Matriz de tamanhos m por n.

Matriz tamanho m por n é uma coleção de mn números reais ou elementos de outra estrutura (polinômios, funções, etc.), escritos na forma de uma tabela retangular, que consiste em m linhas en colunas e tomadas em forma redonda ou retangular ou dupla colchetes retos. Neste caso, os próprios números são chamados de elementos da matriz e cada elemento está associado a dois números - o número da linha e o número da coluna. Uma matriz de tamanho n por n é chamada quadrado matriz de enésima ordem, ou seja, o número de linhas é igual ao número de colunas. Triangular - uma matriz quadrada em que todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são iguais a zero. Uma matriz quadrada é chamada diagonal , se todos os seus elementos fora da diagonal forem iguais a zero. Escalar matriz - uma matriz diagonal cujos elementos diagonais principais são iguais. Um caso especial de matriz escalar é a matriz identidade. Diagonal uma matriz na qual todos os elementos diagonais são iguais a 1 é chamada solteiro matriz e é denotada pelo símbolo I ou E. Uma matriz cujos elementos são todos zero é chamada nulo matriz e é denotado pelo símbolo O.

Multiplicando a matriz A por um número λ (símbolo: λ A) consiste em construir uma matriz B, cujos elementos são obtidos multiplicando cada elemento da matriz A por este número, ou seja, cada elemento da matriz Bé igual a

Propriedades de multiplicação de matrizes por um número

1. 1*A = UMA; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Adição de matriz A + B é a operação de encontrar uma matriz C, todos os elementos são iguais à soma aos pares de todos os elementos da matriz correspondentes A E B, ou seja, cada elemento da matriz Cé igual a

Propriedades de adição de matriz

5. comutatividade) a+b=b+a

6.associatividade.

7.adição com matriz zero;

8.existência de uma matriz oposta (a mesma coisa, mas há pontos negativos em todos os lugares antes de cada número)

Multiplicação da matriz - existe uma operação de cálculo matricial C, cujos elementos são iguais à soma dos produtos dos elementos na linha correspondente do primeiro fator e na coluna do segundo.

Número de colunas na matriz A deve corresponder ao número de linhas da matriz B. Se matriz A tem dimensão, B- , então a dimensão do seu produto AB = C Há .

Propriedades da multiplicação de matrizes

1. associatividade; (veja acima)

2. o produto não é comutativo;

3.o produto é comutativo no caso de multiplicação com a matriz identidade;

4.justiça do direito distributivo; A*(B+C)=A*B+A*C.

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. Determinante de uma matriz quadrada de primeira e enésima ordem

O determinante de uma matriz é um polinômio dos elementos de uma matriz quadrada (ou seja, aquele em que o número de linhas e colunas é igual a

Determinação via expansão na primeira linha

Para uma matriz de primeira ordem determinanteé o único elemento desta matriz:

Pois uma matriz de determinantes é definida como

Para uma matriz, o determinante é especificado recursivamente:

, onde é um menor adicional para o elemento a 1j. Esta fórmula é chamada expansão de linha.

Em particular, a fórmula para calcular o determinante de uma matriz é:

= a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31

Propriedades dos determinantes

Ao adicionar uma combinação linear de outras linhas (colunas) a qualquer linha (coluna), o determinante não muda.

§ Se duas linhas (colunas) de uma matriz coincidem, então seu determinante é igual a zero.

§ Se duas (ou várias) linhas (colunas) de uma matriz são linearmente dependentes, então seu determinante é igual a zero.

§ Se você reorganizar duas linhas (colunas) de uma matriz, seu determinante será multiplicado por (-1).

§ O fator comum dos elementos de qualquer série de um determinante pode ser retirado do sinal do determinante.

§ Se pelo menos uma linha (coluna) da matriz for zero, então o determinante é igual a zero.

§ A soma dos produtos de todos os elementos de qualquer linha pelos seus complementos algébricos é igual ao determinante.

§ A soma dos produtos de todos os elementos de qualquer série pelos complementos algébricos dos elementos correspondentes de uma série paralela é igual a zero.

