Definição.
Um quadrilátero circunscrito é um quadrilátero cujos lados tocam o círculo. Neste caso, diz-se que a circunferência está inscrita num quadrilátero.
Quais são as propriedades de um círculo inscrito em um quadrilátero? Quando um círculo pode ser inscrito em um quadrilátero? Onde está o centro do círculo inscrito?
Teorema 1.
Um círculo pode ser inscrito em um quadrilátero se e somente se as somas de seus lados opostos forem iguais.
Um círculo pode ser inscrito em um quadrilátero ABCD se
E vice-versa, se as somas dos lados opostos do quadrilátero forem iguais:
então um círculo pode ser inscrito no quadrilátero ABCD.
Teorema 2.
O centro de um círculo inscrito em um quadrilátero é o ponto de intersecção de suas bissetoras.
O é o ponto de intersecção das bissetoras do quadrilátero ABCD.
AO, BO, CO, DO são as bissetoras dos ângulos do quadrilátero ABCD,
isto é, ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO, etc.
3. Os pontos tangentes do círculo inscrito situados nos lados que se estendem de um vértice são equidistantes deste vértice.
SOU=AN,
5. A área de um quadrilátero está relacionada ao raio do círculo nele inscrito pela fórmula
onde p é o semiperímetro do quadrilátero.
Como as somas dos lados opostos de um quadrilátero circunscrito são iguais, o semiperímetro é igual a qualquer um dos pares de somas dos lados opostos.
Por exemplo, para um quadrilátero ABCD p=AD+BC ou p=AB+CD e
Seções: Matemática, Concurso "Apresentação para a aula"
Apresentação para a aula
Para trás para a frente
Atenção! As visualizações de slides são apenas para fins informativos e podem não representar todos os recursos da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, baixe a versão completa.
Metas.
Educacional. Criar condições para o domínio com sucesso do conceito do quadrilátero descrito, suas propriedades, características e dominar as competências para aplicá-las na prática.
Desenvolvimento. Desenvolvimento de habilidades matemáticas, criação de condições para a capacidade de generalizar e aplicar linhas de pensamento para frente e para trás.
Educacional. Cultivando o senso de beleza através da estética dos desenhos, surpreendendo-se com o inusitado
decisão, formação da organização, responsabilidade pelos resultados do trabalho.
1. Estude a definição de quadrilátero circunscrito.
2. Prove a propriedade dos lados do quadrilátero circunscrito.
3. Apresente a dualidade das propriedades das somas dos lados opostos e dos ângulos opostos de quadriláteros inscritos e circunscritos.
4. Proporcionar experiência na aplicação prática dos teoremas considerados na resolução de problemas.
5. Realizar monitoramento inicial do nível de assimilação do novo material.
Equipamento:
- computador, projetor;
- livro didático “Geometria. 10-11 anos” para o ensino geral. instituições: básicas e especializadas. níveis automáticos A.V. Pogorelov.
Softwares: Microsoft Word, Microsoft Power Point.
Usando um computador ao preparar um professor para uma aula.
Usando um programa padrão do sistema operacional Windows, foram criados os seguintes itens para a lição:
- Apresentação.
- Tabelas.
- Plantas.
- Folheto.
Plano de aula
Durante as aulas
1. Momento organizacional. Saudações. Indique o tema e o propósito da lição. Anote a data e o tema da aula em seu caderno.
2. Verificando o dever de casa.
3. Estudando novos materiais.
Trabalhe no conceito de polígono circunscrito.
Definição. O polígono é chamado descrito sobre um círculo, se Todos seus lados preocupação algum círculo.
Pergunta. Quais dos polígonos propostos estão descritos e quais não estão e por quê?
<Презентация. Слайд №2>
Prova das propriedades do quadrilátero circunscrito.
<Презентация. Слайд №3>
Teorema. Num quadrilátero circunscrito, as somas dos lados opostos são iguais.
Os alunos trabalham com o livro didático e anotam a formulação do teorema em um caderno.
