Como você sabe, um corpo que não está de forma alguma limitado em seus movimentos é chamado de livre, pois pode se mover em qualquer direção. Conseqüentemente, todo corpo rígido livre tem seis graus de liberdade de movimento. Tem a capacidade de produzir os seguintes movimentos: três movimentos de translação, correspondentes a três sistemas de coordenadas principais, e três movimentos de rotação em torno destes três eixos de coordenadas.

A imposição de conexões (fixação) reduz o número de graus de liberdade. Assim, se um corpo estiver fixo em um ponto, ele não pode se mover ao longo dos eixos coordenados; seus movimentos são limitados apenas à rotação em torno desses eixos, ou seja, o corpo tem três graus de liberdade. No caso em que dois pontos são fixos, o corpo tem apenas um grau de liberdade, só pode girar em torno de uma linha (eixo) que passa por ambos os pontos. E finalmente, com três pontos fixos que não estão na mesma linha, o número de graus de liberdade é zero e nenhum movimento corporal pode ocorrer. Nos humanos, o aparelho passivo de movimento consiste em partes do corpo chamadas elos. Eles estão todos conectados entre si, perdendo a capacidade de realizar três tipos de movimentos ao longo dos eixos coordenados. Eles só têm a capacidade de girar em torno desses eixos. Assim, o número máximo de graus de liberdade que um elo corporal pode ter em relação a outro elo adjacente a ele é três.

Refere-se às articulações mais móveis do corpo humano, que possuem formato esférico.

Conexões sequenciais ou ramificadas de partes do corpo (elos) formam cadeias cinemáticas.

Nos humanos existem:

• - cadeias cinemáticas abertas ter extremidade móvel livre, fixada apenas em uma extremidade (por exemplo, um braço em relação ao corpo);
• - cadeias cinemáticas fechadas, fixado em ambas as extremidades (por exemplo, vértebra - costela - esterno - costela - vértebra).

Deve-se notar que isto diz respeito à amplitude potencial de movimentos nas articulações. Na realidade, numa pessoa viva, estes indicadores são sempre mais baixos, o que foi comprovado por numerosos trabalhos de investigadores nacionais - P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin, etc. pessoa, é influenciada por uma série de fatores relacionados à idade, ao sexo, às características individuais, ao estado funcional do sistema nervoso, ao grau de alongamento muscular, à temperatura ambiente, à hora do dia e, por fim, o que é importante para os atletas, o grau de treinamento. Assim, em todas as ligações ósseas (descontínuas e contínuas), o grau de mobilidade nos jovens é maior do que nos idosos; Em média, as mulheres têm mais que os homens. A quantidade de mobilidade é influenciada pelo grau de alongamento dos músculos que estão do lado oposto ao movimento, bem como pela força dos músculos que produzem esse movimento. Quanto mais elástico for o primeiro desses músculos e mais forte o segundo, maior será a amplitude de movimentos em uma determinada conexão óssea e vice-versa. Sabe-se que em uma sala fria os movimentos têm menor amplitude do que em uma sala quente; de ​​manhã são menores que à noite. A utilização de diferentes exercícios tem efeitos diferentes na mobilidade articular. Assim, o treino sistemático com exercícios de “flexibilidade” aumenta a amplitude de movimento das articulações, enquanto os exercícios de “força”, ao contrário, a reduzem, levando ao “endurecimento” das articulações. No entanto, uma diminuição na amplitude de movimento das articulações ao usar exercícios de força não é absolutamente inevitável. Pode ser prevenido pela combinação certa de treinamento de força e exercícios de alongamento para os mesmos grupos musculares.

Nas cadeias cinemáticas abertas do corpo humano, a mobilidade é calculada em dezenas de graus de liberdade. Por exemplo, a mobilidade do punho em relação à escápula e a mobilidade do tarso em relação à pelve têm sete graus de liberdade, e as pontas dos dedos da mão em relação ao peito têm 16 graus de liberdade. Se somarmos todos os graus de liberdade dos membros e da cabeça em relação ao corpo, então isso será expresso pelo número 105, composto pelas seguintes posições:

• - cabeça - 3 graus de liberdade;
• - braços – 14 graus de liberdade;
• - pernas - 12 graus de liberdade;
• - mãos e pés - 76 graus de liberdade.

