Adição de números negativos.

A soma dos números negativos é um número negativo. O módulo da soma é igual à soma dos módulos dos termos.

Vamos descobrir por que a soma dos números negativos também será um número negativo. A linha de coordenadas nos ajudará nisso, na qual adicionaremos os números -3 e -5. Marquemos um ponto na linha de coordenadas correspondente ao número -3.

Ao número -3 precisamos adicionar o número -5. Para onde vamos do ponto correspondente ao número -3? Isso mesmo, esquerda! Para segmentos de 5 unidades. Marcamos um ponto e escrevemos o número correspondente a ele. Este número é -8.

Assim, ao somar números negativos pela reta coordenada, estamos sempre à esquerda da origem, portanto, fica claro que o resultado da soma de números negativos também é um número negativo.

Observação. Adicionamos os números -3 e -5, ou seja, encontrou o valor da expressão -3+(-5). Normalmente, ao somar números racionais, eles simplesmente anotam esses números com seus sinais, como se listassem todos os números que precisam ser somados. Essa notação é chamada de soma algébrica. Aplique (no nosso exemplo) a entrada: -3-5=-8.

Exemplo. Encontre a soma dos números negativos: -23-42-54. (Você concorda que esta entrada é mais curta e mais conveniente assim: -23+(-42)+(-54))?

Vamos decidir Segundo a regra de soma de números negativos: somamos os módulos dos termos: 23+42+54=119. O resultado terá um sinal de menos.

Eles geralmente escrevem assim: -23-42-54=-119.

Adição de números com sinais diferentes.

A soma de dois números com sinais diferentes tem o sinal de um termo com grande valor absoluto. Para encontrar o módulo de uma soma, você precisa subtrair o módulo menor do módulo maior..

Vamos realizar a adição de números com sinais diferentes usando uma linha de coordenadas.

1) -4+6. Você precisa adicionar o número 6 ao número -4. Vamos marcar o número -4 com um ponto na linha de coordenadas. O número 6 é positivo, o que significa que do ponto com coordenada -4 precisamos ir 6 segmentos unitários para a direita. Encontramo-nos à direita da origem (de zero) por 2 segmentos unitários.

O resultado da soma dos números -4 e 6 é o número positivo 2:

- 4+6=2. Como você conseguiu o número 2? Subtraia 4 de 6, ou seja, subtraia o menor do módulo maior. O resultado tem o mesmo sinal do termo com módulo grande.

2) Vamos calcular: -7+3 usando a linha de coordenadas. Marque o ponto correspondente ao número -7. Vamos para a direita por 3 segmentos unitários e obtemos um ponto com coordenada -4. Estávamos e continuamos à esquerda da origem: a resposta é um número negativo.

— 7+3=-4. Poderíamos obter este resultado desta forma: do módulo maior subtraímos o menor, ou seja, 7-3=4. Como resultado, colocamos o sinal do termo com módulo maior: |-7|>|3|.

Exemplos. Calcular: A) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.

Neste artigo vamos tratar somando números com sinais diferentes. Aqui daremos uma regra para somar números positivos e negativos e consideraremos exemplos de aplicação desta regra ao somar números com sinais diferentes.

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Regra para somar números com sinais diferentes

Exemplos de adição de números com sinais diferentes

Vamos considerar exemplos de adição de números com sinais diferentes de acordo com a regra discutida no parágrafo anterior. Vamos começar com um exemplo simples.

Exemplo.

Adicione os números −5 e 2.

Solução.

Precisamos somar números com sinais diferentes. Vamos seguir todos os passos prescritos pela regra de adição de números positivos e negativos.

Primeiro, encontramos os módulos dos termos; eles são iguais a 5 e 2, respectivamente.

O módulo do número −5 é maior que o módulo do número 2, então lembre-se do sinal de menos.

Resta colocar o sinal de menos lembrado antes do número resultante, obtemos −3. Isso completa a adição de números com sinais diferentes.

Responder:

(−5)+2=−3 .