1. Apresente a formulação do teorema na forma de uma sentença condicional.
2. Qual é a condição do teorema?
3. Qual é a conclusão do teorema?
Responder. Se um quadrilátero está circunscrito a uma circunferência, Que as somas dos lados opostos são iguais.
A prova é realizada, os alunos fazem anotações em seus cadernos.
<Презентация. Слайд №4>
Professor. Observação dualidade situações para lados e ângulos de quadriláteros circunscritos e inscritos.
Consolidação dos conhecimentos adquiridos.
Tarefas.
Responder. 1. 10 metros. 2. 20 metros. 3. 21 metros
Prova da característica de um quadrilátero circunscrito.
Enuncie o teorema inverso.
Responder. Se em um quadrilátero as somas dos lados opostos forem iguais, então um círculo pode ser inscrito nele. (Voltar ao slide 2, Fig. 7) <Презентация. Слайд №2>
Professor. Esclareça a formulação do teorema.
Teorema. Se as somas dos lados opostos convexo quadrilátero são iguais, então um círculo pode ser inscrito nele.
Trabalhando com o livro didático. Familiarize-se com a prova do teste para um quadrilátero circunscrito usando o livro didático.
Aplicação dos conhecimentos adquiridos.
3. Tarefas baseadas em desenhos finalizados.
1. É possível inscrever um círculo em um quadrilátero com lados opostos 9 me 4 m, 10 me 3 m?
2. É possível inscrever um círculo em um trapézio isósceles com bases de 1 me 9 m e altura de 3 m?
<Презентация. Слайд №6>
Trabalho escrito em cadernos
.Tarefa. Encontre o raio de um círculo inscrito em um losango com diagonais 6 me 8 m.
<Презентация. Слайд № 7>
4. Trabalho independente.
1 opção
1. É possível inscrever um círculo
1) em um retângulo com lados de 7 me 10 m,
2. Os lados opostos de um quadrilátero circunscrito em um círculo têm 7 me 10 m.
Encontre o perímetro do quadrilátero.
3. Um trapézio equilátero com bases de 4 me 16 m é descrito em torno de um círculo.
1) raio do círculo inscrito,
opção 2
1. É possível inscrever um círculo:
1) em um paralelogramo com lados 6 me 13 m,
2) ao quadrado?
2. Os lados opostos de um quadrilátero circunscrito em um círculo têm 9 me 11 m. Encontre o perímetro do quadrilátero.
3. Um trapézio equilátero com lado lateral de 5 m está circunscrito em torno de um círculo com raio de 2 m.
1) a base do trapézio,
2) raio do círculo circunscrito.
5. Lição de casa. P.86, nº 28, 29, 30.
6. Resumo da lição. O trabalho independente é verificado e as notas são dadas.
<Презентация. Слайд № 8>
1 . A soma das diagonais de um quadrilátero convexo é maior que a soma dos seus dois lados opostos.
2 . Se os segmentos que conectam os pontos médios dos lados opostos quadrilátero
a) são iguais, então as diagonais do quadrilátero são perpendiculares;
b) são perpendiculares, então as diagonais do quadrilátero são iguais.
3 . As bissetrizes dos ângulos na lateral do trapézio se cruzam em sua linha média.
4 . Os lados do paralelogramo são iguais e . Então o quadrilátero formado pelas intersecções das bissetoras dos ângulos do paralelogramo é um retângulo cujas diagonais são iguais a .
5 . Se a soma dos ângulos em uma das bases do trapézio for 90°, então o segmento que conecta os pontos médios das bases do trapézio é igual à sua meia diferença.
6 . Dos lados AB E DE ANÚNCIOS paralelogramo ABCD pontos obtidos M E N tão direto EM E NC divida o paralelogramo em três partes iguais. Encontrar MN, Se BD=d.
7 . Um segmento de reta paralelo às bases de um trapézio, encerrado dentro do trapézio, é dividido por suas diagonais em três partes. Então os segmentos adjacentes aos lados são iguais entre si.
8 . Através do ponto de intersecção das diagonais do trapézio com as bases, traça-se uma linha reta paralela às bases. O segmento desta linha encerrado entre as laterais do trapézio é igual a .