§ O determinante do produto de matrizes quadradas da mesma ordem é igual ao produto dos seus determinantes (ver também a fórmula de Binet-Cauchy).

§ Usando a notação de índice, o determinante de uma matriz 3x3 pode ser definido usando o símbolo de Levi-Civita da relação:

Matriz inversa.

Matriz inversa - tal matriz A-1, quando multiplicado pelo qual a matriz original A resulta na matriz identidade E:

Condicional existência:

Uma matriz quadrada é invertível se e somente se for não singular, ou seja, seu determinante não for igual a zero. Para matrizes não quadradas e matrizes singulares, não existem matrizes inversas.

Fórmula para encontrar

Se a matriz for invertível, para encontrar a matriz inversa você pode usar um dos seguintes métodos:

a) Usando uma matriz de adições algébricas

CT- matriz transposta de adições algébricas;

A matriz resultante A−1 e será o inverso. A complexidade do algoritmo depende da complexidade do algoritmo de cálculo do determinante O det e é igual a O(n²)·O det.

Em outras palavras, a matriz inversa é igual a um dividido pelo determinante da matriz original e multiplicado pela matriz transposta de adições algébricas (o menor é multiplicado por (-1) elevado à potência do espaço que ocupa) de os elementos da matriz original.

4. Sistema de equações lineares. Solução do sistema. Compatibilidade e incompatibilidade do sistema. método matricial para resolver um sistema de n equações lineares com n variáveis. Teorema de Krammer.

Sistema eu equações lineares com n desconhecido(ou, sistema linear) em álgebra linear é um sistema de equações da forma

(1)

Aqui x 1 , x 2 , …, x n- incógnitas que precisam ser determinadas. a 11 , a 12 , …, um minuto- coeficientes do sistema - e b 1 , b 2 , … bm- membros gratuitos - são considerados conhecidos. Índices de coeficiente ( um ij) sistemas denotam números de equações ( eu) e desconhecido ( j), em que este coeficiente se situa, respectivamente.

O sistema (1) é chamado homogêneo, se todos os seus termos livres forem iguais a zero ( b 1 = b 2 = … = bm= 0), caso contrário - heterogêneo.

O sistema (1) é chamado quadrado, se número eu equações iguais ao número n desconhecido.

Solução sistemas (1) - conjunto n números c 1 , c 2 , …, c n, de modo que a substituição de cada c eu em vez de XI no sistema (1) transforma todas as suas equações em identidades.

O sistema (1) é chamado articulação, se tiver pelo menos uma solução, e não articulado, se ela não tiver uma solução única.

Um sistema conjunto do tipo (1) pode ter uma ou mais soluções.

Soluções c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) e c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) sistemas conjuntos da forma (1) são chamados vários, se pelo menos uma das igualdades for violada:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Formulário matricial

Um sistema de equações lineares pode ser representado em forma de matriz como:

Ax = B.

Se uma coluna de termos livres for adicionada à matriz A à direita, a matriz resultante será chamada de estendida.

Métodos diretos

Método de Cramer (regra de Cramer)- um método para resolver sistemas quadráticos de equações algébricas lineares com um determinante diferente de zero da matriz principal (e para tais equações existe uma solução única). Nomeado em homenagem a Gabriel Cramer (1704–1752), que inventou o método.

Descrição do método

Para sistema n equações lineares com n desconhecido (em um campo arbitrário)

com o determinante da matriz do sistema Δ diferente de zero, a solução é escrita na forma

(a i-ésima coluna da matriz do sistema é substituída por uma coluna de termos livres).
De outra forma, a regra de Cramer é formulada da seguinte forma: para quaisquer coeficientes c 1, c 2, ..., c n a seguinte igualdade é válida:

Nesta forma, a fórmula de Cramer é válida sem a suposição de que Δ é diferente de zero; nem é necessário que os coeficientes do sistema sejam elementos de um anel integral (o determinante do sistema pode até ser um divisor de zero no anel de coeficiente). Também podemos assumir que ou os conjuntos b 1 ,b 2 ,...,b n E x 1 ,x 2 ,...,x n, ou um conjunto c 1 ,c 2 ,...,c n consistem não em elementos do anel de coeficientes do sistema, mas em algum módulo acima deste anel.