Para efeito de comparação, destacamos que a grande maioria das máquinas possui apenas um grau de liberdade de movimento.

Em juntas esféricas, são possíveis rotações em torno de três eixos perpendiculares entre si. O número total de eixos em torno dos quais são possíveis rotações nessas juntas é infinitamente grande. Consequentemente, no que diz respeito às juntas esféricas, podemos dizer que os elos nelas articulados, dos seis graus de liberdade de movimento possíveis, possuem três graus de liberdade e três graus de acoplamento.

Articulações com dois graus de liberdade de movimento e quatro graus de acoplamento apresentam menor mobilidade. Estes incluem juntas de formato ovóide ou elíptico e de sela, ou seja, biaxial. Eles permitem movimentos em torno desses dois eixos.

O corpo se liga nas articulações que possuem um eixo de rotação, ou seja, possuem um grau de liberdade de mobilidade e ao mesmo tempo cinco graus de conectividade. tem dois pontos fixos.

A maioria das articulações do corpo humano tem dois ou três graus de liberdade. Com vários graus de liberdade de movimento (dois ou mais), é possível um número infinito de trajetórias. As conexões dos ossos do crânio têm seis graus de conexão e são imóveis. A ligação dos ossos com o auxílio de cartilagens e ligamentos (sincondrose e sindesmose) pode, em alguns casos, apresentar mobilidade significativa, que depende da elasticidade e do tamanho das formações de tecido cartilaginoso ou conjuntivo localizadas entre esses ossos.

Sistemas com dois graus de liberdade são um caso especial de sistemas com vários graus de liberdade. Mas estes sistemas são os mais simples, permitindo obter na forma final fórmulas de cálculo para determinação de frequências de vibração, amplitudes e deflexões dinâmicas.

yDeflexões da viga devido a forças inerciais:

P 2 =1 (1)

Os sinais (-) nas expressões (1) devem-se ao fato de forças e unidades inerciais. os movimentos são na direção oposta.

Acreditamos que as vibrações de massa ocorrem de acordo com a lei harmônica:

(2)

Vamos encontrar a aceleração do movimento da massa:

(3)

Substituindo as expressões (2) e (3) na equação (1) obtemos:

(5)

Consideramos as amplitudes das oscilações A 1 e A 2 desconhecidas e transformamos as equações:

(6)

A solução do sistema de equações homogêneas A 1 = A 2 =0 não nos convém, para obter uma solução diferente de zero igualamos os determinantes do sistema (6) a zero:

(7)

Vamos transformar a equação (8), considerando a frequência circular das oscilações naturais  desconhecida:

A equação (9) é chamada de equação biarmônica de oscilações livres de sistemas com dois graus de liberdade.

Substituindo a variável  2 =Z, obtemos

a partir daqui determinamos Z 1 e Z 2.

Como resultado, as seguintes conclusões podem ser tiradas:

1. Vibrações livres de sistemas com dois graus de liberdade ocorrem com duas frequências  1 e  2. A frequência mais baixa 1 é chamada de tom fundamental ou fundamental, a frequência mais alta 2 é chamada de segunda frequência ou sobretom.

As oscilações livres de sistemas com n graus de liberdade são de n tons, consistindo em n oscilações livres.

2. Os movimentos das massas m 1 e m 2 são expressos pelas seguintes fórmulas:

ou seja, se as oscilações ocorrem com uma frequência  1, então em qualquer momento os movimentos de massa têm os mesmos sinais.

Se as oscilações ocorrerem apenas com frequência  2, então os movimentos de massa em qualquer momento terão sinais opostos.

Com oscilações simultâneas de massas com frequências  1 e  2, o sistema oscila principalmente na frequência  1 e um harmônico com frequência  2 se encaixa nessas oscilações.

Se um sistema com dois graus de liberdade está sujeito a uma força motriz com frequência , então é necessário que:

  0,7  1 .

Aula 9

Oscilações de sistemas com número infinito de graus de liberdade.