9 . Um trapézio é dividido por uma reta paralela às suas bases, igual e , em dois trapézios iguais. Então o segmento desta reta delimitado entre os lados é igual a .
10 . Se uma das seguintes condições for verdadeira, então os quatro pontos A, B, C E D deitar no mesmo círculo.
A) CAD=CBD= 90°.
b) pontos A E EM deitar de um lado de uma linha reta CD e ângulo cafajeste igual ao ângulo CDB.
c) direto AC E BD cruzar em um ponto SOBRE E O A OS = OV OD.
11 . Linha reta conectando um ponto R intersecção das diagonais de um quadrilátero ABCD com ponto P interseções de linha AB E CD, divide o lado DE ANÚNCIOS ao meio. Aí ela divide ao meio e de lado Sol.
12 . Cada lado de um quadrilátero convexo é dividido em três partes iguais. Os pontos de divisão correspondentes em lados opostos são conectados por segmentos. Então esses segmentos se dividem em três partes iguais.
13 . Duas linhas retas dividem cada um dos dois lados opostos de um quadrilátero convexo em três partes iguais. Então, entre essas linhas está um terço da área do quadrilátero.
14 . Se um círculo pode ser inscrito em um quadrilátero, então o segmento que conecta os pontos nos quais o círculo inscrito toca os lados opostos do quadrilátero passa pelo ponto de intersecção das diagonais.
15 . Se as somas dos lados opostos de um quadrilátero forem iguais, então um círculo pode ser inscrito nesse quadrilátero.
16. Propriedades de um quadrilátero inscrito com diagonais mutuamente perpendiculares. Quadrilátero ABCD inscrito em um círculo de raio R. Suas diagonais AC E BD mutuamente perpendiculares e se cruzam em um ponto R. Então
a) mediana de um triângulo ARV perpendicular ao lado CD;
b) linha quebrada COA divide um quadrilátero ABCD em duas figuras de tamanhos iguais;
V) AB 2 + CD 2=4R 2 ;
G) AR 2 +BP 2 +CP 2 +DP 2 = 4R 2 e AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2;
e) a distância do centro do círculo ao lado do quadrilátero é a metade do lado oposto.
e) se as perpendiculares caíram para o lado DE ANÚNCIOS dos topos EM E COM, cruzar as diagonais AC E BD em pontos E E F, Que BCFE- losango;
g) um quadrilátero cujos vértices são projeções de um ponto R nos lados do quadrilátero ABCD,- inscrito e descrito;
h) um quadrilátero formado por tangentes à circunferência circunscrita ao quadrilátero ABCD, desenhado em seus vértices, pode ser inscrito em um círculo.
17 . Se a, b, c, d- lados sucessivos de um quadrilátero, Sé sua área, então, e a igualdade vale apenas para um quadrilátero inscrito cujas diagonais são mutuamente perpendiculares.
18
. Fórmula de Brahmagupta. Se os lados de um quadrilátero cíclico são iguais a, b, c E d, então sua área S pode ser calculado usando a fórmula,
Onde - semiperímetro de um quadrilátero.
19 . Se um quadrilátero com lados A, b, c, d pode ser inscrito e um círculo pode ser descrito em torno dele, então sua área é igual a .
20 . O ponto P está localizado dentro do quadrado ABCD, e o ângulo PAB igual ao ângulo RVA e é igual 15°. Então o triângulo DPC- equilátero.
21 . Se para um quadrilátero cíclico ABCD a igualdade é satisfeita CD=AD+BC, então as bissetrizes de seus ângulos A E EM cruzar do lado CD.
22 . Continuações de lados opostos AB E CD quadrilátero cíclico ABCD cruzar em um ponto M, e as partes DE ANÚNCIOS E Sol- no ponto N. Então
a) bissetrizes do ângulo AMD E D.N.C. mutuamente perpendiculares;
b) direto QM E QN cruze os lados do quadrilátero nos vértices do losango;
c) ponto de intersecção P dessas bissetoras está no segmento que conecta os pontos médios das diagonais do quadrilátero ABCD.