Para somar números racionais com sinais diferentes que não sejam inteiros, eles devem ser representados como frações ordinárias (você também pode trabalhar com decimais, se for conveniente). Vejamos este ponto ao resolver o próximo exemplo.

Exemplo.

Adicione um número positivo e um número negativo −1,25.

Solução.

Vamos representar os números na forma de frações ordinárias; para isso, realizaremos a transição de um número misto para uma fração imprópria: e converteremos a fração decimal em uma fração ordinária: .

Agora você pode usar a regra para somar números com sinais diferentes.

Os módulos dos números adicionados são 17/8 e 5/4. Para comodidade de ações posteriores, trazemos as frações para um denominador comum, como resultado temos 17/8 e 10/8.

Agora precisamos comparar as frações comuns 17/8 e 10/8. Desde 17>10, então. Assim, o termo com sinal de mais possui módulo maior, portanto, lembre-se do sinal de mais.

Agora subtraímos o menor do módulo maior, ou seja, subtraímos frações com os mesmos denominadores: .

Resta colocar o sinal de mais lembrado antes do número resultante, obtemos , mas - este é o número 7/8.

“Adicionando números com sinais diferentes” - Livro didático de matemática, 6ª série (Vilenkin)

Pequena descrição:

Nesta seção você aprenderá as regras para somar números com sinais diferentes: ou seja, aprenderá a somar números negativos e positivos.
Você já sabe como adicioná-los em uma linha de coordenadas, mas em cada exemplo você não desenhará uma linha reta e contará usando-a? Portanto, você precisa aprender a dobrar sem ele.
Vamos tentar adicionar um número negativo a um número positivo, por exemplo, oito mais menos seis: 8+(-6). Você já sabe que adicionar um número negativo reduz o número original em um valor negativo. Isso significa que oito deve ser reduzido por seis, ou seja, seis devem ser subtraídos de oito: 8-6 = 2, o que dá dois. Neste exemplo, tudo parece claro: subtraímos seis de oito.
E se tomarmos este exemplo: adicione um número positivo a um número negativo. Por exemplo, menos oito soma seis: -8+6. A essência permanece a mesma: reduzimos um número positivo pelo valor de um negativo, obtemos seis menos oito é menos dois: -8+6=-2.
Como você percebeu, tanto no primeiro quanto no segundo exemplo com números, a ação de subtração é realizada. Por que? Porque eles têm sinais diferentes (mais e menos). Para evitar cometer erros ao somar números com sinais diferentes, você deve executar o seguinte algoritmo:
1. encontre os módulos dos números;
2. subtraia o módulo menor do módulo maior;
3. Antes do resultado obtido, coloque um sinal numérico com um valor absoluto grande (geralmente apenas um sinal de menos é colocado e um sinal de mais não é colocado).
Se você adicionar números com sinais diferentes seguindo este algoritmo, terá muito menos chance de cometer um erro.

Neste artigo vamos tratar somando números com sinais diferentes. Aqui daremos uma regra para somar números positivos e negativos e consideraremos exemplos de aplicação desta regra ao somar números com sinais diferentes.

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Regra para somar números com sinais diferentes

Os números positivos e negativos podem ser interpretados como propriedade e dívida, respectivamente, enquanto os módulos de números mostram o valor da propriedade e da dívida. Então a soma de números com sinais diferentes pode ser considerada como a soma de bens e dívidas. É claro que se o imóvel for menor que a dívida, então após a compensação haverá uma dívida, se o imóvel for maior que a dívida, então após a compensação haverá propriedade, e se o imóvel for igual à dívida, então após a liquidação não haverá dívida nem propriedade.

Vamos combinar os argumentos acima em regra para somar números com sinais diferentes. Para adicionar um número positivo e negativo, você precisa:

• encontre os módulos dos termos;
• compare os números obtidos, enquanto
  • se os números resultantes forem iguais, então os termos originais são números opostos e sua soma é zero,
  • se os números resultantes não forem iguais, é necessário lembrar o sinal do número cujo módulo é maior;
• subtraia o menor do módulo maior;
• Antes do número resultante coloque o sinal do termo cujo módulo é maior.