5. Menor da k-ésima ordem. Classificação da matriz. Transformações elementares de matrizes. O teorema de Kronecker-Capelli sobre as condições de compatibilidade de um sistema de equações lineares. Método de eliminação de variáveis ​​(Gaussiano) para um sistema de equações lineares.

Menor matrizes Aé o determinante da matriz quadrada de ordem k(que também é chamada de ordem deste menor), cujos elementos aparecem na matriz A na intersecção de linhas com números e colunas com números.

Classificação sistema de linha (coluna) de matriz A Com eu linhas e n colunas é o número máximo de linhas diferentes de zero (colunas).

Várias linhas (colunas) são linearmente independentes se nenhuma delas puder ser expressa linearmente em termos das outras. A classificação do sistema de linhas é sempre igual à classificação do sistema de colunas, e esse número é chamado de classificação da matriz.

Teorema de Kronecker-Capelli (critério de consistência para um sistema de equações algébricas lineares) -

um sistema de equações algébricas lineares é consistente se e somente se a classificação de sua matriz principal for igual à classificação de sua matriz estendida (com termos livres), e o sistema tiver uma solução única se a classificação for igual ao número de incógnitas e um número infinito de soluções se a classificação for menor que o número de incógnitas.

Método Gaussiano - um método clássico para resolver um sistema de equações algébricas lineares (SLAE). Este é um método de eliminação sequencial de variáveis, quando, por meio de transformações elementares, um sistema de equações é reduzido a um sistema equivalente de forma escalonada (ou triangular), a partir do qual todas as outras variáveis ​​​​são encontradas sequencialmente, começando pela última (por número) variáveis.

6. Segmento direcionado e vetor. Conceitos básicos de álgebra vetorial. A soma dos vetores e o produto de um vetor e um número. Condição para coordenação de vetores. Propriedades de operações lineares sobre vetores.

Operações em vetores

Adição

A operação de adição de vetores geométricos pode ser definida de diferentes maneiras, dependendo da situação e do tipo de vetores considerados:

Dois vetores você, v e o vetor de sua soma

Regra do triângulo. Para somar dois vetores e de acordo com a regra do triângulo, ambos os vetores são transferidos paralelamente entre si de modo que o início de um deles coincida com o final do outro. Então o vetor soma é dado pelo terceiro lado do triângulo resultante, e seu início coincide com o início do primeiro vetor e seu final com o final do segundo vetor.

Regra do paralelogramo. Para adicionar dois vetores e de acordo com a regra do paralelogramo, ambos os vetores são transferidos paralelamente entre si para que suas origens coincidam. Então o vetor soma é dado pela diagonal do paralelogramo construído sobre eles, a partir de sua origem comum.

E o módulo (comprimento) do vetor soma determinado pelo teorema do cosseno onde é o ângulo entre os vetores quando o início de um coincide com o final do outro. A fórmula também é usada agora - o ângulo entre os vetores que emergem de um ponto.

Arte vetorial

Arte vetorial vetor por vetor é um vetor que satisfaz os seguintes requisitos:

Propriedades do vetor C

§ o comprimento de um vetor é igual ao produto dos comprimentos dos vetores e o seno do ângulo φ entre eles

§ o vetor é ortogonal a cada um dos vetores e

§ a direção do vetor C é determinada pela regra de Buravchik

Propriedades de um produto vetorial:

1. Ao reorganizar os fatores, o produto vetorial muda de sinal (anticomutatividade), ou seja,

2. O produto vetorial possui a propriedade de combinação em relação ao fator escalar, ou seja

3. O produto vetorial possui a propriedade de distribuição:

Base e sistema de coordenadas no plano e no espaço. Decomposição de um vetor por base. Base ortonormal e sistema de coordenadas cartesianas retangulares no plano e no espaço. Coordenadas de um vetor e de um ponto no plano e no espaço. Projeções de um vetor nos eixos coordenados.