23 . Teorema de Ptolomeu. A soma dos produtos de dois pares de lados opostos de um quadrilátero cíclico é igual ao produto de suas diagonais.
24 . Teorema de Newton. Em qualquer quadrilátero circunscrito, os pontos médios das diagonais e o centro do círculo inscrito estão localizados na mesma linha reta.
25 . Teorema de Monge. As linhas traçadas através dos pontos médios dos lados de um quadrilátero inscrito perpendicularmente aos lados opostos se cruzam em um ponto.
27 . Quatro círculos construídos nas laterais de um quadrilátero convexo como diâmetros cobrem todo o quadrilátero.
29 . Dois ângulos opostos de um quadrilátero convexo são obtusos. Então a diagonal que conecta os vértices desses ângulos é menor que a outra diagonal.
30. Os centros dos quadrados construídos nas laterais de um paralelogramo fora dele formam eles próprios um quadrado.
Material da Wikipedia – a enciclopédia gratuita
- Na geometria euclidiana, quadrilátero inscritoé um quadrilátero cujos vértices estão todos no mesmo círculo. Este círculo é chamado círculo circunscrito quadrilátero, e diz-se que os vértices estão no mesmo círculo. O centro deste círculo e seu raio são chamados respectivamente Centro E raio círculo circunscrito. Outros termos para este quadrilátero: um quadrilátero está em um círculo, os lados do último quadrilátero são cordas do círculo. Um quadrilátero convexo é geralmente considerado um quadrilátero convexo. As fórmulas e propriedades fornecidas abaixo são válidas no caso convexo.
- Eles dizem que se um círculo pode ser desenhado em torno de um quadrilátero, Que o quadrilátero está inscrito nesta circunferência, e vice versa.
Critérios gerais para a inscrição de um quadrilátero
- Em torno de um quadrilátero convexo radianos), isto é:
ou na notação de figura:
- É possível descrever um círculo em torno de qualquer quadrilátero no qual as quatro mediatrizes de seus lados se cruzam em um ponto (ou as mediatrizes de seus lados, isto é, as perpendiculares aos lados que passam por seus pontos médios).
- Você pode descrever um círculo em torno de qualquer quadrilátero que tenha um ângulo externo adjacente a dado ângulo interno, é exatamente igual ao outro ângulo interno oposto dado canto interno. Em essência, esta condição é a condição de antiparalelismo de dois lados opostos do quadrilátero. Na Fig. Abaixo estão os cantos externos e internos adjacentes de um pentágono verde.
- Interseção X pode ser interno ou externo ao círculo. No primeiro caso, obtemos que o quadrilátero cíclico é ABCD, e no último caso obtemos um quadrilátero inscrito ABDC. Ao cruzar dentro de um círculo, a igualdade afirma que o produto dos comprimentos dos segmentos em que o ponto X divide uma diagonal, é igual ao produto dos comprimentos dos segmentos em que o ponto X divide outra diagonal. Esta condição é conhecida como "teorema dos acordes de interseção". No nosso caso, as diagonais do quadrilátero inscrito são as cordas do círculo.
- Outro critério de inclusão. Quadrilátero convexo ABCD um círculo é inscrito se e somente se
Critérios particulares para a inscrição de um quadrilátero
Um quadrilátero inscrito simples (sem autointersecção) é convexo. Um círculo pode ser descrito em torno de um quadrilátero convexo se e somente se a soma de seus ângulos opostos for igual a 180° ( radiano). Você pode descrever um círculo ao redor:
- qualquer antiparalelogramo
- qualquer retângulo (um caso especial é um quadrado)
- qualquer trapézio isósceles
- qualquer quadrilátero que tenha dois ângulos retos opostos.
Propriedades
Fórmulas com diagonais
;Na última fórmula do par de lados adjacentes do numerador a E d, b E c apoie suas extremidades em um comprimento diagonal e. Uma afirmação semelhante vale para o denominador.