A regra declarada reduz a adição de números com sinais diferentes à subtração de um número menor de um número positivo maior. Também está claro que, como resultado da adição de um número positivo e um número negativo, você pode obter um número positivo, ou um número negativo, ou zero.

Observe também que a regra de adição de números com sinais diferentes é válida para números inteiros, para números racionais e para números reais.

Exemplos de adição de números com sinais diferentes

Vamos considerar exemplos de adição de números com sinais diferentes de acordo com a regra discutida no parágrafo anterior. Vamos começar com um exemplo simples.

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Adição e subtração de frações

As frações são números comuns e também podem ser adicionadas e subtraídas. Mas porque têm um denominador, exigem regras mais complexas do que para números inteiros.

Consideremos o caso mais simples, quando existem duas frações com os mesmos denominadores. Então:

Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador inalterado.

Para subtrair frações com os mesmos denominadores, você precisa subtrair o numerador da segunda do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado novamente.

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Dentro de cada expressão, os denominadores das frações são iguais. Pela definição de adição e subtração de frações, obtemos:

Como você pode ver, nada complicado: basta somar ou subtrair os numeradores - isso é tudo.

Mas mesmo nessas ações simples, as pessoas conseguem cometer erros. O que muitas vezes se esquece é que o denominador não muda. Por exemplo, ao adicioná-los, eles também começam a somar, e isso é fundamentalmente errado.

Livrar-se do mau hábito de somar denominadores é bastante simples. Tente a mesma coisa ao subtrair. Como resultado, o denominador será zero e a fração (de repente!) perderá o significado.

Portanto, lembre-se de uma vez por todas: ao somar e subtrair, o denominador não muda!

Muitas pessoas também cometem erros ao adicionar várias frações negativas. Há confusão com os sinais: onde colocar o sinal de menos e onde colocar o sinal de mais.

Este problema também é muito fácil de resolver. Basta lembrar que o menos antes do sinal de uma fração sempre pode ser transferido para o numerador - e vice-versa. E claro, não se esqueça de duas regras simples:

• Mais por menos dá menos;
• Duas negativas formam uma afirmativa.

Vejamos tudo isso com exemplos específicos:



No primeiro caso tudo é simples, mas no segundo vamos adicionar menos aos numeradores das frações:



O que fazer se os denominadores forem diferentes

Você não pode adicionar frações com denominadores diferentes diretamente. Pelo menos, esse método é desconhecido para mim. No entanto, as frações originais sempre podem ser reescritas para que os denominadores fiquem iguais.

Existem muitas maneiras de converter frações. Três deles são discutidos na lição “Reduzindo frações a um denominador comum”, portanto não nos deteremos neles aqui. Vejamos alguns exemplos:



No primeiro caso, reduzimos as frações a um denominador comum usando o método “cruzado”. Na segunda procuraremos o NOC. Observe que 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Os últimos fatores nessas expansões são iguais e os primeiros são relativamente primos. Portanto, MMC(6, 9) = 2 3 3 = 18.



O que fazer se uma fração tiver uma parte inteira

Posso te agradar: diferentes denominadores em frações não são o maior mal. Muito mais erros ocorrem quando a parte inteira é destacada nas frações adicionais.

É claro que existem algoritmos próprios de adição e subtração para tais frações, mas eles são bastante complexos e requerem um longo estudo. Melhor usar o diagrama simples abaixo:

• Converta todas as frações contendo uma parte inteira em impróprias. Obtemos termos normais (mesmo com denominadores diferentes), que são calculados de acordo com as regras discutidas acima;
• Na verdade, calcule a soma ou diferença das frações resultantes. Como resultado, encontraremos praticamente a resposta;
• Se isso é tudo o que é necessário no problema, realizamos a transformação inversa, ou seja, Eliminamos uma fração imprópria destacando a parte inteira.