A teoria das vibrações mecânicas tem inúmeras e diversas aplicações em quase todas as áreas da tecnologia. Independentemente da finalidade e da solução de projeto dos diversos sistemas mecânicos, suas vibrações estão sujeitas às mesmas leis físicas, cujo estudo é objeto da teoria das vibrações dos sistemas elásticos. A teoria linear das oscilações foi desenvolvida de forma mais completa. A teoria das oscilações de sistemas com vários graus de liberdade foi devolvida no século XVIII por Lagrange na sua obra clássica “Mecânica Analítica”.

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) - professor de matemática em Torino desde os 19 anos. Desde 1759 - membro e desde 1766 - presidente da Academia de Ciências de Berlim; a partir de 1787 viveu em Paris. Em 1776 foi eleito membro estrangeiro honorário da Academia de Ciências de São Petersburgo.

No final do século XIX, Rayleigh lançou as bases da teoria linear das oscilações de sistemas com um grau infinito de graus de liberdade (ou seja, com uma distribuição contínua de massa ao longo de todo o volume do sistema deformável). No século XX, pode-se dizer que a teoria linear foi concluída (o método Bubnov-Galerkin, que também permite determinar frequências de oscilação mais altas por meio de aproximações sucessivas).

John William Strett (Lord Rayleigh) (1842 - 1919) - físico inglês, autor de vários trabalhos sobre a teoria das oscilações.

Ivan Grigorievich Bubnov (1872 - 1919) - um dos fundadores da mecânica estrutural naval. Professor no Instituto Politécnico de São Petersburgo, desde 1910 - na Academia Marítima.

Boris Grigorievich Galerkin (1871-1945) - professor do Instituto Politécnico de Leningrado.

A fórmula de Rayleigh é mais popular na teoria das vibrações e estabilidade de sistemas elásticos. A ideia subjacente à derivação da fórmula de Rayleigh resume-se ao seguinte. Com oscilações livres monoharmônicas (de um tom) de um sistema elástico com frequência , os movimentos de seus pontos ocorrem no tempo de acordo com a lei harmônica:

onde  1 (x,y,z),  2 (x,y,z),  3 (x,y,z) são funções das coordenadas espaciais do ponto que determinam a forma de oscilação em questão (amplitude).

Se essas funções forem conhecidas, então a frequência das vibrações livres pode ser encontrada a partir da condição de que a soma das energias cinética e potencial do corpo seja constante. Esta condição leva a uma equação contendo apenas uma quantidade desconhecida.

No entanto, estas funções não são conhecidas antecipadamente. A ideia norteadora do método Rayleigh é especificar essas funções, combinando sua escolha com as condições de contorno e a forma esperada das vibrações.

Consideremos mais detalhadamente a implementação desta ideia para vibrações de flexão plana de uma haste; a forma das vibrações é descrita pela função =(x). Oscilações livres são descritas pela dependência

energia potencial de uma haste dobrada

(2)

energia cinética

(3)

Onde eu- comprimento da haste, m=m(x) intensidade da massa distribuída da haste;

Curvatura do eixo curvo da haste; - velocidade das vibrações transversais.

Dado (1)

.

(4)

(5)

Com o tempo, cada uma dessas quantidades muda continuamente, mas, de acordo com a lei da conservação da energia, sua soma permanece constante, ou seja,

ou substituindo as expressões (4), (5) aqui

(7)

Isso leva à fórmula de Rayleigh:

(8)

Se cargas concentradas com massas M i estão associadas a uma barra com massa distribuída m, então a fórmula de Rayleigh assume a forma:

(9)

Todo o curso da derivação mostra que, dentro da estrutura das suposições aceitas (a validade da teoria técnica da flexão das hastes, a ausência de resistência inelástica), esta fórmula é precisa se (x) for a verdadeira forma das vibrações . No entanto, a função(x) é desconhecida de antemão. O significado prático da fórmula de Rayleigh é que ela pode ser usada para encontrar a frequência natural, dada a forma da vibração(x). Ao mesmo tempo, um elemento de proximidade mais ou menos sério é introduzido na decisão. Por esta razão, a fórmula de Rayleigh é às vezes chamada de fórmula aproximada.

m=cosnt Tomemos como forma de vibração a função:(x)=ax 2, que satisfaz as condições de contorno cinemáticas do problema.

Nós definimos:

De acordo com a fórmula (8)

Este resultado difere significativamente do exato

Mais precisa é a fórmula de Grammel, que ainda não se tornou tão popular quanto a fórmula de Rayleigh (talvez devido à sua relativa “juventude” - foi proposta em 1939).

