Ciência da computação, cibernética e programação

Um sistema de serviço com n canais de serviço recebe um fluxo Poisson de solicitações com intensidade λ. Intensidade de atendimento de solicitações por cada canal. Após o término do serviço, todos os canais são liberados. O comportamento de tal sistema de filas pode ser descrito por um processo aleatório de Markov t, que representa o número de solicitações no sistema.

2. QS com recusas e plena assistência mútua para fluxos de massa. Gráfico, sistema de equações, relações calculadas.

Formulação do problema.Um sistema de serviço com n canais de serviço recebe um fluxo Poisson de solicitações com intensidade λ. A intensidade de atendimento de uma aplicação por cada canal é µ. O aplicativo é atendido por todos os canais simultaneamente. Após o término do serviço, todos os canais são liberados. Se uma solicitação recém-chegada atender à solicitação, ela também será aceita para serviço. Alguns canais continuam atendendo à primeira solicitação, enquanto os demais continuam atendendo à nova. Se o sistema já estiver atendendo a n aplicativos, um aplicativo recém-chegado será rejeitado. O comportamento de tal sistema de filas pode ser descrito pelo processo aleatório de Markov ξ(t), que é o número de solicitações no sistema.

Estados possíveis deste processo E = (0, 1, . . . , n). Vamos encontrar as características do QS considerado em modo estacionário.

O gráfico correspondente ao processo em consideração é apresentado na Figura 1.

Arroz. 1. QS com falhas e assistência mútua completa para fluxos de Poisson

Vamos criar um sistema de equações algébricas:

A solução deste sistema tem a forma:

Aqui χ =λ/nµ é o número médio de solicitações que entram no sistema durante o tempo médio de atendimento de uma solicitação por todos os canais.

Características de um sistema de filas multicanal com falhas e total assistência mútua entre canais.

1. Probabilidade de negação de serviço (probabilidade de todos os canais estarem ocupados):

2. Probabilidade de atender uma solicitação (capacidade relativa do sistema):

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Sistema de equações

QS com falhas para um número aleatório de fluxos de serviço; modelo vetorial para fluxos de Poisson. Gráfico, sistema de equações.

Vamos representar o QS como um vetor, onde km– o número de aplicativos no sistema, cada um dos quais é atendido eu dispositivos; eu= q máximo – q min +1 – número de fluxos de entrada.

Se uma solicitação for aceita para serviço e o sistema entrar em um estado com intensidade λ eu.

Quando o atendimento a uma das solicitações for concluído, o sistema passará para um estado no qual a coordenada correspondente terá um valor um a menos que no estado, =, ou seja, a transição reversa ocorrerá.

Um exemplo de modelo QS vetorial para n = 3, eu = 3, q min = 1, q máximo = 3, P(eu) = 1/3, λ Σ = λ, intensidade de manutenção do dispositivo – μ.

Usando o gráfico de estado com as intensidades de transição traçadas, um sistema de equações algébricas lineares é compilado. A partir da solução dessas equações as probabilidades são encontradas R(), pelo qual são determinadas as características do QS.

Um QS com fila infinita para fluxos de Poisson. Gráfico, sistema de equações, relações calculadas.

Gráfico do sistema

Sistema de equações

Onde n– número de canais de atendimento, eu– número de canais de assistência mútua

Um QS com fila infinita e assistência mútua parcial para fluxos arbitrários. Gráfico, sistema de equações, relações calculadas.

Gráfico do sistema

Sistema de equações

–λ R 0 + nμ R 1 =0,

.………………

–(λ + nμ) P k+ λ P k –1 + nμ P k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),

……………....

-(λ+ nμ) P n+ λ P n –1 + nμ P n+1=0,

……………….

-(λ+ nμ) Pn+j+ λ Pn+j –1 + nμ Pn+j+1=0, j=(1,2,….,∞)

QS com fila infinita e assistência mútua completa para threads arbitrários. Gráfico, sistema de equações, relações calculadas.

Gráfico do sistema

…

Sistema de equações

Um QS com fila finita para fluxos de Poisson. Gráfico, sistema de equações, relações calculadas.