As regras para passar para frações impróprias e destacar a parte inteira são descritas em detalhes na lição “O que é uma fração numérica”. Se você não se lembra, não se esqueça de repetir. Exemplos:

Tudo é simples aqui. Os denominadores dentro de cada expressão são iguais, então resta apenas converter todas as frações em impróprias e contar. Nós temos:



Para simplificar os cálculos, pulei algumas etapas óbvias nos últimos exemplos.

Uma pequena nota sobre os dois últimos exemplos, onde as frações com a parte inteira destacada são subtraídas. O menos antes da segunda fração significa que toda a fração é subtraída, e não apenas a sua parte inteira.

Releia esta frase novamente, veja os exemplos - e pense a respeito. É aqui que os iniciantes cometem um grande número de erros. Eles adoram apresentar esses problemas nos testes. Você também os encontrará diversas vezes nos testes desta lição, que serão publicados em breve.

Resumo: esquema geral de cálculo

Concluindo, darei um algoritmo geral que o ajudará a encontrar a soma ou diferença de duas ou mais frações:

>>Matemática: Adicionando números com sinais diferentes

33. Adição de números com sinais diferentes

Se a temperatura do ar fosse igual a 9 °C e depois mudasse para - 6 °C (ou seja, diminuísse 6 °C), então ela se tornaria igual a 9 + (- 6) graus (Fig. 83).

Para somar os números 9 e - 6 usando , você precisa mover o ponto A (9) para a esquerda em 6 segmentos unitários (Fig. 84). Obtemos o ponto B (3).

Isso significa 9+(- 6) = 3. O número 3 tem o mesmo sinal que o termo 9, e seu módulo igual à diferença entre os módulos dos termos 9 e -6.

Na verdade, |3| =3 e |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.

Se a mesma temperatura do ar de 9°C mudou em -12°C (ou seja, diminuiu em 12°C), então ela se tornou igual a 9 + (-12) graus (Fig. 85). Somando os números 9 e -12 usando a linha de coordenadas (Fig. 86), obtemos 9 + (-12) = -3. O número -3 tem o mesmo sinal do termo -12, e seu módulo é igual à diferença entre os módulos dos termos -12 e 9.

Na verdade, | -3| = 3 e | -12| - | -9| =12 - 9 = 3.

Para somar dois números com sinais diferentes, você precisa:

1) subtrair o menor do maior módulo dos termos;

2) colocar antes do número resultante o sinal do termo cujo módulo é maior.

Normalmente, o sinal da soma é primeiro determinado e escrito, e então a diferença nos módulos é encontrada.

Por exemplo:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
ou menor 6,1+(- 4,2) = 6,1 - 4,2 = 1,9;

Ao adicionar números positivos e negativos você pode usar microcalculadora. Para inserir um número negativo em uma microcalculadora, você precisa inserir o módulo desse número e pressionar a tecla “alterar sinal” |/-/|. Por exemplo, para inserir o número -56,81, deve-se pressionar sequencialmente as teclas: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. As operações com números de qualquer sinal são realizadas em uma microcalculadora da mesma forma que com números positivos.

Por exemplo, a soma -6,1 + 3,8 é calculada usando programa

? Os números a e b têm sinais diferentes. Que sinal terá a soma desses números se o módulo maior for negativo?

se o módulo menor for negativo?

se o módulo maior for um número positivo?

se o módulo menor for um número positivo?

Formule uma regra para somar números com sinais diferentes. Como inserir um número negativo em uma microcalculadora?

PARA 1045. O número 6 foi alterado para -10. De que lado da origem está localizado o número resultante? A que distância da origem ele está localizado? A que é igual soma 6 e -10?

1046. O número 10 foi alterado para -6. De que lado da origem está localizado o número resultante? A que distância da origem ele está localizado? Qual é a soma de 10 e -6?

1047. O número -10 foi alterado para 3. De que lado da origem está localizado o número resultante? A que distância da origem ele está localizado? Qual é a soma de -10 e 3?