Detenhamo-nos novamente no mesmo problema das vibrações de flexão livre de uma haste.

Seja (x) a forma especificada de oscilações livres da haste. Então a intensidade das forças inerciais máximas é determinada pela expressão m 2 , onde, como antes, m=m(x) é a intensidade da massa distribuída da barra;  2 é o quadrado da frequência natural. Essas forças atingem o valor especificado no momento em que as deflexões são máximas, ou seja, são determinados pela função(x).

Vamos escrever a expressão para a maior energia potencial de flexão em termos de momentos fletores causados ​​pelas forças inerciais máximas:

. (10)

Aqui - momentos fletores causados ​​pela carga m 2 . Vamos denotar o momento fletor causado pela carga condicional m, ou seja,  2 vezes menos que a força inercial.

, (11)

e a expressão (10) pode ser escrita como:

. (12)

Energia cinética mais alta, igual à anterior

. (13)

Igualando as expressões (12) e (13) chegamos à fórmula de Grammel:

(14)

Para calcular usando esta fórmula, você deve primeiro especificar uma função adequada (x). Depois disso, a carga condicional m=m(x)(x) é determinada e as expressões para flexão causada pela carga condicional m são escritas. Usando a fórmula (14), a frequência natural de oscilação do sistema é determinada.

Exemplo: (considere o anterior)

sim

m(x)·(x)=máx 2

Consideremos pequenas oscilações de um sistema com dois graus de liberdade, que está sujeito às forças de um campo potencial e a forças que mudam periodicamente no tempo. Os movimentos resultantes do sistema são chamados de oscilações forçadas.

Deixe as forças generalizadas perturbadoras variarem de acordo com uma lei harmônica com o tempo, tendo períodos e fase inicial iguais. Então as equações de movimento do sistema em consideração terão a forma:

As equações de movimento no caso em consideração são um sistema de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e um lado direito.

Ir para as coordenadas principais

Para maior comodidade de estudar as equações de movimento, passemos às principais coordenadas do sistema.A relação entre as coordenadas é determinada pelas fórmulas do parágrafo anterior do formulário:

Denotemos correspondentemente as forças generalizadas correspondentes às coordenadas normais. Como as forças generalizadas representam coeficientes para as variações correspondentes das coordenadas generalizadas na expressão do trabalho elementar das forças que atuam no sistema, então

Por isso:

Assim, as equações de movimento em coordenadas principais assumem a forma:

As equações de oscilações forçadas de um sistema com dois graus de liberdade em coordenadas normais são independentes entre si e podem ser integradas separadamente.

Frequências críticas da força perturbadora

A equação para ou determina a natureza oscilatória da mudança nas coordenadas normais, estudada detalhadamente ao considerar a oscilação forçada de um ponto ao longo de uma linha reta, uma vez que as equações diferenciais de movimento são as mesmas em ambos os casos. Em particular, se a frequência da força perturbadora for igual à frequência de uma das oscilações naturais do sistema, então a solução incluirá o tempo t como fator. Conseqüentemente, uma das coordenadas normais generalizadas para um t suficientemente grande será arbitrariamente grande, ou teremos o fenômeno da ressonância.

Oscilações com vários graus de liberdade.

Breve informação da teoria.

Sistemas com n potênciasliberdade em dinâmica costuma-se chamar tais sistemas, para fixar completamente o estado geométrico do qual a qualquer momento é necessário definir P parâmetros, por exemplo posição (deflexões) P pontos. A posição de outros pontos é determinada por técnicas estáticas convencionais.

Um exemplo de sistema com P graus de liberdade podem ser uma viga ou uma estrutura plana se as massas de suas partes ou elementos individuais forem condicionalmente (para facilitar cálculos dinâmicos) consideradas concentradas em P pontos, ou se transporta n grandes massas (motores, motores), em comparação com as quais é possível desprezar o peso próprio dos elementos. Se massas individuais concentradas (“pontuais”) podem, ao oscilar, mover-se em duas direções, então o número de graus de liberdade do sistema será igual ao número de conexões que devem ser impostas ao sistema para eliminar os deslocamentos de todas as massas.