- Fórmulas para comprimentos diagonais(consequências ):
Fórmulas com ângulos
Para um quadrilátero cíclico com uma sequência de lados a , b , c , d, com semiperímetro p e ângulo A entre as partes a E d, funções de ângulo trigonométrico A são dados por fórmulas
Canto θ entre as diagonais há:p.26
- Se lados opostos a E c cruzam em um ângulo φ , então é igual
Onde p existe um semi-perímetro. :p.31
Raio de um círculo circunscrito a um quadrilátero
Fórmula Parameshvara
Se um quadrilátero com lados consecutivos a , b , c , d e semi-perímetro p inscrito em um círculo, então seu raio é igual a Fórmula de Parameshwar:p. 84
Foi derivado pelo matemático indiano Parameshwar no século 15 (c. 1380–1460)
- Quadrilátero convexo (ver figura à direita) formado por quatro dados As linhas retas de Mikel, está inscrito em um círculo se e somente se o ponto Mikel M de um quadrilátero está em uma linha que conecta dois dos seis pontos de intersecção das linhas (aqueles que não são vértices do quadrilátero). Isto é, quando M mente E.F..
Um critério de que um quadrilátero composto por dois triângulos está inscrito em um certo círculo
- A última condição fornece a expressão para a diagonal f um quadrilátero inscrito em um círculo através dos comprimentos de seus quatro lados ( a, b, c, d). Esta fórmula segue imediatamente ao multiplicar e ao igualar entre si as partes esquerda e direita das fórmulas que expressam a essência O primeiro e o segundo teoremas de Ptolomeu(Veja acima).
Um critério de que um quadrilátero cortado por uma linha reta de um triângulo está inscrito em um certo círculo
- Uma linha reta, antiparalela ao lado do triângulo e cruzando-o, corta dele um quadrilátero, em torno do qual um círculo sempre pode ser descrito.
- Consequência. Em torno de um antiparalelogramo, em que dois lados opostos são antiparalelos, é sempre possível descrever um círculo.
Área de um quadrilátero inscrito em um círculo
Variações da fórmula de Brahmagupta
onde p é o semiperímetro do quadrilátero.Outras fórmulas de área
Onde θ qualquer um dos ângulos entre as diagonais. Desde que o ângulo A não é uma linha reta, a área também pode ser expressa como :p.26
Onde Ré o raio do círculo circunscrito. Como consequência direta temos a desigualdade
onde a igualdade é possível se e somente se este quadrilátero for um quadrado.
Quadrângulos de Brahmagupta
Quadrilátero de Brahmaguptaé um quadrilátero inscrito em um círculo com lados inteiros, diagonais inteiras e área inteira. Todos os quadriláteros de Brahmagupta possíveis com lados a , b , c , d, com diagonais e , f, com área S, e o raio do círculo circunscrito R pode ser obtido removendo os denominadores das seguintes expressões envolvendo parâmetros racionais t , você, E v :
Exemplos
- Quadriláteros particulares inscritos em um círculo são: retângulo, quadrado, isósceles ou trapézio isósceles, antiparalelogramo.
Quadriláteros inscritos em um círculo com diagonais perpendiculares (quadriláteros ortodiagonais inscritos)
Propriedades de quadriláteros inscritos em um círculo com diagonais perpendiculares
Circunradius e área
Para um quadrilátero inscrito em um círculo com diagonais perpendiculares, suponha que a intersecção das diagonais divide uma diagonal em segmentos de comprimento p 1 e p 2, e divide a outra diagonal em segmentos de comprimento q 1 e q 2. Então (A primeira igualdade é a Proposição 11 de Arquimedes" Livro dos Lemas)
Onde D- diâmetro do círculo. Isso é verdade porque as diagonais são perpendiculares à corda do círculo. Destas equações segue-se que o raio do círculo circunscrito R pode ser escrito como
ou em termos dos lados de um quadrilátero na forma
Segue-se também que
- Para quadriláteros ordiagonais inscritos, o teorema de Brahmagupta é válido:
Se um quadrilátero cíclico tem diagonais perpendiculares que se cruzam em um ponto , então dois pares dele antimediatris passar por um ponto .