1048. O número -10 foi alterado para 15. De que lado da origem está localizado o número resultante? A que distância da origem ele está localizado? Qual é a soma de -10 e 15?

1049. Na primeira metade do dia a temperatura variou - 4 °C, e na segunda metade - + 12 °C. Em quantos graus a temperatura mudou durante o dia?

1050. Execute a adição:

1051. Adicione:

a) à soma de -6 e -12 o número 20;
b) para o número 2,6 a soma é -1,8 e 5,2;
c) à soma -10 e -1,3 a soma de 5 e 8,7;
d) à soma de 11 e -6,5 a soma de -3,2 e -6.

1052. Qual número é 8; 7.1; -7,1; -7; -0,5 é a raiz equações-6 + x = -13,1?

1053. Adivinhe a raiz da equação e verifique:

a) x + (-3) = -11; c) m + (-12) = 2;
b) - 5 + y=15; d) 3 + n = -10.

1054. Encontre o significado da expressão:

1055. Siga os passos usando uma microcalculadora:

a) - 3,2579 + (-12,308); d) -3,8564+ (-0,8397) +7,84;
b) 7,8547+ (-9,239); e) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
c) -0,00154 + 0,0837; e) -0,0085+ 0,00354+ (- 0,00921).

P 1056. Encontre o valor da soma:

1057. Encontre o significado da expressão:

1058. Quantos inteiros estão localizados entre os números:

a) 0 e 24; b) -12 e -3; c) -20 e 7?

1059. Imagine o número -10 como a soma de dois termos negativos de modo que:

a) ambos os termos eram inteiros;
b) ambos os termos eram frações decimais;
c) um dos termos era regular ordinário fração.

1060. Qual é a distância (em segmentos unitários) entre os pontos da linha de coordenadas com coordenadas:

a) 0 e uma; b) -a e a; c) -a e 0; d) a e -Za?

M 1061. Os raios dos paralelos geográficos da superfície terrestre onde estão localizadas as cidades de Atenas e Moscou são respectivamente iguais a 5.040 km e 3.580 km (Fig. 87). Quão mais curto é o paralelo de Moscou do que o paralelo de Atenas?

1062. Escreva uma equação para resolver o problema: “Um campo com área de 2,4 hectares foi dividido em duas seções. Encontrar quadrado cada site, se for conhecido que um dos sites:

a) 0,8 hectares a mais que outro;
b) 0,2 hectares a menos que outro;
c) 3 vezes mais que outro;
d) 1,5 vezes menos que outro;
e) constitui outro;
e) é 0,2 do outro;
g) constitui 60% dos demais;
h) é 140% do outro.”

1063. Resolva o problema:

1) No primeiro dia os viajantes percorreram 240 km, no segundo dia 140 km, no terceiro dia viajaram 3 vezes mais que no segundo e no quarto dia descansaram. Quantos quilômetros percorreram no quinto dia, se em 5 dias percorreram em média 230 km por dia?

2) A renda mensal do pai é de 280 rublos. A bolsa da minha filha é 4 vezes menor. Quanto ganha uma mãe por mês se há 4 pessoas na família, o filho mais novo é um estudante e cada pessoa recebe em média 135 rublos?

1064. Siga estes passos:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. Apresente cada um dos números como a soma de dois termos iguais:

1067. Encontre o valor de a + b se:

uma) uma= -1,6, b=3,2; b) a=- 2,6, b = 1,9; V)

1068. Havia 8 apartamentos em um andar de um edifício residencial. 2 apartamentos tinham área habitacional de 22,8 m2, 3 apartamentos - 16,2 m2, 2 apartamentos - 34 m2. Que área habitacional tinha o oitavo apartamento se neste piso cada apartamento tinha em média 24,7 m2 de área habitacional?

1069. O trem de carga consistia em 42 vagões. Havia 1,2 vezes mais carros cobertos do que plataformas, e o número de tanques era igual ao número de plataformas. Quantos vagões de cada tipo estavam no trem?

1070. Encontre o significado da expressão

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