Se um sistema com n graus de liberdade for desequilibrado, ele cometerá vibrações livres, e cada “ponto” (massa) realizará oscilações poliharmônicas complexas do tipo:

Constantes A eu e B eu dependem das condições iniciais de movimento (desvios das massas do nível estático e velocidades no momento t=0). Somente em alguns casos especiais de excitação de oscilações o movimento poliarmônico para massas individuais pode se transformar em harmônico, ou seja, como em um sistema com um grau de liberdade:

O número de frequências naturais de um sistema é igual ao número de seus graus de liberdade.

Para calcular as frequências naturais, é necessário resolver o chamado determinante de frequência, escrito desta forma:

Esta condição na forma expandida dá a equação Pº grau para determinar P valores de ω 2, que é chamada de equação de frequência.

Através de δ 11, δ 12, δ 22, etc. possíveis movimentos são indicados. Assim, δ 12 é o deslocamento na primeira direção do ponto de localização da primeira massa de uma força unitária aplicada na segunda direção até o ponto de localização da segunda massa, etc.

Com dois graus de liberdade, a equação de frequência assume a forma:

Onde para duas frequências temos:

No caso em que massas individuais M eu também pode realizar movimentos rotacionais ou apenas rotacionais em combinação com movimentos lineares, então eu-essa coordenada será o ângulo de rotação, e no determinante da frequência a massa

M eu deve ser substituído pelo momento de inércia da massa J eu; consequentemente, possíveis movimentos na direção eu-ésimas coordenadas ( δ eu 2 , δ eu 2 etc.) serão movimentos angulares.

Se alguma massa oscilar em várias direções - eu-mu e k-th (por exemplo, vertical e horizontal), então tal massa participa do determinante várias vezes sob os números M eu eles k e corresponde a vários movimentos possíveis ( δ eu, δ kkkkk, δ sim, etc.).

Observe que cada frequência natural tem sua própria forma especial de oscilação (a natureza de um eixo curvo, linha de deflexão, deslocamento, etc.), que em casos individuais e especiais pode acabar sendo uma forma válida de oscilação, mesmo que livre. as oscilações são adequadamente excitadas (seleção correta dos impulsos, pontos de sua aplicação, etc.). Neste caso, o sistema oscilará de acordo com as leis do movimento do sistema com um grau de liberdade.

No caso geral, como segue da expressão (9.1), o sistema realiza oscilações poliarmônicas, mas é óbvio que qualquer linha elástica complexa que reflita a influência de todas as frequências naturais pode ser decomposta em componentes individuais da forma, cada um dos que corresponde à sua própria frequência O processo de tal decomposição do verdadeiro modo de vibração em componentes (que é necessário para resolver problemas complexos de dinâmica estrutural) é denominado decomposição em modos de vibrações naturais.

Se em cada massa, mais precisamente - na direção de cada grau de liberdade, é aplicada uma força perturbadora, variando no tempo de acordo com a lei harmônica

ou, que é indiferente para outros fins, e as amplitudes das forças para cada massa são diferentes, e a frequência e as fases são as mesmas, então, com a ação prolongada de tais forças perturbadoras, o sistema realizará oscilações forçadas em estado estacionário com a frequência da força motriz. Amplitudes de movimentos em qualquer direção eu-esse grau neste caso será:

onde o determinante D é escrito conforme (9.2) com ω substituído por θ e, portanto, D≠0; D eué determinado pela expressão:

aqueles. eu A décima coluna do determinante D é substituída por uma coluna composta por termos da forma: Para o caso de dois graus de liberdade: (9.6)

E correspondentemente

Ao calcular vibrações forçadas de vigas de seção transversal constante que transportam massas concentradas (Fig. 9.1).

É mais fácil, entretanto, usar as seguintes fórmulas para as amplitudes de deflexão, ângulo de rotação, momento fletor e força cortante em qualquer seção da viga:

(9.7)

Onde sim 0 , φ 0 , M 0 , P 0 – amplitudes de flecha, rotação, momento e força cortante da seção inicial (parâmetros iniciais); Eu E J eu- massa e seu momento de inércia (massas concentradas); o sinal ∑ aplica-se a todas as forças e massas concentradas localizadas desde a seção inicial até o sujeito.