Base (grego antigo βασις, base) - um conjunto de vetores em um espaço vetorial tal que qualquer vetor neste espaço pode ser representado exclusivamente como uma combinação linear de vetores deste conjunto - vetores de base.

Muitas vezes é conveniente escolher o comprimento (norma) de cada um dos vetores de base como unitário, tal base é chamada normalizado.

Representação de um (qualquer) vetor de espaço específico como uma combinação linear de vetores de base (a soma dos vetores de base por coeficientes numéricos), por exemplo

ou, usando o sinal de soma Σ:

chamado expansão deste vetor sobre esta base.

Coordenadas de um vetor e de um ponto no plano e no espaço.

A coordenada do eixo x do ponto A é um número igual em valor absoluto ao comprimento do segmento OAx: positivo se o ponto A estiver no eixo x positivo e negativo se estiver no semieixo negativo.

Um vetor unitário ou vetor unitário é um vetor cujo comprimento é igual a um e que é direcionado ao longo de qualquer eixo de coordenadas.

Então projeção vetorial AB no eixo l é a diferença x1 – x2 entre as coordenadas das projeções do final e do início do vetor neste eixo.

8.Cossenos de comprimento e direção de um vetor, relação entre cossenos de direção. Vetor ortodôntico. As coordenadas são a soma dos vetores, o produto de um vetor e um número.

O comprimento do vetor é determinado pela fórmula

A direção do vetor é determinada pelos ângulos α, β, γ formados por ele com os eixos coordenados Ox, Oy, Oz. Os cossenos desses ângulos (os chamados vetor de cossenos de direção ) são calculados usando as fórmulas:

Vetor unitário ou ort (vetor unitário de um espaço vetorial normalizado) é um vetor cuja norma (comprimento) é igual a um.

O vetor unitário, colinear com um determinado (vetor normalizado), é determinado pela fórmula

Os vetores unitários são frequentemente escolhidos como vetores de base, pois isso simplifica os cálculos. Tais bases são chamadas normalizado. Se esses vetores também forem ortogonais, tal base é chamada de base ortonormal.

Coordenadas colinear

Coordenadas igual

Coordenadas vetor de soma dois vetores satisfazem as relações:

Coordenadas colinear vetores satisfazem a relação:

Coordenadas igual vetores satisfazem as relações:

Vetor de soma dois vetores:

Soma de vários vetores:

Produto de um vetor e um número:

Produto vetorial de vetores. Aplicações geométricas de produto vetorial. Condição de colinearidade de vetores. Propriedades algébricas de um produto misto. Expressando o produto vetorial através das coordenadas dos fatores.

Produto vetorial de um vetor e o vetor b é chamado de vetor c, que:

1. Perpendicular aos vetores aeb, ou seja, c^a e c^b;

2. Tem um comprimento numericamente igual à área de um paralelogramo construído nos vetores a e b como lados (ver Fig. 17), ou seja,

3. Os vetores a, b e c formam um triplo destro.

Aplicações geométricas:

Estabelecendo colinearidade de vetores

Encontrando a área de um paralelogramo e um triângulo

De acordo com a definição do produto vetorial de vetores A e B |a xb | =|a| * |b |cantar, ou seja, S pares = |a x b |. E, portanto, DS =1/2|a x b |.

Determinação do momento de força em relação a um ponto

É sabido pela física que momento de força F em relação ao ponto SOBRE chamado de vetor M, que passa pelo ponto SOBRE E:

1) perpendicular ao plano que passa pelos pontos Ó, A, B;

2) numericamente igual ao produto da força por braço

3) forma um triplo direito com os vetores OA e A B.

Portanto, M = OA x F.

Encontrando a velocidade de rotação linear

A velocidade v de um ponto M de um corpo rígido girando com uma velocidade angular w em torno de um eixo fixo é determinada pela fórmula de Euler v =w xr, onde r =OM, onde O é algum ponto fixo do eixo (ver Fig. 21).

Condição para colinearidade de vetores - uma condição necessária e suficiente para a colinearidade de um vetor diferente de zero e de um vetor é a existência de um número que satisfaça a igualdade.