Comente. Neste teorema abaixo antimediatriz entenda o segmento quadrilátero na figura à direita (por analogia com a bissetriz perpendicular (mediatriz) ao lado do triângulo). É perpendicular a um lado e ao mesmo tempo passa pelo meio do lado oposto do quadrilátero.
Escreva uma resenha sobre o artigo "Quadriláteros inscritos em um círculo"
Notas
- Bradley, Christopher J. (2007), A Álgebra da Geometria: Coordenadas Cartesianas, Areais e Projetivas, Alta percepção, p. 179, ISBN 1906338000, OCLC
- . Quadriláteros inscritos.
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- Altshiller-Court, Nathan (2007), Geometria universitária: uma introdução à geometria moderna do triângulo e do círculo(2ª ed.), Courier Dover, pp. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
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- Prasolov, Viktor,
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- Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), ,
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- Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Fórum Geométrico 2 : 167–173.
- Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Problemas desafiadores em geometria(2ª ed.), Courier Dover, pp. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
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- .
Veja também
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O artigo contém referências curtas (“Harvard”) a publicações que não estão listadas ou descritas incorretamente na seção bibliográfica. Lista de links quebrados: , , , , , , , , , – Bem, o quê, meu cossaco? (Marya Dmitrievna chamou Natasha de cossaca) - disse ela, acariciando Natasha com a mão, que se aproximou de sua mão sem medo e com alegria. – Eu sei que a poção é uma menina, mas eu a amo. Ela tirou brincos yakhon em formato de pêra de sua enorme bolsa e, entregando-os a Natasha, que estava radiante e corada em seu aniversário, imediatamente se afastou dela e se virou para Pierre. - Ei, ei! tipo! “Venha aqui”, ela disse com uma voz fingidamente baixa e fina. - Vamos, meu querido... E ela arregaçou ameaçadoramente as mangas ainda mais alto. Pierre se aproximou, olhando ingenuamente para ela através dos óculos. - Venha, venha, meu querido! Fui o único que contou a verdade ao seu pai quando ele teve oportunidade, mas Deus ordena isso a você. Ela fez uma pausa. Todos ficaram em silêncio, esperando o que aconteceria e sentindo que havia apenas um prefácio. - Bom, nada a dizer! bom menino!... O pai está deitado na cama, e se diverte, colocando o policial em cima de um urso. É uma pena, pai, é uma pena! Seria melhor ir para a guerra. Ela se virou e ofereceu a mão ao conde, que mal conseguiu conter o riso. - Bem, venha para a mesa, tenho chá, está na hora? - disse Marya Dmitrievna. O conde seguiu em frente com Marya Dmitrievna; depois a condessa, liderada por um coronel hussardo, a pessoa certa com quem Nikolai deveria alcançar o regimento. Anna Mikhailovna - com Shinshin. Berg apertou a mão de Vera. A sorridente Julie Karagina foi com Nikolai até a mesa. Atrás deles vinham outros casais, espalhando-se por todo o salão, e atrás deles, um por um, estavam crianças, tutores e governantas. Os garçons começaram a se mexer, as cadeiras chacoalharam, a música começou a tocar no coral e os convidados ocuparam seus lugares. Os sons da música caseira do conde foram substituídos pelos sons de facas e garfos, pela conversa dos convidados e pelos passos silenciosos dos garçons. Numa das extremidades da mesa, a condessa estava sentada à cabeceira. À direita está Marya Dmitrievna, à esquerda está Anna Mikhailovna e outros convidados. Do outro lado estava o conde, à esquerda o coronel hussardos, à direita Shinshin e outros convidados do sexo masculino. De um lado da longa mesa estão jovens mais velhos: Vera ao lado de Berg, Pierre ao lado de Boris; por outro lado - crianças, tutores e governantas. Por trás dos cristais, garrafas e vasos de frutas, o conde olhou para a esposa e seu boné alto com fitas azuis e serviu diligentemente vinho para os vizinhos, sem se esquecer de si mesmo. A condessa também, por trás dos abacaxis, sem esquecer seus deveres de dona de casa, lançou olhares significativos para o marido, cuja calva e rosto, ao que parecia, diferiam mais nitidamente dos cabelos grisalhos em sua vermelhidão. Houve um murmúrio constante do lado das damas; no banheiro masculino ouviam-se vozes cada vez mais altas, principalmente do coronel hussardo, que comia e bebia tanto, corando cada vez mais, que o conde já o colocava como exemplo para os demais convidados. Berg, com um sorriso gentil, disse