As fórmulas indicadas (9.7) também podem ser utilizadas no cálculo de frequências naturais, para as quais é necessário considerar as forças perturbadoras ∑ Reu e momentos ∑ Meu igual a zero, substitua a frequência das oscilações forçadas θ pela frequência das oscilações naturais ω e, assumindo a existência de oscilações (oscilações livres), escreva as expressões (9.7) em relação às seções onde estão localizadas massas concentradas e as amplitudes já são conhecidas ( seções de referência, eixo de simetria, etc.). Obtemos um sistema de equações lineares homogêneas. Igualando o determinante deste sistema a zero, poderemos calcular as frequências naturais.

Acontece que é aconselhável usar as expressões (9.4) e (9.5) para determinar as amplitudes ( sim 0 , φ 0 , etc.) em X=0, e então usando (9.7) calcule todos os outros elementos de deflexão.

Mais complexo é o problema de calcular os movimentos de um sistema com vários graus de liberdade sob a ação de uma carga arbitrária que muda ao longo do tempo e é aplicada a várias massas.

Ao resolver tal problema, você deve proceder da seguinte forma:

a) determinar frequências naturais e modos de vibrações naturais;

b) reagrupar a carga dada entre massas ou, como dizem, decompor-la segundo os modos de vibrações naturais. O número de grupos de carga é igual ao número de frequências naturais do sistema;

c) após realizar as duas operações auxiliares acima, faça um cálculo para cada grupo de cargas usando fórmulas conhecidas da teoria das oscilações de um sistema com um grau de liberdade, e a frequência das oscilações naturais nessas fórmulas é considerada aquela a que corresponde este grupo de cargas;

d) são somadas as soluções parciais de cada categoria de cargas, o que determina a solução final do problema.

A determinação das frequências naturais é realizada conforme (9.2). Quanto à identificação das formas de vibrações naturais, aqui é necessário guiar-se pela propriedade básica de qualquer forma de vibrações naturais, que representa a linha de influência da deflexão das forças (cujo número é igual ao número de graus de liberdade) proporcionais ao produto das massas e às ordenadas das deflexões dos pontos de fixação das massas. Para massas iguais, a forma das vibrações naturais representa a linha de deflexão das forças proporcionais às ordenadas da deflexão; o diagrama de carga é semelhante ao diagrama de deflexão.

A frequência mais baixa corresponde à forma mais simples de vibração. Para vigas, na maioria das vezes esta forma corresponde ao eixo curvo do sistema sob a influência do seu próprio peso. Se esta estrutura for menos rígida em qualquer direção, por exemplo na horizontal, então para identificar a natureza do eixo curvo desejado, deve-se aplicar condicionalmente seu próprio peso nesta direção.

MECÂNICA TEÓRICA

CDU 531,8:621,8

DM Kobylyansky, VF Gorbunov, VA Gogolin

COMPATIBILIDADE DE ROTAÇÃO E VIBRAÇÕES DE CORPOS COM UM GRAU DE LIBERDADE

Consideremos um corpo plano T, ao qual são impostas três restrições ideais, impedindo apenas o movimento do corpo em todas as direções, conforme mostrado na Fig. As conexões são os pontos A, B, C, localizados nos vértices de um triângulo equilátero. Tendo escolhido um sistema de coordenadas de forma que seu centro coincida com o centro do triângulo e esteja alinhado com ele (Fig. 1a), temos as coordenadas das conexões: A(0;R), B(^l/3 /2 ;-R/2), C^-Ld/e/2; -I/2), onde I é a distância do centro do triângulo aos seus vértices, ou seja, o raio do círculo que passa pelos pontos A, B, C. Nesta posição, o corpo terá um grau de liberdade somente se as normais ao seu limite nos pontos A, B, C se cruzarem em um ponto, que será o centro instantâneo das velocidades. Caso contrário, o número de graus de liberdade do corpo é zero e ele não pode apenas se mover translacionalmente, mas também realizar movimento rotacional. Quando um corpo tem um grau de liberdade, ele pode começar a girar com o centro de rotação instantâneo no ponto de intersecção das normais acima. Seja este ponto a origem das coordenadas, ponto O. Se o centro de rotação instantâneo não mudar de posição, então a única forma possível do corpo T é um círculo de raio R com centro no ponto O.

