Equações diferenciais em diferenciais totais. Equação em diferenciais totais Restauração de integrais curvilíneas do diferencial total

Tendo a forma padrão $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, em que o lado esquerdo é o diferencial total de alguma função $F \left( x,y\right)$ é chamada de equação diferencial total.

A equação em diferenciais totais sempre pode ser reescrita como $dF\left(x,y\right)=0$, onde $F\left(x,y\right)$ é uma função tal que $dF\left(x, y\direita)=P\esquerda(x,y\direita)\cdot dx+Q\esquerda(x,y\direita)\cdot dy$.

Vamos integrar ambos os lados da equação $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; a integral do lado direito do zero é igual a uma constante arbitrária $C$. Assim, a solução geral para esta equação na forma implícita é $F\left(x,y\right)=C$.

Para que uma dada equação diferencial seja uma equação em diferenciais totais, é necessário e suficiente que a condição $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ esteja satisfeito. Se a condição especificada for atendida, então existe uma função $F\left(x,y\right)$, para a qual podemos escrever: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, da qual obtemos duas relações : $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ e $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right )$.

Integramos a primeira relação $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ sobre $x$ e obtemos $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, onde $U\left(y\right)$ é uma função arbitrária de $y$.

Vamos selecioná-lo para que a segunda relação $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ seja satisfeita. Para fazer isso, diferenciamos a relação resultante para $F\left(x,y\right)$ em relação a $y$ e igualamos o resultado a $Q\left(x,y\right)$. Obtemos: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\direita)$.

A solução adicional é:

da última igualdade encontramos $U"\left(y\right)$;
integre $U"\left(y\right)$ e encontre $U\left(y\right)$;
substitua $U\left(y\right)$ na igualdade $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ e finalmente obtemos a função $F\left(x,y\right)$.

Encontramos a diferença:

Integramos $U"\left(y\right)$ sobre $y$ e encontramos $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Encontre o resultado: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Escrevemos a solução geral na forma $F\left(x,y\right)=C$, a saber:

Encontre uma solução particular $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, onde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2$:

A solução parcial tem a forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

algumas funções. Se restaurarmos uma função a partir da sua diferencial total, encontraremos a integral geral da equação diferencial. Abaixo falaremos sobre método de restaurar uma função a partir de seu diferencial total.

O lado esquerdo de uma equação diferencial é o diferencial total de alguma função você(x, y) = 0, se a condição for atendida.

Porque função diferencial completa você(x, y) = 0 Esse , o que significa que quando a condição for atendida, afirma-se que .

Então, .

Da primeira equação do sistema obtemos . Encontramos a função usando a segunda equação do sistema:

Desta forma encontraremos a função necessária você(x, y) = 0.

Exemplo.

Vamos encontrar a solução geral do DE .

Solução.

No nosso exemplo. A condição é atendida porque:

Então, o lado esquerdo da equação diferencial inicial é o diferencial total de alguma função você(x, y) = 0. Precisamos encontrar esta função.

Porque é o diferencial total da função você(x, y) = 0, Significa:

Nós integramos por x 1ª equação do sistema e diferencie em relação a sim resultado:

Da 2ª equação do sistema obtemos. Significa:

Onde COM- constante arbitrária.

Assim, a integral geral da equação dada será .

Há um segundo método de calcular uma função a partir de seu diferencial total. Consiste em tomar a integral de linha de um ponto fixo (x 0, y 0) para um ponto com coordenadas variáveis (x, y): . Neste caso, o valor da integral independe do caminho de integração. É conveniente tomar como caminho de integração uma linha quebrada cujos links são paralelos aos eixos coordenados.

Exemplo.

Vamos encontrar a solução geral do DE .

Solução.

Verificamos o cumprimento da condição:

Assim, o lado esquerdo da equação diferencial é a diferencial completa de alguma função você(x, y) = 0. Vamos encontrar esta função calculando a integral curvilínea do ponto (1; 1) antes (x, y). Como caminho de integração tomamos uma linha quebrada: a primeira seção da linha quebrada é passada ao longo de uma linha reta y = 1 do ponto (1, 1) antes (x, 1), a segunda seção do caminho segue um segmento de linha reta do ponto (x, 1) antes (x, y):

Então, a solução geral do controle remoto fica assim: .

Exemplo.

Vamos determinar a solução geral do DE.

Solução.

Porque , o que significa que a condição não foi atendida, então o lado esquerdo da equação diferencial não será uma diferencial completa da função e você precisará usar o segundo método de solução (esta equação é uma equação diferencial com variáveis separáveis).