Propriedades algébricas de um produto misto

O produto misto de vetores não muda quando os fatores são reorganizados circularmente e muda de sinal para o oposto quando dois fatores são trocados, mantendo seu módulo.

O sinal de multiplicação vetorial " " dentro de um produto misto pode ser colocado entre qualquer um de seus fatores.

Um produto misto é distributivo em relação a qualquer um dos seus fatores: (por exemplo) se, então

Expressando o produto vetorial em termos de coordenadas

sistema de coordenadas direita

sistema de coordenadas esquerda

12.Produto misto de vetores. O significado geométrico de um produto misto, a condição de coplanaridade dos vetores. Propriedades algébricas de um produto misto. Expressar um produto misto através das coordenadas dos fatores.

Misturado O produto de uma tripla ordenada de vetores (a,b,c) é o produto escalar do primeiro vetor e o produto vetorial do segundo vetor e do terceiro.

Propriedades algébricas de um produto vetorial

Anticomutatividade

Associatividade em relação à multiplicação por um escalar

Distributividade por adição

Identidade de Jacobi. Corre em R3 e quebra em R7

Os produtos vetoriais dos vetores de base são encontrados por definição

Conclusão

onde estão as coordenadas do vetor de direção da reta e as coordenadas de um ponto pertencente à reta.

Vetor normal de uma reta em um plano. A equação de uma reta que passa por um determinado ponto perpendicular a um determinado vetor. Equação geral de uma reta. Equações de uma reta com coeficiente angular. A posição relativa de duas linhas retas em um plano

Normal um vetor de uma linha é qualquer vetor diferente de zero perpendicular a esta linha.

- equação de uma reta que passa por um determinado ponto perpendicular a um determinado vetor

Machado + Wu + C = 0- equação geral de uma reta.

Equação linear da forma y=kx+b

chamado equação de uma linha reta com inclinação, e o coeficiente k é chamado de inclinação desta reta.

Teorema. Na equação de uma linha reta com inclinação y=kx+b

o coeficiente angular k é igual à tangente do ângulo de inclinação da reta ao eixo das abcissas:

Arranjo mútuo:

– equações gerais de duas retas no plano de coordenadas Oxy. Então

1) se , então as linhas coincidem;

2) se , então reto e paralelo;

3) se , então as linhas se cruzam.

Prova . A condição é equivalente à colinearidade dos vetores normais de determinadas linhas:

Portanto, se , então as retas cruzar.

Se , então , , e a equação da reta assume a forma:

Ou , ou seja direto corresponder. Observe que o coeficiente de proporcionalidade é , caso contrário todos os coeficientes da equação geral seriam iguais a zero, o que é impossível.

Se as linhas não coincidirem e não se cruzarem, o caso permanece, ou seja, direto paralelo.

Equação de uma reta em segmentos

Se na equação geral da reta Ах + Ву + С = 0 С≠0, então, dividindo por –С, obtemos: ou , onde

O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente Aé a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo do Boi, e b– a coordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo Oy.

Equação normal de uma reta

Se ambos os lados da equação Ax + By + C = 0 forem divididos por um número chamado fator de normalização, então obtemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

equação normal de uma reta.

O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que μ ? COM< 0.

p é o comprimento da perpendicular baixada da origem até a reta, e φ é o ângulo formado por esta perpendicular com a direção positiva do eixo do Boi.

C Deve-se notar que nem toda reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, retas paralelas aos eixos ou passando pela origem.

17. Elipse. Equação canônica de uma elipse. Propriedades geométricas e construção de uma elipse. Termos especiais.

Elipse - localização dos pontos M Plano euclidiano, para o qual a soma das distâncias a dois pontos dados F 1 e F 2 (chamados focos) é constante e maior que a distância entre os focos, ou seja | F 1 M | + | F 2 M | = 2a e | F 1 F 2 | < 2a.

Equação canônica

Para qualquer elipse, você pode encontrar um sistema de coordenadas cartesianas tal que a elipse será descrita pela equação (a equação canônica da elipse):

Descreve uma elipse centrada na origem, cujos eixos coincidem com os eixos coordenados.