Surge o problema: existem outras formas do corpo que lhe permitem girar em relação a algum centro móvel, de modo que o

o corpo do corpo passou continuamente por três pontos A, B, C sem quebrar essas conexões? Na literatura que conhecemos, tal problema não foi considerado e, aparentemente, está sendo resolvido pela primeira vez.

Para resolver este problema, consideramos primeiro o movimento do triângulo ABC como um corpo rígido, em relação ao sistema de coordenadas X1O1Y1 associado ao corpo T (Fig. 1b). Então, se o movimento do triângulo ocorrer de tal forma que seus vértices permaneçam continuamente na fronteira do corpo durante uma rotação completa do triângulo em 360°, então o corpo também realizará o movimento necessário no sentido inverso em relação ao fixo. triângulo ABC e o sistema de coordenadas associado XOU.

Definimos o movimento do triângulo ABC como uma rotação em relação ao centro O e um movimento do centro O ao longo do eixo ОіХі por /(g), ao longo do eixo ОіУі por g(t). Então a equação paramétrica da trajetória do ponto A terá a forma: x = ryaSh +/(r); уі=г-єо,?ґ +g(t), ґє (1)

Como em g=0 o ponto O deve coincidir com o ponto O1, então a condição /(0)= g(0)=0 deve ser satisfeita. Exigimos que, quando girado em um ângulo r = 2n/3, o ponto A coincida com o ponto B1, o ponto B coincida com o ponto C e o ponto C

Com o ponto A1. Ao girar em um ângulo r = 4n/3, o ponto A deve ir para o ponto C1, o ponto B para o ponto A1 e o ponto C para o ponto B1. A combinação desses requisitos para o movimento dos vértices do triângulo leva a condições para os valores das funções de movimento do centro de rotação /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0 . (2) As condições (2) são satisfeitas por uma ampla classe de funções, em particular funções da forma sin(3mt/2), onde m é um número inteiro, e suas combinações lineares com coeficientes geralmente variáveis ​​da forma:

H (g) = ^ bt (g) 8Іп(3тґ / 2)

Além disso, como

Figura 1. Esquema de cálculo: a) - posição do corpo estacionário e suas conexões no sistema XOU; b) - a posição do sistema fixo X1O1U1 associado ao corpo, e do sistema móvel XOU associado ao triângulo ABC

Mecânica teórica

Figura 2. Formas de corpos e trajetórias de movimento de seus centros de rotação

Arroz. 3. A posição do corpo ao girar em ângulo e a trajetória de movimento correspondente de seu centro de rotação

funções de deslocamento, podem ser tomadas funções que definem curvas fechadas, como ciclóides, trocóides, lemniscatas, com parâmetros adequados de acordo com a condição (2). Neste caso, todas as funções possíveis devem ser periódicas com período 2n/3.

Assim, o sistema de equações paramétricas (1) com condições sobre os valores das funções /(^, g(t) (2) ou na sua forma (3) dá a equação desejada para o limite do corpo T. A Figura 2 mostra exemplos de possíveis formas corporais que satisfazem as condições da tarefa. No centro de cada figura é mostrada a trajetória do centro de rotação O1, e as conexões pontuais A, B, C são ampliadas para sua melhor visualização. Esses exemplos mostram que mesmo tipos simples de funções da classe definida pela expressão (3) com coeficientes constantes fornecem um conjunto bastante amplo de curvas que descrevem os limites dos corpos em rotação e

oscilações simultaneamente com apenas um grau de liberdade. As curvas limite a), c) na Fig. 2 correspondem ao movimento do centro de rotação apenas ao longo do eixo horizontal

ОіХі de acordo com a lei harmônica, e como pode ser visto, possuem dois eixos de simetria e podem ser puramente convexos, ovais (Fig. 2a), ou combinar convexidade com concavidade (Fig. 2b). Com uma lei harmônica vertical e horizontal com a mesma amplitude de movimento do centro de rotação, as curvas limite perdem a simetria (Fig. 2 c, d). A influência significativa da frequência das vibrações harmônicas na forma da curva limite de um corpo é mostrada na Fig. 2 d, f. Sem realizar uma análise completa da influência da amplitude e frequência na forma e nas propriedades geométricas da fronteira curvas neste trabalho, gostaria de ressaltar que os exemplos apresentados na Fig. 2 já mostram a capacidade de resolver problemas técnicos na escolha da forma desejada

corpo combine seu movimento rotacional com oscilações no plano de rotação.