Gráfico do sistema

Sistema de equações

Razões de cálculo.

Consideremos um sistema de filas multicanal (n canais no total), que recebe solicitações com intensidade λ e é atendido com intensidade μ. Uma solicitação que chega ao sistema é atendida se pelo menos um canal estiver livre. Se todos os canais estiverem ocupados, a próxima solicitação recebida no sistema será rejeitada e sairá do QS. Vamos numerar os estados do sistema pelo número de canais ocupados:

• S 0 – todos os canais são gratuitos;
• S 1 – um canal está ocupado;
• S 2 – dois canais estão ocupados;
• Sk- ocupado k canais;
• Sn– todos os canais estão ocupados.

É óbvio que o sistema se move de estado para estado sob a influência do fluxo de entrada de solicitações. Vamos construir um gráfico de estado para este sistema de filas.

Arroz. 7.24
A Figura 6.24 mostra um gráfico de estado no qual Seu- número do canal; λ – intensidade de solicitações recebidas; μ – consequentemente, a intensidade das solicitações de serviço. As solicitações entram no sistema de filas com intensidade constante e ocupam gradativamente os canais um após o outro; quando todos os canais estiverem ocupados, a próxima solicitação que chegar ao QS será rejeitada e sairá do sistema.
Vamos determinar as intensidades dos fluxos de eventos que transferem o sistema de estado para estado ao mover-se da esquerda para a direita e da direita para a esquerda ao longo do gráfico de estado.
Por exemplo, deixe o sistema estar no estado S 1, ou seja, um canal está ocupado, pois há uma solicitação em sua entrada. Assim que o atendimento da solicitação for concluído, o sistema entrará no estado S 0 .
Por exemplo, se dois canais estiverem ocupados, então o fluxo de serviço que transfere o sistema do estado S 2 no estado S 1 será duas vezes mais intenso: 2-μ; consequentemente, se estiver ocupado k canais, a intensidade é k-μ.

O processo de manutenção é um processo de morte e reprodução. As equações de Kolmogorov para este caso particular terão a seguinte forma:

(7.25)
As equações (7.25) são chamadas Equações de Erlang .
Para encontrar os valores de probabilidade dos estados R 0 , R 1 , …, Rn, é necessário determinar as condições iniciais:
– R 0 (0) = 1, ou seja, há uma solicitação na entrada do sistema;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, ou seja, no momento inicial o sistema está livre.
Tendo integrado o sistema de equações diferenciais (7.25), obtemos os valores das probabilidades de estado R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Mas estamos muito mais interessados ​​nas probabilidades limitantes dos estados. Como t → ∞ e utilizando a fórmula obtida ao considerar o processo de morte e reprodução, obtemos uma solução para o sistema de equações (7.25):

(7.26)
Nessas fórmulas, a razão de intensidade λ / μ ao fluxo de aplicações é conveniente designar ρ .Essa quantidade é chamada dada a intensidade do fluxo de aplicações, isto é, o número médio de aplicações que chegam ao QS durante o tempo médio de atendimento de uma aplicação.

Tendo em conta a notação feita, o sistema de equações (7.26) terá a seguinte forma:

(7.27)
Essas fórmulas para calcular probabilidades marginais são chamadas Fórmulas Erlang .
Conhecendo todas as probabilidades dos estados QS, encontraremos as características da eficiência QS, ou seja, o rendimento absoluto A, taxa de transferência relativa P e probabilidade de falha R abrir
Uma solicitação recebida pelo sistema será rejeitada se encontrar todos os canais ocupados:

.
Probabilidade de o pedido ser aceito para serviço:

P = 1 – R abrir,
Onde P– a percentagem média de pedidos recebidos atendidos pelo sistema, ou o número médio de pedidos servidos pelo QS por unidade de tempo, dividido pelo número médio de pedidos recebidos durante esse tempo:

A=λ·Q=λ·(1-P aberto)
Além disso, uma das características mais importantes de um SQ com falhas é número médio de canais ocupados. EM n-canal QS com falhas, este número coincide com o número médio de aplicações no QS.
O número médio de solicitações k pode ser calculado diretamente através das probabilidades dos estados P 0, P 1, ..., P n:

,
ou seja, encontramos a expectativa matemática de uma variável aleatória discreta que assume um valor de 0 a n com probabilidades R 0 , R 1 , …, Rn.
É ainda mais fácil expressar o valor de k através da capacidade absoluta do QS, ou seja, A. O valor A é o número médio de aplicativos atendidos pelo sistema por unidade de tempo. Um canal ocupado atende μ solicitações por unidade de tempo, então o número médio de canais ocupados

Formulação do problema. Na entrada n-canal QS recebe o fluxo mais simples de solicitações com densidade λ. A densidade do fluxo de serviço mais simples para cada canal é μ. Se uma solicitação recebida para serviço encontrar todos os canais livres, então ela será aceita para serviço e atendida simultaneamente eu canais ( eu < n). Neste caso, o fluxo de serviços para uma aplicação terá uma intensidade eu.

Se uma solicitação recebida de serviço encontrar uma solicitação no sistema, então, quando n ≥ 2eu uma solicitação recém-chegada será aceita para serviço e será atendida simultaneamente eu canais.

Se uma solicitação recebida de serviço for capturada no sistema eu formulários ( eu= 0,1, ...), enquanto ( eu+ 1)eu≤ n, então o aplicativo recebido será atendido eu canais com desempenho geral eu. Se um aplicativo recém-recebido for capturado no sistema j aplicações e ao mesmo tempo duas desigualdades são satisfeitas conjuntamente: ( j + 1)eu > n E j < n, então o pedido será aceito para serviço. Neste caso, alguns aplicativos podem ser atendidos eu canais, a outra parte é menor que eu, número de canais, mas todos estarão ocupados atendendo n canais que são distribuídos aleatoriamente entre aplicativos. Se um aplicativo recém-recebido for capturado no sistema n solicitações, então ele será rejeitado e não será atendido. Uma solicitação recebida para atendimento é atendida até a conclusão (aplicações de "paciente").

O gráfico de estado de tal sistema é mostrado na Fig. 3.8.

Arroz. 3.8. Gráfico de estados do QS com falhas e parciais

assistência mútua entre canais

Observe que o gráfico de estado do sistema até o estado x h até a notação dos parâmetros de fluxo, coincide com o gráfico de estado de um sistema de filas clássico com falhas, mostrado na Fig. 3.6.

Por isso,

(eu = 0, 1, ..., h).

Gráfico de estado do sistema começando pelo estado x h e terminando com o estado x n, coincide, até a notação, com o gráfico de estado de um QS com assistência mútua completa mostrado na Fig. 3.7. Por isso,

.

Vamos introduzir a notação λ / euμ = ρ eu ; λ / nμ = χ, então

Levando em conta a condição normalizada, obtemos

Para encurtar ainda mais a notação, introduzimos a notação

Vamos encontrar as características do sistema.

Probabilidade de solicitação de atendimento

O número médio de aplicativos no sistema é

Número médio de canais ocupados

.

Probabilidade de um determinado canal estar ocupado

.

Probabilidade de ocupação de todos os canais do sistema

3.4.4. Enfileirando sistemas com falhas e fluxos heterogêneos

Formulação do problema. Na entrada n O sistema QS de canal recebe um fluxo heterogêneo mais simples com uma intensidade total λ Σ, e

λ Σ = ,

onde λ eu– intensidade de aplicações em eu a fonte.

Como o fluxo de solicitações é considerado uma superposição de requisitos de diversas fontes, o fluxo combinado com precisão suficiente para a prática pode ser considerado Poisson para N = 5...20 e λ eu ≈ λ eu +1 (eu1,N). A intensidade de serviço de um dispositivo é distribuída de acordo com uma lei exponencial e é igual a μ = 1/ t. Os dispositivos de serviço para atender uma solicitação são conectados em série, o que equivale a aumentar o tempo de serviço tantas vezes quanto o número de dispositivos combinados para atendimento:

t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,

Onde t obs – solicitar horário de atendimento; k– número de dispositivos de serviço; μ obs – intensidade de solicitação de serviço.