a Vera que o amor não é um sentimento terreno, mas sim celestial. Boris nomeou seu novo amigo Pierre como convidados da mesa e trocou olhares com Natasha, que estava sentada à sua frente. Pierre falava pouco, via rostos novos e comia muito. Partindo de duas sopas, das quais escolheu a la tortue, [tartaruga] e kulebyaki e à perdiz avelã, não lhe faltou um só prato e nem um só vinho, que o mordomo misteriosamente colocou numa garrafa embrulhada num guardanapo por trás do ombro do vizinho, dizendo ou “madeira seca”, ou “húngaro”, ou “vinho do Reno”. Colocou a primeira das quatro taças de cristal com o monograma do conde que ficavam diante de cada aparelho e bebeu com prazer, olhando para os convidados com uma expressão cada vez mais agradável. Natasha, sentada à sua frente, olhou para Boris como as meninas de treze anos olham para um menino por quem acabaram de se beijar pela primeira vez e por quem estão apaixonadas. Esse mesmo olhar dela às vezes se voltava para Pierre, e sob o olhar daquela garota engraçada e animada ele mesmo tinha vontade de rir, sem saber por quê. Nikolai sentou-se longe de Sonya, ao lado de Julie Karagina, e novamente com o mesmo sorriso involuntário falou com ela. Sonya sorriu grandiosamente, mas aparentemente foi atormentada pelo ciúme: ela empalideceu, depois corou e ouviu com todas as forças o que Nikolai e Julie diziam um ao outro. A governanta olhou em volta inquieta, como se estivesse se preparando para revidar caso alguém decidisse ofender as crianças. O tutor alemão tentou memorizar todos os tipos de pratos, sobremesas e vinhos para descrever tudo detalhadamente numa carta à sua família na Alemanha, e ficou muito ofendido pelo facto de o mordomo, com uma garrafa enrolada num guardanapo, carregar ele por perto. O alemão franziu a testa, tentou mostrar que não queria receber aquele vinho, mas ficou ofendido porque ninguém queria entender que ele precisava do vinho não para matar a sede, não por ganância, mas por curiosidade conscienciosa. Na ponta masculina da mesa a conversa tornou-se cada vez mais animada. O coronel disse que o manifesto de guerra já havia sido publicado em São Petersburgo e que a cópia que ele próprio vira havia sido entregue por correio ao comandante-em-chefe. As mesas de Boston foram afastadas, as festas foram organizadas e os convidados do conde instalaram-se em duas salas, uma sala de sofás e uma biblioteca. Pierre estava sentado na sala, onde Shinshin, como se fosse um visitante estrangeiro, iniciou com ele uma conversa política que era entediante para Pierre, à qual outros se juntaram. Quando a música começou a tocar, Natasha entrou na sala e, indo direto até Pierre, rindo e corando, disse: No meio da terceira eco-sessão, as cadeiras da sala, onde brincavam o conde e Marya Dmitrievna, começaram a se mover, e a maioria dos convidados de honra e idosos, espreguiçando-se após uma longa sessão e guardando carteiras e bolsas nos bolsos, saíram pelas portas do corredor. Marya Dmitrievna seguiu na frente com o conde - ambos com rostos alegres. O conde, com uma polidez lúdica, como num balé, ofereceu a mão arredondada a Marya Dmitrievna. Ele se endireitou e seu rosto se iluminou com um sorriso particularmente corajoso e astuto, e assim que a última figura do ecosaise foi dançada, bateu palmas para os músicos e gritou para o coro, dirigindo-se ao primeiro violino: Enquanto os Rostovs dançavam o sexto inglês no salão ao som de músicos cansados e desafinados, e garçons e cozinheiros cansados preparavam o jantar, o sexto golpe atingiu o conde Bezukhy. Os médicos declararam que não havia esperança de recuperação; o paciente recebeu confissão silenciosa e comunhão; faziam os preparativos para a unção e na casa havia o alvoroço e a ansiedade da expectativa, comuns nesses momentos. Do lado de fora da casa, atrás dos portões, os agentes funerários aglomeravam-se, escondendo-se das carruagens que se aproximavam, aguardando uma rica ordem para o funeral do conde. O comandante-em-chefe de Moscou, que constantemente enviava ajudantes para perguntar sobre a posição do conde, naquela noite veio se despedir do famoso nobre de Catarina, o conde Bezukhim. |
O círculo circunscrito de um quadrilátero. ? ? Um círculo pode ser descrito em torno de um quadrilátero se a soma dos ângulos opostos for 180°: ? + ? =? + ? Se um quadrilátero estiver inscrito em uma circunferência, então a soma dos ângulos opostos é 180°. ? ? a. d. d1. TEOREMA DE PTOLOMIA A soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais: ac + bd = d1 d2. d2. b. c. b. Área de um quadrilátero. a. c. d. Onde p é o semiperímetro do quadrilátero.