Neste tópico veremos o método de reconstrução de uma função a partir de sua diferencial total e daremos exemplos de problemas com uma análise completa da solução.

Acontece que equações diferenciais (DE) da forma P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 podem conter diferenciais completos de algumas funções no lado esquerdo. Então podemos determinar a integral geral da equação diferencial se primeiro reconstruirmos a função a partir da sua diferencial total.

Exemplo 1

Considere a equação P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. O lado esquerdo contém o diferencial de uma determinada função você(x, y) = 0. Para fazer isso, a condição ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x deve ser satisfeita.

O diferencial total da função U (x, y) = 0 tem a forma d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Levando em consideração a condição ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x obtemos:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ você ∂ x = P (x, y) ∂ você ∂ y = Q (x, y)

Ao transformar a primeira equação do sistema de equações resultante, podemos obter:

você (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Podemos encontrar a função φ (y) a partir da segunda equação do sistema obtido anteriormente:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Foi assim que encontramos a função desejada U (x, y) = 0.

Exemplo 2

Encontre a solução geral para a equação diferencial (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Solução

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Vamos verificar se a condição ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x é satisfeita:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Nossa condição está satisfeita.

Com base nos cálculos, podemos concluir que o lado esquerdo da equação diferencial original é o diferencial total de alguma função U (x, y) = 0. Precisamos encontrar esta função.

Como (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y é o diferencial total da função U (x, y) = 0, então

∂ você ∂ x = x 2 - y 2 ∂ você ∂ y = - 2 x y

Vamos integrar a primeira equação do sistema em relação a x:

você (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Agora diferenciamos o resultado resultante em relação a y:

∂ você ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Transformando a segunda equação do sistema, obtemos: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Significa que
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

onde C é uma constante arbitrária.

Obtemos: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. A integral geral da equação original é x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Vejamos outro método para encontrar uma função usando um diferencial total conhecido. Envolve o uso de uma integral curvilínea de um ponto fixo (x 0, y 0) a um ponto com coordenadas variáveis (x, y):

você (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

Nesses casos, o valor da integral não depende de forma alguma do caminho de integração. Podemos tomar como caminho de integração uma linha quebrada, cujos links estão localizados paralelamente aos eixos coordenados.

Exemplo 3

Encontre a solução geral para a equação diferencial (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Solução

Vamos verificar se a condição ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x é satisfeita:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Acontece que o lado esquerdo da equação diferencial é representado pelo diferencial total de alguma função U (x, y) = 0. Para encontrar esta função, é necessário calcular a integral de linha do ponto (1 ; 1) antes (x, y). Tomemos como caminho de integração uma linha quebrada, cujos trechos passarão em linha reta y = 1 do ponto (1, 1) a (x, 1) e depois do ponto (x, 1) a (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Obtivemos uma solução geral para uma equação diferencial da forma x y - x y 2 + C = 0.

Exemplo 4

Determine a solução geral da equação diferencial y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Solução

Vamos verificar se a condição ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x é satisfeita.

Como ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sen 2 x) ∂ x = 2 sen x · cos x, então a condição não será satisfeita. Isto significa que o lado esquerdo da equação diferencial não é o diferencial completo da função. Esta é uma equação diferencial com variáveis separáveis e outras soluções são adequadas para resolvê-la.

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Diferencial chamada de equação da forma

P(x,y)dx + P(x,y)morrer = 0 ,

onde o lado esquerdo é o diferencial total de qualquer função de duas variáveis.

Vamos denotar a função desconhecida de duas variáveis (isto é o que precisa ser encontrado ao resolver equações em diferenciais totais) por F e voltaremos a isso em breve.

A primeira coisa que você deve prestar atenção é que deve haver um zero no lado direito da equação e o sinal que conecta os dois termos no lado esquerdo deve ser um sinal de mais.

Em segundo lugar, alguma igualdade deve ser observada, o que confirma que esta equação diferencial é uma equação em diferenciais totais. Esta verificação é uma parte obrigatória do algoritmo para resolver equações em diferenciais totais (está no segundo parágrafo desta lição), portanto o processo de encontrar uma função F bastante trabalhoso e é importante garantir, na fase inicial, que não perdemos tempo.

Portanto, a função desconhecida que precisa ser encontrada é denotada por F. A soma dos diferenciais parciais para todas as variáveis independentes dá o diferencial total. Portanto, se a equação for uma equação diferencial total, o lado esquerdo da equação é a soma dos diferenciais parciais. Então por definição

dF = P(x,y)dx + P(x,y)morrer .