Dentro da estrutura das suposições adotadas no Capítulo 2, representamos o estado do QS como um vetor, onde k eu– o número de aplicativos no sistema, cada um dos quais é atendido eu dispositivos; eu = q máximo – q min +1 – número de fluxos de entrada.

Então o número de dispositivos ocupados e livres ( n Zan ( ),n SV ( )) capaz é definido da seguinte forma:

Do estado o sistema pode ir para qualquer outro estado . Como o sistema opera eu fluxos de entrada, então de cada estado é potencialmente possível eu transições diretas. No entanto, devido aos recursos limitados do sistema, nem todas estas transições são viáveis. Deixe o SMO estar em um estado e chega um pedido exigente eu dispositivos. Se eu≤ n SV ( ), então a solicitação é aceita para serviço e o sistema entra em um estado com intensidade λ eu. Se a aplicação exigir mais dispositivos do que os disponíveis, o serviço será recusado e o QS permanecerá no estado . Se você puder existem aplicações que exigem eu dispositivos, então cada um deles é atendido com intensidade  eu, e a intensidade total de atendimento de tais solicitações (μ eu) é definido como μ eu = k eu μ / eu. Ao concluir o atendimento de uma das solicitações, o sistema entrará em um estado em que a coordenada correspondente terá um valor um a menos que no estado ,=, ou seja a transição reversa ocorrerá. Na Fig. 3.9 mostra um exemplo de modelo vetorial de um QS para n = 3, eu = 3, q min = 1, q máximo = 3, P(eu) = 1/3, λ Σ = λ, intensidade de manutenção do dispositivo – μ.

Arroz. 3.9. Um exemplo de gráfico de modelo vetorial de um QS com falhas de serviço

Então cada estado caracterizado pelo número de aplicativos atendidos de um determinado tipo. Por exemplo, em um estado
uma solicitação é atendida por um dispositivo e uma solicitação por dois dispositivos. Neste estado, todos os dispositivos estão ocupados, portanto, apenas transições reversas são possíveis (a chegada de qualquer solicitação neste estado leva à negação de serviço). Se o atendimento de uma solicitação do primeiro tipo tiver terminado antes, o sistema entrará no estado (0,1,0) com intensidade μ, mas se o atendimento de uma solicitação do segundo tipo tiver terminado antes, então o sistema entrará no estado (0,1,0) com intensidade μ/2.

Usando o gráfico de estado com as intensidades de transição traçadas, um sistema de equações algébricas lineares é compilado. A partir da solução dessas equações as probabilidades são encontradas R(), pelo qual são determinadas as características do QS.

Considere encontrar R otk (probabilidade de negação de serviço).

,

Onde S– número de estados do gráfico do modelo vetorial QS; R() é a probabilidade do sistema estar no estado .

O número de estados de acordo com é determinado da seguinte forma:

, (3.22)

;

Vamos determinar o número de estados do modelo vetorial QS de acordo com (3.22) para o exemplo mostrado na Fig. 3.9.

.

Por isso, S = 1 + 5 + 1 = 7.

Para implementar requisitos reais para dispositivos de serviço, um número suficientemente grande de n (40, ..., 50), e as solicitações para o número de dispositivos servidores em uma aplicação, na prática, ficam na faixa de 8 a 16. Com tal proporção de instrumentos e solicitações, a forma proposta de encontrar probabilidades torna-se extremamente complicada, porque o modelo vetorial do QS tem um grande número de estados S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) = = 11075, e o tamanho da matriz de coeficientes do sistema de equações algébricas é proporcional ao quadrado S, o que requer uma grande quantidade de memória do computador e uma quantidade significativa de tempo de computador. O desejo de reduzir a quantidade de cálculos estimulou a busca por capacidades de cálculo recorrente R() com base em formas multiplicativas de representação de probabilidades de estado. O artigo apresenta uma abordagem para calcular R():

(3.23)

A utilização do critério de equivalência de saldos globais e detalhados de cadeias de Markov proposto no trabalho permite reduzir a dimensão do problema e realizar cálculos em um computador de média potência utilizando a recorrência de cálculos. Além disso, é possível:

– realizar cálculos para quaisquer valores n;

– agilizar cálculos e reduzir custos de tempo de máquina.