Construção: 1) Usando uma bússola

2) Dois truques e um fio esticado

3) Elipsógrafo (o elipsógrafo consiste em dois controles deslizantes que podem se mover ao longo de duas ranhuras ou guias perpendiculares. Os controles deslizantes são presos à haste por meio de dobradiças e estão localizados a uma distância fixa um do outro ao longo da haste. Os controles deslizantes se movem para frente e para trás - cada um ao longo de sua própria ranhura - e a extremidade da haste descreve uma elipse no plano. Os semieixos da elipse a e b representam as distâncias da extremidade da haste até as dobradiças dos controles deslizantes. Geralmente o as distâncias aeb podem ser variadas e, assim, alterar a forma e as dimensões da elipse descrita)

A excentricidade caracteriza o alongamento da elipse. Quanto mais próxima a excentricidade estiver de zero, mais a elipse se assemelha a um círculo, e vice-versa, quanto mais próxima a excentricidade estiver da unidade, mais alongada ela será.

Parâmetro focal

Equação canônica

18.Hipérbole. Equações canônicas de hipérboles. Propriedades geométricas e construção de uma hipérbole. Termos especiais

Hipérbole(grego antigo ὑπερβολή, do grego antigo βαλειν - “lançar”, ὑπερ - “sobre”) - lugar geométrico dos pontos M Plano euclidiano, para o qual o valor absoluto da diferença nas distâncias de M até dois pontos selecionados F 1 e F 2 (chamados focos) constantemente. Mais precisamente,

Além disso | F 1 F 2 | > 2a > 0.

Índices

Para as características das hipérboles definidas acima, elas obedecem às seguintes relações

2. As diretrizes da hipérbole são indicadas por linhas de espessura dupla e são indicadas D 1 e D 2. Excentricidade ε igual à razão das distâncias dos pontos P na hipérbole para o foco e para a diretriz correspondente (mostrada em verde). Os vértices da hipérbole são designados como ± a. Os parâmetros da hipérbole significam o seguinte:

a- distância do centro C para cada um dos vértices
b- o comprimento da perpendicular baixada de cada um dos vértices até as assíntotas
c- distância do centro C para qualquer um dos focos, F 1 e F 2 ,
θ é o ângulo formado por cada uma das assíntotas e o eixo traçado entre os vértices.

Propriedades

§ Para qualquer ponto situado em uma hipérbole, a razão entre as distâncias deste ponto ao foco e a distância do mesmo ponto à diretriz é um valor constante.

§ Uma hipérbole tem simetria espelhada em torno dos eixos real e imaginário, bem como simetria rotacional quando girada em um ângulo de 180° em torno do centro da hipérbole.

§ Cada hipérbole tem hipérbole conjugada, para o qual os eixos real e imaginário mudam de lugar, mas as assíntotas permanecem as mesmas. Isto corresponde à substituição a E b uns sobre os outros em uma fórmula que descreve uma hipérbole. A hipérbole conjugada não é o resultado da rotação da hipérbole original em um ângulo de 90°; ambas as hipérboles diferem em forma.

19. Parábola. Equação canônica de uma parábola. Propriedades geométricas e construção de uma parábola. Termos especiais.

Parábola - o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma determinada reta (chamada diretriz de uma parábola) e de um determinado ponto (chamado foco da parábola).

A equação canônica de uma parábola em um sistema de coordenadas retangulares:

(ou se você trocar os eixos).

Propriedades

§ 1º Uma parábola é uma curva de segunda ordem.

§ 2º Possui um eixo de simetria denominado o eixo da parábola. O eixo passa pelo foco e é perpendicular à diretriz.

§ 3Propriedade óptica. Um feixe de raios paralelo ao eixo da parábola, refletido na parábola, é coletado em seu foco. E vice-versa, a luz de uma fonte localizada em foco é refletida por uma parábola em um feixe de raios paralelo ao seu eixo.

§ 4Para uma parábola, o foco está no ponto (0,25; 0).

Para uma parábola, o foco está no ponto (0; f).

§ 5º Se o foco de uma parábola for refletido em relação à tangente, então sua imagem ficará na diretriz.

§ 6º A parábola é o antipoder de uma reta.