Lembremos a fórmula para calcular o diferencial total de uma função de duas variáveis:

Resolvendo as duas últimas igualdades, podemos escrever

Diferenciamos a primeira igualdade em relação à variável “y”, a segunda - em relação à variável “x”:

que é uma condição para que uma determinada equação diferencial seja verdadeiramente uma equação diferencial total.

Algoritmo para resolução de equações diferenciais em diferenciais totais

Passo 1. Certifique-se de que a equação seja uma equação diferencial total. Para que a expressão foi o diferencial total de alguma função F(x, você) é necessário e suficiente para que . Em outras palavras, você precisa calcular a derivada parcial em relação a x e a derivada parcial em relação a sim outro termo e, se essas derivadas forem iguais, então a equação é uma equação diferencial total.

Passo 2. Escreva um sistema de equações diferenciais parciais que compõem a função F:

Etapa 3. Integre a primeira equação do sistema - por x (sim F:

,
sim.

Uma opção alternativa (se for mais fácil encontrar a integral desta forma) é integrar a segunda equação do sistema - por sim (x permanece constante e é retirado do sinal integral). Desta forma, a função também é restaurada F:

,
onde está uma função ainda desconhecida de X.

Passo 4. O resultado da etapa 3 (a integral geral encontrada) é diferenciado por sim(alternativamente - de acordo com x) e igualar à segunda equação do sistema:

e em uma versão alternativa - à primeira equação do sistema:

A partir da equação resultante determinamos (alternativamente)

Etapa 5. O resultado da etapa 4 é integrar e encontrar (alternativamente, encontrar).

Etapa 6. Substitua o resultado da etapa 5 pelo resultado da etapa 3 - na função restaurada por integração parcial F. Constante arbitrária C frequentemente escrito após o sinal de igual - no lado direito da equação. Assim obtemos uma solução geral para a equação diferencial em diferenciais totais. Como já mencionado, tem a forma F(x, você) = C.

Exemplos de soluções para equações diferenciais em diferenciais totais

Exemplo 1.

Passo 1. equação em diferenciais totais x um termo no lado esquerdo da expressão

e a derivada parcial em relação a sim outro termo
equação em diferenciais totais .

Passo 2. F:

Etapa 3. Por x (sim permanece constante e é retirado do sinal integral). Assim restauramos a função F:

onde está uma função ainda desconhecida de sim.

Passo 4. sim

Etapa 5.

Etapa 6. F. Constante arbitrária C :
.

Qual erro é mais provável de ocorrer aqui? Os erros mais comuns são tomar uma integral parcial sobre uma das variáveis para a integral usual de um produto de funções e tentar integrar por partes ou uma variável de substituição, e também tomar a derivada parcial de dois fatores como a derivada de um produto de funções e procure a derivada usando a fórmula correspondente.

Isto deve ser lembrado: ao calcular uma integral parcial em relação a uma das variáveis, a outra é uma constante e é retirada do sinal da integral, e ao calcular a derivada parcial em relação a uma das variáveis, a outra também é uma constante e a derivada da expressão é encontrada como a derivada da variável “atuante” multiplicada pela constante.

Entre equações em diferenciais totais Não é incomum encontrar exemplos com função exponencial. Este é o próximo exemplo. Também se destaca pelo fato de sua solução utilizar uma opção alternativa.

Exemplo 2. Resolver equação diferencial

Passo 1. Vamos ter certeza de que a equação é equação em diferenciais totais . Para fazer isso, encontramos a derivada parcial em relação a x um termo no lado esquerdo da expressão

e a derivada parcial em relação a sim outro termo
. Essas derivadas são iguais, o que significa que a equação é equação em diferenciais totais .

Passo 2. Vamos escrever um sistema de equações diferenciais parciais que compõem a função F:

Etapa 3. Vamos integrar a segunda equação do sistema - por sim (x permanece constante e é retirado do sinal integral). Assim restauramos a função F:

onde está uma função ainda desconhecida de X.

Passo 4. Diferenciamos o resultado da etapa 3 (a integral geral encontrada) em relação a X

e igualar à primeira equação do sistema:

A partir da equação resultante determinamos:
.

Etapa 5. Integramos o resultado da etapa 4 e encontramos:
.

Etapa 6. Substituímos o resultado da etapa 5 no resultado da etapa 3 - na função restaurada por integração parcial F. Constante arbitrária C escreva depois do sinal de igual. Assim obtemos o total resolvendo uma equação diferencial em diferenciais totais :
.

No exemplo a seguir voltamos de uma opção alternativa à principal.