Outras características do sistema podem ser determinadas de forma semelhante.

Características de classificação

Tipos de sistemas de filas

Fluxo de Requisitos de Entrada

Requisitos limitados

Fechado

Abrir

Lei da distribuição

Sistemas com uma lei de distribuição específica do fluxo de entrada: exponencial, Erlang k-ª ordem, Palma, normal, etc.

Fila

Disciplina de fila

Com uma fila ordenada

Com uma fila não ordenada

Com prioridade de serviço

Aguardando Limites de Serviço

Com recusas

Com antecipação ilimitada

Com restrições (misto)

Por comprimento da fila

Pelo tempo de espera na fila

Por tempo de permanência no SMO

Combinado

Disciplina de serviço

Etapas de manutenção

Fase única

Polifásico

Número de canais de atendimento

Canal único

Multicanal

Com canais iguais

Com canais desiguais

Confiabilidade dos canais de atendimento

Com canais absolutamente confiáveis

Com canais não confiáveis

Sem recuperação

Com restauração

Assistência mútua de canais

Sem ajuda mútua

Com assistência mútua

Confiabilidade do serviço

Com erros

Sem erros

Distribuição do tempo de serviço

Sistemas com lei de distribuição específica para tempo de atendimento: determinística, exponencial, normal, etc.

Se a manutenção for realizada passo a passo por uma determinada sequência de canais, então tal QS é chamado multifásico.

EM CMO com “ajuda mútua” entre canais, a mesma solicitação pode ser atendida simultaneamente por dois ou mais canais. Por exemplo, a mesma máquina quebrada pode ser atendida por dois trabalhadores ao mesmo tempo. Essa “assistência mútua” entre canais pode ocorrer tanto em QSs abertos quanto fechados.

EM QS com erros um pedido aceito para atendimento no sistema não é atendido com total probabilidade, mas com alguma probabilidade; ou seja, podem ocorrer erros de serviço, cujo resultado é que alguns pedidos enviados pelo QS e supostamente “atendidos” na verdade permanecem sem atendimento devido a um “defeito” no funcionamento do QS.

Exemplos de tais sistemas incluem: balcões de informação, que por vezes emitem certificados e instruções incorrectas; um revisor que pode deixar escapar um erro ou corrigi-lo incorretamente; uma central telefônica que às vezes conecta um assinante ao número errado; empresas comerciais e intermediárias que nem sempre cumprem as suas obrigações de forma eficiente e atempada, etc.

Para analisar o processo que ocorre no SQ, é essencial conhecer principais parâmetros do sistema: número de canais, intensidade do fluxo de aplicações, produtividade de cada canal (número médio de aplicações atendidas por unidade de tempo pelo canal), condições de formação da fila, intensidade de saída de aplicações da fila ou sistema.

A atitude é chamada fator de carga do sistema. Freqüentemente, apenas sistemas nos quais o .

O tempo de serviço em um QS pode ser uma variável aleatória ou não aleatória. Na prática, este tempo é frequentemente assumido como distribuído de acordo com a lei exponencial.

As principais características do QS dependem relativamente pouco do tipo de lei de distribuição do tempo de serviço, mas dependem principalmente do valor médio. Portanto, muitas vezes é usada a suposição de que o tempo de serviço é distribuído de acordo com uma lei exponencial.

As suposições sobre a natureza de Poisson do fluxo de solicitações e a distribuição exponencial do tempo de serviço (que assumiremos a partir de agora) são valiosas porque nos permitem aplicar o aparato dos chamados processos aleatórios de Markov na teoria das filas.

A eficácia dos sistemas de serviços, dependendo das condições das tarefas e objetivos do estudo, pode ser caracterizada por um grande número de diferentes indicadores quantitativos.

Os mais comumente usados ​​são os seguintes indicadores:

1. A probabilidade de os canais estarem ocupados com atendimento é .

Um caso especial é a probabilidade de todos os canais estarem livres.