§ Todas as parábolas são semelhantes. A distância entre o foco e a diretriz determina a escala.

§ 7º Quando uma parábola gira em torno do eixo de simetria, obtém-se um parabolóide elíptico.

Diretriz de uma parábola

Raio focal

20.Vetor plano normal. A equação de um plano que passa por um determinado ponto é perpendicular a um determinado vetor. Equação geral do plano, um caso especial da equação geral do plano. Equação vetorial de um plano. A posição relativa de dois planos.

Avião- um dos conceitos básicos da geometria. Numa apresentação sistemática da geometria, o conceito de plano é normalmente tomado como um dos conceitos iniciais, que só é determinado indiretamente pelos axiomas da geometria.

Equação de um plano por ponto e vetor normal
Em forma vetorial

Em coordenadas

Ângulo entre planos

Casos especiais da equação geral do plano.

Para exibir corretamente as leis da natureza na física, são necessárias ferramentas matemáticas apropriadas.

Na geometria e na física existem quantidades caracterizadas tanto pelo valor numérico quanto pela direção.

É aconselhável representá-los como segmentos direcionados ou vetores.

Em contato com

Tais quantidades têm um começo (exibido por um ponto) e um fim, indicado por uma seta. O comprimento de um segmento é chamado (comprimento).

• velocidade;
• aceleração;
• pulso;
• força;
• momento;
• força;
• em movimento;
• força do campo, etc.

Coordenadas planas

Vamos definir um segmento no plano direcionado do ponto A (x1,y1) ao ponto B (x2,y2). Suas coordenadas a (a1, a2) são os números a1=x2-x1, a2=y2-y1.

O módulo é calculado usando o teorema de Pitágoras:

O início do vetor zero coincide com o final. As coordenadas e o comprimento são 0.

Soma vetorial

Existir várias regras para calcular o valor

• regra do triângulo;
• regra do polígono;
• regra do paralelogramo.

A regra para adicionar vetores pode ser explicada usando problemas de dinâmica e mecânica. Consideremos a adição de vetores de acordo com a regra do triângulo usando o exemplo das forças que atuam sobre um corpo pontual e movimentos sucessivos do corpo no espaço.

Digamos que um corpo se mova primeiro do ponto A para o ponto B e depois do ponto B para o ponto C. O deslocamento final é um segmento direcionado do ponto inicial A ao ponto final C.

O resultado de dois movimentos ou sua soma s = s1+ s2. Este método é chamado regra do triângulo.

As setas são alinhadas em cadeia, uma após a outra, realizando transferência paralela se necessário. O segmento total fecha a sequência. Seu início coincide com o início do primeiro, seu fim com o fim do último. Em livros estrangeiros, este método é chamado "cauda com cabeça".

As coordenadas do resultado c = a + b são iguais à soma das coordenadas correspondentes dos termos c (a1+ b1, a2+ b2).

A soma dos vetores paralelos (colineares) também é determinada pela regra do triângulo.

Se dois segmentos originais são perpendiculares entre si, então o resultado de sua adição é a hipotenusa do triângulo retângulo construído sobre eles. O comprimento da soma é calculado usando o teorema de Pitágoras.

Exemplos:

• A velocidade de um corpo lançado horizontalmente é perpendicular aceleração da queda livre.
• Com movimento rotacional uniforme, a velocidade linear do corpo é perpendicular à aceleração centrípeta.

Adição de três ou mais vetores produzir de acordo com regra do polígono, "cauda com cabeça"

Suponhamos que as forças F1 e F2 sejam aplicadas a um corpo pontual.

A experiência prova que o efeito combinado dessas forças equivale à ação de uma força dirigida ao longo da diagonal do paralelogramo construído sobre elas. Esta força resultante é igual à soma F = F1 + F 2. O método de adição acima é chamado regra do paralelogramo.

O comprimento neste caso é calculado pela fórmula

Onde θ é o ângulo entre os lados.