Diapositivo 9 da apresentação "Raio do círculo inscrito e circunscrito". O tamanho do arquivo com a apresentação é de 716 KB.Geometria 9º ano
resumo de outras apresentações“A Proporção Áurea na Vida” - A Espiral Áurea na Arte. Uma viagem pela história da matemática. Valuyki. Tela. Pintura e a proporção áurea. Espiral dourada na natureza. A proporção áurea é inerente às proporções do corpo humano. Arquiteto M.F. Kazakov. O conceito da proporção áurea. Divisão de um segmento. Proporção áurea na natureza. Espiral dourada. Aparelho científico. Proporção áurea na arquitetura e na arte. Retângulo dourado. Qual é a proporção áurea.
“Como encontrar o produto escalar de vetores” - Encontre o produto escalar de vetores. Quadrado. ABCD é um quadrado. Preencha a palavra que falta. Av = sol = ac. Produto escalar. Escolha a resposta correta. Encontre os lados e ângulos do triângulo. Lados de um triângulo. Apresente aos alunos o teorema sobre como encontrar o produto escalar de vetores. Av = sol = ac = 2. Produto escalar de vetores. Ângulo entre vetores. Preencha a mesa.
“Tipos e propriedades de triângulos” - Área de um triângulo. Problemas nas coordenadas. Repetição final da geometria. Propriedades. Triângulo regular. Triângulo. Verifique você mesmo. Centro do círculo circunscrito. A posição relativa do triângulo e dos segmentos. Triângulo isósceles. Triângulo retângulo. Bissetriz.
““Triângulos” 9º ano” - Isósceles. Triângulos. Soma dos ângulos de um triângulo. Retangular. Bissetriz. Equilátero. Linha média. Bissetriz perpendicular. Mediana. Triângulos. Um triângulo obtuso é um triângulo em que um dos ângulos é obtuso. A relação entre os lados e ângulos de um triângulo. Desigualdade triangular. Canto externo. Altura.
“Circunferência e Círculo” - Encontre a circunferência de um círculo. Área de um círculo. Calcular. Encontre o raio do círculo. Complete a declaração. Círculo. Setor circular. Calcule o comprimento do equador. Circunferência. Trabalho independente. Círculo. Um jogo. Encontre a área da figura sombreada. Desenhe um círculo com centro K e raio de 2 cm.
“Perguntas sobre poliedros” - Qual figura geométrica será obtida no corte do cilindro. Retângulo. Obtenção de alguns sólidos de Arquimedes. V = abc. Altura do cilindro. Cubo, paralelepípedo, pirâmide. Alguns corpos geométricos. Encontre o volume do aquário mostrado na figura. Quais objetos têm formato cilíndrico? Cone. Por que você classificou um cubo, um paralelepípedo e uma pirâmide como poliedros? Uma bola e um globo são esferas. Esfera, cilindro, cone, cone truncado.