Exemplo 3. Resolver equação diferencial

Passo 1. Vamos ter certeza de que a equação é equação em diferenciais totais . Para fazer isso, encontramos a derivada parcial em relação a sim um termo no lado esquerdo da expressão

e a derivada parcial em relação a x outro termo
. Essas derivadas são iguais, o que significa que a equação é equação em diferenciais totais .

Passo 2. Vamos escrever um sistema de equações diferenciais parciais que compõem a função F:

Etapa 3. Vamos integrar a primeira equação do sistema - Por x (sim permanece constante e é retirado do sinal integral). Assim restauramos a função F:

onde está uma função ainda desconhecida de sim.

Passo 4. Diferenciamos o resultado da etapa 3 (a integral geral encontrada) em relação a sim

e igualar à segunda equação do sistema:

A partir da equação resultante determinamos:
.

Etapa 5. Integramos o resultado da etapa 4 e encontramos:

Exemplo 4. Resolver equação diferencial

Passo 2. Vamos escrever um sistema de equações diferenciais parciais que compõem a função F:

Etapa 3. Vamos integrar a primeira equação do sistema - Por x (sim permanece constante e é retirado do sinal integral). Assim restauramos a função F:

onde está uma função ainda desconhecida de sim.

Passo 4. Diferenciamos o resultado da etapa 3 (a integral geral encontrada) em relação a sim

e igualar à segunda equação do sistema:

A partir da equação resultante determinamos:
.

Etapa 5. Integramos o resultado da etapa 4 e encontramos:

Exemplo 5. Resolver equação diferencial

Definição 8.4. Equação diferencial da forma

Onde
é chamada de equação diferencial total.

Observe que o lado esquerdo de tal equação é o diferencial total de alguma função
.

Em geral, a equação (8.4) pode ser representada como

Em vez da equação (8.5), podemos considerar a equação

cuja solução é a integral geral da equação (8.4). Assim, para resolver a equação (8.4) é necessário encontrar a função
. De acordo com a definição da equação (8.4), temos

(8.6)

Função
procuraremos uma função que satisfaça uma destas condições (8.6):

Onde - uma função arbitrária independente de .

Função
é definido de modo que a segunda condição da expressão (8.6) seja satisfeita

(8.7)

A partir da expressão (8.7) a função é determinada
. Substituindo-o na expressão para
e obtenha a integral geral da equação original.

Problema 8.3. Integrar Equação

Aqui
.

Portanto, esta equação pertence ao tipo de equações diferenciais em diferenciais totais. Função
vamos procurá-lo no formato

Por outro lado,

Em alguns casos a condição
pode não ser cumprido.

Então tais equações são reduzidas ao tipo em consideração multiplicando-se pelo chamado fator integrador, que, no caso geral, é apenas uma função ou .

Se alguma equação tem um fator integrante que depende apenas de , então é determinado pela fórmula

onde está a relação deveria ser apenas uma função .

Da mesma forma, o fator integrante que depende apenas de , é determinado pela fórmula

onde está a relação
deveria ser apenas uma função .

Ausência nas relações dadas, no primeiro caso, da variável , e no segundo - a variável , são um sinal da existência de um fator integrante para uma determinada equação.

Problema 8.4. Reduza esta equação a uma equação em diferenciais totais.

Considere a relação:

Tópico 8.2. Equações diferenciais lineares

Definição 8.5. Equação diferencial
é chamado linear se for linear em relação à função desejada , sua derivada e não contém o produto da função desejada e sua derivada.

A forma geral de uma equação diferencial linear é representada pela seguinte relação:

(8.8)

Se na relação (8.8) o lado direito
, então tal equação é chamada linear homogênea. No caso em que o lado direito
, então tal equação é chamada linear não homogênea.

Mostremos que a equação (8.8) pode ser integrada em quadraturas.

Na primeira etapa, consideramos uma equação linear homogênea.

Tal equação é uma equação com variáveis separáveis. Realmente,

;

A última relação determina a solução geral de uma equação linear homogênea.

Para encontrar uma solução geral para uma equação linear não homogênea, é utilizado o método de variação da derivada de uma constante. A ideia do método é que a solução geral de uma equação linear não homogênea tenha a mesma forma que a solução da equação homogênea correspondente, mas seja uma constante arbitrária substituído por alguma função
estar determinado. Então nós temos:

(8.9)

Substituindo na relação (8.8) as expressões correspondentes
E
, Nós temos

Substituindo a última expressão na relação (8.9), obtemos a integral geral da equação linear não homogênea.

Assim, a solução geral de uma equação linear não homogênea é determinada por duas quadraturas: a solução geral de uma equação linear homogênea e uma solução particular de uma equação linear não homogênea.

Problema 8.5. Integrar Equação