As regras do triângulo e do paralelogramo são intercambiáveis. Na física, a regra do paralelogramo é usada com mais frequência, uma vez que as magnitudes direcionais de forças, velocidades e acelerações são geralmente aplicadas a um corpo pontual. Em um sistema de coordenadas tridimensional, aplica-se a regra do paralelepípedo.

Elementos de álgebra

1. A adição é uma operação binária: apenas um par pode ser adicionado por vez.
2. Comutatividade: a soma do rearranjo dos termos não muda a + b = b + a. Isso fica claro pela regra do paralelogramo: a diagonal é sempre a mesma.
3. Associatividade: a soma de um número arbitrário de vetores não depende da ordem de sua adição (a + b) + c = a + (b + c).
4. A soma com um vetor zero não muda a direção nem o comprimento: a +0= a .
5. Para cada vetor existe oposto. Sua soma é igual a zero a +(-a)=0, e os comprimentos são iguais.

Multiplicação por um escalar

O resultado da multiplicação por um escalar é um vetor.

As coordenadas do produto são obtidas multiplicando por um escalar as coordenadas correspondentes do original.

Um escalar é um valor numérico com sinal de mais ou menos, maior ou menor que um.

Exemplos de quantidades escalares em física:

• peso;
• tempo;
• cobrar;
• comprimento;
• quadrado;
• volume;
• densidade;
• temperatura;
• energia.

Exemplo:

O trabalho é o produto escalar da força e do deslocamento A = Fs.

Ao estudar vários ramos da física, mecânica e ciências técnicas, encontram-se quantidades que são completamente determinadas pela especificação de seus valores numéricos. Tais quantidades são chamadas escalar ou, em resumo, escalares.

As grandezas escalares são comprimento, área, volume, massa, temperatura corporal, etc. Além das grandezas escalares, em vários problemas existem grandezas para as quais, além do seu valor numérico, também é necessário conhecer a sua direção. Tais quantidades são chamadas vetor. Exemplos físicos de grandezas vetoriais podem ser o deslocamento de um ponto material em movimento no espaço, a velocidade e aceleração desse ponto, bem como a força que atua sobre ele.

As quantidades vetoriais são representadas por meio de vetores.

Definição vetorial. Um vetor é um segmento direcionado de uma linha reta que possui um determinado comprimento.

Um vetor é caracterizado por dois pontos. Um ponto é o ponto inicial do vetor, o outro ponto é o ponto final do vetor. Se denotarmos o início do vetor com um ponto A , e o final do vetor é um ponto EM , então o próprio vetor é denotado . Um vetor também pode ser denotado por uma pequena letra latina com uma barra sobre ele (por exemplo, ).

Graficamente, um vetor é denotado por um segmento com uma seta no final.

O início do vetor é chamado seu ponto de aplicação. Se o ponto Aé o começo do vetor , então diremos que o vetor é aplicado no ponto A.

Um vetor é caracterizado por duas quantidades: comprimento e direção.

Comprimento do vetor – a distância entre o ponto inicial A e o ponto final B. Outro nome para o comprimento de um vetor é o módulo do vetor e é indicado pelo símbolo . O módulo vetorial é denotado Vetor , cujo comprimento é 1 é chamado de vetor unitário. Ou seja, a condição para o vetor unitário

Um vetor com comprimento zero é chamado de vetor zero (denotado por). Obviamente, o vetor zero tem os mesmos pontos inicial e final. O vetor zero não tem direção específica.

Definição de vetores colineares. Vetores e localizados na mesma linha ou em linhas paralelas são chamados colineares .

Observe que os vetores colineares podem ter comprimentos e direções diferentes.

Determinação de vetores iguais. Dois vetores são considerados iguais se forem colineares, tiverem o mesmo comprimento e a mesma direção.

Neste caso eles escrevem:

Comente. Da definição de igualdade de vetores segue-se que um vetor pode ser transferido em paralelo colocando sua origem em qualquer ponto do espaço (em particular, um plano).

Todos os vetores zero são considerados iguais.

Determinação de vetores opostos. Dois vetores são chamados de opostos se forem colineares, tiverem o mesmo comprimento, mas na direção oposta.

Neste caso eles escrevem:

Em outras palavras, o vetor oposto ao vetor é denotado como.