Considerando agora o movimento do corpo em relação ao sistema de coordenadas fixas XOU associado ao triângulo ABC, ou seja, passando do sistema de coordenadas X1O1U1 para o sistema de coordenadas XOU, obtemos as seguintes equações paramétricas da curva limite do corpo em um dado ângulo de rotação p x = cosp-

Cosp(4)

ou levando em consideração as equações (1), as equações (4) assumem a forma x = cosp-

- [R cos(t) + g (t) - g (p)] sen p, y = sen p +

Porque pág.

As equações (5) permitem descrever a trajetória de qualquer ponto do corpo de acordo com suas polaridades dadas.

t-g.i m*4<. п-і

t-ÍLÍtWM. d-0

Arroz. 4. Variantes de formatos de corpos com diferentes números de conexões, garantindo a compatibilidade de rotação e vibração dos corpos

coordenadas finais R,t. Em particular, em R=0, t=0 temos um ponto coincidente com a origem das coordenadas Ob, ou seja, o centro de rotação, cuja trajetória no esquema em consideração é descrita pelas equações seguintes de (5) :

*0 = -f (ph) cos ph + g (ph) sin ph, y0 = - f (ph) sin ph- g (ph) cos r.

A Figura 3 mostra um exemplo de posições do corpo (Figura 2b) quando ele é girado em um ângulo φ, e no centro de cada figura é mostrada a trajetória do centro de rotação

Oi, correspondente à rotação do corpo nesse ângulo. Tecnicamente não é difícil fazer animação

do movimento corporal mostrado na Fig. 3 em vez de um modelo físico, porém, a estrutura de um artigo de jornal só pode permitir isso em versão eletrônica. O exemplo mostrado ainda era

Uma generalização do problema considerado é um sistema de n conexões ideais na forma de pontos localizados nos vértices de um triângulo regular, impedindo apenas movimentos de translação do corpo. Portanto, como no caso de um triângulo, o corpo pode começar a girar em relação ao centro de rotação, que é o ponto de intersecção das normais ao limite do corpo nos pontos de conexão. Neste caso, a equação da trajetória de um ponto do corpo A, localizado no eixo OU, e localizado a uma distância H do centro de rotação, terá a mesma forma que (1). As condições para os valores das funções de movimentação do centro de rotação (2) neste caso serão tomadas

Kobylyansky Gorbunov

Dmitry Mikhailovich Valery Fedorovich

Aluno de pós-graduação do departamento. estacionário e - doc. tecnologia. ciências, prof. departamento centenas

veículos de transporte, veículos estacionários e de transporte

f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)

A condição (7) corresponde a funções periódicas com período de 2n/n, por exemplo 8m(n-m4/2), bem como suas combinações lineares da forma (3) e outras funções que descrevem curvas fechadas. Raciocínio semelhante ao mencionado acima leva às mesmas equações (4-6), que permitem calcular a forma do corpo, sua posição durante a rotação e a trajetória do centro de rotação com oscilações do corpo consistentes com a rotação . Um exemplo de tais cálculos é a Fig. 4, em que a linha pontilhada mostra a posição inicial dos corpos, a linha sólida mostra a posição dos corpos ao girar em um ângulo l/3, e no centro de cada figura está o trajetória completa do centro de rotação durante uma rotação completa do corpo. E embora neste exemplo seja considerado apenas o movimento horizontal do centro de rotação O, como centro de um n-gon, os resultados obtidos mostram uma ampla gama de formas possíveis de um corpo com um grau de liberdade, combinando movimento rotacional com oscilações na presença de quatro, cinco e seis conexões.

O método resultante para calcular a compatibilidade dos movimentos de rotação e oscilação de corpos com um grau de liberdade também pode ser usado sem quaisquer acréscimos para corpos espaciais para os quais são proibidos movimentos ao longo da terceira coordenada e rotações em outros planos de coordenadas.

Gogolin Vyacheslav Anatolyevich

Dr. tecnologia. ciências, prof. departamento matemático aplicado e