2. Probabilidade de recusa de solicitação de serviço.

3. O número médio de canais ocupados caracteriza o grau de carga do sistema.

4. Número médio de canais livres de serviço:

5. Coeficiente (probabilidade) de tempo de inatividade do canal.

6. Fator de carga do equipamento (probabilidade de ocupação do canal)

7. Taxa de transferência relativa – a parcela média de solicitações recebidas atendidas pelo sistema, ou seja, a razão entre o número médio de aplicativos atendidos pelo sistema por unidade de tempo e o número médio de aplicativos recebidos durante esse período.

8. Taxa de transferência absoluta, ou seja, o número de aplicativos (requisitos) que o sistema pode atender por unidade de tempo:

9. Tempo médio de inatividade do canal

Para sistemas com antecipação características adicionais são usadas:

10. Tempo médio de espera de solicitações na fila.

11. Tempo médio que uma aplicação permanece no CMO.

12. Comprimento médio da fila.

13. Número médio de candidaturas no setor de serviços (em SMO)

14. A probabilidade de que o tempo que um aplicativo permanece na fila não dure mais do que um determinado tempo.

15. A probabilidade de o número de solicitações na fila aguardando atendimento ser maior que um determinado número.

Além dos critérios listados, ao avaliar a eficácia dos sistemas, indicadores de custo:

– o custo de atendimento de cada requisito do sistema;

– custo das perdas associadas à espera por unidade de tempo;

– o custo das perdas associadas à saída de sinistros do sistema;

– custo de operação de um canal do sistema por unidade de tempo;

– custo por unidade de tempo de inatividade do canal.

Ao escolher os parâmetros ideais do sistema com base em indicadores econômicos, você pode usar o seguinte função de custo de perda:

a) para sistemas com espera ilimitada

Onde está o intervalo de tempo;

b) para sistemas com falhas;

c) para sistemas mistos.

Opções que envolvem a construção (introdução) de novos elementos do sistema (por exemplo, canais de atendimento) são normalmente comparadas com base na redução de custos.

Os custos indicados para cada opção são a soma dos custos correntes (custo) e dos investimentos de capital reduzidos à mesma dimensão de acordo com o padrão de eficiência, por exemplo:

(custos ajustados por ano);

(custos ajustados para o período de retorno),

onde – custos atuais (custo) para cada opção, esfregue;

– coeficiente padrão da indústria de eficiência econômica de investimentos de capital (geralmente = 0,15 - 0,25);

– investimentos de capital para cada opção, esfregue;

– período de retorno padrão para investimentos de capital, anos.

A expressão é a soma dos custos correntes e de capital para um determinado período. Eles são chamados dado, uma vez que se referem a um período de tempo fixo (neste caso, o período de retorno padrão).

Indicadores e podem ser utilizados tanto na forma de volume de investimentos de capital e custo dos produtos acabados, quanto na forma investimentos de capital específicos por unidade de produção e custo unitário de produção.

Para descrever um processo aleatório que ocorre em um sistema com estados discretos, são frequentemente utilizadas probabilidades de estado, onde é a probabilidade de que no momento o sistema esteja em estado.

É óbvio isso.

Se um processo que ocorre em um sistema com estados discretos e tempo contínuo é Markoviano, então para as probabilidades de estados é possível construir um sistema de equações diferenciais lineares de Kolmogorov.

Se houver um gráfico de estado marcado (Fig. 4.3) (aqui, acima de cada seta que leva de estado a estado, é indicada a intensidade do fluxo de eventos que transfere o sistema de estado para estado ao longo desta seta), então um sistema de equações diferenciais para probabilidades podem ser escritas imediatamente usando o seguinte simples regra.

No lado esquerdo de cada equação há uma derivada, e no lado direito há tantos termos quantas setas associadas diretamente a um determinado estado; se a seta apontar V

Se todos os fluxos de eventos que transferem o sistema de estado para estado forem estacionários, o número total de estados for finito e não houver estados sem saída, então o regime limitante existe e é caracterizado por probabilidades marginais .