrar que qualquer número elevado à primeira potência permanecerá ele mesmo:

Isso fica claro na gravação .

Não depende da base do diploma.

Exemplo 4

Portanto, (− 9) 1 = − 9, e 7 3 elevado à primeira potência permanecerá igual a 7 3.

Por conveniência, examinaremos três casos separadamente: se o expoente for um número inteiro positivo, se for zero e se for um número inteiro negativo.

No primeiro caso, é o mesmo que elevar a uma potência natural: afinal, os inteiros positivos pertencem ao conjunto dos números naturais. Já falamos acima sobre como trabalhar com tais diplomas.

Agora vamos ver como elevar corretamente à potência zero. Para uma base diferente de zero, este cálculo sempre resulta em 1. Explicamos anteriormente que a 0ª potência de a pode ser definida para qualquer número real diferente de 0 e a 0 = 1.

Exemplo 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - não definido.

Ficamos apenas com o caso de um grau com um expoente inteiro negativo. Já discutimos que tais graus podem ser escritos como uma fração 1 a z, onde a é qualquer número e z é um número inteiro negativo. Vemos que o denominador desta fração nada mais é do que uma potência comum com um expoente inteiro positivo, e já aprendemos como calculá-lo. Vamos dar exemplos de tarefas.

Exemplo 6

Eleve 3 à potência - 2.

Solução

Usando a definição acima, escrevemos: 2 - 3 = 1 2 3

Vamos calcular o denominador desta fração e obter 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Então a resposta é: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exemplo 7

Eleve 1,43 à potência -2.

Solução

Vamos reformular: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Calculamos o quadrado no denominador: 1,43·1,43. Os decimais podem ser multiplicados desta forma:

Como resultado, obtivemos (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Basta escrever esse resultado na forma de uma fração ordinária, para a qual precisamos multiplicá-lo por 10 mil (veja o material sobre conversão de frações).

Resposta: (1, 43) - 2 = 10.000 20449

Um caso especial é elevar um número à primeira potência negativa. O valor deste grau é igual ao inverso do valor original da base: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Exemplo 8

Exemplo: 3 - 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Como elevar um número a uma potência fracionária

Para realizar tal operação, precisamos lembrar a definição básica de um grau com expoente fracionário: a m n = a m n para qualquer a positivo, inteiro m e n natural.

Definição 2

Assim, o cálculo de uma potência fracionária deve ser realizado em duas etapas: elevando a uma potência inteira e encontrando a raiz da enésima potência.

Temos a igualdade a m n = a m n , que, levando em consideração as propriedades das raízes, costuma ser usada para resolver problemas na forma a m n = a n m . Isso significa que se elevarmos um número a a uma potência fracionária m / n, primeiro extraímos a enésima raiz de a e, a seguir, elevamos o resultado a uma potência com um expoente inteiro m.

Vamos ilustrar com um exemplo.

Exemplo 9

Calcule 8 - 2 3 .

Solução

Método 1: De acordo com a definição básica, podemos representar isso como: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Agora vamos calcular o grau sob a raiz e extrair a terceira raiz do resultado: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Método 2. Transforme a igualdade básica: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Depois disso, extraímos a raiz 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 e elevamos ao quadrado o resultado: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vemos que as soluções são idênticas. Você pode usá-lo da maneira que quiser.

Há casos em que o grau possui um indicador expresso em número misto ou fração decimal. Para simplificar os cálculos, é melhor substituí-la por uma fração ordinária e calcular conforme indicado acima.

Exemplo 10

Eleve 44, 89 à potência de 2, 5.

Solução

Vamos transformar o valor do indicador em uma fração ordinária - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Agora realizamos em ordem todas as ações indicadas acima: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Resposta: 13 501, 25107.

Se o numerador e o denominador de um expoente fracionário contiverem números grandes, calcular esses expoentes com expoentes racionais é uma tarefa bastante difícil. Geralmente requer tecnologia de computador.

Detenhamo-nos separadamente em potências com base zero e um expoente fracionário. Uma expressão da forma 0 m n pode ter o seguinte significado: se m n > 0, então 0 m n = 0 m n = 0; se eu n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Como elevar um número a uma potência irracional

A necessidade de calcular o valor de uma potência cujo expoente é um número irracional não surge com tanta frequência. Na prática, a tarefa geralmente se limita a calcular um valor aproximado (até um determinado número de casas decimais). Geralmente é calculado em um computador devido à complexidade de tais cálculos, por isso não vamos nos alongar sobre isso, apenas indicaremos as principais disposições.

Se precisarmos calcular o valor de uma potência a com um expoente irracional a, então pegamos a aproximação decimal do expoente e contamos a partir dela. O resultado será uma resposta aproximada. Quanto mais precisa for a aproximação decimal, mais precisa será a resposta. Vamos mostrar com um exemplo:

Exemplo 11

Calcule o valor aproximado de 21, 174367....

Solução

Limitemo-nos à aproximação decimal a n = 1, 17. Vamos realizar cálculos usando este número: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Se tomarmos, por exemplo, a aproximação a n = 1, 1743, então a resposta será um pouco mais precisa: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

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